El documento discute la braquistócrona, o curva de descenso más rápido, mostrando que la solución al problema planteado por Johann Bernoulli en 1696 es una cicloide. Explica que una braquistócrona es la curva entre dos puntos que se recorre en el menor tiempo posible bajo la acción de la gravedad. También presenta gráficos comparativos de trayectorias braquistócronas frente a otras posibles.

1. Juan C. Broncano Torres
Demetrio Ccesa Rayme

2. ¿Qué dirección debe tomar el esquiador si quiere bajar
la montaña rápidamente?

3. En 1696 el matemático Johann
Bernoulli anunció a la comunidad
matemática la solución al problema de
la braquistocrona (curva que sigue el
descenso más rápido cuando existe
gravedad y que es objeto de estudio en
el cálculo de variaciones), mostrando
que la solución era una
cicloide. Leibniz, Newton, Jakob
Bernoulli y Guillaume de l'Hôpital,
encontraron la solución del problema
enunciado por Bernoulli.
¿Es posible Encontrar una dirección de descenso mas rápido sobre una
superficie ?
Curva Maravillosa: Braquistócrona
Un curva braquistócrona, o curva del descenso más rápido, es la curva entre dos puntos que es
recorrida en menor tiempo, por un cuerpo que comienza en el punto inicial con velocidad cero,
y que debe desplazarse a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una
fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción.
Cicloide generada por una circunferencia.
Comparación entre una trayectoria braquistócrona, y otras dos trayectorias
posibles.

4. DERIVADAS PARCIALES

5. NOTACIÓN DE LAS DERIVADAS PARCIALES
Ejemplo

6. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

7. PLANO TANGENTE
Se llama plano tangente a una superficie en un punto P de la misma, al plano
que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el
punto P.
ECUACIÓN DEL PLANO TANGENTE

8. Ejemplo
Hallar la ecuación del plano tangente al paraboloide
en el punto
RECTA NORMAL
Se llama recta normal a una superficie a la recta que pasa por un punto P y es perpendicular
al plano tangente.

9. LA GRADIENTE

10. PROPIEDADES DE LA GRADIENTE
Ejemplo

11. Determine la ecuación del plano tangente y la recta normal al hiperboloide
de dos mantos en el punto
Solución
Haciendo: 1),,( 222
 yxzzyxF
tenemos que:
6
2
1
2
42
22






zz
yy
xx
zF
yF
xF
Por tanto, la ecuación del plano tangente es: 062  zyx
Por otro lado, la ecuación de la recta normal es :
626
42
21
tz
ty
tx



Ejemplo

12. Ejemplo
Hallar el o los puntos de la esfera en los cuales el plano
tangente es paralelo al plano
Solución
Sea uno de estos puntos, entonces por estar en la esfera:
Por otro lado, por ser el plano tangente a la esfera en el punto
paralelos, sus vectores normales son paralelos, es decir :
y el plano
Entonces se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
De donde obtenemos que los puntos que buscamos son:

13. Ejemplo
¿En qué punto de la superficie la recta normal es paralela al vector
?
Solución
Sea el punto que buscamos. Si la recta normal es paralela al vector
entonces su vector director también es paralelo a ;con lo cual, si :
entonces :
Evaluando en esta sobre la superficie, por lo que satisface su ecuación :
Obtenemos el siguiente sistema:
Y así, el punto buscado es:

14. DERIVADA DIRECCIONAL
La derivada direccional de f en la dirección dada por el vector unitario u
está dada por:
s
y)f(x,-)suy,sux(f
limy)f(x, 21
0s



u
D
si el límite existe.

15. Teorema: Si f tiene sus primeras derivadas parciales continuas
entonces tiene derivada direccional en la dirección de cualquier
vector unitario u y se cumple:
2y1x uy)(x,fuy)(x,fy)f(x, 
u
D