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Física General III   Corriente, resistencia y fuerza electromotriz   Toribio Córdova C.




                        CAPITULO VI
CORRIENTE, RESISTENCIA Y FUERZA
        ELECTROMOTRIZ




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Física General III               Corriente, resistencia y fuerza electromotriz                 Toribio Córdova C.



6.1       INTRODUCCIÓN.

          Al encender una lámpara, una radio, una computadora, etc. se establece una diferencia de potencial entre los
          terminales de entrada de estos dispositivos, lo cual produce un flujo de carga eléctrica o corriente a través de los
          circuitos eléctricos y electrónicos que componen estos equipos permitiendo de esta forma el funcionamiento
          normal de de los mismos.

          Fundamentalmente los circuitos eléctricos y electrónicos son un medio que permite el transporte de energía de
          un lugar a otro. Al trasladarse los portadores de carga a través del circuito se transfiere energía potencial de la
          fuente (batería o generador) hacia otros dispositivos en el que la energía o se almacena o se convierte en otra
          forma de energía tal como ocurre en un bombillo de luz en donde la energía eléctrica se transforma en energía
          luminosa, o en una plancha eléctrica en donde la energía se transforma en calor, o se transforma en sonido como
          ocurre en la radio. Desde el punto de vista tecnológico los circuitos son partes importantes de una gran cantidad
          de dispositivos ya que permiten transportar energía sin el movimiento de piezas móviles. Los circuitos eléctricos
          se encuentran en el corazón de las linternas de mano, los reproductores de discos, los equipos de transmisión de
          radio y televisión, en los sistemas de distribución domiciliaria e industrial de energía eléctrica.

          En este capítulo nos dedicaremos a mostrar las propiedades, principios y leyes que gobiernan al flujo de carga o
          corriente eléctrica, su relación con la densidad de corriente estableciendo la ley de Ohm y su aplicación,
          evaluando su aplicación a los diferentes tipos de conductores para finalmente estudiar el efecto de la
          temperatura sobre los conductores. As mismo estudiaremos la forma como las baterías transfieren energía y
          corriente a un circuito. Para este análisis utilizaremos la noción de corriente eléctrica, diferencia de potencial,
          resistencia y fuerza electromotriz.


6.2       CORRIENTE ELECTRICA.

          6.2.1    Flujo de carga en conductores

                    Si ocurre un flujo de carga en un material conductor, las condiciones dentro de la sustancia ya no son
          de las de equilibrio electrostático. Es decir, en condiciones electrodinámicas el campo eléctrico en el interior del
          conductor es diferente de cero, dicho campo es el que permite mantener el flujo de carga. Es sabido que en los
          átomos de los materiales conductores existen los electrones de valencia, electrones que por estar muy separados
          del núcleo tienen la libertar de moverse a través de la red cristalina. Su movimiento se debe a la interacción de


          campo eléctrico �⃗ , el cual produce una fuerza eléctrica sobre los electrones libres los mismos que comienzan a
          los electrones libres con los demás electrones de los átomos y con los iones formados producto de la separación

                             𝐸
          de los electrones de valencia. Cuando se aplica una diferencia de potencial ΔV, a un conductor se produce un

          moverse a través del conductor dando lugar a un flujo de electricidad o corriente eléctrica.

          Es importante precisar que como el número de electrones libres es equilibrado por igual número de cargas
          positivas en los iones metálicos del conductor, en general dicho conductor en conjunto es eléctricamente neutro
          y no existe carga neta. Sin embargo, las cargas positivas en los iones metálicos están fijas en la estructura
          cristalina, no pudiendo moverse como lo hacen los electrones. Entonces cuando se establece la diferencia de
          potencial en el conductor, son los electrones libres los que constituyen el flujo de carga, mientras que los iones
          positivos se mantienen fijos, no ejerciendo influencia, salvo la de mantener la neutralidad eléctrica global.

          En general el flujo de carga a través de un material conductor no es constante en el tiempo; pero cuando lo es (en
          dirección y sentido), decimos que se ha establecido una corriente contínua (CC) o también corriente directa
          (CD), en caso contrario se habla de una corriente alterna (CA).

          6.2.2    Corriente eléctrica

                   Las corrientes eléctricas en general se deben al cambio de posición con respecto al tiempo de cualquier
          tipo de carga eléctrica (movimiento de portadores de carga). En la actualidad se distinguen las siguientes formas
          de corriente eléctrica.

                   6.2.2.1 Corriente de conducción.

                   Llamase corriente de conducción al movimiento de los electrones de valencia en un material metálico
                   (electrones libres) véase la figura 6.1a, o al movimiento de electrones de conducción y de huecos de


                                                             267
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             conducción en un semiconductor (Figura 6.1b) o también al movimiento de los iones positivos o
             negativos en una solución electrolítica (figura 6.1c9




                                       (a)                                                     (b)




                                                                     (c)

             Figura 6.1.   (a) Corriente de conducción producida por el movimiento de electrones libres, (b) Corriente de
                           conducción producida por el movimiento de electrones y de huecos en un semiconductor (c)
                           Corriente de conducción en soluciones electrolíticas


             6.2.2.2 Corriente de convección

                      Se denomina corriente de convección al movimiento de un cuerpo eléctricamente cargado, un
             ejemplo lo constituye el movimiento alrededor de su órbita del cuerpo llamado tierra el cual se
             encuentra cargada negativamente, otro ejemplo sería el movimiento alrededor de su eje de un anillo o
             un disco previamente cargados.


             6.2.2.3 Corriente de polarización.

                      Se denomina corriente de polarización al movimiento de los dipolos eléctricos en un material
             dieléctrico cuando sobre este se aplica un campo externo

             6.2.2.4 Corriente de desplazamiento.

                     Este tipo de corriente es postulado en el estudio de campos electromagnéticos en el vacío.


    6.2.2     Corriente eléctrica de conducción.

            Debido a que la inmensa mayoría de aplicaciones tecnológicas implican el uso de corrientes de
    conducción, en esta sección nos dedicaremos al estudio de la corriente eléctrica de conducción en materiales
    conductores.

    Bajo condiciones electrostáticas el campo eléctrico en el interior es cero, por tanto no existe corriente. No
    obstante, esto no significa que todas las cargas dentro del conductor estén en reposo. En un metal cualquiera
    como el cobre, la plata, el aluminio, algunos electrones como los de valencia tienen la libertad de moverse
    dentro del material conductor. Estos electrones libres se mueven en forma aleatoria en todas las direcciones, en


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    forma análoga como las moléculas de un gas pero con una rapidez mucho mayor. No obstante, los electrones


    Consideremos ahora lo que ocurre si se establece un campo eléctrico �⃗ constante dentro del conductor. Los
                                                                                 𝐸
    libres no escapan del material conductor porque son atraídos hacia los iones positivos del conductor.


    electrones libres se encuentran ahora sometidos a una fuerza eléctrica constante ⃗ = 𝑞 𝑒 �⃗ . Si estos electrones
                                                                                            𝐹      𝐸
    estuvieran moviéndose en el vacío, la fuerza le produciría una aceleración uniforme en la dirección de dicha
    fuerza de tal manera que después de cierto tiempo los electrones tendrían una gran rapidez. Sin embargo, el
    movimiento de estos electrones dentro del conductor no el libre sino que ellos interactúan con los demás
    electronos y los iones fijos. En cada una de estas colisiones aparece un cambio en la orientación del movimiento
    de los electrones resultando un movimiento al azar. El efecto neto del campo aplicado es que además del


    deriva ⃗ 𝑑 de los portadores de carga. Por lo tanto, existe una corriente neta dentro del conductor.
            𝑣
    movimiento aleatorio de los electrones hay un movimiento muy lento a de deriva como grupo, en la dirección de
    la fuerza tal como se muestra en la figura 6.2. Este desplazamiento se describe en términos de la velocidad de




             Figura 6.2. Trayectoria típica de un electrón dentro de un conductor al cual se le aplica un campo eléctrico.

    Aunque el movimiento aleatorio de los electrones tiene una rapidez promedio muy grande, aproximadamente
    106 m/s, la rapidez promedio de deriva es pequeña (10-4 m/s). En vista de que los electrones se desplazan tan
    lentamente, podríamos preguntarnos por qué la luz aparece tan rápido cuando accionamos un interruptor. La
    razón es que el campo eléctrico se establece en el conductor con una rapidez próxima a la de la luz, y los
    electrones dentro del conductor comienzan a trasladarse prácticamente al mismo tiempo.

    En los diferentes materiales portadores de corriente, las cargas de las partículas móviles pueden ser positivas o
    negativas. Así por ejemplo en los metales los portadores de carga son los electrones (negativos), mientras que en
    un gas ionizado (plasma) y en las soluciones iónicas los portadores de carga pueden ser positivos o negativos.
    En el caso de los semiconductores los portadores de carga son los electrones y el movimiento de vacantes
    (huecos) que no es más sino lugares donde faltan electrones y que actúan como cargas positivas. En la figura
    6.3 se muestra segmentos de materiales en los cuales se observa el movimiento de diferentes portadores de
    carga. En la figura 6.3a, los portadores son positivos, en este caso la fuerza eléctrica tiene la misma dirección
    que el campo y la velocidad de deriva es de izquierda a derecha En la figura 6.3b, los portadores móviles son
    negativos, en este caso la fuerza tiene sentido opuesto al campo eléctrico y la velocidad de deriva es de derecha
    a izquierda.




    Figura 6.3. (a) Movimiento de portadores de carga positiva a través de un conductor, (b) movimiento de portadores de
                 carga negativa (electrones en un conductor.

    Definimos la dirección de la corriente que en adelante se representa por I, como aquella en la que existe un flujo
    de carga positiva. Es decir, consideramos a la corriente como un flujo de cargas positivas, incluso en aquellos
    casos en que sabemos que los portadores son los electrones. Por tanto la corriente tendrá un sentido hacia la
    derecha en ambos figuras 6.2a y 6.2b. Esta asunción se conoce como corriente convencional.




                                                         269
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    Para determinar el valor de la corriente asumamos que un conjunto de portadores de carga positiva se mueven de
    izquierda a derecha tal como se muestra en las figuras 6.4a y 6.4b en la misma dirección que la corriente.
    Definimos la corriente eléctrica I como la cantidad de carga móvil total que pasa por una sección transversal
    fija normal al conductor, por unidad de tiempo. De acuerdo con esta definición, si en un intervalo de tiempoΔ t
    por la sección transversal A atraviesa una cantidad de carga Δq, la corriente eléctrica será.

                                                                   ∆q                                                   (6.1)
                                                              I=
                                                                   ∆t


    de ∆𝑞⁄∆𝑡, cuando el intervalo de tiempo Δt tiende a cero, esto es
    Para las corrientes que varían con el tiempo la intensidad de la corriente en el instante t se define como el límite


                                                          ∆q dq                                                         (6.2)
                                                = lim
                                                 I =
                                                   ∆t → 0 ∆t dt




                               (a)                                                      (b)

    Figura 6.4.        Movimiento de portadores de carga positivos a través de la sección transversal de un conductor

    Para el caso de corrientes continuas o directas, la ecuación (6,2) se escribe

                                                                                 q
                                           ∫ dq ∫ Idt ⇒ q I ∫ dt ⇒ =
                                              =         =          I
                                                                                 t
                                                                                                                        (6.3)


    De estas ecuaciones podemos ver que la intensidad de corriente es una magnitud escalar que tiene como unidad
    en el sistema internacional al Amperio definido com0 un Coulomb sobre un segundo, es decir

                                                          1coulomb      1C
                                                =
                                             1Amperio              ⇒ 1A
                                                                   =


                                     ⃗).
                                                          1segundo      1s

    6.2.3     Densidad de corriente (𝒋


    cargas elementales en un mismo tiempo, por ello es necesario definir la densidad de corriente ⃗, la misma que
                                                                                                   𝚥
             En cada parte de la sección transversal de un material conductor puede atravesar diferente número de

    expresa la intensidad o concentración del flujo de carga en un punto de un medio conductor. La densidad de
    corriente es una magnitud vectorial que tiene la misma dirección que el flujo de carga en un punto dado. Su
    magnitud se determina tomado el límite el flujo de carga o corriente, ΔI por unidad de área ΔA, orientada
    perpendicularmente a la dirección del flujo de carga como se muestra en la figura 6.5, esto es

                                                       ∆I dI
                                              = lim
                                               j =                                                                      (6.4)
                                                 ∆A→ 0 ∆A dA




             Figura 6.5 Densidad de corriente para un flujo de carga no uniforme


                                                        270
Física General III               Corriente, resistencia y fuerza electromotriz                   Toribio Córdova C.




    muestra en la figura 6.6, la densidad de corriente ⃗, es la misma en todo el conductor. La relación entre la
                                                         𝚥
    Para el caso de un conductor dentro del cual el flujo de cargas libres es la misma en todos los puntos como se


    transversal sombreada y considerando a ⃗ constante. De tal manera que
                                            𝚥
    densidad de corriente y la intensidad de corriente se obtiene integrando la ecuación (6.4) sobre el área


                                                 dI= jdA ⇒ I=      ∫ jdA=   jA

                                                           I
                                                     j=                                                              (6.5)
                                                          A⊥




             Figura 6.6. Diagrama para mostrar la relación Corriente y densidad de corriente para flujos de carga
                           uniformes

    Para determinar la densidad de corriente cuando esta varía de un punto a otro dentro de la sustancia conductora


    y dirección del flujo de carga o corriente y por tanto la densidad de corriente ⃗ cambian continuamente de un
                                                                                       𝚥
    como ocurre en un tubo de descarga gaseosa o un transistor de radio, consideremos un conductor de forma
    irregular como se muestra en la figura 6.7, por el que circula una corriente total I de tal manera que la magnitud

    punto a otro.




             Figura 6.7. Diagrama que permite evaluar la relación general entre la intensidad de corriente y l densidad de


    Para determinar una relación entre la corriente I y la densidad de corriente ⃗ , tomemos un área cualquiera de
                                                                                 𝚥
                          corriente en general


    forma irregular A y dividámoslo en elementos de área dA, entonces el vector unitario normal �⃗ perpendicular a
                                                                                                  𝑛
    dA forma un ángulo θ con la densidad de corriente ⃗ en dicho punto. Entonces la corriente eléctrica a troves del
                                                         𝚥
    área correspondiente será

                                                   = jdA⊥ j cos θ dA
                                                   dI =                                                              (6.6)

    Usando la definición de producto escalar la ecuación anterior se puede escribir.
                                                          
                                                     dI = j .ndA                                                     (6.7)

    Integrando la ecuación (6.7), resulta
                                                            
                                                     I = ∫∫ j .ndA                                                   (6.8)
                                                           A

    Esta es una relación entre la intensidad de corriente total y la densidad de corriente en el caso más general

                                                        271
Física General III                  Corriente, resistencia y fuerza electromotriz                  Toribio Córdova C.




              Para determinar una relación entre la densidad de corriente ⃗ y la velocidad de deriva de los portadores
                                                                               𝚥
    6.2.4     Densidad de corriente en función de la velocidad de deriva de los portadores de carga.


    de carga ⃗ 𝑑 , consideremos un tubo de corriente de área transversal dA y de longitud dx análogo al tubo de flujo
               𝑣
    utilizado en mecánica de fluidos como se muestra en la figura 6.8a. Debido a que las líneas de corriente son
    paralelas a la superficie lateral del tubo de corriente, no existirá flujo de corriente a través de la superficie lateral
    del tubo.




                                  (a)                                                     (b)

    Figura 6.8. (a) Tubo de corriente utilizado para evaluar la relación entre la densidad de corriente y la densidad de
                     portadores móviles, (b) tubo de corriente en un conductor recto.

    En un intervalo de tiempo dt, toda carga dentro de la sustancia se moverá una distancia dx = vddt, donde vd es la
    velocidad de deriva o arrastre de los portadores de carga móviles. En este intervalo de tiempo por el área dA
    fluirá una carga total expresada por

                                                   = ρ q dVvol ρ q (dxdA)
                                                    dq =                                                               (6.9)

    Donde, ρq la densidad de carga volumétrica y dVvol el volumen del tubo de corriente. Remplazando el valor de
    dx = vddt en la ecuación (6.9) se obtiene

                                                      dq = ( ρ q vd dA)dt                                             (6.10)

    O sea la carga por unidad de tiempo viene expresada por la ecuación

                                                       dq
                                                          = ρ q vd dA                                                 (6.11)
                                                       dt
    Pero dq/dt es la intensidad de corriente total en el tubo diferencial, entonces tenemos

                                                      dI = ρ q vd dA                                                  (6.12)

    Por otro lado la corriente y la densidad de corriente se encuentran relacionadas por la ecuación              𝑑𝐼 = 𝑗𝑑𝐴,
    entonces la ecuación (6.12), se escribe

                                                       j = ρ q vd                                                     (6.13)

    Debido a que la densidad de corriente y la velocidad de deriva tienen la misma dirección, la ecuación (6.13) se
    puede escribir vectorialmente en la forma
                                                              
                                                       j = ρ q vd                                                     (6.14)

    La ecuación (6.14), expresa que la densidad de corriente ⃗ es igual al producto de la densidad de carga
                                                                  𝚥
    volumétrica por la velocidad de deriva de los portadores de carga ⃗ 𝑑 .
                                                                      𝑣

    Si existe n partículas cargadas móviles por unidad de volumen. La densidad de carga por unidad de volumen se
    expresa en la forma

                                                      ρ q = nq0                                                       (6.15)

                                                           272
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          Donde n es el número de partículas por unidad de volumen y q0 es la carga de cada una de ellas. Por lo tanto la
          densidad de corriente puede escribirse en la forma
                                                                  
                                                           j = nq0 vd                                                         (6.16)

          Si los portadores de carga son los electrones como en el caso de las metales, su carga es 𝑞0 = −𝑒, entonces la
          densidad de corriente está dada por la ecuación
                                                                   
                                                           j = −n e vd                                                        (6.17)

          Para el caso de soluciones electrolíticas en donde los portadores de carga son los iones positivos y negativos o
          en el caso de los semiconductores en donde los portadores de carga son los electrones y las vacancias (huecos),
          la densidad de corriente se determina sumando la densidad de corriente para cada tipo de portador de carga, es
          decir
                                                                      
                                                           j = ∑ ni qi vd ,i                                                  (6.18)


6.3       LEY DE OHM MICROSCÓPICA: Conductividad eléctrica.

          Debemos señalar primeramente que en los conductores los portadores de carga no se encuentran en completa
          libertada para moverse, es decir su movimiento es aleatorio tal como se muestra en la figura 6.9a, esta


          de energía cinética que la adquirió cuando se aplicó el campo eléctrico �⃗ , campo que le produce una fuerza
          trayectoria que describe los portadores se debe a la interacción con los demás electrones y con los iones fijos de

                                                                                        𝐸
          la red cristalina véase figura 6.9b. Durante estas interacciones (colisiones) los electrones pierden gran cantidad

          eléctrica 𝐹⃗ = −𝑒𝐸 .
                             �⃗




                                     (a)                                                              (b)

        Figura 6.9 (a) Trayectoria aleatoria del movimiento de un portador de carga dentro de un conductor, (b) la interacción
                       de electrones con los iones de la red da lugar a que los iones vibren alrededor de su posición de equilibrio y
                       los electrones se muevan en trayectorias aleatorias según la orientación del campo eléctrico

          La conversión de energía eléctrica en energía cinética de los electrones y la posterior conversión en energía
          térmica (calentamiento del conductor) podrían representarse como pérdidas debidas a fuerzas de fricción sobre


           ⃗ 𝑑 , entonces se tiene
           𝑣
          las cargas móviles. Estas fuerzas de fricción pueden asemejarse a las que aparecen en el movimiento de un
          sólido en el interior de un fluido, siendo dichas fuerzas proporcionales a la velocidad de deriva de los electrones

                                                                  
                                                           f r' = bvd                                                         (6.19)

          Debido a que la fuerza eléctrica y la fuerza fraccional tienen signos opuestos, después de cierto tiempo esta se
          equilibran dando lugar a un movimiento uniforme con una velocidad terminal o límite obtenida a partir de



                                                                273
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                                                                     
                                                    Fe + f r' = ⇒ eE − bvd
                                                               0

                                                     e 
                                                  vd = E                                                        (6.20)
                                                      b

    lado denominamos movilidad de los electrones (𝜇 𝑒 ) al cociente e/b, es decir 𝜇 𝑒 = 𝑒⁄ 𝑏, con lo cual escribimos la
    Donde b es una constante de proporcionalidad y depende del material del cual está hecho el conductor. Por otro

    ecuación (6.20) en la forma
                                                         
                                                  vd = µe E                                                     (6.21)

    Puesto la densidad de corriente es proporcional a la velocidad de deriva de los electrones, al remplazar la
    ecuación (6,21) en (6.16), resulta
                                                          
                                                  j = neµe E                                                    (6.22)


    proporcionalidad 𝑛𝑒𝜇 𝑒 y se le denomina conductividad eléctrica (σ) y a su recíproco que se le llama resistividad
    La ecuación (6.22) indica que la densidad de corriente es proporcional al campo eléctrico siendo la constante de

    eléctrica del material. Es decir

                                                       1
                                                  σ
                                                  =    = neµe                                                   (6.23)
                                                       ρ

    Debe señalarse además que tanto la conductividad así como la resistividad son propiedades que dependen del
    material conductor y no dependen del tamaño ni de la geometría del conductor.

    Al remplazar la conductividad eléctrica en la ecuación (6,22), obtenemos

                                                   1 
                                                = σE
                                                 j =   E                                                        (6.24)
                                                              ρ
    Es a la ecuación (6.24) que se le conoce como ley de Ohm microscópica. Según esta ecuación la resistividad
    eléctrica puede expresarse como

                                                       E
                                                  ρ=                                                            (6.25)
                                                       j
    De donde se obtiene que las unidades de la de la resistividad es (V.m/A). Esta ecuación además indica que
    cuanto mayor es la resistividad más grande es el campo eléctrico necesario para generar una densidad de
    corriente. Como veremos más adelante el cociente (V/A) se llama ohm (Ω), por tanto las unidades de la
    resistividad en el SI es el (Ω.m). La tabla 6.1 muestra algunos valores de resistividades de materiales. De ella se
    observa que los metales y sus aleaciones presentan resistividades más pequeñas, por ello es que estos materiales
    son mejores conductores de la electricidad. Por otro lado los aisladores tienen su resistividad mucho mayor que
    los conductores, siendo el factor del orden de 1022. Debe señalarse además que el recíproco de la resistividad es
    la conductividad cuyas unidades son (Ω.m)-1según esta cantidad, los elementos cuya conductividad es alta son
    buenos conductores de la electricidad.

    Debe señalarse además que los semiconductores tienen resistividades intermedias entre los metales y los
    aislantes. Estos materiales tienen una gran importancia en el diseño de dispositivos electrónicos en virtud de la
    manera en que la temperatura y el añadido de impurezas modifican sus propiedades eléctricas.

    Un material que cumple con la ley de Ohm se denomina óhmico. En estos materiales, y a una temperatura dada,
    la resistividad permanece constante, es decir, no depende del campo eléctrico. Sin embargo existen otros
    materiales como los semiconductores cuyo comportamiento es no lineal denominados no óhmicos, en estos
    materiales, la densidad de corriente depende del campo eléctrico.



                                                       274
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    Tabla I. Resistividad, conductividad y coeficiente de temperatura de algunos materiales

         MATERIAL              RESISTIVIDAD             CONDUCTIVIDAD                COEFICIENTE DE
                                  ρ (Ω.m)                  σ (Ω.m)-1                   TEMPERA.
                                                                                         α (°C)-1
          Elementos
     Plata                         1,47.10-8                   6,29.107                      0,0038
     Cobre                         1,72.10-8                   5,81.107                     0,00393
     Oro                           2,44.10-8                   4,09.107                      0,004
     Aluminio                      2,75.10-8                   3,55.107                      0.0039
     Tungsteno                     3,25.10-8                   1,80.107                      0,0045
     Hierro                        10,00.10-8                  1,00.107                      0,0050
     Plomo                         22,00.10-8                  6,29.107                      0,0043
     Mercurio                      95,00.10-8                  0,1.107                      0,00088
          Aleaciones
     Manganina                       44.10-8                   0,23.107                     1,00.10-5
     Constantán                      49.10-8                   0,23.107                     0,00001
     Nicromo                        100.10-8                   0,1.107                       0,0004
     Carbono       puro             3,5.10-5                   2,9.104                      -0,0005
     (grafito)
     Germanio puro                    0,60                       2,2                         -0,048
     Silicio puro                     2300                     1,6.10-3                      -0,075
          Aisladores
     Vidrio                        1010 – 1014              10-10 – 10-144
     Azufre                           1015                      10-15
     Cuarzo                         75.1016                  1,73.10-18
     Mica                          1011 - 1015             10-11 – 10-15


    6.3.1    Resistividad y la temperatura.

              La resistividad de un material conductor casi siempre aumenta con la temperatura como se muestra en
    la figura 6.9a. Esto se debe a que cuando se eleva la temperatura de un conductor, los iones del conductor viran
    con mayor amplitud aumentando de esta manera la probabilidad de que un electrón en movimiento colisione con
    un ión. En consecuencia disminuye la velocidad de deriva del portador dentro del conductor, disminuyendo de
    este modo la corriente. Si el rango de variación de temperaturas es hasta 100°C, la resistividad del material
    puede escribirse en la forma.

                                          ρ (T ) = ρ0 [1 + α (T − T0 )]                                          (6.26)

    Donde ρ0 es la resistividad a una temperatura de referencia T0 con frecuencia tomada a 0°C 0 a 20°C y ρ(T) es la
    resistividad a cualquier temperatura T. El factor α se denomina coeficiente de temperatura de la resistividad su
    valor para algunos materiales está dado en la Tabla I . De dicha tabla se observa que para el caso del grafito y los
    semiconductores la resistividad disminuye al aumentar la temperatura por tanto el coeficiente de temperatura de
    la resistividad de estos materiales es negativa. En el caso de los semiconductores esta propiedad nos permite
    diseñar los termistores.




    Figura 6.10 Variación de la resistividad con la temperatura: (a) Para un metal (la resistividad aumenta con el
                 incremento de temperatura, (b) En un semiconductor la resistividad disminuye al aumenta T


                                                        275
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          6.3.2    Superconductividad.

                    Ciertos materiales tales como óxidos metálicos y algunas otras aleaciones presentan un fenómeno
          denominado superconductividad. Este fenómeno consiste en que al disminuir la temperatura de estos materiales,
          al principio la resistividad disminuye uniformemente. Sin embargo cuando se alcanza cierta temperatura
          denominada temperatura crítica TC aparece una transición de fase y la resistividad desciende abruptamente a
          cero, como se muestra en la figura 6.11a. Es decir, si en estos materiales superconductores se establece una
          corriente eléctrica ella se mantiene sin la necesidad de un campo eléctrico. Este fenómeno fue descubierto por
          Heike Kamelingh Onnes en 1911 quien observo que cuando la temperatura del mercurio disminuyó a valores del
          orden de lo 4,2K, su resistividad disminuía súbitamente a cero. Durante 70 años se ka alcanzado temperaturas
          críticas del orden de los 20K. Este es un indicador que solo había superconductividad cuando estos materiales se
          enfriaban en helio líquido (costoso) o hidrógeno líquido (explosivo). Posteriormente, Muller y Bednortz
          descubrieron que el óxido de bario, lantano y cobre se convertían en superconductores a temperaturas de los
          40K. Posteriormente en los años 1987 se obtuvo un óxido complejo de itrio, cobre y bario con
          superconductividades a temperaturas de los 77K. En la actualidad se ha encontrado sustancias conductoras a
          temperaturas de los 160K, existiendo la posibilidad de encontrar superconductores a temperatura ambiente.

          Si esta hipótesis se lograra cumplir aparecería una enorme modernización con implicancias tecnológicas muy
          grandes. Una de las aplicaciones importantes es la fabricación de imanes superconductores, en los que los
          campos magnéticos son diez veces mayores a los campos magnéticos producidos por los mejores electroimanes.
          En la actualidad los imanes superconductores son usados para obtener imágenes por resonancia magnética en el
          campo de la medicina. En la figura 6.11b se muestra una de las aplicaciones de la superconductividad.




                                       (a)                                                             (b)

          Figura 6.11.      (a) Variación de la resistencia con la temperatura para el mercurio, se observa que para temperaturas
                             inferiores a TC = 4,2K, la resistencia cae súbitamente a cero; (b) Imán permanente pequeño levitando
                            por encima de un disco superconductor deYBa2Cu3O7 a una temperatura de 77K



6.4       RESISTENCIA ELECTRICA

          6.4.1    Ley de Ohm macroscópica.



          cuyos extremos se ha aplicado una diferencia de potencial ∆𝑉 = 𝑉 𝑏 − 𝑉𝑎 , la misma que produce un campo
                   Para obtener una forma más usual de la ley de Ohm para aplicaciones prácticas consideremos un


          eléctrico �⃗ y una corriente I.
          segmento recto de alambre de longitud L y sección transversal A, como se muestra en la figura 6.12, entre

                     𝐸




                           misma que produce un campo �⃗ y como tal una corriente I
                                                       𝑬
          Figura 6.12. Conductor de longitud L y sección A uniforme al que se le aplica una diferencia de potencial la
                                                                                                               ΔV,


                                                               276
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    Asumiendo que el campo �⃗ en el interior es diferente de cero y a la vez uniforme, entonces la diferencia de
                                𝐸
    potencial entre los extremos b y a será

                                                     a  
                                               ∆V = ∫ E.ds =
                                                   −        EL                                                (6.26)
                                                            b


    Despejando el campo eléctrico se tiene

                                                       ∆V
                                                  E=                                                            (6.27)
                                                        L
    Remplazando la ecuación (6.27) en la ecuación (6.24), la densidad de corriente puede escribirse en la forma

                                                            ∆V
                                                  j =σ(        )                                                (6.28)
                                                             L

    esto es 𝑗 = 𝐼 ⁄ 𝐴, la ecuación (6.28) se transforma en
    Teniendo en cuenta que la densidad de corriente es la intensidad de corriente por unidad de área perpendicular,


                                              I σ (∆V ) ∆V
                                             = =
                                              A    L    ρl

                                                                L
                                                  ∆V =ρ           I                                             (6.29)


    Es a la cantidad 𝜌( 𝑙⁄ 𝐴), que se le conoce como Resistencia (R), del material, entonces
                                                                A


                                                            L
                                                  R=ρ                                                           (6.30)
                                                            A
    Al remplazar la ecuación (6.30) en (6.29), se obtiene

                                                  ∆V =RI                                                        (6.31)



    materiales) entre la diferencia ∆𝑉 con respecto a la intensidad de corriente I o de la densidad de corriente j con
    La expresión dada por la ecuación (6.31), se le conoce como ley de Ohm macroscópica, pero es importante
    comprender que el verdadero contenido de la ley de Ohm es la proporcionalidad directa (en el caso de ciertos

    respecto al campo eléctrico E. La ecuación (6.31) define la resistencia R de cualquier conductor, ya sea que
    obedezca la ley de Ohm o no, pero cuando R es constante el correcto llamar ley de Ohm a esta relación

    Aun cuando la ecuación (6.31) muestra una relación entre la resistencia, la diferencia de potencial y la
    intensidad de corriente, debe precisarse que la resistencia R de cualquier material conductor es totalmente
    independiente de la diferencia de potencial aplicada y de la intensidad de corriente, siendo más bien dependiente
    de la geometría del conductor y de la naturaleza del material, así por ejemplo si el conductor es recto de longitud
    l y sección transversal constante la resistencia R es proporcional a la longitud l e inversamente proporcional al
    área de la sección transversal A, siendo la constante de proporcionalidad la resistividadρ

    En general, la resistencia R, de cualquier material de forma arbitraria se determina usando la relación
                                                                         
                                         ∆V
                                       = =
                                       R
                                                      ∫ E.ds
                                                         =
                                                                ∫ Eds
                                                                   .
                                                                                                                (6.32)
                                                                     
                                          I         ∫∫ j .ndA ∫∫ σ E.ndA
                                                       A              A


    De acuerdo con la ecuación (6.32), la unidad de la resistencia R en el sistema internacional de unidades es el
    ohmio, representada por la letra omega del alfabeto griego (Ω). Entonces

                                                     1V                                                         (6.33)
                                                 1Ω =
                                                     1A

                                                       277
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    Para el caso de los resistores que obedecen la ley de Ohm, su gráfica intensidad de corriente en función de la
    diferencia de potencial es una línea recta como se muestra en la figura 6.13a. En el caso de dispositivos que no
    cumplen con la ley de Ohm, la relación intensidad de corriente y diferencia de potencial puede no ser una
    proporción directa, y puede ser diferente con respecto a los sentidos de la corriente. La figura 6.13b, muestra la


    proporcional a (∆𝑉)3/2 ; mientras que con potenciales negativos la corriente es extremadamente pequeña. El
    curva característica para un diodo de vacio utilizado para convertir corriente alterna de alto voltaje en corriente
    contínua, Con potenciales positivos en el ánodo con respecto al cátodo, la corriente I es aproximadamente

    comportamiento d los diodos semiconductores (figura 6.8c) es algo diferente.




                     (a)                                    (b)                                    (c)

    Figura 6.13. Relación intensidad de corriente: (a) Resistencia óhmica, (b) Diodo de vacío y (c) Diodo semiconductor



    6.4.2    Variación de la resistencia con la temperatura.

            Se ha visto en la sección 2.7 que la resistividad de un conductor varía de manera lineal con la
    temperatura de acuerdo con la ecuación

                                                   ρ (T ) = ρ0 [1 + α (T − T0 )]
    Por otro lado debido a que la resistencia es proporcional a la resistividad, entonces, se puede escribir la
    resistencia del conductor en función de la temperatura, esto es

                                            R (T ) = R0 [1 + α (T − T0 )]                                            6.34)


    6.4.3    Estudio de la resistencia eléctrica..

             Un dispositivo utilizado en circuitos de modo que tenga un valor específico de resistencia entre sus
    extremos se llama resistor. Se pueden adquirir en el mercado resistores cuyos valores van desde 0,01Ω hasta
    107Ω. Los resistores individuales utilizados en instalaciones electr
                                                                     ónicas tienen la forma de cilindros pequeños
    de algunos milímetros de diámetro y de longitud, con alambres que sobresalen de sus extremos, en los cuales se
    ha plasmado bandas de colores tal como se muestra en la figura 6.14a y la figura 6.14b se muestra un conjunto
    de resistores con bandas de diversos colores.




     Figura 6.14. (a) Resistencia óhmica usada en circuitos, (b) Conjunto de resistencias de diversos valores


                                                         278
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    Cada una de estas resistencias está marcado con un código estándar de tres o cuatro bandas de color cerca de
    uno de los extremos como se muestra en la figura 6.15a, de acuerdo con el esquema que se muestra en la tabla
    II. La primeras dos bandas (a partir del extremo más próximo) son dígitos, y la tercera es un multiplicador de
    potencia de diez. Su representación en el lenguaje de circuitos es la mostrada en la figura 6.15b, para una
    resistencia fija y la figura 6.15c para una resistencia variable. Otra característica importante de un resistor es la
    energía eléctrica que puede disipar sin sufrir daño, esto es la potencia de trabajo.




                                 (a)                                                    (b)                    (b)

    Figura 6.15. (a) Resistencia mostrando las bandas de colores e indicando la forma como se determina su valor
                     mediante el código de colores, (b) representación de una resistencia fija y (c) representación de una
                     resistencia variable en un circuito.

    Tabla II. Código de colores para resistencias




    En la figura 6.16a, se muestra las componentes básicas de un resistor y en la figura 6.16b su instalación en
    circuitos eléctricos y electrónicos




                                 (a)                                                             (b)

    Figura 6.16. (a) Componentes de una resistencia y (b) Instalación de resistencias en un circuito

                                                         279
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    Debe indicarse además que los resistores mostrados en las graficas anteriores no son el único tipo de resistencia
    que se usa en instalaciones eléctricas y electrónicas. En general también se usan resistencias variables o con los
    potenciómetros, los mismos que se muestran en la figura 6.17,




    Figura 6.17. Fotografía de varios potenciómetros (resistencias variables)

    Una de las resistencia variables muy utilizado en el laboratorio es el Reóstato (Rh), el cual tiene un control
    deslizante, y tres conectores (uno en la parte superior y dos en la parte inferior) como se muestra en la figura
    6.18a, cuando el reóstato es conectado con la parte superior a un circuito y la parte inferior al otro extremo del
    circuito, la resistencia se puede variar mediante el movimiento del control deslizante, controlando de este modo
    el flujo de corriente a través del reóstato representada por la línea de color rojo en la fotografía. La figura 6.18b
    muestra la representación en el lenguaje circuital del reóstato.




    Figura 6.18. (a) Fotografía de un reóstato y (b) representación esquemática de un reóstato.

    Por otro lado existen resistencias variables cuya resistencia varía con la variación de temperatura (termistores)
    representados en la figura 6.14b y aquellos que varían con la incidencia de la luz (celda fotoconductora)
    representada en la figura 6.14b




    Figura 6.19. (a) Fotografía de varios termistores y (b) Fotografía de una celda fotoconductora

                                                         280
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6.7       FUERZA ELECTROMOTRIZ Y CIRCUITOS.


          necesario debido a que cuando se establece una diferencia de potencial ∆𝑉, entre sus extremos, aparecerá un
          campo eléctrico �⃗ en el interior el mismo que producirá una fuerza eléctrica sobre los portadores de carga
          Para que un conductor tenga una corriente constante, dicho conductor debe ser parte de un circuito. Esto es

                               𝐸
          originándose una corriente eléctrica (flujo de portadores de carga) con una densidad de corriente ⃗ = 𝜎𝐸 como
                                                                                                                 𝐽    �⃗
          se muestra en la figura 6.20a. Sin embargo, si el conductor no es parte de un circuito la diferencia de potencial


          sentido opuesto �⃗ 𝑖 , el cual cancela al campo aplicado �⃗ 𝑎 , llegando después de dicho tiempo el campo neto en el
          aplicada ocasionará que en un tiempo muy pequeño se acumule carga positiva en lado del conductor y en el otro

                             𝐸                                      𝐸
          se acumule una carga negativa como se ve en la figura 6.20b, dichas carga dan origen a un campo propio de

          interior igual a cero y como tal la corriente eléctrica también será nula, como se muestra en la figura 6.20 b




          Figura 6.20. (a) El campo originado por la aplicación de una diferencia de potencial genera una corriente, (b) la
                           corriente provoca una acumulación de carga en los extremos apareciendo un campo inducido que
                           disminuye el campo original, (c) después de un tiempo muy corto el campo original es cancelado por el
                           campo inducido siendo el campo neto en el interior nulo.

          Por lo tanto, para que una corriente (flujo de carga) se mantenga en el conductor, es necesario que el conductor
          esté conectado a un circuito, más aun debe existir un agente externo el cual debe mantener la diferencia de
          potencial necesaria para aumentar la energía potencial de las cargas. Este agente no es más sino una fuente de
          fem (batería, generador, etc).


          6.7.1    Fuerza electromotriz (fem).



          de mayor potencial venciendo de esta forma el campo electrostático el que produce una fuerza eléctrica ⃗ 𝐸 =
                   Se ha dicho que para mantener una corriente eléctrica en un conductor, en alguna parte del circuito debe

                                                                                                                             𝐹
          haber un elemento activo de tal manera que empuje una carga positiva desde un punto de menor potencial a otro

            �⃗
           𝑞𝐸 . La fuente que hace este trabajo se denomina fuente generadora de fuerza electromotriz o simplemente
          fuerza electromotriz ( 𝜀 ), la que ejerce una fuerza ⃗ 𝑛 , sobre los portadores tal como se muestra en la figura 6.21a,
                                                               𝐹
          llevando los portadores del borne a hacia el borne b. Debemos precisar que el nombre de fuerza electromotriz no
          es una fuerza, sino más bien una cantidad de energía por unidad de tiempo, siendo sus unidades las mismas que
          las de diferencia de potencial, esto es: el volt (V). Así por ejemplo, una batería utilizada para la linterna tiene
          una fem de 1,5 V, es decir, la batería realiza un trabajo de 1J sobre cada coulomb de carga que pasa a través de
          ella.

          En general se llama fuente generadora de fem a cualquier dispositivo que transforma energía no eléctrica
          (mecánica, química, solar, térmica, etc.) en energía potencial eléctrica y la transfiere al circuito al cual se


          mantiene sus bornes a una diferencia de potencial constante es decir 𝜀 = 𝑉𝑎 − 𝑉 𝑏 . Por esto es que se define a la
          encuentra conectado el dispositivo. Las principales fuentes fem son: las baterías, los generadores eléctricos, las
          caldas solares, las pilas termoeléctricas y las celdas de combustibles. Una fuente generadora de fem ideal



          ecuación 𝑉𝑎 − 𝑉 𝑏 = 𝜀 − 𝑟𝐼. La figura 6.21a, corresponde a una fuente ideal de fem que mantiene una diferencia
          fem como la magnitud de la diferencia de potencial. Sin embargo, en la naturaleza no existe fuente de fem ideal,
          ya que todas tienen resistencia interna por tanto la fem se relaciona con la diferencia de potencial mediante la


          diferencia de potencial produce un campo electrostático �⃗ el mismo que produce una fuera electrostática
                                                                         𝐸
          de potencial entre sus bornes a y b, siendo el borne a el que se encuentra a mayor potencial que el borne b dicha

           ⃗ 𝐸 = 𝑞𝐸 sobre una carga positiva. Para mantener dicha diferencia de potencial la fuente de fem hace un trabajo
           𝐹      �⃗
          no electrostático produciendo una fuerza no electrostática ⃗ 𝑛 sobre la carga +q obligándola a moverse del borne
                                                                       𝐹
          b hacia a. Este trabajo por ejemplo en una batería se debe a la energía química producida en el interior de la
          batería producto de las reacciones químicas que en ella se producen.


                                                               281
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    Figura 6.21 (a) diagrama esquemático de una fuente de fem; (b) diagrama de una fuente de fem instalada en un
                 circuito cerrado


    trabajo positivo ( 𝑊 𝑏→𝑎 = 𝑞𝜀 ) sobre la carga, originando un desplazamiento en contra del campo electrostático
    por lo tanto la energía potencial asociada a la carga aumenta en una cantidad ( 𝑞∆𝑉 ), por otro lado la fuerza
    Cuando se produce el traslado de una carga +q del borne b al borne a, la fuerza no electrostática realiza un


    electrostática también ejerce un trabajo pero en este caso es negativo, de tal manera que el trabajo neto es nulo,
    es decir no existe variación de energía cinética de la carga. Esto es como si se moviera un cuerpo a velocidad
    constante. Pues bien, el aumento de energía potencial en la fuente ideal será igual al trabajo no electrostático, es
    decir

                                                    qε = Wb→a = q∆V
                                                                                                                  (6.35)
                                                          ε = ∆V
    Con la fuente de fem formemos un circuito como se muestra en la figura 6.21b, la diferencia de potencial


    ∆𝑉 = 𝐼𝑅, con lo cual la ecuación 6,35 se escribe en la forma
    establecerá un campo eléctrico en el interior del alambre esto produce un flujo de carga o corriente a través del
    conductor de mayor a menor potencial. De acuerdo con la ley de Ohm dicha diferencia de potencial será


                                                    ε =V =
                                                       ∆  IR                                                      (6.36)


    6.7.2    Resistencia interna de una fem.


    entonces la fem ( 𝜀 ) no es igual a la diferencia de potencial ∆𝑉. Esto se debe a que cuando se mueve un portador
              En la naturaleza no se encuentra fuente ideal alguna, es decir todas tienen una resistencia interna,

    de carga en el interior de la fuente de fem experimenta una oposición (resistencia). Es a esta resistencia que se le

    potencial (– 𝑟𝐼), de tal forma que cuando exite flujo de corriente a través de la fuente, la diferencia de potencial
    denomina resistencia interna (r) y que si cumple con la ley de Ohm, entonces en ella habrá una caída de

    entre los bosrnes será

                                                    ∆V = ε − rI                                                   (6.37)


    (– 𝑟𝐼), el aumento de energía potencial que se produce cuando se traslada la carga q de b hasta a es menor que el
    Es decir, la diferencia de potencial entre los bornes a y b es inferior a la fuerza electromotriz debido al término

    trabajo realizado por la fuente de fem ya que parte de la energía se pierde en la resistencia interna en forma de
    calor.

    Si se tiene una batería de 9 V, tiene una fem de 9 V, pero la diferencia de potencial entre sus bornes será igual a 9
    V si ninguna corriente circula a través de ella. Si la batería es parte de un circuito cerrado la diferencia de
    potencial será menor de 9 V. Es decir, en una fuente real la diferencia de potencial entre sus bornes será menor
    cuando a través de ella fluya corriente (véase la figura 6.22a) y será igual a la fem si a través de ella no circula
    corriente (figura 6.22b).


                                                         282
Física General III                 Corriente, resistencia y fuerza electromotriz                    Toribio Córdova C.




          Figura 6.22. (a) Cuando el interruptor está cerrado la diferencia de potencial entre los bornes de la fuente de fem es
                           menor que la fem; (b) cuando el interruptor se encuentra abierto la diferencia de potencial entre los
                           bornes es igual a la fem.


          elemento pasivo es óhmico (∆𝑉 = 𝑅𝐼 ). Al combinar esta ecuación con la ecuación 6.37, se tiene
          La corriente en el circuito externo conectado a los bornes de la fuente sigue cumpliendo con la ley de Ohm si el


                                                                ε − rI =
                                                                       RI
                                                                  ε
                                                           I=                                                                (6.38)
                                                                r+R
          Es decir la corriente en el circuito es igual al cociente de la fem y la resistencia total del circuito (r + R).

          El cambio neto de energía potencial de una carga q que recorre un circuito completo debe ser cero. Por tanto, el
          cambio neto de diferencias de potencial alrededor del circuito debe ser nulo. Es decir, la suma algebraica de las
          diferencias de potencial a través del circuito cerrado debe ser nula. Entonces se tiene

                                                           ∆Vε + ∆Vr + ∆VR = 0
                                                               ε − rI − RI =
                                                                           0                                                 (6.39)

          Aquí se observa que una ganancia de potencial en la fuente de fem se compensa con las pérdidas de energía en
          la resistencia interna r y en la resistencia externa R. En la figura 6.23 se observa la variación de potencial a
          medida que se recorre un circuito.




          Figura 6.23. (a) Diagrama de un circuito en donde se muestra una fuente de fem 𝜺 y resistencia interna r conectada a
                           un resistor externo R; (b) representación gráfica de las variaciones de potencial a través del circuito
                           seguido en sentido anti horario.


6.8       ENERGÍA Y POTENCIA EN CIRCUITOS ELECTRICOS.


          eléctrico �⃗ , en el interior del mismo, éste campo produce una fuerza eléctrica ⃗𝑒 = −𝑒𝐸 , la misma que acelera a
                     𝐸                                                                     𝐹      �⃗
          Cuando se aplica una diferencia de potencial ΔV, entre los extremos de un conductor, aparece un campo

          los portadores de carga (electrones) en el metal en un tiempo muy pequeño, haciendo que el conjunto de
          electrones incremente su energía cinética. Sin embargo, esta energía cinética rápidamente se convierte en
          energía interna del conductor debido a las interacciones (choques) de los electrones con los iones de la

                                                                283
Física General III                 Corriente, resistencia y fuerza electromotriz                Toribio Córdova C.



    estructura cristalina. El aumento de energía interna da lugar a un incremento de la temperatura del conductor (el
    conductor se calienta). Este fenómeno se conoce como efecto Joule, el mismo que es aprovechado en el diseño
    de un conjunto de dispositivos como por ejemplo: planchas eléctricas, hornillos eléctricos, etc.


    recto de longitud ∆𝑙 y sección transversal A, como se muestra en la figura 6.24. En el tiempo ∆𝑡, una carga ∆𝑞
    Para determinar la energía transformada, consideremos una porción de alambre en forma de cilindro circular


    cual se mantiene a un potencial Vb. Es decir, la carga ∆𝑞 al pasar de un punto de mayor potencial a a otro de
    entra por el punto a el cual se encuentra a un potencial Va y una cantidad de carga igual sale por el punto b el

    menor potencial b, experimenta una pérdida de energía potencial dada por

                                          ∆U =∆q (Vb − Va ) =−(∆V )∆q                                             (6.40)

    En donde, Va - Vb, es la disminución o caída de potencial a través del segmento de conductor. La energía
    perdida será
                                                   −∆U e = (∆V )∆q                                                (6.41)

    Dividiendo la ecuación (6.41) entre el tiempo dt, se obtiene la pérdida de energía por unidad de tiempo, la
    misma que se expresa como

                                                       ∆U e    ∆q
                                                   −        =
                                                            ∆V                                                    (6.42)
                                                        ∆t     ∆t

    Pero la carga por unidad de tiempo es la intensidad de corriente 𝐼 = ∆𝑞⁄∆𝑡, y la energía por unidad de tiempo es
    la potencial eléctrica disipada P en el segmento de conductor. Es decir,

                                                   P I (∆V )
                                                    =                                                             (6.43)

    La unidad de la potencia disipada en el sistema internacional de unidades es el Watt (W), es decir

                                  = (1C / s )(1J / s ) (1amperio)(1voltio)
                                   1Watt =
                                              1W = 1A(1V )




    Figura 6.24. Diagrama esquemático utilizado para determinar la energía perdida por unidad de tiempo en un
                     conductor.

    6.8.1    Resistencia pura.


    Ohm es (∆𝑉 = 𝑅𝐼). Entonces, la potencia disipara en el conductor será
           Si el elemento del circuito es un resistor la diferencia de potencial entre los extremos según la ley de


                                                                         (∆V ) 2                                  (6.44)
                                                   P =I (∆V ) =I 2 R =
                                                                           R

    Es decir, al fluir carga (corriente) a través del resistor, se disipa energía en este elemento razón de I2R. Por esta
    razón cada uno de estos elementos vienen especificados con su potencial nominal, es decir debe conocerse la
    máxima potencia que el dispositivo puede disipar sin sobrecalentarse y sufrir daños. Debe señalarse además
    que ciertos dispositivos como los calentadores eléctricos, se diseñan para transferir calor a su entorno. Pero si se
    excede su potencia nominal, esos dispositivos pueden fundirse e incluso estallar.


                                                        284
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    6.8.2    Potencia de salida en una fuente generadora de fem.

             La figura 6.25a, representa una fuente de fem ε con una resistencia interna r, conectada mediante
    alambres conductores de resistencia despreciable a un circuito externo representado por el rectángulo inferior y
    en la figura 6.25b se muestra el circuito correspondiente




    Figura 6.25       (a) Circuito eléctrico en donde se realiza la conversión de energía no eléctrica en eléctrica, (b)
                      Circuito equivalente



    La fuente de fem , podría ser la batería de un automóvil cuya resistencia interna es r no es visible a simple
    vista, pero podría tener una representación esquemática tal como se muestra en la figura 6.26a, dicha batería se
    encuentra instalada al faro de un automóvil como se ve en la figura 6.26b.




    Figura 6.25       (a) Batería de un automóvil mostrando la resistencia interna, (b) Batería de un automóvil conectada a
                      un faro

    El potencial del borne a es mayor que el de b, por tanto la corriente fluye convencionalmente desde el borne de
    mayor potencial entregándose energía al circuito externo (faro). La rapidez con la que se entrega energía al
    circuito será

                                                  P = I ∆Vab                                                        (6.45)

    Para el caso de una fem ε y resistencia interna r, la diferencia de potencial entre los bornes a y b es

                                                 ∆Vab = a − Vb =ε − rI
                                                       V

    Remplazando esta ecuación en la ecuación (6.45) resulta

                                                   P = I (ε − rI ) =ε I − rI 2                                      (6.46)

    En esta ecuación, el término 𝜀𝐼 representa la rapidez de conversión de energía no eléctrica en energía eléctrica
    en el interior de la fuente de fem y el término 𝑟𝐼 2 representa la proporción a la que se disipa energía eléctrica en



                                                        285
Física General III                Corriente, resistencia y fuerza electromotriz                    Toribio Córdova C.



    la resistencia interna de la fuente de fem. La diferencia ε I − rI 2 es la potencia neta útil de la fuente, es decir, la
    rapidez a la que la fuente de fem entrega energía eléctrica al resto de circuito.


    6.8.3    Potencia de entrada en una fuente generadora de fem.

             Si el rectángulo de la parte inferior del circuito mostrado en la figura 6.25a es una fuente cuya fuerza
    electromotriz es mayor que la de la fuente de fem mostrada en la parte superior. En la figura 6.27 se muestra un
    ejemplo práctico que no es más sino el proceso de carga de una batería de un automóvil (el elemento superior
    del circuito) por el alternador del automóvil (el elemento inferior en el circuito). Aquí observamos que el sentido
    de la corriente es opuesta al mostrado en la figura 6.26b; es decir, la fuente inferior está empujada en dirección
    contraria a través de la fuente de fem superior. Debido a la inversión de esta corriente, la ecuación para la
    diferencia d potencial entre los bornes a y b sería

                                                  ∆Vab = a − Vb =ε + rI
                                                        V
    Y la potencia sería,

     P = I (ε + rI ) =ε I + rI 2 En lugar de que el agente que genera la fuerza no electrostática de la fuente de fem


    (cargándose la batería). El término 𝑟𝐼 2 es una vez más la disipación de energía en la fuente de fem y el término
    superior realice trabajo sobre los portadores de carga, se está realizando trabajo sobre la fuente de fem. Es decir,
    en la fuente de fem superior se está realizándose una conversión de energía eléctrica en energía no eléctrica

     (ε I + rI 2 ) es la potencia total de alimentación de la fuente superior. Esto es lo que sucede cuando se conecta
    una batería recargable (acumulador) a un cargador. El cargador suministra energía eléctrica a la batería, una
    parte de esta energía se transforma en energía química, para someterse más tarde a una reconversión y el reto se
    disipa en la resistencia interna de la batería calentando ésta y provocando un flujo de calor hacia fuera de ella.




    Figura 6.25       (a) Circuito eléctrico en donde se muestra la conexión de un alternador con una fem (mayor) con
                      una batería cuya fem es (inferior), este circuito es utilizado para cargar una batería




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PROBLEMAS RESUELTOS                                                                     vd = 3, 47.10−7 m / s
1.   A través de un conductor de cobre de 1,2 mm de
     diámetro fluye una corriente de 2 A. Determine: (a)                      3.   En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno se
     la densidad de corriente, (b) la velocidad de                                 postula que un electrón del más bajo estado de
     desplazamiento de los electrones sabiendo que la                              energía se mueve en una órbita circular de radio
     densidad electrónica es n = 2,3 .1029 electrones/m3.                          a0 = 5,29.10-11 m alrededor de un protón.
                                                                                   Determine la velocidad del electrón, (b) ¿cuál será
     Solución                                                                      la corriente efectiva asociada con el movimiento
                                                                                   del electrón moviéndose en su órbita?.
     (a) Cálculo de la densidad de corriente.
                                                                                   Solución
                                I        I       4I
                       =
                       j        =           =                                      En la figura se muestra el movimiento del electrón
                                A πd / 4 πd2
                                         2
                                                                                   alrededor del núcleo.
                                        4(2 A)
                               j=
                                  π [1, 2.10−3 m]2
                               j = 1, 77.106 A / m 2

     (b) Cálculo de la velocidad de deriva. La densidad
         de corriente y la velocidad de deriva está
         relacionada por la ecuación

                                      j = nqe vd
          1, 77.10 A / m = 2,3.1029 electrones / m3 (1, 6.10−19 C )vd
                  6        2                                                       El electrón se encuentra sometido a la fuerza
                                                                                   eléctrica por tanto, aplicando la segunda ley de
                                                                                   newton al movimiento de esta partícula se tiene
                                  vd = 0, 48.10−4 m / s
                                                                                                                            v2
                                                                                               ∑ Fn = man ⇒ Fe = me
2.   La densidad del aluminio es de 2,7 g/cm3 y su masa                                                                     a0
     atómica es de 27 g/mol; cada átomo tiene tres
     electrones de conducción. (a) Determine el número                                                      e2      v2
     de electrones por cm3. (b) Si en alambre de                                                        k    2
                                                                                                               = me
                                                                                                            a0      a0
     aluminio de 1mm2 de área de sección transversal
     fluye una corriente de 10 mA, obtenga la velocidad                                       ke 2             9.109 (1, 6.10−19 )
     de deriva de los electrones.                                                  =v         =
                                                                                              me a0         9,11.10−31 (5, 29.10−11 )
     Solución

     (a) Cálculo de la densidad electrónica                                                        v = 2,19.106 m / s
                                                                                   Debido a que el electrón gira uniformemente, se
                                           (densidad )(# de Abogadro               tiene
      n = (# de electrones libres / átomo)
                                                 Masa atómica
                                                                                                      π a0
                                                                                                   = 2= vet
                                                                                                    S
                                                                                        2π (5, 29.10−11 m) = (2,19.106 m / s )t
                                                           23
                               (2, 7 g / mol )(6, 02.10 at / mol )
      n = (3elec / at )
                                           27 g / mol
                                                                                                       t = 1,52.10−16 s
                 n = 1,866.10 electrones / cm
                                     23                     3

                                                                                   La corriente total en este tiempo será
     (b) Cálculo de la velocidad de deriva
                                                                                                        q 1, 6.10−19 C
                           I                   I                                                   =
                                                                                                   I      =
                      j=     = nqe vd ⇒ vd =                                                             t 1,52.10−16 s
                           A                 nqe A
                                                                                                        I = 1, 05 mA
                                10.10−3 A
      vd =
             1,866.1029 elect / m3 (1, 6.10−19 C )(1.10−6 m 2 )               4.   La cantidad de carga q (en coulombs) que ha
                                                                                   pasado a través de una superficie de área igual a 1,5

                                                                        287
Física General III                    Corriente, resistencia y fuerza electromotriz                 Toribio Córdova C.



     cm2 varía en función del tiempo según la ecuación                     convección. Entonces la corriente que fluye a
     q = 4t3 + 5t + 6, estando t especifica en segundo.                    través de la sección M es
     (a) ¿Cuál es la corriente instantánea que pasa a
     través de la superficie en t = 2s? (b) ¿Cuál es el                                          q λq (2π R)
                                                                                            =
                                                                                            I     =
     valor de la densidad de corriente?.                                                         t     2π / ω
                                                                                                 I = λqω R
     Solución
                                                                      6.   Con una masa de 5 g de cobre se desea fabricar un
     (a) Corriente instantánea en t = 2 s                                  alambre el cual debe tener una resistencia R = 0,8
                                                                           Ω y se d e utilizar todo el cobre disponible.
                                                                                         be
                             dq d                                          Asumiendo que no se pierde ninguna cantidad de
                  I (t ) =       = (4t 3 + 5t + 6)                         cobre y que las propiedades del material se
                             dt dt                                         mantienen sin ser modificadas antes y después de
                             I= 12t 2 + 5
                              (t )                                         realizar la fabricación del alambre. Determine: 8ª)
                                                                           la longitud del alambre fabricado y el diámetro de
                       = 12(2) 2 + 5
                        I2                                                 este alambre.
                                  I 2 = 53 A
                                                                           Solución
     (b) La densidad de corriente será
                                                                           (a) Cálculo de la longitud del alambre. De acuerdo
                              I     53 A                                       a la definición de densidad de masa se tiene
                        =
                        j     =
                              A 1,5.10−4 m 2                                               m
                                                                                  ρm =       ⇒ m = ρ mV = ρ m ( A L)
                             j = 35,3 A / m    2
                                                                                           V
                                                                                                    m
                                                                                               A=
5.   Sobre un anillo de radio R se ha distribuido                                                  ρm L
     uniformemente una densidad de carga lineal λq. Si a
     este anillo se hace rotar alrededor de su eje con una
     rapidez angular ω. Determine la corriente de                          De la definición de resistencia tenemos
     convección en un punto del anillo.
                                                                                                         L
     Solución                                                                                     R=ρ
                                                                                                         A
     En la figura se muestra el anillo                                              L     ρ m L2
                                                                             = ρ
                                                                              R = ρ
                                                                                 m / ρm L   m
                                                                                                      8,92.193 kg / m3 ( L2 )
                                                                            = 1, 7.10−8 Ω.m
                                                                            0,8Ω
                                                                                                           5.10−3 kg
                                                                                                L = 5,14 m

                                                                           (b) Cálculo del diámetro del alambre

                                                                                      m  m        m
                                                                                ρ=    =     =
                                                                                      V L( A) L(π d 2 / 4)
                                                                                 m


                                                                                       4m                 4(5.10−3 kg )
     La carga total que pasa por la sección transversal                    =d         =
     será                                                                             π Lρm        π (5,14m)(8,92.193 kg / m3 )

                        dq q                                                                    d = 0,138.10−3 m
                        =    λq
                             =
                        dl l
                                                                      7.   Un cubo sólido de plata cuya densidad es
              = λq (lC ) λq (2π R)
               q =                                                         10,5 g/cm3 tiene una masa de 90 g. (a) ¿Cuál será la
     Al hacer girar al anillo en torno al eje z, la rotación               resistencia eléctrica entre dos caras opuestas si
     da lugar a la aparición de una corriente de                           entre ellas se establece una diferencia de potencial
                                                                           de 1.10-5 V?, (b) Si cada átomo de plata contribuye

                                                                288
Física General III                      Corriente, resistencia y fuerza electromotriz                     Toribio Córdova C.



con un electrón de conducción, determine la                                                    (10,5 g / cm3 )(6, 02.1023 at / mol )
velocidad de deriva de los electrones cuando se                          n = (1elec / at )
aplica la diferencia de potencial del inciso (a). Se                                                     107,87 g / mol
sabe que el número atómico de la plata es 47 y su                                    n = 5,86.1028 electrones / m3
masa molar es de 107,87 g/mol.
                                                                        De la definición de densidad de corriente se tiene
Solución

En la figura se muestra el cubo sometido a la                                              I                   I
                                                                                     j=      = nqe vd ⇒ vd =
diferencia de potencial                                                                    A                 nqe A
                                                                                                 12,9 A
                                                                         vd =
                                                                                5,86.10 elect / m3 (1, 6.10−19 C )(2, 05m 2 ) 2
                                                                                          28


                                                                                         vd = 3, 28µ m / s


                                                                   8.   Durante un viaje por el desierto de Sahara en un día
                                                                        en que la temperatura era de 58°C un alumno
                                                                        encontró que al aplicar a los extremos de un
                                                                        alambre una diferencia de potencial ΔV a travs de
                                                                                                                     é
 Se procede a determinar el avlor de la arista del
                                                                        dicho alambre fluía una intensidad de corriente de
 cubo L. De la definición de densidad de masa
                                                                        1,00 A. Si posteriormente viaja a la Antártida y en
 tenemos.
                                                                        dicho lugar aplica la misma diferencia a los
                                                                        extremos del alambre. ¿Cuál será la intensidad de
                                                                        corriente registrada en un día en que la temperatura
                            m m
                     ρ=
                      m     =                                           es de -88°C?. Suponga que el alambre no ha sufrido
                            V L3                                        cambios en forma y dimensiones.
                  m                 90 g
        =L       3=         3                                           Solución
                     ρm         10, 5 g / cm3
                                                                        La resistencia mediada a la temperatura de 58°C es
                      L = 2, 05cm
 (a) La resistencia entre las caras opuestas será                                       R =R0 [1 + α (TH − T0 )]
                  L      L ρ                                                       R R0 [1 + α (58°C − 20°C )]
                                                                                   =
             = ρ
             R = ρ=
                  A      L2 L                                                       = R0 (1 + 38α ) (1)
                                                                                     R
                 1,59.10−8 Ω.m                                          La resistencia medita a temperaturas bajas será
              R=
                  2, 05,10−2 m                                                      R ' =R0 [1 + α (TF − T0 )]
                                   −7
                     R = 777.10 Ω                                               R= R0 [1 + α (−88°C − 20°C )]
                                                                                 '
 (b) Para determinar la velocidad de deriva de los
 electrones primero se calcula la intensidad de                                  = R0 (1 − 108α )
                                                                                 R'                              (2)
 corriente que fluye por el material, para ello se
 aplica la ley de Ohm                                              De la aplicación de la ley de OHM se tiene para
                                                                   temperaturas altas
                        L = 5,14 m
                                                                             ∆V = IR ⇒ ∆V = I H [ R0 (1 + 38α )]               (3)
                         ∆V =IR
           1.10−= I= 777.10−7 Ω)
                5
                  V   (R                                           Y para temperaturas bajas es

                    I = 12,9 A                                               ∆V = IR ' ⇒ ∆V = I F [ R0 (1 − 108α )] (4)
 La densidad electrónica está dada por                             De las ecuaciones (3) y (4) se tiene

                        (densidad )(# de Abogadro
  n = (# elect / at )
                              Masa atómica

                                                             289
Física General III                 Corriente, resistencia y fuerza electromotriz             Toribio Córdova C.



                         [ R0 (1 + 38α )]                                                    ∆V        ∆V
                 IF =                     IH                                            =
                                                                                        P    =
                        [ R0 (1 − 108α )]                                                     R     ρ (b − a)
                       [1 + 38(3,9.10−3 )]                                                           4π ab
             I F = 1A                                                                           4π ab∆V
                      [1 − 108(3,9.10−3 )]                                                  P=
                                                                                                ρ (b − a)
                     I F = 1,987 A

9.   A una esfera maciza de hierro de radio b, con una
     cavidad de radio a, se le aplica una diferencia de
     potencial ΔV entre el interior y el exterior de
     manera que fluye una corriente radial uniforme
     como se muestra en la figura. Si el material entre
     las cáscaras es débilmente conductor con una
     resistividad ρ. Encuentre: (a) La resistencia
     eléctrica, (b) la potencia disipada.




      Solución

      (a) Para determinar la resistencia total primero se
          divide a la esfera hueca en elementos
          diferenciales en forma de cascarones de radio
          interno r y espesor dr, como se muestra en la
          figura.




      La resistencia de este elemento diferencial es
                               dr
                          dR = ρ
                             4π r 2
                            ρ b dr
                    ∫ dR = 4π ∫a r 2
                    ρ  1 1  ρ (b − a)
                 =
                 R       − =
                   4π  a b 
                                  4π ab
      (b) La potencia disipada será



                                                             290
Física General III               Corriente, resistencia y fuerza electromotriz                  Toribio Córdova C.



PROBLEMAS PROPUESTOS.                                                 alambre de ese metal de 1 mm de diámetro.(a)
                                                                      ¿Cuál es su resistencia?. (b) si el alambre se estira
10. Un conductor de sección transversal uniforme lleva                uniformemente hasta una longitud de 50 km. ¿Qué
    una corriente de 5 A. ¿Cuántos electrones fluyen                  valor tendrá la nueva resistencia?.
    por un punto dado en 1 min.
                                                                  21. La atmósfera lleva cargas positivas hacia la
11. En un proceso de galvanostegia (o electro                         superficie terrestre y retira cargas negativas de ésta.
    chapeado) se han transmitido 40000C a una                         La corriente total es de 1800 A. Suponga que el
    corriente de 10 A. ¿Qué tiempo se necesita?.                      flujo de carga es simétrico con respecto a la
                                                                      superficie de la tierra, halle la magnitud de la
12. La densidad del cobre es de 9 g/cm3 y tiene un                    densidad de corriente en dicha superficie. El campo
    electrón de conducción por átomo. En un alambre                   eléctrico en la mencionada superficie es de 100
    cuya sección transversal uniforme tiene 0,1 cm de                 V/m, en dirección hacia aquella. Determine la
    diámetro, se establece una corriente constante de                 conductividad eléctrica del aire cerca de la
    50 A. Determine: (a) la densidad de corriente y (b)               superficie de la tierra.
    la velocidad media de los electrones.
                                                                  22. La banda de un generador van de Graff es de 75 cm
13. La resistividad del cobre a 20°C es de 1,7 .10-8                  de ancho y se mueve a 30 m/s. Si transmite una
    Ω.m. ¿Cuál es a esta temperatura la resistencia de                corriente de 2.10-4 A a la esfera colectora, obtenga
    un alambre de cobre de 5 m de longitud si el radio                la densidad superficial de carga en la banda.
    de su sección transversal circular es 0,1 cm?.
                                                                  23. Una varilla de aluminio tiene una resistencia de
14. Un alambre de aluminio de longitud l y sección                    1,234 Ω a 20 °C. Determine la resistencia de la
    transversal circular con un radio r tiene un                      varilla a 120 °C, tomando en cuenta los cambios
    resistencia R. Determine el factor por el que queda               tanto en la resistividad como en las dimensiones de
    multiplicada la resistencia en cada uno de los                    la varilla.
    siguientes casos: (a) se duplica la longitud del
    alambre, (b) Se triplica la longitud del alambre y se         24. Se calienta una barra de cobre desde 20 °C hasta
    disminuye el radio a r/3 y c) se duplica l y r.                   200 °C y se estira uniformemente al doble de su
                                                                      longitud inicial, no cambiando su volumen. Si
15. La densidad de corriente en un alambre largo y                    inicialmente su longitud era de 1 m y su resistencia
                                                                      era 0,02 Ω. Determine: (a) elárea transversal antes

    de acuerdo con la relación 𝑗 = 𝜆 𝑟, en d ond e λ es
    recto con sección transversal circular de radio R,
    varía con la distancia desde el centro del alambre                de ser estirada y (b) la resistencia de la misma
                                                                      después de su estiramiento y de la elevación de la
    una constante positiva. Determine la intensidad de                temperatura.
    corriente que fluye por el alambre.
                                                                  25. Una bobina circular de alambre de aluminio de
16. El área transversal de un riel de acero es de 30 cm2.             0,254 mm de diámetro tiene 400 vueltas y su
    Si la resistividad de este material es 6.10-7Ω.m.                 diámetro medio es de 17,78 mm. La resistividad del
    determine la resistencia de un riel de 6 km de largo.             alambre a 20 °C es 2,8.10-8 Ω.m. Si entre los
                                                                      extremos de la bobina se aplica una tensión de 12
17. Las dimensiones de un bloque de hierro como un                    V. Determine: (a) la corriente que fluye en el
    sólido de sección rectangular son de 2 cm x 3 cm x                alambre y (b) el calor desprendido durante un
    100 cm. Su resistividad a 20°C es igual a 1.10-7                  intervalo de 5 min.
    Ω.m. Determine la resistencia entre las tres pares de
    caras opuestas.                                               26. En una instalación hidroeléctrica, una turbina
                                                                      suministra 1500 hp a un generador, el cual a su vez,
18. Una barra de cobre mide 0,1 m x 0,3 m por 5 m. Si                 transforma 80% de la energía mecánica en
    la resistividad del cobre es de 1,7.10-8 Ω.m.                     transmisión eléctrica. En estas condiciones, ¿Qué
    Determine la resistencia del alambre si la corriente              corriente entrega el generador a una diferencia de
    fluye a lo largo de la longitud de la misma.                      potencial terminal de 2 kV?.

19. Una barra metálica con 12 m de longitud contiene              27. Un calentador de inmersión de 350 W opera en una
    6.1025 electrones libres. Si en la barra fluye una                línea de 120 V, y se utiliza para elevar la
    corriente de 3 A evalué la velocidad de deriva de                 temperatura de 250 cm3 de agua desde 27 °C hasta
    los electrones.                                                   el punto de ebullición. (a) determine la corriente
                                                                      que pasa a través del calentador, (b) ¿Con qué
20. La resistividad del aluminio es de 1,6.10-8 Ω.m a                 rapidez se transmite energía al agua?. (c) ¿Cuánto
    20°C. Se quiere hacer una bobina con 25 km de                     tiempo se requiere para que hierva esta cantidad de

                                                            291
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Corriente eléctrica, resistencia y fuerza electromotriz

  • 1. Física General III Corriente, resistencia y fuerza electromotriz Toribio Córdova C. CAPITULO VI CORRIENTE, RESISTENCIA Y FUERZA ELECTROMOTRIZ 266
  • 2. Física General III Corriente, resistencia y fuerza electromotriz Toribio Córdova C. 6.1 INTRODUCCIÓN. Al encender una lámpara, una radio, una computadora, etc. se establece una diferencia de potencial entre los terminales de entrada de estos dispositivos, lo cual produce un flujo de carga eléctrica o corriente a través de los circuitos eléctricos y electrónicos que componen estos equipos permitiendo de esta forma el funcionamiento normal de de los mismos. Fundamentalmente los circuitos eléctricos y electrónicos son un medio que permite el transporte de energía de un lugar a otro. Al trasladarse los portadores de carga a través del circuito se transfiere energía potencial de la fuente (batería o generador) hacia otros dispositivos en el que la energía o se almacena o se convierte en otra forma de energía tal como ocurre en un bombillo de luz en donde la energía eléctrica se transforma en energía luminosa, o en una plancha eléctrica en donde la energía se transforma en calor, o se transforma en sonido como ocurre en la radio. Desde el punto de vista tecnológico los circuitos son partes importantes de una gran cantidad de dispositivos ya que permiten transportar energía sin el movimiento de piezas móviles. Los circuitos eléctricos se encuentran en el corazón de las linternas de mano, los reproductores de discos, los equipos de transmisión de radio y televisión, en los sistemas de distribución domiciliaria e industrial de energía eléctrica. En este capítulo nos dedicaremos a mostrar las propiedades, principios y leyes que gobiernan al flujo de carga o corriente eléctrica, su relación con la densidad de corriente estableciendo la ley de Ohm y su aplicación, evaluando su aplicación a los diferentes tipos de conductores para finalmente estudiar el efecto de la temperatura sobre los conductores. As mismo estudiaremos la forma como las baterías transfieren energía y corriente a un circuito. Para este análisis utilizaremos la noción de corriente eléctrica, diferencia de potencial, resistencia y fuerza electromotriz. 6.2 CORRIENTE ELECTRICA. 6.2.1 Flujo de carga en conductores Si ocurre un flujo de carga en un material conductor, las condiciones dentro de la sustancia ya no son de las de equilibrio electrostático. Es decir, en condiciones electrodinámicas el campo eléctrico en el interior del conductor es diferente de cero, dicho campo es el que permite mantener el flujo de carga. Es sabido que en los átomos de los materiales conductores existen los electrones de valencia, electrones que por estar muy separados del núcleo tienen la libertar de moverse a través de la red cristalina. Su movimiento se debe a la interacción de campo eléctrico �⃗ , el cual produce una fuerza eléctrica sobre los electrones libres los mismos que comienzan a los electrones libres con los demás electrones de los átomos y con los iones formados producto de la separación 𝐸 de los electrones de valencia. Cuando se aplica una diferencia de potencial ΔV, a un conductor se produce un moverse a través del conductor dando lugar a un flujo de electricidad o corriente eléctrica. Es importante precisar que como el número de electrones libres es equilibrado por igual número de cargas positivas en los iones metálicos del conductor, en general dicho conductor en conjunto es eléctricamente neutro y no existe carga neta. Sin embargo, las cargas positivas en los iones metálicos están fijas en la estructura cristalina, no pudiendo moverse como lo hacen los electrones. Entonces cuando se establece la diferencia de potencial en el conductor, son los electrones libres los que constituyen el flujo de carga, mientras que los iones positivos se mantienen fijos, no ejerciendo influencia, salvo la de mantener la neutralidad eléctrica global. En general el flujo de carga a través de un material conductor no es constante en el tiempo; pero cuando lo es (en dirección y sentido), decimos que se ha establecido una corriente contínua (CC) o también corriente directa (CD), en caso contrario se habla de una corriente alterna (CA). 6.2.2 Corriente eléctrica Las corrientes eléctricas en general se deben al cambio de posición con respecto al tiempo de cualquier tipo de carga eléctrica (movimiento de portadores de carga). En la actualidad se distinguen las siguientes formas de corriente eléctrica. 6.2.2.1 Corriente de conducción. Llamase corriente de conducción al movimiento de los electrones de valencia en un material metálico (electrones libres) véase la figura 6.1a, o al movimiento de electrones de conducción y de huecos de 267
  • 3. Física General III Corriente, resistencia y fuerza electromotriz Toribio Córdova C. conducción en un semiconductor (Figura 6.1b) o también al movimiento de los iones positivos o negativos en una solución electrolítica (figura 6.1c9 (a) (b) (c) Figura 6.1. (a) Corriente de conducción producida por el movimiento de electrones libres, (b) Corriente de conducción producida por el movimiento de electrones y de huecos en un semiconductor (c) Corriente de conducción en soluciones electrolíticas 6.2.2.2 Corriente de convección Se denomina corriente de convección al movimiento de un cuerpo eléctricamente cargado, un ejemplo lo constituye el movimiento alrededor de su órbita del cuerpo llamado tierra el cual se encuentra cargada negativamente, otro ejemplo sería el movimiento alrededor de su eje de un anillo o un disco previamente cargados. 6.2.2.3 Corriente de polarización. Se denomina corriente de polarización al movimiento de los dipolos eléctricos en un material dieléctrico cuando sobre este se aplica un campo externo 6.2.2.4 Corriente de desplazamiento. Este tipo de corriente es postulado en el estudio de campos electromagnéticos en el vacío. 6.2.2 Corriente eléctrica de conducción. Debido a que la inmensa mayoría de aplicaciones tecnológicas implican el uso de corrientes de conducción, en esta sección nos dedicaremos al estudio de la corriente eléctrica de conducción en materiales conductores. Bajo condiciones electrostáticas el campo eléctrico en el interior es cero, por tanto no existe corriente. No obstante, esto no significa que todas las cargas dentro del conductor estén en reposo. En un metal cualquiera como el cobre, la plata, el aluminio, algunos electrones como los de valencia tienen la libertad de moverse dentro del material conductor. Estos electrones libres se mueven en forma aleatoria en todas las direcciones, en 268
  • 4. Física General III Corriente, resistencia y fuerza electromotriz Toribio Córdova C. forma análoga como las moléculas de un gas pero con una rapidez mucho mayor. No obstante, los electrones Consideremos ahora lo que ocurre si se establece un campo eléctrico �⃗ constante dentro del conductor. Los 𝐸 libres no escapan del material conductor porque son atraídos hacia los iones positivos del conductor. electrones libres se encuentran ahora sometidos a una fuerza eléctrica constante ⃗ = 𝑞 𝑒 �⃗ . Si estos electrones 𝐹 𝐸 estuvieran moviéndose en el vacío, la fuerza le produciría una aceleración uniforme en la dirección de dicha fuerza de tal manera que después de cierto tiempo los electrones tendrían una gran rapidez. Sin embargo, el movimiento de estos electrones dentro del conductor no el libre sino que ellos interactúan con los demás electronos y los iones fijos. En cada una de estas colisiones aparece un cambio en la orientación del movimiento de los electrones resultando un movimiento al azar. El efecto neto del campo aplicado es que además del deriva ⃗ 𝑑 de los portadores de carga. Por lo tanto, existe una corriente neta dentro del conductor. 𝑣 movimiento aleatorio de los electrones hay un movimiento muy lento a de deriva como grupo, en la dirección de la fuerza tal como se muestra en la figura 6.2. Este desplazamiento se describe en términos de la velocidad de Figura 6.2. Trayectoria típica de un electrón dentro de un conductor al cual se le aplica un campo eléctrico. Aunque el movimiento aleatorio de los electrones tiene una rapidez promedio muy grande, aproximadamente 106 m/s, la rapidez promedio de deriva es pequeña (10-4 m/s). En vista de que los electrones se desplazan tan lentamente, podríamos preguntarnos por qué la luz aparece tan rápido cuando accionamos un interruptor. La razón es que el campo eléctrico se establece en el conductor con una rapidez próxima a la de la luz, y los electrones dentro del conductor comienzan a trasladarse prácticamente al mismo tiempo. En los diferentes materiales portadores de corriente, las cargas de las partículas móviles pueden ser positivas o negativas. Así por ejemplo en los metales los portadores de carga son los electrones (negativos), mientras que en un gas ionizado (plasma) y en las soluciones iónicas los portadores de carga pueden ser positivos o negativos. En el caso de los semiconductores los portadores de carga son los electrones y el movimiento de vacantes (huecos) que no es más sino lugares donde faltan electrones y que actúan como cargas positivas. En la figura 6.3 se muestra segmentos de materiales en los cuales se observa el movimiento de diferentes portadores de carga. En la figura 6.3a, los portadores son positivos, en este caso la fuerza eléctrica tiene la misma dirección que el campo y la velocidad de deriva es de izquierda a derecha En la figura 6.3b, los portadores móviles son negativos, en este caso la fuerza tiene sentido opuesto al campo eléctrico y la velocidad de deriva es de derecha a izquierda. Figura 6.3. (a) Movimiento de portadores de carga positiva a través de un conductor, (b) movimiento de portadores de carga negativa (electrones en un conductor. Definimos la dirección de la corriente que en adelante se representa por I, como aquella en la que existe un flujo de carga positiva. Es decir, consideramos a la corriente como un flujo de cargas positivas, incluso en aquellos casos en que sabemos que los portadores son los electrones. Por tanto la corriente tendrá un sentido hacia la derecha en ambos figuras 6.2a y 6.2b. Esta asunción se conoce como corriente convencional. 269
  • 5. Física General III Corriente, resistencia y fuerza electromotriz Toribio Córdova C. Para determinar el valor de la corriente asumamos que un conjunto de portadores de carga positiva se mueven de izquierda a derecha tal como se muestra en las figuras 6.4a y 6.4b en la misma dirección que la corriente. Definimos la corriente eléctrica I como la cantidad de carga móvil total que pasa por una sección transversal fija normal al conductor, por unidad de tiempo. De acuerdo con esta definición, si en un intervalo de tiempoΔ t por la sección transversal A atraviesa una cantidad de carga Δq, la corriente eléctrica será. ∆q (6.1) I= ∆t de ∆𝑞⁄∆𝑡, cuando el intervalo de tiempo Δt tiende a cero, esto es Para las corrientes que varían con el tiempo la intensidad de la corriente en el instante t se define como el límite ∆q dq (6.2) = lim I = ∆t → 0 ∆t dt (a) (b) Figura 6.4. Movimiento de portadores de carga positivos a través de la sección transversal de un conductor Para el caso de corrientes continuas o directas, la ecuación (6,2) se escribe q ∫ dq ∫ Idt ⇒ q I ∫ dt ⇒ = = = I t (6.3) De estas ecuaciones podemos ver que la intensidad de corriente es una magnitud escalar que tiene como unidad en el sistema internacional al Amperio definido com0 un Coulomb sobre un segundo, es decir 1coulomb 1C = 1Amperio ⇒ 1A = ⃗). 1segundo 1s 6.2.3 Densidad de corriente (𝒋 cargas elementales en un mismo tiempo, por ello es necesario definir la densidad de corriente ⃗, la misma que 𝚥 En cada parte de la sección transversal de un material conductor puede atravesar diferente número de expresa la intensidad o concentración del flujo de carga en un punto de un medio conductor. La densidad de corriente es una magnitud vectorial que tiene la misma dirección que el flujo de carga en un punto dado. Su magnitud se determina tomado el límite el flujo de carga o corriente, ΔI por unidad de área ΔA, orientada perpendicularmente a la dirección del flujo de carga como se muestra en la figura 6.5, esto es ∆I dI = lim j = (6.4) ∆A→ 0 ∆A dA Figura 6.5 Densidad de corriente para un flujo de carga no uniforme 270
  • 6. Física General III Corriente, resistencia y fuerza electromotriz Toribio Córdova C. muestra en la figura 6.6, la densidad de corriente ⃗, es la misma en todo el conductor. La relación entre la 𝚥 Para el caso de un conductor dentro del cual el flujo de cargas libres es la misma en todos los puntos como se transversal sombreada y considerando a ⃗ constante. De tal manera que 𝚥 densidad de corriente y la intensidad de corriente se obtiene integrando la ecuación (6.4) sobre el área dI= jdA ⇒ I= ∫ jdA= jA I j= (6.5) A⊥ Figura 6.6. Diagrama para mostrar la relación Corriente y densidad de corriente para flujos de carga uniformes Para determinar la densidad de corriente cuando esta varía de un punto a otro dentro de la sustancia conductora y dirección del flujo de carga o corriente y por tanto la densidad de corriente ⃗ cambian continuamente de un 𝚥 como ocurre en un tubo de descarga gaseosa o un transistor de radio, consideremos un conductor de forma irregular como se muestra en la figura 6.7, por el que circula una corriente total I de tal manera que la magnitud punto a otro. Figura 6.7. Diagrama que permite evaluar la relación general entre la intensidad de corriente y l densidad de Para determinar una relación entre la corriente I y la densidad de corriente ⃗ , tomemos un área cualquiera de 𝚥 corriente en general forma irregular A y dividámoslo en elementos de área dA, entonces el vector unitario normal �⃗ perpendicular a 𝑛 dA forma un ángulo θ con la densidad de corriente ⃗ en dicho punto. Entonces la corriente eléctrica a troves del 𝚥 área correspondiente será = jdA⊥ j cos θ dA dI = (6.6) Usando la definición de producto escalar la ecuación anterior se puede escribir.  dI = j .ndA (6.7) Integrando la ecuación (6.7), resulta  I = ∫∫ j .ndA (6.8) A Esta es una relación entre la intensidad de corriente total y la densidad de corriente en el caso más general 271
  • 7. Física General III Corriente, resistencia y fuerza electromotriz Toribio Córdova C. Para determinar una relación entre la densidad de corriente ⃗ y la velocidad de deriva de los portadores 𝚥 6.2.4 Densidad de corriente en función de la velocidad de deriva de los portadores de carga. de carga ⃗ 𝑑 , consideremos un tubo de corriente de área transversal dA y de longitud dx análogo al tubo de flujo 𝑣 utilizado en mecánica de fluidos como se muestra en la figura 6.8a. Debido a que las líneas de corriente son paralelas a la superficie lateral del tubo de corriente, no existirá flujo de corriente a través de la superficie lateral del tubo. (a) (b) Figura 6.8. (a) Tubo de corriente utilizado para evaluar la relación entre la densidad de corriente y la densidad de portadores móviles, (b) tubo de corriente en un conductor recto. En un intervalo de tiempo dt, toda carga dentro de la sustancia se moverá una distancia dx = vddt, donde vd es la velocidad de deriva o arrastre de los portadores de carga móviles. En este intervalo de tiempo por el área dA fluirá una carga total expresada por = ρ q dVvol ρ q (dxdA) dq = (6.9) Donde, ρq la densidad de carga volumétrica y dVvol el volumen del tubo de corriente. Remplazando el valor de dx = vddt en la ecuación (6.9) se obtiene dq = ( ρ q vd dA)dt (6.10) O sea la carga por unidad de tiempo viene expresada por la ecuación dq = ρ q vd dA (6.11) dt Pero dq/dt es la intensidad de corriente total en el tubo diferencial, entonces tenemos dI = ρ q vd dA (6.12) Por otro lado la corriente y la densidad de corriente se encuentran relacionadas por la ecuación 𝑑𝐼 = 𝑗𝑑𝐴, entonces la ecuación (6.12), se escribe j = ρ q vd (6.13) Debido a que la densidad de corriente y la velocidad de deriva tienen la misma dirección, la ecuación (6.13) se puede escribir vectorialmente en la forma   j = ρ q vd (6.14) La ecuación (6.14), expresa que la densidad de corriente ⃗ es igual al producto de la densidad de carga 𝚥 volumétrica por la velocidad de deriva de los portadores de carga ⃗ 𝑑 . 𝑣 Si existe n partículas cargadas móviles por unidad de volumen. La densidad de carga por unidad de volumen se expresa en la forma ρ q = nq0 (6.15) 272
  • 8. Física General III Corriente, resistencia y fuerza electromotriz Toribio Córdova C. Donde n es el número de partículas por unidad de volumen y q0 es la carga de cada una de ellas. Por lo tanto la densidad de corriente puede escribirse en la forma   j = nq0 vd (6.16) Si los portadores de carga son los electrones como en el caso de las metales, su carga es 𝑞0 = −𝑒, entonces la densidad de corriente está dada por la ecuación   j = −n e vd (6.17) Para el caso de soluciones electrolíticas en donde los portadores de carga son los iones positivos y negativos o en el caso de los semiconductores en donde los portadores de carga son los electrones y las vacancias (huecos), la densidad de corriente se determina sumando la densidad de corriente para cada tipo de portador de carga, es decir   j = ∑ ni qi vd ,i (6.18) 6.3 LEY DE OHM MICROSCÓPICA: Conductividad eléctrica. Debemos señalar primeramente que en los conductores los portadores de carga no se encuentran en completa libertada para moverse, es decir su movimiento es aleatorio tal como se muestra en la figura 6.9a, esta de energía cinética que la adquirió cuando se aplicó el campo eléctrico �⃗ , campo que le produce una fuerza trayectoria que describe los portadores se debe a la interacción con los demás electrones y con los iones fijos de 𝐸 la red cristalina véase figura 6.9b. Durante estas interacciones (colisiones) los electrones pierden gran cantidad eléctrica 𝐹⃗ = −𝑒𝐸 . �⃗ (a) (b) Figura 6.9 (a) Trayectoria aleatoria del movimiento de un portador de carga dentro de un conductor, (b) la interacción de electrones con los iones de la red da lugar a que los iones vibren alrededor de su posición de equilibrio y los electrones se muevan en trayectorias aleatorias según la orientación del campo eléctrico La conversión de energía eléctrica en energía cinética de los electrones y la posterior conversión en energía térmica (calentamiento del conductor) podrían representarse como pérdidas debidas a fuerzas de fricción sobre ⃗ 𝑑 , entonces se tiene 𝑣 las cargas móviles. Estas fuerzas de fricción pueden asemejarse a las que aparecen en el movimiento de un sólido en el interior de un fluido, siendo dichas fuerzas proporcionales a la velocidad de deriva de los electrones   f r' = bvd (6.19) Debido a que la fuerza eléctrica y la fuerza fraccional tienen signos opuestos, después de cierto tiempo esta se equilibran dando lugar a un movimiento uniforme con una velocidad terminal o límite obtenida a partir de 273
  • 9. Física General III Corriente, resistencia y fuerza electromotriz Toribio Córdova C.     Fe + f r' = ⇒ eE − bvd 0  e  vd = E (6.20) b lado denominamos movilidad de los electrones (𝜇 𝑒 ) al cociente e/b, es decir 𝜇 𝑒 = 𝑒⁄ 𝑏, con lo cual escribimos la Donde b es una constante de proporcionalidad y depende del material del cual está hecho el conductor. Por otro ecuación (6.20) en la forma   vd = µe E (6.21) Puesto la densidad de corriente es proporcional a la velocidad de deriva de los electrones, al remplazar la ecuación (6,21) en (6.16), resulta   j = neµe E (6.22) proporcionalidad 𝑛𝑒𝜇 𝑒 y se le denomina conductividad eléctrica (σ) y a su recíproco que se le llama resistividad La ecuación (6.22) indica que la densidad de corriente es proporcional al campo eléctrico siendo la constante de eléctrica del material. Es decir 1 σ = = neµe (6.23) ρ Debe señalarse además que tanto la conductividad así como la resistividad son propiedades que dependen del material conductor y no dependen del tamaño ni de la geometría del conductor. Al remplazar la conductividad eléctrica en la ecuación (6,22), obtenemos   1  = σE j = E (6.24) ρ Es a la ecuación (6.24) que se le conoce como ley de Ohm microscópica. Según esta ecuación la resistividad eléctrica puede expresarse como E ρ= (6.25) j De donde se obtiene que las unidades de la de la resistividad es (V.m/A). Esta ecuación además indica que cuanto mayor es la resistividad más grande es el campo eléctrico necesario para generar una densidad de corriente. Como veremos más adelante el cociente (V/A) se llama ohm (Ω), por tanto las unidades de la resistividad en el SI es el (Ω.m). La tabla 6.1 muestra algunos valores de resistividades de materiales. De ella se observa que los metales y sus aleaciones presentan resistividades más pequeñas, por ello es que estos materiales son mejores conductores de la electricidad. Por otro lado los aisladores tienen su resistividad mucho mayor que los conductores, siendo el factor del orden de 1022. Debe señalarse además que el recíproco de la resistividad es la conductividad cuyas unidades son (Ω.m)-1según esta cantidad, los elementos cuya conductividad es alta son buenos conductores de la electricidad. Debe señalarse además que los semiconductores tienen resistividades intermedias entre los metales y los aislantes. Estos materiales tienen una gran importancia en el diseño de dispositivos electrónicos en virtud de la manera en que la temperatura y el añadido de impurezas modifican sus propiedades eléctricas. Un material que cumple con la ley de Ohm se denomina óhmico. En estos materiales, y a una temperatura dada, la resistividad permanece constante, es decir, no depende del campo eléctrico. Sin embargo existen otros materiales como los semiconductores cuyo comportamiento es no lineal denominados no óhmicos, en estos materiales, la densidad de corriente depende del campo eléctrico. 274
  • 10. Física General III Corriente, resistencia y fuerza electromotriz Toribio Córdova C. Tabla I. Resistividad, conductividad y coeficiente de temperatura de algunos materiales MATERIAL RESISTIVIDAD CONDUCTIVIDAD COEFICIENTE DE ρ (Ω.m) σ (Ω.m)-1 TEMPERA. α (°C)-1 Elementos Plata 1,47.10-8 6,29.107 0,0038 Cobre 1,72.10-8 5,81.107 0,00393 Oro 2,44.10-8 4,09.107 0,004 Aluminio 2,75.10-8 3,55.107 0.0039 Tungsteno 3,25.10-8 1,80.107 0,0045 Hierro 10,00.10-8 1,00.107 0,0050 Plomo 22,00.10-8 6,29.107 0,0043 Mercurio 95,00.10-8 0,1.107 0,00088 Aleaciones Manganina 44.10-8 0,23.107 1,00.10-5 Constantán 49.10-8 0,23.107 0,00001 Nicromo 100.10-8 0,1.107 0,0004 Carbono puro 3,5.10-5 2,9.104 -0,0005 (grafito) Germanio puro 0,60 2,2 -0,048 Silicio puro 2300 1,6.10-3 -0,075 Aisladores Vidrio 1010 – 1014 10-10 – 10-144 Azufre 1015 10-15 Cuarzo 75.1016 1,73.10-18 Mica 1011 - 1015 10-11 – 10-15 6.3.1 Resistividad y la temperatura. La resistividad de un material conductor casi siempre aumenta con la temperatura como se muestra en la figura 6.9a. Esto se debe a que cuando se eleva la temperatura de un conductor, los iones del conductor viran con mayor amplitud aumentando de esta manera la probabilidad de que un electrón en movimiento colisione con un ión. En consecuencia disminuye la velocidad de deriva del portador dentro del conductor, disminuyendo de este modo la corriente. Si el rango de variación de temperaturas es hasta 100°C, la resistividad del material puede escribirse en la forma. ρ (T ) = ρ0 [1 + α (T − T0 )] (6.26) Donde ρ0 es la resistividad a una temperatura de referencia T0 con frecuencia tomada a 0°C 0 a 20°C y ρ(T) es la resistividad a cualquier temperatura T. El factor α se denomina coeficiente de temperatura de la resistividad su valor para algunos materiales está dado en la Tabla I . De dicha tabla se observa que para el caso del grafito y los semiconductores la resistividad disminuye al aumentar la temperatura por tanto el coeficiente de temperatura de la resistividad de estos materiales es negativa. En el caso de los semiconductores esta propiedad nos permite diseñar los termistores. Figura 6.10 Variación de la resistividad con la temperatura: (a) Para un metal (la resistividad aumenta con el incremento de temperatura, (b) En un semiconductor la resistividad disminuye al aumenta T 275
  • 11. Física General III Corriente, resistencia y fuerza electromotriz Toribio Córdova C. 6.3.2 Superconductividad. Ciertos materiales tales como óxidos metálicos y algunas otras aleaciones presentan un fenómeno denominado superconductividad. Este fenómeno consiste en que al disminuir la temperatura de estos materiales, al principio la resistividad disminuye uniformemente. Sin embargo cuando se alcanza cierta temperatura denominada temperatura crítica TC aparece una transición de fase y la resistividad desciende abruptamente a cero, como se muestra en la figura 6.11a. Es decir, si en estos materiales superconductores se establece una corriente eléctrica ella se mantiene sin la necesidad de un campo eléctrico. Este fenómeno fue descubierto por Heike Kamelingh Onnes en 1911 quien observo que cuando la temperatura del mercurio disminuyó a valores del orden de lo 4,2K, su resistividad disminuía súbitamente a cero. Durante 70 años se ka alcanzado temperaturas críticas del orden de los 20K. Este es un indicador que solo había superconductividad cuando estos materiales se enfriaban en helio líquido (costoso) o hidrógeno líquido (explosivo). Posteriormente, Muller y Bednortz descubrieron que el óxido de bario, lantano y cobre se convertían en superconductores a temperaturas de los 40K. Posteriormente en los años 1987 se obtuvo un óxido complejo de itrio, cobre y bario con superconductividades a temperaturas de los 77K. En la actualidad se ha encontrado sustancias conductoras a temperaturas de los 160K, existiendo la posibilidad de encontrar superconductores a temperatura ambiente. Si esta hipótesis se lograra cumplir aparecería una enorme modernización con implicancias tecnológicas muy grandes. Una de las aplicaciones importantes es la fabricación de imanes superconductores, en los que los campos magnéticos son diez veces mayores a los campos magnéticos producidos por los mejores electroimanes. En la actualidad los imanes superconductores son usados para obtener imágenes por resonancia magnética en el campo de la medicina. En la figura 6.11b se muestra una de las aplicaciones de la superconductividad. (a) (b) Figura 6.11. (a) Variación de la resistencia con la temperatura para el mercurio, se observa que para temperaturas inferiores a TC = 4,2K, la resistencia cae súbitamente a cero; (b) Imán permanente pequeño levitando por encima de un disco superconductor deYBa2Cu3O7 a una temperatura de 77K 6.4 RESISTENCIA ELECTRICA 6.4.1 Ley de Ohm macroscópica. cuyos extremos se ha aplicado una diferencia de potencial ∆𝑉 = 𝑉 𝑏 − 𝑉𝑎 , la misma que produce un campo Para obtener una forma más usual de la ley de Ohm para aplicaciones prácticas consideremos un eléctrico �⃗ y una corriente I. segmento recto de alambre de longitud L y sección transversal A, como se muestra en la figura 6.12, entre 𝐸 misma que produce un campo �⃗ y como tal una corriente I 𝑬 Figura 6.12. Conductor de longitud L y sección A uniforme al que se le aplica una diferencia de potencial la ΔV, 276
  • 12. Física General III Corriente, resistencia y fuerza electromotriz Toribio Córdova C. Asumiendo que el campo �⃗ en el interior es diferente de cero y a la vez uniforme, entonces la diferencia de 𝐸 potencial entre los extremos b y a será a   ∆V = ∫ E.ds = − EL (6.26) b Despejando el campo eléctrico se tiene ∆V E= (6.27) L Remplazando la ecuación (6.27) en la ecuación (6.24), la densidad de corriente puede escribirse en la forma ∆V j =σ( ) (6.28) L esto es 𝑗 = 𝐼 ⁄ 𝐴, la ecuación (6.28) se transforma en Teniendo en cuenta que la densidad de corriente es la intensidad de corriente por unidad de área perpendicular, I σ (∆V ) ∆V = = A L ρl L ∆V =ρ I (6.29) Es a la cantidad 𝜌( 𝑙⁄ 𝐴), que se le conoce como Resistencia (R), del material, entonces A L R=ρ (6.30) A Al remplazar la ecuación (6.30) en (6.29), se obtiene ∆V =RI (6.31) materiales) entre la diferencia ∆𝑉 con respecto a la intensidad de corriente I o de la densidad de corriente j con La expresión dada por la ecuación (6.31), se le conoce como ley de Ohm macroscópica, pero es importante comprender que el verdadero contenido de la ley de Ohm es la proporcionalidad directa (en el caso de ciertos respecto al campo eléctrico E. La ecuación (6.31) define la resistencia R de cualquier conductor, ya sea que obedezca la ley de Ohm o no, pero cuando R es constante el correcto llamar ley de Ohm a esta relación Aun cuando la ecuación (6.31) muestra una relación entre la resistencia, la diferencia de potencial y la intensidad de corriente, debe precisarse que la resistencia R de cualquier material conductor es totalmente independiente de la diferencia de potencial aplicada y de la intensidad de corriente, siendo más bien dependiente de la geometría del conductor y de la naturaleza del material, así por ejemplo si el conductor es recto de longitud l y sección transversal constante la resistencia R es proporcional a la longitud l e inversamente proporcional al área de la sección transversal A, siendo la constante de proporcionalidad la resistividadρ En general, la resistencia R, de cualquier material de forma arbitraria se determina usando la relación     ∆V = = R ∫ E.ds  = ∫ Eds . (6.32)  I ∫∫ j .ndA ∫∫ σ E.ndA A A De acuerdo con la ecuación (6.32), la unidad de la resistencia R en el sistema internacional de unidades es el ohmio, representada por la letra omega del alfabeto griego (Ω). Entonces 1V (6.33) 1Ω = 1A 277
  • 13. Física General III Corriente, resistencia y fuerza electromotriz Toribio Córdova C. Para el caso de los resistores que obedecen la ley de Ohm, su gráfica intensidad de corriente en función de la diferencia de potencial es una línea recta como se muestra en la figura 6.13a. En el caso de dispositivos que no cumplen con la ley de Ohm, la relación intensidad de corriente y diferencia de potencial puede no ser una proporción directa, y puede ser diferente con respecto a los sentidos de la corriente. La figura 6.13b, muestra la proporcional a (∆𝑉)3/2 ; mientras que con potenciales negativos la corriente es extremadamente pequeña. El curva característica para un diodo de vacio utilizado para convertir corriente alterna de alto voltaje en corriente contínua, Con potenciales positivos en el ánodo con respecto al cátodo, la corriente I es aproximadamente comportamiento d los diodos semiconductores (figura 6.8c) es algo diferente. (a) (b) (c) Figura 6.13. Relación intensidad de corriente: (a) Resistencia óhmica, (b) Diodo de vacío y (c) Diodo semiconductor 6.4.2 Variación de la resistencia con la temperatura. Se ha visto en la sección 2.7 que la resistividad de un conductor varía de manera lineal con la temperatura de acuerdo con la ecuación ρ (T ) = ρ0 [1 + α (T − T0 )] Por otro lado debido a que la resistencia es proporcional a la resistividad, entonces, se puede escribir la resistencia del conductor en función de la temperatura, esto es R (T ) = R0 [1 + α (T − T0 )] 6.34) 6.4.3 Estudio de la resistencia eléctrica.. Un dispositivo utilizado en circuitos de modo que tenga un valor específico de resistencia entre sus extremos se llama resistor. Se pueden adquirir en el mercado resistores cuyos valores van desde 0,01Ω hasta 107Ω. Los resistores individuales utilizados en instalaciones electr ónicas tienen la forma de cilindros pequeños de algunos milímetros de diámetro y de longitud, con alambres que sobresalen de sus extremos, en los cuales se ha plasmado bandas de colores tal como se muestra en la figura 6.14a y la figura 6.14b se muestra un conjunto de resistores con bandas de diversos colores. Figura 6.14. (a) Resistencia óhmica usada en circuitos, (b) Conjunto de resistencias de diversos valores 278
  • 14. Física General III Corriente, resistencia y fuerza electromotriz Toribio Córdova C. Cada una de estas resistencias está marcado con un código estándar de tres o cuatro bandas de color cerca de uno de los extremos como se muestra en la figura 6.15a, de acuerdo con el esquema que se muestra en la tabla II. La primeras dos bandas (a partir del extremo más próximo) son dígitos, y la tercera es un multiplicador de potencia de diez. Su representación en el lenguaje de circuitos es la mostrada en la figura 6.15b, para una resistencia fija y la figura 6.15c para una resistencia variable. Otra característica importante de un resistor es la energía eléctrica que puede disipar sin sufrir daño, esto es la potencia de trabajo. (a) (b) (b) Figura 6.15. (a) Resistencia mostrando las bandas de colores e indicando la forma como se determina su valor mediante el código de colores, (b) representación de una resistencia fija y (c) representación de una resistencia variable en un circuito. Tabla II. Código de colores para resistencias En la figura 6.16a, se muestra las componentes básicas de un resistor y en la figura 6.16b su instalación en circuitos eléctricos y electrónicos (a) (b) Figura 6.16. (a) Componentes de una resistencia y (b) Instalación de resistencias en un circuito 279
  • 15. Física General III Corriente, resistencia y fuerza electromotriz Toribio Córdova C. Debe indicarse además que los resistores mostrados en las graficas anteriores no son el único tipo de resistencia que se usa en instalaciones eléctricas y electrónicas. En general también se usan resistencias variables o con los potenciómetros, los mismos que se muestran en la figura 6.17, Figura 6.17. Fotografía de varios potenciómetros (resistencias variables) Una de las resistencia variables muy utilizado en el laboratorio es el Reóstato (Rh), el cual tiene un control deslizante, y tres conectores (uno en la parte superior y dos en la parte inferior) como se muestra en la figura 6.18a, cuando el reóstato es conectado con la parte superior a un circuito y la parte inferior al otro extremo del circuito, la resistencia se puede variar mediante el movimiento del control deslizante, controlando de este modo el flujo de corriente a través del reóstato representada por la línea de color rojo en la fotografía. La figura 6.18b muestra la representación en el lenguaje circuital del reóstato. Figura 6.18. (a) Fotografía de un reóstato y (b) representación esquemática de un reóstato. Por otro lado existen resistencias variables cuya resistencia varía con la variación de temperatura (termistores) representados en la figura 6.14b y aquellos que varían con la incidencia de la luz (celda fotoconductora) representada en la figura 6.14b Figura 6.19. (a) Fotografía de varios termistores y (b) Fotografía de una celda fotoconductora 280
  • 16. Física General III Corriente, resistencia y fuerza electromotriz Toribio Córdova C. 6.7 FUERZA ELECTROMOTRIZ Y CIRCUITOS. necesario debido a que cuando se establece una diferencia de potencial ∆𝑉, entre sus extremos, aparecerá un campo eléctrico �⃗ en el interior el mismo que producirá una fuerza eléctrica sobre los portadores de carga Para que un conductor tenga una corriente constante, dicho conductor debe ser parte de un circuito. Esto es 𝐸 originándose una corriente eléctrica (flujo de portadores de carga) con una densidad de corriente ⃗ = 𝜎𝐸 como 𝐽 �⃗ se muestra en la figura 6.20a. Sin embargo, si el conductor no es parte de un circuito la diferencia de potencial sentido opuesto �⃗ 𝑖 , el cual cancela al campo aplicado �⃗ 𝑎 , llegando después de dicho tiempo el campo neto en el aplicada ocasionará que en un tiempo muy pequeño se acumule carga positiva en lado del conductor y en el otro 𝐸 𝐸 se acumule una carga negativa como se ve en la figura 6.20b, dichas carga dan origen a un campo propio de interior igual a cero y como tal la corriente eléctrica también será nula, como se muestra en la figura 6.20 b Figura 6.20. (a) El campo originado por la aplicación de una diferencia de potencial genera una corriente, (b) la corriente provoca una acumulación de carga en los extremos apareciendo un campo inducido que disminuye el campo original, (c) después de un tiempo muy corto el campo original es cancelado por el campo inducido siendo el campo neto en el interior nulo. Por lo tanto, para que una corriente (flujo de carga) se mantenga en el conductor, es necesario que el conductor esté conectado a un circuito, más aun debe existir un agente externo el cual debe mantener la diferencia de potencial necesaria para aumentar la energía potencial de las cargas. Este agente no es más sino una fuente de fem (batería, generador, etc). 6.7.1 Fuerza electromotriz (fem). de mayor potencial venciendo de esta forma el campo electrostático el que produce una fuerza eléctrica ⃗ 𝐸 = Se ha dicho que para mantener una corriente eléctrica en un conductor, en alguna parte del circuito debe 𝐹 haber un elemento activo de tal manera que empuje una carga positiva desde un punto de menor potencial a otro �⃗ 𝑞𝐸 . La fuente que hace este trabajo se denomina fuente generadora de fuerza electromotriz o simplemente fuerza electromotriz ( 𝜀 ), la que ejerce una fuerza ⃗ 𝑛 , sobre los portadores tal como se muestra en la figura 6.21a, 𝐹 llevando los portadores del borne a hacia el borne b. Debemos precisar que el nombre de fuerza electromotriz no es una fuerza, sino más bien una cantidad de energía por unidad de tiempo, siendo sus unidades las mismas que las de diferencia de potencial, esto es: el volt (V). Así por ejemplo, una batería utilizada para la linterna tiene una fem de 1,5 V, es decir, la batería realiza un trabajo de 1J sobre cada coulomb de carga que pasa a través de ella. En general se llama fuente generadora de fem a cualquier dispositivo que transforma energía no eléctrica (mecánica, química, solar, térmica, etc.) en energía potencial eléctrica y la transfiere al circuito al cual se mantiene sus bornes a una diferencia de potencial constante es decir 𝜀 = 𝑉𝑎 − 𝑉 𝑏 . Por esto es que se define a la encuentra conectado el dispositivo. Las principales fuentes fem son: las baterías, los generadores eléctricos, las caldas solares, las pilas termoeléctricas y las celdas de combustibles. Una fuente generadora de fem ideal ecuación 𝑉𝑎 − 𝑉 𝑏 = 𝜀 − 𝑟𝐼. La figura 6.21a, corresponde a una fuente ideal de fem que mantiene una diferencia fem como la magnitud de la diferencia de potencial. Sin embargo, en la naturaleza no existe fuente de fem ideal, ya que todas tienen resistencia interna por tanto la fem se relaciona con la diferencia de potencial mediante la diferencia de potencial produce un campo electrostático �⃗ el mismo que produce una fuera electrostática 𝐸 de potencial entre sus bornes a y b, siendo el borne a el que se encuentra a mayor potencial que el borne b dicha ⃗ 𝐸 = 𝑞𝐸 sobre una carga positiva. Para mantener dicha diferencia de potencial la fuente de fem hace un trabajo 𝐹 �⃗ no electrostático produciendo una fuerza no electrostática ⃗ 𝑛 sobre la carga +q obligándola a moverse del borne 𝐹 b hacia a. Este trabajo por ejemplo en una batería se debe a la energía química producida en el interior de la batería producto de las reacciones químicas que en ella se producen. 281
  • 17. Física General III Corriente, resistencia y fuerza electromotriz Toribio Córdova C. Figura 6.21 (a) diagrama esquemático de una fuente de fem; (b) diagrama de una fuente de fem instalada en un circuito cerrado trabajo positivo ( 𝑊 𝑏→𝑎 = 𝑞𝜀 ) sobre la carga, originando un desplazamiento en contra del campo electrostático por lo tanto la energía potencial asociada a la carga aumenta en una cantidad ( 𝑞∆𝑉 ), por otro lado la fuerza Cuando se produce el traslado de una carga +q del borne b al borne a, la fuerza no electrostática realiza un electrostática también ejerce un trabajo pero en este caso es negativo, de tal manera que el trabajo neto es nulo, es decir no existe variación de energía cinética de la carga. Esto es como si se moviera un cuerpo a velocidad constante. Pues bien, el aumento de energía potencial en la fuente ideal será igual al trabajo no electrostático, es decir qε = Wb→a = q∆V (6.35) ε = ∆V Con la fuente de fem formemos un circuito como se muestra en la figura 6.21b, la diferencia de potencial ∆𝑉 = 𝐼𝑅, con lo cual la ecuación 6,35 se escribe en la forma establecerá un campo eléctrico en el interior del alambre esto produce un flujo de carga o corriente a través del conductor de mayor a menor potencial. De acuerdo con la ley de Ohm dicha diferencia de potencial será ε =V = ∆ IR (6.36) 6.7.2 Resistencia interna de una fem. entonces la fem ( 𝜀 ) no es igual a la diferencia de potencial ∆𝑉. Esto se debe a que cuando se mueve un portador En la naturaleza no se encuentra fuente ideal alguna, es decir todas tienen una resistencia interna, de carga en el interior de la fuente de fem experimenta una oposición (resistencia). Es a esta resistencia que se le potencial (– 𝑟𝐼), de tal forma que cuando exite flujo de corriente a través de la fuente, la diferencia de potencial denomina resistencia interna (r) y que si cumple con la ley de Ohm, entonces en ella habrá una caída de entre los bosrnes será ∆V = ε − rI (6.37) (– 𝑟𝐼), el aumento de energía potencial que se produce cuando se traslada la carga q de b hasta a es menor que el Es decir, la diferencia de potencial entre los bornes a y b es inferior a la fuerza electromotriz debido al término trabajo realizado por la fuente de fem ya que parte de la energía se pierde en la resistencia interna en forma de calor. Si se tiene una batería de 9 V, tiene una fem de 9 V, pero la diferencia de potencial entre sus bornes será igual a 9 V si ninguna corriente circula a través de ella. Si la batería es parte de un circuito cerrado la diferencia de potencial será menor de 9 V. Es decir, en una fuente real la diferencia de potencial entre sus bornes será menor cuando a través de ella fluya corriente (véase la figura 6.22a) y será igual a la fem si a través de ella no circula corriente (figura 6.22b). 282
  • 18. Física General III Corriente, resistencia y fuerza electromotriz Toribio Córdova C. Figura 6.22. (a) Cuando el interruptor está cerrado la diferencia de potencial entre los bornes de la fuente de fem es menor que la fem; (b) cuando el interruptor se encuentra abierto la diferencia de potencial entre los bornes es igual a la fem. elemento pasivo es óhmico (∆𝑉 = 𝑅𝐼 ). Al combinar esta ecuación con la ecuación 6.37, se tiene La corriente en el circuito externo conectado a los bornes de la fuente sigue cumpliendo con la ley de Ohm si el ε − rI = RI ε I= (6.38) r+R Es decir la corriente en el circuito es igual al cociente de la fem y la resistencia total del circuito (r + R). El cambio neto de energía potencial de una carga q que recorre un circuito completo debe ser cero. Por tanto, el cambio neto de diferencias de potencial alrededor del circuito debe ser nulo. Es decir, la suma algebraica de las diferencias de potencial a través del circuito cerrado debe ser nula. Entonces se tiene ∆Vε + ∆Vr + ∆VR = 0 ε − rI − RI = 0 (6.39) Aquí se observa que una ganancia de potencial en la fuente de fem se compensa con las pérdidas de energía en la resistencia interna r y en la resistencia externa R. En la figura 6.23 se observa la variación de potencial a medida que se recorre un circuito. Figura 6.23. (a) Diagrama de un circuito en donde se muestra una fuente de fem 𝜺 y resistencia interna r conectada a un resistor externo R; (b) representación gráfica de las variaciones de potencial a través del circuito seguido en sentido anti horario. 6.8 ENERGÍA Y POTENCIA EN CIRCUITOS ELECTRICOS. eléctrico �⃗ , en el interior del mismo, éste campo produce una fuerza eléctrica ⃗𝑒 = −𝑒𝐸 , la misma que acelera a 𝐸 𝐹 �⃗ Cuando se aplica una diferencia de potencial ΔV, entre los extremos de un conductor, aparece un campo los portadores de carga (electrones) en el metal en un tiempo muy pequeño, haciendo que el conjunto de electrones incremente su energía cinética. Sin embargo, esta energía cinética rápidamente se convierte en energía interna del conductor debido a las interacciones (choques) de los electrones con los iones de la 283
  • 19. Física General III Corriente, resistencia y fuerza electromotriz Toribio Córdova C. estructura cristalina. El aumento de energía interna da lugar a un incremento de la temperatura del conductor (el conductor se calienta). Este fenómeno se conoce como efecto Joule, el mismo que es aprovechado en el diseño de un conjunto de dispositivos como por ejemplo: planchas eléctricas, hornillos eléctricos, etc. recto de longitud ∆𝑙 y sección transversal A, como se muestra en la figura 6.24. En el tiempo ∆𝑡, una carga ∆𝑞 Para determinar la energía transformada, consideremos una porción de alambre en forma de cilindro circular cual se mantiene a un potencial Vb. Es decir, la carga ∆𝑞 al pasar de un punto de mayor potencial a a otro de entra por el punto a el cual se encuentra a un potencial Va y una cantidad de carga igual sale por el punto b el menor potencial b, experimenta una pérdida de energía potencial dada por ∆U =∆q (Vb − Va ) =−(∆V )∆q (6.40) En donde, Va - Vb, es la disminución o caída de potencial a través del segmento de conductor. La energía perdida será −∆U e = (∆V )∆q (6.41) Dividiendo la ecuación (6.41) entre el tiempo dt, se obtiene la pérdida de energía por unidad de tiempo, la misma que se expresa como ∆U e ∆q − = ∆V (6.42) ∆t ∆t Pero la carga por unidad de tiempo es la intensidad de corriente 𝐼 = ∆𝑞⁄∆𝑡, y la energía por unidad de tiempo es la potencial eléctrica disipada P en el segmento de conductor. Es decir, P I (∆V ) = (6.43) La unidad de la potencia disipada en el sistema internacional de unidades es el Watt (W), es decir = (1C / s )(1J / s ) (1amperio)(1voltio) 1Watt = 1W = 1A(1V ) Figura 6.24. Diagrama esquemático utilizado para determinar la energía perdida por unidad de tiempo en un conductor. 6.8.1 Resistencia pura. Ohm es (∆𝑉 = 𝑅𝐼). Entonces, la potencia disipara en el conductor será Si el elemento del circuito es un resistor la diferencia de potencial entre los extremos según la ley de (∆V ) 2 (6.44) P =I (∆V ) =I 2 R = R Es decir, al fluir carga (corriente) a través del resistor, se disipa energía en este elemento razón de I2R. Por esta razón cada uno de estos elementos vienen especificados con su potencial nominal, es decir debe conocerse la máxima potencia que el dispositivo puede disipar sin sobrecalentarse y sufrir daños. Debe señalarse además que ciertos dispositivos como los calentadores eléctricos, se diseñan para transferir calor a su entorno. Pero si se excede su potencia nominal, esos dispositivos pueden fundirse e incluso estallar. 284
  • 20. Física General III Corriente, resistencia y fuerza electromotriz Toribio Córdova C. 6.8.2 Potencia de salida en una fuente generadora de fem. La figura 6.25a, representa una fuente de fem ε con una resistencia interna r, conectada mediante alambres conductores de resistencia despreciable a un circuito externo representado por el rectángulo inferior y en la figura 6.25b se muestra el circuito correspondiente Figura 6.25 (a) Circuito eléctrico en donde se realiza la conversión de energía no eléctrica en eléctrica, (b) Circuito equivalente La fuente de fem , podría ser la batería de un automóvil cuya resistencia interna es r no es visible a simple vista, pero podría tener una representación esquemática tal como se muestra en la figura 6.26a, dicha batería se encuentra instalada al faro de un automóvil como se ve en la figura 6.26b. Figura 6.25 (a) Batería de un automóvil mostrando la resistencia interna, (b) Batería de un automóvil conectada a un faro El potencial del borne a es mayor que el de b, por tanto la corriente fluye convencionalmente desde el borne de mayor potencial entregándose energía al circuito externo (faro). La rapidez con la que se entrega energía al circuito será P = I ∆Vab (6.45) Para el caso de una fem ε y resistencia interna r, la diferencia de potencial entre los bornes a y b es ∆Vab = a − Vb =ε − rI V Remplazando esta ecuación en la ecuación (6.45) resulta P = I (ε − rI ) =ε I − rI 2 (6.46) En esta ecuación, el término 𝜀𝐼 representa la rapidez de conversión de energía no eléctrica en energía eléctrica en el interior de la fuente de fem y el término 𝑟𝐼 2 representa la proporción a la que se disipa energía eléctrica en 285
  • 21. Física General III Corriente, resistencia y fuerza electromotriz Toribio Córdova C. la resistencia interna de la fuente de fem. La diferencia ε I − rI 2 es la potencia neta útil de la fuente, es decir, la rapidez a la que la fuente de fem entrega energía eléctrica al resto de circuito. 6.8.3 Potencia de entrada en una fuente generadora de fem. Si el rectángulo de la parte inferior del circuito mostrado en la figura 6.25a es una fuente cuya fuerza electromotriz es mayor que la de la fuente de fem mostrada en la parte superior. En la figura 6.27 se muestra un ejemplo práctico que no es más sino el proceso de carga de una batería de un automóvil (el elemento superior del circuito) por el alternador del automóvil (el elemento inferior en el circuito). Aquí observamos que el sentido de la corriente es opuesta al mostrado en la figura 6.26b; es decir, la fuente inferior está empujada en dirección contraria a través de la fuente de fem superior. Debido a la inversión de esta corriente, la ecuación para la diferencia d potencial entre los bornes a y b sería ∆Vab = a − Vb =ε + rI V Y la potencia sería, P = I (ε + rI ) =ε I + rI 2 En lugar de que el agente que genera la fuerza no electrostática de la fuente de fem (cargándose la batería). El término 𝑟𝐼 2 es una vez más la disipación de energía en la fuente de fem y el término superior realice trabajo sobre los portadores de carga, se está realizando trabajo sobre la fuente de fem. Es decir, en la fuente de fem superior se está realizándose una conversión de energía eléctrica en energía no eléctrica (ε I + rI 2 ) es la potencia total de alimentación de la fuente superior. Esto es lo que sucede cuando se conecta una batería recargable (acumulador) a un cargador. El cargador suministra energía eléctrica a la batería, una parte de esta energía se transforma en energía química, para someterse más tarde a una reconversión y el reto se disipa en la resistencia interna de la batería calentando ésta y provocando un flujo de calor hacia fuera de ella. Figura 6.25 (a) Circuito eléctrico en donde se muestra la conexión de un alternador con una fem (mayor) con una batería cuya fem es (inferior), este circuito es utilizado para cargar una batería 286
  • 22. Física General III Corriente, resistencia y fuerza electromotriz Toribio Córdova C. PROBLEMAS RESUELTOS vd = 3, 47.10−7 m / s 1. A través de un conductor de cobre de 1,2 mm de diámetro fluye una corriente de 2 A. Determine: (a) 3. En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno se la densidad de corriente, (b) la velocidad de postula que un electrón del más bajo estado de desplazamiento de los electrones sabiendo que la energía se mueve en una órbita circular de radio densidad electrónica es n = 2,3 .1029 electrones/m3. a0 = 5,29.10-11 m alrededor de un protón. Determine la velocidad del electrón, (b) ¿cuál será Solución la corriente efectiva asociada con el movimiento del electrón moviéndose en su órbita?. (a) Cálculo de la densidad de corriente. Solución I I 4I = j = = En la figura se muestra el movimiento del electrón A πd / 4 πd2 2 alrededor del núcleo. 4(2 A) j= π [1, 2.10−3 m]2 j = 1, 77.106 A / m 2 (b) Cálculo de la velocidad de deriva. La densidad de corriente y la velocidad de deriva está relacionada por la ecuación j = nqe vd 1, 77.10 A / m = 2,3.1029 electrones / m3 (1, 6.10−19 C )vd 6 2 El electrón se encuentra sometido a la fuerza eléctrica por tanto, aplicando la segunda ley de newton al movimiento de esta partícula se tiene vd = 0, 48.10−4 m / s v2 ∑ Fn = man ⇒ Fe = me 2. La densidad del aluminio es de 2,7 g/cm3 y su masa a0 atómica es de 27 g/mol; cada átomo tiene tres electrones de conducción. (a) Determine el número e2 v2 de electrones por cm3. (b) Si en alambre de k 2 = me a0 a0 aluminio de 1mm2 de área de sección transversal fluye una corriente de 10 mA, obtenga la velocidad ke 2 9.109 (1, 6.10−19 ) de deriva de los electrones. =v = me a0 9,11.10−31 (5, 29.10−11 ) Solución (a) Cálculo de la densidad electrónica v = 2,19.106 m / s Debido a que el electrón gira uniformemente, se (densidad )(# de Abogadro tiene n = (# de electrones libres / átomo) Masa atómica π a0 = 2= vet S 2π (5, 29.10−11 m) = (2,19.106 m / s )t 23 (2, 7 g / mol )(6, 02.10 at / mol ) n = (3elec / at ) 27 g / mol t = 1,52.10−16 s n = 1,866.10 electrones / cm 23 3 La corriente total en este tiempo será (b) Cálculo de la velocidad de deriva q 1, 6.10−19 C I I = I = j= = nqe vd ⇒ vd = t 1,52.10−16 s A nqe A I = 1, 05 mA 10.10−3 A vd = 1,866.1029 elect / m3 (1, 6.10−19 C )(1.10−6 m 2 ) 4. La cantidad de carga q (en coulombs) que ha pasado a través de una superficie de área igual a 1,5 287
  • 23. Física General III Corriente, resistencia y fuerza electromotriz Toribio Córdova C. cm2 varía en función del tiempo según la ecuación convección. Entonces la corriente que fluye a q = 4t3 + 5t + 6, estando t especifica en segundo. través de la sección M es (a) ¿Cuál es la corriente instantánea que pasa a través de la superficie en t = 2s? (b) ¿Cuál es el q λq (2π R) = I = valor de la densidad de corriente?. t 2π / ω I = λqω R Solución 6. Con una masa de 5 g de cobre se desea fabricar un (a) Corriente instantánea en t = 2 s alambre el cual debe tener una resistencia R = 0,8 Ω y se d e utilizar todo el cobre disponible. be dq d Asumiendo que no se pierde ninguna cantidad de I (t ) = = (4t 3 + 5t + 6) cobre y que las propiedades del material se dt dt mantienen sin ser modificadas antes y después de I= 12t 2 + 5 (t ) realizar la fabricación del alambre. Determine: 8ª) la longitud del alambre fabricado y el diámetro de = 12(2) 2 + 5 I2 este alambre. I 2 = 53 A Solución (b) La densidad de corriente será (a) Cálculo de la longitud del alambre. De acuerdo I 53 A a la definición de densidad de masa se tiene = j = A 1,5.10−4 m 2 m ρm = ⇒ m = ρ mV = ρ m ( A L) j = 35,3 A / m 2 V m A= 5. Sobre un anillo de radio R se ha distribuido ρm L uniformemente una densidad de carga lineal λq. Si a este anillo se hace rotar alrededor de su eje con una rapidez angular ω. Determine la corriente de De la definición de resistencia tenemos convección en un punto del anillo. L Solución R=ρ A En la figura se muestra el anillo L ρ m L2 = ρ R = ρ m / ρm L m 8,92.193 kg / m3 ( L2 ) = 1, 7.10−8 Ω.m 0,8Ω 5.10−3 kg L = 5,14 m (b) Cálculo del diámetro del alambre m m m ρ= = = V L( A) L(π d 2 / 4) m 4m 4(5.10−3 kg ) La carga total que pasa por la sección transversal =d = será π Lρm π (5,14m)(8,92.193 kg / m3 ) dq q d = 0,138.10−3 m = λq = dl l 7. Un cubo sólido de plata cuya densidad es = λq (lC ) λq (2π R) q = 10,5 g/cm3 tiene una masa de 90 g. (a) ¿Cuál será la Al hacer girar al anillo en torno al eje z, la rotación resistencia eléctrica entre dos caras opuestas si da lugar a la aparición de una corriente de entre ellas se establece una diferencia de potencial de 1.10-5 V?, (b) Si cada átomo de plata contribuye 288
  • 24. Física General III Corriente, resistencia y fuerza electromotriz Toribio Córdova C. con un electrón de conducción, determine la (10,5 g / cm3 )(6, 02.1023 at / mol ) velocidad de deriva de los electrones cuando se n = (1elec / at ) aplica la diferencia de potencial del inciso (a). Se 107,87 g / mol sabe que el número atómico de la plata es 47 y su n = 5,86.1028 electrones / m3 masa molar es de 107,87 g/mol. De la definición de densidad de corriente se tiene Solución En la figura se muestra el cubo sometido a la I I j= = nqe vd ⇒ vd = diferencia de potencial A nqe A 12,9 A vd = 5,86.10 elect / m3 (1, 6.10−19 C )(2, 05m 2 ) 2 28 vd = 3, 28µ m / s 8. Durante un viaje por el desierto de Sahara en un día en que la temperatura era de 58°C un alumno encontró que al aplicar a los extremos de un alambre una diferencia de potencial ΔV a travs de é Se procede a determinar el avlor de la arista del dicho alambre fluía una intensidad de corriente de cubo L. De la definición de densidad de masa 1,00 A. Si posteriormente viaja a la Antártida y en tenemos. dicho lugar aplica la misma diferencia a los extremos del alambre. ¿Cuál será la intensidad de corriente registrada en un día en que la temperatura m m ρ= m = es de -88°C?. Suponga que el alambre no ha sufrido V L3 cambios en forma y dimensiones. m 90 g =L 3= 3 Solución ρm 10, 5 g / cm3 La resistencia mediada a la temperatura de 58°C es L = 2, 05cm (a) La resistencia entre las caras opuestas será R =R0 [1 + α (TH − T0 )] L L ρ R R0 [1 + α (58°C − 20°C )] = = ρ R = ρ= A L2 L = R0 (1 + 38α ) (1) R 1,59.10−8 Ω.m La resistencia medita a temperaturas bajas será R= 2, 05,10−2 m R ' =R0 [1 + α (TF − T0 )] −7 R = 777.10 Ω R= R0 [1 + α (−88°C − 20°C )] ' (b) Para determinar la velocidad de deriva de los electrones primero se calcula la intensidad de = R0 (1 − 108α ) R' (2) corriente que fluye por el material, para ello se aplica la ley de Ohm De la aplicación de la ley de OHM se tiene para temperaturas altas L = 5,14 m ∆V = IR ⇒ ∆V = I H [ R0 (1 + 38α )] (3) ∆V =IR 1.10−= I= 777.10−7 Ω) 5 V (R Y para temperaturas bajas es I = 12,9 A ∆V = IR ' ⇒ ∆V = I F [ R0 (1 − 108α )] (4) La densidad electrónica está dada por De las ecuaciones (3) y (4) se tiene (densidad )(# de Abogadro n = (# elect / at ) Masa atómica 289
  • 25. Física General III Corriente, resistencia y fuerza electromotriz Toribio Córdova C. [ R0 (1 + 38α )] ∆V ∆V IF = IH = P = [ R0 (1 − 108α )] R ρ (b − a) [1 + 38(3,9.10−3 )] 4π ab I F = 1A 4π ab∆V [1 − 108(3,9.10−3 )] P= ρ (b − a) I F = 1,987 A 9. A una esfera maciza de hierro de radio b, con una cavidad de radio a, se le aplica una diferencia de potencial ΔV entre el interior y el exterior de manera que fluye una corriente radial uniforme como se muestra en la figura. Si el material entre las cáscaras es débilmente conductor con una resistividad ρ. Encuentre: (a) La resistencia eléctrica, (b) la potencia disipada. Solución (a) Para determinar la resistencia total primero se divide a la esfera hueca en elementos diferenciales en forma de cascarones de radio interno r y espesor dr, como se muestra en la figura. La resistencia de este elemento diferencial es dr dR = ρ 4π r 2 ρ b dr ∫ dR = 4π ∫a r 2 ρ  1 1  ρ (b − a) = R − = 4π  a b    4π ab (b) La potencia disipada será 290
  • 26. Física General III Corriente, resistencia y fuerza electromotriz Toribio Córdova C. PROBLEMAS PROPUESTOS. alambre de ese metal de 1 mm de diámetro.(a) ¿Cuál es su resistencia?. (b) si el alambre se estira 10. Un conductor de sección transversal uniforme lleva uniformemente hasta una longitud de 50 km. ¿Qué una corriente de 5 A. ¿Cuántos electrones fluyen valor tendrá la nueva resistencia?. por un punto dado en 1 min. 21. La atmósfera lleva cargas positivas hacia la 11. En un proceso de galvanostegia (o electro superficie terrestre y retira cargas negativas de ésta. chapeado) se han transmitido 40000C a una La corriente total es de 1800 A. Suponga que el corriente de 10 A. ¿Qué tiempo se necesita?. flujo de carga es simétrico con respecto a la superficie de la tierra, halle la magnitud de la 12. La densidad del cobre es de 9 g/cm3 y tiene un densidad de corriente en dicha superficie. El campo electrón de conducción por átomo. En un alambre eléctrico en la mencionada superficie es de 100 cuya sección transversal uniforme tiene 0,1 cm de V/m, en dirección hacia aquella. Determine la diámetro, se establece una corriente constante de conductividad eléctrica del aire cerca de la 50 A. Determine: (a) la densidad de corriente y (b) superficie de la tierra. la velocidad media de los electrones. 22. La banda de un generador van de Graff es de 75 cm 13. La resistividad del cobre a 20°C es de 1,7 .10-8 de ancho y se mueve a 30 m/s. Si transmite una Ω.m. ¿Cuál es a esta temperatura la resistencia de corriente de 2.10-4 A a la esfera colectora, obtenga un alambre de cobre de 5 m de longitud si el radio la densidad superficial de carga en la banda. de su sección transversal circular es 0,1 cm?. 23. Una varilla de aluminio tiene una resistencia de 14. Un alambre de aluminio de longitud l y sección 1,234 Ω a 20 °C. Determine la resistencia de la transversal circular con un radio r tiene un varilla a 120 °C, tomando en cuenta los cambios resistencia R. Determine el factor por el que queda tanto en la resistividad como en las dimensiones de multiplicada la resistencia en cada uno de los la varilla. siguientes casos: (a) se duplica la longitud del alambre, (b) Se triplica la longitud del alambre y se 24. Se calienta una barra de cobre desde 20 °C hasta disminuye el radio a r/3 y c) se duplica l y r. 200 °C y se estira uniformemente al doble de su longitud inicial, no cambiando su volumen. Si 15. La densidad de corriente en un alambre largo y inicialmente su longitud era de 1 m y su resistencia era 0,02 Ω. Determine: (a) elárea transversal antes de acuerdo con la relación 𝑗 = 𝜆 𝑟, en d ond e λ es recto con sección transversal circular de radio R, varía con la distancia desde el centro del alambre de ser estirada y (b) la resistencia de la misma después de su estiramiento y de la elevación de la una constante positiva. Determine la intensidad de temperatura. corriente que fluye por el alambre. 25. Una bobina circular de alambre de aluminio de 16. El área transversal de un riel de acero es de 30 cm2. 0,254 mm de diámetro tiene 400 vueltas y su Si la resistividad de este material es 6.10-7Ω.m. diámetro medio es de 17,78 mm. La resistividad del determine la resistencia de un riel de 6 km de largo. alambre a 20 °C es 2,8.10-8 Ω.m. Si entre los extremos de la bobina se aplica una tensión de 12 17. Las dimensiones de un bloque de hierro como un V. Determine: (a) la corriente que fluye en el sólido de sección rectangular son de 2 cm x 3 cm x alambre y (b) el calor desprendido durante un 100 cm. Su resistividad a 20°C es igual a 1.10-7 intervalo de 5 min. Ω.m. Determine la resistencia entre las tres pares de caras opuestas. 26. En una instalación hidroeléctrica, una turbina suministra 1500 hp a un generador, el cual a su vez, 18. Una barra de cobre mide 0,1 m x 0,3 m por 5 m. Si transforma 80% de la energía mecánica en la resistividad del cobre es de 1,7.10-8 Ω.m. transmisión eléctrica. En estas condiciones, ¿Qué Determine la resistencia del alambre si la corriente corriente entrega el generador a una diferencia de fluye a lo largo de la longitud de la misma. potencial terminal de 2 kV?. 19. Una barra metálica con 12 m de longitud contiene 27. Un calentador de inmersión de 350 W opera en una 6.1025 electrones libres. Si en la barra fluye una línea de 120 V, y se utiliza para elevar la corriente de 3 A evalué la velocidad de deriva de temperatura de 250 cm3 de agua desde 27 °C hasta los electrones. el punto de ebullición. (a) determine la corriente que pasa a través del calentador, (b) ¿Con qué 20. La resistividad del aluminio es de 1,6.10-8 Ω.m a rapidez se transmite energía al agua?. (c) ¿Cuánto 20°C. Se quiere hacer una bobina con 25 km de tiempo se requiere para que hierva esta cantidad de 291