Corriente eléctrica, resistencia y fuerza electromotriz

Física General III Corriente, resistencia y fuerza electromotriz Toribio Córdova C.

CAPITULO VI
CORRIENTE, RESISTENCIA Y FUERZA
ELECTROMOTRIZ

266


6.1 INTRODUCCIÓN.

Al encender una lámpara, una radio, una computadora, etc. se establece una diferencia de potencial entre los
terminales de entrada de estos dispositivos, lo cual produce un flujo de carga eléctrica o corriente a través de los
circuitos eléctricos y electrónicos que componen estos equipos permitiendo de esta forma el funcionamiento
normal de de los mismos.

Fundamentalmente los circuitos eléctricos y electrónicos son un medio que permite el transporte de energía de
un lugar a otro. Al trasladarse los portadores de carga a través del circuito se transfiere energía potencial de la
fuente (batería o generador) hacia otros dispositivos en el que la energía o se almacena o se convierte en otra
forma de energía tal como ocurre en un bombillo de luz en donde la energía eléctrica se transforma en energía
luminosa, o en una plancha eléctrica en donde la energía se transforma en calor, o se transforma en sonido como
ocurre en la radio. Desde el punto de vista tecnológico los circuitos son partes importantes de una gran cantidad
de dispositivos ya que permiten transportar energía sin el movimiento de piezas móviles. Los circuitos eléctricos
se encuentran en el corazón de las linternas de mano, los reproductores de discos, los equipos de transmisión de
radio y televisión, en los sistemas de distribución domiciliaria e industrial de energía eléctrica.

En este capítulo nos dedicaremos a mostrar las propiedades, principios y leyes que gobiernan al flujo de carga o
corriente eléctrica, su relación con la densidad de corriente estableciendo la ley de Ohm y su aplicación,
evaluando su aplicación a los diferentes tipos de conductores para finalmente estudiar el efecto de la
temperatura sobre los conductores. As mismo estudiaremos la forma como las baterías transfieren energía y
corriente a un circuito. Para este análisis utilizaremos la noción de corriente eléctrica, diferencia de potencial,
resistencia y fuerza electromotriz.

6.2 CORRIENTE ELECTRICA.

6.2.1 Flujo de carga en conductores

Si ocurre un flujo de carga en un material conductor, las condiciones dentro de la sustancia ya no son
de las de equilibrio electrostático. Es decir, en condiciones electrodinámicas el campo eléctrico en el interior del
conductor es diferente de cero, dicho campo es el que permite mantener el flujo de carga. Es sabido que en los
átomos de los materiales conductores existen los electrones de valencia, electrones que por estar muy separados
del núcleo tienen la libertar de moverse a través de la red cristalina. Su movimiento se debe a la interacción de

campo eléctrico �⃗ , el cual produce una fuerza eléctrica sobre los electrones libres los mismos que comienzan a
los electrones libres con los demás electrones de los átomos y con los iones formados producto de la separación

𝐸
de los electrones de valencia. Cuando se aplica una diferencia de potencial ΔV, a un conductor se produce un

moverse a través del conductor dando lugar a un flujo de electricidad o corriente eléctrica.

Es importante precisar que como el número de electrones libres es equilibrado por igual número de cargas
positivas en los iones metálicos del conductor, en general dicho conductor en conjunto es eléctricamente neutro
y no existe carga neta. Sin embargo, las cargas positivas en los iones metálicos están fijas en la estructura
cristalina, no pudiendo moverse como lo hacen los electrones. Entonces cuando se establece la diferencia de
potencial en el conductor, son los electrones libres los que constituyen el flujo de carga, mientras que los iones
positivos se mantienen fijos, no ejerciendo influencia, salvo la de mantener la neutralidad eléctrica global.

En general el flujo de carga a través de un material conductor no es constante en el tiempo; pero cuando lo es (en
dirección y sentido), decimos que se ha establecido una corriente contínua (CC) o también corriente directa
(CD), en caso contrario se habla de una corriente alterna (CA).

6.2.2 Corriente eléctrica

Las corrientes eléctricas en general se deben al cambio de posición con respecto al tiempo de cualquier
tipo de carga eléctrica (movimiento de portadores de carga). En la actualidad se distinguen las siguientes formas
de corriente eléctrica.

6.2.2.1 Corriente de conducción.

Llamase corriente de conducción al movimiento de los electrones de valencia en un material metálico
(electrones libres) véase la figura 6.1a, o al movimiento de electrones de conducción y de huecos de

267


conducción en un semiconductor (Figura 6.1b) o también al movimiento de los iones positivos o
negativos en una solución electrolítica (figura 6.1c9

(a) (b)

(c)

Figura 6.1. (a) Corriente de conducción producida por el movimiento de electrones libres, (b) Corriente de
conducción producida por el movimiento de electrones y de huecos en un semiconductor (c)
Corriente de conducción en soluciones electrolíticas

6.2.2.2 Corriente de convección

Se denomina corriente de convección al movimiento de un cuerpo eléctricamente cargado, un
ejemplo lo constituye el movimiento alrededor de su órbita del cuerpo llamado tierra el cual se
encuentra cargada negativamente, otro ejemplo sería el movimiento alrededor de su eje de un anillo o
un disco previamente cargados.

6.2.2.3 Corriente de polarización.

Se denomina corriente de polarización al movimiento de los dipolos eléctricos en un material
dieléctrico cuando sobre este se aplica un campo externo

6.2.2.4 Corriente de desplazamiento.

Este tipo de corriente es postulado en el estudio de campos electromagnéticos en el vacío.

6.2.2 Corriente eléctrica de conducción.

Debido a que la inmensa mayoría de aplicaciones tecnológicas implican el uso de corrientes de
conducción, en esta sección nos dedicaremos al estudio de la corriente eléctrica de conducción en materiales
conductores.

Bajo condiciones electrostáticas el campo eléctrico en el interior es cero, por tanto no existe corriente. No
obstante, esto no significa que todas las cargas dentro del conductor estén en reposo. En un metal cualquiera
como el cobre, la plata, el aluminio, algunos electrones como los de valencia tienen la libertad de moverse
dentro del material conductor. Estos electrones libres se mueven en forma aleatoria en todas las direcciones, en

268


forma análoga como las moléculas de un gas pero con una rapidez mucho mayor. No obstante, los electrones

Consideremos ahora lo que ocurre si se establece un campo eléctrico �⃗ constante dentro del conductor. Los
𝐸
libres no escapan del material conductor porque son atraídos hacia los iones positivos del conductor.

electrones libres se encuentran ahora sometidos a una fuerza eléctrica constante ⃗ = 𝑞 𝑒 �⃗ . Si estos electrones
𝐹 𝐸
estuvieran moviéndose en el vacío, la fuerza le produciría una aceleración uniforme en la dirección de dicha
fuerza de tal manera que después de cierto tiempo los electrones tendrían una gran rapidez. Sin embargo, el
movimiento de estos electrones dentro del conductor no el libre sino que ellos interactúan con los demás
electronos y los iones fijos. En cada una de estas colisiones aparece un cambio en la orientación del movimiento
de los electrones resultando un movimiento al azar. El efecto neto del campo aplicado es que además del

deriva ⃗ 𝑑 de los portadores de carga. Por lo tanto, existe una corriente neta dentro del conductor.
𝑣
movimiento aleatorio de los electrones hay un movimiento muy lento a de deriva como grupo, en la dirección de
la fuerza tal como se muestra en la figura 6.2. Este desplazamiento se describe en términos de la velocidad de

Figura 6.2. Trayectoria típica de un electrón dentro de un conductor al cual se le aplica un campo eléctrico.

Aunque el movimiento aleatorio de los electrones tiene una rapidez promedio muy grande, aproximadamente
106 m/s, la rapidez promedio de deriva es pequeña (10-4 m/s). En vista de que los electrones se desplazan tan
lentamente, podríamos preguntarnos por qué la luz aparece tan rápido cuando accionamos un interruptor. La
razón es que el campo eléctrico se establece en el conductor con una rapidez próxima a la de la luz, y los
electrones dentro del conductor comienzan a trasladarse prácticamente al mismo tiempo.

En los diferentes materiales portadores de corriente, las cargas de las partículas móviles pueden ser positivas o
negativas. Así por ejemplo en los metales los portadores de carga son los electrones (negativos), mientras que en
un gas ionizado (plasma) y en las soluciones iónicas los portadores de carga pueden ser positivos o negativos.
En el caso de los semiconductores los portadores de carga son los electrones y el movimiento de vacantes
(huecos) que no es más sino lugares donde faltan electrones y que actúan como cargas positivas. En la figura
6.3 se muestra segmentos de materiales en los cuales se observa el movimiento de diferentes portadores de
carga. En la figura 6.3a, los portadores son positivos, en este caso la fuerza eléctrica tiene la misma dirección
que el campo y la velocidad de deriva es de izquierda a derecha En la figura 6.3b, los portadores móviles son
negativos, en este caso la fuerza tiene sentido opuesto al campo eléctrico y la velocidad de deriva es de derecha
a izquierda.

Figura 6.3. (a) Movimiento de portadores de carga positiva a través de un conductor, (b) movimiento de portadores de
carga negativa (electrones en un conductor.

Definimos la dirección de la corriente que en adelante se representa por I, como aquella en la que existe un flujo
de carga positiva. Es decir, consideramos a la corriente como un flujo de cargas positivas, incluso en aquellos
casos en que sabemos que los portadores son los electrones. Por tanto la corriente tendrá un sentido hacia la
derecha en ambos figuras 6.2a y 6.2b. Esta asunción se conoce como corriente convencional.

269


Para determinar el valor de la corriente asumamos que un conjunto de portadores de carga positiva se mueven de
izquierda a derecha tal como se muestra en las figuras 6.4a y 6.4b en la misma dirección que la corriente.
Definimos la corriente eléctrica I como la cantidad de carga móvil total que pasa por una sección transversal
fija normal al conductor, por unidad de tiempo. De acuerdo con esta definición, si en un intervalo de tiempoΔ t
por la sección transversal A atraviesa una cantidad de carga Δq, la corriente eléctrica será.

∆q (6.1)
I=
∆t

de ∆𝑞⁄∆𝑡, cuando el intervalo de tiempo Δt tiende a cero, esto es
Para las corrientes que varían con el tiempo la intensidad de la corriente en el instante t se define como el límite

∆q dq (6.2)
= lim
I =
∆t → 0 ∆t dt

(a) (b)

Figura 6.4. Movimiento de portadores de carga positivos a través de la sección transversal de un conductor

Para el caso de corrientes continuas o directas, la ecuación (6,2) se escribe

q
∫ dq ∫ Idt ⇒ q I ∫ dt ⇒ =
= = I
t
(6.3)

De estas ecuaciones podemos ver que la intensidad de corriente es una magnitud escalar que tiene como unidad
en el sistema internacional al Amperio definido com0 un Coulomb sobre un segundo, es decir

1coulomb 1C
=
1Amperio ⇒ 1A
=

⃗).
1segundo 1s

6.2.3 Densidad de corriente (𝒋

cargas elementales en un mismo tiempo, por ello es necesario definir la densidad de corriente ⃗, la misma que
𝚥
En cada parte de la sección transversal de un material conductor puede atravesar diferente número de

expresa la intensidad o concentración del flujo de carga en un punto de un medio conductor. La densidad de
corriente es una magnitud vectorial que tiene la misma dirección que el flujo de carga en un punto dado. Su
magnitud se determina tomado el límite el flujo de carga o corriente, ΔI por unidad de área ΔA, orientada
perpendicularmente a la dirección del flujo de carga como se muestra en la figura 6.5, esto es

∆I dI
= lim
j = (6.4)
∆A→ 0 ∆A dA

Figura 6.5 Densidad de corriente para un flujo de carga no uniforme

270


muestra en la figura 6.6, la densidad de corriente ⃗, es la misma en todo el conductor. La relación entre la
𝚥
Para el caso de un conductor dentro del cual el flujo de cargas libres es la misma en todos los puntos como se

transversal sombreada y considerando a ⃗ constante. De tal manera que
𝚥
densidad de corriente y la intensidad de corriente se obtiene integrando la ecuación (6.4) sobre el área

dI= jdA ⇒ I= ∫ jdA= jA

I
j= (6.5)
A⊥

Figura 6.6. Diagrama para mostrar la relación Corriente y densidad de corriente para flujos de carga
uniformes

Para determinar la densidad de corriente cuando esta varía de un punto a otro dentro de la sustancia conductora

y dirección del flujo de carga o corriente y por tanto la densidad de corriente ⃗ cambian continuamente de un
𝚥
como ocurre en un tubo de descarga gaseosa o un transistor de radio, consideremos un conductor de forma
irregular como se muestra en la figura 6.7, por el que circula una corriente total I de tal manera que la magnitud

punto a otro.

Figura 6.7. Diagrama que permite evaluar la relación general entre la intensidad de corriente y l densidad de

Para determinar una relación entre la corriente I y la densidad de corriente ⃗ , tomemos un área cualquiera de
𝚥
corriente en general

forma irregular A y dividámoslo en elementos de área dA, entonces el vector unitario normal �⃗ perpendicular a
𝑛
dA forma un ángulo θ con la densidad de corriente ⃗ en dicho punto. Entonces la corriente eléctrica a troves del
𝚥
área correspondiente será

= jdA⊥ j cos θ dA
dI = (6.6)

Usando la definición de producto escalar la ecuación anterior se puede escribir.

dI = j .ndA (6.7)

Integrando la ecuación (6.7), resulta

I = ∫∫ j .ndA (6.8)
A

Esta es una relación entre la intensidad de corriente total y la densidad de corriente en el caso más general

271


Para determinar una relación entre la densidad de corriente ⃗ y la velocidad de deriva de los portadores
𝚥
6.2.4 Densidad de corriente en función de la velocidad de deriva de los portadores de carga.

de carga ⃗ 𝑑 , consideremos un tubo de corriente de área transversal dA y de longitud dx análogo al tubo de flujo
𝑣
utilizado en mecánica de fluidos como se muestra en la figura 6.8a. Debido a que las líneas de corriente son
paralelas a la superficie lateral del tubo de corriente, no existirá flujo de corriente a través de la superficie lateral
del tubo.

(a) (b)

Figura 6.8. (a) Tubo de corriente utilizado para evaluar la relación entre la densidad de corriente y la densidad de
portadores móviles, (b) tubo de corriente en un conductor recto.

En un intervalo de tiempo dt, toda carga dentro de la sustancia se moverá una distancia dx = vddt, donde vd es la
velocidad de deriva o arrastre de los portadores de carga móviles. En este intervalo de tiempo por el área dA
fluirá una carga total expresada por

= ρ q dVvol ρ q (dxdA)
dq = (6.9)

Donde, ρq la densidad de carga volumétrica y dVvol el volumen del tubo de corriente. Remplazando el valor de
dx = vddt en la ecuación (6.9) se obtiene

dq = ( ρ q vd dA)dt (6.10)

O sea la carga por unidad de tiempo viene expresada por la ecuación

dq
= ρ q vd dA (6.11)
dt
Pero dq/dt es la intensidad de corriente total en el tubo diferencial, entonces tenemos

dI = ρ q vd dA (6.12)

Por otro lado la corriente y la densidad de corriente se encuentran relacionadas por la ecuación 𝑑𝐼 = 𝑗𝑑𝐴,
entonces la ecuación (6.12), se escribe

j = ρ q vd (6.13)

Debido a que la densidad de corriente y la velocidad de deriva tienen la misma dirección, la ecuación (6.13) se
puede escribir vectorialmente en la forma
 
j = ρ q vd (6.14)

La ecuación (6.14), expresa que la densidad de corriente ⃗ es igual al producto de la densidad de carga
𝚥
volumétrica por la velocidad de deriva de los portadores de carga ⃗ 𝑑 .
𝑣

Si existe n partículas cargadas móviles por unidad de volumen. La densidad de carga por unidad de volumen se
expresa en la forma

ρ q = nq0 (6.15)

272


Donde n es el número de partículas por unidad de volumen y q0 es la carga de cada una de ellas. Por lo tanto la
densidad de corriente puede escribirse en la forma
 
j = nq0 vd (6.16)

Si los portadores de carga son los electrones como en el caso de las metales, su carga es 𝑞0 = −𝑒, entonces la
densidad de corriente está dada por la ecuación
 
j = −n e vd (6.17)

Para el caso de soluciones electrolíticas en donde los portadores de carga son los iones positivos y negativos o
en el caso de los semiconductores en donde los portadores de carga son los electrones y las vacancias (huecos),
la densidad de corriente se determina sumando la densidad de corriente para cada tipo de portador de carga, es
decir
 
j = ∑ ni qi vd ,i (6.18)

6.3 LEY DE OHM MICROSCÓPICA: Conductividad eléctrica.

Debemos señalar primeramente que en los conductores los portadores de carga no se encuentran en completa
libertada para moverse, es decir su movimiento es aleatorio tal como se muestra en la figura 6.9a, esta

de energía cinética que la adquirió cuando se aplicó el campo eléctrico �⃗ , campo que le produce una fuerza
trayectoria que describe los portadores se debe a la interacción con los demás electrones y con los iones fijos de

𝐸
la red cristalina véase figura 6.9b. Durante estas interacciones (colisiones) los electrones pierden gran cantidad

eléctrica 𝐹⃗ = −𝑒𝐸 .
�⃗

(a) (b)

Figura 6.9 (a) Trayectoria aleatoria del movimiento de un portador de carga dentro de un conductor, (b) la interacción
de electrones con los iones de la red da lugar a que los iones vibren alrededor de su posición de equilibrio y
los electrones se muevan en trayectorias aleatorias según la orientación del campo eléctrico

La conversión de energía eléctrica en energía cinética de los electrones y la posterior conversión en energía
térmica (calentamiento del conductor) podrían representarse como pérdidas debidas a fuerzas de fricción sobre

⃗ 𝑑 , entonces se tiene
𝑣
las cargas móviles. Estas fuerzas de fricción pueden asemejarse a las que aparecen en el movimiento de un
sólido en el interior de un fluido, siendo dichas fuerzas proporcionales a la velocidad de deriva de los electrones

 
f r' = bvd (6.19)

Debido a que la fuerza eléctrica y la fuerza fraccional tienen signos opuestos, después de cierto tiempo esta se
equilibran dando lugar a un movimiento uniforme con una velocidad terminal o límite obtenida a partir de

273


   
Fe + f r' = ⇒ eE − bvd
0

 e 
vd = E (6.20)
b

lado denominamos movilidad de los electrones (𝜇 𝑒 ) al cociente e/b, es decir 𝜇 𝑒 = 𝑒⁄ 𝑏, con lo cual escribimos la
Donde b es una constante de proporcionalidad y depende del material del cual está hecho el conductor. Por otro

ecuación (6.20) en la forma
 
vd = µe E (6.21)

Puesto la densidad de corriente es proporcional a la velocidad de deriva de los electrones, al remplazar la
ecuación (6,21) en (6.16), resulta
 
j = neµe E (6.22)

proporcionalidad 𝑛𝑒𝜇 𝑒 y se le denomina conductividad eléctrica (σ) y a su recíproco que se le llama resistividad
La ecuación (6.22) indica que la densidad de corriente es proporcional al campo eléctrico siendo la constante de

eléctrica del material. Es decir

1
σ
= = neµe (6.23)
ρ

Debe señalarse además que tanto la conductividad así como la resistividad son propiedades que dependen del
material conductor y no dependen del tamaño ni de la geometría del conductor.

Al remplazar la conductividad eléctrica en la ecuación (6,22), obtenemos

  1 
= σE
j = E (6.24)
ρ
Es a la ecuación (6.24) que se le conoce como ley de Ohm microscópica. Según esta ecuación la resistividad
eléctrica puede expresarse como

E
ρ= (6.25)
j
De donde se obtiene que las unidades de la de la resistividad es (V.m/A). Esta ecuación además indica que
cuanto mayor es la resistividad más grande es el campo eléctrico necesario para generar una densidad de
corriente. Como veremos más adelante el cociente (V/A) se llama ohm (Ω), por tanto las unidades de la
resistividad en el SI es el (Ω.m). La tabla 6.1 muestra algunos valores de resistividades de materiales. De ella se
observa que los metales y sus aleaciones presentan resistividades más pequeñas, por ello es que estos materiales
son mejores conductores de la electricidad. Por otro lado los aisladores tienen su resistividad mucho mayor que
los conductores, siendo el factor del orden de 1022. Debe señalarse además que el recíproco de la resistividad es
la conductividad cuyas unidades son (Ω.m)-1según esta cantidad, los elementos cuya conductividad es alta son
buenos conductores de la electricidad.

Debe señalarse además que los semiconductores tienen resistividades intermedias entre los metales y los
aislantes. Estos materiales tienen una gran importancia en el diseño de dispositivos electrónicos en virtud de la
manera en que la temperatura y el añadido de impurezas modifican sus propiedades eléctricas.

Un material que cumple con la ley de Ohm se denomina óhmico. En estos materiales, y a una temperatura dada,
la resistividad permanece constante, es decir, no depende del campo eléctrico. Sin embargo existen otros
materiales como los semiconductores cuyo comportamiento es no lineal denominados no óhmicos, en estos
materiales, la densidad de corriente depende del campo eléctrico.

274


Tabla I. Resistividad, conductividad y coeficiente de temperatura de algunos materiales

MATERIAL RESISTIVIDAD CONDUCTIVIDAD COEFICIENTE DE
ρ (Ω.m) σ (Ω.m)-1 TEMPERA.
α (°C)-1
Elementos
Plata 1,47.10-8 6,29.107 0,0038
Cobre 1,72.10-8 5,81.107 0,00393
Oro 2,44.10-8 4,09.107 0,004
Aluminio 2,75.10-8 3,55.107 0.0039
Tungsteno 3,25.10-8 1,80.107 0,0045
Hierro 10,00.10-8 1,00.107 0,0050
Plomo 22,00.10-8 6,29.107 0,0043
Mercurio 95,00.10-8 0,1.107 0,00088
Aleaciones
Manganina 44.10-8 0,23.107 1,00.10-5
Constantán 49.10-8 0,23.107 0,00001
Nicromo 100.10-8 0,1.107 0,0004
Carbono puro 3,5.10-5 2,9.104 -0,0005
(grafito)
Germanio puro 0,60 2,2 -0,048
Silicio puro 2300 1,6.10-3 -0,075
Aisladores
Vidrio 1010 – 1014 10-10 – 10-144
Azufre 1015 10-15
Cuarzo 75.1016 1,73.10-18
Mica 1011 - 1015 10-11 – 10-15

6.3.1 Resistividad y la temperatura.

La resistividad de un material conductor casi siempre aumenta con la temperatura como se muestra en
la figura 6.9a. Esto se debe a que cuando se eleva la temperatura de un conductor, los iones del conductor viran
con mayor amplitud aumentando de esta manera la probabilidad de que un electrón en movimiento colisione con
un ión. En consecuencia disminuye la velocidad de deriva del portador dentro del conductor, disminuyendo de
este modo la corriente. Si el rango de variación de temperaturas es hasta 100°C, la resistividad del material
puede escribirse en la forma.

ρ (T ) = ρ0 [1 + α (T − T0 )] (6.26)

Donde ρ0 es la resistividad a una temperatura de referencia T0 con frecuencia tomada a 0°C 0 a 20°C y ρ(T) es la
resistividad a cualquier temperatura T. El factor α se denomina coeficiente de temperatura de la resistividad su
valor para algunos materiales está dado en la Tabla I . De dicha tabla se observa que para el caso del grafito y los
semiconductores la resistividad disminuye al aumentar la temperatura por tanto el coeficiente de temperatura de
la resistividad de estos materiales es negativa. En el caso de los semiconductores esta propiedad nos permite
diseñar los termistores.

Figura 6.10 Variación de la resistividad con la temperatura: (a) Para un metal (la resistividad aumenta con el
incremento de temperatura, (b) En un semiconductor la resistividad disminuye al aumenta T

275


6.3.2 Superconductividad.

Ciertos materiales tales como óxidos metálicos y algunas otras aleaciones presentan un fenómeno
denominado superconductividad. Este fenómeno consiste en que al disminuir la temperatura de estos materiales,
al principio la resistividad disminuye uniformemente. Sin embargo cuando se alcanza cierta temperatura
denominada temperatura crítica TC aparece una transición de fase y la resistividad desciende abruptamente a
cero, como se muestra en la figura 6.11a. Es decir, si en estos materiales superconductores se establece una
corriente eléctrica ella se mantiene sin la necesidad de un campo eléctrico. Este fenómeno fue descubierto por
Heike Kamelingh Onnes en 1911 quien observo que cuando la temperatura del mercurio disminuyó a valores del
orden de lo 4,2K, su resistividad disminuía súbitamente a cero. Durante 70 años se ka alcanzado temperaturas
críticas del orden de los 20K. Este es un indicador que solo había superconductividad cuando estos materiales se
enfriaban en helio líquido (costoso) o hidrógeno líquido (explosivo). Posteriormente, Muller y Bednortz
descubrieron que el óxido de bario, lantano y cobre se convertían en superconductores a temperaturas de los
40K. Posteriormente en los años 1987 se obtuvo un óxido complejo de itrio, cobre y bario con
superconductividades a temperaturas de los 77K. En la actualidad se ha encontrado sustancias conductoras a
temperaturas de los 160K, existiendo la posibilidad de encontrar superconductores a temperatura ambiente.

Si esta hipótesis se lograra cumplir aparecería una enorme modernización con implicancias tecnológicas muy
grandes. Una de las aplicaciones importantes es la fabricación de imanes superconductores, en los que los
campos magnéticos son diez veces mayores a los campos magnéticos producidos por los mejores electroimanes.
En la actualidad los imanes superconductores son usados para obtener imágenes por resonancia magnética en el
campo de la medicina. En la figura 6.11b se muestra una de las aplicaciones de la superconductividad.

(a) (b)

Figura 6.11. (a) Variación de la resistencia con la temperatura para el mercurio, se observa que para temperaturas
inferiores a TC = 4,2K, la resistencia cae súbitamente a cero; (b) Imán permanente pequeño levitando
por encima de un disco superconductor deYBa2Cu3O7 a una temperatura de 77K

6.4 RESISTENCIA ELECTRICA

6.4.1 Ley de Ohm macroscópica.

cuyos extremos se ha aplicado una diferencia de potencial ∆𝑉 = 𝑉 𝑏 − 𝑉𝑎 , la misma que produce un campo
Para obtener una forma más usual de la ley de Ohm para aplicaciones prácticas consideremos un

eléctrico �⃗ y una corriente I.
segmento recto de alambre de longitud L y sección transversal A, como se muestra en la figura 6.12, entre

𝐸

misma que produce un campo �⃗ y como tal una corriente I
𝑬
Figura 6.12. Conductor de longitud L y sección A uniforme al que se le aplica una diferencia de potencial la
ΔV,

276


Asumiendo que el campo �⃗ en el interior es diferente de cero y a la vez uniforme, entonces la diferencia de
𝐸
potencial entre los extremos b y a será

a  
∆V = ∫ E.ds =
− EL (6.26)
b

Despejando el campo eléctrico se tiene

∆V
E= (6.27)
L
Remplazando la ecuación (6.27) en la ecuación (6.24), la densidad de corriente puede escribirse en la forma

∆V
j =σ( ) (6.28)
L

esto es 𝑗 = 𝐼 ⁄ 𝐴, la ecuación (6.28) se transforma en
Teniendo en cuenta que la densidad de corriente es la intensidad de corriente por unidad de área perpendicular,

I σ (∆V ) ∆V
= =
A L ρl

L
∆V =ρ I (6.29)

Es a la cantidad 𝜌( 𝑙⁄ 𝐴), que se le conoce como Resistencia (R), del material, entonces
A

L
R=ρ (6.30)
A
Al remplazar la ecuación (6.30) en (6.29), se obtiene

∆V =RI (6.31)

materiales) entre la diferencia ∆𝑉 con respecto a la intensidad de corriente I o de la densidad de corriente j con
La expresión dada por la ecuación (6.31), se le conoce como ley de Ohm macroscópica, pero es importante
comprender que el verdadero contenido de la ley de Ohm es la proporcionalidad directa (en el caso de ciertos

respecto al campo eléctrico E. La ecuación (6.31) define la resistencia R de cualquier conductor, ya sea que
obedezca la ley de Ohm o no, pero cuando R es constante el correcto llamar ley de Ohm a esta relación

Aun cuando la ecuación (6.31) muestra una relación entre la resistencia, la diferencia de potencial y la
intensidad de corriente, debe precisarse que la resistencia R de cualquier material conductor es totalmente
independiente de la diferencia de potencial aplicada y de la intensidad de corriente, siendo más bien dependiente
de la geometría del conductor y de la naturaleza del material, así por ejemplo si el conductor es recto de longitud
l y sección transversal constante la resistencia R es proporcional a la longitud l e inversamente proporcional al
área de la sección transversal A, siendo la constante de proporcionalidad la resistividadρ

En general, la resistencia R, de cualquier material de forma arbitraria se determina usando la relación
   
∆V
= =
R
∫ E.ds
 =
∫ Eds
.
(6.32)

I ∫∫ j .ndA ∫∫ σ E.ndA
A A

De acuerdo con la ecuación (6.32), la unidad de la resistencia R en el sistema internacional de unidades es el
ohmio, representada por la letra omega del alfabeto griego (Ω). Entonces

1V (6.33)
1Ω =
1A

277


Para el caso de los resistores que obedecen la ley de Ohm, su gráfica intensidad de corriente en función de la
diferencia de potencial es una línea recta como se muestra en la figura 6.13a. En el caso de dispositivos que no
cumplen con la ley de Ohm, la relación intensidad de corriente y diferencia de potencial puede no ser una
proporción directa, y puede ser diferente con respecto a los sentidos de la corriente. La figura 6.13b, muestra la

proporcional a (∆𝑉)3/2 ; mientras que con potenciales negativos la corriente es extremadamente pequeña. El
curva característica para un diodo de vacio utilizado para convertir corriente alterna de alto voltaje en corriente
contínua, Con potenciales positivos en el ánodo con respecto al cátodo, la corriente I es aproximadamente

comportamiento d los diodos semiconductores (figura 6.8c) es algo diferente.

(a) (b) (c)

Figura 6.13. Relación intensidad de corriente: (a) Resistencia óhmica, (b) Diodo de vacío y (c) Diodo semiconductor

6.4.2 Variación de la resistencia con la temperatura.

Se ha visto en la sección 2.7 que la resistividad de un conductor varía de manera lineal con la
temperatura de acuerdo con la ecuación

ρ (T ) = ρ0 [1 + α (T − T0 )]
Por otro lado debido a que la resistencia es proporcional a la resistividad, entonces, se puede escribir la
resistencia del conductor en función de la temperatura, esto es

R (T ) = R0 [1 + α (T − T0 )] 6.34)

6.4.3 Estudio de la resistencia eléctrica..

Un dispositivo utilizado en circuitos de modo que tenga un valor específico de resistencia entre sus
extremos se llama resistor. Se pueden adquirir en el mercado resistores cuyos valores van desde 0,01Ω hasta
107Ω. Los resistores individuales utilizados en instalaciones electr
ónicas tienen la forma de cilindros pequeños
de algunos milímetros de diámetro y de longitud, con alambres que sobresalen de sus extremos, en los cuales se
ha plasmado bandas de colores tal como se muestra en la figura 6.14a y la figura 6.14b se muestra un conjunto
de resistores con bandas de diversos colores.

Figura 6.14. (a) Resistencia óhmica usada en circuitos, (b) Conjunto de resistencias de diversos valores

278


Cada una de estas resistencias está marcado con un código estándar de tres o cuatro bandas de color cerca de
uno de los extremos como se muestra en la figura 6.15a, de acuerdo con el esquema que se muestra en la tabla
II. La primeras dos bandas (a partir del extremo más próximo) son dígitos, y la tercera es un multiplicador de
potencia de diez. Su representación en el lenguaje de circuitos es la mostrada en la figura 6.15b, para una
resistencia fija y la figura 6.15c para una resistencia variable. Otra característica importante de un resistor es la
energía eléctrica que puede disipar sin sufrir daño, esto es la potencia de trabajo.

(a) (b) (b)

Figura 6.15. (a) Resistencia mostrando las bandas de colores e indicando la forma como se determina su valor
mediante el código de colores, (b) representación de una resistencia fija y (c) representación de una
resistencia variable en un circuito.

Tabla II. Código de colores para resistencias

En la figura 6.16a, se muestra las componentes básicas de un resistor y en la figura 6.16b su instalación en
circuitos eléctricos y electrónicos

(a) (b)

Figura 6.16. (a) Componentes de una resistencia y (b) Instalación de resistencias en un circuito

279


Debe indicarse además que los resistores mostrados en las graficas anteriores no son el único tipo de resistencia
que se usa en instalaciones eléctricas y electrónicas. En general también se usan resistencias variables o con los
potenciómetros, los mismos que se muestran en la figura 6.17,

Figura 6.17. Fotografía de varios potenciómetros (resistencias variables)

Una de las resistencia variables muy utilizado en el laboratorio es el Reóstato (Rh), el cual tiene un control
deslizante, y tres conectores (uno en la parte superior y dos en la parte inferior) como se muestra en la figura
6.18a, cuando el reóstato es conectado con la parte superior a un circuito y la parte inferior al otro extremo del
circuito, la resistencia se puede variar mediante el movimiento del control deslizante, controlando de este modo
el flujo de corriente a través del reóstato representada por la línea de color rojo en la fotografía. La figura 6.18b
muestra la representación en el lenguaje circuital del reóstato.

Figura 6.18. (a) Fotografía de un reóstato y (b) representación esquemática de un reóstato.

Por otro lado existen resistencias variables cuya resistencia varía con la variación de temperatura (termistores)
representados en la figura 6.14b y aquellos que varían con la incidencia de la luz (celda fotoconductora)
representada en la figura 6.14b

Figura 6.19. (a) Fotografía de varios termistores y (b) Fotografía de una celda fotoconductora

280


6.7 FUERZA ELECTROMOTRIZ Y CIRCUITOS.

necesario debido a que cuando se establece una diferencia de potencial ∆𝑉, entre sus extremos, aparecerá un
campo eléctrico �⃗ en el interior el mismo que producirá una fuerza eléctrica sobre los portadores de carga
Para que un conductor tenga una corriente constante, dicho conductor debe ser parte de un circuito. Esto es

𝐸
originándose una corriente eléctrica (flujo de portadores de carga) con una densidad de corriente ⃗ = 𝜎𝐸 como
𝐽 �⃗
se muestra en la figura 6.20a. Sin embargo, si el conductor no es parte de un circuito la diferencia de potencial

sentido opuesto �⃗ 𝑖 , el cual cancela al campo aplicado �⃗ 𝑎 , llegando después de dicho tiempo el campo neto en el
aplicada ocasionará que en un tiempo muy pequeño se acumule carga positiva en lado del conductor y en el otro

𝐸 𝐸
se acumule una carga negativa como se ve en la figura 6.20b, dichas carga dan origen a un campo propio de

interior igual a cero y como tal la corriente eléctrica también será nula, como se muestra en la figura 6.20 b

Figura 6.20. (a) El campo originado por la aplicación de una diferencia de potencial genera una corriente, (b) la
corriente provoca una acumulación de carga en los extremos apareciendo un campo inducido que
disminuye el campo original, (c) después de un tiempo muy corto el campo original es cancelado por el
campo inducido siendo el campo neto en el interior nulo.

Por lo tanto, para que una corriente (flujo de carga) se mantenga en el conductor, es necesario que el conductor
esté conectado a un circuito, más aun debe existir un agente externo el cual debe mantener la diferencia de
potencial necesaria para aumentar la energía potencial de las cargas. Este agente no es más sino una fuente de
fem (batería, generador, etc).

6.7.1 Fuerza electromotriz (fem).

de mayor potencial venciendo de esta forma el campo electrostático el que produce una fuerza eléctrica ⃗ 𝐸 =
Se ha dicho que para mantener una corriente eléctrica en un conductor, en alguna parte del circuito debe

𝐹
haber un elemento activo de tal manera que empuje una carga positiva desde un punto de menor potencial a otro

�⃗
𝑞𝐸 . La fuente que hace este trabajo se denomina fuente generadora de fuerza electromotriz o simplemente
fuerza electromotriz ( 𝜀 ), la que ejerce una fuerza ⃗ 𝑛 , sobre los portadores tal como se muestra en la figura 6.21a,
𝐹
llevando los portadores del borne a hacia el borne b. Debemos precisar que el nombre de fuerza electromotriz no
es una fuerza, sino más bien una cantidad de energía por unidad de tiempo, siendo sus unidades las mismas que
las de diferencia de potencial, esto es: el volt (V). Así por ejemplo, una batería utilizada para la linterna tiene
una fem de 1,5 V, es decir, la batería realiza un trabajo de 1J sobre cada coulomb de carga que pasa a través de
ella.

En general se llama fuente generadora de fem a cualquier dispositivo que transforma energía no eléctrica
(mecánica, química, solar, térmica, etc.) en energía potencial eléctrica y la transfiere al circuito al cual se

mantiene sus bornes a una diferencia de potencial constante es decir 𝜀 = 𝑉𝑎 − 𝑉 𝑏 . Por esto es que se define a la
encuentra conectado el dispositivo. Las principales fuentes fem son: las baterías, los generadores eléctricos, las
caldas solares, las pilas termoeléctricas y las celdas de combustibles. Una fuente generadora de fem ideal

ecuación 𝑉𝑎 − 𝑉 𝑏 = 𝜀 − 𝑟𝐼. La figura 6.21a, corresponde a una fuente ideal de fem que mantiene una diferencia
fem como la magnitud de la diferencia de potencial. Sin embargo, en la naturaleza no existe fuente de fem ideal,
ya que todas tienen resistencia interna por tanto la fem se relaciona con la diferencia de potencial mediante la

diferencia de potencial produce un campo electrostático �⃗ el mismo que produce una fuera electrostática
𝐸
de potencial entre sus bornes a y b, siendo el borne a el que se encuentra a mayor potencial que el borne b dicha

⃗ 𝐸 = 𝑞𝐸 sobre una carga positiva. Para mantener dicha diferencia de potencial la fuente de fem hace un trabajo
𝐹 �⃗
no electrostático produciendo una fuerza no electrostática ⃗ 𝑛 sobre la carga +q obligándola a moverse del borne
𝐹
b hacia a. Este trabajo por ejemplo en una batería se debe a la energía química producida en el interior de la
batería producto de las reacciones químicas que en ella se producen.

281


Figura 6.21 (a) diagrama esquemático de una fuente de fem; (b) diagrama de una fuente de fem instalada en un
circuito cerrado

trabajo positivo ( 𝑊 𝑏→𝑎 = 𝑞𝜀 ) sobre la carga, originando un desplazamiento en contra del campo electrostático
por lo tanto la energía potencial asociada a la carga aumenta en una cantidad ( 𝑞∆𝑉 ), por otro lado la fuerza
Cuando se produce el traslado de una carga +q del borne b al borne a, la fuerza no electrostática realiza un

electrostática también ejerce un trabajo pero en este caso es negativo, de tal manera que el trabajo neto es nulo,
es decir no existe variación de energía cinética de la carga. Esto es como si se moviera un cuerpo a velocidad
constante. Pues bien, el aumento de energía potencial en la fuente ideal será igual al trabajo no electrostático, es
decir

qε = Wb→a = q∆V
(6.35)
ε = ∆V
Con la fuente de fem formemos un circuito como se muestra en la figura 6.21b, la diferencia de potencial

∆𝑉 = 𝐼𝑅, con lo cual la ecuación 6,35 se escribe en la forma
establecerá un campo eléctrico en el interior del alambre esto produce un flujo de carga o corriente a través del
conductor de mayor a menor potencial. De acuerdo con la ley de Ohm dicha diferencia de potencial será

ε =V =
∆ IR (6.36)

6.7.2 Resistencia interna de una fem.

entonces la fem ( 𝜀 ) no es igual a la diferencia de potencial ∆𝑉. Esto se debe a que cuando se mueve un portador
En la naturaleza no se encuentra fuente ideal alguna, es decir todas tienen una resistencia interna,

de carga en el interior de la fuente de fem experimenta una oposición (resistencia). Es a esta resistencia que se le

potencial (– 𝑟𝐼), de tal forma que cuando exite flujo de corriente a través de la fuente, la diferencia de potencial
denomina resistencia interna (r) y que si cumple con la ley de Ohm, entonces en ella habrá una caída de

entre los bosrnes será

∆V = ε − rI (6.37)

(– 𝑟𝐼), el aumento de energía potencial que se produce cuando se traslada la carga q de b hasta a es menor que el
Es decir, la diferencia de potencial entre los bornes a y b es inferior a la fuerza electromotriz debido al término

trabajo realizado por la fuente de fem ya que parte de la energía se pierde en la resistencia interna en forma de
calor.

Si se tiene una batería de 9 V, tiene una fem de 9 V, pero la diferencia de potencial entre sus bornes será igual a 9
V si ninguna corriente circula a través de ella. Si la batería es parte de un circuito cerrado la diferencia de
potencial será menor de 9 V. Es decir, en una fuente real la diferencia de potencial entre sus bornes será menor
cuando a través de ella fluya corriente (véase la figura 6.22a) y será igual a la fem si a través de ella no circula
corriente (figura 6.22b).

282


Figura 6.22. (a) Cuando el interruptor está cerrado la diferencia de potencial entre los bornes de la fuente de fem es
menor que la fem; (b) cuando el interruptor se encuentra abierto la diferencia de potencial entre los
bornes es igual a la fem.

elemento pasivo es óhmico (∆𝑉 = 𝑅𝐼 ). Al combinar esta ecuación con la ecuación 6.37, se tiene
La corriente en el circuito externo conectado a los bornes de la fuente sigue cumpliendo con la ley de Ohm si el

ε − rI =
RI
ε
I= (6.38)
r+R
Es decir la corriente en el circuito es igual al cociente de la fem y la resistencia total del circuito (r + R).

El cambio neto de energía potencial de una carga q que recorre un circuito completo debe ser cero. Por tanto, el
cambio neto de diferencias de potencial alrededor del circuito debe ser nulo. Es decir, la suma algebraica de las
diferencias de potencial a través del circuito cerrado debe ser nula. Entonces se tiene

∆Vε + ∆Vr + ∆VR = 0
ε − rI − RI =
0 (6.39)

Aquí se observa que una ganancia de potencial en la fuente de fem se compensa con las pérdidas de energía en
la resistencia interna r y en la resistencia externa R. En la figura 6.23 se observa la variación de potencial a
medida que se recorre un circuito.

Figura 6.23. (a) Diagrama de un circuito en donde se muestra una fuente de fem 𝜺 y resistencia interna r conectada a
un resistor externo R; (b) representación gráfica de las variaciones de potencial a través del circuito
seguido en sentido anti horario.

6.8 ENERGÍA Y POTENCIA EN CIRCUITOS ELECTRICOS.

eléctrico �⃗ , en el interior del mismo, éste campo produce una fuerza eléctrica ⃗𝑒 = −𝑒𝐸 , la misma que acelera a
𝐸 𝐹 �⃗
Cuando se aplica una diferencia de potencial ΔV, entre los extremos de un conductor, aparece un campo

los portadores de carga (electrones) en el metal en un tiempo muy pequeño, haciendo que el conjunto de
electrones incremente su energía cinética. Sin embargo, esta energía cinética rápidamente se convierte en
energía interna del conductor debido a las interacciones (choques) de los electrones con los iones de la

283


estructura cristalina. El aumento de energía interna da lugar a un incremento de la temperatura del conductor (el
conductor se calienta). Este fenómeno se conoce como efecto Joule, el mismo que es aprovechado en el diseño
de un conjunto de dispositivos como por ejemplo: planchas eléctricas, hornillos eléctricos, etc.

recto de longitud ∆𝑙 y sección transversal A, como se muestra en la figura 6.24. En el tiempo ∆𝑡, una carga ∆𝑞
Para determinar la energía transformada, consideremos una porción de alambre en forma de cilindro circular

cual se mantiene a un potencial Vb. Es decir, la carga ∆𝑞 al pasar de un punto de mayor potencial a a otro de
entra por el punto a el cual se encuentra a un potencial Va y una cantidad de carga igual sale por el punto b el

menor potencial b, experimenta una pérdida de energía potencial dada por

∆U =∆q (Vb − Va ) =−(∆V )∆q (6.40)

En donde, Va - Vb, es la disminución o caída de potencial a través del segmento de conductor. La energía
perdida será
−∆U e = (∆V )∆q (6.41)

Dividiendo la ecuación (6.41) entre el tiempo dt, se obtiene la pérdida de energía por unidad de tiempo, la
misma que se expresa como

∆U e ∆q
− =
∆V (6.42)
∆t ∆t

Pero la carga por unidad de tiempo es la intensidad de corriente 𝐼 = ∆𝑞⁄∆𝑡, y la energía por unidad de tiempo es
la potencial eléctrica disipada P en el segmento de conductor. Es decir,

P I (∆V )
= (6.43)

La unidad de la potencia disipada en el sistema internacional de unidades es el Watt (W), es decir

= (1C / s )(1J / s ) (1amperio)(1voltio)
1Watt =
1W = 1A(1V )

Figura 6.24. Diagrama esquemático utilizado para determinar la energía perdida por unidad de tiempo en un
conductor.

6.8.1 Resistencia pura.

Ohm es (∆𝑉 = 𝑅𝐼). Entonces, la potencia disipara en el conductor será
Si el elemento del circuito es un resistor la diferencia de potencial entre los extremos según la ley de

(∆V ) 2 (6.44)
P =I (∆V ) =I 2 R =
R

Es decir, al fluir carga (corriente) a través del resistor, se disipa energía en este elemento razón de I2R. Por esta
razón cada uno de estos elementos vienen especificados con su potencial nominal, es decir debe conocerse la
máxima potencia que el dispositivo puede disipar sin sobrecalentarse y sufrir daños. Debe señalarse además
que ciertos dispositivos como los calentadores eléctricos, se diseñan para transferir calor a su entorno. Pero si se
excede su potencia nominal, esos dispositivos pueden fundirse e incluso estallar.

284


6.8.2 Potencia de salida en una fuente generadora de fem.

La figura 6.25a, representa una fuente de fem ε con una resistencia interna r, conectada mediante
alambres conductores de resistencia despreciable a un circuito externo representado por el rectángulo inferior y
en la figura 6.25b se muestra el circuito correspondiente

Figura 6.25 (a) Circuito eléctrico en donde se realiza la conversión de energía no eléctrica en eléctrica, (b)
Circuito equivalente

La fuente de fem , podría ser la batería de un automóvil cuya resistencia interna es r no es visible a simple
vista, pero podría tener una representación esquemática tal como se muestra en la figura 6.26a, dicha batería se
encuentra instalada al faro de un automóvil como se ve en la figura 6.26b.

Figura 6.25 (a) Batería de un automóvil mostrando la resistencia interna, (b) Batería de un automóvil conectada a
un faro

El potencial del borne a es mayor que el de b, por tanto la corriente fluye convencionalmente desde el borne de
mayor potencial entregándose energía al circuito externo (faro). La rapidez con la que se entrega energía al
circuito será

P = I ∆Vab (6.45)

Para el caso de una fem ε y resistencia interna r, la diferencia de potencial entre los bornes a y b es

∆Vab = a − Vb =ε − rI
V

Remplazando esta ecuación en la ecuación (6.45) resulta

P = I (ε − rI ) =ε I − rI 2 (6.46)

En esta ecuación, el término 𝜀𝐼 representa la rapidez de conversión de energía no eléctrica en energía eléctrica
en el interior de la fuente de fem y el término 𝑟𝐼 2 representa la proporción a la que se disipa energía eléctrica en

285


la resistencia interna de la fuente de fem. La diferencia ε I − rI 2 es la potencia neta útil de la fuente, es decir, la
rapidez a la que la fuente de fem entrega energía eléctrica al resto de circuito.

6.8.3 Potencia de entrada en una fuente generadora de fem.

Si el rectángulo de la parte inferior del circuito mostrado en la figura 6.25a es una fuente cuya fuerza
electromotriz es mayor que la de la fuente de fem mostrada en la parte superior. En la figura 6.27 se muestra un
ejemplo práctico que no es más sino el proceso de carga de una batería de un automóvil (el elemento superior
del circuito) por el alternador del automóvil (el elemento inferior en el circuito). Aquí observamos que el sentido
de la corriente es opuesta al mostrado en la figura 6.26b; es decir, la fuente inferior está empujada en dirección
contraria a través de la fuente de fem superior. Debido a la inversión de esta corriente, la ecuación para la
diferencia d potencial entre los bornes a y b sería

∆Vab = a − Vb =ε + rI
V
Y la potencia sería,

P = I (ε + rI ) =ε I + rI 2 En lugar de que el agente que genera la fuerza no electrostática de la fuente de fem

(cargándose la batería). El término 𝑟𝐼 2 es una vez más la disipación de energía en la fuente de fem y el término
superior realice trabajo sobre los portadores de carga, se está realizando trabajo sobre la fuente de fem. Es decir,
en la fuente de fem superior se está realizándose una conversión de energía eléctrica en energía no eléctrica

(ε I + rI 2 ) es la potencia total de alimentación de la fuente superior. Esto es lo que sucede cuando se conecta
una batería recargable (acumulador) a un cargador. El cargador suministra energía eléctrica a la batería, una
parte de esta energía se transforma en energía química, para someterse más tarde a una reconversión y el reto se
disipa en la resistencia interna de la batería calentando ésta y provocando un flujo de calor hacia fuera de ella.

Figura 6.25 (a) Circuito eléctrico en donde se muestra la conexión de un alternador con una fem (mayor) con
una batería cuya fem es (inferior), este circuito es utilizado para cargar una batería

286


PROBLEMAS RESUELTOS vd = 3, 47.10−7 m / s
1. A través de un conductor de cobre de 1,2 mm de
diámetro fluye una corriente de 2 A. Determine: (a) 3. En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno se
la densidad de corriente, (b) la velocidad de postula que un electrón del más bajo estado de
desplazamiento de los electrones sabiendo que la energía se mueve en una órbita circular de radio
densidad electrónica es n = 2,3 .1029 electrones/m3. a0 = 5,29.10-11 m alrededor de un protón.
Determine la velocidad del electrón, (b) ¿cuál será
Solución la corriente efectiva asociada con el movimiento
del electrón moviéndose en su órbita?.
(a) Cálculo de la densidad de corriente.
Solución
I I 4I
=
j = = En la figura se muestra el movimiento del electrón
A πd / 4 πd2
2
alrededor del núcleo.
4(2 A)
j=
π [1, 2.10−3 m]2
j = 1, 77.106 A / m 2

(b) Cálculo de la velocidad de deriva. La densidad
de corriente y la velocidad de deriva está
relacionada por la ecuación

j = nqe vd
1, 77.10 A / m = 2,3.1029 electrones / m3 (1, 6.10−19 C )vd
6 2 El electrón se encuentra sometido a la fuerza
eléctrica por tanto, aplicando la segunda ley de
newton al movimiento de esta partícula se tiene
vd = 0, 48.10−4 m / s
v2
∑ Fn = man ⇒ Fe = me
2. La densidad del aluminio es de 2,7 g/cm3 y su masa a0
atómica es de 27 g/mol; cada átomo tiene tres
electrones de conducción. (a) Determine el número e2 v2
de electrones por cm3. (b) Si en alambre de k 2
= me
a0 a0
aluminio de 1mm2 de área de sección transversal
fluye una corriente de 10 mA, obtenga la velocidad ke 2 9.109 (1, 6.10−19 )
de deriva de los electrones. =v =
me a0 9,11.10−31 (5, 29.10−11 )
Solución

(a) Cálculo de la densidad electrónica v = 2,19.106 m / s
Debido a que el electrón gira uniformemente, se
(densidad )(# de Abogadro tiene
n = (# de electrones libres / átomo)
Masa atómica
π a0
= 2= vet
S
2π (5, 29.10−11 m) = (2,19.106 m / s )t
23
(2, 7 g / mol )(6, 02.10 at / mol )
n = (3elec / at )
27 g / mol
t = 1,52.10−16 s
n = 1,866.10 electrones / cm
23 3

La corriente total en este tiempo será
(b) Cálculo de la velocidad de deriva
q 1, 6.10−19 C
I I =
I =
j= = nqe vd ⇒ vd = t 1,52.10−16 s
A nqe A
I = 1, 05 mA
10.10−3 A
vd =
1,866.1029 elect / m3 (1, 6.10−19 C )(1.10−6 m 2 ) 4. La cantidad de carga q (en coulombs) que ha
pasado a través de una superficie de área igual a 1,5

287


cm2 varía en función del tiempo según la ecuación convección. Entonces la corriente que fluye a
q = 4t3 + 5t + 6, estando t especifica en segundo. través de la sección M es
(a) ¿Cuál es la corriente instantánea que pasa a
través de la superficie en t = 2s? (b) ¿Cuál es el q λq (2π R)
=
I =
valor de la densidad de corriente?. t 2π / ω
I = λqω R
Solución
6. Con una masa de 5 g de cobre se desea fabricar un
(a) Corriente instantánea en t = 2 s alambre el cual debe tener una resistencia R = 0,8
Ω y se d e utilizar todo el cobre disponible.
be
dq d Asumiendo que no se pierde ninguna cantidad de
I (t ) = = (4t 3 + 5t + 6) cobre y que las propiedades del material se
dt dt mantienen sin ser modificadas antes y después de
I= 12t 2 + 5
(t ) realizar la fabricación del alambre. Determine: 8ª)
la longitud del alambre fabricado y el diámetro de
= 12(2) 2 + 5
I2 este alambre.
I 2 = 53 A
Solución
(b) La densidad de corriente será
(a) Cálculo de la longitud del alambre. De acuerdo
I 53 A a la definición de densidad de masa se tiene
=
j =
A 1,5.10−4 m 2 m
ρm = ⇒ m = ρ mV = ρ m ( A L)
j = 35,3 A / m 2
V
m
A=
5. Sobre un anillo de radio R se ha distribuido ρm L
uniformemente una densidad de carga lineal λq. Si a
este anillo se hace rotar alrededor de su eje con una
rapidez angular ω. Determine la corriente de De la definición de resistencia tenemos
convección en un punto del anillo.
L
Solución R=ρ
A
En la figura se muestra el anillo L ρ m L2
= ρ
R = ρ
m / ρm L m
8,92.193 kg / m3 ( L2 )
= 1, 7.10−8 Ω.m
0,8Ω
5.10−3 kg
L = 5,14 m

(b) Cálculo del diámetro del alambre

m m m
ρ= = =
V L( A) L(π d 2 / 4)
m

4m 4(5.10−3 kg )
La carga total que pasa por la sección transversal =d =
será π Lρm π (5,14m)(8,92.193 kg / m3 )

dq q d = 0,138.10−3 m
= λq
=
dl l
7. Un cubo sólido de plata cuya densidad es
= λq (lC ) λq (2π R)
q = 10,5 g/cm3 tiene una masa de 90 g. (a) ¿Cuál será la
Al hacer girar al anillo en torno al eje z, la rotación resistencia eléctrica entre dos caras opuestas si
da lugar a la aparición de una corriente de entre ellas se establece una diferencia de potencial
de 1.10-5 V?, (b) Si cada átomo de plata contribuye

288


con un electrón de conducción, determine la (10,5 g / cm3 )(6, 02.1023 at / mol )
velocidad de deriva de los electrones cuando se n = (1elec / at )
aplica la diferencia de potencial del inciso (a). Se 107,87 g / mol
sabe que el número atómico de la plata es 47 y su n = 5,86.1028 electrones / m3
masa molar es de 107,87 g/mol.
De la definición de densidad de corriente se tiene
Solución

En la figura se muestra el cubo sometido a la I I
j= = nqe vd ⇒ vd =
diferencia de potencial A nqe A
12,9 A
vd =
5,86.10 elect / m3 (1, 6.10−19 C )(2, 05m 2 ) 2
28

vd = 3, 28µ m / s

8. Durante un viaje por el desierto de Sahara en un día
en que la temperatura era de 58°C un alumno
encontró que al aplicar a los extremos de un
alambre una diferencia de potencial ΔV a travs de
é
Se procede a determinar el avlor de la arista del
dicho alambre fluía una intensidad de corriente de
cubo L. De la definición de densidad de masa
1,00 A. Si posteriormente viaja a la Antártida y en
tenemos.
dicho lugar aplica la misma diferencia a los
extremos del alambre. ¿Cuál será la intensidad de
corriente registrada en un día en que la temperatura
m m
ρ=
m = es de -88°C?. Suponga que el alambre no ha sufrido
V L3 cambios en forma y dimensiones.
m 90 g
=L 3= 3 Solución
ρm 10, 5 g / cm3
La resistencia mediada a la temperatura de 58°C es
L = 2, 05cm
(a) La resistencia entre las caras opuestas será R =R0 [1 + α (TH − T0 )]
L L ρ R R0 [1 + α (58°C − 20°C )]
=
= ρ
R = ρ=
A L2 L = R0 (1 + 38α ) (1)
R
1,59.10−8 Ω.m La resistencia medita a temperaturas bajas será
R=
2, 05,10−2 m R ' =R0 [1 + α (TF − T0 )]
−7
R = 777.10 Ω R= R0 [1 + α (−88°C − 20°C )]
'
(b) Para determinar la velocidad de deriva de los
electrones primero se calcula la intensidad de = R0 (1 − 108α )
R' (2)
corriente que fluye por el material, para ello se
aplica la ley de Ohm De la aplicación de la ley de OHM se tiene para
temperaturas altas
L = 5,14 m
∆V = IR ⇒ ∆V = I H [ R0 (1 + 38α )] (3)
∆V =IR
1.10−= I= 777.10−7 Ω)
5
V (R Y para temperaturas bajas es

I = 12,9 A ∆V = IR ' ⇒ ∆V = I F [ R0 (1 − 108α )] (4)
La densidad electrónica está dada por De las ecuaciones (3) y (4) se tiene

(densidad )(# de Abogadro
n = (# elect / at )
Masa atómica

289


[ R0 (1 + 38α )] ∆V ∆V
IF = IH =
P =
[ R0 (1 − 108α )] R ρ (b − a)
[1 + 38(3,9.10−3 )] 4π ab
I F = 1A 4π ab∆V
[1 − 108(3,9.10−3 )] P=
ρ (b − a)
I F = 1,987 A

9. A una esfera maciza de hierro de radio b, con una
cavidad de radio a, se le aplica una diferencia de
potencial ΔV entre el interior y el exterior de
manera que fluye una corriente radial uniforme
como se muestra en la figura. Si el material entre
las cáscaras es débilmente conductor con una
resistividad ρ. Encuentre: (a) La resistencia
eléctrica, (b) la potencia disipada.

Solución

(a) Para determinar la resistencia total primero se
divide a la esfera hueca en elementos
diferenciales en forma de cascarones de radio
interno r y espesor dr, como se muestra en la
figura.

La resistencia de este elemento diferencial es
dr
dR = ρ
4π r 2
ρ b dr
∫ dR = 4π ∫a r 2
ρ  1 1  ρ (b − a)
=
R − =
4π  a b 
  4π ab
(b) La potencia disipada será

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PROBLEMAS PROPUESTOS. alambre de ese metal de 1 mm de diámetro.(a)
¿Cuál es su resistencia?. (b) si el alambre se estira
10. Un conductor de sección transversal uniforme lleva uniformemente hasta una longitud de 50 km. ¿Qué
una corriente de 5 A. ¿Cuántos electrones fluyen valor tendrá la nueva resistencia?.
por un punto dado en 1 min.
21. La atmósfera lleva cargas positivas hacia la
11. En un proceso de galvanostegia (o electro superficie terrestre y retira cargas negativas de ésta.
chapeado) se han transmitido 40000C a una La corriente total es de 1800 A. Suponga que el
corriente de 10 A. ¿Qué tiempo se necesita?. flujo de carga es simétrico con respecto a la
superficie de la tierra, halle la magnitud de la
12. La densidad del cobre es de 9 g/cm3 y tiene un densidad de corriente en dicha superficie. El campo
electrón de conducción por átomo. En un alambre eléctrico en la mencionada superficie es de 100
cuya sección transversal uniforme tiene 0,1 cm de V/m, en dirección hacia aquella. Determine la
diámetro, se establece una corriente constante de conductividad eléctrica del aire cerca de la
50 A. Determine: (a) la densidad de corriente y (b) superficie de la tierra.
la velocidad media de los electrones.
22. La banda de un generador van de Graff es de 75 cm
13. La resistividad del cobre a 20°C es de 1,7 .10-8 de ancho y se mueve a 30 m/s. Si transmite una
Ω.m. ¿Cuál es a esta temperatura la resistencia de corriente de 2.10-4 A a la esfera colectora, obtenga
un alambre de cobre de 5 m de longitud si el radio la densidad superficial de carga en la banda.
de su sección transversal circular es 0,1 cm?.
23. Una varilla de aluminio tiene una resistencia de
14. Un alambre de aluminio de longitud l y sección 1,234 Ω a 20 °C. Determine la resistencia de la
transversal circular con un radio r tiene un varilla a 120 °C, tomando en cuenta los cambios
resistencia R. Determine el factor por el que queda tanto en la resistividad como en las dimensiones de
multiplicada la resistencia en cada uno de los la varilla.
siguientes casos: (a) se duplica la longitud del
alambre, (b) Se triplica la longitud del alambre y se 24. Se calienta una barra de cobre desde 20 °C hasta
disminuye el radio a r/3 y c) se duplica l y r. 200 °C y se estira uniformemente al doble de su
longitud inicial, no cambiando su volumen. Si
15. La densidad de corriente en un alambre largo y inicialmente su longitud era de 1 m y su resistencia
era 0,02 Ω. Determine: (a) elárea transversal antes

de acuerdo con la relación 𝑗 = 𝜆 𝑟, en d ond e λ es
recto con sección transversal circular de radio R,
varía con la distancia desde el centro del alambre de ser estirada y (b) la resistencia de la misma
después de su estiramiento y de la elevación de la
una constante positiva. Determine la intensidad de temperatura.
corriente que fluye por el alambre.
25. Una bobina circular de alambre de aluminio de
16. El área transversal de un riel de acero es de 30 cm2. 0,254 mm de diámetro tiene 400 vueltas y su
Si la resistividad de este material es 6.10-7Ω.m. diámetro medio es de 17,78 mm. La resistividad del
determine la resistencia de un riel de 6 km de largo. alambre a 20 °C es 2,8.10-8 Ω.m. Si entre los
extremos de la bobina se aplica una tensión de 12
17. Las dimensiones de un bloque de hierro como un V. Determine: (a) la corriente que fluye en el
sólido de sección rectangular son de 2 cm x 3 cm x alambre y (b) el calor desprendido durante un
100 cm. Su resistividad a 20°C es igual a 1.10-7 intervalo de 5 min.
Ω.m. Determine la resistencia entre las tres pares de
caras opuestas. 26. En una instalación hidroeléctrica, una turbina
suministra 1500 hp a un generador, el cual a su vez,
18. Una barra de cobre mide 0,1 m x 0,3 m por 5 m. Si transforma 80% de la energía mecánica en
la resistividad del cobre es de 1,7.10-8 Ω.m. transmisión eléctrica. En estas condiciones, ¿Qué
Determine la resistencia del alambre si la corriente corriente entrega el generador a una diferencia de
fluye a lo largo de la longitud de la misma. potencial terminal de 2 kV?.

19. Una barra metálica con 12 m de longitud contiene 27. Un calentador de inmersión de 350 W opera en una
6.1025 electrones libres. Si en la barra fluye una línea de 120 V, y se utiliza para elevar la
corriente de 3 A evalué la velocidad de deriva de temperatura de 250 cm3 de agua desde 27 °C hasta
los electrones. el punto de ebullición. (a) determine la corriente
que pasa a través del calentador, (b) ¿Con qué
20. La resistividad del aluminio es de 1,6.10-8 Ω.m a rapidez se transmite energía al agua?. (c) ¿Cuánto
20°C. Se quiere hacer una bobina con 25 km de tiempo se requiere para que hierva esta cantidad de

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