Este manual presenta los conceptos matemáticos básicos necesarios para la educación media superior, incluyendo: (1) los sistemas de numeración y operaciones con números reales e irracionales; (2) ecuaciones, funciones e inecuaciones lineales y cuadráticas; (3) ecuaciones y sistemas de ecuaciones racionales; y (4) geometría plana y elementos de trigonometría. Explica los conjuntos numéricos, sus propiedades y operaciones, así como ejemplos y ejercicios para cada tema.
El documento resume conceptos matemáticos fundamentales como funciones, conjuntos, diagramas y relaciones. Define una función como una relación que asigna un único elemento del conjunto de llegada a cada elemento del conjunto de partida. Explica que los diagramas sagitales y tabulares se usan para representar relaciones mediante pares ordenados. Además, describe las leyes de correspondencia que rigen las relaciones entre conjuntos en diferentes diagramas.
Este documento resume los principales conceptos de la teoría de conjuntos y los conjuntos numéricos. Define lo que es un conjunto, sus elementos y propiedades como ser finito o infinito. Explica operaciones básicas con conjuntos como unión, intersección y diferencia. Luego introduce los conjuntos numéricos de naturales, enteros, racionales y reales junto con sus propiedades. Finalmente, cubre temas como números primos, divisibilidad y cálculo del mínimo común múltiplo y máximo común divisor.
Par ordenado producto cartesiano- Definición De RelacionesEvelyn Benítez
El documento define los conceptos de par ordenado y producto cartesiano. Un par ordenado es una colección ordenada de elementos donde el primer elemento es el primero de la lista, y así sucesivamente. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los pares ordenados formados por un elemento de A y uno de B. Se proveen ejemplos ilustrativos de estos conceptos.
Este documento presenta información sobre relaciones, grafos y sus representaciones. Explica que una relación es un vínculo entre dos conjuntos, y que un grafo representa relaciones entre elementos mediante nodos y aristas. También describe cómo representar relaciones y grafos usando matrices, diagramas de flechas y otros métodos.
Este documento presenta el programa de la asignatura Matemática Aplicada a la Economía. Introduce conceptos básicos de teoría de conjuntos y funciones, y explica que el curso se enfocará en aplicar estas herramientas matemáticas para resolver problemas económicos relevantes, en lugar de enfocarse en la demostración de teoremas. El programa incluye temas como matrices, funciones de una y varias variables, derivadas, integrales, optimización y más, con ejemplos de su aplicación en economía.
El documento presenta un taller matemático que cubre temas sobre conjuntos y operaciones con conjuntos como unión, intersección y complemento. También introduce conceptos como subconjuntos, conjunto vacío, conjunto unitario y conjunto de las partes. Finalmente, explica que el álgebra de Boole de las partes de un conjunto verifica propiedades como idempotencia, conmutatividad, asociatividad, absorción y distribución.
Este documento presenta un resumen de los temas vistos en la asignatura de Matemática I. Introduce los conceptos de conjunto, operaciones con conjuntos, y los diferentes tipos de números reales como naturales, enteros, racionales e irracionales. Explica las operaciones básicas que se pueden realizar con números reales como suma, resta, multiplicación y división.
Este documento presenta conceptos básicos de la teoría de conjuntos, incluyendo: (1) la definición de conjunto y sus elementos, (2) métodos para definir conjuntos (extensión y comprensión), (3) tipos especiales de conjuntos (universo, vacío, equivalentes, disjuntos, subconjuntos), y (4) operaciones entre conjuntos (unión, intersección, diferencia, complemento) y su representación gráfica mediante diagramas de Venn. Se proveen ejemplos para ilustrar cada uno de estos conceptos.
El documento resume conceptos matemáticos fundamentales como funciones, conjuntos, diagramas y relaciones. Define una función como una relación que asigna un único elemento del conjunto de llegada a cada elemento del conjunto de partida. Explica que los diagramas sagitales y tabulares se usan para representar relaciones mediante pares ordenados. Además, describe las leyes de correspondencia que rigen las relaciones entre conjuntos en diferentes diagramas.
Este documento resume los principales conceptos de la teoría de conjuntos y los conjuntos numéricos. Define lo que es un conjunto, sus elementos y propiedades como ser finito o infinito. Explica operaciones básicas con conjuntos como unión, intersección y diferencia. Luego introduce los conjuntos numéricos de naturales, enteros, racionales y reales junto con sus propiedades. Finalmente, cubre temas como números primos, divisibilidad y cálculo del mínimo común múltiplo y máximo común divisor.
Par ordenado producto cartesiano- Definición De RelacionesEvelyn Benítez
El documento define los conceptos de par ordenado y producto cartesiano. Un par ordenado es una colección ordenada de elementos donde el primer elemento es el primero de la lista, y así sucesivamente. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los pares ordenados formados por un elemento de A y uno de B. Se proveen ejemplos ilustrativos de estos conceptos.
Este documento presenta información sobre relaciones, grafos y sus representaciones. Explica que una relación es un vínculo entre dos conjuntos, y que un grafo representa relaciones entre elementos mediante nodos y aristas. También describe cómo representar relaciones y grafos usando matrices, diagramas de flechas y otros métodos.
Este documento presenta el programa de la asignatura Matemática Aplicada a la Economía. Introduce conceptos básicos de teoría de conjuntos y funciones, y explica que el curso se enfocará en aplicar estas herramientas matemáticas para resolver problemas económicos relevantes, en lugar de enfocarse en la demostración de teoremas. El programa incluye temas como matrices, funciones de una y varias variables, derivadas, integrales, optimización y más, con ejemplos de su aplicación en economía.
El documento presenta un taller matemático que cubre temas sobre conjuntos y operaciones con conjuntos como unión, intersección y complemento. También introduce conceptos como subconjuntos, conjunto vacío, conjunto unitario y conjunto de las partes. Finalmente, explica que el álgebra de Boole de las partes de un conjunto verifica propiedades como idempotencia, conmutatividad, asociatividad, absorción y distribución.
Este documento presenta un resumen de los temas vistos en la asignatura de Matemática I. Introduce los conceptos de conjunto, operaciones con conjuntos, y los diferentes tipos de números reales como naturales, enteros, racionales e irracionales. Explica las operaciones básicas que se pueden realizar con números reales como suma, resta, multiplicación y división.
Este documento presenta conceptos básicos de la teoría de conjuntos, incluyendo: (1) la definición de conjunto y sus elementos, (2) métodos para definir conjuntos (extensión y comprensión), (3) tipos especiales de conjuntos (universo, vacío, equivalentes, disjuntos, subconjuntos), y (4) operaciones entre conjuntos (unión, intersección, diferencia, complemento) y su representación gráfica mediante diagramas de Venn. Se proveen ejemplos para ilustrar cada uno de estos conceptos.
Este documento presenta un taller sobre conceptos matemáticos básicos como conjuntos, operaciones con conjuntos, subconjuntos, unión e intersección. Explica los conjuntos vacío y unitario, y define el conjunto de partes de un conjunto. Finalmente, describe cómo el álgebra de Boole se aplica a los subconjuntos de un conjunto universal al verificar propiedades como conmutatividad, asociatividad, distribución y complementariedad.
La evolución de los números reales comenzó con las fracciones egipcias hace 3000 años y los números irracionales griegos hace 2500 años. Los números negativos fueron desarrollados por matemáticos indios y chinos hace 1400 años, pero no se usaron ampliamente en Europa hasta el siglo 17. La definición rigurosa de los números reales fue establecida por Georg Cantor en 1871 usando teoría de conjuntos.
Guia trabajo uno_en_casa_trigonometria_2021_(1)ximenazuluaga3
El documento presenta una guía de aprendizaje para estudiantes de décimo grado sobre trigonometría. Explica brevemente la evolución histórica de los conjuntos numéricos, desde los números naturales hasta los números complejos. Luego, describe los objetivos y niveles de desempeño esperados para los estudiantes en el tema de trigonometría.
Definición de conjuntos, operaciones con conjuntos, números reales, desigualdades,valor absoluto, plano numérico, representación gráfica de las cónicas
Este documento define y explica conceptos básicos de conjuntos matemáticos. Introduce los conjuntos numéricos fundamentales como N, Z, Q, R y C, y explica que un conjunto es una colección de objetos bien definidos. Describe formas de representar conjuntos, relaciones entre ellos como subconjuntos e intersección, y operaciones como unión y producto cartesiano.
Los números imaginarios forman parte de los números complejos y son el producto de un número real por la unidad imaginaria i. La unidad imaginaria i permite encontrar soluciones a ecuaciones que no tienen solución en los números reales. Ejemplos de números imaginarios incluyen (3, 4), (2, -3), (0, 5), siendo los números imaginarios puros aquellos cuyo primer componente es nulo como (0, 5).
Presentacion de Matemáticas "TEMAS QUE TE PUEDEN AYUDAR"MaraFalcn3
En este trabajo se ve reflejado todos estos temas con sus respectivos ejercicios
Definición de Conjuntos.
Operaciones con conjuntos.
Números Reales
Desigualdades.
Definición de Valor
Absoluto
Desigualdades con
Valor Absoluto
Este documento explica los conceptos básicos de conjuntos y operaciones con conjuntos como la unión, intersección y diferencia. También define los números reales y sus clasificaciones como naturales, enteros, racionales e irracionales. Finalmente, presenta las propiedades de los números reales como la conmutativa, asociativa y distributiva, así como conceptos como desigualdades y valor absoluto.
Este documento presenta información sobre la teoría de conjuntos y lógica matemática. Explica conceptos como conjuntos, operaciones de conjuntos, diagramas de Venn, y define la lógica como la ciencia que estudia la estructura y validez de los argumentos lógicos. También resume las preguntas de una actividad de retorno sobre conjuntos, definiendo intuitivamente un conjunto como una colección de objetos y cómo se representan gráficamente los conjuntos usando diagramas de Venn.
El documento presenta información sobre sumatorias. Introduce el concepto de sumatoria como una forma abreviada de denotar la suma sucesiva de los términos de una secuencia. Explica que las sumatorias tienen múltiples aplicaciones en ingeniería y otras áreas. Luego, resume cinco propiedades clave de las sumatorias simples y siete propiedades de las sumatorias dobles. Finalmente, presenta dos ejercicios de aplicación de conceptos sobre sumatorias.
Este documento presenta los conceptos básicos de álgebra necesarios para economistas, incluyendo números reales, ecuaciones de primer y segundo grado. Explica las propiedades de la suma y multiplicación de números reales, y cómo resolver ecuaciones de primer grado y ecuaciones cuadráticas mediante el método de completar cuadrados o la fórmula general. El objetivo es que los estudiantes reconozcan estas herramientas y puedan aplicarlas para resolver problemas económicos.
Este documento presenta definiciones y clasificaciones de varios temas fundamentales de álgebra como ecuaciones, inecuaciones, expresiones algebraicas, sumatorias, productorias, triángulos y funciones. También define brevemente la ciencia de la geometría analítica como la combinación del álgebra y la geometría para describir figuras geométricas desde una perspectiva algebraica y geométrica.
Este documento trata sobre los conceptos básicos de conjuntos. Define un conjunto como una colección de objetos considerada como un objeto en sí mismo. Explica conceptos como el conjunto universal, diagramas de Venn, subconjuntos, operaciones entre conjuntos como unión, intersección, complemento y diferencia. También cubre leyes algebraicas de conjuntos y el producto cartesiano de dos conjuntos.
Este documento presenta información sobre matrices. Introduce definiciones básicas de matrices, incluyendo tipos como matrices cuadradas, matrices identidad y matrices escalares. Explica operaciones como suma de matrices. El objetivo es resolver problemas sobre matrices utilizando estas definiciones y propiedades.
El documento describe los conceptos básicos de álgebra, incluyendo símbolos algebraicos como números, letras, operaciones y signos de agrupación. Explica las propiedades de los números reales como la adición, multiplicación, y prioridad de operaciones. También cubre conceptos como valor absoluto y notación exponencial.
Este documento presenta un resumen de la teoría de conjuntos. Brevemente describe el origen histórico de la teoría, desde Bolzano hasta Cantor y Zermelo. Luego introduce conceptos básicos como conjunto, elemento, pertenencia, vacío, universal, inclusión e igualdad. Finalmente explica notaciones como { }, , y propiedades como que todo conjunto está incluido en sí mismo y el vacío está incluido en cualquier conjunto.
Este documento presenta los integrantes del proyecto: Iván Wilfredo Colque Ramos, Miguel Ángel Lara Nava y José Arturo Gómez. A continuación, define conceptos básicos de teoría de conjuntos como conjunto, elemento, cardinalidad y operaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad, disyunción y conjunto de conjuntos.
Este documento presenta una introducción a las operaciones básicas con polinomios. Explica los antecedentes históricos del álgebra desde el siglo XVII a.C. hasta el siglo XVII d.C. Define conceptos básicos como monomio, polinomio, grado de un término y grado de un polinomio. Además, describe la notación y terminología algebraica utilizada para representar cantidades conocidas y desconocidas.
Este documento presenta la asignatura de Matemáticas Operativas de la Universidad Católica de Oriente. Explica que la asignatura busca formar a los estudiantes en fundamentos matemáticos aplicables. Luego, describe los diferentes conjuntos numéricos como naturales, enteros, racionales, irracionales y reales, e introduce la unidad sobre conjuntos numéricos, incluyendo sus objetivos y ejes temáticos.
El documento describe el álgebra como la rama de las matemáticas que utiliza letras para representar relaciones aritméticas. Las operaciones fundamentales del álgebra son la adición, sustracción, multiplicación, división y cálculo de raíces. El álgebra clásica resuelve ecuaciones utilizando símbolos en lugar de números específicos y operaciones aritméticas.
Los números reales son la base del estudio del cálculo. Se caracterizan por satisfacer seis propiedades fundamentales como la cerradura, las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva, y la existencia de elementos neutros e inversos, lo que los define como un campo. Estas pocas propiedades permiten demostrar todas las demás propiedades algebraicas de los números reales.
Este documento presenta diferentes operaciones básicas sobre números reales, incluyendo potencias, radicación y potencias fraccionarias. Define formalmente cada operación y sus propiedades. Incluye ejemplos y ejercicios para practicar el uso correcto de estas operaciones y propiedades. El objetivo es que los estudiantes conozcan y apliquen estas operaciones al resolver problemas matemáticos.
Este documento presenta un taller sobre conceptos matemáticos básicos como conjuntos, operaciones con conjuntos, subconjuntos, unión e intersección. Explica los conjuntos vacío y unitario, y define el conjunto de partes de un conjunto. Finalmente, describe cómo el álgebra de Boole se aplica a los subconjuntos de un conjunto universal al verificar propiedades como conmutatividad, asociatividad, distribución y complementariedad.
La evolución de los números reales comenzó con las fracciones egipcias hace 3000 años y los números irracionales griegos hace 2500 años. Los números negativos fueron desarrollados por matemáticos indios y chinos hace 1400 años, pero no se usaron ampliamente en Europa hasta el siglo 17. La definición rigurosa de los números reales fue establecida por Georg Cantor en 1871 usando teoría de conjuntos.
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El documento presenta una guía de aprendizaje para estudiantes de décimo grado sobre trigonometría. Explica brevemente la evolución histórica de los conjuntos numéricos, desde los números naturales hasta los números complejos. Luego, describe los objetivos y niveles de desempeño esperados para los estudiantes en el tema de trigonometría.
Definición de conjuntos, operaciones con conjuntos, números reales, desigualdades,valor absoluto, plano numérico, representación gráfica de las cónicas
Este documento define y explica conceptos básicos de conjuntos matemáticos. Introduce los conjuntos numéricos fundamentales como N, Z, Q, R y C, y explica que un conjunto es una colección de objetos bien definidos. Describe formas de representar conjuntos, relaciones entre ellos como subconjuntos e intersección, y operaciones como unión y producto cartesiano.
Los números imaginarios forman parte de los números complejos y son el producto de un número real por la unidad imaginaria i. La unidad imaginaria i permite encontrar soluciones a ecuaciones que no tienen solución en los números reales. Ejemplos de números imaginarios incluyen (3, 4), (2, -3), (0, 5), siendo los números imaginarios puros aquellos cuyo primer componente es nulo como (0, 5).
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En este trabajo se ve reflejado todos estos temas con sus respectivos ejercicios
Definición de Conjuntos.
Operaciones con conjuntos.
Números Reales
Desigualdades.
Definición de Valor
Absoluto
Desigualdades con
Valor Absoluto
Este documento explica los conceptos básicos de conjuntos y operaciones con conjuntos como la unión, intersección y diferencia. También define los números reales y sus clasificaciones como naturales, enteros, racionales e irracionales. Finalmente, presenta las propiedades de los números reales como la conmutativa, asociativa y distributiva, así como conceptos como desigualdades y valor absoluto.
Este documento presenta información sobre la teoría de conjuntos y lógica matemática. Explica conceptos como conjuntos, operaciones de conjuntos, diagramas de Venn, y define la lógica como la ciencia que estudia la estructura y validez de los argumentos lógicos. También resume las preguntas de una actividad de retorno sobre conjuntos, definiendo intuitivamente un conjunto como una colección de objetos y cómo se representan gráficamente los conjuntos usando diagramas de Venn.
El documento presenta información sobre sumatorias. Introduce el concepto de sumatoria como una forma abreviada de denotar la suma sucesiva de los términos de una secuencia. Explica que las sumatorias tienen múltiples aplicaciones en ingeniería y otras áreas. Luego, resume cinco propiedades clave de las sumatorias simples y siete propiedades de las sumatorias dobles. Finalmente, presenta dos ejercicios de aplicación de conceptos sobre sumatorias.
Este documento presenta los conceptos básicos de álgebra necesarios para economistas, incluyendo números reales, ecuaciones de primer y segundo grado. Explica las propiedades de la suma y multiplicación de números reales, y cómo resolver ecuaciones de primer grado y ecuaciones cuadráticas mediante el método de completar cuadrados o la fórmula general. El objetivo es que los estudiantes reconozcan estas herramientas y puedan aplicarlas para resolver problemas económicos.
Este documento presenta definiciones y clasificaciones de varios temas fundamentales de álgebra como ecuaciones, inecuaciones, expresiones algebraicas, sumatorias, productorias, triángulos y funciones. También define brevemente la ciencia de la geometría analítica como la combinación del álgebra y la geometría para describir figuras geométricas desde una perspectiva algebraica y geométrica.
Este documento trata sobre los conceptos básicos de conjuntos. Define un conjunto como una colección de objetos considerada como un objeto en sí mismo. Explica conceptos como el conjunto universal, diagramas de Venn, subconjuntos, operaciones entre conjuntos como unión, intersección, complemento y diferencia. También cubre leyes algebraicas de conjuntos y el producto cartesiano de dos conjuntos.
Este documento presenta información sobre matrices. Introduce definiciones básicas de matrices, incluyendo tipos como matrices cuadradas, matrices identidad y matrices escalares. Explica operaciones como suma de matrices. El objetivo es resolver problemas sobre matrices utilizando estas definiciones y propiedades.
El documento describe los conceptos básicos de álgebra, incluyendo símbolos algebraicos como números, letras, operaciones y signos de agrupación. Explica las propiedades de los números reales como la adición, multiplicación, y prioridad de operaciones. También cubre conceptos como valor absoluto y notación exponencial.
Este documento presenta un resumen de la teoría de conjuntos. Brevemente describe el origen histórico de la teoría, desde Bolzano hasta Cantor y Zermelo. Luego introduce conceptos básicos como conjunto, elemento, pertenencia, vacío, universal, inclusión e igualdad. Finalmente explica notaciones como { }, , y propiedades como que todo conjunto está incluido en sí mismo y el vacío está incluido en cualquier conjunto.
Este documento presenta los integrantes del proyecto: Iván Wilfredo Colque Ramos, Miguel Ángel Lara Nava y José Arturo Gómez. A continuación, define conceptos básicos de teoría de conjuntos como conjunto, elemento, cardinalidad y operaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad, disyunción y conjunto de conjuntos.
Este documento presenta una introducción a las operaciones básicas con polinomios. Explica los antecedentes históricos del álgebra desde el siglo XVII a.C. hasta el siglo XVII d.C. Define conceptos básicos como monomio, polinomio, grado de un término y grado de un polinomio. Además, describe la notación y terminología algebraica utilizada para representar cantidades conocidas y desconocidas.
Este documento presenta la asignatura de Matemáticas Operativas de la Universidad Católica de Oriente. Explica que la asignatura busca formar a los estudiantes en fundamentos matemáticos aplicables. Luego, describe los diferentes conjuntos numéricos como naturales, enteros, racionales, irracionales y reales, e introduce la unidad sobre conjuntos numéricos, incluyendo sus objetivos y ejes temáticos.
El documento describe el álgebra como la rama de las matemáticas que utiliza letras para representar relaciones aritméticas. Las operaciones fundamentales del álgebra son la adición, sustracción, multiplicación, división y cálculo de raíces. El álgebra clásica resuelve ecuaciones utilizando símbolos en lugar de números específicos y operaciones aritméticas.
Los números reales son la base del estudio del cálculo. Se caracterizan por satisfacer seis propiedades fundamentales como la cerradura, las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva, y la existencia de elementos neutros e inversos, lo que los define como un campo. Estas pocas propiedades permiten demostrar todas las demás propiedades algebraicas de los números reales.
Este documento presenta diferentes operaciones básicas sobre números reales, incluyendo potencias, radicación y potencias fraccionarias. Define formalmente cada operación y sus propiedades. Incluye ejemplos y ejercicios para practicar el uso correcto de estas operaciones y propiedades. El objetivo es que los estudiantes conozcan y apliquen estas operaciones al resolver problemas matemáticos.
Este documento presenta un proyecto de inversión para el cultivo del árbol de Neem como materia prima destinada al sector industrial. El proyecto consiste en la reforestación de 50 hectáreas en la Península de Santa Elena, de las cuales 20 hectáreas serán destinadas a la creación de una reserva ecológica y las 30 hectáreas restantes se aprovecharán para la siembra, cultivo y posterior comercialización e industrialización de la madera de Neem. El estudio incluye un análisis de mercado de la demanda y
O documento descreve um sistema de marketing multinível chamado Binário Inteligente que oferece planos Bronze, Prata e Ouro para posicionamento em um binário. Os membros recebem bônus com base nos pontos gerados pelas vendas de sua equipe menor no binário.
O documento discute sistemas de numeração, incluindo binário, octal, decimal e hexadecimal. Ele explica que esses sistemas são fundamentais para entender a arquitetura de computadores e periféricos. O documento também descreve como o sistema decimal funciona usando algarismos de 0 a 9 e como converter números decimais para potências de 10.
El documento explica los conceptos de potenciación, radicación y logaritmación. La potenciación implica multiplicar un factor por sí mismo un número determinado de veces, llamado exponente. La radicación es la operación inversa a la potenciación. Los logaritmos representan el exponente al que hay que elevar una base para obtener un número dado.
El documento explica tres operaciones matemáticas: la potenciación, la radicación y la logaritmación. La potenciación implica multiplicar un número por sí mismo varias veces usando un exponente. La radicación es la operación inversa que encuentra la base. La logaritmación también es inversa y encuentra el exponente, llamado logaritmo. Cada operación tiene términos específicos como la base, el exponente y el resultado de la potenciación.
Definición de Conjuntos.docx UNIDAD 2 YESSENIA DAZA 30353142.docxYesseniaDaza1
El documento define conjuntos y sus propiedades. Explica que un conjunto es una colección de elementos que comparten características y que se representan con letras mayúsculas. Describe operaciones básicas con conjuntos como unión, intersección y diferencia. También define conceptos matemáticos como números reales, desigualdades y valor absoluto.
1) El documento habla sobre conjuntos y sus elementos. Un conjunto contiene objetos llamados elementos que pueden ser cualquier cosa siempre que tengan una relación entre sí.
2) Explica diferentes operaciones que se pueden realizar con conjuntos como la unión, intersección, diferencia y complemento.
3) También define números reales, que incluyen números racionales e irracionales, y explica algunas de sus propiedades como desigualdades y el valor absoluto.
Este documento presenta el programa académico de la asignatura de Matemáticas I: Álgebra del primer semestre de la carrera de Bachillerato Universitario Nicolaita de la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo. El programa cubre temas como números reales, lenguaje algebraico, operaciones algebraicas, fracciones algebraicas, exponentes fraccionarios y radicales, y ecuaciones.
Este documento presenta definiciones y conceptos matemáticos básicos como conjuntos, números reales, desigualdades, valor absoluto, cónicas y más. Explica que un conjunto es una colección de elementos con características similares y que los números reales incluyen números racionales e irracionales. También define conceptos como desigualdades, valor absoluto, puntos medios en el plano numérico y representaciones gráficas de cónicas como la circunferencia, parábola y elipse.
El documento presenta los conceptos básicos de conjuntos y operaciones con conjuntos como unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica. Explica el producto cartesiano de conjuntos y cómo representarlo gráficamente. Finalmente, introduce los números reales, incluyendo números racionales e irracionales, y define desigualdades y valor absoluto.
Este documento presenta el programa de la asignatura Matemática Aplicada a la Economía para el curso 2004. La asignatura se enfoca en aplicar conceptos matemáticos como álgebra, análisis y optimización a problemas económicos. El programa cubre temas como matrices, funciones, derivadas, integrales, funciones de varias variables y métodos de optimización. El objetivo es que los estudiantes adquieran herramientas matemáticas para comprender asignaturas posteriores de economía.
Este documento presenta información sobre conjuntos y números reales. Define conjuntos, operaciones con conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento. Explica los diferentes tipos de números reales como naturales, enteros, racionales e irracionales. También cubre temas como desigualdades matemáticas, inecuaciones, valor absoluto e inecuaciones con valor absoluto.
Contenido:
-Definición de conjuntos
-Operaciones con conjuntos
-Números Reales
-Desigualdades
-Definición de Valor Absoluto
-Desigualdades con Valor Absoluto
Este documento trata sobre conjuntos y números reales. Explica que un conjunto es una colección de elementos con características similares y que pueden ser finitos o infinitos. Describe operaciones básicas en conjuntos como la unión. También define números reales como el conjunto que incluye números racionales e irracionales y cómo pueden describirse y construirse. Finalmente, presenta ejercicios sobre desigualdades y valor absoluto.
Este documento presenta una introducción a los conjuntos y operaciones con conjuntos. Define un conjunto como una colección de elementos y describe operaciones como unión, intersección, diferencia y complemento. Explica cada operación con ejemplos numéricos y diagramas de Venn. También cubre desigualdades de valor absoluto y cómo resolverlas.
Presentación números complejos, ing. industrial iv sección A, Angel Tocuyo c....adrianalopez349
Este documento discute los números complejos. Explica que los números complejos son pares de números reales que representan una parte real y una parte imaginaria. Las operaciones básicas con números complejos, como la suma y el producto, siguen reglas específicas. También se describen conceptos como el conjugado complejo y cómo se pueden representar números complejos en un plano cartesiano.
términos a conocer
Definición de Conjuntos.
Operaciones con conjuntos.
Números Reales
Desigualdades.
Definición de Valor
Absoluto
Desigualdades con valor absoluto
Este documento habla sobre los conjuntos matemáticos y sus operaciones. Explica que un conjunto contiene elementos con una propiedad en común, y define operaciones como la unión, intersección, diferencia y complemento de conjuntos. También describe números reales, que incluyen números naturales, enteros, racionales e irracionales, y sus propiedades como orden, infinitud y expresión decimal.
1) Los conjuntos numéricos son agrupaciones de números que siguen ciertas propiedades estructurales, como los números naturales con suma y multiplicación. 2) Los números reales incluyen números racionales e irracionales y permiten todas las operaciones básicas excepto la división entre cero. 3) La desigualdad es una relación de orden entre valores distintos que sigue propiedades como la transitividad y conservación bajo operaciones como suma y multiplicación.
Este documento trata sobre conceptos básicos de conjuntos matemáticos como uniones, intersecciones, diferencias y complementos. Explica las propiedades y operaciones que se pueden realizar con conjuntos, incluyendo diagramas de Venn. También define números reales, naturales, enteros, racionales e irracionales, y sus características. Por último, explica desigualdades y el valor absoluto.
Este documento define conjuntos, números reales, desigualdades y valor absoluto. Explica que un conjunto es una colección de elementos con características similares y que puede definirse mediante una lista de elementos o una propiedad común. También describe operaciones básicas con conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento. Define números reales e introduce desigualdades estrictas y no estrictas. Finalmente, explica el concepto de valor absoluto y cómo resolver desigualdades que involucran este valor.
Este documento presenta información sobre los números reales. Explica que los números reales incluyen números racionales e irracionales. También clasifica los números reales como racionales versus irracionales, algebraicos versus trascendentes, y computables versus irreductibles. Finalmente, define el concepto de valor absoluto y cómo representa la distancia de un número al origen en la recta numérica.
Este documento define conceptos básicos de conjuntos y operaciones con conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento. Explica que un conjunto es una colección de elementos y define cada operación con ejemplos. También cubre números reales, que incluyen números racionales e irracionales, y propiedades como asociatividad, conmutatividad y cerradura de los números reales.
El documento presenta un cuadernillo de apuntes sobre cálculo integral. Introduce el teorema fundamental del cálculo, el cual establece que la derivación e integración son operaciones inversas. Explica cómo aproximar el área bajo una curva mediante sumas de Riemann y define la integral definida. Finalmente, describe propiedades clave como la existencia de funciones primitivas y cómo calcular integrales definidas mediante el teorema fundamental.
Este documento presenta algunos conceptos y nociones básicas sobre la geografía. Explica que la geografía estudia las relaciones entre los seres humanos y el medio ambiente en el que habitan, y cómo satisfacen sus necesidades utilizando los recursos naturales. Además, señala que desde que los pueblos comenzaron a utilizar elementos de la naturaleza, han ido transformando el medio ambiente de acuerdo a cada época histórica, construyendo así el espacio geográfico donde viven. Por último, define el espacio
Este documento describe las funciones de nutrición en las plantas. Explica que las plantas vasculares tienen estructuras como raíces, tallos y hojas que les permiten absorber agua y nutrientes del suelo, transportarlos por toda la planta, y realizar procesos como la fotosíntesis y la respiración. Describe que las raíces absorben agua y sales minerales a través de la zona pilífera, y que los vasos xilema y floema transportan la savia bruta y elaborada respectivamente. También menciona que las
Este documento presenta el primer capítulo de un libro de matemáticas para el primer año de educación media. El libro fue escrito con el objetivo de liberar a los estudiantes y enseñar matemáticas conectadas a la realidad de los estudiantes y al contexto social y político de Venezuela. El capítulo introduce el sistema de coordenadas cartesianas y cómo puede usarse para dar direcciones precisas en la vida cotidiana.
Este documento presenta un libro de texto para estudiantes de primer año de bachillerato sobre la Patria y la Ciudadanía en Venezuela. El libro consta de ocho capítulos que abordan temas como la identidad personal y familiar, la comunidad, la geografía y cultura de Venezuela, los derechos y deberes ciudadanos, y la promoción de la paz. El documento incluye presentaciones del libro dirigidas a los estudiantes y profesores, así como los nombres de los autores, ilustradores y equipo editorial.
Este documento presenta una introducción a las artes y la cultura. Define la cultura como el conocimiento, creencias, arte, moral y costumbres adquiridas por los seres humanos como miembros de una sociedad. Explica que el arte es una expresión sensible del ser humano que cumple una función social al contribuir al conocimiento de las identidades. Finalmente, señala que los seres humanos son sensibles y creativos, y que expresan su realidad a través de diferentes lenguajes artísticos como las artes visuales, escénicas y musicales.
Este documento contiene un examen de matemáticas con varias preguntas sobre potencias, operaciones matemáticas siguiendo la jerarquía correcta, y conceptos básicos de la recta numérica como números enteros, signos de desigualdad y sinónimos/antónimos de los signos. El estudiante debe completar el examen resolviendo problemas como calcular potencias, evaluar expresiones siguiendo el orden correcto de operaciones, y comparar números usando símbolos como <, >, ≤, ≥.
El documento es una guía de matemáticas para estudiantes del Liceo Nocturno 19 de Abril en Venezuela, preparada por el profesor Raúl Noguera para el Ministerio del Poder Popular.
La Unión Europea ha acordado un paquete de sanciones contra Rusia por su invasión de Ucrania. Las sanciones incluyen restricciones a las importaciones de productos rusos clave como el acero y la madera, así como medidas contra bancos y funcionarios rusos. Los líderes de la UE esperan que las sanciones aumenten la presión económica sobre Rusia y la disuadan de continuar su agresión contra Ucrania.
Este documento resume la historia del desarrollo de la geometría plana y la trigonometría desde la antigüedad hasta la actualidad. Los antiguos egipcios y griegos estudiaron las propiedades de figuras geométricas y desarrollaron conceptos como la geometría. Posteriormente, matemáticos como Euclides sistematizaron este conocimiento. Más adelante, se introdujeron nuevas ramas como la geometría analítica y descriptiva. Finalmente, el documento repasa propiedades básicas de ángulos
Este documento presenta una serie de ejercicios relacionados con teoremas geométricos como la semejanza de triángulos y el teorema de Pitágoras. Incluye 16 problemas que involucran demostrar semejanza entre triángulos, calcular áreas, perímetros y longitudes utilizando propiedades geométricas. También presenta información sobre los tres teoremas que componen el grupo de teoremas de Pitágoras y cómo estos se pueden expresar y demostrar utilizando proporcionalidad y áreas.
Este documento describe los sistemas de ecuaciones lineales con dos variables. Explica que resolver un sistema de dos ecuaciones lineales es encontrar los pares ordenados que satisfacen simultáneamente ambas ecuaciones. Además, presenta métodos para resolver sistemas como sustitución, adición-sustracción y analiza si un sistema tiene solución única, múltiples soluciones o no tiene solución.
El documento trata sobre la historia de la resolución de ecuaciones. En los siglos XV y XVI, Scipione del Ferro y Niccolo Tartaglia desarrollaron fórmulas para resolver ecuaciones cúbicas y cuárticas. Sin embargo, no fue hasta los siglos XIX y XX que matemáticos como Ruffini, Abel y Galois demostraron que no es posible resolver ecuaciones de grado mayor que cuatro mediante radicales y desarrollaron una teoría general sobre cuáles ecuaciones son resolubles. El documento también menciona
Este documento contiene 41 ejercicios de matemáticas que abarcan temas como ecuaciones, sistemas de ecuaciones, funciones, geometría y estadística. Los ejercicios van desde operaciones básicas hasta problemas más complejos que requieren varios pasos para resolver. El documento proporciona todos los detalles necesarios para que el lector pueda entender y resolver cada uno de los ejercicios planteados.
El documento describe ecuaciones y fracciones algebraicas. Explica que las ecuaciones algebraicas involucran variables y operaciones racionales como adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Distingue entre ecuaciones racionales enteras y fraccionarias. Luego resuelve ejemplos numéricos de ecuaciones cúbicas y cuárticas usando descomposición en factores y la regla de Ruffini. Finalmente, cubre conceptos básicos sobre fracciones algebraicas como simplificación, dominio de definición y operaciones como multiplicación y
Este documento describe ecuaciones, funciones e inecuaciones lineales. Explica que una ecuación lineal en una variable puede reducirse a la forma ax + b = 0 y que las soluciones son los valores que satisfacen esta ecuación. También define funciones lineales como correspondencias entre conjuntos donde a cada elemento del dominio se le asigna un único elemento de la imagen.
El documento explica conceptos básicos sobre el trabajo con variables en matemáticas. Indica que las variables pueden representar diferentes objetos y que aplicar operaciones con ellas es fundamental en matemáticas. Además, muestra ejemplos de cómo traducir enunciados del lenguaje común a expresiones algebraicas usando variables, y viceversa.
1. Se pide completar una tabla con operaciones y polinomios.
2. Se pide relacionar operaciones con polinomios resultados.
3. Se pide determinar un polinomio a adicionar para obtener otro resultado.
2.4 ecuaciones, funciones e inecuaciones cuadráticas (mayo 0Raul Noguera Morillo
Este documento presenta ejemplos para ilustrar conceptos relacionados con ecuaciones y funciones cuadráticas. Introduce las ecuaciones cuadráticas y cómo resolverlas mediante factoreo o la fórmula cuadrática. Luego, define funciones cuadráticas y muestra su representación gráfica como parábolas, analizando propiedades como dominio, rango, ceros y extremos. Finalmente, analiza un ejemplo de una función cuadrática que modela la concentración de dióxido de carbono a lo largo del día.
El documento describe la evolución histórica del álgebra desde su introducción por matemáticos griegos y hindúes hasta su desarrollo en los siglos XVI y XVII. Específicamente, destaca las contribuciones de al-Jwārizmī, quien sentó las bases para resolver ecuaciones lineales y cuadráticas, y de René Descartes, quien introdujo los sistemas de coordenadas y contribuyó al concepto de función. Finalmente, explica la importancia de dominar conceptos algebraicos para resolver problemas tanto matemáticos como de la vida real
1. MANUAL DE EJERCICIOS DE MATEMÁTICA PARA LA EDUCACIÓN MEDIA
SUPERIOR
PRIMERA PARTE
INDICE
1.
Sistematización sobre los conjuntos numéricos
1.1
Introducción
1.2
La ampliación de los conjuntos numéricos
1.3
Operaciones racionales con números reales
1.4
Operaciones irracionales con números reales: radicación y logaritmación
1.4.1 Radicación
1.4.2 Operaciones con radicales
1.4.3 Logaritmación
1.4.4 El trabajo con la calculadora
1.5
Ejercicios del capítulo
2.
Ecuaciones, funciones e inecuaciones lineales y cuadráticas
2.1
Introducción
2.2
Trabajo con variables
2.3
Ecuaciones, funciones e inecuaciones lineales
2.3.1 Ecuaciones lineales
2.3.2 Funciones lineales
2.3.3 Inecuaciones lineales
2.4
Ecuaciones, funciones e inecuaciones cuadráticas
2.4.1 Ecuaciones cuadráticas
2.4.2 Funciones cuadráticas.
2.4.3 Inecuaciones cuadráticas
2.5
Ejercicios del capítulo
3.
Ecuaciones, funciones e inecuaciones racionales enteras y
fraccionarias. Sistemas de ecuaciones.
3.1
Introducción
3.2
Ecuaciones, funciones e inecuaciones racionales enteras y fraccionarias
3.2.1 Ecuaciones racionales enteras y fraccionarias
3.2.2
Funciones racionales enteras y fraccionarias
3.2.3
Inecuaciones racionales enteras y fraccionarias
3.3
Sistemas de ecuaciones
3.3.1 Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables
3.3.2 Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres variables
1
2. 3.3.3 Sistemas con ecuaciones no lineales
3.4
Ejercicios del capítulo
4.
Geometría plana y elementos de trigonometría.
Introducción
4 .2
Propiedades y relaciones entre las figuras geométricas elementales
4.2.1 Triángulos y cuadriláteros
4.2.2 Circunferencia y círculo
4.2.3 Algunas construcciones geométricas elementales.
4.3
Igualdad de figuras geométricas
4.4
Semejanza de figuras geométricas
4.4.1 Teorema de las transversales
4.4.2 Semejanza de triángulos
4.5
Grupo de teoremas de Pitágoras
4.6
Razones trigonométricas
4.7
Resolución de triángulos cualesquiera
4.8
Ejercicios del capítulo
2
3. 1. Sistematización sobre los dominios numéricos
1.1 Introducción
La Aritmética surge por la necesidad de contar, repartir, distribuir, intercambiar,
realizar cálculos, en resumen, para desarrollar las actividades diarias. El
concepto de número surgió como consecuencia de la necesidad práctica de
contar los objetos. Inicialmente se contaba con ayuda de los medios disponibles:
dedos, piedras, conos de abetos, etc. Por ejemplo calculus en su traducción del
latín significa cuenta con piedras.
Muchos procedimientos pueden ser considerados como manifestaciones de
cálculo, pero es el cálculo aritmético el que ha merecido principal atención. Con
la utilización de más y más números surgieron y se desarrollaron sus símbolos y
los propios números formaron sistemas. Gradualmente se perfeccionaron y
unificaron los sistemas de numeración.
La escritura en el sistema decimal posicional con el cero apareció por primera
vez en el año 500 a.n.e. en la India y fue introducida en Europa por los árabes a
partir del siglo VIII por eso nuestras cifras se llaman indoarábigas.
La cuestión sobre las relaciones y mutuas influencias de la Matemática de la
India, Grecia, China y los países árabes aún no está suficientemente claro. En
Matemática se considera indiscutible la procedencia hindú del sistema de
numeración decimal y las reglas de cálculo.
Es a través del Liber abaci de Leonardo de Pisa (1170 – 1240), que se difundió
la representación decimal de los números, utilizando para ello las cifras o los
guarismos arábigos.
El sistema de numeración decimal o de base 10, es utilizado actualmente en
todos los países, como el resultado de un largo proceso de desarrollo histórico.
Existen otras bases, por ejemplo, en América los Incas tenían un sistema de
numeración de base 20, los babilonios de base 60.
Leibniz (filósofo, matemático y estadista alemán) en el siglo XVII descubre el
sistema binario (base 2) y la posibilidad de infinitos sistemas de numeración.
La base de nuestro sistema de numeración es 10 (decimal) consta de 10 dígitos,
(0, 1, 2, 3, 4, 5, …..9) y con ellos podemos escribir todos los números. Este
sistema se llama decimal y es posicional porque con cada 10 unidades de un
orden se forma una unidad del orden inmediato superior.
En la actualidad cuando mencionamos la palabra cálculo, la mayoría de las
personas la asocian a la realización de las operaciones aritméticas
fundamentales (adición, sustracción, multiplicación y división, entre otras).
En el mundo de hoy, con el uso de las computadoras y otros medios auxiliares
de cálculo, es posible realizar un número elevado de operaciones matemáticas
con rapidez y seguridad. El uso adecuado y racional de estos medios (que es
uno de los retos que debemos enfrentar) depende en gran medida del
conocimiento de los conceptos, leyes y procedimientos matemáticos que
seamos capaces de dominar.
3
4. 1.2. La ampliación de los dominios numéricos.
Conjuntos y sus relaciones
Consideremos un conjunto como una colección de objetos. Los componentes
individuales del conjunto se llaman elementos. Los conjuntos se denotan
generalmente con letras mayúsculas del alfabeto latino, y sus elementos, con
letras minúsculas. El cardinal de un conjunto A caracteriza el número de
elementos de dicho conjunto y se denota con #A.
La relación de pertenencia es la que se establece entre elementos y
conjuntos y se utilizan los símbolos ∈ (pertenece) y ∉ (no pertenece).
Un conjunto A es un subconjunto de un conjunto B si y solo si, cada elemento
de A es un elemento de B. Se escribe A ⊂ B. Se dice que el conjunto A está
incluido en el conjunto B.
Dos conjuntos son iguales si y solo si, todo elemento de uno es elemento del
otro. Si A y B son dos conjuntos iguales, entonces se escribe A = B y se
cumple que A ⊂ B y B ⊂ A, entonces E = F y se dice que E es un subconjunto
propio de F.
Por
ejemplo,
si
N
es
el
conjunto
de
los
números
pares
y
M = {m ∈N : m = 2k, k ∈N} , entonces N ⊂ M y M ⊂ N y se cumple M = N.
0,2,4,… son elementos de estos conjuntos.
En ocasiones se utiliza el símbolo ⊆ para denotar que un conjunto puede ser
subconjunto propio o igual a otro.
Los Diagramas de Venn permiten ilustrar las relaciones y las operaciones con
conjuntos. Un diagrama tal puede ser cualquier figura geométrica plana que
represente a un conjunto determinado, referido a un conjunto mayor que lo
contiene al cual llamaremos Conjunto Universo (U).
Representación gráfica de la inclusión de conjuntos.
U
P
P=Q
Q
Intuitivamente un conjunto infinito es aquel en que no es posible contar sus
elementos. Un conjunto infinito A es aquel en que se puede establecer una
correspondencia 1 -1 o biunívoca de A en un subconjunto propio de este. Un
conjunto es finito si y solo si no es infinito.
Son ejemplos de conjuntos los siguientes:
4
5. a) Los habitantes de un país.
b) El número de rectas que pasan por un punto.
d) Los países del Caribe con tres banderas.
¿Cuántos elementos tienen estos conjuntos?, ¿cuáles son finitos?, ¿cuáles
infinitos?
a) En este caso, en tiempo determinado es posible contar sus elementos,
por ejemplo en Cuba los datos del último censo (realizado en el 2002) el
número de habitantes es de 11 250 979(según el anuario estadístico del
2004), luego es un conjunto finito.
b) Como debes recordar, por un punto pueden pasar infinitas rectas,
entonces este conjunto es un conjunto infinito.
c) Este conjunto no posee elementos, ninguno de los países del Caribe
cumplen esta condición, entonces el conjunto es vacío o nulo y se denota
con φ; también se puede representar con { }.♦
■Escribe dos ejemplos de conjuntos finitos y dos ejemplo de conjuntos
infinitos, que se relacionen con el entorno (la escuela, la familia la
asignatura de física, química u otra)
Un conjunto puede determinarse nombrando cada uno de los elementos
que lo integran o por la propiedad que tienen los elementos que lo integran.
Ejemplo 1
Dados los conjuntos M y N en notación tabular
M = { 2, 7, 12, 17, 22,…}
P = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,…}
a) Escribe el conjunto M en notación descriptiva
b) Expresa el conjunto P en notación constructiva.
Resolución:
a) ¿Qué relación existe entre sus elementos?
Habrás observado que la diferencia entre ellos es 5, o sea, al primer
elemento de este conjunto se le van adicionando los múltiplos de 5, es
decir, son de la forma 5n +2(n ∈N)
M : Conjunto de los números naturales de la forma 5n + 2 con n ∈N .
b) P= { p∈N: p = 2n + 1, n∈N:}
Se lee: El conjunto P está formado por los números naturales p, tales que
p = 2n + 1 con n∈N.
5
6. Operaciones con conjuntos
Intersección de conjuntos: La intersección entre los conjuntos A y B es el
conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y pertenecen a B. Se
escribe A ∩ B.
Unión de conjuntos: La unión entre los conjuntos A y B es el conjunto
formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B, o a
ambos. Se escribe A ∪ B
Diferencia de conjuntos: La diferencia entre los conjuntos A y B es el
conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B. Se escribe
A B.
Complemento de un conjunto: Sea U un conjunto universo y A, un
subconjunto de U, el complemento de A al que llamaremos A C es el conjunto de
elementos de U
que no son elementos de A. Se escribe AC=UA.
Ejemplo 2
Sean los conjuntos:
A = {2,3,5,7,11…}
B = {0,2,4,6,8,10...}
C = {4,16, 36}
a) Describe los conjuntos dados.
b) Determina A∩ B, A
∪ By
C B.
c) Escribe un conjunto P que sea complemento de C.
Resolución:
a) A: Conjunto de los números primos
B: Conjunto de los números pares
C: Conjunto formado por tres cuadrados perfectos.
b) Como al conjunto intersección pertenecen los elementos comunes de
estos conjuntos, entonces:
•
A∩ B = {2} porque es el único número primo par
Como al conjunto unión pertenecen todos los elementos de ambos
conjuntos, tenemos:
•
A
∪ B = N {1}
Como al conjunto diferencia pertenecen todos los elementos que están
en C y no en B, entonces:
•
C B.= φ o bien C B = { }, es decir, la el conjunto diferencia es el
conjunto vacío.
6
7. Como el conjunto Universo (U) sería el de todos los cuadrados
perfectos, al complemento de C le corresponden los elementos de U
que no están en C, luego P = { 1; 49; 64; 81; 100…..} ♦
Ejemplo 3
En una entrevista a un grupo de médicos cubanos estos manifestaron que
cada uno de ellos había participado al menos en una misión
internacionalista en el continente africano o en América Latina. En los
países de África cumplieron misión 26 de ellos, mientras que 23 cumplieron
misión en América Latina. Si 19 de ellos participaron en ambos continentes,
determina el número de médicos que solo ha participado en uno de los dos
continentes y el total de médicos.
Resolución:
Los datos dados plantean que en África cumplieron misión 23 médicos y en
Ámérica Latina, 26; si hay 19 que cumplieron misión en los dos continentes
entonces tendremos:
A: Conjunto de médicos que cumplieron misión en África
B: Conjunto de médicos que cumplieron misión en América Latina
#A = 23
#B = 26
#(A∩B) = 19
26 - 19 = 7 habían cumplido misión solo en A. Latina
23 -19 = 4 habían cumplido misión sólo en África
A
4
19
7
B
y el grupo entrevistado era de 30 médicos, pues 4+7+19=30. Otra
posibilidad de averiguar esto hubiera sido adicionar 26 +23 y sustraer 19 al
resultado. ♦
Ejemplo 4
En un grupo de 22 jóvenes se realizó una encuesta sobre sus preferencias
para el empleo del tiempo libre, de la cual se obtuvo que 9 de ellos gustan del
teatro, 13 de la televisión y 10 del cine. Sin embargo, solo gustan de la
televisión 5 jóvenes, mientras que a tres les gustan las tres opciones, pero por
otra parte, 4 de ellos gustan del teatro y de la TV y solo a dos les gusta el
teatro y el cine.
a) ¿A cuántos de estos jóvenes, solo les gusta el teatro?
b) ¿A cuántos les gusta solamente la TV y el cine?
c) ¿A cuántos jóvenes del grupo seleccionado no les gustan estas
opciones recreativas?
Resolución:
7
8. En el texto del ejercicio se puede observar que hay estudiantes que participan
en más de una actividad.
Para ayudar a la comprensión del ejercicio vamos a realizar la modelación del
mismo utilizando los conocidos diagramas de Venn:
Sea:
#T: cantidad de alumnos que
gustan del teatro
T
4
#C: conjunto de alumnos
que gustan del cine
2
V
3
4
#V: conjunto de alumnos
que prefieren la TV
#T= 9, #C:=10, #V=13,
5
C
#(T∩C)=2, #(T∩V)=4, #(T∩C∩V)=3
Además se da como información que a 5 les gusta nada más la televisión.
Sustrayendo a las cantidades totales de cada actividad la cantidad de jóvenes que
participan en más de una actividad, se puede dar respuesta a las preguntas realizadas:
a) No existe ningún estudiante que participe solo en teatro, porque solo
son 9 los que gustan del teatro, pero compartida con otra opción
recreativa.
b) Como #V=13, #(T∩V)=4, #(T∩C∩V)=3 y a 5 les gusta nada más la
televisión, solo un joven gusta de la televisión y el cine.
c) Como el total de estudiantes es 22, obtenemos:
22 - (5 + 4 + 3 + 1 + 2 + 4) = 22 – 19 = 3, lo cual quiere decir que solo hay
3 jóvenes que no gustan de ninguna de las opciones. ♦
Dominios numéricos
En la práctica para resolver numerosas tareas requerimos trabajar con
números. Digamos que necesitamos conocer la cantidad de personas que han
asistido a una fiesta, campismo u otra actividad. Entonces recurrimos a los
números naturales que sirven fundamentalmente para contar y para ordenar,
pero que además permiten realizar las operaciones de adición y multiplicación
sin restricciones.
Si por ejemplo, necesitamos extraer de un almacén cierta cantidad de libretas
para entregar a la matrícula completa de una escuela, ¿cuál es la primera
condición necesaria para que podamos realizar esta acción con éxito? Es
necesario saber si la cantidad de libretas existente en el almacén
es igual o
mayor a la matrícula de esa escuela, de lo contrario, no es posible cumplir con
lo propuesto.
Si se quisiera repartir el número de libretas existente en el almacén en partes
iguales, suponiendo que la cantidad fuera mayor, entonces el dividendo (la
8
9. cantidad de libretas), tendría que ser múltiplo del divisor (la cantidad de
alumnos). Podríamos preguntarnos además, ¿qué ocurre si el número de
libretas no es múltiplo de la cantidad de alumnos? Sucedería que la división no
es exacta, quedaría un resto.
¿A qué conclusión podemos arribar?
Los números naturales no bastan para resolver problemas matemáticos y
prácticos; por ejemplo los problemas de distribución, de medición y otros nos
dan una idea clara de la necesidad de ampliar sucesivamente los dominios
numéricos.
La insuficiencia del conjunto de los números naturales para resolver la división,
determina la necesidad de ampliarlo. Surgen de este modo los números
fraccionarios Q+ que pueden representarse como una fracción,
a
b
es
decir el cociente indicado de dos números naturales con b ≠ 0.
Resulta evidente que en el caso de los números naturales basta tomar b = 1
para representarlos como una fracción, por tanto el conjunto de los números
fraccionarios contiene a los naturales.
La imposibilidad de efectuar la sustracción sin restricciones en el conjunto de
los números naturales obliga a realizar una nueva ampliación, para ello se
introduce el dominio de los números enteros.
En particular al conjunto de los números naturales y sus opuestos se le
denomina conjunto de los números enteros y se denota por Z:
Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}
Para resolver las limitaciones de los dominios mencionados anteriormente se
p
construyen los números racionales que pueden representarse de la forma q
donde p y q son números enteros y q es distinto de cero. El conjunto de todos
los números racionales se designa por Q.
Además, desde grados anteriores vimos la insuficiencia de resolver ecuaciones
en el dominio de los números racionales, como las ecuaciones de la forma
x2 – 2 = 0; de esta y otras insuficiencias, como la existencia de magnitudes
inconmensurables, se obtuvo la necesidad de introducir los números
irracionales, que se denotan por I.
¿Qué relación existe entre el conjunto de los números racionales y el conjunto
de los números irracionales?
El conjunto de los números reales está conformado por la unión de
los racionales e irracionales, simbólicamente: Q∪ Ι = ℜ
Los conjuntos numéricos con las operaciones y relaciones definidas en ellos es
lo que se conoce como dominios numéricos. En la construcción de un nuevo
dominio hemos partido siempre de ciertas insuficiencias del dominio anterior,
manteniendo las operaciones y relaciones definidas anteriormente (principio de
permanencia).
9
10. Te sugerimos completar el siguiente cuadro resumen:
Dominios numéricos
Operaciones realizables
Restricciones o limitaciones
de las operaciones
( sin limitaciones )
Naturales (N)
Adición ,sustracción y
multiplicación
Adición,
división
multiplicación
Racionales (Q)
y
Radicación de números que
no tienen raíz exacta
Radicación de índice par
de números negativos
Radicación de índice par
de números negativos
Analicemos en el siguiente diagrama de Venn las relaciones entre los dominios
numéricos estudiados:
ℜ
Ζ
Q
Nℵ Q
+
Ι
Como se observa en el diagrama, el dominio de los números naturales (N), es
un subconjunto del dominio de los números enteros ( Ζ ), de los racionales (Q) y
de los reales ( ℜ ). Simbólicamente: N⊂ Ζ ⊂ Q ⊂ ℜ.
Los números naturales o los números enteros, se expresan en notación decimal
como
2 = 2, 0 ( se lee: 2 coma período cero) o simplemente dos.
Los números racionales se expresan en notación decimal como:
10
11.
3
= 0,75 = 0,750 ( Se lee: cero coma siete cinco o cero coma siete cinco
4
período
cero)
1
≈ 0,16666... = 0,16
6
(Se lee: cero coma uno seis período seis)
Observa que las expresiones decimales finitas se pueden considerar como
expresiones decimales periódicas con período cero.
¿Qué tipo de expresiones decimales representan a los números irracionales?
Veamos:
π ≈ 3,141 592 653 509 793 238…
2 ≈1,41422135...
6 ≈ 2,4494897...
Como puedes observar estas expresiones decimales no son periódicas, luego,
¿ a qué conclusión podemos llegar?
Toda expresión decimal periódica representa un número racional.
Toda expresión decimal no periódica representa un número irracional.
Ejemplo 1
Ubica los números : -15; 10 4 ; 0,1 6 ;-2,5; 3 ; - 1,4267….en .el diagrama
representado, teniendo en cuenta el conjunto numérico más restringido al cual
pertenecen.
Resolución:
Con seguridad los has ubicado de la siguiente manera:
-2,5
Ζ
-15
Ι
Q
104 ℵ
ℜ
0,Q 6
1
3
+
- 1,4267..
Para ello tuvimos que tener en cuenta la caracterización de cada dominio
numérico. ♦
Ejemplo 2
Escribe, en los espacios en blanco, según convenga: ∈; ∉; ⊂; ⊄
a)
4
3
____
b)
____
11
12. a)
15 ____
d)
_____
Resolución:
4
3
a)
∈
b)
⊄
c)
15 ∉
d)
⊂
♦
Para analizar el orden en el dominio de los números racionales o reales resulta
conveniente definir qué se entiende por valor absoluto de un número a que
se denota |a| y que es igual al propio a si es positivo o cero, y a –a si es
negativo. En símbolos:
si a ≥ 0, |a| = a
si a < 0, |a| = –a
Nótese que –a no es un número negativo. Por ejemplo:
− 25
4,
= 4,25.
Ahora te recordaremos algunos aspectos importantes sobre los números reales:
A cada punto de una recta se le puede hacer corresponder de forma única
un número real y viceversa.
Son positivos los números reales mayores que cero y negativos sus
opuestos.
El cero no es ni positivo ni negativo, luego el opuesto del cero es el propio
cero
Si al referirte al conjunto de los números reales positivos quieres incluir al
cero entonces debes nombrarlo como los números reales no negativos.
¿Cómo denominarías al conjunto de números reales negativos que
incluyen al cero?––––––––––––––––––––––––––––––––––
Para ordenar un grupo de números reales debes tener en cuenta que:
-
de dos números reales cualesquiera es menor el que esté más a la
izquierda en la recta numérica;
-
de dos números reales positivos es mayor el que tiene mayor módulo.
-
de dos números reales negativos es mayor el que tiene menor módulo.
-
el cero es mayor que cualquier número negativo y menor que cualquier
número positivo.
Ejemplo 3
. Dados los números racionales siguientes:
I.
− 2;
II.
− 150; − 10;
0,7;
230;
0,6;
−0,9;
0,1;
− 0,5;
− 2,7;
15,5;
130;
− 329.
−
1
.
4
a) ¿Cuál es el mayor?
b) ¿Cuál es el menor?
c) ¿Cuál es el que tiene mayor módulo?
d) ¿Cuál es el que tiene menor módulo?
12
13. Resolución:
a) I. (230)
II. (130)
b) I. (- 329)
c) I. ( -329)
II. (-150)
d) I. (0,1)
II. (- 150)
1
4
II. −
Ejemplo 4
Represente en la recta numérica los siguientes números racionales:
− 3,5 ; −
1
8
; 2,6 ; −
.
5
2
Resolución:
Para representar estos números racionales, primero trazamos una recta y
situamos un punto al cual se le hace corresponder el cero; luego se determinan
segmentos de igual longitud a la derecha y a la izquierda del cero.
♦
Ejemplo 5
En la siguiente recta están representados los números 0, a, b, c y d.
(Todas las subdivisiones son iguales)
a) Responde Verdadero (V) o Falso (F).
–––– d > b
–––– – 3c > – b
–––– – d > a
–––– 4 a < b
b) Decide si es posible que se cumpla:
–––– b = 2 a + c
–––– d = c + a
–––– b ≠ a – 3
–––– – c – d = 2 a + b
Resolución:
a) F, F, V, V. b) No, Sí, Sí, Sí
♦
Operaciones con intervalos.
Anteriormente vimos que a cada número real le corresponde exactamente un
punto de la recta y viceversa. Sin embargo, con los números racionales no
13
14. sucede así. Si estos últimos los representáramos en la recta numérica existen
puntos de ella a los que no les corresponde ningún número racional.
Los intervalos son subconjuntos de números reales. Sean a y b dos números
reales. Entonces:
Un intervalo cerrado [a; b] de extremos a y b es un segmento en el que se
incluyen estos extremos: [a; b] = {x ∈R: a ≤ x ≤ b}
Un intervalo abierto (a; b) de extremos a y b: (a; b) = { x ∈R: a < x < b}
Un intervalo semiabierto de extremos a y b puede ser (a, b] o [a, b):
(a; b] = { x ∈R: a <x≤b}
(se excluye a y se incluye b)
[a; b) = {x ∈R: a ≤ x < b}
(se incluye a y se excluye b)
En particular:
(-∞; b] = {x ∈R: x ≤ b}. Es el conjunto formado por todos los números reales
menores o iguales que b.
(-∞; b) = {x ∈R: x < b}. Es el conjunto formado por todos los números reales
menores que b.
(a; ∞) = {x ∈R: x > a}. Es el conjunto de todos los números reales mayores que
a.
[a; ∞) = {x ∈R: x ≥ a}. Es el conjunto formado por todos los números reales
mayores o iguales que a.
Ejemplo1
Representa los siguientes conjuntos usando la notación de intervalos:
a) El intervalo que comprende los valores reales, mayores que –5 y menores
que 7.
b) El conjunto de valores mayores o iguales a – 4 y menores que cero.
c) Los valores reales no negativos.
Resolución:
a) No se incluyen los extremos, luego su representación
( -5 ; 7)
es la siguiente:
Nota: Como notación para el intervalo abierto también se puede utilizar el
5
corchete hacia fuera, por ejemplo en este caso sería ]− ;7[ .
b) En este caso, se incluye al -4, entonces el intervalo se representa como
[−4;0 )
c) Son todos los valores reales positivos y el cero que no tiene signo, por eso
se utiliza la expresión no negativa, además ese conjunto es ilimitado hacia la
derecha, es decir, [0; ∞+ ) ♦
Ejemplo 2.
Escribe en notación constructiva los siguientes intervalos:
a) ( −3; +∞ )
b) [ − 1;5]
;
c) (−∞2]
14
15. Resolución:
a)
c)
( −3; +∞ )
1
={ x ∈ ℜ : x > – 3}
b) [− ;5] = { x ∈ ℜ : -1 ≤ x ≤ 5 }
(−∞2] = { x ∈ ℜ : x ≤ 2} ♦
;
Ejemplo 3
Expresa los siguientes conjuntos como intervalos
b) { x ∈ ℜ : -6 ≤ x ≤ 1 }
a) { x ∈ ℜ : x< -3 }
c) { x ∈ ℜ : - 2 ≤ x <1}
Resolución:
;−
a) ( −∞ 3)
b) [−6;1]
c) `[ −
2;1 )
♦
Ejemplo 4
Representa gráficamente los siguientes intervalos:
2
a) ( − ; 1)
b) [−3;2]
c)
(−2;
3
]
Resolución:
2
a) ( − ; 1) En la recta no se incluyen los extremos, por eso estos puntos no
se sombrean.
-2
1
b) [−3;2] Recuerda que si en el intervalo, se
gráficamente estos se sombrean
-3
c)
(−2;
3
incluyen los extremos,
2
] En el intervalo no se incluye uno de los extremos.
♦
3
-2
Ejemplo 5
2
Sean los intervalos A= ( − ; 1) , B= [−3;2] y C =
a) Determina A∩ B, A
∪ B,
(−2;
3
]
B A y C A.
b) Escribe un conjunto P que sea complemento de C.
Resolución:
a) A∩ B =(–2;1)
A
∪ B=B
2
1
B A = [−3;− ] ∪ [1; 2] C A = [ ;
3
]
Ejercicios (epígrafe 1.2)
1. Diga si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). Justifica las
falsas.
a).-4,5 ∈ Q
b).5 ∈ Z
c).0,8 ∈ N
d). ¼ ∉ Z
e).N ⊂ Z
f).Q ⊄ R
g).Z ⊂ Q
h).Q ⊂ N.
15
16. 2. Completa utilizando los símbolos ∈, ∉, ⊂, ⊄, de forma tal que se obtenga una
proposición verdadera.
a).3 ½ ____ N
b).-5,24 ____ Q
e).Z ____ N
`c).
f).Q ____ Z
5
____ R
d).-8 ____ Z
g).N ____ R
h).R ____ Z.
Fundamenta tu respuesta.
3. Coloque en el espacio en blanco el signo de relación correspondiente
(<;= ; >).
a)
0
g)
c)
2
e) − 1,8
− 1,9
f)
2
3
− 1,6
h) 0,85
0,9
b)
− 12
−3
d
−5
3
1,6
0
i)
−
−1
3
4
15
10
−2
4. Dadas las siguientes listas de números:
L1:
− 1,75;
L2:
− 3;
− 8;
− 2,8;
1
;
10
0,2;
1;
−2
− 0,5;
1
;
4
−
− 1,6
3
;
2
−
π
π
a) Ordena L1 comenzando por el menor y L2 comenzando por el mayor.
b) Representa cada lista de números en rectas numéricas diferentes.
5.. En un curso hay 25 alumnos que juegan fútbol, 20 que juegan baloncesto y
15 que no practican estos deportes. Si el curso tiene 50 alumnos, entonces los
alumnos que juegan tanto fútbol como baloncesto son:
___15
____ 10
____ 5
____ 20
____ 35.
6. Escribe en notación tabular el conjunto M = {x ∈N -3,4 < x ≤ 8,286}.
8. Escribe en notación constructiva el conjunto T = {1, 3, 6, 10, 15}.
10. Escribe en notación descriptiva al conjunto de los números naturales pares,
comprendidos entre 14 y 72 sin incluirlos.
11. Define en forma descriptiva el conjunto {1, 2, 4, 8, 16}.
12. Escribe los siguientes conjuntos en forma constructiva:
a) Conjunto de todos las x tales que x es mayor que 5.
b) Conjunto de todos las x tales que x sea igual a 5 ó mayor que 5.
16
17. c) Conjunto de todos las x tales que x sea menor que -2 ó mayor que 4.
13. -Coloca el signo ; o según convenga si:
a) ( 3;10 ) ___( 4; 12 ) = ( 3; 12)
b) ( 3;5 ) ____ [3;5] = φ
c) [7;10] ___ ( 7;10) = {7; 10}
3
d) [− ;1) ____( 1;2) = φ
14- Enlaza las operaciones de la columna A con las respuestas correctas en la
columna B:
A
a)
B
( 2;5 ) ∩( 3;8 )
(1; 4)
b) ( −2;4 ) ∩ ( 0;6 )
[3; 5]
c) [ 1;12 ) ∩ ( 1;4 )
φ
d) ( 1;5] [ 3;+∞ )
(0; 4)
; 1
e) ( −∞− ) [0;3] .
(3; 5)
15.- Dados los conjuntos:
M = {x ∈ R: x ≤ 12}
,
N = {x ∈ R: x ≥ 4}
P = {x ∈ R: -4 ≤ x ≤ 5,6}
Q: Conjunto de los números naturales impares.
Determina:
a). M ∩ N.
b). M ∩ P.
c). M ∩ Q.
d). N ∩ P
e). N ∩ Q.
f). P ∩ Q.
g). M ∩ N ∩ P.
h)). M ∩ N ∩ Q.
i). N ∩ Q ∩ P..
j). M ∪ N
k). M ∪ P.
l). M ∪ Q.
m). N ∪ P.
n). N ∪ Q.
ñ). P ∪ Q.
o). M ∪ N ∪ P.
p). M N.
q). M P.
r). M Q.
s). N P.
t). N Q.
u). P Q.
v). Mc.
w). Nc.
x). Pc.
y). Qc.
z). (M ∩ N)c.
16. Apoyándote en un diagrama, ilustra que:
a). A B = A (A ∩ B).
b). A B = (A ∪ B) B.
c) A B= A ∩ BC
17
18. 17. A continuación aparece representado un diagrama de Venn. Con los datos
que se presentan en él elabora un ejercicio de situaciones no matemáticas que
debe ser analizado en el aula con el resto de tus compañeros.
4
2
1
3
1
2
6
8
3
18. Si sabes que los conjuntos K y L son tales que (K ∪ L) L = K. ¿Qué
conclusión puedes obtener de esta información?
19. Para la filmación de unas aventuras juveniles se realiza una convocatoria,
con las siguientes condiciones:
- las muchachas deben tener de 18 a 25 años de edad y medir entre 1,25 m a
1,55 m.
- los muchachos deben tenar de 20 a 25 años y medir de 1,55 metros a 1,60
metros.
a) Traduce del lenguaje común al algebraico los intervalos indicados para cada
sexo, en dicha convocatoria. Llámale “e” a los elementos de la edad y “m” a la
estatura exigida
1.3 Operaciones racionales con números reales .
En este epígrafe repasarás y profundizarás las operaciones fundamentales con
números reales, así como sus propiedades para poder aplicarlas a la resolución
de problemas de la práctica y de otras ciencias.
Ejemplo 1
Realiza las operaciones indicadas, de ellas puedes afirmar que;
A) las tres son iguales
2
1
(I) 0,75 –
2
(
:
3 5
−
8 6
2
1
(II) 0,75 – 2
(
(III) 0,75 –
):
2
1
2
B) las tres son desiguales
3 5
−
8 6
) :(
3 5
−
8 6
C) solo (I) = (II)
)
D) solo (I) = (III)
E) solo (II) = (III)
Resolución:
18
19. 2
1
(I) 0,75 –
2
:
:
3 5
−
Debes recordar el orden de las operaciones
8 6
= 0,75 –
1
4
= 0,75 –
1 8
5
• –
4 3
6
= 0,75 –
2
5
–
3
6
=
3 5
−
8 6
(1. la potenciación)
(2. la división y multiplicación)
(3.la adición y sustracción)
3
2
5
9 − 8 − 10
9
3
=−
–
–
=
= −
4
3
6
12
12
4
(0,75 –
(II)
2
1
2
):
3 5
−
8 6
(1. los signos de agrupación
( 2. la potenciación)
=
(
3
1
−
4 4
):
3 5
−
8 6
=
1 8 5
• −
2 3 6
=
(3. la división y multiplicación)
4 5 8−5 3 1
− =
= =
3 6
6
6 2
(4. la adición y sustracción)
Si tienes en cuenta lo explicado en (I) y (II) podrás efectuar (III) cuya respuesta
es − 1
1
(¡compruébalo!)
12
La respuesta es la B) ya que (I) ≠ (II) ≠ (III) ♦
¿Qué debes tener en cuenta para efectuar operaciones combinadas con
números reales?
Para efectuar operaciones combinadas con números reales:
• Se efectúan las operaciones indicadas entre signos de agrupación
( paréntesis, corchetes, llaves)
• Se realizan la potenciación y la radicación en el orden en que aparecen.
• Se efectúan las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen.
• Se realizan las sumas algebraicas que resulten al final.
Ejemplo 2.
Vamos a suponer que Esther tiene un sobrepeso para su edad (212 libras) y
debe realizar una dieta orientada por el médico, durante cuatro semanas. En la
primera semana perdió 12,0 libras, en la segunda 3 1 más, pero la tercera
2
semana coincidió con las fiestas de fin de año y aumentó 8,75 libras .Si en la
cuarta semana hace un esfuerzo y pierde 6 libras y 8 onzas ¿Cuál seria su
19
20. peso en kilogramos, al terminar la dieta? Expresa el resultado con la mayor
exactitud posible.
Resolución:
Debemos sustraer varias veces y en una de las ocasiones adicionar, luego
estamos en presencia de una adición de números reales.
¡Cuidado! Las cantidades están expresadas en unidades de medida diferentes,
por tanto es necesario convertir a una única unidad para realizar la suma.
Conocemos que 1 libra contiene 16 onzas, tenemos que preguntarnos qué
parte de una libra son 8 onzas. Es evidente que representa la mitad luego, 6
libras y 8 onzas, se puede expresar como 6,5 libras, luego la operación seria la
siguiente:
212 –12– 3,5 + 8,75 – 6,5
Aplicando la propiedad asociativa se suman las cantidades con signos iguales y
se coloca el mismo signo es decir:
= ( 212 + 8,75 ) + ( –12 –3,5 – 6,5)
= 220,75 – 22 = 198,75
Como la respuesta debe ser en kilogramos y 1 kilogramo equivale a 2,2 libras,
entonces para determinar cuántos kilogramos de peso tiene ahora se divide esta
cantidad por 2,2, es decir, 198, 75 : 2,2 = 90, 34 kg .
Comprueba si el resultado que se obtiene es lógico y correcto.
.Respuesta: Al terminar la dieta Esther pesará aproximadamente 90,3 kg♦
Para la adición de números reales debemos tener en cuenta:
• Si tienen signos iguales: Se suman los módulos de ambos números y al
resultado se le pone el mismo signo.
Por ejemplo: a) 3,72 + 15,8 = 19,52
b) – 3,72 – 15,8 = – 19,52.
• Si tienen signos diferentes: Se restan los módulos de ambos números y al
resultado se le pone el signo del que tiene mayor módulo.
Por ejemplo: a) 3,72 – 15,8 = –12,08
b) – 3,72 + 15,8 = 12,08
Si dos números son opuestos su suma es igual a cero.
Para la adición de números reales se cumple:
•
Conmutatividad de la adición: a + b = b + a.
•
Asociatividad de la adición: (a + b) + c = a + (b + c)= a+b+c.
•
Hay un número y sólo uno (cero), tal que a + 0 = 0 + a = a, para
cualquier valor de a (elemento neutro para la adición).
•
Para todo número a existe un único número que se denota por –a tal
que a + (-a) = 0 (opuesto de a)
La sustracción es la operación inversa de la adición.
Para multiplicar dos números reales debes tener en cuenta:
20
21. • Se multiplican sus módulos.
• Si los factores tienen signos iguales, el producto es positivo y si los factores
tienen signos diferentes, el producto es negativo.
Por ejemplo: a) (– 2,5). (– 100 )= 250
b) 2,5. (– 100 ) = – 250.
Para la multiplicación de números reales se cumple:
•
Conmutatividad de la multiplicación: a. b = b. a.
•
Asociatividad de la multiplicación: (a. b).c = a (b. c)=a. b.c.
•
Hay un número y sólo un número (uno), de modo que a. 1 = 1. a = a,
para cualquier valor de a (elemento neutro para la multiplicación)..
•
Para todo número real a ≠ 0 existe un único número
1
1
tal que a.
= 1.
a
a
(recíproco de a )
•
Distributividad de la multiplicación respecto a la adición:
a (b + c) = a. b + a. c
Para dividir dos números reales a y b con b ≠ 0:
•Se
halla el cociente de sus módulos.
•Si el dividendo y el divisor tienen signos iguales, el cociente es positivo y si el
dividendo y el divisor tienen signos diferentes, el cociente es negativo.
La división de números racionales es la operación inversa a la multiplicación.
Ejemplo 3
Halla el valor numérico de la expresión
a −b.c
1
para a = – 2; b = – ; c = 16
d
4
y d=3
Resolución:
¿Qué significa hallar el valor numérico? Para hallar el valor numérico de una
expresión, se sustituyen las variables que aparecen por los valores dados
a −b.c ( −2) − ( −
=
d
3
1 )(16) (−2) − (−4) − 2 + 4 2
4
=
=
=
♦
3
3
3
Ejemplo 4.
Simplifica y calcula:
{ 912 – ( –412 . 2 – 4564 ) } : ( 1102 – 1002)
Resolución:
Para determinar la respuesta correcta deben calcularse las operaciones
combinadas que aparecen en los signos de agrupación comenzando por la
izquierda se resuelve el producto que aparece en el paréntesis
21
22. (-412. 2 – 4564 ) = – 824 – 4564 = – 5388 Como esta precedido de un signo
negativo resulta: 912 – ( –412 . 2 – 4564 ) = 912 + 5388 = 6300 esta cantidad
hay que dividirla por el termino que está en el paréntesis de la derecha
( 1102 – 1002) ¿Cuál es la vía más racional para calcular esta diferencia?
Si observas que es una diferencia de cuadrados procederías de la siguiente
forma: (1102 – 1002) = (110 + 100)( 110-100) = 210.10 = 2100 finalmente
resulta 6300: 2100 = 3
.♦
Los números fraccionarios posibilitan establecer relaciones de comparación
mediante el llamado tanto por ciento, que significa cuántos tantos se toman de
cada cien. Para denotar su significado se utiliza el símbolo %.
Por ejemplo, el 1 % significa que se toma 1 de cada cien, así si la cantidad total
de donde se toma el 1 % es 500 se tomarán 5, y si la cantidad total es 50, el
1% es 0,5.
Para determinar tasas de natalidad, mortalidad, entre otros ejemplos que se
pueden mencionar, se utiliza el tanto por mil, que se denota como %
0
Por ejemplo, el 3 % significa que se toma 1 de cada mil, así si la cantidad total
de donde se toma el 3 % es 3000 se tomarán 9, y si la cantidad total es 1500,
el 3 % es 4,5.
0
0
0
Ejemplo 5
Según transcurre el embarazo, la ganancia de peso de la mujer es el resultado
del crecimiento del feto, la placenta, el líquido amniótico y los tejidos maternos.
El feto representa aproximadamente el 25% de la ganancia total, la placenta
alrededor del 5% y el líquido amniótico el 6 %. ¿Qué ganancia total de peso
habrá tenido una embarazada que por concepto de tejido materno ha
aumentado durante la etapa pregestacional 10,5 kg?
Resolución:
El crecimiento del feto, de la placenta y del líquido amniótico representan el
36% de la ganancia total (25% + 5% + 6%), luego el aumento del tejido
materno (10,5kg) constituye el 64% de dicha ganancia.
Debemos calcular la ganancia total (T)
64
T =10,5
100
10,5
T=
.100
64
T ≈16,4
Respuesta: La ganancia total de peso que ha tenido la embarazada es de
16,4kg.♦
Potenciación
22
23. Las propiedades de las potencias son muy utilizadas en Física y otras ciencias,
1
−n
por ejemplo, n = a (a≠0; n∈N) se emplea en:
a
a) 1
m
(velocidad)
s
b) 1
m
s2
(aceleración) c) 1
kg.m
(fuerza)
s2
quedaría:
a). 1m·s–1
b). 1m·s– 2
c) kg.m.s–2·
Observa que el concepto potencia se fue generalizando durante los estudios
de Secundaria Básica, tal como indica el diagrama siguiente:
a0 = 1
a ∈R *
1
an
a ∈ R * ,n ∈ N *
a −n =
n −1
a = a.a
a ∈ R*, n ∈ N *
n
Teniendo en cuenta lo que conoces de las propiedades de las potencias enlaza
un elemento de la columna A con su correspondiente en la columna B.
Sean a, b, r y s (a > 0, b > 0) números reales cualesquiera, entonces se
cumple:
A
B
ar ⋅ as
(a : b)r
ar : as
ars
ar ⋅ br
ar – s
ar : br
ar + s
(ar)s
(a ⋅ b)r
Nota: Observa que estas propiedades se cumplen para las operaciones de
multiplicación y división de potencias.
Ejemplo 6
El mayor embalse del país es el Zaza, en la provincia de Sancti Spíritus, con
1020000000 m3. ¿.A cuántos litros equivale la capacidad del embalse?
Resolución:
Resulta más ventajoso expresar 1020000000 m3 en notación científica,
es decir , de la forma N .10 K
(
con 1≤ N < 10 y k ∈ Z)
luego
1020000000 m3 = 1,02. 109 m3.
Además debes recordar que 1 litro equivale a 1 dm3, entonces se debe convertir
23
24. los metros cúbicos a decímetros cúbicos, aplicando las propiedades de la
potencia ya conocidas, es decir, 1,02⋅109 m3 = 1,02⋅109. 10 3 dm3
= 1,02⋅1012 dm3
Respuesta: El embalse del Zaza tiene 1,02⋅1012 litros de capacidad.♦
El cálculo con potencias de exponente entero y sus propiedades, lo conoces
desde grados anteriores, lo que recordaremos a través de algunos ejemplos.
Ejemplo 7.
Descomponer todas las potencias en factores:
a). 133
b). 2b5
c). ( -4)3
d).b + c4
e). -24
Resolución:
a) Aplicando la definición de potencia tenemos que: 13 3 = 13.13.13
b) 2b5 = 2. b.b.b.b.b ¿a quién afecta el exponente? sólo afecta a la b
c) ( – 4)3 =( – 4) (–4) (– 4)
d) b + c4 = b + c. c. c .c
e) –24 = – 1(2.2.2.2) ¿a quién afecta el exponente? sólo al 2 el signo indica el
opuesto ¿qué semejanza y diferencia existe entre el inciso c y e? ♦
Ejemplo 8
Indica sin efectuar, cuáles de las siguientes potencias son <; > ó = a cero:
a). (– 4)53
b). ( – 4)42
c). – 442
Resolución:
a) ( – 4)53 como la base es negativa y el exponente es impar, la potencia es
menor que cero, es decir
( – 4)53 < 0.
b) ( – 4)42 la base es negativa pero de exponente par, luego ( – 4) 42 > 0
c) – 442
la base de la potencia es positiva y el exponente es par, pero se
indica el opuesto de la potencia, luego – 4 42 < 0 .♦
Ejemplo 9
3
3
1
SI A = ( 25 : 5 )
5
2
2
y
2 − .8 2 + 19.2 0
B=
entonces que relación existe
28 : 68
entre A y B
Resolución:
Se pide la relación que existe entre dos cantidades, representadas en este
caso por A y B lo que significa determinar si son iguales o cuál de ellas es
mayor o menor que la otra ,luego debemos efectuar las operaciones indicadas
24
25. 3
1
5
A = ( 252 : 52)
en el primer paréntesis tenemos potencias de igual
exponente luego se dividen las bases, y se mantiene el exponente, mientras
que en el segundo aparece potencia de potencia, es decir,
3
1
A =( 25 : 5 )
5
2
2
= 52.
1
1
2 -3
–1
=
3 = 5 .5 = 5
5
5
3
−3
6
3
3
2 − .8 2 + 19.2 0 2 .2 +19 •1 = 2 + 19 = 27 = 3 = 311
B=
=
luego A< B♦
1 : 38
3 −8 3 −8
( 2 : 6) 8
28 : 68
Ejemplo 10
Calcula aplicando las propiedades de las potencias:
b)
a) 1202
4900
140 4
25 4
49 7 ·7 −4
c)
−
−8
125 2
1
7
2
1
16 2 ·40,5 : 43
d) 2
32 : 64 2 ·128
Resolución:
a) 1202 = (12· 10)2
se descompone en factores convenientemente la base
= 122· 102
se aplica la propiedad del producto de potencia de igual
exponente.
= 144· 100
= 14400
(
)
4900 2 ( 49·100)
7 2 ·10 2
7 4 ·10 4
1
1
b)
=
=
= 4 4 4 = 4 =
4
4
4
16
140
( 2·7·10)
2 ·7 ·10
2
(14·10)
2
c)
25 4
125 2
−
497 ·7 −4
−8
1
7
=
=
(5 2 )4
(53 )2
58
56
−
= 52 −
−
2
(72 )7 ·7 −4
(7−1)−8
Se expresó cada base
potencia convenientemente
en
714 ·7−4
78
710
78
Se aplicó la potencia de potencia
= 25 − 72
= 25 − 49 = −24
Se
aplicó
el
cociente
y
el
producto de potencia de igual base.
25
26. 1
16 2 ·40,5 : 43
d) 2
32 : 64 2 ·128
=
(16·4) 0,5 : 4 3
2 7· ·(32 : 64) 2
64 0,5 : 4 3 ( 4 3 ) 0,5 : 4 3 41,5 : 4 3 4 −1,5
=
=
= 5
2 7 ·2 − 2
25
2
7 1 2
2 ·( )
2
2 −1,5
(( 2) )
2 −3
1
1
=
= 5 = 2 −8 = 8 =
5
256
2
2
2
=
En este ejemplo existen otras vías de solución. ¡Búscalas! ♦
Ejercicios (epígrafe 1.3)
1. Estima el lugar de la coma decimal en el resultado de las siguientes
operaciones:
a)
25,65.104,2 = 267273
b)
0,55.320,18 = 176099
c)
1300,55:12,5 = 1084
2.
Sea A =
___ −
11
3
3.
Sean P =
____ 0,9
4.
4 2
7
:
yB=−
entonces A + B es igual a:
3 9
3
___. 3
2
3
___ − 8
1
3
___. 8
1
3
7 6 5
+ ⋅ y Q = 4,8. Entonces P:Q es igual a:
3 5 2
____ 3,5
____
10
9
____
47
10
Calcula el valor de :
a) a + b. c para a = −
7
5
,b=
yc=
3
4
b) a2 – b:c, para a = 3
5.
1356,25:12,5=1085
1
2
0,64
b = 7,5 y C =
En la expresión m = 4 a + 3b +
3
4
7
c Sustituye las variables a, b y c por
4
números naturales tales que obtenga para m un número:
a)
natural.
26
27. b)
entero negativo.
c)
fraccionario.
6.
100 g de un alimento reportan 300 calorías.¿Cuántas calorías reportan
30 g del mismo alimento?
___90
___. 100
___. 900
___. 1000
Se tiene una placa metálica con un área de 3240 mm2, la que expresada
7.
en cm2 es equivalente a:
___ 324,0 cm2
___. 32 400 cm2
___C. 324 000 cm2
____
32,40 cm2
8.
El promedio de los 15 alumnos del grupo A en la comprobación de
Matemática fue de 92 puntos y en el grupo B que tiene la misma cantidad de
alumnos que el grupo A el promedio fue de 86 puntos. El promedio entre esos
dos grupos fue de:
___ 87
___ 90
___89
___ 92
9.
Se dispone de un saco de frijoles cuyo peso es de 55 kg. Entonces el
peso en g es:
___5,5 g
___55 000g
___550 000g
Si A = (28⋅29):219, entonces A es igual a:
10.
___–4
11.
___¼
Si M =
___
12.
___5 500 g
10
21
___– ¼
___
4
3 24 ⋅ 7 24
, el valor numérico de M es:
2123
___21
___2147
___2125
El producto de 34⋅10048, se expresa en notación científica como:
___34⋅1096
___3,4⋅.10481
___3,4⋅1051
___3,4⋅1097
13. Si un médico de la familia recibe en su consultorio el resultado de un
análisis de sangre de una de sus pacientes, con la presentación siguiente:
Eritrocitos: 4 500 000 000 000 por Litros.
Leucocitos: 11 000 000 000 por Litros.
Nota: Para representar estos resultados es usual emplear la notación
científica.
a) Represente estos resultados en la forma usual.
b) Investigue si los resultados son normales.
14. Calcular:
a), 2,48 + 1,12:0,4 – (3,2)2
c). (0,4 +
1
2
12
):(2,2 )+
- 20050
3
23
3
b). [(½ - 0,2):3 + (0,3)2 – 2-2]·102
d). 0,0075·[(0,1)-1]2
27
28. 1 1
− 5 2 + 6( 6 − )
16
10
3 2 − 2 ⋅ 32
e).
73
8,76 − 6,26
17 , 4 +
5
4
1
2
− 3 2 + 144 ⋅ 0,5 + (−2) 2
3
1 1
h).
:
2 −
26
2 3
1 0,12
g). (-½)2 + 3 ⋅
+ 0,0055·102
8 0,05
5,2 + 3,8 : ( −19) +
i).
15.
(
0,000002
10 −3 ⋅ 10 −2
)
1 2
2
− − ( −2) + 1
3 5
Calcula el valor de K en cada caso:
(0,0002) 36
− 1,36 + 37
a). K =
2 ⋅10 −145
2136 ⋅ 9 −18
35
5⋅7
c). K = 29,12:
16
2 2
- 0,75 + 2-1
3 3
f). − :
:3,5
(0,3)15
3
⋅ 10 2 − 3,5 : − 38 0
b). K =
12
(0,3)
5
181999 ⋅ 6 −44
1
+ 2 :4,25
1998
652
3
3 ⋅ 216
d). K =
Hallar el valor numérico en cada caso:
x17 ⋅ y 17 9,18
2
−
para x = , y = 4,5
15
y
3
( x ⋅ y)
a). M =
c). R = -
b). N =
(x5 )5
0,1
− 2 para x = 0,5
20
3
x ⋅x
x
a ( a ⋅ b) 30
para a = ¼ y b = -0,4
+
b a 28 : b − 29
d). P = a ( a 2 b − b 2 a ) + (b – a)(b + a2b) para a = ½ y b = -2
e). S =
17.
a).
2m 3 n 2 − 6m 2 n 3 + 12m 3 n
para m = 3 y n = -1,5
6m 2 n 2
Halla el valor de a en cada uno de los siguientes casos:
2,5a 100 ⋅ 1,4a −52 35 300 ⋅ 7 −198
=
50a 47
25151 ⋅ 7100
b).
( 2a )120 ⋅ a 80 8 39
=
1,5
− 4a 201
18 Para la estimación del peso de un niño entre 3 y 12 meses se utiliza la
fórmula siguiente: Peso (kg) = [Edad (meses) + 11] : 2,2. ¿Cuántas libras debe
pesar un niño de 4 meses?
19. Existen diferentes fórmulas para el cálculo de la talla de un niño conocida
su edad, entre las que se encuentra la fórmula de Weech utilizada para niños
entre 2 y 14 años:
Estatura (cm) = [(2,5 · edad en años) + 30] · 2,54
a) ¿Qué estatura aproximada debe tener un niño de 10 años?
b) Un niño de 9 años mide 1,35 m. Compruebe si su estatura está acorde a
su edad.
28
29. 20. En una Secundaria Básica el 40% de los alumnos de un grupo de 15
alumnos practican ajedrez. ¿Cuántos alumnos de ese grupo no practican
ajedrez?
___4
___9
___6
___12
22.
Se quiere cercar un terreno rectangular que mide 40 m de largo y
100 d m de ancho. ¿Cuántos metros de cerca hay que utilizar?
___50 m
___200 m
___100 m
___400 m2
23.
A una persona le disminuyen sucesivamente el salario en un 10%, 5% y
15%. ¿Cuál es el porcentaje de disminución del salario original?
___27,3%
___14,4%
___15%
___40%
24.
A una persona le aumentan sucesivamente el salario en un 20%, 25% y
55%. ¿Cuál es el porcentaje de aumento del salario original?
___33,3...
___27
___132,5
___135
25.
Una caja de cartón en forma de cubo tiene una arista de 10 cm. Si se
aumenta la longitud de cada arista en un 10%, ¿en cuánto aumenta su
volumen?
___10 cm3
___21 cm3
___100 cm3
___331 cm3
26
El 30% de las vacas de una vaquería fueron inseminadas el lunes. El
martes se inseminaron 28, y aún quedó la mitad por inseminar. ¿Cuántas
vacas se inseminaron el lunes?
27
El perímetro de un terreno rectangular es de 52,2 m y uno de sus lados
excede al otro en 11,96 m. Halla las longitudes de los lados del terreno.
28
El promedio de las edades de 4 hombres es 48. Si ninguno de ellos tiene
menos de 45 años. ¿Cuál es la máxima edad que puede tener uno cualquiera
de ellos?
29
El radio de la base de un cilindro circular recto se aumenta en un 25%,
mientras la altura se disminuye en un 20%. Determine en qué tanto por ciento
varía el volumen del cilindro.
30 De una muestra de 121 pacientes asmáticos, se sabe que hay grupos de
fumadores, no fumadores y ex fumadores.
a) Si el 78 % corresponde a no fumadores.¿Cuántos pacientes son no
fumadores?
b) Qué porciento del total de pacientes representan los 21 fumadores?
c) ¿Cuántos pacientes son ex -fumadores?
31.
Dos pueblos A y B distan entre si 360 km. De A sale un automóvil hacia
B a 65 km/h, en el mismo instante en que otro automóvil sale de B hacia A a
55 km/h. ¿Qué tiempo tardarán en encontrarse y a qué distancia de B se
encontraran?
32
Alberto compra un producto y se lo vende a María con una ganancia del
10%. Pasado un tiempo María se lo vende nuevamente a Alberto perdiendo
ella un 10%. ¿Qué porciento de ganancia tuvo Alberto en la venta?
29
30. 33.
El radio de las ruedas motrices de una locomotora mide 0,43 metros.
¿Cuántas revoluciones habrán dado para recorrer una distancia de 547
kilómetros?
33.
Un cerdo para engordar, de 35 kilogramos en adelante, consume 40
kilogramos de maíz por cada 10 kilogramos que aumenta su peso. Al subir el
precio del maíz en el mercado mundial de 2,5 dólares a 9 dólares los 100 kg,
¿en cuánto aumentará el precio de la ceba de los animales hasta 100 kg?
34. Una habitación de 6 metros de largo por 6 de ancho y 2 de alto, contiene
una cantidad de aire que pesa 350 kilogramos en números redondos. ¿Qué
peso de aire contendrá, en condiciones similares, un recinto de 24 metros de
largo, 18 de ancho y 2,3 de alto?
35
Un obrero puede ejecutar en una jornada
realiza solamente
3
de una tarea dada y otro
7
2
de la misma. ¿Qué tiempo demorarán en hacer la tarea
9
entre los dos juntos?
36.
Un pintor se demora en pintar una casa 4 días, y otro lo hace en 5 días.
El dueño de la casa necesita tenerla pintada en 2 días, ¿podrán cumplir con
esa necesidad entre los dos pintores o necesitará otro?
37.
Los accidentes del tránsito son una de las causas principales de muerte
en nuestro país. El año pasado perdieron la vida por esta causa 8223 personas
del total de 19354 personas lesionadas. ¿Qué tanto por ciento murieron por
accidentes de tránsito?
39.
Según las estadísticas de una cierta universidad, de 1000 estudiantes,
105 pretenden estudiar medicina; de ellos, 23 no se gradúan. ¿Qué tanto por
ciento de estudiantes aspiran a ser médicos, y que por ciento de esos lo
logran?
40.
Un comerciante vendió dos artículos a $7.75 cada uno,, en uno de ellos
perdió el 25% de lo que le había costado, y en el otro el 25%. En definitiva,
¿salió ganando o perdiendo en el negocio y en cuánto?
41.
Se tienen tres llaves, la primera llena ¼
1
segunda
8
del tanque en un minuto, la
del tanque en un minuto y la tercera
1
9
del tanque en un
minuto.
a)
¿Qué parte del tanque llenan las tres llaves juntas en un minuto?
b). Si la capacidad del tanque es de 864 litros y las tres llaves están abiertas
durante dos minutos. ¿Cuántos cm3 le faltan por llenar al tanque?
42
Una granja agropecuaria tiene 40 hectáreas laborables, de ellas el 20%
están cultivadas, la mitad de las restantes se dedica a pastos y el 25% de las
restantes están dedicadas a un organopónico. ¿Cuántas hectáreas están sin
cultivar?
43
En un control de matemática, realizado a un grupo de alumnos, todos los
examinados aprobaron y sus resultados se comportaron de la siguiente forma,
el 10 % obtuvo 8 puntos, el 40% obtuvo 9 puntos, el 20% obtuvo 7 y los 27
restantes obtuvieron 10 puntos.
30
31. a). ¿Cuántos alumnos se examinaron?
b). Representa en un gráfico los resultados.
44. Un alumno llevó al campismo 2 litros de pasta de mango concentrada con solo
un 10% de agua. ¿Cuántos litros de agua deberá agregarle para que la mezcla tenga
un 50% de agua?
45.
En un almacén había guardado cierto número de sacos de arroz, el que
se distribuyó de la siguiente forma, la tercera parte se envió a las provincias
damnificadas por un ciclón, el 25% de los que quedaban se vendió a la
población y las
2
3
partes de los restantes paso a la reserva del estado y
aun quedan 100 sacos en el almacén. ¿Cuántos sacos había inicialmente en
el almacén?
46.
A una fiesta se invitó a cierto número de personas, entre adultos, niños y
jóvenes, los niños que participaron representan
1
de los invitados, los
6
adultos representan el 20% de los invitados, los jóvenes representan el
doble de los niños participantes. Si no asistieron a la fiesta 18 jóvenes y
todos los niños y adultos invitados a la misma fueron. ¿Cuántas personas
fueron invitadas a la fiesta?
47. Un tanque tiene una capacidad de 800 l de agua, una de sus llaves vierte
10 l
l
min y estuvo abierta durante una hora, la otra llave vierte 20 min y
estuvo abierta 5 min. ¿Cuantos litros de agua quedan en el depósito ?
48. Un alpinista como parte de su entrenamiento tiene que escalar a la cima de
una montaña de 1500 m de altura. En la subida recorre
5
de la distancia
9
en 25 minutos y para bajar necesita seis minutos más que el 20 % de lo que
demoró en subir. ¿Qué tiempo demoró en subir y bajar la montaña si no se
detuvo?.
49. En una pecera del Acuario Nacional de Cuba hay 144 peces de cuatro
especies diferentes. La tercera parte son Golfish y las
3
del resto son
4
Colisables. Si se conoce que los Polinesios son el triplo de los Escalares.
¿Qué cantidad de peces de cada especie hay en esa pecera?
51.
En una fiesta hay solo hombres y mujeres, ¼ de las mujeres fueron con
sus esposos y las demás fueron solas. Si en la fiesta hay 10 matrimonios.
¿Cuántas personas hay en total?
52. El clobetasol es un medicamento que se encuentra entre los medicamentos
dermatológicos. Cada 100 g de crema contiene 0, 05 g de propionato de
clobetasol y se debe usar en tratamientos cortos para dermatosis inflamatorias,
tales como la eczema.
a) Si se tiene en un recipiente 355 g de crema. ¿Qué cantidad de gramos
de propionato de clobetasol existe en el recipiente?
31
32. b) Si para un adulto puede usarse 50 g a la semana y el tratamiento dura
14 días. ¿Qué cantidad de tubos necesita usar si cada tubo contiene 25
gramos?
c) ¿Qué cantidad de propionato de clobetasol contiene un tubo?
53. De los 40 profesores que tiene un departamento de Matemática, el 20%
de ellos sus edades se encuentran entre los 50 y los 55 años, el 50% de los
otros, sus edades oscilan entre 35 y 45 años y. El 25% del resto son los más
jóvenes.
a)¿Cuántos trabajadores no están considerados en ninguno de los rangos?
b)¿Qué por ciento representan los más jóvenes de la cantidad inicial?
54. En el año 2006, una brigada cafetalera recogió cierta cantidad de latas
de café en tres días. El primer día recogió el 25% del total, el segundo día
2
del resto, quedando para el tercer día 80 latas de café por recoger.
3
a)¿Cuántas latas recogió los dos primeros días?
b). Si con la cantidad recogida en esos tres días cumplieron la norma de la
semana; qué cantidad de latas deberán recoger el resto de la semana para
sobrecumplir en un 20%.
55. En los Juegos Olímpicos de Sydney 2000 en el medallero, Australia, Cuba
y España ocuparon el 4to, 9no y 25to lugar por países respectivamente. Las
medallas que alcanzó Cuba son la
1
partes de las 928 medallas que se
32
otorgaron en dichos Juegos y representan el 50% de las que obtuvo Australia.
Si entre los tres países alcanzaron 98 medallas y el número de medallas de oro
de Cuba es igual al número de medallas de plata que alcanzó e igual al número
de preseas que ganó España. ¿Cuántas medallas de oro, plata y bronce
obtuvo Cuba?
56.
El costo del consumo eléctrico de una casa en un mes se desglosa de la
siguiente manera:
30% por la cocina y el calentador eléctrico,
3
por los aires acondicionados,
5
$84.00 al año por la luz y demás equipos.
a)
¿Cuál es el consumo eléctrico del mes si el consumo eléctrico es
constante?
b). Si en un mes se ahorra el 40%, ¿a cuánto asciende el costo del mes?
57.
Un jardín de forma rectangular tiene un perímetro de 48 metros, que
representan un 20% más que el perímetro de la base de un edificio de forma
rectangular que tiene 12 metros de largo. Determina el ancho que tiene la
base del edificio.
58.
La capacidad máxima de un camión de carga es de 4,5 toneladas, pero
por desperfectos mecánicos la misma disminuyó en un 40%. ¿Qué cantidad
32
33. de viajes deberá realizar como mínimo el camión para transportar 16,2
toneladas de mercancías desde un almacén a una tienda?
59
60. Según el pronóstico de crecimiento de la población mundial, para finales
del 2005 dicha población creció a 6 500 millones de personas, de las cuales
5 266 millones vive en países subdesarrollados.
a) ¿Qué por ciento representan las personas que viven en países
subdesarrollados con respecto al total de las personas que vivieron en nuestro
planeta al concluir el año 2005?
b) Hoy existen en el mundo 852 millones de personas que viven en la
extrema pobreza. ¿Qué por ciento representan estas personas con respecto al
total de habitantes que hubo en el planeta al finalizar el año 2005?
33
34. 1.4 Operaciones
logaritmación.
irracionales
con
números
reales:
radicación
y
1.4.1. Radicación
Conoces el cálculo con potencias de exponente entero y sus propiedades.
También estudiaste que la radicación es una operación inversa de la
potenciación.
En la práctica existen problemas que para resolverlos debes ampliar tus
conocimientos sobre las potencias, por ejemplo:
Ejemplo 1
crecimiento de la levadura
En un tipo de levadura, el factor
de crecimiento cada 20 minutos
es 3. En el momento de iniciar
el control hay 30 células de
levadura. Si la ecuación que
describe el crecimiento de la
número de células
25000
t
20
levadura es y = 3 ⋅ 30 ¿Qué
número de células existirán a
los 30 minutos de comenzada
la medición?
20000
15000
10000
5000
12
0
10
0
80
60
40
20
0
0
tiem po m inutos
Resolución:
¿Cómo resolver el problema?
Con los conocimientos que
posees hasta el momento,
no puedes darle
t
20
30
3
solución, ya que al sustituir t = 30, en el factor 3
resulta
3 20 = 3 2 que es
una potencia de exponente racional, y su resultado es un número irracional.
3
Veamos a qué es igual 3 2
Se debe tener en cuenta que una potencia de exponente racional es una raíz, es
decir,
m
n
a = n a m (m; n ∈ Ζ ; n > 1)
3
luego, 3 2 = 3 3
=
27 ≈ 5,2.
Como al iniciar el control hay 30 células de levadura, resulta que el número de
t
células a los 30 minutos se obtiene mediante la expresión y = 3 20 ⋅ 30 + 30 (I)
sustituyendo en (I) obtenemos y =
3
2
3 •
30 + 30 ≈ 5,2. 30 + 30 =186
Respuesta: Existirán aproximadamente 186 células a los 30 minutos ♦
•
¡Elabora una tabla con los datos del ejemplo para las dos primeras horas
de control !
34
35. En el ejemplo anterior calculamos
n – ésima de “a ”?
27 , luego, en general ¿A qué llamamos raíz
Se llama raíz n – ésima de a, a todo número real x que satisface la ecuación
xn = a o (a∈R y n ∈ℵ, n >1). Si la ecuación no tiene solución, a no tiene raíz
n – ésima.
n
a =x
donde : n (índice), a: radicando, x : raíz
Los números reales negativos no tienen raíz n- ésima cuando n es par.
Si n es impar, todo número real a tiene raíz n- ésima del mismo signo que a.
a = x , entonces por definición xn = a . Elevando ambos
1
1
1
miembros a la potencia , resulta que x = a n , por tanto n a = a n . En general:
n
Observa que si
n
m
n
a = n am
a ∈ R,a > 0,m,n ∈ Z,n > 1
m
n
0 = n 0m = 0
m,n ∈ Z,m > 0,n > 1
Nota que esta definición no niega la anterior de potencia. Es importante que
analices por qué se hacen restricciones al dominio de definición del radicando
y del índice de la raíz. Para cualquier número real a 0 para el cual n a0 tenga
sentido resulta:
n
a0 n = a 0 .
En virtud de que ( ±a ) 2 n = a 2 n , al extraer una raíz de índice par se obtienen
dos soluciones. Es por ello que se establece el convenio siguiente: Cuando se
calcule la raíz de índice par de un número positivo, se tomará la raíz positiva o
a
=a .
aritmética. En general:
2n
k
2 kn
En particular para m = n = 2 se tiene que:
a2 = a
porque:
a2 = a
si a ≥ 0,
a 2 = −a
si a < 0
Ejemplo 2
Escribe las potencias como raíces:
a).
7
2
3
−
b). 81
1
4
2
c).
9
1
2
Resolución:
35
36. 2
a). 7 3 =
1
3
1
b) 81−4 =
7 2 = 3 49
2
c). =
9
2
=
9
2
2
2
=
9
3
4
1
1
=
3
81
♦
Ejemplo 3
Escribe las siguientes raíces como potencia:
a).
b).
5
3
c).
52
64 −3
Resolución:
a).
5=
5
1
b).
2
3
2
52 = 5 3
c).
64 −3 =
64
3
−2
♦
Ejemplo 4
Calcula aplicando propiedades de las potencias y escribe el resultado como
raíces:
1
1
1
a) 5 2 • 2 2
d) ( −1) 2
1
(
1
b) 20 3 : 4 3
1
2
c) 32 2
2
7
1
e). 60,5·360,25
)
3
2
f) 3 4 ⋅ 3−0,8 ⋅ 3 4 ⋅ 3−0,2.3 3
Resolución:
1
1
1
1
1
a) 5 2 • 2 2 = ( 5 • 2) 2 = 10 2 = 10
(
c) 32 2
)
2
7
[
= (2 5 ) 2
d) ( −1) 2
1
1
2
] = [ 2 ] = [ 2]
2
7
2
10 7
1
= ( − 1) 4 =
4
1
1
1
b) 20 3 : 4 3 ( 20 : 4 ) 3 = 5 3 = 3 5
20
7
= 7 2 20
− 1 No tiene solución en ℜ, ya que el índice es par y el
radicando negativo.
e) 60,5·360,25 = 60,5·(62)0,25 = 60,5·60,50 =
1
3
2
6 . 6 = 62 = 6
2
f) 3 4 ⋅ 3−0,8 ⋅ 3 4 ⋅ 3−0,2.3 3 = 3 3 = 3 3 2 = 3 9 ♦
.
Ejemplo 5 (Agricultura).- Un ejemplo de la utilización de estas propiedades en
la vida práctica se muestra en el siguiente problema:
36
37. En la figura se muestra un vertedor de agua que se utiliza con fines agrícolas
FIGURA
Canal
Vertedor
m3
)
s
de un canal cuyo vertedor tiene un ancho l (dm) y una altura de agua h (dm).
La ecuación Q = 1,83( l -0,2h ) h
2
3
permite calcular el caudal de agua Q (
¿Cuál es el caudal de agua de un canal cuyo vertedor tiene 5,0 dm de ancho,
si la altura del agua es de 8,0 dm?
Resolución:
2
Q = 1,83( l -0,2h ) h 3 sustituyendo los valores
2
Q= 1,83( 5 – 0,2. 8) 8 3
Q=1,83 ( 5-1,6). 3 82
( )2
= 1,83(3,4). 3 23
= 1,83.(3,4) 2 2 =1,83.3,4.4 ≈ 24,9
dm3 = 0,0249 m3
s
s
Respuesta: El caudal de agua es aproximadamente de 0,0249
m3
.♦
s
Escribe utilizando la terminología matemática las propiedades de los
radicales.
Para todos los números reales a y b (a >0, b>0) y todos los números enteros
m y n (n >1 , m >1) se cumple que:
1. n a.n b = n a.b : La raíz n- ésima de un producto a. b es igual al producto de
las raíces n – ésimas de los factores.
2. n a : n b = n a : b
:_______________________________________________________________
______________________________________________________
3.
( a)
n
m
= n am ___________________________________________________
_______________________________________________________________
_____
4. m n a = n m a = nm a _______________________________________________
_______________________________________________________________
______________
37
38. 5. kn akm = n am ____________________________________________________
_______________________________________________________________
__________________
Simplificación de radicales
¿Cuándo se pude decir que un radical está simplificado?
Un radical está simplificado cuando:
(1). Su índice no tiene factores comunes con el exponente del radicando.
(2). Se han extraído del radical todos los factores que tienen raíces exactas.
(3). Su radicando no es fraccionario.
Ejemplo 6
Simplifica:
a)
9
b)
76
20
32
c)
8.5 2
d)
5
37
Resolución:
a) 9 7 6 Como el máximo común divisor de 6 y 9 es 3, se divide ambos por 3,
3
9
es decir,
7 6 = 7 2 = 3 49
b) 20 32 Descomponiendo en factores primos el 32, resulta 20 32 = 20 2 5 y
como el máximo común divisor de 5 y 20 es 5, dividimos el índice y el
exponente por 5, obteniéndose 20 2 5 = 4 2
Los incisos a) y b) corresponden al caso (1), observa que es importante para
simplificar tener el radicando expresado en forma de potencia.
c)
8.5 2
Descomponiendo en factores primos el 8, resulta
8.5 2
=
2 35 2
¿Qué factores se pueden extraer?¿Por qué?
Se pueden extraer del coeficiente 8 y de la variable, porque sus exponentes
son iguales o mayores al índice, luego 8.5 2 = 2 35 2 = 2 2 5 2 . 2 = 10 2
d)
5
37
=
5
5
35 . 3 2 =
3
5
32
Los incisos c) y d) corresponden al caso (2) ♦
El caso (3) lo estudiaremos después de las operaciones con radicales.
Ejemplo 7
Compara los siguientes radicales:
4
3 ;
6
5 y
3
2
Fundamenta.
Resolución:
a) Para compararlos debemos transformar todas las raíces a un índice común,
Sería sugerente buscar el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los índices, en
este caso m.c.m (4; 3; 6) = 12. En cada caso se divide el m.c.m. por el índice
de cada radical para obtener el factor por el cual hay que multiplicar tanto el
índice como el exponente de la potencia que figura en el radicando. Luego:
38
39. 4
3=
12
3 3 = 12 27 ;
6
5 = 12 5 2 = 12 25
;
3
2 = 12 2 4 = 12 16
¿Cuál de las raíces es la mayor? Evidentemente es
¿Cuál es la menor?
12
12
27
16
Fundamentación: Al tener igual índice comparamos los radicandos, es decir
27 >25>16, luego
12
27 > 12 25 >
12
16
♦
Ejemplo 8
Compara los siguientes radicales:
6
3
b) 3 1 y 1
2
4
Fundamenta.
Resolución:
Si observamos las raíces con detenimiento nos percatamos que los radicandos
6
son iguales: 1 = 1
2
2
12
2. 3
2
1
=
4
3
. Pudiéramos pensar que entonces la raíz de
índice 3 es menor que la de índice 2, pero no es cierto. Para verificarlo,
transformemos las raíces para que tengan un índice común. Se obtendría:
3 1
6
2
=6 1
2
Es decir,
m
3
1
4
p
1
1
= =
4
2
3
9
18
3
y 1 = 6 1 = 6 1 =1 = 1 .
4
4
2
2
8
6
<3 1 .
2
Si n < q , entonces
p
m
n <a q
a
para a>0 y
p
m
n >a q
a
para 0<a<1.
1.4.2. Operaciones con radicales.
Con los radicales podemos realizar las mismas operaciones que efectuamos
con los números reales.
Ejemplo 1.- Efectúa:
a) 6
b)
2 + 2 3 −5 2 +8 3 + 2
300 + 20 − 3 75 + 2 108 + 2 80
Resolución:
a) ¿Qué semejanzas y diferencias existen entre los términos de la suma?
Debemos observar que todos los términos de la suma son raíces de índice 2,
pero tienen diferentes radicandos.
¿Cómo deben ser los radicales para realizar la adición?
Tienen que tener igual índice e igual radicando a los que se denominan
radicales semejantes.
Son radicales semejantes
6 2, − 5 2, 2 y 2 3,8 3 .
39
40. Podemos adicionarlos como sigue:
(6
) (
)
2 − 5 2 + 2 + 2 3 + 8 3 = 2 2 +10 3 .
b)
Si observamos cada uno de los radicales, tienen igual índice, pero los
radicandos todos son diferentes y no están simplificados. Pasemos a
simplificar aquellos radicales donde esto sea posible, para ver si hay radicales
semejantes entre ellos y se pueden reducir.
Descomponiendo en factores primos cada uno de los radicandos resulta:
10 2.3 + 2 2.5 − 3 5 2.3 + 2 2 2.3 3. + 2 2 4.5
=10 3 + 2 5 −3.5 3 + 2.2.3 3 + 2.4 5
= 10 3 + 2 5 −15 3 +12 3 + 8 5
=
7 3 + 10 5 ♦
Observemos que para realizar una adición (sustracción) de radicales una
condición necesaria es que: los índices y los radicandos sean iguales,
es decir, que los radicales sean radicales semejantes.
¿Cómo se realiza la multiplicación o división de radicales?
Analicemos el siguiente ejemplo
Ejemplo 2
Calcula:
a)
b) 2 3 9 .43 6
3. 5
c)
3
4 2 ⋅ 2 x (x≥0)
d)
4
32
48
e)
4
x5
3
x2
(x>0)
Resolución:
a)
1
1
= 3 2 ⋅ 5 2 es un producto de potencias de igual exponente, por lo
tanto, multiplicamos las bases y mantenemos el mismo exponente.
3. 5
1
15 2 = 15
¿Cómo proceder de manera directa aplicando propiedades de los radicales?
3. 5
=
3.5 = 15
Como los radicales tienen el mismo índice, se multiplican los radicandos
manteniendo el mismo índice. El resultado es un radical simplificado.
b) ¿Qué característica tienen los factores?¿Cómo proceder?
Los radicales tienen igual índice, por lo que se debe aplicar la misma propiedad
que en el ejercicio anterior.
2 3 9 .43 6 = 2.4
3
9 ⋅ 6 = 83 54
En el resultado no se ha obtenido un radical simplificado, entonces al simplificar
se obtiene 83 54 =83 33 ⋅ 2 =8 ⋅ 33 2 = 243 2
40
41. c)
¿Qué diferencia hay entre este ejemplo y los anteriores?
La diferencia es que los índices de los radicales son distintos, entonces, ¿cómo
proceder para realizar el cálculo?
Debemos transformarlos a un índice común. Como el mínimo común múltiplo
de los índices es 6, tenemos que ampliar el índice de ambos radicales a 6:
6 4 6
3 2
3
4 ⋅ 2 x = 4 ⋅ ( 2 x) .
Aplicando el mismo procedimiento que en los incisos a) y b), resulta:
6 ( 2 2 ) 4 ⋅ 6 2 3 x 3 = 6 2 8 ⋅ 6 2 3 x 3 = 6 211 x 3 = 26 2 5 x 3 =
26 32x 3
El resultado es un radical simplificado.
d)
¿Qué características tienen el dividendo y el divisor?¿Cómo proceder?
En este caso se trata de la división de dos radicales con el mismo índice.
4
32
1
1
1
1
1
= 32 4 : 8 4 = 4 4 = (2 2 ) 4 = 2 2 = 2
48
Aplicando
índice,
4
la propiedad se dividen los radicandos manteniendo el mismo
32
32 4
= 4 ,
= 4
48
8
como el resultado no es un radical simplificado
procedemos en consecuencia de la siguiente forma:
se culmina el cálculo.
e)
4
4
4 = 22 = 2
y con esto
¿Qué características tienen ahora el dividendo y el divisor?
Se trata de radicales cuyos índices son diferentes, luego, es necesario
transformarlos para llevarlos a un índice común. Como el mínimo común
múltiplo de 4 y 3 es 12 , aplicando propiedades se obtiene:
4
3
x5
x2
=
12 15
x
12
x8
=
12
x 15 12 7
= x
x8
Como es un radical simplificado se concluye el cálculo pedido.♦
Seguramente observaste que al calcular con radicales resulta ventajoso
aplicar las propiedades y que la respuesta siempre debe ser un radical
simplificado.
Ejemplo 3.
Calcula aplicando propiedades : a)
3
b)
5
b
5
b3
Resolución:
a)
¿Qué propiedades de las potencias se pueden aplicar para realizar el
cálculo pedido? Veamos:
3
=
1
2
(
3)
1
1
2
3 4 =4 3
=
.
De manera análoga se puede proceder utilizando propiedades de los radicales:
= 4 3 , es decir, se multiplican los índices de los radicales y se mantiene
el radical.
3
41
42. b) Este ejercicio se puede hacer por dos vías distintas. La más racional
consiste en tratar de introducir la variable b en la raíz interna, quedando
55
b5 ⋅ b3
=
55
b8 =
25
b8
.♦
Para realizar las operaciones con radicales debes tener en cuenta que:
•
En la adición los radicales tienen que ser semejantes. Para ello es
necesario en ocasiones extraer o introducir factores en el radicando y
simplificar o ampliar el índice del radical a los efectos de obtener
radicales semejantes.
•
En la multiplicación y la división, si los índices son iguales, se aplican las
propiedades n a.n b = n a.b y n a : n b = n a : b ; si los índices no son
iguales, se transforman
a uno común aplicando la propiedad
m
n
kn km
a = a .
•
En la extracción de una raíz de una raíz encuentra aplicación
fundamentalmente la propiedad
m n
a =
n m
a = nm a
Racionalización de denominadores.
¿Qué significa racionalizar un denominador?
Racionalizar un denominador significa eliminar los radicales del denominador.
En esta parte solamente vamos a trabajar con denominadores que sean
monomios o binomios, en lo que aparecen radicales.
Ejemplo 1.
Racionaliza los denominadores siguientes:
a)
2
3
b)
7
3 10
c)
5
3
2
d)
1
(a>0)
2a
Resolución:
a)
En el denominador de la fracción aparece 3 , una raíz con índice dos,
luego para eliminarla es necesario multiplicar numerador y denominador
por 3 , de esta forma se igualan el índice y el exponente al que está
elevado el número 3. Se procede entonces de la siguiente forma:
2. 3
3 3
=
2 3
3
2
=
2
3
•
3
3
=
2 3
3
42
43. 7
b)
en
3 10
7 10
3 10. 10
5
c) 3
=
70
3 102
este
caso
se
procede
de
forma
similar
70
observa que se amplia la fracción solo por la raíz.
30
=
El índice de la raíz que aparece en el denominador es tres, luego para
2
eliminar la raíz del denominador se multiplica el numerador y el denominador
por
3
53 2 2
53 4 53 4
=
=
3 2
3 3
3
2
2• 2
2
2 , quedando
2
d) Una vía:
4
1
2a
Otra vía sería :
4
=
2a
1
=
2a
4
2a
•
2a
=
4 2a 2 2a
=
2a
a
16
=
2a
8
=
a
8 2 2 2 2 . a 2 2a
=
=
=
a
a
a
a. a
♦
En el ejemplo anterior los denominadores contienen un solo radical, se trata de
denominadores monomios que se racionalizan muy fácilmente. Veamos cómo
simplificar cuando el denominador es un binomio y aparece al menos una raíz
en el mismo.
Para racionalizarlos se hace uso del concepto siguiente:
La expresiones
a+ b
y
a− b
con a>0, b > 0 se llaman conjugadas.
Ejemplo 2
Racionaliza:
a)
1
3 −2
2
b)
5+ 3
c)
6
, a > −1
a +1
Resolución:
¿Qué diferencia existe en relación con el ejemplo anterior?¿ De qué forma
debemos proceder si el denominador es un binomio?¿Por qué es posible
proceder así?
La diferencia es que en el denominador aparecen binomios con al menos una
raíz.
Si un denominador binomio se multiplica por su conjugada, se eliminan los
radicales, dado que ( a + b )( a − b )
=
= a – b
a2 − b2
( con a >0, b > 0)
a)
1
3 −2
hay que ampliar la fracción multiplicando por la conjugada del
denominador :
1.( 3 + 2)
( 3 − 2).( 3 + 2)
b)
2
5+ 3
=
3 +2
2
( 3 ) − ( 2)
2
=
3 +2
=
3−4
3 +2
= − 3 −2
−1
en este caso se procede de forma similar al ejercicio anterior:
43
44. 2 ( 5 − 3)
(
( 5 + 3) 5 −
(
)=
3) ( 5) − ( 3)
2 5− 3
=
2
2
10 − 6
10 − 6
10
6
=
=
−
5−3
2
2
2
6
para racionalizar este cociente es necesario ampliar la fracción
a +1
c)
multiplicando por a +1 , debe observarse bien la diferencia, estamos en
presencia de la raíz de una suma y no de una suma de raíces, luego
(
6
(
a +1
a +1
)(
)
a +1
=
6
) (
(
a +1
a +1
)
) = 6(
2
a +1
a +1
)
♦
Ejemplo 3:
Efectúa:
1
+ 43 27 + 12
2+ 3
Ten en cuenta para la respuesta que
3
≈ 1,73
Resolución:
1
+ 43 27 + 12
2+ 3
=
2− 3
+ 4 6 33 + 2 3
4−3
= 2− 3 +4 3 +2 3 = 2+5 3
≈ 2 + 5(1,73) = 10,65 ≈ 10,7
Es importante que tengas en cuenta que:
Para racionalizar un denominador que sea un binomio puede ocurrir que:
I.
Aparezca un término que sea un radical y uno que no lo sea.
II.
Aparezcan dos términos que sean radicales.
En estos casos se multiplica y divide la fracción por un binomio que es el
conjugado del denominador de la fracción dada, al realizar la multiplicación en
el denominador aparecerá una diferencia de cuadrados por lo que se elimina el
radical del denominador, y se resuelve hasta dejar simplificada totalmente la
fracción.
¿Por qué término habrá que multiplicar el numerador y el denominador de la
fracción
A
n
a
(a>0) para poder racionalizar su denominador?¿Por qué
44
45. expresión habrá que multiplicar a
A
n
n
a±
b
A
3
3
a−
b
para este mismo fin? ¿Y
?
1.4.3 Logaritmación.
Conocemos que la radicación es una operación inversa de la potenciación, pero
¿es la única operación inversa de la potenciación? Analicemos el siguiente
ejemplo:
Ejemplo 1
Halla el valor de x en: a) 53 = x
b) x3 = 64
c) 2x = 32
Resolución:
a) x = 125 ; porque 5 3 = 5⋅5.5 = 125 , (conocida la base y el exponente
hallamos la potencia).
b) x = 4 ; porque 4.4.4 = 64 , es decir, 4 3 = 64 (conocido el exponente y la
potencia hallamos la base, luego, mediante la operación de radicación resulta
que 3 64 = 4
c) x = 5 ; porque 2. 2. 2. 2. 2. = 32, entonces 2 5 = 32 (conocida la base y la
potencia hallamos el exponente) ♦
Es sugerente preguntarse ¿La potenciación o la radicación nos permiten calcular
el exponente de una potencia, conocida la base? No, es necesario por tanto
definir una nueva operación, la logaritmación, que es también una operación
inversa de la potenciación.
Esta operación encuentra múltiples aplicaciones, por ejemplo, para medir el
llamado pH, indicador del nivel de acidez de una disolución, que es igual al
valor opuesto del logaritmo de la concentración de los iones hidronio en la
disolución. También se usa para medir la diferencia de la intensidad de dos
sonidos: Si IA e IB son las intensidades de dos sonidos A y B expresadas en
IA
watts/cm2, la expresión 10 log
mide en la unidad llamada decibel (db) la
IB
diferencia de intensidad en los sonidos A y B. Estos y otros ejemplos
atestiguan la importancia de poder realizar esta operación.
Definición:
Dada una base a > 0, a ≠1 y un número b > 0, se llama logaritmo de b en base a
y se denota loga b al número c al cual hay que elevar la base para obtener el
número: ac = b.
Simbólicamente la definición anterior se escribe: loga b = c si y solo si ac = b
Si sustituimos c = loga b en ac = b por tanto resulta que:
a loga b = b ( Identidad fundamental logarítmica )
45
46. Podemos concluir que: La radicación y la logaritmación son operaciones
inversas de la potenciación, lo cual se resume en el siguiente esquema.
Ejemplo 1
Escribe en notación logarítmica las siguientes expresiones exponenciales:
a) 25 = 32
1
b) 10–2 = 0,01 c) 5 3 = 3 5 d) 33,4 = 41,90
Resolución:
a) log2 32 = 5
b) log10 0,01 = – 2 c) log5 3 5 =
1
d) log3 41,90 = 3,4 ♦
3
Nota: En el caso de la base 10 (decimal) puede no escribirse, es decir, en el
inciso b) resultaría log 0,01 = – 2.
Ejemplo 2
Expresa en forma exponencial los siguientes logaritmos:
a) log2 16 = 4
b) log 5 125 = 3 c) log 0,5 8 = – 3 d) log
e) log77 = 1
f) log11 1= 0
3
3=2
Resolución:
a) 24 = 16
b) 53 = 125
e) 71 = 7
f) 110 = 1
En general :
c) (0,5)–3 = 8
d) 3 2 = 3
♦
log a a = 1 (para a > 0, a ≠1)
log a 1 = 0 (para a > 0)
Ejemplo 3
Calcula aplicando la definición de logaritmo:
a) log 2 128
b) log 3 3
c) log100
d)
e) log 4 1
f)
log 0,001
g) log5 0,2
h) log3 ( – 3)
log 2
1
4
i) log–2 1
46
47. Resolución:
b) log3 3 =1; 31 = 3
a) log 2 128 = 7; 27 = 128
d)
log 0,001 =
f) log 2
−3; 10 –3 = 0,001
1
= – 2;
4
2– 2 =
1
4
c) log100 = 2; 102=100
e) log 4 1 = 0; 40 = 1
g) log5 0,2 = – 1; 5 –1 = 0,2
h) No existe, porque – 3 < 0 (el argumento tiene que ser positivo)
i) No existe, porque – 2 < 0 (la base tiene que ser positiva y desigual de 1) ♦
Ejemplo 4
Para medir el nivel de acidez de una disolución se usa como medida el llamado
(
pH = − logc H3O +
)
. El pH compatible con la vida se encuentra entre 6,8 y
7,8. Si la disolución tiene un pH menor que 7, ¿se podrá clasificar como ácida o
base?
Halle el pH de una disolución en la cual la concentración de los iones hidronio
es c(H30+)= 10– 3 mol · L– 1
Resolución:
(
pH = − logc H3O +
)
= − log10 −3 = − ( −3 ) = 3 . La disolución es ácida,
pues el pH es menor que 7. ♦
Aclaración: Cuando el pH es menor que 7 la disolución es ácida, si es mayor
que 7 es básica y si es igual a 7 se considera neutra. Esta es una de las
aplicaciones de los logaritmos.
Cuando el logaritmo es de base 10 se le denomina logaritmo común o vulgar y
se omite la indicación de la base escribiendo simplemente log b en vez de
log 10 b .
Cuando la base del logaritmo es el número irracional e se le denomina
logaritmo natural o neperiano en honor a John Napier, matemático escocés
quien publicó en 1614 las primeras tablas para su cálculo. Se escribe ln b en
lugar de loge b.
Exceptuando los números que son potencias de exponente entero de la base,
en los demás casos es difícil la determinación directa del logaritmo de un
número dado. Por este motivo se emplean tablas con las cuales se pueden
efectuar cálculos de logaritmos al menos de forma aproximada o se recurre al
uso de la calculadora.
1.4.4 El trabajo con la calculadora
47
48. La mayoría de nosotros utilizamos calculadoras, por ejemplo, al hacer uso de
las incorporadas a las computadoras. A ellas accedemos cuando dentro del
menú de la barra de Inicio pinchamos Programas, después Accesorios y por
último Calculadora. Ellas tienen una historia muy antigua que se remonta
aproximadamente al milenio III a.n.e. con el ábaco, la cual te sugerimos que
investigues en Microsoft Encarta.
Sin embargo, a veces no sabemos aprovechar todas las posibilidades que ellas
nos brindan o trabajamos solo con la calculadora estándar en que se opera
solo con números en notación decimal. Si en el menú de la calculadora
pinchamos la opción Ver apreciaremos que tenemos acceso también a una
calculadora científica. Esta permite no solo el cálculo de las operaciones
básicas, sino también de potencias, de valores de funciones exponenciales,
logarítmicas y trigonométricas, entre otras facilidades. Algunas calculadoras
científicas pueden programarse, realizar representaciones gráficas de
funciones y hacer cálculos simbólicos. Con ellas se puede trabajar sobre la
base de distintos sistemas de numeración: hexadecimal, decimal, octal, binario,
entre otros.
Un sistema de numeración de base m (m ≥ 2) permite representar todo
número natural N ≥ 1 como
N = anmn + an–1mn–1 + … + a0m0.
El exponente n y los coeficientes ai (i=0,…n) están determinados de forma
única por N y m, de modo que n ≥ 0, an ≠ 0 y 0 ≤ ai ≤ m –1(i=0,…n). Esta
representación del número N se denomina m- ádica y se acostumbra a escribir
también (an an–1… a0)m. En el sistema decimal omitimos los paréntesis y toda
referencia a la base 10. Así el número 524=5. 10 2 + 2.10 + 1 se escribe
simplemente 524 y no (524)10.
48
49. Ejemplo 1:
El sistema de numeración binario es de base 2 y permite representar todo
número entero no negativo como:
N = an2n + an–12n–1 + … + a020,
donde los coeficientes solo pueden tomar los valores 1 ó 0. Así el número 10
se representa como (1010)2, pues
10 = 1.23 + 0.22 + 1.21 + 0.20
Las operaciones aritméticas con números en base 2 son muy sencillas. Las
reglas básicas son: 1 + 1 = 10 y 1 × 1 = 1. El cero cumple las mismas
propiedades que en el sistema decimal: 1 × 0 = 0 y 1 + 0 = 1. La adición,
sustracción y multiplicación se realizan de manera similar a las del sistema
decimal:
El sistema de numeración octal es de base 8. ¿Cómo representarías el
número 10 en este sistema de numeración?
En el sistema hexadecimal, de base 16, los coeficientes a i
(i =0,…15) son
tales que 0 ≤ ai ≤ 15. Dado que solo contamos con los dígitos
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 se acostumbra utilizar las letras A, B, C, D, E, F para el
caso en que ai es igual a 10, 11, 12, 13, 14 ó 15 respectivamente. De modo que
el número 10 se representa como (A)16. Esto lo puedes comprobar escribiendo
en la calculadora el número 10 en el sistema decimal y después haciendo clic
donde dice Hex para indicar hexadecimal.
En los sistemas numéricos binario, octal y hexadecimal,, la calculadora
presenta únicamente los dígitos inferiores de una respuesta cuando los
resultados contienen más dígitos de los que permite el tamaño de
presentación. Este comportamiento es similar a cómo se realizan los cálculos
en los sistemas informáticos. Por eso cuando se trabaja en estos sistemas hay
que tener en cuenta el tamaño de presentación, que puede ser de tipo Byte,
Word, Dword y Qword que representan en 8, 16, 32 y 64 bits el número
mostrado.
En el menú de Ayuda de la calculadora de la computadora
siguiente explicación:
se ofrece la
Para convertir un valor a otro sistema numérico:
1. En el menú Ver, haga clic en Científica.
2. Escriba el número que desea convertir.
3. Haga clic en el sistema numérico al que desea convertirlo.
4. Haga clic en el tamaño de presentación que desee utilizar.
También en el menú de Ayuda de la calculadora de la computadora puedes
encontrar la siguiente información para trabajar con números almacenados en
memoria:
•
Para almacenar el número mostrado, haga clic en MS.
49
50. •
•
•
Para recuperar un número almacenado, haga clic en MR.
Para borrar la memoria, haga clic en MC.
Para sumar el número mostrado al número ya almacenado en memoria,
haga clic en M+. Para ver el nuevo número, haga clic en MR.
Cada vez que se ordene almacenar un número este remplazará al que se
encuentre en la memoria.
Ejemplo 2:
Calcular 1.1622 +15.162.
Podemos proceder pinchando las teclas siguientes:
16
x^y
22
=
MS
15
*
16
x^y
2
=
M+
MR
En la pantalla aparecerá el número 309 485 009 821 345 068 724 784 896
(separado por comas), el cual podrás copiar y pegar en tu hoja de trabajo
yendo a la opción Edición de la computadora. Su representación en notación
hexadecimal es (1000000000000000000F00) 16. En la computadora aparece 00
en el tamaño de presentación de tipo Byte y F00 en los restantes.
Es conveniente tener en cuenta lo que se expresa en el recuadro siguiente:
•
Cuando convierta un número decimal con posiciones decimales a otro
sistema numérico, se eliminará la parte decimal del número, convirtiéndolo
en un número entero.
50
51. •
Los números convertidos a decimales a partir de notación hexadecimal,
octal o binaria se muestran como enteros positivos.
Haciendo clic en el botón derecho del mouse podemos averiguar el cálculo que
se puede efectuar con cada tecla.
Ejemplo 3:
Calcular 2,6 + 3. ln 24,5
Resolución:
Comenzamos marcando Dec (decimal) y pinchamos las teclas en el orden
siguiente:
==
24,5
Ln
3
*
+
=
2,6
=
Nótese que hemos escogido una vía racional que respeta el orden operacional.
De otra forma hubiéramos tenido que utilizar la tecla para almacenar.
En el ejemplo siguiente, apreciaremos cómo se utiliza la tecla Inv. para el
cálculo de la raíz cuadrada. Se calcula primero la razón trigonométrica seno
para un argumento en notación decimal y después para un argumento en
notación sexagesimal y por último se adicionan.
Ejemplo 4:
Calcular
sen 5 + π +sen
5300
Resolución:
Observe que debajo de la columna de la memoria aparece una tecla que tiene
escrito pi. Comenzamos entonces marcando Dec (decimal) y Radián y
pinchamos las teclas en el orden siguiente:
5+pi
=
Inv
x^2
sin
MS
Cambiamos entonces a Sexagesimal y continuamos
530
sin
M+
MR
Una expresión decimal, aún siendo finita, no puede ser representada por regla
general como una expresión binaria finita, sino por una infinita. Lo mismo
ocurre con los restantes sistemas de numeración.
En las calculadoras de las computadoras que utilizamos hoy en día las
operaciones tienen una precisión de 32 dígitos como mínimo. 1 La calculadora
1
Véase en la Ayuda de la calculadora de cualquier ordenador lo que aparece en relación con “descripción
de la precisión extendida”.
51
52. almacena los números racionales como fracciones para mantener esta
precisión. Sin embargo, los errores se acumulan durante las operaciones
repetidas sobre números irracionales. Por ejemplo, la calculadora truncará pi
en 32 dígitos, de forma que las sucesivas operaciones efectuadas sobre pi
perderán precisión a medida que aumente el número de operaciones. Para
superar esta limitación se pueden representar los números en notación
exponencial.
Veamos cómo se pueden realizar cálculos estadísticos.
Para realizar un cálculo estadístico:
1. En el menú Ver, haga clic en Científica.
2. Escriba el primer grupo de datos y haga clic en Sta para abrir el Cuadro
de estadísticas.
3. Haga clic en RET para volver a la Calculadora y en Dat para guardar el
valor.
4. Escriba el resto de los datos y haga clic en Dat después de escribir cada
dato.
5. Haga clic en Ave (promedio de los valores guardados en el Cuadro
de Estadísticas), en Sum (Suma de los valores) o en s (desviación
estándar).
Ejemplo 5:
Determinar la media aritmética de los valores siguientes:
45, 47, 51, 44, 47, 46, 47, 47, 48, 44, 46, 48, 51, 49, 49
Después de teclear cada dato se pincha la tecla Dat. Haciendo clic en Ave
obtenemos la media aritmética.
Si queremos que aparezca el cuadro de estadísticas hacemos clic en Sta.
Para eliminar un valor de la lista se puede hacer clic en CD o bien se
pueden eliminar todos los valores haciendo clic en CAD. Al hacer clic en
Cargar, el número mostrado en la pantalla de la Calculadora cambia por el
número seleccionado en el Cuadro de estadísticas.
Ejercicios (epígrafe 1.4)
1.
Determina la veracidad o falsedad de las proposiciones
siguientes:
a) La operación de radicación se puede realizar de manera ilimitada en R.
b) La operación de extracción de raíces de índice par de números positivos
está determinada unívocamente.
52
53. c) La operación de extracción de raíces de índice impar de números negativos
está determinada unívocamente.
d) La operación de elevar al cuadrado ambos miembros de una ecuación es
una transformación equivalente.
2.
De las siguientes igualdades diga cuáles son verdaderas
y cuáles falsas.
A.____
3 6 =3 2 .3 3
a =5 a
5 7 =5 4 +5 3
C.____
4
D.____ 54 2 3 = 4 40
3.
3
B.____
E.____ 7 3 4 = 3 7
Indica cuál de las afirmaciones siguientes es falsa.
Escribe la igualdad para obtener una proposición verdadera.
____
____
18 = 3 2
4.
8 ;
6
3
3
2
;
4
27
3
=3
2
2
____ 3 − 16 = 23 − 2 ___
a 2 b = a ab
Al ordenar de forma creciente los siguientes radicales
2 , se obtiene la siguiente lista:
3
A.____
6
8 ;
C.____
6
8 ;
5.
3
;
32
4
4
B.____
23
23 ;
3
9 ;
3
D.____
9
4
3
23 ;
9 ;
6
4
64
8 ;
6
23
Compara:
a). 5 10 y 4 5
b).
6.
6
16 y 3 5
Simplifica los siguientes radicales.
a)
b)
e) 4 729
3
40
c) 5 972
d) 6 448
f)
162
10
32
g)
h) 12 256
7.
6
625
Compara los siguientes radicales.
a)
2 y
d)
5
g)
y
3
y
3
b)
3
2
4
e)
3
5
1
2
y
7 y
4
4
8.
c)
f)
2,1
h)
2
1
5
5
,
3
2 y
6
4 3
1
y
3
y
5
5 3
1
2
32
Simplifica los siguientes radicales.
a)
4
d)
144
3
2
3
b)
15
32a 5
e) ( a − b )
c)
12
729x 24
2
( con a > b)
a −b
53
54. 9.
El resultado de efectuar
.____ −2 5
____ 10 − 6 5
10.
Al calcular:
20 − 6 5
____ 4 5
a. + 9a
obtiene es:
____
____ 440
3.
11.
a)
3
es:
;
a ≥ 0 el resultado que se
____3
3a .
____ − 4 5
____4
3a .
a.
Efectúa:
54.53 4
b) 5 16.5 8
c) 7 8.27 2.7 32
d) 9 58 12 53
e) 3
f) 5
75 : 9 3
g) 4 3 18 :
i) 7
k)
4
12.
:5
225
3:
3
h) 4
6
60
72
:6
5
:8
32
j) 3 2 : 3 2
5
4
Expresa simbólicamente qué propiedades de las
potencias y/o las raíces se aplicaron en cada unos de los pasos de la
resolución de los ejercicios siguientes:
a) 10 + 3 4 100
= 10 + 3 10 = 4 10 ______________________________________________
−1
1
b) 3 4 −
2
2
2 __________________________________________________
= 34 2 −
= 2 4 2 ________________________________________________________
3
c)
2,5
3
3
3
6
=
15
3
15
15
______________________________________________
= 1 _________________________________________________
4
d)
4
0,35
=
0,3
=
4
4
0,35
0,32
______________________________________________
0,33 ______________________________________________________
13.
Efectúa las siguientes operaciones:
a)
c)
2 +5 2 −3 2
3
b) − 18 ⋅ 4 3 + 4 ⋅ 4 3 + 2 ⋅ 4 3
7 ⋅3 4
d)
e) 3 14 : 3 7
f)
5
5
2 ⋅ 5 28 ⋅ 5 3
2 : 5 16
54
57. 26.
24
para a>0
6 4a
Al racionalizar y simplificar
A.____ a
B.____
27. El resultado de calcular
A.____ 13,1
2
2+ 2
4 a
a
C.____
2 a
a
D.____ 4
+ 43 8 + 50 es aproximadamente:
B.____ 13,3
C.____ 15,5
D.____ 13
28Calcula:
a).
3
⋅ 40000
6
b).
d).
2 ⋅ 3 20
e).
20 +
(
625
5
50 − 2
)
c).
−6
: 3
1+ 3
2
30. Calcula:
5 +
a).
d).
3
20 - 2
1
5
5 3 6
⋅
⋅
8 4 5
b).
2 1 3 3
⋅
⋅
3
2
4
e).
3
c).
3
2
2 3
⋅
⋅ 3
5
3
7 4 25 3 3
⋅
⋅
2
9
10
29. Exprese en notación logarítmica;
a) 33 = 27
b) 26 = 64
c) 2-2= 0,25
f) 51= 5
g) 10-2= 0,01
h) 10 1,88997= 77,62
1
d) 60= 1
e) 7 2 = 7
i) 100,84135= 6,94
30. Exprese en notación exponencial:
a ) log 10 = 1
b ) log 2 64 = 6
c ) log 4 256 = 4
d ) log 1 1 = 0
e ) log 100000 = 5
f ) log 4 2 = 0 ,5
h ) log 5 = 0 ,69897
i ) log 0 ,00001 = −
5
2
g ) log b y = m
b > 0, b ≠ 1, y > 0
31. Calcular:
a) log2 16
b) log3
1
27
1
c) log3 (-1)
e) log10 100 − log10 1 000
g) log2 8 +
d) log
f) log15 1 + log2
2
2 + 9log 1 − log3 1
1
− log5 125
8
1
1
log5
5
5
32. Calcula aplicando la definición de logaritmo:
a) log381
b) log1111
g) log3243 h) log7343
c) log20,5
d) log2512
e) log 0,1
f) log91
i) log 2 16
j) log927
k) 3 log3 1,5
l) 4 log2 7
57
58. 33.
Halle el valor de la variable en:
1
4
b) 2x =
a) 13x = 169
e) 25x =
d) 32 x = 27
1
125
c) 103 x = 1 000
f) 9x = 243
g) 8 2 x = 128
h) 2 x · 4 = 32
i) 3 2 x + 1 = 1
j) 7 x + 9 − 49 x = 0
k) 0,3 y = 0,3−3
l)3x+2.33=243.
y
m) 3 =
34.
a)
1
27
n) 10
2x
= 0,1
1
2
Calcula con auxilio de la calculadora:
(ln 4,6)3 +3,5
b) log34,2+
c)
1
o) 4 −x =
log 502
ln 0,25 +ln 327
l
1
1
d) log 3 569 − log
− 0,00024
5
ln 0,4
e) ln 0,027 − ln 0,07
58
59. 35.
Dado el pH de una disolución, encuentre la concentración de sus iones
Hidronio , sabiendo que: c (H30+) = 10− pH
Calcula la concentración de iones Hidronio que contiene una disolución
cuyo pH es 6.
36.
En acústica se estudia que la percepción del sonido por el oído
humano es proporcional al logaritmo de su intensidad. Si I A e IB son las
intensidades de dos sonidos A y B expresadas en watts/cm 2, la
IA
expresión: 10 log
mide, en la unidad llamada decibel (db), la
IB
I1
diferencia de intensidad en los sonidos A y B. Si la razón
de las
I2
intensidades empleadas en el habla es de 251, ¿cuál es la variación de
intensidad de la palabra hablada?
log 251 = 2,4.
Nota: Se considera que un sordo necesita para escuchar algún mensaje
100 db. Una conversación normal se puede medir aproximadamente con
una intensidad de 50 db, el murmullo en 20 db y la música rock en 120
db.
1.6 Ejercicios del Capítulo
1.
Marca con una cruz la proposición verdadera:
___Las expresiones decimales periódicas son números irracionales.
___La operación de extracción de raíces de índice par de números
positivos está determinada unívocamente.
___La operación de sustracción se puede realizar de manera ilimitada en el
conjunto Z de los números enteros.
___El conjunto R de los números reales está formado por los números
fraccionarios y sus opuestos.
2.
Completa:
1
2
2
, después
y luego,
de la unidad . La parte que
3
5
15
queda es –––––
2.1 Si se toma
2.2 La octava parte de 210 es: ––––––––––––
2.3 El valor de la expresión A = 3,75 – 0,5 : 1,25 + 11 es –––––
2.4 Si 55 metros de un tipo de sutura utilizada en heridas superficiales cuesta
$4,40, ¿cuánto cuestan 75 metros?––––––––––
2.5 Un pomo de vegetales en conserva pesa 250 gramos, ¿cuántos kilogramos
pesan cinco cajas, si en cada caja caben 100 pomos como estos? ––––––––––
3.
Seleccione la respuesta correcta subrayando la misma.
El promedio de M y N donde M = 64 – 18:
__ 66
___ 33
____
4
ó
36
4
y
N=
5 33
+
4 12
es:
___ ninguna de los anteriores
59
60. 4.
Completa la siguiente tabla:
A
B
C
A
.• C : B B – C : A C – 3A : 2B
C
7
−5
−3
−
0,6
−3,5
−
−4
2
5
−
5
8
0,3
5.
0,15
2,34
−
1
4
Completa el cuadro siguiente realizando las operaciones indicadas.
1
2
·
–4
−
·
0,9
24
10
+
:
– 10
60
61. 6.
Sustituye y calcule:
3 |a|+ 5 |b| − |c|; para a = − 2; b = −1; c = − 8
7.
El valor numérico de la expresión n – p :q para n = – 0,02, p =
– 2 es:
0,52
8.
– 0,12
0,46
1
yq=
4
0,48
1
2
El valor numérico de la expresión a – b : c para a = 1, b = 3,2 y c =
es:
– 4, 4
5,6
– 5,4
0,6
9.
Determine el conjunto numérico más restringido al cual pertenecen los
números obtenidos al calcular los valores de a y b si:
a = − 4,72 – 6,8 × 7,1 + 4,8 : 0,2
y
b=3
1
4
3
4
–
:6
–
+ 0,7
3
5
3
5
Fundamenta tu respuesta.
10.
El valor numérico de la expresión
m − n •p
q
para m = – 2, n = –
1
,
4
p = 16 y q = 3 es:
___
11.
28
3
___
2
3
___–
. El valor numérico de la expresión a −
28
3
___– 2
b•c
1
para a = – 1, b =
,c=8
2
d
y d = – 2 es:
___
−3
___ − 6
___ 1
___ − 1
12.
Representa gráficamente los conjuntos siguientes y escríbalos en
notación de intervalo:
a)
A ={x ∈ R :–5 <x<7}
b)
B ={x ∈ R : x ≤ 2 }
c)
C ={x ∈ R : –
d)
D ={x ∈ R :
e)
13.
E= {x ∈ R :
x
>2}
x
≤1}
Realiza las siguientes operaciones entre los conjuntos que se indican:
a) [2;7] (3;5)
c) [4;+∞] (1;4)
14.
1
<x ≤ 3,5}
4
b) [–2;–0,5] [0;+∞]
d) (2; 3,5) [–1;6]
e) [–2;3] [0;4,6)
Verifica si las siguientes igualdades son verdaderas:
61