Este documento presenta un resumen de contenidos sobre la transformada inversa de Laplace. Explica las propiedades y fórmulas básicas de la transformada de Laplace, incluyendo ejemplos de su aplicación para hallar funciones en el dominio del tiempo a partir de su representación en el dominio complejo. También cubre el método de fracciones parciales y propone una actividad práctica para determinar las relaciones entre tensiones y corrientes en un circuito eléctrico usando esta transformada.

1. Análisis de redes eléctricas
Transformada Inversa de Laplace

2. Contenido – semana 2:
1. Transformada inversa de Laplace
Propiedades de la transformada de Laplace.
2. Fracciones parciales
Ejemplos.
3. Actividad en clase

3. 𝑓(𝑡) ℒ 𝐹(𝑠)
𝑖(𝑡) ℒ 𝐼(𝑠)
𝑒(𝑡) ℒ 𝐸(𝑠)
Corriente
TRANSFORMADA DE LAPLACE
¿?
𝑒(𝑡)
𝑖(𝑡)
Tensión
Transformadade Laplace
𝐹 𝑠 = න
0
∞
𝑓 𝑡 . 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡

4. TABLA DE TRANSFORMADA DE LAPLACE
ℒ ℒ
𝒇(𝒕) 𝑭(𝒔)
Función Escalón 𝑢(𝑡)
1
𝑠
Función Impulso 𝛿(𝑡)
1
Función Exponencial e−at
.𝑢(𝑡)
1
𝑠 + a
Función Rampa 𝑡. 𝑢(𝑡)
1
𝑠2
𝒇(𝒕) 𝑭(𝒔)
Función Seno 𝑠𝑒𝑛(𝜔0
𝑡).𝑢(𝑡)
𝜔0
𝑆2 + 𝜔0
2
Función Coseno 𝑐𝑜𝑠(𝜔0
𝑡).𝑢(𝑡)
𝑠
𝑆2 + 𝜔0
2
𝑠𝑒𝑛(𝜔0
𝑡). 𝑒−𝑎𝑡
𝑢(𝑡)
𝜔0
(𝑆 + 𝑎)2+𝜔0
2
𝑐𝑜𝑠(𝜔0
𝑡). 𝑒−𝑎𝑡
𝑢(𝑡)
s + a
(𝑆 + 𝑎)2+𝜔0
2
ℒ−1 ℒ−1
Katsuhiko Ogata: Apéndice A
Transformadade Laplace

5. Ejemplos:
PROPIEDADES DE LA
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Transformadade Laplace
𝑡. 𝑢(𝑡) ՜
ℒ 1
𝑠2
𝑡. 𝑒−𝑎𝑡
𝑢(𝑡) ՜
ℒ 1
(𝑠 + 𝑎)2
𝑓 𝑡 . 𝑒−𝑎𝑡
՜
ℒ
𝐹(𝑠 + 𝑎)
𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡𝑢(𝑡) ՜
ℒ 𝜔
𝑠2 + 𝜔2
𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡. 𝑒−𝑎𝑡
𝑢(𝑡) ՜
ℒ 𝜔
(𝑠 + 𝑎)2 + 𝜔2
𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡𝑢(𝑡) ՜
ℒ 𝑠
𝑠2 + 𝜔2
𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡. 𝑒−𝑎𝑡
𝑢(𝑡) ՜
ℒ (𝑠 + 𝑎)
(𝑠 + 𝑎)2 + 𝜔2
𝜔 ՜ 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟; 𝜔 = 2𝜋𝑓; 𝑓 = 60 𝐻𝑧

6. Ejemplos
PROPIEDADES DE LA
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Transformadade Laplace
𝛿(𝑡 − 2) ՜
ℒ
1. 𝑒−2𝑠
𝑓 𝑡 − 𝑡0 ՜
ℒ
𝐹 𝑠 . 𝑒−𝑡0.𝑠
𝑢(𝑡 − 6) ՜
ℒ 1
𝑠
𝑒−6𝑠
𝑡 − 4 ՜
ℒ 1
𝑠2
−
4
𝑠

7. Ejemplos: Hallar la transformada inversa de
Laplace de las siguientes funciones:
1. TransformadaInversade Laplace
𝐼 𝑠 =
3
𝑠
𝑖 𝑡 = 3𝑢(𝑡)
ℒ−1
ℒ−1
𝑉 𝑠 =
3
(𝑠 + 2)
𝑣 𝑡 = 3 𝑒−2𝑡 𝑢(𝑡)
𝐼 𝑠 =
1. 3
𝑠2 + 3
2 .
1
3
𝐼(𝑠) =
1
𝑠2 + 3
Se sabe que:
𝑠𝑒𝑛ω𝑡. 𝑢(𝑡) ՜
ℒ 𝜔
𝑠2+𝜔2
𝜔
𝜔
𝐼 𝑠 =
1
3
.
3
𝑠2 + 3
2
Rpta.
ℒ −1 𝑖 𝑡 =
1
3
. 𝑠𝑒𝑛 3 𝑡. 𝑢(𝑡)

8. Ejemplo: Hallar la transformada inversa de
Laplace de las siguiente función:
Un método para hallar la transformada
inversa de Laplace en este ejemplo, es
aplicando “fracciones parciales”.
Rpta.
2. Fraccionesparciales
𝐼(𝑠) =
2
𝑠(𝑠 + 3)
𝐼 𝑠 =
2
𝑠(𝑠 + 3)
=
𝐴
𝑠
+
𝐵
(𝑠 + 3)
𝐴 = ቤ
2
(𝑠 + 3) 𝑆=0
⇒ 𝐴 = ൗ
2
3
𝐵 = ቤ
2
𝑠 𝑆=−3
⇒ 𝐵 = − ൗ
2
3
𝐼 𝑠 =
2
3
.
1
𝑠
−
2
3
.
1
(𝑠 + 3)
ℒ−1
𝑖 𝑡 =
2
3
𝑢(𝑡) −
2
3
𝑒−3𝑡𝑢(𝑡)
Solución:

9. Ejemplo: Hallar la transformada inversa de Laplace de las siguiente función:
𝐹.𝑃.
¿Se puede aplicar alguna
formula directa de la tabla?
Rpta.
𝑉 𝑠 =
8
𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)(𝑠 + 3)
ℒ−1
𝑉 𝑠 =
4
3
.
1
𝑠
− 4
1
𝑠 + 1
+ 4
1
𝑠 + 2
−
4
3
1
𝑠 + 3
v 𝑡 =
4
3
𝑢 𝑡 − 4𝑒−1𝑡𝑢(𝑡) + 4𝑒−2𝑡𝑢(𝑡) −
4
3
𝑒−3𝑡 𝑢(𝑡)
𝑉 𝑠 =
8
𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)(𝑠 + 3)
=
𝐴
𝑠
+
𝐵
(𝑠 + 1)
+
𝐶
(𝑠 + 2)
+
𝐷
(𝑠 + 3)
ቤ
𝐴 =
8
(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)(𝑠 + 3) 𝑆=0
⇒ 𝐴 = ൗ
4
3
ቤ
𝐵 =
8
𝑠(𝑠 + 2)(𝑠 + 3) 𝑆=−1
⇒ 𝐵 = −4
ቤ
𝐶 =
8
𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 3) 𝑆=−2
⇒ 𝐶 = 4
ቤ
𝐷 =
8
𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2) 𝑆=−3
⇒ 𝐷 = − ൗ
4
3
2. Fraccionesparciales

10. 3. Actividad en clase:
En el circuito de la figura, determinar Eo(s)/Ei(s)

11. ¿ PREGUNTAS ?

12. GRACIAS POR SU ATENCIÓN