Este documento trata sobre líneas de transmisión y contiene 13 secciones. Describe la propagación física en líneas de transmisión, deriva las ecuaciones de onda para líneas de transmisión, analiza la propagación sin pérdidas y con voltajes sinusoidales, y cubre temas como la reflexión de ondas, relación de onda estacionaria, líneas de longitud finita y métodos gráficos.

1. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS
TEMA 11
LÍNEAS DE TRANSMISIÓN
Ingeniería en Redes y Telecomunicaciones
Prof. Máximo Domínguez
Ciclo Sep – Dic 2009
San Cristóbal, RD

2. TABLA DE CONTENIDO
1. DESCRIPCIÓN FISICA DE LA PROPAGACIÓN EN LAS
LÍNEAS DE TRANSMISION
2. ECUACIONES DE LAS LÍNEAS DE TRANSMISIÓN
3. PROPAGACIÓN SIN PÉRDIDAS
4. PROPAGACIÓN SIN PÉRDIDAS DE VOLTAJES
SINUSOIDALES
5. ANÁLISIS COMPLEJO DE SEÑALES SINUSOIDALES
6. ECUACIONES DE LAS LÍNEAS DE TRANSMISIÓN Y SUS
SOLUCIONES EN FORMA FASORIAL
7. PROPAGACIÓN SIN PÉRDIDAS Y CON BAJAS
PÉRDIDAS
8. CARACTERIZACIÓN DE LA TRANSMISIÓN DE
POTENCIA Y PÉRDIDAS
9. REFLEXIÓN DE LAS ONDAS EN LAS
DISCONTINUIDADES
10. RELACIÓN DE LA ONDA ESTACIONARIA DE VOLTAJE
11. LÍNEAS DE TRANSMISIÓN DE LONGITUD FINITA
12. ALGUNOS EJEMPLOS DE LA LÍNEA DE TRANSMISIÓN
13. MÉTODOS GRÁFICOS

3. - Considere una línea sin pérdidas.
- Una batería con un voltaje V0 se conecta a la entrada a través de un apagador S1
en el tiempo t = 0.
- Cuando el apagador se cierra, el efecto es el envío de un voltaje V+
= V0.
- El frente de onda representa la frontera intantánea entre la sección de la línea
que ha sido cargada a un voltaje V0y la sección que aún está por cargarse.
1
DESCRIPCIÓN FISICA DE LA PROPAGACIÓN
EN LAS LÍNEAS DE TRANSMISION

4. La clave para la comprensión y cuantificación de los factores que determinan la
velocidad de ondas es advertir que la línea de tansmisión tendrá capacitancias e
inductancias susceptibles de expresarse en términos de unidades de longitud.
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DESCRIPCIÓN FISICA DE LA PROPAGACIÓN
EN LAS LÍNEAS DE TRANSMISION (CONT.)

5. - Obtener ecuaciones diferenciales,
conocidas como ecuaciones de onda,
que le voltaje y la corriente deben
satisfacer e una línea de transmisión
uniforme.
- Constantes principales:
L = inductancia
C = capacitancia
G = conductancia de desviación
R = resistencia
Todas ellas tienen valores
especificados en unidades de
longitud.
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ECUACIONES DE LAS LÍNEAS DE TRANSMISIÓN

6. 4
Supongase que la propagación ocurre en la dirección az. Como el segmento de la
linea se ve igual desde cualquier extremo, se dividen en dos los segmentos en
serie para producir una red simétrica. También se puede poner de una manera
equivalente las mitades de conductancia y capacitancia en cada extremo.
El objetivo es determinar la manera y el grado en que el voltaje de salida y la
corriente varian con respecto a sus valores de entrada en el límite a medida que la
longitud se aproxima a un valor muy pequeño.
ECUACIONES DE LAS LÍNEAS DE TRANSMISIÓN
(CONT.)

7. 5
Primero, se aplica KVL al circuito
que incluye toda la longitud de la
sección:
Se puede despejar en la ecuación
(1) el cociente ΔV/ Δz, obteniendo:
Enseguida se escribe:
La cual después se sustituye en (2)
para obtener:
Ahora, en el límite a medida que
Δz se aproxima a cero (o a un valor
suficientemente pequeño para
considerarse despreciable), (4) se
simplifica a su forma final:
ECUACIONES DE LAS LÍNEAS DE TRANSMISIÓN
(CONT.)

8. 6
Encontrar la segunda ecuación requiere
aplicar KCL al nodo central superior
del circuito, notando que el voltaje en el
nodo será V + ΔV/2:
Despues utilizando (3) y simplificando,
se tiene:
De nuevo, se obtiene la forma final
mediante la reducción de Δz a un valor
despreciable. El resultado es:
Las ecuaciones (5) y (8) describen la
evolucion de la corriente y el voltaje en
cualquier línea de transmisión
ECUACIONES DE LAS LÍNEAS DE TRANSMISIÓN
(CONT.)

9. 7
Solución:
Se comienza derivando la ecuación (5)
con respecto a z y la ecuación (8) con
respecto a t, obteniendo:
ECUACIONES DE LAS LÍNEAS DE TRANSMISIÓN
(CONT.)
y
Sigue

10. 8
Las ecuaciones (8) y (10) se sustituyen en (9). Después de reaareglar los términos
el resultado es:
ECUACIONES DE LAS LÍNEAS DE TRANSMISIÓN
(CONT.)
De manera análoga, se puede derivar la ecuacion (5) con respecto a t y la ecuación
(8) con respecto a z. Luego la ecuación (5) y su derivada se sutituyen en la
derivada de (8) y así obtener una ecuación que tiene una forma idén tica a la
ecuación (11):

11. 9
La propagación sin pérdidas significa
que la potencia no se disipa o, de otra
forma , no se desvía conforme la onda
viaje a través de la línea de
transmisión.
En el modelo que se está estudiando
la propagacion libre de pérdidas se
presenta cuando R = G = 0.
Considerando esto, sólo el primer
término de la ecuación (11) o de la
ecuación (12) no se elimina. La
ecuación (11), por ejemplo, se
convierte en:
PROPAGACIÓN SIN PÉRDIDAS

12. 10
Considerando la función de voltaje que
va a satisfacer la ecuación (13), es más
rápido establecer la solucion y,
despues, demostrar que es correcta.
La solución de (13) es de la forma:
Hay que verificar que las funciones que
tengan las formas de argumento
expresadas en (14) sean soluciones de
(13).
PROPAGACIÓN SIN PÉRDIDAS (CONT.)

13. 11
Se obtienen las derivadas parciales de
f1, por ejemplo, con respecto a z y t:
Utilizando un razonamiento similar, las
segundas derivadas parciales con
respecto a z y t:
Los resultados de (17) ahora pueden
sustituirse en la ecuación (13) y obtener:
Ahora se identifica la velocidad de
onda para la propagación sin pérdidas,
que es la condición de igualdad de la
ecuación (18)
PROPAGACIÓN SIN PÉRDIDAS (CONT.)

14. CARACTERIZACIÓN DE LA TRANSMISIÓN DE
POTENCIA Y PÉRDIDAS
• La Potencia Instantanea esta dada simplemente por el producto del voltaje y las
corrientes reales. Tanto la coriente como el voltaje se atenuan de acuerdo a un factor
• Por lo tanto:
• La potencia promedio se busca a traves de :
• Si aplicamos identidad trigonometrica de producto de cosenos e integramos
se obtiene:
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15. • Si expresamos los fasores de corriente y voltaje en forma de Vs, Is,obrenemos la forma
fasorial de la potencia promedio:
• Un resultado importante obtenido a partir de los cálculos anteriores es que la
potencia se reduce a razon de como se muestra en la formula:
• Esta perdida se mide en decibel utilizando la siguiente relación:
CARACTERIZACIÓN DE LA TRANSMISIÓN DE
POTENCIA Y PÉRDIDAS (CONT.)
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16. • Las ondas reflejadas son aquella parte de la señal transmitida que se devuelve hacia la fuente.
Esto se aprecia en la figura:
• Vi es el Voltaje incidente y Vr es el reflejado.
• Sabiendo que el voltaje en la carga va a ser la suma del voltaje incidente mas el reflejado, esto
mismo ocurre con la corriente. El Coeficiente de reflexión se define como:
• Es decir la relacion por cociente entre la amplitud
del voltaje reflejado sobre el incidente.
REFLEXIÓN DE LAS ONDAS EN LAS
DISCONTINUADADES
14

17. • Esto nos indica que la onda incidente por lo general esta corrida(desfasada) y posee menor
amplitud con respecto a la incidente . A partir de este concepto y del voltaje de la carga:
• Obtenemos la relación: a partir de esta relacion obtenemos el
coeficiente de transmision , que se define como el coeficiente entre de la amplitud del voltaje
de la carga y la amplitud del voltaje incidente:
• Si el indice de reflexion es 0(cero), se dice que la linea esta acoplada con la carga, en este caso
la impedancia de la linea es la misma que la impedancia de la carga , esto es toda la señal
transmitida llega a la carga.
• La potencia incidente es la misma, solo que se vusca en z=L
REFLEXIÓN DE LAS ONDAS EN LAS
DISCONTINUADADES (CONT.)
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18. • La potencia reflejada se busca sustitiyendo por el voltaje reflejado, que es lo mismo que el
voltaje incidende por el coeficiente de reflexion:
• La fracion de potencia reflejada a la carga:
• La fraccion de potencia incidente en la carga:
Para el caso de conexiones de dos lineas con diferentes impedancias:
REFLEXIÓN DE LAS ONDAS EN LAS
DISCONTINUADADES (CONT.)
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19. RELACIÓN DE LA ONDA ESTACIONARIA DE
VOLTAJE
La relacion de onda estacionaria(VSWR,en ingles), se determina midiendo las amplitudes de los voltajes
que ocurren como funciones de posicion dentro de la linea y comparandolos.
El voltaje total medido que es el obtenido al medir el vltaje de la honda viajera(se desplaza hacia adelante) y
el voltaje de la onda estacionaria(se desplaza hacia atras) es :
Si la linea no tiene perdidas
Si la linea es un cortocircuito(ZL=0)
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20. La relación de onda estacionaria de voltaje se define como:
RELACIÓN DE LA ONDA ESTACIONARIA DE
VOLTAJE (CONT.)
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21. LÍNEAS DE TRANSMISIÓN DE LONGITUD
FINITA
La siguiente figura muestra la representación de una linea de transmision finita, la fuente con
una impedancia interna zg y una Z caracteristicas Z0
El voltaje total y la corriente total, se determinan sumando el voltaje y corriente neta, hacia delante y
hacia atrás:
La `impedancia de la onda se define como la relacion:
Simplificando y utilizando euler se obtiene: Esto es evaluando la ec anterior en
z=-l que es la entrada del la línea
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22. Existen dos casos especiales de la impedancia de entrada de acuerdo a la longitud de la linea
con respecto a la longitud de la onda.
Si la longitud de la linea es un multiplo entero de ½ longitud de onda:
Si la longitud de la línea es un múltiplo entero de ½ longitud de onda:
LÍNEAS DE TRANSMISIÓN DE LONGITUD
FINITA (CONT.)
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23. METODOS GRÁFICOS
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24. Γ =
ZL − Z0
ZL + Z0
ZL
Z0
zL
zL = r + jx =
ZL
Z0
=
RL + jXL
Z0
Γ =
zL −1
zL +1
zL =
1+ Γ
1− Γ
r =
1− Γ2
r − Γ2
i
(1− Γr )2
+ Γ2
i
x =
2Γi
(1− Γr )2
+ Γ2
i
METODOS GRÁFICOS (CONT.)
22

25. METODOS GRÁFICOS (CONT.)
23

26. La segunda ecuación describe otra
familia de círculos, pero estos se
relacionan con valores específicos de x.
Ambas familias de círculos
aparecen en la carta de Smith,
como lo muestra la figura
siguiente.
METODOS GRÁFICOS (CONT.)
24

27. Ejemplo 1:
Si tenemos que en una
línea de 50Ω, encuentre el ángulo y el
coeficiente de reflexión.
Solución:
1.Recordamos la fórmula de impedancia
de carga normalizada, tenemos:
1. Buscamos en la carta de Smith donde
se intersectan los circulos con radio r=0.5
y x = 1
3. De donde podemos ver que el
ángulo de reflexión es
aproximadamente 83° y el
coeficiente de reflexión es
aproximadamente 0.62
ZL = 25 + j50Ω
zL =
ZL
Z0
=
25 + j50
50
= 0.5 + j1
METODOS GRÁFICOS (CONT.)
25

28. La carta de Smith se complementa
añadiendo sobre la circunferencia una
segunda escala con la cual se pueden
calcular distancias a lo largo de la línea.
Esta escala está en unidades de longitud
de onda, pero los valores localizados
sobre ella no son tan obvios; obtenerlos,
requiere primero dividir el voltaje en
cualquier punto a lo largo de la línea:
Entre la corriente:
Vs = V0
+
(e− jβz
+ Γejβz
)
Is =
V0
+
Z0
(e− jβz
− Γejβz
)
Con lo que se obtiene la
impedancia normalizada de
entrada:
Reemplazando z por –l y
dividiendo el numerador y el
denominador entre
obtenemos la ecuación general:
Zent =
Vs
Z0 Is
=
e− jβz
+ Γejβz
e− jβz
− Γejβz
ejβl
zent =
1+ Γ ej(φ−2βl)
1− Γ ej(φ−2βl)
METODOS GRÁFICOS (CONT.)
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29. Ejemplo 11.10
Considerese la impedancia de carga
, al final de una línea de
50Ω. La longitud de la línea es de 60 cm
y la frecuencia de operación es tal que
la longitud de onda en la linea es de 2
m. Se desea obtener la impedancia de
entrada.
Ejercicio para realizar en el salón.
Respuesta:
a)13.7 – j20.2ZL = 25 + j50Ω
METODOS GRÁFICOS (CONT.)
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30. GRACIAS POR SU ATENCIÓNGRACIAS POR SU ATENCIÓN