SlideShare una empresa de Scribd logo
Moisés Villena Muñoz Vectores en n
IRIRIR ,,, 32

309
12
12.1 DEFINICIÓN
12.2 IGUALDAD
12.3 OPERACIONES
12.4 MAGNITUD
12.5 VECTORES UNITARIOS
12.6 VECTORES ORTOGONALES
12.7 VECTORES ORTONORMALES
12.8 COMBINACIÓN LINEAL
Los pares ordenados, que ya se han tratado, son los que llamaremos vectores de
2
IR . Pero el interés ahora es ser más generales.
Moisés Villena Muñoz Vectores en n
IRIRIR ,,, 32

310
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Defina vectores en IR², IR³, ... IRn.
 Opere (sume, reste, multiplique por escalarares) Vectores en IR², IR³, ... IRn
 Defina norma de un vector, vectores unitarios.
 Obtenga un vector unitario a partir de un vector dado.
 Exprese un vector en combinación lineal de otros vectores dados.
 Defina vectores ortogonales.
 Determine si dos vectores son ortogonales o no.
12.1 DEFINICIÓN
Los vectores en 2
IR , 3
IR ,…, n
IR , son conjuntos ordenados de
números reales de:
• 2 componentes: →),( yx Par ordenado. Vector en
2
IR .
• 3 componentes: →),,( zyx Vector en
3
IR .
• 4 componentes: →),,,( 4321 xxxx Vector en
4
IR .
Y así,
• " n" componentes: →),,,,( 321 nxxxx  Vector en
n
IR .
12.2 IGUALDAD
Sean ( )nxxxxV ,,,, 3211 = y ( )nyyyyV ,,,, 3212 =
vectores de n
IR . Entonces 21 VV = , si y sólo si:
( ) ( ) ( ) ( )nn yxyxyxyx =∧∧=∧=∧= 332211
12.3 OPERACIONES
12.3.1. SUMA Y RESTA
Sean ( )nxxxxV ,,,, 3211 = y ( )nyyyyV ,,,, 3212 =
vectores de n
IR . Entonces:
=+ 21 VV ( )nn yxyxyxyx ++++ ,,,, 332211 
=− 21 VV ( )nn yxyxyxyx −−−− ,,,, 332211 
Ejemplo
Sean ( )1,2,51 −=V y ( )2,0,32 −=V , dos vectores de 3
IR , hallar 21 VV + y
21 VV −
SOLUCIÓN:
Moisés Villena Muñoz Vectores en n
IRIRIR ,,, 32

311
Sumando algebraicamente las respectivas componentes tenemos:
( ))2(1,02,3521 −+++−=+VV )1,2,2( −−=
( ) ( )3,2,8)2(1,02,3521 −=−−−−−=−VV
12.3.1.1. Propiedades
Sean 321 ,, VVV vectores de n
IR , entonces:
1. =+ 21 VV 12 VV +
2. ( ) ( ) 321321 VVVVVV ++=++
3. 11 0 VV =+ , donde ( ),0,0,00 = .
4. ( ) 011 =−+ VV
12.3.2. MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR
Sea IR∈α y sea ( )nxxxxV ,,,, 321 = un vector de
n
IR . Entonces:
( )nxxxxV ,,,, 321 α=α
( )nxxxxV αααα=α ,,,, 321 
Ejemplo
Sea ( )1,2,5−=V un vector de 3
IR , hallar V3
RESOLUCIÓN:
( )
( )3,6,153
1,2,533
−=
−=
V
V
12.3.2.1. Propiedades
Sean 21,VV vectores de n
IR y IR∈βα, , entonces:
1. ( ) 2121 VVVV α+α=+α
2. ( )( ) ( ) ( )111 VVV αβ=βα=αβ
Ejemplo
Sean 1V y 2V dos vectores de 3
IR tales que: ( )2,0,31 −=V y )1,2,5(2 −=V , Hallar
el vector 21 32 VVV −=
SOLUCIÓN:
( ) ( )
( )7,6,21
3,6,154,0,6
32 21
−−=
−−−=
−=
V
V
VVV
Moisés Villena Muñoz Vectores en n
IRIRIR ,,, 32

312
Ejercicio Propuesto 12.1
Sean ( ) ( ) ( )1,4,2,5,2,3,3,2,1 −=−=−= wvu . Calcular:
a) vu − c) vwwu −−−
b) wv 53 + d) wvu 742 +−
12.3.3. PRODUCTO PUNTO (PRODUCTO ESCALAR)
Sean ( )nxxxxV ,,,, 3211 = y ( )nyyyyV ,,,, 3212 =
vectores de n
IR . Entonces el producto punto
de 1V y 2V , denotado como 21 VV • , se define
como:
( ) ( )
IRyxyxyxyxVV
yyyyxxxxVV
nn
nn
∈++++=•
•⋅=•


33121121
32132121 ,,,,,,,,
Note que el resultado del producto punto es un número real.
Ejemplo 1
Hallar 21 VV • para ( )2,0,31 −=V y )1,2,5(2 −=V .
SOLUCIÓN:
17
2015
)1)(2()2)(0()5)(3(
)1,2,5()2,0,3(
21
21
21
21
−=•
−+−=•
−++−=•
−•−=•
VV
VV
VV
VV
Ejemplo 2
Sean 1V y 2V dos vectores de 4
IR tales que: ( )1,3,1,21 −−=V y ( )2,1,0,32 −=V .
Hallar 21 VV •
SOLUCIÖN:
11
)2)(1()1)(3()0)(1()3)(2(
21
21
−=•
−+−++−=•
VV
VV
12.3.3.1. Propiedades
Sean 321 ,, VVV vectores de n
IR , entonces:
1. 1221 VVVV •=•
Moisés Villena Muñoz Vectores en n
IRIRIR ,,, 32

313
2. ( ) 3121321 VVVVVVV •+•=+•
3. )()()( 212121 VVVVVV ααα •=•=⋅• , donde IR∈α
Ejercicio Propuesto 12.2
1. Dados los vectores: V1=(1, 2, -1) y V2=(2, 0, 1 ), el resultado de la operación:
(3V1-2V2).(V2-2V1) es:
a) 13 b) -39 c) -68 d) 39 e) -13
12.4 MAGNITUD (NORMA) DE UN VECTOR
Si ( ) n
n IRxxxxV ∈= ,,,, 321  , entonces la NORMA del
vector V , denotada V , es:
22
3
2
2
2
1 nxxxxV ++++= 
Ejemplo
La norma del vector )3,2,1(=V sería:
14
321 222
=
++=
V
V
Veamos que sucede si realizamos el producto punto de un vector
V consigo mismo
( ) ( )nn xxxxxxxxVV ,,,,,,,, 321321  •=•
22
3
2
2
2
1 nxxxxVV ++++=• 
2
VVV =•
12.5 VECTORES UNITARIOS
Un vector u es UNITARIO si y sólo sí su
norma es igual a 1, es decir: 1=u
Un vector cualquiera V puede ser expresado de la siguiente
forma uVV = por tanto
V
V
u =
Ejemplo
Hallar un vector unitario u para el vector )3,2,1(=V
Moisés Villena Muñoz Vectores en n
IRIRIR ,,, 32

314
SOLUCIÓN:
Aplicando la fórmula
V
V
u = tenemos:






=
=
=
14
3
,
14
2
,
14
1
)3,2,1(
14
1
14
)3,2,1(
u
u
u
comprobando
1
14
14
14
9
14
4
14
1
=
=
++=
u
u
u
12.6 VECTORES ORTOGONALES
Sean 21,VV dos vectores de n
IR . Entonces 1V
y 2V son ortogonales si y sólo si: 021 =•VV
Ejemplo
Los vectores )1,2,1(1 −=V y )1,2,3(2 −=V son ortogonales, porque
0)1)(1()2)(2()3)(1(21 =−++−=•VV
Este concepto puede se utilizado en problemas de diseño, como el
siguiente:
Ejercicio resuelto
Dados los vectores ( )3,2,12
1 −= aV y ( )24
5,,22 aV −−= , encontrar los valores
de "a" para que sean ortogonales.
SOLUCIÓN:
Para que 21 VV ∧ sean ortogonales se debe cumplir que 021 =•VV , entonces
( ) 8
52
24
52
21 222),,2(3,2,1 +−+−=−−•−=• aaaaVV por lo tanto
4
3
4
7
0211616
022
2
8
212
=∨−=
=−+
=+−−
aa
aa
aa
Ejercicios Propuestos 12.3
1. Sean los vectores ( ) ( )2,1,4,3,2,1 −=−= BA y ( )3,0,2 −=C encontrar el valor de t , tal que tBA +
sea ortogonal a C.
Moisés Villena Muñoz Vectores en n
IRIRIR ,,, 32

315
2. Si se tienen los vectores ( )0,2,11 −=V y ( )3,2,12 −−= abV , si 1V y 2V son ortogonales y






−−−=
2
3
,1,221 aaVV , entonces los valores de a y b , respectivamente son:.
a) 2 y
2
3
b)
2
1 y -2 c) -1 y
2
1
d) -
2
1
y -1 e) -
2
1
y 1
12.7 VECTORES ORTONORMALES
Sean nVVV ,...,, 21 vectores de n
IR . Entonces 1V ,
2V ,…, nV son ORTONORMALES si y sólo si:



≠=•
==•
jicuandoVV
jicuandoVV
ii
ii
0
1
Es decir, un conjunto de vectores es ortonormal si y sólo si está
constituido por vectores que son unitarios y ortogonales a la vez.
Ejemplo
Los vectores )1,0,0(ˆ,)0,1,0(ˆ,)0,0,1(ˆ === kji son ortonormales, porque
0=•=•=• kjkiji y además 1=== kji
12.8 COMBINACIÓN LINEAL
Algo interesante ocurre cuando descomponemos al vector
( )zyxV ,,= de la siguiente manera:
)1,0,0()0,1,0()0,0,1( zyxV ++=
kzjyixV ++=
Es decir que el vector ( )3,5,2 −=V también se lo puede denotar de la forma kjiV 352 +−=
Sean nVVVV ,,,, 321  vectores de n
IR , entonces
una combinación lineal de estos vectores es
una expresión de la forma:
nnVaVaVaVa ++++ 332211
donde IRaaaa n ∈,...,,, 321
Moisés Villena Muñoz Vectores en n
IRIRIR ,,, 32

316
Ejercicios propuestos 12.4
1. Sean los vectores ( ) ( ) ( )7,1,4,1,3,2,0,3,1 321 −−=== VVV , entonces los valores de a y b para que
la combinación 213 bVaVV += sea verdadera:
a) 7.
3
20 == ba d)
3
13.
3
14 =−= ba
b) 7.18 −== ba e) Elija esta opción si a y b no existe
c) 7.
3
20 −== ba
2. Dados los vectores ( ) ( ) ( ) ( )3,5,2;7,1,0;0,2,2;2,2,1 321 −==−=−= VVVV , entonces
para que se cumpla que VVkVkVk =++ 332211 ; el valor de 321 kkk ++ debe ser:
a) -2 b) -5 c) -1 d) 5 e) 2
Misceláneos
1. Sean los vectores de 3
R , ( )1,2,11 −=v , ( )1,2,12 −−=v y ( )0,1,03 −=v . Entonces el valor de
( ) ( )[ ]321
2
221 22 vvvvvv •+−•
a) ( )0,24,0 − b)-24 c) ( )0,0,24 d)12 e)24
2. Sean 1V , 2V vectores de 2
R , tales que: ( )2,51 =V y ( )2,72 −=V . Entonces un vector 3V tal que:
3831 =•VV y 3423 =•VV es:
a) ( )6,43 =V b) ( )9,63 =V c) ( )4,63 =V
d) ( )0,63 =V e) ( )9,43 =V
3. Sean 21,VV y 3V vectores de 3
R tales que: ( )2,1,31 =V , ( )1,1,22 −=V y 213 2VbVV += .
Entonces el VALOR de “ b ” para que 3V sea ortogonal a 2V es:
a)
7
5− b)
7
2− c)
5
12 d)
12
5− e)
5
12−
4. Sea los vectores de: ( )1,3,1 −= kkV y ( )kV ,1,32 −= . Determine los valores de k tales que 1V y
2V sean ORTOGONALES.
a)3 y 1 b)3 y -1 c)-3 y -1 d)-3 y 1 e)0 y -3
5. Dados los vectores 5,1,46,4,32,4,3 321 −=−=−−= VVV . Halle un vector 4V tal que
4321 VVVV +++ = 5,4,1−
a) 8,3,5 −−− b) 8,3,5 −− c) 8,3,5 −−
d) 8,3,5 −− e) 6,3,5 −−−
6. Sean 1V , 2V y 3V vectores de 3
IR tales que: ( )1,2,31 −=V , ( )0,1,52 −=V y ( )0,4.03 =V .
Entonces al efectuar la operación ( ) ( ) 2
33221
2
1 2643 VVVVVV −•−•− se obtiene como
resultado:
a)54 b)110 c)84 d)184 e)52
7. Sean los vectores de 3
R , ( )4,3,21 −=V , ( )1,3,22 −=V , ( )2,8,43 =V , ( )0,0,14 =V . Entonces un
vector V tal que 4321 2 VVVVV =+−− , es:
a) ( )4,17,7 −=V b) ( )9,8,6=V c) ( )9,8,6=V
d) ( )4,17,7−=V e) ( )4,17,7 −−=V
8. Sean 1V y 2V vectores en 3
IR , tales que 1,1,21 =V y 1,1,12 =V . Una de las siguientes
proposiciones es VERDADERA identifíquela:
a) 1V y 2V son ortogonales.
b) 1V y 2V son paralelos.
Moisés Villena Muñoz Vectores en n
IRIRIR ,,, 32

317
c) 2332 12 =− VV .
d) 1,0,132 12 −=− VV
e) 332 12 =− VV .
9. La SUMA DE LOS VALORES de " a " que hacen que los vectores 1,3,11 aaV −= y 3,1,2 −= aV
SEAN ORTOGONALES, es:
a)-3 b)-1 c)-2 d) 0 e) 3

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Soluciones por sustituciones. ED de Bernoulli
Soluciones por sustituciones. ED de BernoulliSoluciones por sustituciones. ED de Bernoulli
Soluciones por sustituciones. ED de Bernoulli
Gabriel Requelme
 
Bloque4a funciones variasvariables
Bloque4a funciones variasvariablesBloque4a funciones variasvariables
Bloque4a funciones variasvariables
Juan Luis Gallo
 
Tabla de integrales
Tabla de integralesTabla de integrales
Tabla de integrales
Alejandra Luna
 
Newton Raphson-ejercicios resueltos.
Newton Raphson-ejercicios resueltos.Newton Raphson-ejercicios resueltos.
Newton Raphson-ejercicios resueltos.
Eliaquim Oncihuay Salazar
 
Transformada de Laplace ejercicios resueltos
Transformada de Laplace ejercicios resueltosTransformada de Laplace ejercicios resueltos
Transformada de Laplace ejercicios resueltos
Pedro González
 
Variacion De Parametros
Variacion De ParametrosVariacion De Parametros
Variacion De Parametros
CETI
 
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias...
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias...Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias...
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias...
Oscar Lopez
 
Integrales multiples
Integrales multiplesIntegrales multiples
Integrales multiples
Luis Carlos Rojas Flórez
 
ecuaciones diferenciales de variables separables y ecuaciones diferenciales r...
ecuaciones diferenciales de variables separables y ecuaciones diferenciales r...ecuaciones diferenciales de variables separables y ecuaciones diferenciales r...
ecuaciones diferenciales de variables separables y ecuaciones diferenciales r...
ÁLGEBRA LINEAL ECUACIONES DIFERENCIALES
 
Integrales complejas
Integrales complejasIntegrales complejas
Integrales complejas
Cristian Guatemal
 
Bernoulli y ricatti
Bernoulli y ricattiBernoulli y ricatti
Bernoulli y ricatti
Tensor
 
Diferenciación por 3 y 5 puntos
Diferenciación por 3 y 5 puntosDiferenciación por 3 y 5 puntos
Diferenciación por 3 y 5 puntos
alan moreno
 
Ecuaciones diferenciales de bernoulli
Ecuaciones diferenciales de bernoulliEcuaciones diferenciales de bernoulli
Ecuaciones diferenciales de bernoulli
AlexCoeto
 
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo ordenEcuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Kike Prieto
 
Ejemplo del Método de Falsa Posición
Ejemplo del Método de Falsa PosiciónEjemplo del Método de Falsa Posición
Ejemplo del Método de Falsa Posición
Daniela Medina
 
Punto Fijo
Punto FijoPunto Fijo
Punto Fijo
Francisco Carrillo
 
Reduccion de orden
Reduccion de ordenReduccion de orden
Reduccion de orden
jackytas7
 
ejercicios-resueltos-interpolacion-polinomial
ejercicios-resueltos-interpolacion-polinomialejercicios-resueltos-interpolacion-polinomial
ejercicios-resueltos-interpolacion-polinomial
Novato de la Weeb Fox Weeb
 
ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES Y
ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES YECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES Y
ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES Y
Samir Velasquez Quispe
 
Ejercicios resueltos edo homogéneas
Ejercicios resueltos edo homogéneasEjercicios resueltos edo homogéneas
Ejercicios resueltos edo homogéneas
Yerikson Huz
 

La actualidad más candente (20)

Soluciones por sustituciones. ED de Bernoulli
Soluciones por sustituciones. ED de BernoulliSoluciones por sustituciones. ED de Bernoulli
Soluciones por sustituciones. ED de Bernoulli
 
Bloque4a funciones variasvariables
Bloque4a funciones variasvariablesBloque4a funciones variasvariables
Bloque4a funciones variasvariables
 
Tabla de integrales
Tabla de integralesTabla de integrales
Tabla de integrales
 
Newton Raphson-ejercicios resueltos.
Newton Raphson-ejercicios resueltos.Newton Raphson-ejercicios resueltos.
Newton Raphson-ejercicios resueltos.
 
Transformada de Laplace ejercicios resueltos
Transformada de Laplace ejercicios resueltosTransformada de Laplace ejercicios resueltos
Transformada de Laplace ejercicios resueltos
 
Variacion De Parametros
Variacion De ParametrosVariacion De Parametros
Variacion De Parametros
 
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias...
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias...Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias...
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias...
 
Integrales multiples
Integrales multiplesIntegrales multiples
Integrales multiples
 
ecuaciones diferenciales de variables separables y ecuaciones diferenciales r...
ecuaciones diferenciales de variables separables y ecuaciones diferenciales r...ecuaciones diferenciales de variables separables y ecuaciones diferenciales r...
ecuaciones diferenciales de variables separables y ecuaciones diferenciales r...
 
Integrales complejas
Integrales complejasIntegrales complejas
Integrales complejas
 
Bernoulli y ricatti
Bernoulli y ricattiBernoulli y ricatti
Bernoulli y ricatti
 
Diferenciación por 3 y 5 puntos
Diferenciación por 3 y 5 puntosDiferenciación por 3 y 5 puntos
Diferenciación por 3 y 5 puntos
 
Ecuaciones diferenciales de bernoulli
Ecuaciones diferenciales de bernoulliEcuaciones diferenciales de bernoulli
Ecuaciones diferenciales de bernoulli
 
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo ordenEcuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
 
Ejemplo del Método de Falsa Posición
Ejemplo del Método de Falsa PosiciónEjemplo del Método de Falsa Posición
Ejemplo del Método de Falsa Posición
 
Punto Fijo
Punto FijoPunto Fijo
Punto Fijo
 
Reduccion de orden
Reduccion de ordenReduccion de orden
Reduccion de orden
 
ejercicios-resueltos-interpolacion-polinomial
ejercicios-resueltos-interpolacion-polinomialejercicios-resueltos-interpolacion-polinomial
ejercicios-resueltos-interpolacion-polinomial
 
ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES Y
ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES YECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES Y
ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES Y
 
Ejercicios resueltos edo homogéneas
Ejercicios resueltos edo homogéneasEjercicios resueltos edo homogéneas
Ejercicios resueltos edo homogéneas
 

Destacado

Cap11 polinomiales
Cap11 polinomialesCap11 polinomiales
Cap11 polinomiales
nivelacion008
 
Cap 7 desigualdades
Cap 7 desigualdadesCap 7 desigualdades
Cap 7 desigualdades
nivelacion008
 
Cap16 func trigon
Cap16 func trigonCap16 func trigon
Cap16 func trigon
nivelacion008
 
Cap 5 numeros
Cap 5 numerosCap 5 numeros
Cap 5 numeros
nivelacion008
 
Cap 1 logica
Cap 1 logicaCap 1 logica
Cap 1 logica
nivelacion008
 
Cap14 siste. linel.
Cap14 siste. linel. Cap14 siste. linel.
Cap14 siste. linel.
nivelacion008
 
Cap 8 numeros naturales
Cap 8 numeros naturalesCap 8 numeros naturales
Cap 8 numeros naturales
nivelacion008
 
Cap13 matrices
Cap13 matricesCap13 matrices
Cap13 matrices
nivelacion008
 
C ap15 circunferencia
C ap15 circunferenciaC ap15 circunferencia
C ap15 circunferencia
nivelacion008
 
N cap 1 logica
N cap 1 logicaN cap 1 logica
N cap 1 logica
Student
 
Cap 4 relaciones y funciones
Cap 4 relaciones y funcionesCap 4 relaciones y funciones
Cap 4 relaciones y funciones
nivelacion008
 
Cap 6 ecuaciones
Cap 6 ecuacionesCap 6 ecuaciones
Cap 6 ecuaciones
nivelacion008
 
Cap10 func exponencial
Cap10 func exponencialCap10 func exponencial
Cap10 func exponencial
nivelacion008
 
Cap17 geometría plana
Cap17 geometría planaCap17 geometría plana
Cap17 geometría plana
nivelacion008
 
Cap 2 conjuntos
Cap 2 conjuntosCap 2 conjuntos
Cap 2 conjuntos
nivelacion008
 
Cap 9 función de una variable real
Cap 9 función de una variable realCap 9 función de una variable real
Cap 9 función de una variable real
nivelacion008
 
Cap 3 logica y conjuntos
Cap 3 logica y conjuntosCap 3 logica y conjuntos
Cap 3 logica y conjuntos
nivelacion008
 
Respuestas De Las Derivadas
Respuestas De Las DerivadasRespuestas De Las Derivadas
Respuestas De Las Derivadas
ERICK CONDE
 
Respuestas.ejercicios
Respuestas.ejerciciosRespuestas.ejercicios
Respuestas.ejercicios
Romulo Sevilla
 
Solucionario fundamentos matematicas ESPOL
Solucionario fundamentos matematicas ESPOLSolucionario fundamentos matematicas ESPOL
Solucionario fundamentos matematicas ESPOL
Steeven Rafael Pinargote
 

Destacado (20)

Cap11 polinomiales
Cap11 polinomialesCap11 polinomiales
Cap11 polinomiales
 
Cap 7 desigualdades
Cap 7 desigualdadesCap 7 desigualdades
Cap 7 desigualdades
 
Cap16 func trigon
Cap16 func trigonCap16 func trigon
Cap16 func trigon
 
Cap 5 numeros
Cap 5 numerosCap 5 numeros
Cap 5 numeros
 
Cap 1 logica
Cap 1 logicaCap 1 logica
Cap 1 logica
 
Cap14 siste. linel.
Cap14 siste. linel. Cap14 siste. linel.
Cap14 siste. linel.
 
Cap 8 numeros naturales
Cap 8 numeros naturalesCap 8 numeros naturales
Cap 8 numeros naturales
 
Cap13 matrices
Cap13 matricesCap13 matrices
Cap13 matrices
 
C ap15 circunferencia
C ap15 circunferenciaC ap15 circunferencia
C ap15 circunferencia
 
N cap 1 logica
N cap 1 logicaN cap 1 logica
N cap 1 logica
 
Cap 4 relaciones y funciones
Cap 4 relaciones y funcionesCap 4 relaciones y funciones
Cap 4 relaciones y funciones
 
Cap 6 ecuaciones
Cap 6 ecuacionesCap 6 ecuaciones
Cap 6 ecuaciones
 
Cap10 func exponencial
Cap10 func exponencialCap10 func exponencial
Cap10 func exponencial
 
Cap17 geometría plana
Cap17 geometría planaCap17 geometría plana
Cap17 geometría plana
 
Cap 2 conjuntos
Cap 2 conjuntosCap 2 conjuntos
Cap 2 conjuntos
 
Cap 9 función de una variable real
Cap 9 función de una variable realCap 9 función de una variable real
Cap 9 función de una variable real
 
Cap 3 logica y conjuntos
Cap 3 logica y conjuntosCap 3 logica y conjuntos
Cap 3 logica y conjuntos
 
Respuestas De Las Derivadas
Respuestas De Las DerivadasRespuestas De Las Derivadas
Respuestas De Las Derivadas
 
Respuestas.ejercicios
Respuestas.ejerciciosRespuestas.ejercicios
Respuestas.ejercicios
 
Solucionario fundamentos matematicas ESPOL
Solucionario fundamentos matematicas ESPOLSolucionario fundamentos matematicas ESPOL
Solucionario fundamentos matematicas ESPOL
 

Similar a Cap12 vectores

Vectores en r3
Vectores en r3Vectores en r3
Vectores en r3
damibi06
 
1 vectores-en-r3
1 vectores-en-r31 vectores-en-r3
1 vectores-en-r3
Juan Victor Chipana Bramon
 
1 vectores-en-r3
1 vectores-en-r31 vectores-en-r3
1 vectores-en-r3
Freddy Salazar Carrillo
 
1 vectores-en-r3
1 vectores-en-r31 vectores-en-r3
1 vectores-en-r3
Castañeda Samanamu
 
1 vectores en r3
1 vectores en r31 vectores en r3
1 vectores en r3
Karina Ortega Aviles
 
Vectores en R3
Vectores en R3Vectores en R3
Vectores en R3
Kike Prieto
 
Ejercicios detallados del obj 6 mat iii 733
Ejercicios detallados del obj 6 mat iii  733 Ejercicios detallados del obj 6 mat iii  733
Ejercicios detallados del obj 6 mat iii 733
Jonathan Mejías
 
PPT de Teorìa Semana 02.pdf mate. basica
PPT de Teorìa Semana 02.pdf mate. basicaPPT de Teorìa Semana 02.pdf mate. basica
PPT de Teorìa Semana 02.pdf mate. basica
IlianaMonzonespinola
 
Vectores
VectoresVectores
Vectores2 trabajo con vectores utilizando coordenadas y componentes
Vectores2 trabajo con vectores utilizando coordenadas y componentesVectores2 trabajo con vectores utilizando coordenadas y componentes
Vectores2 trabajo con vectores utilizando coordenadas y componentes
Arturo Iglesias Castro
 
N cap 6 ecuaciones
N cap 6 ecuacionesN cap 6 ecuaciones
N cap 6 ecuaciones
Student
 
Ejercicios cap 009
Ejercicios cap 009Ejercicios cap 009
Ejercicios cap 009
Bleakness
 
Ht 07-rectas en el espacio - solucionario
Ht 07-rectas en el espacio - solucionarioHt 07-rectas en el espacio - solucionario
Ht 07-rectas en el espacio - solucionario
Aléxandér Castillo
 
Vectores
VectoresVectores
Vectores
David Tibanta
 
Vectores rectas y planos
Vectores rectas y planosVectores rectas y planos
Vectores rectas y planos
Tensor
 
Algebra lineal-vectores-rectas-planos-rotaciones
Algebra lineal-vectores-rectas-planos-rotacionesAlgebra lineal-vectores-rectas-planos-rotaciones
Algebra lineal-vectores-rectas-planos-rotaciones
LUIS GABRIEL RODRIGUEZ HERNANDEZ
 
Ejercicios de ecuacion de un plano
Ejercicios de ecuacion de un planoEjercicios de ecuacion de un plano
Ejercicios de ecuacion de un plano
Blanca Hernandez Vega
 
Ejercicios de ecuacion de un plano
Ejercicios de ecuacion de un planoEjercicios de ecuacion de un plano
Ejercicios de ecuacion de un plano
Blanca Hernandez Vega
 
Ejercicios de ecuacion de un plano
Ejercicios de ecuacion de un planoEjercicios de ecuacion de un plano
Ejercicios de ecuacion de un plano
Blanca Hernandez Vega
 
Producto vectorial.pdfttttttttttttttttttt
Producto vectorial.pdftttttttttttttttttttProducto vectorial.pdfttttttttttttttttttt
Producto vectorial.pdfttttttttttttttttttt
ViolenciaLaboral1
 

Similar a Cap12 vectores (20)

Vectores en r3
Vectores en r3Vectores en r3
Vectores en r3
 
1 vectores-en-r3
1 vectores-en-r31 vectores-en-r3
1 vectores-en-r3
 
1 vectores-en-r3
1 vectores-en-r31 vectores-en-r3
1 vectores-en-r3
 
1 vectores-en-r3
1 vectores-en-r31 vectores-en-r3
1 vectores-en-r3
 
1 vectores en r3
1 vectores en r31 vectores en r3
1 vectores en r3
 
Vectores en R3
Vectores en R3Vectores en R3
Vectores en R3
 
Ejercicios detallados del obj 6 mat iii 733
Ejercicios detallados del obj 6 mat iii  733 Ejercicios detallados del obj 6 mat iii  733
Ejercicios detallados del obj 6 mat iii 733
 
PPT de Teorìa Semana 02.pdf mate. basica
PPT de Teorìa Semana 02.pdf mate. basicaPPT de Teorìa Semana 02.pdf mate. basica
PPT de Teorìa Semana 02.pdf mate. basica
 
Vectores
VectoresVectores
Vectores
 
Vectores2 trabajo con vectores utilizando coordenadas y componentes
Vectores2 trabajo con vectores utilizando coordenadas y componentesVectores2 trabajo con vectores utilizando coordenadas y componentes
Vectores2 trabajo con vectores utilizando coordenadas y componentes
 
N cap 6 ecuaciones
N cap 6 ecuacionesN cap 6 ecuaciones
N cap 6 ecuaciones
 
Ejercicios cap 009
Ejercicios cap 009Ejercicios cap 009
Ejercicios cap 009
 
Ht 07-rectas en el espacio - solucionario
Ht 07-rectas en el espacio - solucionarioHt 07-rectas en el espacio - solucionario
Ht 07-rectas en el espacio - solucionario
 
Vectores
VectoresVectores
Vectores
 
Vectores rectas y planos
Vectores rectas y planosVectores rectas y planos
Vectores rectas y planos
 
Algebra lineal-vectores-rectas-planos-rotaciones
Algebra lineal-vectores-rectas-planos-rotacionesAlgebra lineal-vectores-rectas-planos-rotaciones
Algebra lineal-vectores-rectas-planos-rotaciones
 
Ejercicios de ecuacion de un plano
Ejercicios de ecuacion de un planoEjercicios de ecuacion de un plano
Ejercicios de ecuacion de un plano
 
Ejercicios de ecuacion de un plano
Ejercicios de ecuacion de un planoEjercicios de ecuacion de un plano
Ejercicios de ecuacion de un plano
 
Ejercicios de ecuacion de un plano
Ejercicios de ecuacion de un planoEjercicios de ecuacion de un plano
Ejercicios de ecuacion de un plano
 
Producto vectorial.pdfttttttttttttttttttt
Producto vectorial.pdftttttttttttttttttttProducto vectorial.pdfttttttttttttttttttt
Producto vectorial.pdfttttttttttttttttttt
 

Último

fichas descriptivas para primaria 2023-2024
fichas descriptivas para primaria 2023-2024fichas descriptivas para primaria 2023-2024
fichas descriptivas para primaria 2023-2024
Verito51
 
PLAN ANUAL DE TRABAJO (PAT) 2024 MINEDU PERÚ
PLAN ANUAL DE TRABAJO (PAT) 2024 MINEDU PERÚPLAN ANUAL DE TRABAJO (PAT) 2024 MINEDU PERÚ
PLAN ANUAL DE TRABAJO (PAT) 2024 MINEDU PERÚ
Ferrer17
 
ACERTIJO MATEMÁTICO DEL MEDALLERO OLÍMPICO. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
ACERTIJO MATEMÁTICO DEL MEDALLERO OLÍMPICO. Por JAVIER SOLIS NOYOLAACERTIJO MATEMÁTICO DEL MEDALLERO OLÍMPICO. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
ACERTIJO MATEMÁTICO DEL MEDALLERO OLÍMPICO. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
JAVIER SOLIS NOYOLA
 
Cultura Organizacional con Responsabilidad Social Empresarial.pdf
Cultura Organizacional con Responsabilidad Social Empresarial.pdfCultura Organizacional con Responsabilidad Social Empresarial.pdf
Cultura Organizacional con Responsabilidad Social Empresarial.pdf
JonathanCovena1
 
Introducción a las herramientas de Google Apps (3 de julio de 2024)
Introducción a las herramientas de Google Apps (3 de julio de 2024)Introducción a las herramientas de Google Apps (3 de julio de 2024)
Introducción a las herramientas de Google Apps (3 de julio de 2024)
Cátedra Banco Santander
 
Enseñar a Nativos Digitales MP2 Ccesa007.pdf
Enseñar a Nativos Digitales MP2 Ccesa007.pdfEnseñar a Nativos Digitales MP2 Ccesa007.pdf
Enseñar a Nativos Digitales MP2 Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 
Flipped Classroom con TIC (1 de julio de 2024)
Flipped Classroom con TIC (1 de julio de 2024)Flipped Classroom con TIC (1 de julio de 2024)
Flipped Classroom con TIC (1 de julio de 2024)
Cátedra Banco Santander
 
Licencias de contenidos y propiedad intelectual (1 de julio de 2024)
Licencias de contenidos y propiedad intelectual (1 de julio de 2024)Licencias de contenidos y propiedad intelectual (1 de julio de 2024)
Licencias de contenidos y propiedad intelectual (1 de julio de 2024)
Cátedra Banco Santander
 
Los Formularios de Google: creación, gestión y administración de respuestas (...
Los Formularios de Google: creación, gestión y administración de respuestas (...Los Formularios de Google: creación, gestión y administración de respuestas (...
Los Formularios de Google: creación, gestión y administración de respuestas (...
Cátedra Banco Santander
 
Taller Intensivo de Formación Continua 2024
Taller Intensivo de Formación Continua 2024Taller Intensivo de Formación Continua 2024
Taller Intensivo de Formación Continua 2024
maria larios
 
Sesión Un día en el ministerio de Jesús.pdf
Sesión Un día en el ministerio de Jesús.pdfSesión Un día en el ministerio de Jesús.pdf
Sesión Un día en el ministerio de Jesús.pdf
https://gramadal.wordpress.com/
 
Transformando la Evaluacion con Inteligencia Artificial Ccesa007.pdf
Transformando la Evaluacion con Inteligencia Artificial  Ccesa007.pdfTransformando la Evaluacion con Inteligencia Artificial  Ccesa007.pdf
Transformando la Evaluacion con Inteligencia Artificial Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 
EJEMPLOS DE FLORA Y FAUNA DE LA COSTA PERUANA
EJEMPLOS DE FLORA Y FAUNA DE LA COSTA PERUANAEJEMPLOS DE FLORA Y FAUNA DE LA COSTA PERUANA
EJEMPLOS DE FLORA Y FAUNA DE LA COSTA PERUANA
dairatuctocastro
 
Fichero Léxico / Pandemia Lingüística / USCO
Fichero Léxico / Pandemia Lingüística / USCOFichero Léxico / Pandemia Lingüística / USCO
Fichero Léxico / Pandemia Lingüística / USCO
mariahernandez632951
 
Presentación sobré la culturas Lima, la cultura Paracas y la cultura Vicús.
Presentación  sobré la culturas Lima,  la  cultura Paracas y la cultura Vicús.Presentación  sobré la culturas Lima,  la  cultura Paracas y la cultura Vicús.
Presentación sobré la culturas Lima, la cultura Paracas y la cultura Vicús.
Juan Luis Cunya Vicente
 
Discurso de Ceremonia de Graduación da la Generación 2021-2024.docx
Discurso de Ceremonia de Graduación da la Generación 2021-2024.docxDiscurso de Ceremonia de Graduación da la Generación 2021-2024.docx
Discurso de Ceremonia de Graduación da la Generación 2021-2024.docx
Centro de Bachillerato Tecnológico industrial y de servicios No. 209
 
IMAGENES SUBLIMINALES EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁ
IMAGENES SUBLIMINALES EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁIMAGENES SUBLIMINALES EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁ
IMAGENES SUBLIMINALES EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁ
Claude LaCombe
 
Lecciones 02 Un día en el ministerio de Jesús.docx
Lecciones 02 Un día en el ministerio de Jesús.docxLecciones 02 Un día en el ministerio de Jesús.docx
Lecciones 02 Un día en el ministerio de Jesús.docx
Alejandrino Halire Ccahuana
 
Semana 1 Derecho a interponer recursos y reparación.
Semana 1 Derecho a interponer recursos y reparación.Semana 1 Derecho a interponer recursos y reparación.
Semana 1 Derecho a interponer recursos y reparación.
SergioAlfrediMontoya
 
Reglamento del salón - Intensa-mente.pdf
Reglamento del salón - Intensa-mente.pdfReglamento del salón - Intensa-mente.pdf
Reglamento del salón - Intensa-mente.pdf
Adri G Ch
 

Último (20)

fichas descriptivas para primaria 2023-2024
fichas descriptivas para primaria 2023-2024fichas descriptivas para primaria 2023-2024
fichas descriptivas para primaria 2023-2024
 
PLAN ANUAL DE TRABAJO (PAT) 2024 MINEDU PERÚ
PLAN ANUAL DE TRABAJO (PAT) 2024 MINEDU PERÚPLAN ANUAL DE TRABAJO (PAT) 2024 MINEDU PERÚ
PLAN ANUAL DE TRABAJO (PAT) 2024 MINEDU PERÚ
 
ACERTIJO MATEMÁTICO DEL MEDALLERO OLÍMPICO. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
ACERTIJO MATEMÁTICO DEL MEDALLERO OLÍMPICO. Por JAVIER SOLIS NOYOLAACERTIJO MATEMÁTICO DEL MEDALLERO OLÍMPICO. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
ACERTIJO MATEMÁTICO DEL MEDALLERO OLÍMPICO. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
 
Cultura Organizacional con Responsabilidad Social Empresarial.pdf
Cultura Organizacional con Responsabilidad Social Empresarial.pdfCultura Organizacional con Responsabilidad Social Empresarial.pdf
Cultura Organizacional con Responsabilidad Social Empresarial.pdf
 
Introducción a las herramientas de Google Apps (3 de julio de 2024)
Introducción a las herramientas de Google Apps (3 de julio de 2024)Introducción a las herramientas de Google Apps (3 de julio de 2024)
Introducción a las herramientas de Google Apps (3 de julio de 2024)
 
Enseñar a Nativos Digitales MP2 Ccesa007.pdf
Enseñar a Nativos Digitales MP2 Ccesa007.pdfEnseñar a Nativos Digitales MP2 Ccesa007.pdf
Enseñar a Nativos Digitales MP2 Ccesa007.pdf
 
Flipped Classroom con TIC (1 de julio de 2024)
Flipped Classroom con TIC (1 de julio de 2024)Flipped Classroom con TIC (1 de julio de 2024)
Flipped Classroom con TIC (1 de julio de 2024)
 
Licencias de contenidos y propiedad intelectual (1 de julio de 2024)
Licencias de contenidos y propiedad intelectual (1 de julio de 2024)Licencias de contenidos y propiedad intelectual (1 de julio de 2024)
Licencias de contenidos y propiedad intelectual (1 de julio de 2024)
 
Los Formularios de Google: creación, gestión y administración de respuestas (...
Los Formularios de Google: creación, gestión y administración de respuestas (...Los Formularios de Google: creación, gestión y administración de respuestas (...
Los Formularios de Google: creación, gestión y administración de respuestas (...
 
Taller Intensivo de Formación Continua 2024
Taller Intensivo de Formación Continua 2024Taller Intensivo de Formación Continua 2024
Taller Intensivo de Formación Continua 2024
 
Sesión Un día en el ministerio de Jesús.pdf
Sesión Un día en el ministerio de Jesús.pdfSesión Un día en el ministerio de Jesús.pdf
Sesión Un día en el ministerio de Jesús.pdf
 
Transformando la Evaluacion con Inteligencia Artificial Ccesa007.pdf
Transformando la Evaluacion con Inteligencia Artificial  Ccesa007.pdfTransformando la Evaluacion con Inteligencia Artificial  Ccesa007.pdf
Transformando la Evaluacion con Inteligencia Artificial Ccesa007.pdf
 
EJEMPLOS DE FLORA Y FAUNA DE LA COSTA PERUANA
EJEMPLOS DE FLORA Y FAUNA DE LA COSTA PERUANAEJEMPLOS DE FLORA Y FAUNA DE LA COSTA PERUANA
EJEMPLOS DE FLORA Y FAUNA DE LA COSTA PERUANA
 
Fichero Léxico / Pandemia Lingüística / USCO
Fichero Léxico / Pandemia Lingüística / USCOFichero Léxico / Pandemia Lingüística / USCO
Fichero Léxico / Pandemia Lingüística / USCO
 
Presentación sobré la culturas Lima, la cultura Paracas y la cultura Vicús.
Presentación  sobré la culturas Lima,  la  cultura Paracas y la cultura Vicús.Presentación  sobré la culturas Lima,  la  cultura Paracas y la cultura Vicús.
Presentación sobré la culturas Lima, la cultura Paracas y la cultura Vicús.
 
Discurso de Ceremonia de Graduación da la Generación 2021-2024.docx
Discurso de Ceremonia de Graduación da la Generación 2021-2024.docxDiscurso de Ceremonia de Graduación da la Generación 2021-2024.docx
Discurso de Ceremonia de Graduación da la Generación 2021-2024.docx
 
IMAGENES SUBLIMINALES EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁ
IMAGENES SUBLIMINALES EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁIMAGENES SUBLIMINALES EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁ
IMAGENES SUBLIMINALES EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁ
 
Lecciones 02 Un día en el ministerio de Jesús.docx
Lecciones 02 Un día en el ministerio de Jesús.docxLecciones 02 Un día en el ministerio de Jesús.docx
Lecciones 02 Un día en el ministerio de Jesús.docx
 
Semana 1 Derecho a interponer recursos y reparación.
Semana 1 Derecho a interponer recursos y reparación.Semana 1 Derecho a interponer recursos y reparación.
Semana 1 Derecho a interponer recursos y reparación.
 
Reglamento del salón - Intensa-mente.pdf
Reglamento del salón - Intensa-mente.pdfReglamento del salón - Intensa-mente.pdf
Reglamento del salón - Intensa-mente.pdf
 

Cap12 vectores

  • 1. Moisés Villena Muñoz Vectores en n IRIRIR ,,, 32  309 12 12.1 DEFINICIÓN 12.2 IGUALDAD 12.3 OPERACIONES 12.4 MAGNITUD 12.5 VECTORES UNITARIOS 12.6 VECTORES ORTOGONALES 12.7 VECTORES ORTONORMALES 12.8 COMBINACIÓN LINEAL Los pares ordenados, que ya se han tratado, son los que llamaremos vectores de 2 IR . Pero el interés ahora es ser más generales.
  • 2. Moisés Villena Muñoz Vectores en n IRIRIR ,,, 32  310 OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:  Defina vectores en IR², IR³, ... IRn.  Opere (sume, reste, multiplique por escalarares) Vectores en IR², IR³, ... IRn  Defina norma de un vector, vectores unitarios.  Obtenga un vector unitario a partir de un vector dado.  Exprese un vector en combinación lineal de otros vectores dados.  Defina vectores ortogonales.  Determine si dos vectores son ortogonales o no. 12.1 DEFINICIÓN Los vectores en 2 IR , 3 IR ,…, n IR , son conjuntos ordenados de números reales de: • 2 componentes: →),( yx Par ordenado. Vector en 2 IR . • 3 componentes: →),,( zyx Vector en 3 IR . • 4 componentes: →),,,( 4321 xxxx Vector en 4 IR . Y así, • " n" componentes: →),,,,( 321 nxxxx  Vector en n IR . 12.2 IGUALDAD Sean ( )nxxxxV ,,,, 3211 = y ( )nyyyyV ,,,, 3212 = vectores de n IR . Entonces 21 VV = , si y sólo si: ( ) ( ) ( ) ( )nn yxyxyxyx =∧∧=∧=∧= 332211 12.3 OPERACIONES 12.3.1. SUMA Y RESTA Sean ( )nxxxxV ,,,, 3211 = y ( )nyyyyV ,,,, 3212 = vectores de n IR . Entonces: =+ 21 VV ( )nn yxyxyxyx ++++ ,,,, 332211  =− 21 VV ( )nn yxyxyxyx −−−− ,,,, 332211  Ejemplo Sean ( )1,2,51 −=V y ( )2,0,32 −=V , dos vectores de 3 IR , hallar 21 VV + y 21 VV − SOLUCIÓN:
  • 3. Moisés Villena Muñoz Vectores en n IRIRIR ,,, 32  311 Sumando algebraicamente las respectivas componentes tenemos: ( ))2(1,02,3521 −+++−=+VV )1,2,2( −−= ( ) ( )3,2,8)2(1,02,3521 −=−−−−−=−VV 12.3.1.1. Propiedades Sean 321 ,, VVV vectores de n IR , entonces: 1. =+ 21 VV 12 VV + 2. ( ) ( ) 321321 VVVVVV ++=++ 3. 11 0 VV =+ , donde ( ),0,0,00 = . 4. ( ) 011 =−+ VV 12.3.2. MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR Sea IR∈α y sea ( )nxxxxV ,,,, 321 = un vector de n IR . Entonces: ( )nxxxxV ,,,, 321 α=α ( )nxxxxV αααα=α ,,,, 321  Ejemplo Sea ( )1,2,5−=V un vector de 3 IR , hallar V3 RESOLUCIÓN: ( ) ( )3,6,153 1,2,533 −= −= V V 12.3.2.1. Propiedades Sean 21,VV vectores de n IR y IR∈βα, , entonces: 1. ( ) 2121 VVVV α+α=+α 2. ( )( ) ( ) ( )111 VVV αβ=βα=αβ Ejemplo Sean 1V y 2V dos vectores de 3 IR tales que: ( )2,0,31 −=V y )1,2,5(2 −=V , Hallar el vector 21 32 VVV −= SOLUCIÓN: ( ) ( ) ( )7,6,21 3,6,154,0,6 32 21 −−= −−−= −= V V VVV
  • 4. Moisés Villena Muñoz Vectores en n IRIRIR ,,, 32  312 Ejercicio Propuesto 12.1 Sean ( ) ( ) ( )1,4,2,5,2,3,3,2,1 −=−=−= wvu . Calcular: a) vu − c) vwwu −−− b) wv 53 + d) wvu 742 +− 12.3.3. PRODUCTO PUNTO (PRODUCTO ESCALAR) Sean ( )nxxxxV ,,,, 3211 = y ( )nyyyyV ,,,, 3212 = vectores de n IR . Entonces el producto punto de 1V y 2V , denotado como 21 VV • , se define como: ( ) ( ) IRyxyxyxyxVV yyyyxxxxVV nn nn ∈++++=• •⋅=•   33121121 32132121 ,,,,,,,, Note que el resultado del producto punto es un número real. Ejemplo 1 Hallar 21 VV • para ( )2,0,31 −=V y )1,2,5(2 −=V . SOLUCIÓN: 17 2015 )1)(2()2)(0()5)(3( )1,2,5()2,0,3( 21 21 21 21 −=• −+−=• −++−=• −•−=• VV VV VV VV Ejemplo 2 Sean 1V y 2V dos vectores de 4 IR tales que: ( )1,3,1,21 −−=V y ( )2,1,0,32 −=V . Hallar 21 VV • SOLUCIÖN: 11 )2)(1()1)(3()0)(1()3)(2( 21 21 −=• −+−++−=• VV VV 12.3.3.1. Propiedades Sean 321 ,, VVV vectores de n IR , entonces: 1. 1221 VVVV •=•
  • 5. Moisés Villena Muñoz Vectores en n IRIRIR ,,, 32  313 2. ( ) 3121321 VVVVVVV •+•=+• 3. )()()( 212121 VVVVVV ααα •=•=⋅• , donde IR∈α Ejercicio Propuesto 12.2 1. Dados los vectores: V1=(1, 2, -1) y V2=(2, 0, 1 ), el resultado de la operación: (3V1-2V2).(V2-2V1) es: a) 13 b) -39 c) -68 d) 39 e) -13 12.4 MAGNITUD (NORMA) DE UN VECTOR Si ( ) n n IRxxxxV ∈= ,,,, 321  , entonces la NORMA del vector V , denotada V , es: 22 3 2 2 2 1 nxxxxV ++++=  Ejemplo La norma del vector )3,2,1(=V sería: 14 321 222 = ++= V V Veamos que sucede si realizamos el producto punto de un vector V consigo mismo ( ) ( )nn xxxxxxxxVV ,,,,,,,, 321321  •=• 22 3 2 2 2 1 nxxxxVV ++++=•  2 VVV =• 12.5 VECTORES UNITARIOS Un vector u es UNITARIO si y sólo sí su norma es igual a 1, es decir: 1=u Un vector cualquiera V puede ser expresado de la siguiente forma uVV = por tanto V V u = Ejemplo Hallar un vector unitario u para el vector )3,2,1(=V
  • 6. Moisés Villena Muñoz Vectores en n IRIRIR ,,, 32  314 SOLUCIÓN: Aplicando la fórmula V V u = tenemos:       = = = 14 3 , 14 2 , 14 1 )3,2,1( 14 1 14 )3,2,1( u u u comprobando 1 14 14 14 9 14 4 14 1 = = ++= u u u 12.6 VECTORES ORTOGONALES Sean 21,VV dos vectores de n IR . Entonces 1V y 2V son ortogonales si y sólo si: 021 =•VV Ejemplo Los vectores )1,2,1(1 −=V y )1,2,3(2 −=V son ortogonales, porque 0)1)(1()2)(2()3)(1(21 =−++−=•VV Este concepto puede se utilizado en problemas de diseño, como el siguiente: Ejercicio resuelto Dados los vectores ( )3,2,12 1 −= aV y ( )24 5,,22 aV −−= , encontrar los valores de "a" para que sean ortogonales. SOLUCIÓN: Para que 21 VV ∧ sean ortogonales se debe cumplir que 021 =•VV , entonces ( ) 8 52 24 52 21 222),,2(3,2,1 +−+−=−−•−=• aaaaVV por lo tanto 4 3 4 7 0211616 022 2 8 212 =∨−= =−+ =+−− aa aa aa Ejercicios Propuestos 12.3 1. Sean los vectores ( ) ( )2,1,4,3,2,1 −=−= BA y ( )3,0,2 −=C encontrar el valor de t , tal que tBA + sea ortogonal a C.
  • 7. Moisés Villena Muñoz Vectores en n IRIRIR ,,, 32  315 2. Si se tienen los vectores ( )0,2,11 −=V y ( )3,2,12 −−= abV , si 1V y 2V son ortogonales y       −−−= 2 3 ,1,221 aaVV , entonces los valores de a y b , respectivamente son:. a) 2 y 2 3 b) 2 1 y -2 c) -1 y 2 1 d) - 2 1 y -1 e) - 2 1 y 1 12.7 VECTORES ORTONORMALES Sean nVVV ,...,, 21 vectores de n IR . Entonces 1V , 2V ,…, nV son ORTONORMALES si y sólo si:    ≠=• ==• jicuandoVV jicuandoVV ii ii 0 1 Es decir, un conjunto de vectores es ortonormal si y sólo si está constituido por vectores que son unitarios y ortogonales a la vez. Ejemplo Los vectores )1,0,0(ˆ,)0,1,0(ˆ,)0,0,1(ˆ === kji son ortonormales, porque 0=•=•=• kjkiji y además 1=== kji 12.8 COMBINACIÓN LINEAL Algo interesante ocurre cuando descomponemos al vector ( )zyxV ,,= de la siguiente manera: )1,0,0()0,1,0()0,0,1( zyxV ++= kzjyixV ++= Es decir que el vector ( )3,5,2 −=V también se lo puede denotar de la forma kjiV 352 +−= Sean nVVVV ,,,, 321  vectores de n IR , entonces una combinación lineal de estos vectores es una expresión de la forma: nnVaVaVaVa ++++ 332211 donde IRaaaa n ∈,...,,, 321
  • 8. Moisés Villena Muñoz Vectores en n IRIRIR ,,, 32  316 Ejercicios propuestos 12.4 1. Sean los vectores ( ) ( ) ( )7,1,4,1,3,2,0,3,1 321 −−=== VVV , entonces los valores de a y b para que la combinación 213 bVaVV += sea verdadera: a) 7. 3 20 == ba d) 3 13. 3 14 =−= ba b) 7.18 −== ba e) Elija esta opción si a y b no existe c) 7. 3 20 −== ba 2. Dados los vectores ( ) ( ) ( ) ( )3,5,2;7,1,0;0,2,2;2,2,1 321 −==−=−= VVVV , entonces para que se cumpla que VVkVkVk =++ 332211 ; el valor de 321 kkk ++ debe ser: a) -2 b) -5 c) -1 d) 5 e) 2 Misceláneos 1. Sean los vectores de 3 R , ( )1,2,11 −=v , ( )1,2,12 −−=v y ( )0,1,03 −=v . Entonces el valor de ( ) ( )[ ]321 2 221 22 vvvvvv •+−• a) ( )0,24,0 − b)-24 c) ( )0,0,24 d)12 e)24 2. Sean 1V , 2V vectores de 2 R , tales que: ( )2,51 =V y ( )2,72 −=V . Entonces un vector 3V tal que: 3831 =•VV y 3423 =•VV es: a) ( )6,43 =V b) ( )9,63 =V c) ( )4,63 =V d) ( )0,63 =V e) ( )9,43 =V 3. Sean 21,VV y 3V vectores de 3 R tales que: ( )2,1,31 =V , ( )1,1,22 −=V y 213 2VbVV += . Entonces el VALOR de “ b ” para que 3V sea ortogonal a 2V es: a) 7 5− b) 7 2− c) 5 12 d) 12 5− e) 5 12− 4. Sea los vectores de: ( )1,3,1 −= kkV y ( )kV ,1,32 −= . Determine los valores de k tales que 1V y 2V sean ORTOGONALES. a)3 y 1 b)3 y -1 c)-3 y -1 d)-3 y 1 e)0 y -3 5. Dados los vectores 5,1,46,4,32,4,3 321 −=−=−−= VVV . Halle un vector 4V tal que 4321 VVVV +++ = 5,4,1− a) 8,3,5 −−− b) 8,3,5 −− c) 8,3,5 −− d) 8,3,5 −− e) 6,3,5 −−− 6. Sean 1V , 2V y 3V vectores de 3 IR tales que: ( )1,2,31 −=V , ( )0,1,52 −=V y ( )0,4.03 =V . Entonces al efectuar la operación ( ) ( ) 2 33221 2 1 2643 VVVVVV −•−•− se obtiene como resultado: a)54 b)110 c)84 d)184 e)52 7. Sean los vectores de 3 R , ( )4,3,21 −=V , ( )1,3,22 −=V , ( )2,8,43 =V , ( )0,0,14 =V . Entonces un vector V tal que 4321 2 VVVVV =+−− , es: a) ( )4,17,7 −=V b) ( )9,8,6=V c) ( )9,8,6=V d) ( )4,17,7−=V e) ( )4,17,7 −−=V 8. Sean 1V y 2V vectores en 3 IR , tales que 1,1,21 =V y 1,1,12 =V . Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA identifíquela: a) 1V y 2V son ortogonales. b) 1V y 2V son paralelos.
  • 9. Moisés Villena Muñoz Vectores en n IRIRIR ,,, 32  317 c) 2332 12 =− VV . d) 1,0,132 12 −=− VV e) 332 12 =− VV . 9. La SUMA DE LOS VALORES de " a " que hacen que los vectores 1,3,11 aaV −= y 3,1,2 −= aV SEAN ORTOGONALES, es: a)-3 b)-1 c)-2 d) 0 e) 3