Hay distintas maneras de llegar a la solución de las ecuaciones diferenciales que rigen el comportamiento en los distintos sistemas vibratorios con 1 grado de libertad, la mayoría de los textos citan el método tradicional el cual es, la solución de ED homogéneas y no homogéneas con coeficientes constantes. Por ello es que planteo la solución de las ED mediante la transformada de Laplace.

1. Autor: Cieza Ochoa, Yhonatan
Tema: Solución de las ecuaciones diferenciales en los diferentes sistemas vibratorios por la
transformada de Laplace.
1. SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD NO FORZADO SIN
AMORTIGUAMIENTO
𝒎𝒙̈ + 𝒌𝒙 = 𝟎 → 𝑥̈ +
𝑘
𝑚
𝑥 = 0 (𝐸𝑑. 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 1, 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 2)
Solución: 𝑘/𝑚 = 𝜔2
(𝑆2
𝑋(𝑠) − 𝑆𝑥(0) − 𝑥̇(0)) + 𝜔2
𝑋(𝑠) = 0
𝑋(𝑠)(𝑆2
+ 𝜔2) = 𝑆𝑥0 + 𝑥̇0 → 𝑿(𝒔) =
𝑆𝑥0
𝑆2 + 𝜔2
+
𝑥̇0
𝑆2 + 𝜔2
- Ordenado los términos, efectúo la Inversa de Laplace con las siguientes
propied+ades:
𝐿−1
{
1
𝑆2 + 𝑎2} = sin 𝑎𝑡 𝑦 𝐿−1
{
𝑆
𝑆2 + 𝑎2} = cos 𝑎𝑡
→ 𝑿(𝒕) =
𝑥̇0
𝜔
sin 𝜔𝑡 + 𝑥0 cos 𝜔𝑡
𝑶𝒃𝒔: → sin(𝑎 + 𝑏) = sin 𝑎 cos 𝑏 + sin 𝑏 cos 𝑎
𝑿(𝒕) = 𝐴 . cos ∅ . sin 𝜔𝑡 + 𝐴. cos 𝜔𝑡. sin∅
𝑿(𝒕) = 𝐴 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + ∅) → ∅ = tan−1
(
𝑥0 𝜔
𝑥̇0
)
2. SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD NO FORZADO CON
AMORTIGUAMIENTO
𝒎𝒙̈ + 𝒄𝒙̇ + 𝒌𝒙 = 𝟎 → 𝑥̈ +
𝑐
𝑚
𝑥̇ +
𝑘
𝑚
𝑥 = 0 (𝐸𝑑. 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 1, 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 2)
Solución:
(𝑆2
𝑿(𝒔) − 𝑆𝒙(𝟎) − 𝑥̇(0)) + (
𝑐
𝑚
𝑆𝑿(𝒔) −
𝑐
𝑚
𝒙(𝟎)) +
𝑘
𝑚
𝑿(𝒔) = 0
𝑥0 = 𝐴 sin∅
𝑥̇0
𝜔
= 𝐴 cos ∅
∅

2. 𝑋(𝑠) (𝑆2
+
𝑐
𝑚
𝑆 +
𝑘
𝑚
) − 𝒙 𝟎 (𝑆 +
𝑐
𝑚
) − 𝑥̇0 = 0
→ 𝑿(𝒔) =
𝒙̇ 𝟎 + 𝑺𝒙 𝟎 +
𝒄
𝒎 𝒙 𝟎
𝑺 𝟐 +
𝒄
𝒎 𝑺 +
𝒌
𝒎
- Ordeno el numerador y el denominador por separado:
o Numerador:
𝑆𝑥0 +
𝑐
𝑚
𝑥0 + 𝑥̇0 +
𝑐
2𝑚
𝑥0 −
𝑐
2𝑚
𝑥0 → (𝑆𝑥0 +
𝑐
2𝑚
𝑥0) + (𝑥̇0 +
𝑐
2𝑚
𝑥0)
Por tanto, queda:
𝑥0 (𝑆 +
𝑐
2𝑚
) + (𝑥̇0 +
𝑐
2𝑚
𝑥0) − − − − − − − I
o Denominador:
Este es un trinomio, y no está completo, por tanto, se tiene que completar el cuadrado, en
estructuras sería como isostatizar.
Un TCP: Trinomio Cuadrado Perfecto tiene la forma: s2 + 2αs + α2
→ 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒂𝒓𝒐: 𝑆2
+
𝒄
𝒎
𝑆 +
𝑘
𝑚
→ 2𝛼 =
𝑐
𝑚
→ 𝜶 =
𝒄
𝟐𝒎
→ 𝑹𝒆𝒆𝒔𝒄𝒓𝒊𝒃𝒐: 𝑆2
+
𝑐
𝑚
𝑆 ∗
𝒄
𝟐𝒎
+
𝑘
𝑚
+ (
𝒄
𝟐𝒎
)
2
− (
𝒄
𝟐𝒎
)
2
→ 𝐐𝐮𝐞𝐝𝐚𝐧𝐝𝐨: (𝑆 +
𝑐
2𝑚
)
2
+ (
𝐾
𝑚
− (
𝑐
2𝑚
)
2
) − − − − − − − II
→ 𝐑𝐞𝐞𝐦𝐩𝐚𝐳𝐨
𝐈
𝐈𝐈
∶ 𝑿(𝒔) =
𝑥0 (𝑆 +
𝑐
2𝑚) + (𝑥̇0 +
𝑐
2𝑚 𝑥0)
(𝑆 +
𝑐
2𝑚)
2
+ (
𝐾
𝑚 − (
𝑐
2𝑚)
2
)
𝑿(𝒔) =
𝑥0 (𝑆 +
𝑐
2𝑚
)
(𝑆 +
𝑐
2𝑚)
2
+ (
𝐾
𝑚 − (
𝑐
2𝑚)
2
)
+
(𝑥̇0 +
𝑐
2𝑚
𝑥0)
(𝑆 +
𝑐
2𝑚)
2
+ (
𝐾
𝑚 − (
𝑐
2𝑚)
2
)

3. - Una vez ordenado los términos, efectúo la Inversa de Laplace con las siguientes
propiedades:
𝐿−1
{
𝑧
(𝑆 − 𝑎)2 + 𝑧2} = 𝑒 𝑎𝑡
. sin 𝑧𝑡 𝑦 𝐿−1
{
(𝑆 − 𝑎)
(𝑆 − 𝑎)2 + 𝑧2} = 𝑒 𝑎𝑡
. cos 𝑧𝑡
Luego:
𝑿(𝑡) = 𝑥0 𝑒−
𝑐
2𝑚
𝑡
. cos(√
𝑘
𝑚
− (
𝑐
2𝑚
)
2
) 𝑡 +
(𝑥̇0 +
𝑐
2𝑚 𝑥0)
√ 𝐾
𝑚 − (
𝑐
2𝑚)
2
𝑒−
𝑐
2𝑚
𝑡
. sin (√
𝑘
𝑚
− (
𝑐
2𝑚
)
2
) 𝑡
𝐷𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒒𝒖𝒆:
𝑐
2𝑚
=
𝜉𝐶𝑐𝑟
2𝑚
=
𝜉 ∗ (2𝑚𝜔)
2𝑚
→
𝒄
𝟐𝒎
= 𝝃𝝎
√
𝑘
𝑚
− (
𝑐
2𝑚
)
2
= √𝜔2 − 𝜉2 𝜔2 → 𝝎√𝟏 − 𝝃 𝟐 = 𝝎 𝑫
→ 𝑹𝒆𝒆𝒔𝒄𝒓𝒊𝒃𝒐 𝒍𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝑬𝒄𝒖𝒔𝒄𝒊𝒐𝒏 𝑫𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍:
𝑿(𝑡) = 𝑥0 𝑒−𝝃𝝎𝑡
. cos 𝝎 𝑫 𝑡 +
𝑥̇0 + 𝝃𝝎𝑥0
𝝎 𝑫
𝑒−𝝃𝝎𝑡
. sin 𝝎 𝑫 𝑡
→ 𝑭𝒊𝒏𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆: 𝑿(𝑡) = 𝑒−𝝃𝝎𝑡
(𝑥0. cos 𝝎 𝑫 𝑡 +
𝑥̇0 + 𝝃𝝎𝑥0
𝝎 𝑫
. sin 𝝎 𝑫 𝑡)
3. SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD FORZADO SIN
AMORTIGUAMIENTO
𝒎𝒙̈ + 𝒌𝒙 = 𝑭 𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝝎 𝟎 𝒕 → 𝑥̈ +
𝑘
𝑚
𝑥 =
𝐹0
𝑚
sin 𝜔0 𝑡 (
𝐸𝑑. 𝑛𝑜 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎
𝑐𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
)
𝐒𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧: 𝑘/𝑚 = 𝜔2
(𝑆2
𝑋(𝑠) − 𝑆𝑥(0) − 𝑥̇(0)) + 𝜔2
𝑋(𝑠) =
𝐹0
𝑚 𝜔0
𝑆2 + 𝜔0
2
𝑋(𝑠)(𝑆2
+ 𝜔2) = 𝑆𝑥0 + 𝑥̇0 +
𝐹0
𝑚 𝜔0
𝑆2 + 𝜔0
2

4. 𝑋(𝑠) =
[
𝑆𝑥0
𝑆2 + 𝜔2
+
𝑥̇0
𝑆2 + 𝜔2]
𝐸𝑑. 𝐻𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎
+ [
𝐹0
𝑚
𝜔0
(𝑆2 + 𝜔2)(𝑆2 + 𝜔0
2)
]
𝐸𝑑. 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟
- Ordenado los términos, efectúo la Inversa de Laplace con la siguiente propiedad:
𝐿−1
{
1
(𝑆2 + 𝑎2)(𝑆2 + 𝑏2)
} =
𝑎 sin 𝑏𝑡 − 𝑏 cos 𝑎𝑡
𝑎𝑏(𝑎2 − 𝑏2)
→ 𝑿(𝒕) =
𝑥̇0
𝜔
sin 𝜔𝑡 + 𝑥0 cos 𝜔𝑡 +
𝑭 𝟎
𝒎
𝝎 𝟎 (
𝝎 𝐬𝐢𝐧 𝝎 𝟎 𝒕 − 𝝎 𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕
𝝎𝝎 𝟎(𝝎 𝟐 − 𝝎 𝟎
𝟐)
)
𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑷𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓: 𝑟 = 𝜔0/𝜔
𝑿(𝒕) 𝒑
=
𝐹0
𝑚
sin 𝜔0 𝑡
(𝜔2 − 𝜔0
2)
−
𝐹0
𝑚
𝜔0 sin 𝜔𝑡
𝜔(𝜔2 − 𝜔0
2)
=
𝐹0
𝑚
sin 𝜔0 𝑡
(
𝜔2
𝜔2 −
𝜔0
2
𝜔2 ) 𝜔2
−
𝐹0
𝑚
𝜔0
𝜔 sin 𝜔𝑡
(
𝜔2
𝜔2 −
𝜔0
2
𝜔2 ) 𝜔2
𝑿(𝒕) 𝒑
=
𝐹0
𝑚
sin 𝜔0 𝑡
(1 − 𝑟2) (
𝑘
𝑚)
−
𝐹0
𝑚
𝑟 sin 𝜔𝑡
(1 − 𝑟2) (
𝑘
𝑚)
→ 𝑿(𝒕) 𝒑
=
𝑭 𝟎
𝒌
𝐬𝐢𝐧 𝝎 𝟎 𝒕
(𝟏 − 𝒓 𝟐)
−
𝑭 𝟎
𝒌
𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕
(𝟏 − 𝒓 𝟐)
𝑷𝒐𝒓 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐, 𝒍𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝑬𝒅. 𝒔𝒆𝒓á:
𝑿(𝒕) =
𝑥̇0
𝜔
sin 𝜔𝑡 + 𝑥0 cos 𝜔𝑡 +
𝑭 𝟎
𝒌
𝐬𝐢𝐧 𝝎 𝟎 𝒕
(𝟏 − 𝒓 𝟐)
−
𝑭 𝟎
𝒌
𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕
(𝟏 − 𝒓 𝟐)
4. SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD FORZADO CON
AMORTIGUAMIENTO
𝑚𝑥̈ + 𝑐𝑥̇ + 𝑘𝑥 = 𝐹0 sin 𝜔0 𝑡 → 𝑥̈ +
𝑐
𝑚
𝑥̇ +
𝑘
𝑚
𝑥 =
𝐹0
𝑚
sin 𝜔0 𝑡 (
𝐸𝑑. 𝑛𝑜 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎
𝑐𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
)
Solución:
(𝑆2
𝑿(𝒔) − 𝑆𝒙(𝟎) − 𝑥̇(0)) + (
𝑐
𝑚
𝑆𝑿(𝒔) −
𝑐
𝑚
𝒙(𝟎)) +
𝑘
𝑚
𝑿(𝒔) =
𝐹0
𝑚 𝜔0
𝑆2 + 𝜔0
2

5. 𝑋(𝑠) (𝑆2
+
𝑐
𝑚
𝑆 +
𝑘
𝑚
) − 𝒙 𝟎 (𝑆 +
𝑐
𝑚
) − 𝑥̇0 =
𝐹0
𝑚 𝜔0
𝑆2 + 𝜔0
2
→ 𝑿(𝒔) =
𝑥̇0 + 𝑆𝑥0 +
𝑐
𝑚 𝑥0 +
𝐹0
𝑚
𝜔0
𝑆2 + 𝜔0
2
𝑆2 +
𝑐
𝑚 𝑆 +
𝑘
𝑚
En el punto 2 se obtuvo la factorización de los trinomios, así que solo reemplazamos:
𝑿(𝒔) = (
𝑥0 (𝑆 +
𝑐
2𝑚)
(𝑆 +
𝑐
2𝑚)
2
+ (
𝐾
𝑚 − (
𝑐
2𝑚)
2
)
+
(𝑥̇0 +
𝑐
2𝑚 𝑥0)
(𝑆 +
𝑐
2𝑚)
2
+ (
𝐾
𝑚 − (
𝑐
2𝑚)
2
)
) +
𝑭 𝟎
𝒎 𝝎 𝟎
𝑺 𝟐 + 𝝎 𝟎
𝟐
(𝑺 +
𝒄
𝟐𝒎)
𝟐
+ (
𝑲
𝒎 − (
𝒄
𝟐𝒎)
𝟐
)
La solución de la expresión que está dentro de los paréntesis, ya se obtuvo, así que se
trabaja con la parte en negrita.
𝑿(𝒔) =
𝐹0
𝑚 𝜔0
(𝑆2 + 𝜔0
2) ( (𝑆 +
𝑐
2𝑚)
2
+ (
𝐾
𝑚 − (
𝑐
2𝑚)
2
))
𝑿(𝒔) =
𝐹0
𝑚
𝜔0
(𝑆2 + 𝜔0
2)( (𝑆 + 𝜉𝜔)2 + 𝜔 𝐷
2)
=
𝐹0
𝑚
𝜔0.
1
(𝑆2 + 𝜔0
2)
.
1
( (𝑆 + 𝜉𝜔)2 + 𝜔 𝐷
2)
Para realizar la Inversa de Laplace de esta Ecuación, no hay regla o alguna propiedad
directa, entonces para resolverlo, se utilizará el Teorema de Convolución aplicado a Laplace
Inversa:
L−1{𝐹(𝑡)} ∗ L−1{𝐺(𝑡)} = f(t) ∗ 𝑔(𝑡) = ∫ f(𝐱). 𝑔(𝑡 − 𝒙) 𝑑𝑥
𝑡
0
- Primero se aplica Inversa a la expresión por separado:
𝐹0
𝑚
𝜔0 (L−1
{
1
(𝑆2 + 𝜔0
2)
} ∗ L−1
{
1
( (𝑆 + 𝜉𝜔)2 + 𝜔 𝐷
2)
})

6. - efectúo la Inversa de Laplace con las siguientes propiedades:
𝐿−1
{
1
𝑆2 + 𝑎2} = sin 𝑎𝑡 𝑦 𝐿−1
{
𝑧
(𝑆 − 𝑎)2 + 𝑧2} = 𝑒 𝑎𝑡
. sin 𝑧𝑡
Donde:
𝑿 𝑭𝑪 =
𝐹0
𝑚
𝜔0. (
1
𝜔0
sin 𝜔0 𝑡 ∗
1
𝜔 𝐷
. 𝑒−𝜉𝜔𝑡
. sin 𝜔 𝐷) =
𝐹0
𝑚
𝝎 𝟎.
1
𝜔 𝐷 𝝎 𝟎
(sin 𝜔0 𝑡 ∗. 𝑒−𝜉𝜔𝑡
. sin 𝜔 𝐷 𝑡)
𝑿 𝑭𝑪 =
𝐹0
𝑚𝜔 𝐷
(sin 𝜔0 𝑡 ∗ 𝑒−𝜉𝜔𝑡
. sin 𝜔 𝐷 𝑡)
Aplicando TC: Se realiza el respectivo cambio de variables: ”x” y “t – x”
𝑭𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝑪𝒐𝒏𝒗𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏: 𝑭𝑪
𝑭𝑪 =
𝐹0
𝑚𝜔 𝐷
∫ sin 𝜔0 𝒙 ∗ 𝑒−𝜉𝜔(𝒕−𝒙)
. sin 𝜔 𝐷(𝒕 − 𝒙) 𝑑𝑥
𝑡
0
Obs: El desarrollo de esta integral es muy Operativa, se recomienda utilizar algún Software
para facilitar su cálculo.
Propiedades Utilizadas: