Cap3 curvas y perfiles

Pontificia Universidad Católica de Chile.
Facultad de Ingeniería / Escuela de Construcción Civil.
Línea de Investigación: Tecnologías y Procedimientos Constructivos.
CAPITULO 3: CURVAS DE NIVEL Y PERFILES
Topografía en los Proyectos de Construcción
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“CAPITULO 3: CURVAS DE NIVEL Y PERFILES”
CAPITULO 3: CURVAS DE NIVEL Y PERFILES ...............................................................................................2
3.1.- Curvas de Nivel.......................................................................................................................................2
3.2.-Perfiles. ................................................................................................................................................. 23
3.3.- Ejercicios propuestos. .......................................................................................................................... 37
3.3.1.-Curvas de nivel............................................................................................................................... 37
3.3.2.-Calculo de volúmenes.................................................................................................................... 40
3.4.- Preguntas de Contenidos..................................................................................................................... 46
3.4.1.-Responda si es Verdadera o Falsa cada una de las siguientes aseveraciones............................ 46

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Para representar el relieve de un terreno es necesario disponer de las “cotas” o altitud de éste, en cantidad
suficiente de puntos altimétricos y planimétricos, principalmente altimétricos, para representar las distintas
pendientes y/o singularidades existentes, abarcando a lo menos los puntos más singulares. Dichas cotas se
pueden graficar en un plano de dos formar diferentes:
1- Curvas de Nivel: corresponden a información entregada en planta, otorgando una visión generalizada y
completa del terreno que se desea estudiar. La ventaja de éstas es la posibilidad de caracterizar
completamente el terreno involucrado en el proyecto, pero pierde exactitud respecto de los perfiles.
2- Perfiles: corresponden a información entregada en elevación o corte, dividiéndose en perfiles
longitudinales y transversales respectivamente. Tienen la ventaja de dar a conocer con mayor exactitud,
en una determinada dirección, el relieve del terreno, pero se pierde el concepto de globalidad
involucrado en las curvas de nivel.
Ambos tipos de representación son requeridos en los proyectos de construcción, producto que son
complementarios, dependiendo del nivel de detalle y amplitud de conocimiento del terreno requerido.
Imagen 3.1: “Curvas de nivel (1) y Perfiles (2)”
Fuente: 1.- http://geofumadas.com/images/CurvasdenivelapartirdepolilineasenAutoCA_7AFD/palace_map.jpg?a96cd4
2.- http://img.over-blog.com/300x210/3/11/40/42/corte-terreno.PNG
3.1.- Curvas de Nivel.
Las curvas de nivel, corresponden a uno de los sistemas de representación de mayor uso para poder
representar (graficar) la altimetría de un terreno.
Se puede definir geométricamente como el lugar geométrico de todos los puntos de igual cota o altitud.
También se define curva de nivel como aquella línea que en un plano, une todos los puntos con igualdad de
cota (altura). Estas se basan en proyectar, sobre un plano horizontal de comparación (o referencia), las
irregularidades del terreno (distintas pendientes), recurriendo a las cotas de los puntos representativos de
dicho terreno.
Como producto de lo anterior, se pueden obtener puntos de igual y variable altura, con relación a la altura
dada al plano horizontal elegido para comparación o referencia, luego al unir todo los puntos que poseen
igual cota se obtiene lo que se llama “curva de nivel”.

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Imagen 3.1.1: “Representación curvas de nivel”
Fuente:http://4.bp.blogspot.com/_1J7Xov7CLJM/S_1-f9FJedI/AAAAAAAAAC8/dPlLSr_uddo/s1600/CURVAs+de+nivel.jpg
Una de las principales características de las curvas de nivel viene dada por la “equidistancia”, la cual
corresponde a la diferencia de altura (separación vertical), que existe entre éstas. Dicho valor es
generalmente constante entre todas las curvas de un mismo plano. La equidistancia determina el nivel de
detalle en la información que se debe obtener del terreno, ya que a menor equidistancia, la diferencia de
altura entre curvas es menor y el nivel de detalle del terreno aumenta, sucediendo lo contrario cuando dicha
equidistancia aumenta.
El “valor” de la equidistancia queda establecido por el nivel de exactitud requerido en el proyecto y por la
escala a la cual se requiere utilizar. Normalmente para los proyectos de construcción la equidistancia varía
entre 0,50 y 1,00 m.
Imagen 3.1.2: “Equidistancia”
Fuente: http://2.bp.blogspot.com/_KGhu7uNajfQ/TPTBPHxLOKI/AAAAAAAAAno/eEbpW4tf4OA/s1600/Curvas_de_nivel.png, editado
por Camilo Guerrero.

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La distancia horizontal entre las curvas o sea su separación, permitirá determinar las pendientes existentes
en el terreno, además de reconocer los accidentes geográficos o topográficos que contiene.
Las curvas de nivel son de gran importancia en los proyectos de construcción por diversos motivos:
a) Permite caracterizar cualitativamente el relieve del terreno.
b) Permite identificar los puntos singulares del terreno.
c) Permite caracterizar cuantitativamente el terreno.
Imagen 3.1.3: “importancia de las curvas de nivel”
Fuente: Presentación “Topografía: Curvas de Nivel” del Profesor José Francisco Benavides Núñez.
La caracterización cualitativa corresponde a poder identificar el tipo de accidente geográfico o topográfico
presente, de manera visual y en base a sus principales características, sin determinar valores numéricos.
Sin importar la complejidad del terreno en estudio, siempre se constituirán a lo menos varias formas básicas:
1. Vaguada: corresponde a la intersección de 2 semiplanos con concavidad hacia arriba, en la cual se
reúnen las aguas. También se puede describir como la intersección de 2 semiplanos inclinados en su
punto mas bajo, por lo cual se considera como una línea de cotas bajas.
La vaguada, al ser una línea de mayor declive del terreno, representa el camino más fuerte para bajar y
el más suave para subir. Si una gota de agua cae en uno de los planos esta se desplaza naturalmente
hasta llegar a los puntos más bajo que van recolectando el agua. La vaguada recoge las aguas de ahí
su nombre. También recibe el nombre de quebrada. Las curvas de nivel van decreciendo hacia el
centro.

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Imagen 3.1.4: “Vaguada”
Fuente: 1.-Presentación “Topografía: Curvas de Nivel” del Profesor José Francisco Benavides Núñez.
2.- Elaborado por Camilo Guerrero.
2. Divisoria: se puede describir como el opuesto a la vaguada, siendo la intersección de 2 semiplanos con
concavidad hacia abajo, donde se dividen las aguas. Otra manera de describir la divisoria es como la
intersección de 2 semiplanos en su punto más alto, por lo cual se considera como una línea de cotas
altas.
A diferencia de la vaguada, la divisoria es una línea de mayor declive que representa el camino más
fuerte para subir y el más suave para bajar. Si una gota de agua cae en uno de los planos esta no podrá
desplazarse naturalmente al otro y formará parte de la cuenca que éste forma. La divisoria separa las
aguas de ahí su nombre. Las curvas de nivel van creciendo hacia el centro.
Imagen 3.1.5: “Divisoria”
Fuente: 1.-Presentación “Topografía: Curvas de Nivel” del Profesor José Francisco Benavides Núñez.
2.- Elaborado por Camilo Guerrero.

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Las características de las curvas de nivel son las siguientes:
a) Toda curva de nivel se cierra sobre sí misma, ya sea dentro de la zona de estudio o fuera de ella.
Imagen 3.1.6: “Cierre de curvas de nivel”
Fuente: Elaborado por Camilo Guerrero.
b) Una curva de nivel, no puede dividirse o ramificarse generando dos o más curvas nuevas.
c) No se pueden unir o fundir, dos o más curvas de nivel en una sola. Solo se pueden ver juntas, en
caso de estar superpuestas una sobre otra, pero cada una en su respectivo nivel.
Imagen 3.1.7: “Curvas no pueden unirse o fundirse”
d) En el caso que las curvas de nivel se cruzan, nos representará o indicará la presencia de una
caverna o un volado (Ver imagen 3.1.6 - 2).
e) En una divisoria o vaguada no puede existir una curva sola en uno de los planos inclinados sino que
debe existir su par en el otro plano. (Ver imagen 3.1.4 y 3.1.5).
f) En una zona de pendiente uniforme, la distancia horizontal entre curvas es similar para todas las
curvas de nivel (Ver imagen 3.1.6 - 3).
g) En una serie de curvas de nivel mientras más separadas horizontalmente se encuentren entre sí,
más suave será la pendiente. En caso contrario, mientras más juntas se encuentren, más fuerte será
la pendiente (Ver imagen 3.1.6 - 3).

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h) Si las curvas se van separando al disminuir su cota, se trata de una ladera cóncava, en caso que las
curvas se vayan juntando a medida que disminuyen de cota se trata de una ladera convexa(Ver
imagen 3.1.6 - 4).
i) Una serie de curvas cerradas concéntricas indicará un montículo cuando las cotas vayan
aumentando hacia el centro y una depresión cuando las cotas vayan disminuyendo hacia el centro
(Ver imagen 3.1.6 - 1).
Imagen 3.1.8:”Caracteristicas de las curvas de nivel”
Fuente: Elaborado y editado por Camilo Guerrero.
En el proceso de obtención de las curvas de nivel se requiere conocer previamente las cotas de los puntos
de la zona en estudio. Estas cotas se pueden obtener mediante una nivelación trigonométrica y/o
geométrica, siendo generalmente suficiente la trigonométrica en los proyectos de construcción.
Los puntos a medir normalmente son de dos tipos, los que representan detalles planimétricos y los que
representan los detalles altimétricos, relieve, (también llamados de relleno).
Los puntos que representan detalles planimétricos, generalmente se miden radialmente desde una o más
instalaciones instrumentales o estaciones, corresponden a puntos como vértices del predio o de
construcciones existentes; ejes de calle, canales y postaciones; cámaras de instalaciones, semáforos, líneas
de soleras, veredas; línea oficial y de edificación; elementos naturales relevantes para el proyecto; entre
otros.

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Imagen 3.1.9: “Obtención de curvas, medición radial”
Fuente: Presentación “Topografía: Curvas de Nivel” del Profesor José Francisco Benavides Núñez.
Los puntos de relleno se miden formando cuadrículas. Es común solicitar al alarife, que linealmente por un
eje dé 10, 20 o 30 pasos en un sentido, dependiendo de las irregularidades del terreno y/o las exigencias del
proyecto y luego se devuelva por el siguiente eje, con el mismo ritmo de avance pero en sentido contrario,
formando de manera aproximada el cuadriculado requerido. A mayor exigencia del proyecto y/o irregularidad
del terreno menor deberá ser la distancia entre cuadrículas.
Este reticulado se utiliza para realizar la interpolación entre las cotas de los puntos medidos, para así poder
determinar la posición de los puntos con cotas exactas, sin cifras decimales, por ejemplo cada 1[m],
dependiendo de la equidistancia entre curvas requerida para el proyecto.
Imagen 3.1.10:“Cuadriculado obtención curvas de nivel”
Fuente: http://incaser.blogspot.com/2010/05/proyecto-3-explanacion.html.

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La interpolación corresponde a un método matemático para la obtención de nuevos puntos partiendo de un
conjunto de puntos de cota (Cp) y coordenadas (x, y) ya conocidas. A continuación se explica
numéricamente como se realiza el procedimiento.
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
Esto también se puede explicar de la siguiente manera:
[ ]
[ ] [ ]
Lo mismo realizado entre P1 y P2 se debe realizar entre todos los puntos medidos. De esta forma se
conocerá por donde pasa cada curva de nivel exacta entre dos puntos, o sea por ejemplo la: 30, 31, 32, 33,
34, 35, 36, 37 m y siguientes. Luego al unir todos los puntos de igual cota se obtendrá las curvas de nivel del
terreno estudiado.

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Imagen 3.1.11: “Proceso de relleno de curvas de nivel”
Es necesario indicar que, en base a lo establecido en la O.G.U.C., para la aprobación de proyectos de loteo,
cuya pendiente sea menor o igual a 25% se deben entregar planos con curvas cada 1[m], en caso contrario,
se debe indicar las curvas de nivel cada 5 [m]. En el caso de proyecto de sub-división predial, e deben
indicar las curvas de nivel cada 2 [m], solo en casos de terrenos de mas de 5[Ha], las curvas de nivel
podrían graficarse a lo menos cada 5 [m
3
].
Entre los usos frecuente de las curvas de nivel, es encontrar una línea o eje que cumpla con una cierta
pendiente y/o gradiente, máxima y mínima, en proyectos de construcción para el trazado de caminos,
canales, líneas férreas y ductos en general.
Para determinar el perfil existente entre 2 puntos cualesquiera “A” y “B” en un plano de curvas de nivel, se
recomienda trasladar las curvas sobre un sistema de ejes rectangulares. Lo primero es determinar que
curvas de nivel pasan entre dichos puntos y colocarlas en el eje de las ordenadas (Y), el cual representará la
altimetría existente. Luego de igual manera en el eje de las abscisas, que representa la distancia horizontal
existente entre estos puntos (“A” y “B”), se traza cada tramo existente entre curvas de nivel. Finalmente
cada uno de los puntos de los distintos tramos se ubica según su cota (altura) y distancia respecto del punto
“A”.
Para una mejor comprensión, se desarrolla como ejemplo el trazado del perfil entre los puntos “A” y “B” del
siguiente plano de curvas de nivel:
Imagen 3.1.12: “Plano de curvas de nivel”
Fuente: Elaborado por Camilo Guerrero

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Se debe trasladar los puntos de intersección del trazo correspondiente a la dirección entre A y B con las
curvas de nivel del perfil al eje X (abscisa) del gráfico, que contendrá las distancias horizontales existentes y
trasladar las cotas de las curvas de nivel del perfil al eje Y (ordenada). Emplazar todos los puntos de
intersección en función de sus distancias y cotas. Finalmente se unen todos estos puntos obteniéndose el
perfil buscado. Se debe destacar que al realizar este tipo de representación, generalmente, se adopta por
utilizar una escala a lo menos 2 veces mayor que la escala general del plano, para resaltar de mayor forma
los accidentes topográficos existentes en terreno.
Imagen 3.1.13: “Creación de grafico para perfil”
Luego se procede a graficar los puntos correspondientes obteniéndose el siguiente perfil:
Imagen 3.1.14: “Perfil A-B”

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El trazado en planta de una carretera en un plano de curvas de nivel, debe cumplir con una serie de
requisitos, dentro de éstos se encuentran las pendientes y/o gradientes mínimas y máximas de la vía, ciertos
criterios de tramos rectos y curvos, entre otros. Al momento de trazar el camino en un plano de curvas de
nivel se trabaja principalmente con distancias mínimas y máximas, las cuales vienen dadas por las
pendientes prestablecidas y el criterio de obtener la menor longitud posible, respetando las exigencias, por
ejemplo si se tienen los siguientes requerimientos:
- Pendiente máxima: 4%
- Pendiente mínima: 0,4%
- Longitud mínima
- Se necesita trazar la carretera entre los puntos “A” y “B”, en base al siguiente plano.
Imagen 3.1.15: “Curvas de nivel del sector”
Lo primero que se debe realizar es determinar cuanta es la distancia horizontal máxima y mínima que
podemos recorrer entre curvas en base a las pendientes dadas:
[ ]

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[ ]
A continuación se debe llevar las distancias determinadas a la escala del plano de curvas de nivel, en este
caso se trabajo con el plano donde la escala grafica representada en este corresponde a 100[m]=14[mm]
Por ene la máxima y mínima distancia que se puede recorrer es
[ ] [ ]
[ ] [ ]
Finalmente se procede a trazar sobre el plano tramos de camino que midan entre 7[mm] y 70[mm],
cumpliendo con no pasar por curvas de igual cota y ser lo mas corto posible, obteniendo el siguiente trazado.
Imagen 3.1.16 Trazado del camino”
Otra de las aplicaciones frecuentes de las curvas de nivel en los proyectos de construcción, es la cubicación
(cuantificación) de volúmenes de tierra, excavaciones o cortes y/o rellenos o terraplenes, producto de la
modificación del relieve del terreno para insertar el proyecto estudiado.
Existen 2 métodos para la determinar volúmenes basados en los conceptos de las curvas de nivel, el
primero corresponde al método de cuadriculas, el cual en base a un levantamiento planimétrico altimétrico,
permite determinar los puntos del terreno en el cual se excavar o rellenar, según sean las características del
terreno y las condiciones de proyecto, el segundo procedimiento corresponde al de las curvas este

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procedimiento requiere del plano de curvas de nivel para poder determinar los volúmenes y considera
constantes las pendientes entre curvas, este segundo procedimiento tiene menor precisión que el de las
cuadriculas, es por esto que se recomienda siempre utilizar el método de cuadriculas y solo en caos de no
contar con las mediciones en terreno utilizar el segundo método.
a) Método de las Cuadrículas:
Se utilizan particularmente en proyectos en los cuales la forma del terreno es relativamente regular
(rectangular, donde una dimensión no es muy superior a la otra), como puede ser en proyectos
inmobiliarios y proyectos industriales. No requiere propiamente tal del plano de curvas de nivel para su
implementación, pero si se requiere del cuadriculado base, que se puede utilizar para la elaboración del
plano de curvas de nivel, de aquí su nombre.
En este caso, antes de iniciar faenas producto del proyecto el área de estudio del terreno se subdivide
en una serie de cuadrículas o rectángulos, con dimensiones constantes, para conformar un reticulado
con ejes ortogonales (norte-sur y oriente-poniente), donde se realiza una nivelación de los vértices del
terreno natural que lo componen, ya sea mediante una nivelación geométrica o trigonométrica
dependiendo de las exigencias del proyecto, generalmente trigonométrica.
Definida la cota de la plataforma, en función de lo especificado en el proyecto o de los requerimientos
de éste, se procede a determinar las cotas de sub-rasante o plataforma, para definir las alturas de
corte o terraplén de cada uno de los vértices del reticulado. Serán alturas de corte o excavación,
aquellas en las que la cota de terreno natural sea mayor a la cota de la plataforma que se desea
construir y serán alturas de terraplén o relleno, cuando la cota de terreno natural se encuentre por
debajo de la cota de la plataforma que se desea ejecutar.
Imagen 3.1.17: “Calculo de Volúmenes por cuadriculas, zona de corte”
Fuente: http://ocw.utpl.edu.ec/ingenieria-civil/topografia-aplicada/unidad-3-replanteo-y-calculo-de-volumenes.pdf
Luego se determina la “línea de paso”, si corresponde (cuando hay excavaciones y rellenos), que es
aquella línea que separa la zona de corte de la de terraplén. Se traza la línea de paso uniendo los
“puntos de paso”, los cuales corresponden a aquellos puntos del terreno, del reticulado, en los que la
cota de terreno natural y la cota de plataforma son iguales, es decir la altura de corte o terraplén es
“0,00 [m]”.
Como es poco probable que estos puntos de paso correspondan a vértices del reticulado, debe
interpolarse en todos los lados de cuadrícula en que sus vértices son distintos, respecto de corte o

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relleno, o sea en uno debe excavarse y en el otro debe rellenarse. Esta interpolación permitirá
encontrar, en la dirección estudiada, donde se encuentra el punto donde no hay corte ni terraplén.
Finalmente, se debe cuantificar el volumen geométrico de corte y/o terraplén según requiera el
proyecto. El volumen de cada cuadrícula se determina en función de un prismatoide de base conocida,
correspondiente al área de la cuadrícula, y de la media de las cuatro alturas (de los vértices de las
cuadriculas) de corte o relleno según sea requerido. Si una altura es punto de paso, se considera “0,00
(m)” pero debe tomarse en cuenta para determinar la media de las alturas (Ver Imagen 3.1.21).
Según sean las exigencias del proyecto y/o irregularidades del terreno, será el tamaño de las
cuadrículas. Utilizar un reticulado de menor tamaño a medida que aumenta los requerimientos del
proyecto y las irregularidades del terreno.
De manera especial, si el perímetro del predio a evaluar tiene un lado curvilíneo se recomienda que
éste se simplifique o cambie por un lado rectilíneo, formado por el trazo geométrico que una sus puntos
extremos. Lógicamente, se formará un sector donde no habrá cuadrículas sino que probablemente
triángulos y trapecios que se calcularán aplicando los mismos conceptos del procedimiento explicado
pero su superficie corresponderá a una figura distinta a un cuadrado o rectángulo. La zona comprendida
por este trazo rectilíneo y el contorno curvilíneo, del lado curvo, se abordará con un procedimiento
complementario.
Imagen 3.1.18: “Cambio de curvo a Rectilíneo”
El lado rectilíneo trazado se divide en una serie trazos más pequeños y constantes, 1 o 2 o 5 o 10 o 20
(m), dependiendo de las exigencias del proyecto y/o de las irregularidades del contorno curvo.
Generalmente, utilizando una cinta y demarcando con clavo o estaca la separación elegida. Como es
poco probable que la longitud total sea divisible de la longitud seleccionada para trazar estos trazos
pequeños se debe medir y registrar este último valor fraccionado.
En cada uno de los puntos demarcados se traza y mide la altura hasta el contorno curvilíneo, con la
misma cinta que permitió subdividir el lado rectilíneo. De esta forma el sector queda dividido en una
serie de trapecios de lados conocidos, que se pueden calcular fácil y rápidamente de la siguiente
manera:
Imagen 3.1.19: “Volumen de un trapecio”

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Matemáticamente, el método se aplica de la siguiente manera:
i. Según sea el caso, las alturas a utilizar corresponderán a:
a. [ ] (altura de corte) (+)
b. [ ] (altura de terraplén) (-)
ii. Para el cálculo del volumen del primer cuadrado de la imagen 3.1.17, se tiene que:
[ ]
Donde:
- d: Dimensión de los lados de cada cuadrícula.
- ha, hb, hc y hd: Alturas de los vértices cada cuadrícula.
- Volumen1: Volumen de la cuadrícula.
iii. En caso de tener una zona de cuadrículas completas, se puede emplear la formula simplificada, con lo
cual se evita la realización de cálculos repetitivos, ésta es la siguiente:
(∑ ∑ ∑ ∑ ) [ ]
Donde:
- d: longitud del lado de la cuadrícula.
- h1: alturas usadas una vez en el cálculo.
- h2: alturas usadas dos veces en el cálculo.
- h3: alturas usadas tres veces en el cálculo.
- h4: alturas usadas cuatro veces en el cálculo.
Imagen 3.1.20: “Alturas H1, H2, H3 y H4”
En la imagen anterior se puede apreciar que alturas corresponden a H1, H2, H3 Y H4, destaca la altura
H4, la cual corresponde al caso en el que dicha altura se encuentra rodeada por cuadriculas (4)
completas y por ende se utiliza para el calculo de volumen de 4 cuadriculas diferentes.
iv. Hay casos singulares, en los cuales no se calcula el volumen de cuadrículas completas:
Imagen 3.1.21: “Casos singulares en cuadriculas”
Fuente: Presentación “Topografía: Cuantificación de Volúmenes” del Profesor José Francisco Benavides Núñez.

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Luego el volumen para cada caso viene dado de la siguiente manera:
a.- [ ]
b.- [ ]
v. El volumen total corresponderá a la suma de los volúmenes de cada cuadrícula completa más los casos
especiales (cuadrículas incompletas) que se presenten.
Ejemplo:
Se necesita calcular el volumen de relleno para la construcción de una plataforma de un proyecto que tiene
las siguientes especificaciones y datos:
- Corte máximo: 1,0 [m]
- Terraplén máximo: 1,0 [m]
- Cota plataforma punto E1: 98,60 [m]
- Cuadriculado de 12 x 12 [m]
El Topógrafo ha proporcionado la siguiente información de una nivelación trigonométrica realizada en
terreno:
A B C D E
1 99,25 98,98 98,72 98,56 98,32
2 99,12 99,66 98,70 98,54 97,96
3 98,89 98,82 98,52 98,38 97,36
4 98,71 98,64 98,36 98,20 97,93
5 98,60 98,55 98,24 98,06 97,80
Unidades en [m].
Observando la información recibida se debe reconocer cual es el punto más alto y el más bajo del
cuadriculado, los cuales en este caso corresponden a:
- B2: 99,66 [m] (punto más alto).
- E3: 97,36 [m] (punto más bajo).
A continuación, conocida la altura máxima de corte y terraplén, al punto más alto, se le resta la altura
máxima de corte y al punto más bajo se le suma la altura máxima de terraplén, se obtiene las siguientes
cotas de plataforma para dichos puntos:
[ ]
[ ]
Luego se procede a determinar las pendientes, transversal y longitudinal, que tendrá la plataforma una
vez construida, para lo cual se requiere de la distancia entre los puntos conocidos y la diferencia de
altura. La diferencia de altura dependerá de las cotas ya establecidas y la distancia dependerá de la
ubicación de cada punto en el cuadriculado, para facilitar la distinción de la distancia entre puntos se
efectuó de la siguiente representación:

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Imagen 3.1.22: “Representación de Cuadriculado”
Fuente: Elaborado por Camilo guerrero
La distancia entre cada punto del cuadriculado corresponde a 12 [m], por lo tanto, la distancia entre los
puntos E1-E3 corresponde a:
[ ]
Luego se determina la pendiente:
A modo de simplificar el cálculo de las cotas de plataforma, se determina la diferencia de altura que
existirá entre puntos una vez construida la plataforma de la siguiente manera:
[ ]
Luego debemos determinar la cota del punto E2 para poder calcular la pendiente existente en el sentido
E-A:
[ ]
[ ]
Luego se determina la pendiente:
A modo de simplificar el cálculo de las cotas de plataforma, se determina la diferencia de altura que
existirá entre puntos una vez construida la plataforma de la siguiente manera:
[ ]
Luego se procede a completar el registro con las cotas de plataforma, recordando que de 1 a 5
disminuyen y de A a E disminuyen, de la siguiente manera:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]

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[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Luego se va restando sucesivas veces 0,12 [m] desde la primera columna, hacia abajo y se obtiene lo
siguiente:
A B C D E
1 98,84 98,78 98,72 98,66 98,60
2 98,72 98,66 98,60 98,54 98,48
3 98,60 98,54 98,48 98,42 98,36
4 98,48 98,42 98,36 98,30 98,24
5 98,36 98,30 98,24 98,18 98,12
Unidades en [m]
A continuación se presenta una imagen donde se aprecian aquellos puntos en que la cota de
plataforma coincide con la de terreno natural, de manera de poder formar la línea de paso.
Imagen 3.1.23: “Línea de paso”
Fuente: Elaborado por Felipe González M.
En la imagen se aprecia que la línea de paso no cruza solo por vértices del cuadriculado, sino que entre
los puntos D2 y C4 hay una parte donde pasa entre los vértices D3 y C#, para poder ubicar la distancia
hacia alguno de estos dos vértices se debe realizar una interpolación, de la siguiente manera.
[ ]

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En la imagen se aprecia que la zona derecha del cuadriculado corresponde a terraplén, esto se debe a
que en esa zona las cotas de la plataforma son mayores a las cotas del terreno natural, a continuación
se procede a determinar las alturas correspondientes y los volúmenes geométricos.
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Para el cálculo de las cuadriculas completas se tiene que las alturas tipo h1, h2 y h3 son las siguientes:
h4= no existen
h3= D4 =0,10[m]
h2= D2+D3+D5+E2+E3+E4=2,00 [m]
h1= C4+C5+D1+E1+E5=0,70[m]
Luego el volumen de cuadriculas completas corresponde a:
{ } [ ]
[ ]
Luego las cuadriculas incompletas, en este caso corresponden a 2 triángulos y un trapecio:
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
Luego el volumen total de terraplén corresponde a:
[ ]
b) Método de Curvas de Nivel:
Se utilizan principalmente cuando no se han implementado métodos específicos como el de perfiles y el
de cuadrículas, que realizan mediciones previas (nivelaciones) del terreno natural antes de la
modificación debido al proyecto.
Emplea la información del terreno proporcionada por las curvas de nivel, que la hace de inferior
exigencia respecto a otros métodos, pero tiene la ventaja de que siempre en un proyecto de
construcción debería existir un plano de curvas de nivel del terreno sobre el cual se emplazará el
proyecto a estudiar, por lo cual siempre es factible utilizarlo.

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El volumen geométrico se calcula en base a las superficies horizontales que cubre cada curva de nivel y
la equidistancia entre estas.
La equidistancia entre curvas determina la altura “h” en la fórmula de “áreas terminales”. A menor
equidistancia se obtendrá una mayor precisión, si se posee un plano con una equidistancia de 10 [m]
se tiene mucha menor precisión que si se posee un plano con una equidistancia de 1 [m].
Dentro de las posibilidades para el cálculo de las superficies de cada curva de nivel se encuentra el uso
de programas como AutoCAD o un planímetro, en el caso que no se disponga del archivo digital del
plano.
Otra manera de determinar las superficies es en forma gráfica, con el apoyo de un papel cuadriculado
transparente, que nos permite calcular el número de cuadrículas de 1x1 (cm) o 5x5 (mm) o de 1x1 (mm)
que contiene cada curva de nivel, que llevada a la escala del plano nos indicará la superficie que
representa cada tipo de cuadrícula determinada. (Ver sección 4.6 Capitulo 4: Planimetría)
En el cálculo del volumen geométrico, las áreas encerradas por 2 curvas sucesivas son usadas en la
fórmula de “áreas terminales” y la equidistancia de las curvas de nivel la altura “h”, en otras palabras el
volumen encerrado por 2 curvas sucesivas (n y n+1) se determinan de la siguiente manera:
Donde:
Volumen entre las curvas n y n+1.
Superficie cubierta por la curva de nivel n+
Superficie cubierta por la curva de nivel n+1.
Equidistancia existente entre las curvas de nivel n y n+1
Imagen 3.1.24: “Perfil volumen por curvas de nivel, línea de paso C=99,00[m]”

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Por ejemplo, si se desea determinar el volumen de corte geométrico que se debe realizar para la
construcción de una plataforma de 60 x 80 [m] para el bodegaje de materias primas de Prolesur.
Considere que dicha plataforma debe ubicarse en la cota 89 [m] y que la situación del terreno se
observa en la siguiente imagen:
Imagen 3.1.25: “Superficie comprendida por la plataforma”
Fuente: elaborado por Camilo guerrero
Lo primero es realizar la identificación de la línea de paso, ésta se especifica en el proyecto en la cota
89 [m]. Como en el plano, no se encuentra emplazada la curva de nivel 89 [m] la debemos trazarla
previamente, para encontrar la línea de paso que es coincidente con ésta. La pendiente entre curvas de
nivel la consideramos constante y además en este caso, se ubicará en el punto medio entre las curvas
adyacentes 88 [m] y 90 [m], de la siguiente manera:
Imagen 3.1.26: “Superficie comprendida por la plataforma”
Fuente: elaborado por Camilo guerrero
Luego se procede a determinar las superficies comprendidas para la zona de corte, en este caso toda la
superficie ubicada a la derecha de la línea de paso.

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Se puede apreciar que cada superficie (A89, A90, A92, A94) está compuesta por una proporción de
cuadriculas de 20x20 [m].
( ) ( ) [ ]
Claramente la superficie de la curva 89 respecto de las cuadrículas completas, abarca 4 cuadrículas + 1
cuadrícula incompleta + 1 triángulo, en que a la cuadrícula incompleta le falta 1 triángulo que es de igual
magnitud al triángulo de la 6 figura, por lo tanto se tienen 5 cuadrículas completas o enteras. Además
queda conformada por un triángulo en la parte inferior y un trapecio en la parte superior, que a su vez
ambos corresponde a otra cuadrícula.
( ) ( ) [ ]
( ) ( ) [ ]
( ) ( ) [ ]
Luego, el volumen total está dado por la siguiente expresión:
( ) ( ) [ ]
( ) [ ]
( ) [ ]
[ ]
Para determinar este volumen entre las curvas de nivel 94 y 96 se ha considerado una figura
geométrica de base = A94 y altura h, en que el cálculo de su volumen se considera 2/3 de esta altura h
en vez de 1/3 de h, por cuanto no corresponde exactamente a una pirámide de base regular, ya que
todos los lados de la base (A94) son distintos.
Luego el volumen total corresponde a la sumatoria de los volúmenes de cada lonja:
[ ]
3.2.-Perfiles.
Los perfiles corresponden, como se menciono anteriormente, a información entregada en corte, longitudinal
o transversal, entregando mayor detalle y exactitud en los conocimientos que se posee del terreno en una
determinada dirección, generalmente pasando por algún eje del proyecto. Son utilizados en obras de gran
longitud, como lo son los proyectos de vías de comunicación, tales como canales, líneas férreas, carreteras,
oleoductos y gasoductos entre otros.
Son el corte que se general por la intersección de un plano vertical y la superficie del terreno en la dirección
que se ha realizado el perfil.
Como se menciono en el Capitulo 1: “Generalidades”, los perfiles se pueden clasificar en longitudinales y
transversales, según sea la dirección respecto de la cual cortan verticalmente el terreno, siendo
longitudinales aquellos que se generan producto de una serie de superficies verticales con una dirección
especifica y en el sentido longitudinal del proyecto, como por ejemplo el ele de una vía de comunicación. En
otras palabras, el perfil longitudinal se realiza en dirección al lado de mayor longitud del predio.

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Para poder confeccionar un perfil longitudinal se requiere conocer las cotas de lo puntos mas relevantes en
el la dirección elegida y las distancias entre dichos puntos, es decir se requiere realizar una correcta
nivelación. Generalmente, en la confección de un perfil longitudinal se utilizan 2 escalas, las cuales se
encuentran en una relación 1/10, siendo las mas utilizadas la escala 1:1000 para el eje de las distancias y
1:100 para el eje de las alturas.
Imagen 3.2.1: “Perfil longitudinal”
Fuente: http://www.oas.org/DSD/publications/Unit/oea22s/p012.GIF
Luego los perfiles transversales son aquellos que entregan un corte perpendicular o concéntrico respecto
del perfil longitudinal, es decir en un sentido transversal al eje del proyecto. En otras palabras, el perfil
transversal se realiza “a lo ancho”, en la dirección del lado de menor longitud. Son utilizados generalmente
para la obtención de cotas de plataformas y cuantificación de volúmenes.
Para poder confeccionar un perfil transversal se requiere conocer las cotas de lo puntos mas relevantes en
el la dirección elegida y las distancias entre dichos puntos, es decir se requiere realizar una correcta
nivelación. Comúnmente se utiliza la escala 1:100 para la confección de perfiles transversales.
Imagen 3.2.2: “Perfil transversal”
Fuente: http://www.acuaebro.es/imagenes/fichas_tecnicas/san_salvador/pag_imagenes/image014.jpg
Como se mencionó en los párrafos anteriores, uno de los principales usos que se da a los perfiles es el
calculo de volúmenes, en base a el uso de ambos tipos, longitudinales y transversales. Respecto de esto,
existe una serie de requisitos que de cumplir una plataforma en el sentido longitudinal, para el desarrollo de
un proyecto, los cuales son:
1. Cumplir con los requerimientos de las especificaciones respecto a las pendientes y/o gradientes
máximas y mínimas.

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2. Las pendientes y gradientes, deben ser lo más próximas al relieve natural del terreno, de modo tal
que se ejecuten menores movimientos de tierra y se disminuye el nivel de intervención al Medio.
3. Como criterio principal debe esta el ideal de compensar los terraplenes mediante los cortes,
generalmente se debe cumplir que lo cortes sean un porcentaje mayor a los terraplenes.
4. Cortes y terraplenes deben estar compensados en tramos pequeños, para así disminuir el transporte
de material y optimizar el uso de maquinaria y equipos.
El calculo del volumen de una plataforma (geométricamente un prismatoide), se realiza en base a la
siguiente figura:
Imagen 3.2.3: “Volumen del prismatoide”
Se tienen 3 secciones (S) diferentes, ambas caras exteriores](S1 y S2) y una sección media (Sm), además, se
tiene la base de la sección (b), el ancho de la plataforma (a), la altura de la sección (h) y la longitud del
elemento (d=d/2+d/2) , donde solo el ancho de plataforma se considera un valor constante, producto que lo
otros 2 elementos altura y base, dependerán y variaran según cambie el relieve del terreno. Luego el
volumen del elemento de la imagen anterior queda dado por la siguiente formula:
[ ]
Se tiene 2 casos específicos al querer calcular volúmenes en base a perfiles longitudinales:
1. Corte-corte o terraplén-terraplén: Corresponde a los casos donde el volumen a calcular
corresponden a un tramo en el que solo hay corte o solo hay terraplén. Como ejemplo se puede
utilizar la imagen 3.2.3, en la cual se tendría solo volumen de corte (corte- corte), en este caso el
volumen se desprende de lo siguiente:
[ ]
( ) [ ]
[ ]
[ ]
[ ]

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( √ )[ ]
2. Corte-terraplén: Es aquel caso en el cual el volumen a calcular, esta comprendido en un tramo en el
cual existe una zona donde se realizará corte y otra zona en la cual se realizará terraplén, por ende
existirán longitudes de corte y terraplén.
Imagen 3.2.4: “Volumen en zona corte-terraplén”
En la imagen anterior, se puede apreciar que la situación de corte-terraplén dependerá de las longitudes de
corte y terraplén (Lc y Lt respectivamente), las alturas de cortes y terraplén (hc y ht respectivamente) y
finalmente de la sección de corte y la sección de terraplén (Sc y St), desarrollándose de la siguiente manera:
Existe además un tercer caso, el en cual se trabajan perfiles mixtos, se denomina perfil mixto a aquellos en
los cuales hay tramos corte-terraplén tanto en el sentido longitudinal como transversal, como se muestra en
la imagen a continuación.
Imagen 3.2.5: “Perfil transversal mixto”
Fuente: http://ubuntuone.com/0yjHNC0Xsk0lFyhX1sPxG3.

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Imagen 3.2.6: “Tramo de perfil con sección mixta”
En casos como el de la imagen 3.2.6, se realiza una subdivisión del tramo a calcular en base a la cantidad
de puntos en los cuales existe un cambio de corte a terraplén. Donde en el primer tramo (Sc1-Sc3) se realiza
como un tramo corte-corte, obteniéndose un primer volumen de corte (Vc1) , luego el segundo tramo (Sc2-
St2), se cuantifica como corte-terraplén, obteniendo un segundo volumen de corte (Vc2) y un primer volumen
de terraplén (Vt1), finalmente el tercer tramo (St1-St3) se trabaja como terraplén-terraplén obteniéndose un
segundo volumen de terraplén(Vt2).
Finalmente el volumen obtenido corresponde a:
Debe destacarse que los volúmenes calculados anteriormente corresponden a volúmenes geométricos de
las distintas figuras formadas en el terreno, el cual no corresponde a los reales producto que tanto el material
de relleno como el de corte, poseen un esponjamiento producto de sus características geotécnicas, por lo
tanto se debe corregir el volumen de la siguiente manera:
Siempre se debe cumplir que el volumen corregido, sea mayor al volumen geométrico.
Por ejemplo, si se encuentra ejecutando el proyecto de urbanización (pavimentación) en la comuna de
Colina en la Región Metropolitana, y le solicitan determinar las cotas de plataforma de un tramo, cuyo perfil y
datos obtenidos en terreno son los siguientes:
Punto Distancia Parcial [m] Dist. Acum. [m] Cotas [m] Cotas Plataforma [m]
1 --- --- 97,25
2 45 45 102,30
3 60 105 96,50
4 50 155 101,98
5 48 203 104,85
6 55 258 99,75
Las especificaciones de proyecto indican lo siguiente:
- Que la plataforma, en toda su longitud, quede formada por una pendiente o gradiente única

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- Que la pendiente o gradiente mínima de la plataforma sea ≥0,5% en el sentido 1-6
- Que la pendiente o gradiente máxima de la plataforma sea ≤4,0% en el sentido 1-6
- Que la cota de la plataforma en el punto 1 sea 97,75 m
- Que la relación altura corte-terraplén sea 𝛴Hc/𝛴Ht = 1,20
Para comenzar se realiza el perfil de terreno natural, con el fin de tener un idea de la situación del proyecto.
Imagen 3.2.7: “Perfil Longitudinal del Terreno”
Fuente: Archivo de Evaluaciones Catedra de Topografía Construcción Civil UC.
Luego, se debe determinar la pendiente que tendrá la futura plataforma, para esto se debe utilizar la relación
entre las alturas de corte y las alturas de terraplén, además se debe considerar matemáticamente, los
valores de las cotas de plataforma, con una pendiente “p” a determinar.
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Ahora, si se analiza la relación entre alturas de corte y altura de terraplén (1,23), se puede apreciar que la
línea de la plataforma irá pasando aproximadamente por el medio de las cotas de terreno natural, quedando
como alturas de corte (Hc) y alturas de terraplén (Ht) las siguientes:
Punto Hc [m] Ht [m]
1 97,75 – 97,25 = 0,50
2 102,30 – (97,75 + p*45)
3 (97,75 + p*105) – 96,50
4 101,98 – (97,75 + p*155)
5 104,85 – (97,75 + p*203)
6 (97,75 + p*258) – 99,75
∑Hc - 403*p ∑Ht -0,25 + 363*p
Se puede apreciar que se realizo la suma de las alturas de corte y de terraplén, luego utilizando la relación
especificada:

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∑
∑
Finalmente con la pendiente de proyecto se determinan las cotas de la plataforma:
[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
Para el mismo proyecto citado anteriormente, pero en otro tramo de la urbanización, se requiere determinar
los volúmenes de corte y/o terraplén en los sub-tramos C-D y C-E, en base a la siguiente información
topográfica:
Punto
Distancia
Parcial [m]
Dist. Acum.
[m]
Cotas [m]
Cotas
Plataforma [m]
A --- --- 95,02 97,75
B 32 32 99,25 97,43
C 42 74 100,30 97,01
D 25 99 97,20 96,76
E 36 135 94,30 96,40
F 27 162 99,25 96,13
Se debe cumplir con:
- Que la relación de los taludes de corte en el perfil tipo sea H/V= 2/3
- Que la relación de los taludes de terraplén en el perfil tipo sea H/V= 3/2
- Que la plataforma tenga un ancho de 8,00 m
- Que la pendiente de bombeo sea 0%
Para comenzar se requiere determinar las alturas de corte y terraplén correspondientes:
Punto
Distancia
Parcial [m]
Dist. Acum.
[m]
Cotas [m]
Cotas
Plataforma
[m]
Hc [m] Ht [m]
A --- --- 95,02 97,75 2,73 -
B 32 32 99,25 97,43 - 1,82
C 42 74 100,3 97,01 - 3,29
D 25 99 97,2 96,76 - 0,44
E 36 135 94,3 96,4 2,1 -
F 27 162 99,25 96,13 - 3,12

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Se puede apreciar que el sub-tramo C-D corresponde a corte-corte, por lo tanto:
Imagen 3.2.8: “Perfil Transversal punto C”
[ ]
[ ]
Imagen 3.2.9: “Perfil Transversal punto D”
[ ] [ ]
[ ]
( √ )
( √ ) [ ]
Si se analiza la tabla que contiene las alturas de corte y terraplén, se puede apreciar que el tramo D-E
corresponde a corte-terraplén, por lo tanto:
Imagen 3.2.10: “Perfil Transversal punto D”

Página 31 de 47
[ ] [ ]
[ ]
Imagen 3.2.11: “Perfil Transversal E”
[ ] [ ]
[ ]
El volumen se calcula separando en corte y terraplén, primero se debe determinar la longitud de corte y de
terraplén, para luego determinar cada volumen por separado.
[ ]
[ ]
Finalmente el volumen viene dado por:
[ ]
[ ]
Al determinar el perfil que poseerá un camino u otro tipo de obra que implique movimientos de tierra,
además de deber cumplir con las especificaciones sobre pendientes, curvas verticales, horizontales,
longitudes, entre otros, se debe conseguir la mayor economía desde el punto de vista del movimiento de
tierra en si mismo. Siempre se debe considerar que hay que rellenar y excavas solo en aquellos caso en los
cuales sea completamente necesario y velar por obtener las menores distancias de transporte posible (y de
preferencia a favor de la pendiente, es por esto que se desarrolla un método para poder determinar
parámetros como las distancias de transporte y el volumen máximo de material de corte que es conveniente
acarrear a botadero, dicho método se denomina “Grafico de Brückner” o “Curva de Masas”.
El grafico de Brückner, corresponde a una representación grafica de los movimientos de tierra, en la cual el
eje ordenado representa los volúmenes acumulados, correspondientes a la suma algebraica entre cortes y
terraplenes) y el eje de las abscisas a las distancia respecto del origen, en el sentido de avance de las
excavaciones, corresponde al mismo eje de las abscisas en un perfil longitudinal del mismo proyecto.
Las propiedades de la curva de masa son:
a) El diagrama crece, es decir se tiene pendiente positiva cuando se trata de cortes y decrece, ósea la
pendiente es negativa cuando hay rellenos o predomina el terraplén.

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b) Los puntos de inflexión del diagrama corresponden a los puntos de paso en el perfil longitudinal. En los
puntos donde se presenta un cambio de corte a terraplén, representa un máximo en las ordenadas y
cuando pasa de terraplén a corte representa un mínimo.
Imagen 3.2.12: “Paralelo Perfil longitudinal-Grafico de Brückner”
c) La variación en el valor de la ordenada entre 2 puntos cualquiera, indicara la diferencia de volumen
entre dichos puntos, el volumen corresponde a corte cuando la diferencia es positiva y a terraplén en el
caso que la diferencia sea negativa.
d) En los puntos en que la curva corta la línea de base, hay compensación de volúmenes, pues en esos
puntos la suma algebraica de cortes (+) y terraplenes (-) es cero.
e) Cuando la curva termina en la línea de los ceros, hay compensación absoluta. Si no es así, la ordenada
extrema representa el exceso de corte, si queda por encima del cero o el exceso de relleno si queda
por debajo de la línea.
f) Cualquier línea horizontal que corta la curva en 2 extremos, marcara 2 puntos con la misma ordenada
de corte y terraplén, indicando así la compensación en este tramo, por lo que serán iguales los
volúmenes de corte y terraplén. Esta también seria la línea de balance (Ver M.N y R-S en Imagen
3.2.12).
g) Si la línea se encuentra por sobre la horizontal, el transporte de tierras se realizara la izquierda a
derecha, ya que se compensan los volúmenes extraídos de la zona de cortes que están a la izquierda
del monte trasladándolos a la zona de rellenos que está a la derecha. Si está debajo de la horizontal, se
está en un valle, por lo mismo, el transporte se ejecuta de derecha a izquierda, en sentido contrario al
avance del proyecto.
h) El área comprendida en un segmento cerrado representa los momentos de transporte de los
volúmenes que se compensan.
i) El cociente entre el área de un segmento cerrado y la ordenada máxima que representa los volúmenes,
nos entrega la distancia media de transporte.

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Imagen 3.2.13: “Distancia media de transporte”
Existen 2 tipos de botadero, los botaderos puntuales, que son aquellos que se encuentran en un punto
especifico y la distancia a estos corresponde al punto donde se ubica, y los en extensión, que corresponde a
aquellos botaderos que cubren un extensión de terreno determinada en estos caso se considera el botadero
como una sección triangular donde uno de sus catetos corresponde a la longitud del botadero y el otro cateto
(la altura) corresponderá a la altura que se lleva a botadero.
Por ejemplo, para la habilitación de una nueva faena minera, en el norte de nuestro país, se han efectuado
algunas mediciones topográficas y geotécnicas para obtener información importante de los volúmenes de
tierra que contempla el sector. Estos datos se presentan en la siguiente tabla:
Tramo
Distancia V.cg V.tg V.cc V.tc V. exc. V. acum.
[m] [m
3
] [m
3
] [m
3
] [m
3
] [m
3
] [m
3
]
0-1 125 840 1512 1050
1-2 110 200 1200 240 1500
2-3 80 540 648 150
3-4 110 750 240 900 300
4-5 125 700 360 450
5-6 168 900 900
El estudio de mecánica de suelos ha determinado que para el tipo de suelo predominante, el
esponjamiento es del 20%.
Por los volúmenes comprometidos de movimientos de tierras en el sector, Ud. cuenta con 2 botaderos,
los cuales tienen las siguientes características:
Capacidad
[m
3
]
Valor
[$/m
3
]
Tipo de
Botadero
Ubicación
Costo Transporte
[$/m
3
x ml]
Botadero
1
180 1300 Extensión 100m
80 m a la
derecha de 1
300
Botadero
2
285 800 Puntual
60 m a la
derecha de 5
350

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Usted debe realizar un informe con el siguiente contenido:
i. Hoja de registro del resumen de movimiento de tierras completada.
ii. Gráfico de Brückner para la situación inicial, identificando el excedente o déficit (ubicación y
cantidad), la línea de balance y el sentido del movimiento de tierras.
iii. Determinar la nueva línea de balance para optimizar el traslado de tierras a los botaderos que se
encuentran en la zona, de tal forma de repartir todo el excedente a un menor costo.
iv. Determinar la DMT para cada botadero.
v. Cuantificar el costo de traslado del volumen sobrante de tierras.
Para completar la hoja de registro, se deben determinar los volúmenes geométricos y compensados en base
a las siguientes formulas:
Por lo tanto:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Luego los volúmenes excavados corresponderán a la diferencia entre Vcc y Vtc de la siguiente manera:
[ ]
Tramo Distancia Vcc Vtc Vexc V acum
[m] [m
3
] [m
3
] [m
3
] [m
3
]
0-1 125 1512 1050 462 462
1-2 110 240 1500 -1260 -798
2-3 80 648 150 498 -300
3-4 110 900 300 600 300
4-5 125 840 450 390 690
5-6 168 900 1125 -225 465

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Para realizar el grafico se debe colocar en el eje ordenado los volúmenes acumulados y en el eje de las
abscisas la distancia total desde 0 a 6, ingresando cada valor según su volumen acumulado y la sumatoria
de distancias parciales hasta dicho punto.
Imagen 3.2.14: “Grafico de Brückner”
Fuente: Elaborado por Fernando Herrera J.
Para determinar la línea de balance óptima lo más eficas es verificar la información de los botaderos.
Capacidad
[m
3
]
Valor
[$/m
3
]
Tipo de
Botadero
Ubicación
Costo Transporte
[$/m
3
x ml]
Botadero
1
180 1300 Extensión 100m
80 m a la
derecha de 1
300
Botadero
2
285 800 Puntual
60 m a la
derecha de 5
350
Como se puede apreciar en la tabla anterior, se tiene una capacidad de 180 [m
3
] al inicio del tramo, por lo tanto para
optimizar el transporte de material, se transporta a botadero 1 todo el material posible que se encuentra a su entorno, a
modo de evitar mayores costos de transporte y el material sobrante, se transportara a botadero 2, de la manera que
muestra el siguiente grafico.
Imagen 3.2.15: “Grafico de Brückner-Cambio línea de balance”
Luego se procede a determinar la distancia media de transporte a cada botadero (DMTB1 y DMTB2)

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Botadero 1: En extensión 100 m.
Como hay que minimizar los costos, la solución más factible es llevar 180 m3 al botadero 1 y el
restante (285 m3) al botadero 2, desde el excedente 2.
Para calcular la base del triángulo que se forma bajo la curva se tiene:
[ ]
Imagen 3.2.16: “Cálculo de DMT1”
[ ]
.
[ ]
[ ]
[ ]
Botadero 2: Puntual.
Llevar los 285 m3 restantes al botadero 2, desde el excedente 2. La situación planteada es la
siguiente:
Imagen 3.2.17: “Cálculo DMT2”
Cálculo de distancias:
[ ]

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[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Finalmente los costos vienen dados de la siguiente manera:
Botadero Costo Botadero Costo Transporte Costo Total
1 180 x $1.300 = $234.000- 230,65 x $300= $69.195- $303.195-
2 285 x $800 = $228.000- 174,32 x $350= $61.012- $289.012-
Costo Total: $592.207-
Se debe destacar la gran utilidad del grafico de Brückner, para determinar los medios mas favorables para realizar los
movimientos de tierras en un proyecto de construcción longitudinal, donde los costos de transporte de material son una
variable de gran influencia en los costos finales del proyecto.
3.3.- Ejercicios propuestos.
3.3.1.-Curvas de nivel.
3.3.1.1.-En el predio “Alto del Carmen” ubicado en la región Metropolitana se ha realizado un plano de
curvas de nivel. Usted como Constructor necesita hacer una planificación de las futuras obras en el predio,
para esto debe presentar la caracterización del terreno indicado en la planta adjunta. Especifique cada tipo
de accidente topográfico existente en el lugar, escribiendo su nombre, en el mismo plano, sobre el accidente.

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Imagen 3.3.1.1: “Curvas de nivel Alto del Carmen”
Fuente: Archivo de Evaluaciones Catedra de Topografía construcción Civil UC.
3.3.1.2.-En el sector de Hospital, ubicado en Paine, se desea construir un sistema de regadío y un camino
agrícola para extraer las plantaciones de los predios de los habitantes del lugar, que son en su mayoría
pequeños agricultores. Usted ha sido contratado para el estudio y ejecución del canal que proveerá de agua
al sector de la parcela Nº 9 cuyo plano se adjunta. Específicamente usted debe determinar:
a) El perfil longitudinal que une los puntos A y B.
b) La alternativa del trazado correspondiente para el canal de regadío entre los puntos C y D, con una
pendiente del canal entre 0,2% y 1%, siendo la pendiente óptima de 0,5%. Indique además, en el trazado
propuesto, dónde se encuentra la pendiente máxima y mínima.

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Imagen 3.3.1.2: “Curvas de nivel Hospital de Paine”
Fuente: Archivo de Evaluaciones Catedra de Topografía construcción Civil UC.

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3.3.2.-Calculo de volúmenes.
3.3.2.1.-Metodo de Cuadriculas.
En la empresa constructora Sigro, donde usted trabaja, se encuentra a cargo de la materialización de una
plataforma para descarga de camiones en la zona de Talca, para lo cual se ha realizado una nivelación
trigonométrica a un cuadriculado de 20x20 metros, entregando la siguiente información:
1 2 3 4 5
A 94,8 95,7 97,3 99,9 99,75
B 94 94,9 96,3 97,65 98,9
C 92,6 94,3 95,8 96,9 98,3
D 92,8 93,95 95,3 96,5 97,8
Unidades en [m]
a) Determinar la pendiente longitudinal y transversal, considerando una cota de plataforma de 96,9 m
en el punto C4, corte máximo 1,5m y terraplén máximo de 1m.
b) Determinar cotas de la plataforma y ubicar la Línea de Paso entre las cuadrículas del terreno.
c) Determinar el volumen geométrico de Corte. (Utilizando la formula simplificada para una zona de
cuadriculas completas y la fórmula para cuadriculas incompletas)
Respuesta:
a)
b)
1 2 3 4 5
A 95,10 96,20 97,30 98,40 99,50
B 94,35 95,45 96,55 97,65 98,75
C 93,60 94,70 95,80 96,90 98,00
D 92,85 93,95 95,05 96,15 97,25
Imagen 3.3.2.1: “Línea de Paso”

Página 41 de 47
c)
Vol. C. Completas [m
3
] 415
Vol. C. Incompletas [m
3
] 116,67
Vol. Total [m
3
] 531,67
3.3.2.2.-Metodo de Curvas de Nivel.
Usted ha sido contratado por la Viña Concha y Toro para la materialización de la “Bodega Nueva Aurora” en
el valle de Limarí, para lo cual se debe materializar una plataforma. Las dimensiones de la plataforma son
150m x 60m, completamente horizontal y ubicada en la cota 95m. De acuerdo al plano de curvas de nivel
que se adjunta, usted deberá calcular el volumen de corte geométrico para cumplir con los requerimientos y
el número de camiones de 21 m3 que se deberían utilizar para el transporte considerando un esponjamiento
del suelo de un 30%.
Imagen 3.3.2.2: “Curvas de Nivel de la Plataforma”
Respuesta:
Imagen 3.3.2.3:”Linea de paso”
Superficie [m2
]
95 4387,5
96 3150
98 450
100 0

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Volumen Total= 7668,7 [m
3
]
Volumen Esponjado= 9969,38 [m
3
]
N° de Camiones: 475
3.3.2.3.-Perfiles Longitudinales y Transversales.
La empresa “TOUCH”, en la cual usted trabaja, ha sido contratada para la construcción de nuevas vías de
acceso a las zonas periféricas y pre-cordilleranas de la Región Metropolitana, producto de la alta demanda
de viviendas en este sector. Por sus conocimientos en topografía y caminos, le solicitan a usted realizar los
cálculos de la plataforma del proyecto. Según el estudio topográfico realizado se obtiene la siguiente
información del terreno natural:
Punto Distancia (m) Cota (m)
1 -- 53,496
2 34 55,407
3 50 53,993
4 37 53,545
5 49 54,223
6 32 55,007
7 25 54,736
Además, se conoce que:
- Las pendientes o gradientes se mantienen constante entre los tramos 1-3, 3-5 y 5-7.
- La cota de inicio de la plataforma es 53,750 m y en el punto 5 tiene el mismo valor que el terreno
natural.
- En el tramo 1-3 existe una gradiente y una relación altura corte-terraplén de HC/HT = 1,15.
- La relación de los taludes de corte en el perfil tipo sea H/V = 2/3.
- La relación de los taludes de terraplén en el perfil tipo sea H/V = 3/2.
- El ancho de la vía es de 15 metros.
Usted debe:
a) Calcular la gradiente en el tramo 1-3.
b) Calcular la pendiente en el tramo 3-5.
c) Calcular la cota final de la plataforma (punto 7) sabiendo que en el tramo 5-7 existe una gradiente de
0,8%.
d) Calcular todas las cotas de la plataforma.
e) Realizar el perfil de la situación planteada (incluir terreno natural y plataforma).
f) Calcular el volumen de corte y/o terraplén entre los puntos 2 y 3.
Respuestas:
a) P1-3%=0, 01259=1,3%
b) CP3= 54,842 [m]; P3-5= -0,00719= -0,72%
c) CP7= 54,679 [m]

Página 43 de 47
d)
Punto
Cota
Plataforma
[m]
1 53,750
2 54,192
3 54,842
4 54,576
5 54,223
6 54,479
7 54,679
e)
Imagen 3.3.2.3: “Perfil de la situación”
f) Vc=282,693[m
3
]; Vt=142,078[m
3
]
Vol Corte
Vol
Terraplén
282,693 142,078

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3.3.2.4.-Grafico de Brückner.
En la V región de nuestro país se ejecutará la construcción de un proyecto ferroviario de alta importancia. La
empresa en la cual usted se desempeña, por motivos que aún se están investigando, ha perdido parte de
información relevante para el estudio del proyecto, por lo que debe completar el siguiente cuadro de
movimientos de tierras:
Tramo V cg [m
3
] V tg [m
3
] V cc [m
3
] V tc [m
3
] V exc [m
3
] V acum [m
3
]
0-1 557,1 210,0
1-2 1035,7 1450,0 290,0 1160,0 1590,0
2-3 292,9 1290,0 410,0 2150,0 -1740,0
3-4 1098,0 290,0 1830,0 -1690,0
4-5 371,4 594,0 520,0 -470,0 -2160,0
5-6 2128,6 2980,0 1350,0 1630,0
6-7 720,0 3120,0 1200,0 1390,0
7-8 478,6 858,0 1430,0 -760,0 630,0
*Aproxime todos los valores a 1 decimal – A menos que le indiquen lo contrario.
*Considere una distancia de 100 m entre cada tramo.
Con los datos presentados, se le solicita:
a) Calcular el % de Esponjamiento que presenta el suelo (aproxime al entero).
b) Completar la hoja de registro de volumen de movimiento de tierras.
c) Realizar el gráfico de Brückner indicando la línea de balance (situación inicial).
d) Identificar gráficamente el sentido de movimiento de tierras.
e) Calcular el déficit o excedente de tierras para la situación inicial.
f) Calcular entre qué longitudes (distancias con respecto al origen) se llevan las tierras a botadero en
la situación inicial.
g) Calcular la distancia media de transporte a botadero, si este tiene una extensión de 100 metros y se
encuentra a 180 metros del final del proyecto.
h) Calcular el costo total de llevar a botadero si se sabe que: El costo de tierra cargada es de $580 por
m
3
y un costo adicional de $200 por metro lineal recorrido.
Respuesta:
a) E=40%
b)
Tramo V cg [m
3
] V tg [m
3
] V cc [m
3
] V tc [m
3
] V exc [m
3
] V acum [m
3
]
0-1 557,1 210,0 780 350 430,0 430,0
1-2 1035,7 174,0 1450 290 1160,0 1590,0
2-3 292,9 1290,0 410 2150 -1740,0 -150,0
3-4 207,1 1098,0 290 1830 -1540,0 -1690,0
4-5 371,4 594,0 520 990 -470,0 -2160,0
5-6 2128,6 810,0 2980 1350 1630,0 -530,0
6-7 2228,6 720,0 3120 1200 1920,0 1390,0
7-8 478,6 858,0 670 1430 -760,0 630,0

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c)
Imagen 3.3.2.4: “Grafico de Brückner”
Unidades eje X= [m]; eje Y= [m
3
]
d)
Imagen 3.3.2.5: “Sentido movimiento de tierras”
Unidades eje X= [m]; eje Y= [m
3
]
e) V= 630 [m
3
]
f) Inicio Trayecto= 627,604 [m]
Fin Trayecto= 660,417 [m]
g) DMB = 243.173,385 / 630 = 385,99 [m]
h) Costo Tierra Cargada= $365.400; Costo Transporte= $77.198; Costo Total= $442.598.

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3.4.- Preguntas de Contenidos.
3.4.1.-Responda si es Verdadera o Falsa cada una de las siguientes aseveraciones.
N° V F Aseveración
1 En un proyecto hidráulico para el trazado de un canal, generalmente, este debe
emplazarse casi perpendicular a las curvas de nivel.
2 Para la determinación del acopio de materias primas en una planta de pre-
mezclados de hormigón, es conveniente cubicarlo mediante curvas de nivel.
3
El perfil tipo, de una obra, dibujada en los perfiles transversales de ésta, permite
obtener las superficies de cortes y/o terraplenes y así poder cuantificar los
volúmenes geométricos para determinar las distancias medias de transporte
4
El grafico Brückner resultante de una cubicación por perfiles representa los
excedentes de volúmenes corregidos de excavación y rellenos, representando
los cortes como montes (sobre el eje X) y los terraplenes como valles (bajo el eje
X).
5 La equidistancia entre curvas de nivel, corresponde a la distancia horizontal
entre 2 curvas sucesivas medida en un plano.
6 La vaguada corresponde a una línea en la cual las aguas se separan y bajan por
ambas laderas de un montículo.
7 Corresponde a una zona de pendiente suave, aquella en la cual las curvas de
nivel se encuentran mas juntas.
8 En el calculo de volúmenes por el método de las cuadriculas, no es necesario
determinar las medidas del cuadriculado.
9 Para obtener una mayor precisión al cuantificar el volumen de corte a realizar, es
recomendable utilizar el método de las curvas de nivel.
10 Se recomienda, para la aprobación de proyectos de Loteo, cuya pendiente sea
mayor a un 25% se puede indicar las curvas de nivel cada 5 [m].
11 En el grafico de Brückner, el Eje Y representa los volúmenes geométricos.
12
Los perfiles transversales son aquellos que entregan un corte perpendicular o
concéntrico respecto del perfil longitudinal, es decir en un sentido longitudinal al
eje del proyecto.
13
Al realizar una plataforma para una obra vial, los cortes y terraplenes deben
estar compensados en tramos pequeños, para así disminuir el transporte de
material y optimizar el uso de maquinaria y equipos

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Bibliografía
Benavides, J. F. (s.f.). Archivo Docente de Clases de Catedra de Topografía Construcción Civil UC. Santiago
Chile: Pontificia Universidad Católica de Chile.
Brinker, P. R.-R. (1997). Topografía . Editorial Alfaomega.
(s.f.). Diseño vial definitivo Av. Escalón 2, Capitulo 9.
Durán, L. (2009). Apuntes de Topografía. No publicado, Archivo Electrónico.
G., D. A. (1997). Topografía y sus aplicaciones. Grupo Editorial Patria.
Ghilani, P. R.-C. (2009). Topografía. Editorial Alfaomega.
López, D. S.-G. (2000). Introducción a las Ciencias que estudian la Geometría de la Superficie Terrestre.
Editorial Bellisto.
M.O.P. (2012). Manual de Carreteras. En M.O.P., Volumen 2 Manual de Carreteras. Santiago,Chile: -.
McCormac, J. (2010). Topografía. Editorial Limusa Wiley.
Torres N., Á., & Villate B., E. (2001). Topográfia. Editorial Escuela Colombiana de Ingenieria.
Uribe, C. R. (2010). Levantamientos Topográficos (curvas de nivel). Santiago, Región Metropolitana, Chile.
Varios. (s.f.). Archivo de Evaluaciones Catedra de Topografía Construcción Civil UC. Santiago de Chile:
Pontificia Universidad Catóilica de Chile.

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