Clasificación de Equipos e Instrumentos en Electricidad.docx
CAPITULO 0 - INTRODUCCION.pdf
1. 1
Formulario
Matemáticas y de Estadística descriptiva
U.N.M.S.M. corregido y aumentado
16/09/21 (Curso: Prob. y estadística)
1) ALFABETO GRIEGO
2) MATERIAL MÍNIMO NECESARIO PARA EL CURSO.
(Obligatorio) Calculadora científica fx-82LAPLUS
o similar como la fx-350LAPLUS; inclusive ambas
tienen el mismo manual (no celular como calculadora)
o fx-991LAPLUS
2. 2
Funciones (Todas las instrucciones son para este
modelo de calculadora fx-82)
1) Factorización prima.
2) Números enteros aleatorios.
3) Cálculo de potencias.
4) Combinaciones y permutaciones.
5) 9 decimales de precisión.
6) Estadística: Generación de números
aleatorios; Suma de datos; Suma de
cuadrados de datos; varianza muestral;
correlación lineal de Pearson; regresión
líneal; regresión parabólica; regresión
inversa y otras
(Opcional) Microsoft Excel 2010 (Análisis de
datos), IBM SPSS Statistics 20; Minitab 17; R
Todo cálculo debe ser presentado con un mínimo
de 4 de decimales (los primeros 4 decimales que da la
calculadora); por ejemplo:
4719
.
1
4
)
3
2
10
(
4142
.
1
2
3333
.
0
3
1
2
(en la calculadora)
Para informes; exámenes etc. se tiene que escribir:
4719
,
1
4142
,
1
3333
,
0 respectivamente.
7) SUMATORIAS
n
n
i
i X
X
X
X
...
2
1
1
Ejemplo 1.- Sea la siguiente data referente a la
estatura en metros de un grupo de alumnos; se
introducen la data a la calculadora:
1,70 1,76 1,71 1,69 1,65 1,81
Con la calculadora fácilmente se obtiene el resultado:
1.7+1.76+….+1.81=10.32
2
2
2
2
1
1
2
... n
n
i
i X
X
X
X
3. 3
Ejemplo 2.- Hallar la suma de cuadrados con la
calculadora de las estaturas de la data anterior.
1.7/x2
/+1.76/x2
/+….+1.81/x2
/=17.7664
K
k
i
i
k
i
i X
f
X
f
X
f
X
f
...
2
2
1
1
2
2
2
2
2
1
1
2
1
... k
k
i
k
i
i X
f
X
f
X
f
X
f
n
i
nk
k
k
k
k
1
...
n
i
i
n
i
i X
c
cX
1
1
nk
X
c
k
cX
n
i
i
n
i
i
1
1
)
(
n
i
i
n
i
i
i
n
i
i Y
X
Y
X
1
1
1
)
(
)
(
);
sin
( 1
1
tabulados
datos
n
X
f
X
tabular
datos
n
X
X
k
i
i
i
n
i
i
0
)
(
1
X
X
n
i
i
(Suma de las desviaciones respecto a la media es idénticamente
cero)
i
X : datos originales mayúscula
X
X
úscula
x i
i
)
(min : datos expresados en
desviaciones respecto a la media.
Ejemplo 3.- Sean los datos originales:
6
;
7
;
2 3
2
1
X
X
X . La media muestral es 5
3
6
7
2
X ;
luego los datos expresados en desviaciones respecto a
la media son: 1
5
6
;
2
5
7
;
3
5
2 3
2
1
x
x
x
n
X
X
X
n
X
X
X
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
2
1
1
2
2
1
2
2
1
)
(
n
X
f
X
n
X
f
X
f
X
n
X
f
X
X
f
k
i
i
i
k
i
i
i
k
i
i
i
k
i
i
i
k
i
i
i
1
2
1
1
2
2
1
2
2
1
;
)
(
2
)
1
(
...
2
1
1
n
n
n
i
n
i
4. 4
30
)
1
3
3
)(
1
2
)(
1
(
;
2
)
1
(
;
6
)
1
2
)(
1
(
2
1
4
3
1
3
1
2
n
n
n
n
n
i
n
n
i
n
n
n
i
n
i
n
i
n
i
1
;
1
1
...
1 1
2
1
1
r
r
r
r
r
r
r
n
n
n
i
i
1
0
;
1
1
....
...
1 1
2
1
1
r
r
r
r
r
r n
i
i
2
3
2
1
1
)
1
(
1
.....
4
3
2
1
r
r
r
r
ir
i
i
3) Principio de multiplicación
Si un suceso 1 puede ocurrir de n1 formas distintas; a
continuación otro suceso 2 puede ocurrir de n2 formas
diferentes; entonces ambos sucesos y en ese orden
pueden ocurrir de n1xn2 formas diferentes.
Ejemplo 4.- Un estudiante tiene 3 pantalones
distintos y 4 camisas distintas.
¿De cuántas maneras diferentes se puede presentar a
clases?
Un diagrama de árbol nos presenta el número total de
casos:
Por el principio de multiplicación se tiene que el
suceso 1 (elección del pantalón) puede ocurrir de n1=4
formas distintas; una vez elegido el pantalón, otro
suceso 2 (elección de la camisa) puede ocurrir de n2 =3
5. 5
formas diferentes. Entonces ambos sucesos pueden
ocurrir de n1xn2 = 4x3=12 formas diferentes.
4) Principio de adición.
Si un suceso 1 puede ocurrir de n1 formas distintas; a
continuación otro suceso 2 puede ocurrir de n2 formas
diferentes; supongamos que ambos sucesos no
pueden ocurrir simultáneamente; entonces el número
de formas distintas con que pueden ocurrir el suceso 1
o el suceso 2 es de n1+n2 formas diferentes.
Ejemplo 5.-
Un turista para ir de Lima a Cuzco tiene 3 líneas aéreas
diferente para hacerlo y 2 líneas de buses ¿De cuantas
formas diferentes puede hacer el viaje?
Solución.-
Suceso 1: elegir una línea aérea n1=3
Suceso 2: elegir una línea de bus n2=2
Obviamente no se puede hacer el viaje de Lima a Cuzco
en los dos medios de transporte; luego el número de
formas con que el turista puede de Lima a Cuzco es
n1+n2=3+2=5 formas.
5) Factorial; Permutaciones; Coeficiente Binomial
a) Factorial de un número entero positivo o cero
)
1
)(
2
)(
3
)....(
2
)(
1
(
!
n
n
n
n
)!
2
)(
1
(
!
)
1
(
!
n
n
n
n
n
n
1
!
0 (Por definición)
1
!
1
2
)
1
(
2
!
2
6
)
1
)(
2
(
3
!
3
24
)
1
)(
2
)(
3
(
4
!
4
; 120
)
24
(
5
)
!
4
(
5
!
5
720
)
120
(
6
)
!
5
(
6
!
6
; 5040
)
720
(
7
)
!
6
(
7
!
7
........
3628800
)
362880
(
10
)
!
9
(
10
!
10
Ejemplo 6.-
6. 6
Cálculo del factorial de 10
ENC(encendido)/10/SHIFT/x!/=3628800
Similar para el cálculo del factorial de 8
8/SHIFT/x!/=40320
b) Coeficiente binomial; o número combinatorio de
n objetos diferentes (muestreo sin
reemplazamiento, no importa el orden)
N
k
Z
k
n
k
n
k
n
n
k
n
n
n
n
nCk
C
k
n n
k
;
;
;
!
)
(
!
!
!
)
1
)...(
2
)(
1
(
Ejemplo 7.-
56
6
)
6
)(
7
(
8
!
3
!
5
!
5
)
6
)(
7
(
8
!
3
!
5
!
8
5
8
;
56
6
)
6
)(
7
(
8
!
5
!
3
!
5
)
6
)(
7
(
8
!
5
!
3
!
8
3
8
Ejemplo 8.-
Con la calculadora: 8/SHIFT/nCr/5/=56
Otro ejemplo; calcular 20
12
C
20/SHIFT/nCr/12/=125970
Propiedades:
I.
k
n
n
k
n
; n
n
n
n
1
1
; 1
0
n
n
n
Ejemplo 9.-
3
8
5
8
; 8
!
7
!
1
8
1
8
; 8
!
1
!
7
!
8
7
8
1
8
8
Ejemplo 10.-
7. 7
Con la calculadora hallar
13
20 ;
7
20
13
20
20
y comprobar que ambos
son iguales:
20SHIFT/nCr/13/=77520
20/SHIFT/nCr/7/=77520
II.
1
1
1 k
n
k
n
k
n
;
Ejemplo 11.-
21
2
)
6
(
7
5
7
21
6
15
!
1
!
5
!
6
!
2
!
4
!
6
5
6
4
6
Ejemplo 12.- Comprobar con la calculadora
que se cumple
21
5
7
5
6
4
6
6/SHIFT/nCr/4 + 6/SHIFT/nCr/5/=21
7/SHIFT/nC5/5/=21
III. n
n
n
n
n
b
a
n
n
b
a
n
n
b
a
n
a
n
b
a 0
1
1
1
1
1
...
1
0
)
(
Ejemplo 13.-
4
0
1
4
1
2
2
4
1
4
4
4
4
4
1
4
4
2
4
1
4
0
4
)
( b
a
b
a
b
a
b
a
a
b
a
4
3
1
2
2
3
4
4
4
6
4
)
( b
b
a
b
a
b
a
a
b
a
IV.
n
n
n
n
n
n
n
n
n
1
...
2
1
0
2
)
1
1
(
Ejemplo 14.-
8. 8
16
1
4
6
4
1
4
4
3
4
2
4
1
4
0
4
2
)
1
1
( 4
4
V. Triángulo de Tartaglia
....
..........
..........
..........
..........
..........
..........
1
4
6
4
1
1
3
3
1
1
2
1
1
1
4
4
4
3
4
2
4
1
4
0
3
3
3
2
3
1
3
0
2
2
2
1
2
0
1
1
1
0
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
Los extremos son iguales a 1.
Cada elemento del interior es la suma de los
dos que tiene encima.
VI. 1
1
2
n
n
x
n
x
n
x
VII.
1
1
1
1
1
1
1
1
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
VIII.
n
N
x
n
n
N
x
n
n
x 0
Ejemplo 15.- Verificar la propiedad VIII; con
los valores: N=4; n=2
2
4
6
1
4
1
0
2
2
2
1
2
1
2
2
2
0
2
2
2
4
2
2
0 x
x
x
Ejemplo 16.- Verificar la propiedad VIII con
los valores N=7; n=3
9. 9
3
7
35
1
12
18
4
0
4
3
3
1
4
2
3
2
4
1
3
3
4
0
3
3
3
7
3
3
0 x
x
x
c) Permutaciones de n objetos distintos tomados
de k en k (muestreo sin reemplazamiento;
importa el orden) o también se les llama
Variaciones o Arreglos
!
)
(
!
)
1
)...(
2
)(
1
(
k
n
n
k
n
n
n
n
A
V
nPk
P n
k
n
k
n
k
Propiedad:
!
k
P
C
n
k
n
k
n
k
n
k
C
k
P !
Ejemplo 17.- En una carrera de 400 metros
planos en la que participan 10 atletas se va a
premiar con medalla de oro; medalla de plata y
medalla de bronce. ¿De cuántas formas
diferentes se puede hacer?
720
!
7
!
7
)
8
)(
9
(
10
!
)
3
10
(
!
10
)
8
)(
9
(
10
10
3
P
Ejemplo 18.- Obtener 10
3
P con la calculadora.
10/SHIFT/P3/=720.
En forma similar se puede obtener 10
7
P
10/SHIFT/P7/=604800
d) Permutaciones de n objetos distintos tomados
de n en n (muestreo sin reemplazamiento)
!
!
0
!
!
)
(
!
n
n
n
n
n
P
P n
n
n
Ejemplo 19.- Se tienen tres libros distintos;
uno de álgebra (A); otro de biología (B) y un
10. 10
tercero de castellano (C). ¿ De cuántas maneras
se pueden presentar en fila?
La respuesta es de seis formas diferentes; los
cuales son:
ABC; ACB; BAC; BCA; CAB; CBA
Según la fórmula:
as
dist
formas
P int
6
)
1
)(
2
)(
3
(
!
3
3
Ejemplo 20.- Se disponen de 4 cuadros
diferentes que serán colocados en fila en una
pared. ¿De cuántas maneras diferentes se
pueden hacer?
24
)
1
)(
2
)(
3
(
4
!
4
4
P
e) Permutaciones con repetición de n objetos;
donde hay n1 objetos iguales; n2 objetos
iguales;….; nk objetos iguales. Donde
n1+n2+…nk=n
!
!...
!
!
)
(
2
1
;...;
; 2
1
k
n
n
n
n
n
n
n
n
PR k
En particular si k=2; n1+n2=n; n2=n-n1
1
1
1
; 1
2
1
!
)
(
!
!
)
(
n
n
C
n
n
n
n
PR n
n
n
n
n
Ejemplo 21.- Se tienen 6 carros nuevos para
su presentación en fila; 3 de ellos son idénticos;
2 de ellos son idénticos y el último es diferente a
los anteriores. ¿De cuántas formas diferentes se
puede hacer?
60
2
)
4
)(
5
(
6
!
1
!
2
!
3
!
6
)
( 6
1
;
2
;
3
PR
Ejemplo 22.- Obtener 10
2
;
3
;
5
)
(PR con la
calculadora
10/SHIFT/!/÷(5!x3!x2!)=2520
11. 11
En forma similar se puede calcular 16
2
;
4
;
10
)
(PR
16!÷(10!x4!x2!)=120120
f) Permutaciones con repetición de n objetos;
donde puede haber repetición dentro de sus
elementos; se toman k objetos uno por uno con
reemplazamiento (orden importa)
k
n
k
n
(Pr) ; en este caso puede ser k>n
Ejemplo 23.- ¿Cuántos números de seis
dígitos se pueden hacer con los números 1; 5 y 8
6
;
3
k
n
729
3
(Pr)
(Pr) 6
6
3
k
n
k
n
Ejemplo 24.- ¿Cuántos números de 11 dígitos
se pueden con los dígitos 3; 5; 7; 9. Use la
calculadora.
4194304
4
(Pr)
(Pr) 11
11
4
k
n
k
n
4/x■
/11/=4194304
g) Combinaciones con repetición
Se tienen n elementos diferentes; se va a tomar k
de ellos tomados uno por uno con
reemplazamiento y el orden no interesa;
entonces se está al frente de combinaciones con
repetición:
)!
1
(
!
)!
1
(
1
)
( 1
n
k
k
n
C
k
k
n
CR k
n
k
n
k
Ejemplo 25.- ¿Cuántas combinaciones con
repetición se pueden hacer con 3 objetos
distintos; tomados de 2 en 2?
Sean los 3 objetos diferentes a; b; c.
12. 12
Los resultados posibles se dan a continuación:
ab; ac; bc; aa; bb; cc
Según la fórmula
6
2
4
2
1
2
3
)
(
;
2
;
3 3
2
CR
k
n
Ejemplo 26.- ¿Cuántas combinaciones con
repetición se pueden hacer con 3 objetos
distintos; tomados de 3 en 3?
Sean los 3 objetos diferentes a; b; c. Los
resultados posibles se dan a continuación:
abc (1 caso)
abb (1 caso); acc (1 caso)
bcc (1 caso); baa (1 caso)
cbb (1 caso); caa (1 caso);
aaa (1 caso); bbb (1 caso); ccc (1 caso)
Según la fórmula se tiene:
10
3
5
3
1
3
3
)
(
;
3
;
3 3
3
CR
k
n
Ejemplo 27.- Se tienen 5 objetos distintos
denotados por 1; 2; 3; 4; 5; se toma de 2 ellos:
a) Importa el orden (uno por uno sin
reemplazamiento)
Primera extracción
1 2 3 4 5
1 (2;1) (3;1) (4;1) (5;1)
2 (1;2) (3;2) (4;2) (5;2)
3 (1;3) (2;3) (4;3) (4;5)
4 (1;4) (2;4) (3;4) (5;4)
5 (1;5) (2;5) (3;5) (4;5)
20
4
5
!
)
2
5
(
!
5
5
2
x
P casos.
13. 13
b) No importa el orden (uno por uno sin
reemplazamiento)
Primera extracción
1 2 3 4 5
1
2 (1;2)
3 (1;3) (2;3)
4 (1;4) (2;4) (3;4)
5 (1;5) (2;5) (3;5) (4;5)
10
!
3
!
2
!
5
5
2
C casos.
c) Importa el orden (uno por uno con
reemplazamiento)
Primera extracción
1 2 3 4 5
1 (1;1) (2;1) (3;1) (4;1) (5;1)
2 (1;2) (2;2) (3;2) (4;2) (5;2)
3 (1;3) (2;3) (3;3) (4;3) (5;3)
4 (1;4) (2;4) (3;4) (4;4) (5;4)
5 (1;5) (2;5) (3;5) (4;5) (5;5)
25
5
(Pr) 2
k
n
k
n
d) No importa el orden ( uno por uno con
reemplazamiento)
Primera extracción
1 2 3 4 5
1 (1;1)
2 (1;2) (2;2)
3 (1;3) (2;3) (3;3)
4 (1;4) (2;4) (3;4) (4;4)
5 (1;5) (2;5) (3;5) (4;5) (5;5)
14. 14
15
!
4
!
2
!
6
2
6
2
1
2
5
)
(
;
2
;
5 5
2
CR
k
n
casos.
En general:
Sin
reemplazamiento
Con
reemplazamiento
Importa
el
orden
!
)
(
!
k
n
n
Pn
k
k
n
No
importa
el orden
!
)
(
!
!
k
n
k
n
Cn
k
!
)
1
(
!
!
)
1
(
1
)
(
n
k
k
n
k
k
n
CR n
k
NOTACIONES GENERALES (ESTADÍSTICA)
1. N: tamaño de la población.
2. n: tamaño de la muestra. )
( N
n
3.
N
X
n
I
i
1
: parámetro; media poblacional (Variables cuantitativas)
4.
N
X
N
i
i
1
2
2
)
(
: parámetro, varianza poblacional. (Variables cuantitativas)
5. 2
: parámetro, desviación estándar poblacional. (variable cuantitativa)
6.
N
stica
caracterí
cierta
con
población
la
en
elementos
de
nro
p
.
parámetro poblacional (variable cualitativa)
n
tica
carácterís
cierta
con
muestra
la
en
elementos
de
número
p
ˆ
( proporción muestral o proporción poblacional estimada; p̂ se lee p estimado)
15. 15
k : número de valores distintos de una variable
discreta o número de intervalos de clase en
variables continuas.
Número de intervalos de clase en la construcción
de tablas de frecuencia en el caso continuo:
Existen tres opciones:
Tomar k de forma moderado tal que 5k 15
.
k n
(donde significa aproximadamente)
k= )
log(
3
,
3
1 n
. Fórmula de Sturges
R=recorrido de la variable=Xmáx - Xmin
c: amplitud constante de los intervalos de clase;
donde
K
R
c
i
f : frecuencia absoluta.
n
f
h i
i
: frecuencia relativa
i
i
f
f
f
F
...
2
1
: frecuencia absoluta acumulada.
i
i
h
h
h
H
...
2
1
: frecuencia relativa acumulada.
k
k
H
H
H
F
F
F
....
;
.... 2
1
2
1
k
i
h
H
H
f
F
F i
i
i
i
i
i
;...;
3
;
2
;
; 1
1
6) MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
1.
X
M
X : media muestral o media aritmética o promedio.
16. 16
n
X
X
n
i
i
1
: media muestral de datos sin tabular.
n
X
f
X
k
i
i
i
1
: media muestral de datos tabulados.
Propiedades de la media aritmética ]
[X
M
X
a) K
K
M
]
[ b) K
X
M
K
X
M
]
[
]
[
c) ]
[
]
[ X
cM
cX
M
d) k
X
cM
k
cX
M
]
[
]
[ e) ]
[
]
[
]
[ Y
M
X
M
Y
X
M
f)
2
1
2
2
1
1
n
n
X
n
X
n
X
(media global) g) max
min
X
X
X
h) 0
)
(
1
X
X
n
i
i
(suma de las desviaciones respecto a la media es idénticamente cero)
2. e
M : mediana “término central de los datos
ordenados de menor a menor”.
2
1
n
X
Me : n es impar.
2
1
2
2
n
n
X
X
Me : n es par.
3. Cuartiles para datos sin tabular
4
1
1 n
X
Q : primer cuartil
4
)
1
(
2
2 n
X
Q : segundo cuartil
4
)
1
(
3
3 n
X
Q : tercer cuartil.
4.
1
1
*
1
2
j
j
j
j
e
F
F
F
n
c
x
M : Mediana: caso continuo.
17. 17
5. Md :Moda
6.
)
(
)
(
)
(
1
1
1
*
1
j
j
j
j
j
j
j
f
f
f
f
f
f
c
x
Md :Moda caso
continuo
7. Cuartiles: Caso continuo
Primer cuartil
1
1
*
1
1
4
k
k
k
k
F
F
F
n
c
x
Q
Segundo cuartil
Me
Q
2
: segundo cuartil.
Tercer cuartil.
1
1
*
1
3
4
3
l
l
l
l
F
F
F
n
c
x
Q
8. Rango Medio=RM=
2
max
min
X
X
9. Eje medio=
2
3
1
Q
Q
d
e
M
M
X
: Distribuciones simétricas
18. 18
d
e
M
M
X
: Distribución asimétrica (asimetría
negativa)
X
M
M e
d
: Distribución asimétrica (asimetría
positiva)
)
(
3 e
d
M
X
M
X
(distribuciones moderadamente asimétricas)
7) MEDIDAS DE VARIABILIDAD O DISPERSIÓN
(Absolutas)
1)
1
. 1
2
1
2
n
n
X
X
S
e
d
n
i
n
i
i
i
desviación estándar o típica muestral.
1
.
1
2
1
2
n
n
X
f
X
f
S
e
d
k
i
k
i
i
i
i
i
(datos tabulados)
2)
1
1
2
1
2
2
n
n
X
X
S
n
i
n
i
i
i
= varianza muestral insesgada o cuasivarianza (datos sin tabular)
19. 19
1
2
1
1
2
2
n
n
X
f
X
f
S
k
i
i
i
k
i
i
i
= varianza muestral insesgada o cuasivarianza
3) min
max
X
X
R
:Recorrido muestral
4) Algunos textos definen una varianza muestral diferente a la
definida en 2); pues en lugar de dividir entre n-1 lo divide
entre n; a esta varianza se le llama varianza muestral
sesgada; es dada por:
n
n
X
X
S
n
i
n
i
i
i
1
2
1
2
2
*
;
2
*
*
S
S
Si 30
n ambas varianzas son muy
próximas; la relación exacta entre ambas
es:
2
2
*
2
*
2 1
1
S
n
n
S
S
n
n
S
Propiedades de la varianza muestral ]
[
2
X
Var
S
I) 0
]
[
k
Var
II) ]
[
]
[ X
Var
k
X
Var
III) ]
[
]
[ 2
X
Var
c
cX
Var
IV) ]
[
]
[ 2
X
Var
c
k
cX
Var
V) tes
independie
Y
e
X
Y
Var
X
Var
Y
X
Var ];
[
]
[
]
[
.
VI) 0
]
[
2
X
Var
S
5) RECORRIDO INTERCUARTILICO: (RI )
1
3
Q
Q
RI
6) DESVIACIÓN MEDIA: (D)
20. 20
n
X
X
DM
n
i
i
1
;
n
X
X
f
DM
k
i
i
i
1
10. COEFICIENTE DE VARIACIÓN (Medida de dispersión
Relativa)
X
S
CV ; expresado en %: )
(
100
100
X
S
CV
a) CV<0,05 (o 100CV<5%) “varianza pequeña”;
CV>0,05 (o 100CV>5%) “varianza grande”.
b) Sirve para comparar la variabilidad de dos o
más grupos con diferente media muestral; los
grupos pueden ser de distinto tamaño e
incluso pueden estar en distintas unidades)
11. MEDIDAS DE ASIMETRÍA
Usaremos el llamado coeficiente de asimetría (usado
por el Excel o el SPSS)
3
1
3
)
(
)
2
)(
1
(
.
.
S
X
X
n
n
n
A
C
n
i
i
: coeficiente de
asimetría
Si
negativa
asimetría
simétrica
positiva
asimetría
A
C
;
0
;
0
;
0
:
. (*)
Existen otras medidas de asimetría; estas usualmente
se denominan sesgo; por ejemplo:
S
M
X
Sesgo d
(1)
S
Me
X
Sesgo
)
(
3
(2)
(1) y (2) se llaman primer y segundo coeficiente de
sesgo de Pearson.
Interpretación de (1) y (2) similar a (*)
21. 21
12. MEDIDAS DE APUNTAMIENTO (KURTOSIS)
(Usada en Excel o SPSS)
)
3
)(
2
(
)
1
(
3
)
(
)
3
)(
2
)(
1
(
)
1
( 2
4
1
4
n
n
n
S
X
X
n
n
n
n
n
K
n
i
i
Si
)
(
;
0
;
0
)
(
;
0
achatada
ca
platicúrti
K
normal
K
puntiaguda
ca
leptocúrti
K
K
Otra medida para medir el apuntamiento o kurtosis es
dada por:
2
1
2
4
1
1
)
(
)
(
n
X
X
n
X
X
K n
i
i
n
i
i
ca
platicúrti
K
normal
K
ca
leptocúrti
K
K
;
3
;
3
;
3
1
1
1
1
13. ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL
Se tienen datos dispuestos en pares ordenados
n
i
Y
X i
i
;....,
3
;
2
;
1
);
;
( ; estos se colocan en una tabla
bidimensional haciendo previamente un conteo y se
presentan en una tabla bidimensional de a filas y b
columnas de la siguiente forma:
a) Tabla de frecuencias absolutas:
22. 22
j
i Y
X 1
Y 2
Y … j
Y …
b
Y x
i
f
1
X 11
f 12
f … j
f1
… n
f1
x
f1
…. … … … … … … ...
i
X 1
i
f 2
i
f … ij
f … in
f x
i
f
…. … … … … … … …
a
X 1
m
f 2
m
f … mj
f … mn
f x
a
f
y
j
f y
f1
y
f2
… x
j
f … y
b
f n
Donde la última columna
a
i
f
f
b
j
ij
x
i
;..,
2
;
1
;
1
(Distribución marginal de X; se suma por filas)
Donde la última fila
b
j
f
f
a
i
ij
y
j
;..,
2
;
1
;
1
(Distribución Marginal de Y; se suma por
columnas)
b) Tabla de frecuencias relativas:
n
f
h ij
ij
: frecuencia relativa; )
;
(
:
100 j
i
ij
Y
X
pares
de
porcentaje
h
c) Distribuciones relativas condicionales.
Existen dos tipos de distribuciones relativas
condicionales:
Distribución condicional de j
i
Y
X
Y
dado
X j
i
j
i
/
/
:
a
i
j
columna
total
j
columna
de
elementos
f
f
f y
j
ij
j
i
;...
2
;
1
;
/
(existen n condicionales de la forma i/j)
23. 23
j
i /
y
j
j
f
f /
1
y
j
j
f
f /
2
…
y
j
mj
f
f /
n
j
f y
j
;...;
2
;
1
;
Distribución condicional de i
j
X
Y
X
dado
Y i
j
i
j
/
/
;
b
j
i
fila
total
i
fila
la
de
elementos
f
f
f x
i
ij
i
j
;...
2
;
1
;
/
i
j / x
i
i
f
f /
1
x
i
i
f
f /
2
… x
i
in
f
f / a
i
f x
i
;..
2
;
1
;
(existen m distribuciones condicionales de la forma Yj/Xi)
Ejemplo 28.- Sean las siguientes variables:
X: número de horas de estudio por semana.
Y: nota final en un determinado curso.
Y
X / 10 14 18 x
i
f
4 3
11
f 2
12
f 2
13
f 7
1
x
f
8 2
21
f 7
22
f 8
23
f 17
2
x
f
12 1
31
f 6
32
f 7
32
f 14
3
x
f
y
j
f 6
1
y
f 15
2
y
f 17
3
y
f 38
n
a) Interpretar 7
22
f
Solución.-
Significa que existen 7
22
f estudiantes que han
estudiado 8 horas y han obtenido nota final de14
puntos.
24. 24
b) Obtener la distribución marginal de X e
interpretar 17
2
x
f
Solución.-
La distribución marginal de X se obtiene
sumando por fila; es decir:
i
X x
i
f
4 7
8 17
12 14
38
n
17
2
x
f ; significa que 17 estudiantes han
estudiado 8 horas.
c) Obtener la distribución marginal de Y e interpretar
15
2
y
f .
Solución.-
La distribución marginal de Y se obtiene sumando por
columna.
j
Y 10 14 18
y
j
f 6 15 17 38
n
15
2
y
f ; significa que 15 estudiantes que se han sacado
nota de 14 puntos.
d) Hallar la distribución conjunta de frecuencias
relativas e interpretar 22
h .
Solución.-
Y
X / 10 14 18 x
i
h
4 38
/
3
11
h 38
/
2
12
h 38
/
2
13
h 38
/
7
1
x
h
8 38
/
2
21
h 38
/
7
22
h 38
/
8
23
h 38
/
17
2
x
h
12 38
/
1
31
h 38
/
6
32
h 38
/
7
32
h 38
/
14
3
x
h
y
j
h 38
/
6
1
y
h 38
/
15
2
y
h 38
/
17
3
y
h 1
%
4210
,
18
100
)
38
/
7
(
100 22
x
h ; lo cual significa que el 18,42%
de los estudiantes han estudiado 8 horas y han
obtenido una nota de 14 puntos.
25. 25
e) Hallar las a=3 distribuciones condicionales de la
forma
a
i
j
columna
total
j
columna
de
elementos
f
f
f y
j
ij
j
i
;...
2
;
1
;
/
i
X
]
10
[ (1)
6
1
1
1 i
y
i f
f
f
]
14
[ (2)
15
2
2
2 i
y
i f
f
f
]
18
[ (3)
17
3
3
3 i
y
i f
f
f
4 6
/
3
6
/
/ 11
1
11
f
f
f y
15
/
2
15
/
/ 12
2
12
f
f
f y
17
/
2
17
/
/ 13
3
13
f
f
f y
8 6
/
2
6
/
/ 21
1
21
f
f
f y
15
/
7
15
/
/ 22
2
22
f
f
f y
17
/
8
17
/
/ 23
3
23
f
f
f y
12 6
/
1
6
/
/ 31
1
31
f
f
f y
15
/
6
15
/
/ 32
2
32
f
f
f y
17
/
7
17
/
/ 32
3
33
f
f
f y
1 1 1
f) Interpretar 6
/
2
6
/
/ 21
1
21
f
f
f y
; 15
/
7
15
/
/ 22
2
22
f
f
f y
y también 17
/
8
17
/
/ 23
3
23
f
f
f y
Solución.-
%
33
,
33
)
6
/
2
(
100
6
/
100
/
100 21
1
21
f
f
f y
; esto
significa que de los estudiantes que han estudiado X2 =8
horas, el 33,33% se han sacado Y1=10 puntos.
%
66
,
46
)
15
/
7
(
100
15
/
100
/
100 22
2
22
f
f
f y
; esto
significa que de los estudiantes que han estudiado
X2=8 horas, el 46,66%% se han sacado Y2= 14 puntos.
%
05
,
47
)
17
/
8
(
100
17
/
100
/
100 23
3
23
f
f
f y
; esto
significa que los estudiantes que han estudiado X2=8
horas, 47,05% se han sacado Y3=18 puntos.
g) Hallar la a=3 distribuciones condicionales de la
forma b
j
i
fila
total
i
fila
la
de
elementos
f
f
f x
i
ij
i
j
;...
2
;
1
;
/
.
Solución.-
j
Y 10 14 18
]
4
[ (1)
7
/
/ 1
1
1 j
x
j f
f
f 7
/
3
/ 1
11
x
f
f 7
/
2
/ 1
12
x
f
f 7
/
2
/ 1
13
x
f
f 1
]
8
[ (2)
17
/
/ 2
2
2 j
x
j f
f
f 17
/
2
/ 2
21
x
f
f 17
/
7
/ 2
22
x
f
f 17
/
8
/ 2
23
x
f
f 1
]
12
[ (3)
14
/
/ 3
3
3 j
x
j f
f
f 14
/
1
/ 3
31
x
f
f 14
/
6
/ 3
32
x
f
f 14
/
7
/ 3
33
x
f
f 1
26. 26
h) Interpretar 7
/
2
/ 1
12
x
f
f ; 17
/
7
/ 2
22
x
f
f y también
14
/
6
/ 3
32
x
f
f
Solución.-
%
57
,
28
)
7
/
2
(
100
/
100 1
12
x
f
f ; esto significa que los
estudiantes que se han sacado nota Y2= 14 puntos el
28,57% han estudiado X1=4 horas.
%
17
,
41
)
17
/
7
(
100
/
100 2
22
x
f
f ; esto significa que los
estudiantes que se han sacado nota Y2=14 puntos el
41,17% han estudiado X2=8 horas.
%
85
,
42
)
14
/
6
(
100
/
100 3
32
x
f
f ; esto significa que
los estudiantes que se han sacado nota Y2=14 puntos,
el 42,85% han estudiado X3=12 horas.
d)
n
Y
X
n
Y
X
n
Y
Y
X
X
Y
X
Cov
n
i
i
i
n
i
i
i
1
1
)
)(
(
)
;
( : Covarianza
muestral entre las variables X e Y.
14. COEFICIENTE DE CORRELACION LINEAL SIMPLE
DE PEARSON.
Se denota por )
;
( Y
X
r
r
r XY
a) 1
1
xy
r
b) 1
r : asociación lineal perfecta en sentido positivo.
1
r : asociación lineal perfecta en sentido negativo.
1
95
,
0
r : excelente asociación lineal en sentido positivo.
95
,
0
1
r : excelente asociación lineal en sentido negativo.
27. 27
c)
2
1 1
2
1 1
2
1 1 1
)
(
)
(
)
)(
(
)
;
(
n
i
n
i
i
i
n
i
n
i
i
n
i
n
i
n
i
n
i
i
i
i
i
XY
Y
Y
n
X
X
n
Y
X
Y
X
n
Y
X
r
r
r
d) Propiedades del coeficiente de correlación
i. )
;
(
)
;
( X
Y
r
Y
X
r (propiedad de simetría)
ii. )
;
(
)
;
( Y
X
r
b
Y
a
X
r
iii. )
;
(
)
;
( Y
X
r
bY
aX
r ; 0
;
0
b
a o 0
;
0
b
a
iv. )
;
(
)
;
( Y
X
r
bY
aX
r
; 0
;
0
b
a o 0
;
0
b
a
v. 1
)
;
(
)
;
(
Y
Y
r
X
X
r
vi. Si b
aX
Y
; entonces 1
)
;
(
Y
X
r si 0
a y
1
)
;
(
Y
X
r si 0
a
vii.
n
Y
Y
n
X
X
n
Y
Y
X
X
S
S
Y
X
Y
X
r n
i
i
n
i
i
n
i
i
i
Y
X
1
2
1
2
1
*
*
)
(
)
(
)
)(
(
)
;
cov(
)
;
(
Ejemplo 29.- Consideremos las variables
relacionadas:
X: nro. de horas de estudio semanal dedicados a un
determinado curso.
Y: nota final en dicho curso.
Xi Yi
0 5
2 9
3 12
4 14
5 16
a) Hacer un diagrama de dispersión o nube de
puntos o scatter plots. Comente de la posible
linealidad.
28. 28
Solución.-
Con el SPSS se siguen los siguientes pasos:
Gráficos / Cuadro de diálogos antiguos / Dispersión
Puntos…/ Dispersión Simple / Definir / Aceptar
El gráfico muestra una clara relación de tipo lineal en
X e Y en sentido positivo; o sea son variables
Directamente Proporcionales (D.P.)
Ejemplo 30.- Hallar e interpretar el coeficiente de
correlación lineal de Pearson.
Solución.-
El coeficiente de correlación lineal de Pearson tiene
varias formas de presentarlo en forma equivalente, si
consideramos las desviaciones respecto a la media
i
X i
Y i
iY
X 2
i
X 2
i
Y
0 5 0 0 25
2 9 18 4 81
3 12 36 9 144
4 14 56 16 196
5 16 80 25 256
14
i
X 56
i
Y 190
i
iY
X 54
2
i
X 702
2
i
Y
)
)
(
)(
)
(
(
)
)(
(
2
2
2
2
i
i
i
i
i
i
i
i
Y
Y
n
X
X
n
Y
X
Y
X
n
r
29. 29
Reemplazando:
998
,
0
9978297016
,
0
27676
166
374
74
166
56
)
702
(
5
14
)
54
(
5
)
56
)(
14
(
)
190
(
5
2
2
r
Lo cual muestra que existe una alta o excelente
asociación lineal entre X e Y en sentido positivo.
15. REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
i
i
i
e
bX
a
Y
i
i
i
i
i
e
Y
Y
bX
a
Y
ˆ
;
ˆ ;
n
i
n
i
i
i
n
i
n
i
n
i
i
i
i
i
X
X
n
Y
X
Y
X
n
b
1 1
2
2
1 1 1
)
(
)
)(
(
(pendiente poblacional estimada)
X
b
Y
a
(intercepto poblacional estimada)
i
i
i
Y
Y
e ˆ
(residuos o residuales o errores muestrales)
Ejemplo 31.- Hallar la recta de regresión para la data
del Ejemplo anterior.
Solución.-
De la solución general de las ecuaciones normales
obtenida por M.C se necesitan los siguientes cálculos.
30. 30
i
X i
Y i
iY
X 2
i
X 2
i
Y
0 5 0 0 25
2 9 18 4 81
3 12 36 9 144
4 14 56 16 196
5 16 80 25 256
14
i
X 56
i
Y 190
i
iY
X 54
2
i
X 702
2
i
Y
243243243
,
2
74
166
)
14
(
54
)
5
(
)
56
)(
14
(
190
)
5
(
)
(
)
)(
(
ˆ
2
2
2
2
i
i
i
i
i
i
X
X
n
Y
X
Y
X
n
91891892
,
4
)
5
14
)(
243243243
,
2
(
5
56
2
1
X
Y
Luego el modelo de regresión estimado es
i
i X
Y 243243243
,
2
91891892
,
4
Sistema de ecuaciones normales:
i
i
i
i
i
i
Y
X
b
X
a
X
Y
b
X
na
)
(
)
(
)
(
2
n
i
i
n
i
i
n
i
i
Y
Y
e
1
1
1
ˆ
;
0 Y
Y ˆ
0
1
i
n
i
i
X
e
Ejemplo 32.- Hallar el sistema de ecuaciones normales
para el Ejemplo anterior.
Solución.-
i
X i
Y i
iY
X 2
i
X 2
i
Y
0 5 0 0 25
2 9 18 4 81
3 12 36 9 144
4 14 56 16 196
5 16 80 25 256
14
i
X 56
i
Y 190
i
iY
X 54
2
i
X 702
2
i
Y
32. 32
14
i
X 56
i
Y 56
00000001
,
56
i
Y
0
09
6
000000006
,
0
E
ei
La recta de regresión estimada con coeficientes en
fracción es:
i
i
X
Y
37
83
37
182
ˆ
37
182
)
0
(
37
83
37
182
)
0
(
ˆ
i
Y ;
37
348
)
2
(
37
83
37
182
)
2
(
ˆ
i
Y
37
431
)
3
(
37
83
37
182
)
3
(
ˆ
i
Y ;
37
514
)
4
(
37
83
37
182
)
4
(
ˆ
i
Y
37
597
)
5
(
37
83
37
182
)
5
(
ˆ
i
Y
37
3
37
182
5
ˆ
1
1
1
Y
Y
e ;
37
15
37
348
9
ˆ
2
2
2
Y
Y
e
37
13
37
431
12
ˆ
3
2
3
Y
Y
e ;
37
4
37
514
14
ˆ
4
4
4
Y
Y
e
37
5
37
597
16
ˆ
5
5
5
Y
Y
e
Los cálculos exactos se presentan en el siguiente
cuadro:
i
X i
Y i
Y
i
e
0 5 182/37 3/37
2 9 348/37 -15/37
3 12 431/37 13/37
4 14 514/37 4/37
5 16 597/37 -5/37
14
i
X 56
i
Y 56
i
Y
0
i
e
33. 33
En la calculadora se puede encontrar esta regresión
lineal simple y otras funciones:
Pulsar MODO / 2:STAT / 2 / aparece un menú del 1 al 8:
1) 1-VAR (desviación estándar S : dividido entre 1
n ;
también da la desviación estándar x
dividida entre n)
Ejemplo 33.-
Con la calculadora fx-82 se hacen los siguientes pasos:
Supongamos la siguiente data:
Xi fi
1 3
3 2
4 8
n=13
MODO /2:STAT / 1: 1-VAR / DATA / AC /SHIFT-
1/4:Var/2: x =3,153846154; 3: x
=1,230769231;
4:sx=1,28102523 /
Donde: x
(desviación estándar dividida entre n-1)
sx (desviación estándar dividida entre n)
La data de la siguiente manera:
x FREQ
1 3
3 2
4 8
2) A+BX : i
i
bX
a
Y
ˆ (regresión lineal simple)
34. 34
Ejemplo 34.- Hallar la recta de regresión con una
calculadora para la data del Ejemplo anterior.
Solución.-
De la solución general de las ecuaciones normales
obtenida por M.C se necesitan los siguientes cálculos.
i
X i
Y i
iY
X 2
i
X 2
i
Y
0 5 0 0 25
2 9 18 4 81
3 12 36 9 144
4 14 56 16 196
5 16 80 25 256
14
i
X 56
i
Y 190
i
iY
X 54
2
i
X 702
2
i
Y
243243243
,
2
74
166
)
14
(
54
)
5
(
)
56
)(
14
(
190
)
5
(
)
(
)
)(
(
ˆ
2
2
2
2
i
i
i
i
i
i
X
X
n
Y
X
Y
X
n
91891892
,
4
)
5
14
)(
243243243
,
2
(
5
56
2
1
X
Y
Luego el modelo de regresión estimado es
i
i X
Y 243243243
,
2
91891892
,
4
Sistema de ecuaciones normales:
i
i
i
i
i
i
Y
X
b
X
a
X
Y
b
X
na
)
(
)
(
)
(
2
n
i
i
n
i
i
n
i
i
Y
Y
e
1
1
1
ˆ
;
0 Y
Y ˆ
0
1
i
n
i
i
X
e
Ejemplo 35.- Hallar el sistema de ecuaciones normales
para el Ejemplo anterior.
35. 35
Solución.-
i
X i
Y i
iY
X 2
i
X 2
i
Y
0 5 0 0 25
2 9 18 4 81
3 12 36 9 144
4 14 56 16 196
5 16 80 25 256
14
i
X 56
i
Y 190
i
iY
X 54
2
i
X 702
2
i
Y
i
i
i
i
i
i
Y
X
b
X
a
X
Y
b
X
na
)
(
)
(
)
(
2
5
n ; reemplazando:
190
)
54
(
)
14
(
56
)
14
(
5
b
a
b
a
Resolviendo este sistema lineal 2x2; se obtiene:
2432
,
2
37
83
;
9189
,
4
37
182
b
a
En un mismo diagrama de dispersión dibujar la recta
de regresión estimada.
Analizar / Regresión /Regresión Curvilinea /
Seleccionar las variables en los respectivos ejes /
Lineal / Aceptar
36. 36
i
X i
Y i
Y
i
e
0 5 4,91891892 0,08108108
2 9 9,405405406 -0,405405406
3 12 11,64864865 0,35135135
4 14 13,89189189 0,10810811
5 16 16,13513514 -0,13513514
14
i
X 56
i
Y 56
00000001
,
56
i
Y
0
09
6
000000006
,
0
E
ei
Estos resultados se pueden obtener de la recta de
regresión estimada:
i
i
X
Y
37
83
37
182
ˆ
37
182
)
0
(
37
83
37
182
)
0
(
ˆ
i
Y ;
37
348
)
2
(
37
83
37
182
)
2
(
ˆ
i
Y
37
431
)
3
(
37
83
37
182
)
3
(
ˆ
i
Y ;
37
514
)
4
(
37
83
37
182
)
4
(
ˆ
i
Y
37
597
)
5
(
37
83
37
182
)
5
(
ˆ
i
Y
37
3
37
182
5
ˆ
1
1
1
Y
Y
e ;
37
15
37
348
9
ˆ
2
2
2
Y
Y
e
37
13
37
431
12
ˆ
3
2
3
Y
Y
e ;
37
4
37
514
14
ˆ
4
4
4
Y
Y
e
37
5
37
597
16
ˆ
5
5
5
Y
Y
e
Los cálculos exactos se presentan en el siguiente
cuadro:
i
X i
Y i
Y
i
e
0 5 182/37 3/37
2 9 348/37 -15/37
37. 37
3 12 431/37 13/37
4 14 514/37 4/37
5 16 597/37 -5/37
14
i
X 56
i
Y 56
i
Y
0
i
e
En la calculadora se puede encontrar esta regresión
lineal simple y otras funciones:
Pulsar MODOCONFIG/2:STAT/2/ aparece un menú del 1
al 8:
Con la calculadora fx-82 hallar la regresión i
i
bX
a
Y
ˆ
i
X i
Y
0 5
2 9
3 12
4 14
5 16
14
i
X 56
i
Y
MODO / 2:STAT / 2:A+BX / DATA / AC / SHITF-1 /
/ 5: Regr / 1:A= (4.918918919=182/37) / 2:B=2.243243243
/ 3:r=0.997829706 /
3) _+CX2
: 2
i
i
CX
BX
A
Y
(regresión cuadrática)
Ejemplo 36.- (Regresión cuadrática 2
cX
bX
a
Y
)
Con la siguiente data:
x y
0 1
1 0
2 0,8
-1 4
3 4
38. 38
a) Hacer un diagrama de dispersión y comentar.
Solución.-
b) Ajustar una parábola por MC; con la calculadora
fx-82.
Solución.-
MODE / 2:STAT / 3:-+CX2
/ DATA / AC / SHIFT-1 /
5:Regr / 1:A=0,9657142857; B=-2,048571429;
C=1,014285714/
Por lo tanto la parábola por MC es:
2
014285714
,
1
048571429
,
2
9657142857
,
0
ˆ
i
i
i
X
X
Y
Un resultado similar se obtiene usando el software
SPSS
Ecuación Resumen del modelo Estimaciones de los parámetros
R cuadrado F gl1 gl2 Sig. Constante=
a
b1=b b2=c
Cuadrático ,998 573,000 2 2 ,002 ,966 -2,049 1,014
39. 39
c) Obtener las ecuaciones normales; el cual es un
sistema lineal 3x3.
Solución.-
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
Y
X
c
X
b
X
a
X
Y
X
c
X
b
X
a
X
Y
c
X
b
X
na
2
4
3
2
3
2
2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
i
X i
Y 2
i
X 3
i
X 4
i
X i
i
Y
X i
i
Y
X 2
0 1 0 0 0 0 0
1 0 1 1 1 0 0
2 0,8 4 8 16 1,6 3,2
-1 4 1 -1 1 -4 4
3 4 9 27 81 12 36
5
i
X 8
,
9
i
Y 15
2
i
X 35
3
i
X 99
4
i
X 6
,
9
i
i
Y
X 2
,
43
2
i
i
Y
X
2
,
43
)
99
(
)
35
(
)
15
(
6
,
9
)
35
(
)
15
(
)
5
(
8
,
9
)
15
(
)
5
(
5
c
b
a
c
b
a
c
b
a
Resolviendo este sistema lineal se obtiene.
9657142857
,
0
175
/
169
a ; 048571429
,
2
350
/
717
b
40. 40
4) ln(x) : )
ln(X
B
A
Y
(regresión logarítmica)
Ejemplo 37.- (Regresión logarítmica: )
ln(X
A
Y
)
a) Considere la siguiente data; hacer un diagrama de
dispersión y comente si existe o no linealidad.
i
X 1 8 30 45 80
i
Y 3 6 10 11 12
Solución.-
Según el diagrama de dispersión no se observa
linealidad; podría ser una parte de una parábola o una
exponencial.
b) Hacer la siguiente transformación )
ln(
*
X
Xi
; la
variable dependiente Y queda igual y luego hacer el
diagrama de dispersión y comente su posible
linealidad.
Solución.-
i
X 1 8 30 45 80
i
Y 3 6 10 11 12
)
ln(
*
i
i
X
X 0 2,07 3,40 3,80 4,38
i
Y 3 6 10 11 12
41. 41
Con esta transformación si se observa una clara
linealidad entre las variables )
ln(
*
i
i
X
X y i
Y
Luego el modelo logarítmico )
ln(
ˆ
i
i
X
b
a
Y
es un
modelo que se adecúa a la data transformada.
c) Hacer la regresión logarítmica con la calculadora
fx-82.
Solución.-
MODE / 2:STAT / 4:lnX / DATA / AC / SHIFT-AC / 5:Regr /
1:A=2,553135917 / B=2,138680139 /
Por lo tanto la regresión logarítmica es:
)
ln(
1386
,
2
5531
,
2
ˆ
i
i
X
Y
42. 42
d) Obtener el resultado anterior con una
calculadora:
Solución.-
*
i
X i
Y i
i
Y
X* 2
*
i
X
0 3 0 0
2,0794 6 12,4764 4,3239
3,4011 10 34,0110 11,5674
3,8066 11 41,8726 14,4902
4,3820 12 52,5840 19,2019
13,6691 42 140,9440 49,5834
De acuerdo a resultado anterior:
1387
,
2
0727
,
61
6178
,
130
)
6691
,
13
(
)
5834
,
49
)(
5
(
)
42
)(
6691
,
13
(
)
9440
,
140
)(
5
(
)
(
)
)(
(
2
2
*
*
*
*
2
2
i
i
i
i
i
i
X
X
n
Y
X
Y
X
n
b
5531
,
2
)
5
/
6691
,
13
(
1387
,
2
)
5
/
42
(
X
b
Y
a
5) e^x : BX
Ae
Y (regresión exponencial; base e)
Ejemplo 38.- (Regresión exponencial: BX
Ae
Y )
a) Representar la siguiente data en un diagrama de
dispersión y comente sobre la posible función
matemática que se adecúe a esos puntos.
i
X i
Y
1 23
2 165
3 1220
4 8950
5 66080
43. 43
Claramente la relación existente entre X e Y no es de
tipo lineal; más bien se adecúa a un crecimiento de tipo
exponencial: bx
ae
Y
b) Con la calculadora fx-82 los resultados anteriores
Solución.-
MODO / 2:STAT / 5:e^x / DATA / 5:Regr / 1:A=3,1058 /
2:B=1,9919 /
c) Linealizar el modelo: bx
ae
Y
Solución.-
Se toma logaritmo natural en ambos lados de la
desigualdad:
i
i
i
i
bX
a
Y
bX
a
Y
*
*
)
ln(
)
ln(
En la data:
i
X )
ln(
*
i
i
Y
Y
1 3,1354
2 5,1059
3 7,1066
4 9,0999
5 11,0986
44. 44
d) Hacer un diagrama de dispersión para mostrar la
linealidad con la transformación anterior.
Solución.-
e) Obtener los resultados anteriores con una
calculadora.
Solución.-
i
X )
ln(
*
i
i
Y
Y *
i
i
Y
X 2
i
X
1 3,1354 3,13540 1
2 5,1059 10,2118 4
3 7,1066 21,3198 9
4 9,0999 36,3996 16
5 11,0986 55,4930 25
15
35,5464
126,5596
55
Usando las fórmulas:
45. 45
99204
,
1
50
602
,
99
)
15
(
)
55
)(
5
(
)
5464
,
35
)(
15
(
)
5596
,
126
)(
5
(
)
(
)
)(
(
2
2
2
*
*
i
i
i
i
i
i
X
X
n
Y
X
Y
X
n
b
13316
,
1
)
5
/
15
(
99204
,
1
)
5
/
5464
,
35
(
)
ln( *
*
X
b
Y
a
a
Luego 1054
,
3
13316
,
1
)
ln( 13316
,
1
*
e
a
a
a
Por lo tanto el modelo estimado es:
99204
,
1
)
1054
,
3
(
ˆ e
ae
Y bx
i
6) A.B^x: X
AB
Y (regresión exponencial base b)
Ejemplo 39.- (Modelo compuesto SPSS: x
AB
Y )
a) Considere la siguiente data:
i
X i
Y
1 13
3 108
5 980
6 2900
Haga un diagrama de dispersión; comente sobre una
posible función matemática que se ajuste a la data.
Solución.-
46. 46
Obviamente la relación en estas variables; podría ser
una exponencial con base “e”como en el caso anterior;
o también podría ser una exponencial con base “b”, de
la forma "
" x
AB
Y
b) Usando la calculadora fx-82 obtener A y B.
Solución.-
MODO / 2:STAT / 6:A.X^B / DATA / AC / A=4,3209 /
B=2,9551/
Luego la regresión estimada es i
x
i
Y )
9551
,
2
)(
3209
,
4
(
ˆ
c) Obtener los resultados anteriores con una
calculadora
Solución.-
Linealizando el modelo "
" x
ab
Y ; para esto se toma
logaritmos en base 10; resultando:
i
i
i
i
X
b
a
b
X
a
Y
Y *
*
*
)
log(
)
log(
)
log(
Luego se hace una regresión lineal simple con el
siguiente cuadro:
i
X )
log(
*
i
i
Y
Y i
i
X
Y 2
i
X
1 1,1139 1,1139 1
3 2,0334 6,1002 9
5 2,9912 14,9560 25
6 3,4623 20,7738 36
15
6008
,
9
9439
,
42
71
Un diagrama de dispersión con los datos
transformados es:
47. 47
Observe como se ha logrado la linealidad entre X e Y.
4705
,
0
59
7636
,
27
)
15
(
)
71
)(
4
(
)
6008
,
9
)(
15
(
)
9439
,
42
)(
4
(
)
(
)
)(
(
2
2
2
*
*
*
i
i
i
i
i
i
X
X
n
Y
X
Y
X
n
b
635825
,
0
)
4
/
15
(
4705
,
0
)
4
/
6008
,
9
(
*
*
*
X
b
Y
a
Para retornar a los valores originales:
3233
,
4
10
;
635825
,
0
)
log( 635825
,
0
*
a
a
a
9546
,
2
10
;
4705
,
0
)
log( 4705
,
0
*
b
b
b
Estos resultados también pueden obtenerse con algún
software estadístico como el SPSS 21:
DATA / ANALIZAR / REGRESION / REGRESION
CURVILINEA / COMPUESTO
Resumen del modelo y estimaciones de los parámetros
Variable dependiente: y
48. 48
Ecuación Resumen del modelo Estimaciones de los
parámetros
R cuadrado F gl1 gl2 Sig. A B
Compuesto 1,000 23984,261 1 2 ,000 4,321 2,955
La variable independiente esx.
7) A.x^B: B
AX
Y (regresión potencial)
Ejemplo 40.- (Regresión potencial: B
AX
Y )
a) Considere la siguiente data y haga un diagrama de
dispersión.
i
X i
Y
1 1,8
4 130
6 460
9 1690
Se observa que la relación entre las variables no es de
ninguna manera lineal.
49. 49
b) Haga un diagrama de dispersión para las variables
transformadas ))
log(
);
(log( i
i
Y
X
Solución.-
)
log(
*
i
i
X
X )
log(
*
i
i
Y
Y
0 0,255272
0,602059 2,113943
0,778151 2,662757
0,954242 3,227886
Observe que con esta transformación la linealidad
entre las variables ))
log(
);
(log( i
i
Y
X
c) Con la calculadora fx-82 estimar los dos
parámetros que aparecen en el modelo: B
AX
Y
Solución.-
MODE / 2:STAT / 7:A.X^B / DATA / 5:Reg /
1:A=1.78203336 / 2:B=3,108306203 /
50. 50
Luego el modelo es
1083
,
3
)
7820
,
1
(
ˆ
i
i
X
Y
El resultado anterior también se puede hacer con una
calculadora
)
log(
*
i
i
X
X )
log(
*
i
i
Y
Y *
*
i
i
Y
X 2
*
i
X
0 0,255272 0 0
0,602059 2,113943 1,272718 0,362475
0,778151 2,662757 2,072027 0,605518
0,954242 3,227886 3,080184 0,910577
334452
,
2
259858
,
8
424929
,
6
878570
,
1
Aplicando las fórmulas de la regresión lineal simple:
1083
,
3
06461386
,
2
417473972
,
6
)
334452
,
2
(
)
878570
,
1
(
4
)
259858
,
8
)(
334452
,
2
(
)
424929
,
6
(
4
2
B
2509
,
0
)
4
/
334452
,
2
(
1083
,
3
)
4
/
259858
,
8
(
)
log( 0
0
0
X
B
Y
A
A
7819
,
1
10 2509
,
0
A
8) 1/X:
X
B
A
Y
(regresión inversa; tipo hipérbola)
Ejemplo 41.- (Regresión inversa:
X
B
A
Y
)
Considere la siguiente data:
i
X i
Y
1 2
3 0,7
5 0,3
10 0,2
100 0,02
150 0,01
a) Hacer un diagrama de dispersión y analizar que
curva matemática se puede adecuar a esta data.
Solución.-
51. 51
La relación existente entre X e Y no es lineal; parece de
una relación de tipo exponencial decreciente o una
relación de tipo hipérbola
X
b
a
Y
b) Haga el cambio de variable
X
Xi
1
*
y vuelva a
realizar el diagrama de dispersión, comente.
Solución.-
X
Xi
1
*
i
Y
1 2
0,33 0,7
0,20 0,3
0,10 0,2
0,01 0,02
0,006 0,01
52. 52
Se observa que se ha conseguido la linealización entre
las variables )
;
1
( i
i
Y
X
c) Halle a y b de este modelo usando la calculadora
fx-82.
Solución.-
MODE / 2:STAT / 8:1/X / DATA / AC / 5:Regr / A=-
0,0156852845 / B=2,014613156 /
El modelo es
i
i
X
Y
014613156
,
2
0156852845
,
0
ˆ
d) Obtener los resultados anteriores con una
calculadora.
Solución.-
53. 53
X
Xi
1
*
i
Y i
i
Y
X* *
2
i
X
1 2 2 1
0,33 0,7 0,231 0,1089
0,20 0,3 0,06 0,04
0,10 0,2 0,02 0,01
0,01 0,02 0,0002 0,0001
0,006 0,01 0,00005 0,000036
646
,
1
23
,
3
31125
,
2
159036
,
1
Aplicando las fórmulas de la regresión lineal simple:
014398455
,
2
2449
,
4
55092
,
8
)
646
,
1
(
)
159036
,
1
(
6
)
23
,
3
)(
646
,
1
(
)
31125
,
2
(
6
2
B
9
0142833094
,
0
)
6
/
646
,
1
(
014398455
,
2
)
6
/
23
,
3
(
A
16. Pricipio de los Mínimos Cuadrados (M.C.)
El princio de los M.C. dice: tomar a y bcomo aquellos
que minimizan la Suma de los Cuadrados de los
Errores (SCE); definida como:
2
2
2
)
(
)
ˆ
(
)
;
( i
i
i
i
i e
bX
a
Y
Y
Y
SCE
b
a
f
Esto se obtiene derivando parcialmente:
0
)
)(
(
2
)
;
(
0
)
1
)(
(
2
)
,
(
i
i
i
i
i
X
bX
a
Y
b
b
a
f
bX
a
Y
a
b
a
f
Reordenando las dos ecuaciones anteriores se
obtiene el sistema de ecuaciones normales.
17. Regresión lineal múltiple
( n
i
X
X
Y k
ki
i
i
;....;
3
;
2
;
1
;
ˆ
...
ˆ
ˆ
ˆ
1
1
0
)
Para el caso k=2; se tiene:
54. 54
n
i
X
X
Y i
i
i
;....;
3
;
2
;
1
;
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
2
2
1
1
0
El sistema de ecuaciones normales es un sistema lineal
3x3 de la forma:
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
Y
X
X
X
X
X
Y
X
X
X
X
X
Y
X
X
n
2
3
2
2
2
2
1
0
2
1
3
2
1
2
2
1
0
1
2
2
1
1
0
ˆ
)
(
ˆ
)
(
ˆ
)
(
ˆ
)
(
ˆ
)
(
ˆ
)
(
ˆ
)
(
ˆ
)
(
ˆ
Propiedades:
i
i
i
Y
Y
e ˆ
n
i
i
n
i
i
n
i
i
Y
Y
e
1
1
1
ˆ
;
0 ; Y
Y ˆ
; 0
1
1
i
n
i
i
X
e ; 0
2
1
1
i
i
n
i
i
X
X
e
i
i
i
i
e
cX
bX
a
Y
2
1
i
i
i
i
i
i
e
Y
Y
cX
bX
a
Y
ˆ
;
ˆ
2
1
La solucion de este sistema lineal 3x3
proporciona los valores de c
b
a ;
;
i
i
i
Y
Y
e ˆ
n
i
i
n
i
i
Y
Y
Y
Y
R
1
2
1
2
2
)
(
)
ˆ
(
(coeficiente de determinación)
Ejemplo 42.- Se tienen tres variables:
i
Y : gastos en soles en alimentación por semana (x100)
:
1i
X ingresos en soles por semana (x100)
:
21
X tamaño de la familia.
i
Y i
X1 i
X2
2
1i
X 2
2i
X i
i
X
X 2
1 i
i
Y
X1 i
i
Y
X2
0,43 2,1 3 4,41 9 6,3 0,903 1,29
0,31 1,1 4 1,21 16 4,4 0,341 1,24
0,32 0,9 5 0,81 25 4,5 0,288 1,6
0,46 1,6 4 2,56 16 6,4 0,736 1,84
1,25 6,2 4 38,44 16 24,8 7,750 5
0,44 2,3 3 5,29 9 6,9 1,012 1,32
0,52 1,8 6 3,24 36 10,8 0,936 3,12
0,29 1 5 1 25 5 0,29 1,45
1,29 8,9 3 79,21 9 26,7 11,481 3,87
0,35 2,4 2 5,76 4 4,8 0,84 0,7
55. 55
0,35 1,2 4 1,44 16 4,8 0,42 1,4
0,78 4,7 3 22,09 9 14,1 3,666 2,34
0,43 3,5 2 12,25 4 7 1,505 0,85
0,47 2,9 3 8,41 9 8,7 1,363 1,41
0,38 1,4 4 1,96 16 5,6 0,532 1,52
07
,
8
42
55
08
,
188
219
8
,
140
063
,
32
96
,
28
a) Hallar las ecuaciones normales.
Solución.-
96
,
28
ˆ
219
ˆ
8
,
140
ˆ
55
063
,
32
ˆ
8
,
140
ˆ
08
,
188
ˆ
42
07
,
8
ˆ
55
ˆ
42
ˆ
15
3
1
0
2
1
0
2
1
0
b) Resolver el sistema lineal 3x3 de a) y formule el
modelo estimado.
Solución.-
0769
,
0
ˆ
;
1487
,
0
ˆ
;
1604
,
0
ˆ
3
1
0
i
i
i
X
X
Y 2
1
0769
,
0
1487
,
0
1604
,
0
ˆ
c) El error o residuo para cada observación se define
como:
i
i
i
Y
Y
e ˆ valor observado-valor estimado.
Calcular 15
5
1
;
; e
e
e .
Solución.-
)
3
;
1
,
2
(
ˆ
;
43
,
0 1
1
Y
Y 3825
,
0
)
3
(
0769
,
0
)
1
,
2
(
1487
,
0
1604
,
0
)
4
;
2
,
6
(
ˆ
;
25
,
1 1
5
Y
Y 0691
,
1
)
4
(
0769
,
0
)
2
,
6
(
1487
,
0
1604
,
0
)
4
;
4
,
1
(
ˆ
;
38
,
0 1
15
Y
Y 3553
,
0
)
4
(
0769
,
0
)
4
,
1
(
1487
,
0
1604
,
0
0475
,
0
3825
,
0
43
,
0
ˆ
1
1
1
Y
Y
e
189
,
0
0691
,
1
25
,
1
ˆ
5
5
5
Y
Y
e
0247
,
0
3553
,
0
38
,
0
ˆ
15
15
15
Y
Y
e
En este caso los tres errores han resultado positivos;
pero todos los errores pueden ser positivos, algunos
tienen que ser negativos.
56. 56
Las calculadoras fx-82 y fx-991 no tienen incorporados
la regresión lineal con dos variables independientes;
pero el SPSS 21 si lo puede realizar; dando como
resultado:
Modelo Coeficientes no estandarizados
B
1
0
ˆ
-0,160
1
ˆ
0,149
2
ˆ
0,077
Los residuos también se pueden con el SPSS:
i
Y i
X1 i
X2 i
Y
ˆ
i
e
-------------------------------------------------------
0,43 2,10 3,00 0,38261 0,04739
0,31 1,10 4,00 0,31080 -0,00080
0,32 0,90 5,00 0,35797 -0,03797
0,46 1,60 4,00 0,38517 0,07483
1,25 6,20 4,00 1,06931 0,18069
0,44 2,30 3,00 0,41236 0,02764
0,52 1,80 6,00 0,56874 -0,04874
0,29 1,00 5,00 0,37284 -0,08284
1,29 8,90 3,00 1,39396 0,10396
0,35 2,40 2,00 0,35032 -0,00032
0,35 1,20 4,00 0,32568 0,02432
0,78 4,70 3,00 0,76930 0,01070
0,43 3,50 2,00 0,51392 -0,08392
0,47 2,90 3,00 0,50160 -0,03160
0,38 1,40 4,00 0,35542 0,02458
-----------------------------------------------------------
57. 57
Observe que 0
15
0
i
i
e y además
15
1
15
1
ˆ
i
i
i
i
Y
Y .
d) Medir la bondad del ajuste del modelo mediante el
coeficiente de determinación 2
R .
Solución.-
Por definición:
SCT
SCE
Y
Y
Y
Y
R
i
i
i
i
15
1
2
15
1
2
2
)
(
)
ˆ
(
; donde
:
SCE Suma de Cuadrados Explicado
:
SCT Suma de Cuadrados Total.
2
2
2
)
5380
,
0
35542
,
0
(
...
)
5380
,
0
31080
,
0
(
)
5380
,
0
38261
,
0
(
SCE
36
,
1
SCE
2
2
2
15
1
)
5380
,
0
38
,
0
(
...
)
5380
,
0
31
,
0
(
)
5380
,
0
43
,
0
(
)
(
Y
Y
SCT
i
i
43
,
1
SCT
951048
,
0
43
,
1
36
,
1
)
(
)
ˆ
(
15
1
2
15
1
2
2
SCT
SCE
Y
Y
Y
Y
R
i
i
i
i
Interpretación:
Multiplicando por 100
%
10
,
95
100 2
R ; es decir el modelo explica un 95,10% de
la variación de la variable dependiente Y.
Esto también se puede obtener con el SPSS; también
se puede obtener este resultado:
Resumen del modelo
b
Modelo R
2
R R cuadrado
corregida
Error típ. de la
estimación
1 ,974
a
0,950 ,941 ,07751
