Cartografia

GPS y otros medios de
localización
CAMPUS CIENTÍFICO
VERANO 2011
Proyecto de Matemáticas
Cartografía
Mario Fioravanti, Ma. José Fuente, Isabel Gómez,
Claudia Lázaro, Francisco Santos, Luis Felipe Tabera
Esta presentación contiene material tomado de un trabajo de
Isaac B. Sánchez: http://www.slideshare.net/isaacbuzo/la-cartografia

UC. Campus Científico de Verano 2011. GPS y otros métodos de localización
CARTOGRAFÍA
Cartografiar consiste en representar
una porción de la superficie terrestre
sobre una superficie reducida,
generalmente plana. El producto de
la cartografía son los mapas, las
cartas y los planos.
Para la elaboración de los mapas se
deben resolver de forma satisfactoria
tres problemas:

CARTOGRAFÍA
CARTOGRAFÍA
b) Dibujar un superficie
esférica (tierra) en un
espacio plano (mapa).
a) Trasladar un espacio
real grande a un
espacio dibujado
pequeño
c) Representar un espacio
tridimensional (realidad)
sobre un espacio
bidimensional (mapa).
PROBLEMAS SOLUCIONES
ESCALA
PROYECCIÓN
TOPOGRÁFÍA

CARTOGRAFÍA
La escala de un mapa es el cociente entre las distancias medidas sobre el mapa y
las correspondientes distancias reales sobre el terreno. Se utilizan para poder
reducir de manera proporcional el tamaño real de un espacio. Sobre un mapa
puede venir indicada de dos maneras:
Escala numérica 1: 50000
Indica la relación entre la realidad y el mapa en forma de cociente, siendo el
numerador la distancia sobre el mapa y el denominador la distancia en la realidad.
Escala gráfica
Indica mediante segmentos la distancia real que corresponde a cada uno de ellos.
Escala cromática
En los mapas que representan, por ejemplo, el relieve de un terreno, se
utilizan diferentes colores para identificar las distintas alturas y
profundidades.
LA ESCALA

CARTOGRAFÍA
En el presente mapa observamos una escala numérica de 1:50000 lo que nos indica
que a cada unidad de medida (cm, mm, etc) contada sobre el mapa le corresponden
50000 unidades de la misma medida en la realidad.
Si la distancian entre el Pico Mirador y el Cortijo de los Encinares son 6 cm sobre el
mapa, en la realidad serán 300000, o lo que es lo mismo 3000 m.

CARTOGRAFÍA
En el caso de espacios pequeños, como un terreno, una urbanización o una ciudad, la
región que queremos representar se aproxima mucho a una región plana. Decimos que se
trata de un plano. En el caso de continentes o grandes regiones, se debe escoger algún
tipo de proyección y esto produce ciertas deformaciones, alterando las distancias, los
ángulos o las áreas.
Fuente: http://maps.google.es/ y CNICE
Diferencia entre plano y mapa
La escala tiene sentido si las distancias entre puntos de la representación plana
son proporcionales. Si el mapa abarca una región terrestre amplia, es imposible
conservar la proporción de todas las distancias entre puntos, debido a la
curvatura de la tierra.

CARTOGRAFÍA
Los símbolos cartográficos son representaciones de los distintos
elementos que se encuentran en la superficie terrestre. Para poder
uniformar la lectura de los mapas se acordó su forma a través de
convenciones internacionales.
Símbolos cartográficos

CARTOGRAFÍA
PROYECCIONES
Al ser La Tierra casi esférica, no es posible representarla sobre un plano,
a escala, pues la esfera es una figura geométrica que no se puede
desarrollar (transformar en plano, como si se puede hacer con un cono,
un cilindro, o un poliedro). Para representar la esfera terrestre se debe
escoger un método de proyección. Estos métodos son muy variados y
debemos conocer sus propiedades para poder decidir cuál es el que más
nos conviene para el fin para el que queremos utilizar el mapa.
¿?
Cubo Cono Esfera

CARTOGRAFÍA
¿Cuál es el camino más
corto para ir de
Santander a México?
¿Cuál es el camino más
corto para ir de
Santander a Tokio?
¿qué es más grande,
Groenlandia o Australia?

CARTOGRAFÍA
Peters

CARTOGRAFÍA
Estereográfica

CARTOGRAFÍA
De Chile a Australia: mira estos caminos y di cuál te parece mejor
y por qué:

CARTOGRAFÍA
Tipos de proyecciones
Cilíndricas Cónicas

CARTOGRAFÍA
Tipos de proyecciones
Azimutales: sobre un plano tangente a la esfera
Gnomónica Ortográfica Estereográfica

CARTOGRAFÍA
Propiedades que puede conservar una proyección
 Conforme: conserva los ángulos.
 Equivalente o isoareal: conserva las áreas.
 Equidistante o isométrica: conserva las distancias.
Si una proyección es isométrica, entonces es conforme, equivalente
y conserva las longitudes de curvas.
No existe ninguna proyección isométrica de la esfera sobre el plano.

CARTOGRAFÍA
Geodésica: es la curva de menor curvatura. La línea más corta entre
dos puntos es una geodésica. En el caso de la esfera las geodésicas
son los círculos máximos (intersección de la esfera con un plano que
pasa por su centro).
Loxodroma: línea de rumbo fijo.
http://www.vc.ehu.es/campus/centros/farmacia/deptos-f/depme/apuntes/gracia/2009-2

CARTOGRAFÍA
Proyección de Arquímedes o cilíndrica isoareal de Lambert
• Es rectangular.
• Los meridianos y los paralelos son rectas que se cortan perpendicularmente.
• Preserva las áreas, pero no preserva los ángulos ni las geodésicas.
• La distorsión es muy pequeña cerca del ecuador y grande al acercarse a los polos.

CARTOGRAFÍA
Proyecciones que preservan las geodésicas
Proyecciones centrales o gnómicas
• Su imagen es circular y solo cubre una
parte de uno de los hemisferios.
• Preserva geodésicas, pero no ángulos ni
áreas.
• La distorsión de meridianos y paralelos es
µ = 1/sen2
φ, λ = 1/sen φ.

CARTOGRAFÍA
Proyecciones que preservan los ángulos
Proyeccion de Mercator
• Es un mapa rectangular.
• Los meridianos y los paralelos son
rectas que se cortan en ángulo recto.
• Es conforme, pero no preserva
áreas, ni geodésicas, ni formas.
• Las loxodrómicas o líneas de rumbo
fijo se transforman en rectas.
• La distorsión de meridianos y
paralelos es
µ = 1/cos φ, λ = 1/cos φ.

CARTOGRAFÍA

CARTOGRAFÍA
Tissot isoareal cónica (N. A. Tissot, 1881)

CARTOGRAFÍA
La aparición de los Sistemas de Información Geográfica (SIG) en los años 1970 y
su popularización en los 90 han revolucionado la forma de crear y manejar
cartografía a través de estas herramientas informáticas que asocian elementos
espaciales con bases de datos. Los SIG permiten el análisis y la gestión del
territorio a través de cartografía digital de una manera rápida y efectiva.
En la actualidad la elaboración de mapas es una operación compleja en la que
participan grupos de más de 50 diferentes disciplinas: fotonavegantes,
mecánicos, químicos laboratoristas, geodestas, matemáticos, topógrafos,
geólogos, biólogos, geógrafos, físicos, agrónomos, edafólogos, ingenieros civiles,
economistas y arquitectos, entre otros.

CARTOGRAFÍA
Un mapa tiene dos dimensiones, anchura y profundidad, mientras que
en la realidad existen tres, ya que también tenemos la altura.
ANCHURA
PROFUNDIDAD
Nivel del mar
ALTURA
ANCHURA
PROFUNDIDAD
MAPA: dos dimensiones REALIDAD: tres dimensiones
TOPOGRAFÍA

CARTOGRAFÍA
Para representar la altura en los mapas se pueden utilizar varios sistemas, los
mas comunes son:
Mapas de isopletas o curvas de
nivel, que unen puntos con las
mismas alturas
Mapas corocromáticos, en los que
cada intervalo de altura se representa
con un color diferente, siendo normal
usar un degradado desde el verde en
las zonas bajas hasta el marrón oscuro
en las montañas y el violeta o blanco
para las zonas cubiertas de hielo.
Representación del relieve

CARTOGRAFÍA
Mapas topográficos, representan
gráficamente los principales elementos
que conforman la superficie terrestre,
como vías de comunicación, entidades
de población, hidrografía, relieve, con
una precisión adecuada a la escala.
Mapa administrativo, Representa los
hechos principales de la organización
administrativa de un territorio especialmente
las cuestiones relativas a las fronteras,
divisiones y capitales.

CARTOGRAFÍA
Mapa Raster, es una imagen que
normalmente ha sido escaneada a partir
de un mapa en papel (aunque también
puede ser una foto de satélite o una foto
aérea).
Mapas Vectoriales, están representados
por vectores o expresiones gráficas de
ecuaciones matemáticas, que se ven en la
pantalla en forma de figuras geométricas,
tales como líneas, puntos, círculos,
polígonos, etc. Combinando estas figuras
geométricas se forma la imagen final.
Mapa batimétrico, Representa el relieve
de zonas sumergidas.

CARTOGRAFÍA
Carta Topográfica

CARTOGRAFÍA
Las curvas de nivel unen puntos con la misma altitud. Las curvas de nivel son
equidistantes, normalmente cada 20 metros. Aquellas líneas que coinciden con
números exactos múltiplos de cien son las llamadas curvas maestras. Suelen
ser ellas las únicas que llevan indicación de la altura en el propio mapa.
Curvas de nivel

CARTOGRAFÍA
A partir de las curvas de nivel de un mapa se pueden realizar cortes topográficos,
que no son mas que un gráfico en el que en el eje vertical se localizan las alturas y
en el horizontal los lugares por los que pasa la curva de nivel. Uniendo los puntos
aparece el perfil del relieve .
Perfil o corte topográfico

CARTOGRAFÍA
Con los datos que aportan
las curvas de nivel y la
escala se pueden calcular,
distancias, alturas,
pendientes y superficies
en los mapas.
Cálculo de distancias y pendientes

CARTOGRAFÍA
Isaac B. Sánchez: http://www.slideshare.net/isaacbuzo/la-cartografia
Ibañez, R., El problema de Arno Peters, un problema cartográfico. Suma 52, junio 2006, 101-
109.
Ibañez, R., Muerte de un cartógrafo,
http://divulgamat.ehu.es/weborriak/TestuakOnLine/01-02/PG01-02-ibanez.pdf
Lo que Euler le dijo al cartógrafo (1ª parte), Sigma 27, Euler_al_cartografo_1_Ibañez.pdf
http://www.matesco.unican.es/talleres_matematicas/transparencias20072008/raul-iba
%C3%B1ez2.pdf
Polking, http://math.rice.edu/~polking/cartography/cart.pdf
Furuti, http://www.progonos.com/furuti/MapProj/Normal/TOC/cartTOC.html
Map projections: un amplio catálogo de proyecciones con un pdf de cada una
http://www.csiss.org/map-projections/index.html
Historia de la cartografía
http://www.uam.es/otros/fcmatematicas/Trabajos/Bartolome/FCMcarto.pdf

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