1) El documento describe conceptos básicos de cinemática como sistemas de coordenadas, vectores de posición, velocidad y aceleración. 2) Explica cómo se definen y calculan estos vectores y cómo se integran para obtener la posición a partir de la aceleración. 3) Finalmente, clasifica diferentes tipos de movimiento como rectilíneo, plano y en el espacio según las propiedades de los vectores de velocidad y aceleración.

1. Cap´
ıtulo 1
CINEMATICA
C I II
Los movimientos m´s f´ciles de describir son los de una part´
a a ıcula puntual, es decir
aquella que no tiene dimensi´n alguna ni estructura interna. Sin embargo, antes de des-
o
cribir su movimento, es necesario establecer la base matem´tica que permita localizarla
a
de manera un´ıvoca en el espacio.
1.1. Sistema coordenado cartesiano
Para localizar un punto en el espacio, lo m´s sencillo es utilizar lo que se conoce como
a
sistema coordenado cartesiano. Esto no es m´s que el conjunto formado por un punto
a
arbitrario del espacio, O, que se llama origen del sistema coordenado, y tres vectores
unitarios y pendiculares entre s´ que forman la base del sistema coordenado y
ı,
que se denotan por i, j y k (ver Fig. 1.1). Es muy importante que el triedro que forman
los vectores de la base sea orientado a derechas. Lo que esto quiere decir es que ha de
cumplirse que:
k = i × j, (1.1)
por lo que la orientaci´n de i y j puede elegirse arbitrariamente, pero la de k viene dada
o
por la Ec. 1.1.
Una vez hecho esto, la posici´n de cualquier punto P viene especificada por el vector
o
que une el origen con el punto en cuestion. Este vector se conoce por radio vector, y se
escribe en general como:
r = x i + y j + z k. (1.2)
Las longitudes de las componentes del radio vector a lo largo de los vectores de la base,
llamadas coordenadas del punto P, se denotan por las letras x, y y z. Otra notaci´n o
7

2. 8
Z
z
γ
r
C
k
O j y
I
Y
I
i
I
β
x α
X
Figura 1.1: Coordenadas cartesianas.
com´n para el radio vector r es:
u
r = (x, y, z). (1.3)
Importante: La elecci´n tanto del origen como de los vectores de la base es totalmente
o
arbitraria. Por ello, debe realizarse intentando simplificar al m´ximo el problema que
a
luego queramos resolver. Por ejemplo, si queremos describir el movimiento de un cuerpo
a lo largo de una l´
ınea recta, es conveniente escoger uno de los ejes coordenados a lo largo
de esta l´
ınea (el eje OX, por ejemplo). An´logamente, si el movimiento est´ restringido
a a
al plano, es util que se escoja dicho plano coincidente con alguno de los tres planos
´
coordenados OXY , OZY ´ OZX, formados, respectivamente, por la envolvente lineal de
o
las parejas correspondientes de vectores de la base i, j y k.
c 2004 Ra´l S´nchez. Dpto. F´
u a ısica. Universidad Carlos III de Madrid.

3. 9
1.2. Trayectoria
En general, un cuerpo que describa un movimiento en el espacio se mover´ sobre una
a
curva que se conoce como trayectoria. Es importante darse cuenta de que sobre una mis-
ma trayectoria pueden darse infinitos tipos de movimiento. As´ por ejemplo, supongamos
ı,
un cuerpo que se mueve en plano OXY siguiendo la recta y = x. Podr´ moverse a veloci-
a
dad constante, con un movimiento uniformemente acelerado o de una n´mero infinito de
u
maneras. ¿C´mo se describe matem´ticamente esta diferencia?
o a
La manera de hacerlo es darse cuenta de que la trayectoria es el lugar geom´trico de
e
C
los puntos que visita el m´vil. En este ejemplo tan simple, viene dada por al ecuaci´n:
o o
y = x, z = 0. (1.4)
II
I
Sin embargo, los distintos tipos de movimento vienen descritos por ecuaciones del tipo:
x = f (t), y = f (t) z = 0, (1.5)
donde f (t) es una funcion arbitraria del tiempo t que ser´ distinta para cada tipo de
a
movimiento. Por ejemplo, si el movimiento es uniforme, f (t) = a + bt (a y b son dos
constantes cualesquiera), mientras que si es uniformemente acelerado, tendremos que
f (t) = a + bt + ct2 . Claramente, existe un n´mero infinito de funciones f posibles pe-
u
ro, para cualquier funci´n f que escojamos, siempre se cumple que y = x!
o
Resumiendo, la ecuaci´n de la trayectoria ser´ un conjunto de ecuaciones que relacio-
o a
nan a las coordenadas entre s´ (como la Eq. 1.4), mientras que las que especifican el tipo
ı
de movimiento depender´n expl´
a ıcitamente del tiempo. ¿C´mo se pasa de una a las otras?
o
Pues despejando el par´metro tiempo de todas las ecuaciones de la Eq. 1.5, e igual´ndolas
a a
entre s´ para eliminarlo.
ı
1.3. Vector velocidad
Como vimos en la secci´n anterior, existen muchos tipos de movimiento, incluso sobre
o
´
una misma trayectoria. Estos se distinguen por el ritmo con el que cambia el vector
posici´n al cambiar el tiempo es diferente. Es importante acostumbrarse a que, en F´
o ısica,
cualquier magnitud que exprese el cambio de una cantidad respecto de otra se representa
matem´ticamente por la derivada de la primera respecto a la segunda. Veamos con m´s
a a
detalle esto en el caso del cambio del vector posici´n. Para ello, nos concentramos en la
o
Fig. 1.3, que muestra la posici´n de un m´vil en el instante t, y un poco despu´s, en el
o o e
c 2004 Ra´l S´nchez. Dpto. F´
u a ısica. Universidad Carlos III de Madrid.

4. 10
instante t + ∆t. Durante ese intervalo de tiempo, la posici´n del m´vil ha pasado de estar
o o
caracterizada por el vector r(t) a estarlo por el vector r(t + ∆t). El cambio que ha sufrido
el vector posici´n viene dado por el vector desplazamiento ∆r:
o
∆r = r(t + ∆t) − r(t), (1.6)
que geom´tricamente no es sino el vector que une las puntas de los vectores r(t + ∆t) y
e
r(t). El ritmo con el que cambia ese vector no es sino su cambio en la unidad de tiempo,
que en el l´ımite en que ∆t tiende a cero nos da el vector velocidad:
C
∆r dr
v = l´
ım = . (1.7)
∆t→0 ∆t dt
II
I
Z
∆r
r(t)
r(t+∆t)
k
j Y
i
X
Figura 1.2: Vector desplazamiento.
c 2004 Ra´l S´nchez. Dpto. F´
u a ısica. Universidad Carlos III de Madrid.

5. 11
1.4. Vector aceleraci´n
o
Igual que el hecho de que el vector posici´n cambie con el tiempo aconseja la definici´n
o o
de un vector velocidad que cuantifique dicho cambio, es conveniente definir tambi´n une
segundo vector que describe el ritmo instant´neo de cambio del vector velocidad:
a
∆v dv d2 r
a = l´
ım = = 2. (1.8)
∆t→0 ∆t dt dt
Ahora bien, parecer´ a simple vista que ahora ser´ bueno introducir otro vector, que
ıa ıa
C
describiera el ritmo de cambio del vector aceleraci´n. Y otro, que describa el ritmo de
o
cambio de este ultimo. Y as´ sucesivamente. ¿Por qu´ no aparecen estos vectores en el
´ ı, e
desarrollo de la Cinem´tica?
a
II
Importante: La respuesta nos la dar´ el tema siguiente, relativo a la Din´mica, en el que
a a
I
veremos que la segunda ley de Newton nos permite calcular la aceleraci´n que experimenta
o
un cuerpo una vez que se conocen las fuerzas que act´en sobre ´l. Por ello, no es necesario
u e
definir ritmos de cambio de la aceleraci´n (u otros superiores) ya que, una vez conocida
o
la aceleraci´n a partir de las fuerzas, puede calcularse mediante integraci´n de ´sta lo que
o o e
vale la velocidad y la posici´n del m´vil. Y ´ste es precisamente el objetivo ultimo de la
o o e ´
Cinem´tica: saber sit´ar al m´vil en cualquier instante de tiempo.
a u o
1.5. Tipos de movimiento
Puesto que, como hemos visto, no es necesario ir m´s all´ del vector aceleraci´n en
a a o
la descripci´n del movimiento de un cuerpo, los tipos de movimiento suelen clasificarse
o
seg´n sean sus vectores aceleraci´n y velocidad. As´ distinguiremos:
u o ı,
Movimiento Rectil´
ıneo: si los vectores velocidad y aceleraci´n son paralelos:
o
v(t) × a(t) = 0, ∀t. (1.9)
De todos los movimientos rectil´
ıneos posibles, se distingue:
• Movimiento Uniforme: si el vector aceleraci´n es nulo.
o
a(t) = 0, ∀t ⇒ v(t) = v0 . (1.10)
• Movimiento Uniformemente Acelerado: si el vector aceleraci´n es cons-
o
tante.
a(t) = a0 , ∀t. (1.11)
c 2004 Ra´l S´nchez. Dpto. F´
u a ısica. Universidad Carlos III de Madrid.

6. 12
Movimiento plano: si los vectores velocidad y aceleraci´n est´n siempre conte-
o a
nidos en un plano dado. Para ello, es suficiente con que
v(t) · n = a(t) · n = 0, ∀t, (1.12)
para alg´n vector n. Dicho vector ser´, por tanto, perpendicular al plano donde
u a
est´ confinado el movimiento. Dentro de los tipos de movimiento plano, destacare-
a
mos:
• Movimiento Uniforme: si, adem´s, los vectores velocidad y aceleraci´n son
a o
C
siempre perpendiculares entre s´
ı:
v(t) · a(t) = 0, ∀t. (1.13)
II
I
En este caso, el m´dulo de v permanece siempre constante puesto que no existe
o
una componente de a a lo largo de v. Un ejemplo de movimiento uniforme es el
movimiento circular uniforme en el que, adem´s |a| es constante. El radio
a
2
de la circunferencia descrita ser´ R = |v| /|a|. ¿Por qu´?
a e
Movimiento en el espacio: si los vectores velocidad y aceleraci´n no cumplen
o
ninguna de las condiciones para ser rectilineo o confinado a un plano. Este es el caso
m´s complicado.
a
1.6. Integraci´n del movimiento
o
Como hemos dicho, el objeto de la Cinem´tica es obtener el valor de la posici´n de
a o
un cuerpo una vez que se conoce su vector aceleraci´n. Si ´sta se conoce en funci´n del
o e o
tiempo, a = a(t), la manera de hacerlo es invertir la Eq. 1.8, teniendo en cuenta para ello
que la inversa de la derivada es la integral. De esta forma:
t
v(t) − v(t0 ) = dt a(t), (1.14)
t0
e invirtiendo entonces la definici´n del vector velocidad (Eq. 1.6):
o
t
r(t) − r(t0 ) = dt v(t), (1.15)
t0
donde t0 es el tiempo inicial, que muchas veces se toma como cero.
c 2004 Ra´l S´nchez. Dpto. F´
u a ısica. Universidad Carlos III de Madrid.

7. 13
Es importante darse cuenta de que las Eqs. 1.14-1.15 son ecuaciones vectoriales y,
por tanto, han de resolverse por componentes. Es decir, cada una de ellas consta de tres
ecuaciones, y hay que realizar las integrales que en ella aparecen por separado.
Ejemplo 1: Movimiento rectil´
ıneo y uniforme
En este caso, la Eq. 1.14 se reduce a:
v(t) = v(t0 ) = v0 , (1.16)
C
ya que la integral definida de cero da cero. Usando ahora esta velocidad en la Eq. 1.15
tenemos que:
 t
I

 x(t) − x(t0 ) = dt v0x = v0x (t − t0 )
I


I

 t0




t  t
r(t) − r(t0 ) = dt v0 ⇒ y(t) − y(t0 ) = dt v0y = v0y (t − t0 ) (1.17)
t0 
 t0





 t


 z(t) − z(t0 ) = dt v0z = v0z (t − t0 )
t0
que puede reescribirse en forma vectorial como:
r(t) = r(t0 ) + v0 (t − t0 ). (1.18)
Es conveniente pararse y reflexionar sobre el significado tridimensional de esta f´rmula
o
(ver Fig. 1.6(izqda.)), y compararla con la expresi´n obtenida en el caso de usar una
o
formulaci´n puramente escalar (ver Fig. 1.6(dcha.)):
o
s(t) = s(t0 ) + v0 (t − t0 ). (1.19)
Ejemplo 2: Movimiento rectil´
ıneo y uniformemente acelerado
c 2004 Ra´l S´nchez. Dpto. F´
u a ısica. Universidad Carlos III de Madrid.

8. 14
Z
vo
r(to)
r(t)= r(to)+ vo (t − o )
t
k
j Y
i
C
ESCALAR
VECTORIAL to vo t
I
X
I
so
I
s=so + vo (t−t )
o
Figura 1.3: Movimiento rectil´
ıneo uniforme: representaci´n vectorial y escalar.
o
En este caso, la Eq. 1.14 se convierte en:
 t
 v (t) − v (t ) =
 x dt a0x = a0x (t − t0 )

 x 0

 t0




t  t
v(t) − v(t0 ) = dt a0 ⇒ v (t) − vy (t0 ) = dt a0y = a0y (t − t0 ) (1.20)
t0  y
 t0





 t

 v (t) − v (t ) =
 z z 0 dt a0z = a0z (t − t0 )
t0
que puede reescribirse en forma vectorial como:
v(t) = v(t0 ) + a0 (t − t0 ). (1.21)
Despu´s, introducimos la velocidad reci´n obtenida en la Eq. 1.15:
e e
t
r(t) − r(t0 ) = dt v(t0 ) + a0 (t − t0 ). (1.22)
t0
Volviendo a separarla en componentes, y calculando las integrales, se obtiene con facilidad
que:
c 2004 Ra´l S´nchez. Dpto. F´
u a ısica. Universidad Carlos III de Madrid.

9. 15
(t − t0 )2
r(t) = r(t0 ) + v(t0 )(t − t0 ) + a0 , (1.23)
2
que es conveniente de nuevo comparar con el resultado obtenido utilizando la formulaci´n
o
escalar,
a0
s(t) = s0 + v0 (t − t0) + (t − t0 )2 . (1.24)
2
.
C
1.7. Simetr´
ıas
Como hemos visto, cualquier movimiento en el espacio tri-dimensional puede descri-
I
birse mediante el formalismo vectorial cartesiano. Sin embargo, muchas veces, dicho movi-
I I
miento esta limitado a una regi´n del espacio que tiene alguna peculiaridad geom´trica que
o e
puede aprovecharse para simplificar su descripci´n. Estas peculiaridades son las llamadas
o
simetr´ ıas. El concepto de simetr´ es uno de los m´s importantes en F´
ıa a ısica, y permi-
tir´ simplificar enormemente muchos problemas, no s´lo relacionados con el movimiento
a o
de los cuerpos. En general, se dice que algo tiene simetr´ bajo una determinada
ıa
transformaci´n geom´trica si dicha transformaci´n deja al sistema invariante. Es de-
o e o
cir, id´ntico a como era antes de realizarla.
e
Las tranformaciones m´s sencillas son dos:
a
1. Traslaciones a lo largo de un eje: por ejemplo, consideremos un m´vil que o
se mueve sobre una trayectoria recta. Claramente, la trayectoria es invariante bajo
traslaciones a lo largo de s´ misma, ya que si desplazamos una recta infinita cualquier
ı
distancia a lo largo de ella, no var´
ıa.
2. Rotaciones alrededor de un eje: el ejemplo t´ ıpico ser´ una trayectoria cir-
ıa
cular. Claramente, si rotamos dicha trayectoria alrededor de un eje perpendicular
al plano que la contiene y que pase por su centro, el c´
ırculo no var´
ıa.
Existen, sin embargo, simetr´ m´s complejas. En concreto, comentaremos dos, ya
ıas a
que las utilizaremos con frecuencia (ver Fig. 1.7):
1. Simetr´ cil´
ıa ındrica: se dice que algo tiene simetr´ cil´
ıa ındrica si: 1) es invariante
bajo rotaciones alrededor de alg´ n eje, que se conoce como eje de revoluci´n
u o
y 2) es invariante bajo traslaciones a lo largo de dicho eje. Por ejemplo, una
trayectoria recta e infinita tiene simetr´ cil´
ıa ındrica porque es invariante bajo rota-
ciones alrededor del eje que la contiene, y bajo traslaciones a lo largo de dicho eje.
c 2004 Ra´l S´nchez. Dpto. F´
u a ısica. Universidad Carlos III de Madrid.

10. 16
Simetria esferica
Simetria
Cilindrica
Z
Z
Y
C
Y h
X
I
X
a lo largo del mismo eje.
I o I
Figura 1.4: Simetr´ esf´rica (izqda) y cil´
ıa e ındrica (dcha).
De igual modo, si pensamos en un s´lido con forma de cilindro infinito, ´ste es in-
e
variante bajo rotaciones alrededor del eje generatriz del cilindro y bajo traslaciones
2. Simetr´ esf´rica: Diremos que algo tiene simetr´ esf´rica si es invariante ba-
ıa e ıa e
jo rotaciones alrededor de cualquier eje que atraviese un punto, conocido como
centro. Por ejemplo, ´ste es el caso de una una esfera maciza, que es invariante
e
bajo rotaciones alrededor de cualquier eje que pase por su centro. Lo mismo puede
decirse de un s´lido con forma de cascara esf´rica.
o e
1.8. Movimiento con simetr´ de rotaci´n en el plano:
ıa o
coordenadas polares
Una vez definido lo que entendemos por simetr´ es hora de entender porqu´ son
ıas, e
importantes. Lo haremos con un ejemplo. Consideremos el caso de un m´vil que se mueve
o
en un plano dado sobre una trayectoria circular de radio R. Como dijimos antes, esta
trayectoria tiene simetr´ de rotaci´n alrededor de cualquier eje perpendicular al plano que
ıa o
pase por su centro. ¿C´mo puede utilizarse esta informaci´n para simplificar la descripci´n
o o o
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11. 17
de dicho movimiento? Muy sencillo, cambiando de sistema de coordenadas!
Si quisi´ramos describir el movimiento del m´vil sobre la circunferencia de radio R
e o
en coordenadas cartesianas, lo m´s que se puede hacer para simplificar la descripci´n es
a o
escoger los ejes X e Y en el plano que contiene al c´
ırculo, y el eje Z perpendicular a ´l. De
e
esta manera, podemos ignorar la coordenada z del m´vil, ya que no cambia nunca durante
o
el movimiento. Por tanto, hemos reducido el problema a uno bi-dimensional. Pero eso va
a ser lo m´s que vamos a poder simplificarlo en estas coordenadas.
a
Ahora bien, a nadie escapa que, si escogemos el origen del sistema de coordenadas en
C
el centro del c´
ırculo, el movimiento del m´vil ha de ser tal que:
o
x2 (t) + y 2 (t) = R2 , (1.25)
II
I
de forma que x e y no son dos variables independientes. Realmente, s´lo hay una que sea
o
independiente. ¿Pero como nos podemos aprovechar de ´ste hecho?
e
1.8.1. Coordenadas polares
La manera de hacerlo es introducir coordenadas polares (ver Fig. 1.8.1), que son
las coordenadas en las que se simplifican al m´ximo problemas con simetr´ de rotaci´n.
a ıa o
En estas coordenadas, la situaci´n de un punto en el plano se caracteriza por la distancia
o
del punto al origen, r, y por el ´ngulo que forma la l´
a ınea que une al origen y al punto con
la parte positiva del eje X (ver Fig. 1.7). Es f´cil darse cuenta de que, para pasar de las
a
coordenadas cartesianas (x, y) a las polares (r, θ) basta usar las transformaciones:

 r = x2 + y 2
(1.26)

θ = tan−1 (y/x) ,
mientras que el cambio inverso se obtiene sin m´s que proyectar r sobre los ejes X e Y :
a

 x = rsinθ
(1.27)

y = rcosθ.
Ahora, es claro que, en el caso de nuestro m´vil que se mueve sobre una circunferencia,
o
la coordenada polar r permanece constante e igual al radio R de la circunferencia. Por
ello, resolver su movimiento se reduce a encontrar θ(t); es decir, como cambia el ´ngulo
a
c 2004 Ra´l S´nchez. Dpto. F´
u a ısica. Universidad Carlos III de Madrid.

12. 18
Y
y r
θ
X
C
x
II
a
I
Figura 1.5: Coordenadas polares.
polar con el tiempo. Por lo tanto, hemos reducido el problema a uno unidimensional y,
con ello, m´s sencillo.
La manera de proceder es ahora an´loga a lo que hicimos antes. Del mismo modo que,
a
en el caso del radio vector, fue necesario introducir el ritmo instantaneo de variaci´n de
o
la posicion (el vector velocidad) y de la velocidad (el vector aceleraci´n), ahora ser´ con-
a o a
o
veniente introducir el ritmo instant´neo de variaci´n del ´ngulo polar, que llamaremos
velocidad angular ω, y el ritmo inst´ntaneo de cambio de la velocidad angular, que
a
a
llamaremos aceleraci´n angular:
o
dθ dω
ω= , y α= . (1.28)
dt dt
Es importante notar que estas cantidades son escalares, no vectores. Tambi´n que,
e
midiendo el ´ngulo θ en radianes (de forma que una vuelta completa a la circunferencia
a
corresponde a un incremento en 2π del ´ngulo), ω se mide en rad/s, mientras que α en
a
2
rad/s .
c 2004 Ra´l S´nchez. Dpto. F´
u a ısica. Universidad Carlos III de Madrid.

13. 19
Antes de encontrar θ(t) para un par de casos sencillos, es conveniente ver como se
relacionan estas cantidades con distancias, velocidades y aceleraciones. Para ello, basta
con recordar que el arco recorrido sobre la circunferencia se relaciona con el ´ngulo (en
a
radianes) a trav´s del radio:
e
s = R θ. (1.29)
Por tanto, derivando la ecuaci´n anterior encontramos que:
o
ds dθ
vs = = R = Rω. (1.30)
dt dt
C
Es decir, la velocidad angular es proporcional al ritmo instant´neo de cambio del arco
a
recorrido: la velocidad a la que se recorre el arco. Igualmente,
II
d2 s dω
I
as = 2
=R = Rα, (1.31)
dt dt
relaciona la aceleraci´n angular α con el ritmo de variaci´n de vs : la aceleraci´n a la que
o o o
se recorre el arco, as .
Necesitaremos, sin embargo, esperar a que describamos el movimiento circular vecto-
rialmente para entender como se relacionan vs y as con los vectores velocidad y aceleraci´n
o
asociados a este tipo de movimiento. Pero antes, veamos la utilidad de las nuevas coor-
denadas en el caso de un movimiento con simetr´ de rotaci´n en el plano.
ıa o
EJEMPLO 3: Movimiento circular uniforme
El movimiento circular se llama uniforme si α = 0, lo cual implica que ω(t) = ω0 , y
permanece constante a lo largo del movimiento. Para encontrar θ(t) basta por tanto con
invertir Eq. 1.28 para obtener:
t
θ(t) = θ0 + dt ω0 = θ0 + ω0 (t − t0). (1.32)
t0
La primera cosa a notar es que, al haber reducido el problema a uno unidimensional,
la integral a realizar es escalar y, por tanto, mucho m´s sencilla. Adem´s, el problema se
a a
ha convertido en uno formalmente id´ntico al de un movimiento rectil´
e ıneo uniforme, pero
con θ haciendo el papel del espacio recorrido s.
EJEMPLO 4: Movimiento circular uniformemente acelerado
c 2004 Ra´l S´nchez. Dpto. F´
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14. 20
El movimiento circular se llama uniformemente acelerado si α = α0 . Por lo tanto, po-
demos encontrar ω(t) sin m´s que invertir la segunda ecuaci´n que aparece en la Eq. 1.28:
a o
t
ω(t) = ω0 + dt α0 = ω0 + α0 (t − t0 ). (1.33)
t0
Luego, usando este resultado junto con la ecuaci´n izquierda de la Eq. 1.28, podemos
o
obtener θ(t):
t
α0
C
θ(t) = θ0 + dt (ω0 + α0 (t − t0 )) = θ0 + ω0 (t − t0 ) + (t − t0 )2 , (1.34)
t0 2
de nuevo formalmente id´ntica al problema del movimiento rectil´
e ıneo uniformemente ace-
II
lerado.
I
Para darse cuenta de la ventaja que ha supuesto, en el caso del movimiento circular, el
utilizar coordenadas polares basta con intentar expresar la condicion de velocidad angular
constante en las coordenadas cartesianas (x, y):
dθ d y d y dy d y dx
ω = = tan−1 = tan−1 + tan−1 =
dt dt x dy x dt dx x dt
(1.35)
1/x y/x2
= vy − vx = ω 0 ,
1 + (y/x)2 1 + (y/x)2
donde hemos aplicado la regla de la cadena. Por lo tanto, la condici´n de velocidad angular
o
constante se escribe de una manera muy complicada en t´rminos de las componentes
e
cartesianas de la velocidad:
x(t)vy (t) − y(t)vx (t) = ω0 x(t)2 + y(t)2 . (1.36)
Esta ecuaci´n es la que deber´
o ıamos de resolver, junto con:
x(t)2 + y(t)2 = R2 , (1.37)
que garantiza que el movimiento se realiza sobre la circunferencia de radio R, para obtener
la soluci´n de nuestro problema. Es decir, calcular x(t) e y(t). Claramente, obtener x(t) e
o
y(t) de las Eqs. 1.36-1.37 es mucho m´s complicado que lo que hicimos hace un momento.
a
Este es el beneficio principal de usar un sistema de coordenadas que se aprovecha de las
simetr´ del problema.
ıas
c 2004 Ra´l S´nchez. Dpto. F´
u a ısica. Universidad Carlos III de Madrid.

15. 21
1.8.2. Base de vectores en coordenadas polares
Es importante darse cuenta de que las coordenadas polares pueden tambi´n utilizarse
e
para describir el movimiento en un plano incluso aunque no est´ restringido a una cir-
e
cunferencia. En el fondo, no es m´s que utilizar un sistema de coordenadas diferente para
a
describir lo mismo que antes describiamos usando coordenadas cartesianas. Pero nos hace
falta algo m´s que las coordenadas (r, θ). Recordemos que, en cartesianas, la posici´n de
a o
un cuerpo viene determinada por el radio vector:
r = xi + y j, (1.38)
C
donde i and j los vectores de la base cartesiana. En coordenadas polares necesitamos
tambi´n una expresi´n vectorial. ¿Pero cu´les son los vectores de la base adecuada para
e o a
II
describir el movimiento en polares?
I
Y x=xo
θ=θo
r=ro
u j ur
θ
θ
θ
i y=yo
yo ro
θo
xo
X
Figura 1.6: Definici´n de vectores de la base en coordenadas polares.
o
c 2004 Ra´l S´nchez. Dpto. F´
u a ısica. Universidad Carlos III de Madrid.

16. 22
Veamos ahora un procedimiento general para encontrar estos vectores para cualquier
sistema coordenado. Usaremos como ejemplo el caso cartesiano. La idea es la siguiente.
Situ´monos en un punto arbitrario del plano OXY , (x0 , y0 ). En ´l, el vector unitario de la
e e
base asociado a la coordenada y, j, se escoge de forma que sea tangente a la curva x = x0 ,
donde x0 es el valor de la coordenada x en ese punto (ver Fig. 1.8.2). El sentido del vector
ser´ aquel en el que crece la variable a la que est´ asociado, y en este caso, que es hacia
a e
arriba. Claramente, el vector escogido es id´ntico al vector j que definimos al principio
e
del tema. Igualmente, el vector i, asociado a la coordenada x, se escoger´ en cada punto
a
tangente a la curva y = y0 , con y0 la coordenada y del punto en cuesti´n. De nuevo, el
o
C
vector as´ construido coincide con el vector i que definimos previamente.
ı
Evidentemente, en el caso cartesiano, se obtienen los mismos vectores en todos los
puntos del espacio. Es por eso que se pueden introducir los vectores como dijimos,
II
I
directamente en la direcci´n de los ejes OX y OY , respectivamente. Sin embargo, esto
o
no sucede en casi ning´n otro sistema coordenado. Veamos como ser´ en el caso de las
u ıa
coordenadas polares (r, θ). Para ello, en un punto arbitrario (r0 , θ0 ), consideramos la curva
θ = θ0 , que corresponde a la semirecta que parte del origen y pasa por dicho punto (ver
Fig. 1.8.2). El vector unitario asociado a la coordenada r, ur , ha de escogerse tangente
a dicha semirrecta y, en la direcci´n en la que r crece. Por tanto, se trata de un vector
o
que apunta radialmente hacia afuera en cada punto. En cuanto al vector asociado a la
coordenada θ, uθ , ser´ tangente a la curva r = r0 que es la circunferencia que contiene al
a
punto. Como hemos de cogerlo con sentido seg´n la direcci´n en la que crece la coordenada
u o
a la que est´ asociado, θ, tendr´ en cada punto la direcci´n indicada en la Fig. 1.8.2.
a a o
Claramente, tanto ur como uθ son distintos en cada punto, a diferencia de lo que
pasaba con i y j. Por ello, es necesario determinarlos con la construcci´n geom´trica
o e
que acabamos de esbozar. Para completar la transformaci´n entre coordenadas polares y
o
cartesianas, hemos por tanto de complementar las Eqs. 1.26, que relacionaban (x, y) con
(r, θ), con las que relacionan estas parejas de vectores. De la Fig. 1.8.2 es f´cil obtener
a
que: 
 ur = cosθ i + senθ j
(1.39)

uθ = −sinθ i + cosθ j
sin m´s que projectar ur , uθ sobre i, j, y a la inversa:
a

 i = cosθ ur − senθ uθ
(1.40)

j = sinθ ur + cosθ uθ
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u a ısica. Universidad Carlos III de Madrid.

17. 23
1.8.3. Descripci´n del movimiento plano en coordenadas polares
o
Una vez hecho esto, podemos calcular c´mo se expresa el radio vector r en coordenadas
o
polares. Es suficiente con sustituir en la Eq. 1.38 aquellas f´rmulas que expresan (x, y) en
o
t´rminos de (r, θ) y los vectores i, j en t´rminos de ur , uθ :
e e
r = xi + y j = r cosθ [cosθ ur − senθ uθ ] + r sinθ [sinθ ur + cosθ uθ ] = r ur , (1.41)
donde hemos usado la identidad cos2 θ +sin2 θ = 1. La bondad de este resultado es tambi´n
e
evidente de la representaci´n gr´fica (ver Fig. 1.8.1). Claramente, r y ur son paralelos en
o a
C
cada punto, y el m´dulo del primero es r. Por lo tanto, era el unico resultado que ten´
o ´ ıa
sentido.
I
Una vez conocida la forma del radio vector en polares, podemos proceder a calcular
I I
las otras dos cantidades cin´ticamente relevantes en polares: los vectores velocidad y
e
aceleraci´n. El primero de ellos es la derivada temporal del vector posici´n:
o o
dr dr dur
v= = ur + r , (1.42)
dt dt dt
donde hemos tenido que tener en cuenta el que, en polares, los vectores de la base SI
cambian con el tiempo, ya que son diferentes en cada punto de la trayectoria. Por lo
tanto, para calcular el ritmo de cambio del vector posici´n, hay que tener en cuenta
o
tambi´n el ritmo de cambio del vector ur . Matem´ticamente, esta cantidad es la derivada
e a
de ur respecto al tiempo. ¿C´mo se calcula esta derivada? N´tese que necesitamos su valor
o o
expresado tambi´n en polares, ya que nuestro objetivo es calcular el vector derivada en
e
polares. Es decir, en t´rmino de (r, θ) y los vectores de la base en polares. Para calcularla,
e
haremos una peque˜a trampa. Tendremos en cuenta la Eq. 1.39, que nos vuelve a llevar
n
a cartesianas, de forma que:
dur dθ dθ dθ ˙
= −sinθ i + cosθ j= −sinθ i + cosθ j = θ uθ . (1.43)
dt dt dt dt
Para llegar a este resultado hemos aplicado la regla de la cadena:
df [g(x)]/dx = df /dg · dg/dx, (1.44)
y hemos utilizado la definici´n del vector uθ dado por la Eq. 1.26, para poder expresar
o
el resultado en t´rminos de cantidades asociadas a las coordenadas polares, como nece-
e
a o e o ˙
sit´bamos. N´tese tambi´n que hemos introducido la notaci´n θ para representar a dθ/dt
´
[Esta es una manera usual de representar derivadas temporales en F´ısica.].
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18. 24
Por lo tanto, estamos ya en condiciones de encontrar el vector velocidad en polares,
sin m´s que sustituir la derivada del vector ur dada por la Eq. 1.43 en la Eq. 1.42:
a
dr ˙
v= = r ur + r θ uθ ,
˙ (1.45)
dt
donde al primer t´rmino se le llama velocidad radial y al segundo, velocidad azimutal.
e
Existen muchas maneras de interpretar esta expresi´n. Nosotros usaremos una que,
o
adem´s, da pistas acerca de cuando es conveniente usar coordenadas polares. Basta, para
a
ello, darse cuenta de que cada uno de los t´rminos de la velocidad en polares puede
e
C
identificarse con el concepto de movimiento fundamental. Veamos que queremos decir.
Es muy f´cil darse cuenta de que el primer t´rmino, r, es el unico que no desaparece si
a e ˙ ´
escogemos θ ˙ = 0. Pero θ = 0 s´lo si nos alejamos del origen seg´n la direcci´n radial,
˙ o u o
II
manteniendo θ = θ0 constante. Este es el primer tipo de movimiento fundamental
I
asociado a las coordenadas polares: moverse seg´n cualquier direcci´n radial.
u o
El segundo tipo de movimiento fundamental es aqu´l para el cual s´lo el segundo
e o
t´rmino es no nulo. Es decir, cuando r = 0. Pero esto s´lo sucede cuando nos movemos
e ˙ o
sobre una circunferencia, manteniendo r = r0 constante. Luego el segundo movimiento
fundamental asociado a las coordenadas polares es un movimiento circular.
Lo que la Eq. 1.45 dice es que, en polares, cualquier movimiento en el plano se puede
separar en dos partes, un desplazamiento radial y un movimiento circular. Esto no parece
ayudar mucho. Pero si nos enfrentamos a un problema en el que el m´vil se mueva de tal
o
forma que una de estas partes sea cero, podremos resolverlo de forma mucho m´s sencilla
a
si lo describimos usando coordenadas polares. Por ejemplo, si el m´vil se desplaza sobre
o
un c´ırculo, la parte del movimiento asociada al desplazamiento radial es nula si se escribe
en coordenadas polares. Por eso, las coordenadas polares son l´s m´s utiles para resolver
a a ´
problemas de rotaci´n en un plano.
o
Para obtener ahora la expresi´n de la aceleraci´n en polares seguiremos el mismo
o o
camino: derivaremos la Eq. 1.45 respecto al tiempo. N´tese que ahora necesitamos tambi´n
o e
la derivada del vector uθ respecto al tiempo. Siguiendo el mismo camino que antes, es muy
sencillo mostrar que:
duθ dθ ˙
=− cosθ i + sinθ j = −θ ur . (1.46)
dt dt
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19. 25
Haciendo uso de ello y de la Eq. 1.41, la aceleraci´n en polares resulta:
o
dv dur ˙ duθ =
a= = r ur + r
¨ ˙ ˙˙ ¨
+ rθ uθ + rθuθ + r θ
dt dr dt
˙˙ ˙˙ ¨ ˙
= r ur + rθuθ + rθuθ + rθuθ − rθ2 ur =
¨ (1.47)
˙ ˙˙ ¨
= (¨ − rθ2 )ur + (2rθ + rθ)uθ ,
r
que se compone, al igual que la velocidad, de aceleraci´n radial y azimutal.
o
C
¿Qu´ significan cada uno de los t´rminos que aparecen en la Eq.1.47? Bueno, pues
e e
claramente tienen que estar relacionados con los tipos de movimiento fundamental que
introdujimos al discutir la expresi´n de la velocidad en polares. Para verlo, cojamos el
o
II
primer tipo fundamental de movimiento en polares, que correspond´ a desplazarse en la
ıa
I
direcci´n radial. Esto implicaba que θ
o ˙ = θ = 0, ya que el ´ngulo tiene que permanecer
¨ a
constante y, por lo tanto, el unico t´rmino que pervive en la Eq. 1.47 es rur . Por lo tanto,
´ e ¨
rur nos da la aceleraci´n con la que nos movemos a lo largo del radio.
¨ o
Cojamos ahora el segundo tipo de movimiento fundamental, el movimiento circular.
e ¨ ˙ e ˙
En ´l se cumple que r = r = 0 y, por tanto, solo nos quedan los t´rminos −rθ2 ur y rθuθ ¨
en la Eq. 1.47. ¿A qu´ corresponde cada uno? Bueno, −rθ
e ˙2 ur es claramente la aceleraci´n
o
centr´ıpeta asociada al movimiento circular. Para verlo basta con recordar que definimos
˙
la velocidad angular como ω = θ y que la velocidad lineal y angular se relacionan por
vs = ωr, como vimos al resolver en movimiento circular uniforme. Usando estas relaciones,
˙
podemos reescribir −rθ2 ur como −(vs /r)ur , que nos deber´ ser m´s familiar. En cuanto
2
ıa a
¨ ¨
a rθuθ , es la aceleraci´n angular, as = rα = rθ que definimos tambi´n anteriormente (ver
o e
Sec. 1.8.1).
e ˙˙
El t´rmino que falta, 2rθuθ , es un poco m´s especial ya que es nulo para los dos tipos de
a
˙
movimientos fundamentales. Es necesario que tanto r como θ sean diferentes de cero para
˙
que no se anule y, por tanto, s´lo aparece en movimientos que sean una combinaci´n de
o o
ambos tipos. Se le suele llamar aceleraci´n de Coriolis. Nosotros, sin embargo, apenas
o
lo usaremos.
1.9. Coordenadas cil´
ındricas
En el caso de que el movimiento tenga lugar en el espacio tridimensional, las cosas se
complican notablemente. No existe una receta bien definida sobre como afrontar el pro-
blema en el caso general, pero s´ cuando existe simetr´ cil´
ı ıa ındrica o esf´rica. En el primer
e
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20. 26
caso es recomendable utilizar coordenadas cil´ ındricas (ver Fig. 1.9). Para entender
como se construyen, lo mejor es recordar que simetr´ cil´
ıa ındrica respecto a un eje implica:
1. simetr´ de traslaci´n respecto a ese eje y,
ıa o
2. simetr´ de rotaci´n alrededor de ese eje.
ıa o
N´tese que, por tanto, si nos restrigimos a cualquier plano perpendicular al eje, la sime-
o
tr´ es id´ntica a la que antes nos hac´ escoger coordenadas polares para simplificar los
ıa e ıa
problemas. Por eso, las coordenadas cil´ ındricas pueden entenderse como la versi´n tridi-
o
C
mensional de las polares, ya que mantienen la coordenada z cartesiana a lo largo del eje,
y utilizan coordenadas polares (r, θ) en el plano perpendicular a ´ste (ver Fig. 1.9).
e
II
I
Z
(x,y,z) cartesianas
(r, θ,z) cilindricas
z
r
y
x r Y
θ
X
Figura 1.7: Coordenadas cil´
ındricas.
Usando la Fig. 1.9 no es dif´ darse cuenta de que las coordenadas cil´
ıcil ındricas (r, θ, z)
se relacionan con las cartesianas mediante:
r= x2 + y 2 , θ = tan−1 (y/x), z = z, (1.48)
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21. 27
y el cambio inverso viene dado por:
x = r cosθ, y = r sinθ, z = z. (1.49)
Volvemos, sin embargo, a tener el mismo problema que en coordenadas polares. Re-
cordemos que, en tres dimensiones, el radio vector se expresa en cartesianas como:
r = x i + y j + z k. (1.50)
Y sabemos c´mo convertir (x, y, z) en (r, θ, z). ¿Pero cuales son los vectores de la base
o
en cil´
ındricas? Sin ellos, no podremos encontrar lo que vale el radio vector en estas coor-
C
denadas. La manera de calcularlos es similar a la que ya empleamos en el caso polar.
Entonces, los escogimos tangentes a las curvas obtenidas al mantener la otra coordena-
da constante. Por ejemplo, ur era tangente a θ = θ0 , y por eso sal´ radialmente hacia
ıa
II
afuera. Sin embargo, ahora no estamos en el plano, sino en el espacio, con lo que tenemos
I
otras dos coordenadas, θ y z, a considerar a la hora de obtener ur . ¿Qu´ se hace? Muy
e
sencillo. Veamos, por ejemplo, como se escoge ur . Ahora, θ = θ0 no es una curva, sino
una superficie: es un semiplano anclado en el eje OZ (ver Fig. 1.9). Igualmente, z = z0 es
un plano, paralelo al plano OXY . Bueno, pues escogeremos ur como un vector unitario
que sea tangente a la intersecci´n de las superficies θ = θ0 y z = z0 : la semirrecta que,
o
contenida en un plano de z constante, se extiende radialmente hacia infinito (ver Fig. 1.9.)
Y sobre esta semirrecta, en el sentido en el que crece la r: alej´ndose del origen.
a
Esta receta geom´trica da la manera de calcular los vectores de la base de cualquier
e
sistema de coordenadas. Basta escoger el vector unitario asociado a una coordenada en
cualquier punto, tangente a la intersecci´n de las dos superficies definidas manteniendo
o
las otras dos coordenadas constantes, con el valor que tienen en dicho punto [Es un buen
ejercicio ver como esto funciona en coordenadas cartesianas, y obtener as´ los vectores i,
ı
j y k.]. Aplic´ndolo ahora al caso de uθ , la superficie z = z0 es el mismo plano que antes,
a
mientras que r = r0 es un cilindro infinito de radio r0 que tiene por eje el eje OZ. La
intersecci´n de ambos es una circunferencia, contenida en el plano z = z0 que pasa por
o
nuestro punto. As´ el vector uθ se escoge tangente a dicha circunferencia (ver Fig. 1.9), y
ı,
en el sentido en el que crece θ.
Finalmente, en cuanto al vector uz , hay que cogerlo tangente a las superficies r = r0 ,
el cilindro antes mencionado, y θ = θ0 , el semiplano que pasa por el punto y est´ anclado
a
en el eje OZ (ver Fig. 1.9). Su intersecci´n es una recta vertical y, por tanto, el vector uz
o
es tambi´n vertical, apuntando en la direcci´n en la que crece la coordenada z.
e o
Una vez encontrados los vectores, nos damos cuenta de que el vector uz coincide con
el k cartesiano, y que los vectores ur y uθ son id´nticos a los que antes encontramos para
e
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22. 28
Z
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
θ=θ
11111111111
00000000000 o
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
z=zo
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
C
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
I
111
000 11111111111
00000000000
I
11111111111
00000000000
111111111
000000000
111
000 11111111111
00000000000
I
111111111
000000000
111111111
000000000 Y
111
000 111111111
000000000
111111111
000000000
ur
111
000
111
000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
(rο , θο ,z )
ο
X
Figura 1.8: Construcci´n gr´fica del vector ur en coordenadas cil´
o a ındricas.
las coordenadas polares, si nos restringimos al plano z = z0 . Por ello, es f´cil darse cuenta
a
de que se cumple que: 
 ur = cosθ i + sinθ j




u = −sinθ i + cosθ j (1.51)
 θ




uz = k
y a la inversa, 
 i = cosθ ur − sinθ uθ




j = sinθ ur + cosθ uθ (1.52)





k = uz
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23. 29
Z
(rο , θο ,z )
ο
z=z o
1111111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000000
o r=r
1111111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000000
C
1111111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000000
II
I
uθ
Y
X
Figura 1.9: Construcci´n gr´fica del vector uθ en coordenadas cil´
o a ındricas.
1.9.1. Descripci´n del movimiento tridimensional en cil´
o ındricas
Ya estamos en disposici´n de calcular el radio vector en cil´
o ındricas. Basta, para ello,
con sustituir en la Eq. 1.50 las cantidades cartesianas en t´rminos de las nuevas usando
e
para ello las Eqs. 1.49-1.52:
r = x i + y j + z k = r cosθ (cosθ ur − sinθ uθ )+
(1.53)
+r sinθ (sinθ ur + cosθ uθ ) + z uz = r ur + z uz .
De nuevo, es conveniente comprobar geom´tricamente que ´ste es el unico resultado que
e e ´
tiene sentido (ver Fig. 1.9).
Para seguir, vamos a calcular la expresi´n de la velocidad en cil´
o ındricas. De nuevo, al
derivar el radio vector, tenemos que tener en cuenta que los vectores ur y uθ de la base
c 2004 Ra´l S´nchez. Dpto. F´
u a ısica. Universidad Carlos III de Madrid.

24. 30
Z
(rο , θο ,z )
ο
uz
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
1111111
0000000 r=r
11111
00000
1111111
0000000
11111
00000 o
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
0000000 θ=θo
1111111
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
C
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
I
1111111
0000000
1111111
0000000
I
1111111
0000000
I
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000 Y
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
X
Figura 1.10: Construcci´n gr´fica del vector uz en coordenadas cil´
o a ındricas.
cil´
ındrica cambian de punto a punto. Derivando Eq. 1.53 tenemos entonces que:
dr dr dur dz
v= = ur + r + uz (1.54)
dt dt dt dt
Pero recordando que, el vector ur equivale al vector radial en polares, su derivada es
id´ntica a la que obtuvimos entonces (ver Eq. 1.43), as´ que tendremos:
e ı
˙ ˙
v = r ur + r θuθ + z uz .
˙ (1.55)
N´tese que las tres componentes de la velocidad son muy sencillas de interpretar usando
o
de nuevo el concepto de tipo de movimiento fundamental. En cil´ındricas tendremos tres.
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25. 31
˙
Primero, si elegimos θ = z = 0 solo nos queda la primera (radial) componente de la
˙
velocidad. El movimiento ser´ entonces un desplazamiento en la direcci´n radial.
a o
Segundo, si escogemos r = z = 0, s´lo queda la segunda (azimutal) componente
˙ ˙ o
de la velocidad. El movimiento corresponde a desplazarse sobre una circunferencia
contenida en un plano de z constante.
˙ ˙
Y tercero, si escogemos r = θ = 0 s´lo queda la tercera (vertical) componente de la
o
velocidad. El movimiento es, entonces, un desplazamiento rectil´ ıneo en la direcci´n
o
de las z’s.
C
Por tanto, usando una descripci´n en cil´
o ındricas, se escribe el movimiento como com-
binaci´n de estos tres tipos de movimiento fundamentales. ¿Cuando ser´n entonces utiles
o a ´
I
estas coordenadas? Cuando el movimiento que queramos describir sea tal que alguna o
I I
algunas de estas contribuciones se anule. Por ejemplo, si tenemos un m´vil moviendose
o
encima de la superficie de un cilindro. En ese caso, la componente radial del movimiento
se anula en cil´
ındricas, lo que reduce un problema tridimensional a uno bidimensional.
En lo que se refiere a la aceleraci´n, derivando la Eq. 1.55 obtenemos:
o
dv dur ˙ duθ + z uz ,
a= = r ur + r
¨ ˙ ˙ ˙ ¨
+ r θuθ + r θuθ + r θ ¨ (1.56)
dt dt dt
donde hemos aplicado de nuevo la regla de la cadena. Usando las Eqs. 1.43-1.46, para las
derivadas de los vectores de la base, se llega f´cilmente a:
a
˙ ˙˙ ¨
a = r − rθ2 ur + 2rθ + rθ uθ + z uz .
¨ ¨ (1.57)
No vamos a gastar muchas letras en describir los distintos t´rminos, ya que el unico nuevo
e ´
respecto a los que obtuvimos en polares es el ultimo, z , que es el asociado al tipo funda-
´ ¨
mental de movimiento en la direcci´n vertical. El resto, tienen la misma interpretaci´n
o o
que dimos entonces.
1.10. Coordenadas esf´ricas
e
El ultimo caso tridimensional que vamos a discutir es el de las coordenadas esf´ricas.
´ e
Por supuesto, est´s coordenadas suelen ser utiles cuando el movimiento discurra sobre
a ´
una superficie con simetr´ esf´rica, como es el caso de una esfera. En ese caso, pasando
ıa e
a coordenadas esf´ricas, se reduce un problema tri-dimensional a bi-dimensional, ya que
e
de nuevo tendremos que r permanecer´ constante e igual al radio de la esfera.
a
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26. 32
Las coordenadas esf´ricas constan de una distancia y dos ´ngulos (ver Fig. 1.10). La
e a
distancia es la del punto en cuestion al origen de coordenadas. N´tese que fijar r implica
o
que el punto est´ en algun lugar de una esfera de radio r centrada en el origen. Para
e
situarnos en esa esfera se eligen dos ´ngulos, θ y φ, que corresponden a la latitud y la
a
longitud, respectivamente.
Z
C I
(x,y,z) cartesianas
I
θ
I
(r, φ , θ) esfericas
φ
z r
y
Y
x r sinθ
φ
X
Figura 1.11: Coordenadas esf´ricas.
e
Utilizando la geometr´ del dibujo, no es dif´ darse cuenta de que es posible relacionar
ıa ıcil
las coordenas esf´ricas con las cartesianas mediante:
e
y x2 + y 2
r= x2 + y 2 + z 2 , φ = tan−1 , θ = tan−1 , (1.58)
x z
y el cambio inverso viene dado por:
x = r sinθ cosφ, y = r sinθ sinφ, z = r cosθ. (1.59)
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27. 33
De hecho, es m´s facil visualizar la segunda de estas equivalencias (Eq. 1.59), y luego
a
despejar la primera de ella utilizando las distintas definiciones de las funciones trigo-
nom´tricas.
e
Z
r=ro
C
θ=θo ur
II
I
uφ
uθ
φ=φo Y
X
Figura 1.12: Vectores de la base en coordenadas esf´ricas.
e
En lo que respecta a los vectores de la base en esf´ricas, debemos de seguir el mismo
e
camino que antes. Situ´monos en un punto arbitrario P , definido por las coordenadas
e
(r0 , θ0 , φ0 ). Primero, es importante darse cuenta de que r = r0 es una superficie esf´rica
e
centrada en el origen y que pasa por nuestro punto, que φ = φ0 es de nuevo un semiplano
anclado en el eje OZ que pasa por el punto, y que θ = θ0 es un cono, cuyo v´rtice coincide
e
en el origen y tambi´n pasa por nuestro punto. Por tanto, r = r0 y φ = φ0 intersectan
e
en un meridiano o c´ ırculo m´ximo de la esfera, y el correspondiente uθ se debe escoger
a
tangente a dicho meridiano, en la direcci´n en la que θ crece (ver Fig. 1.10). En cuanto a
o
la intersecci´n de la esfera r = r0 y el cono θ = θ0 , ´sta tiene lugar sobre un paralelo de la
o e
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28. 34
esfera, y el vector uφ ser´ por tanto tangente a ´l, y dirigido en la direcci´n de crecimiento
a e o
de φ (ver Fig. 1.10). Finalmente, el vector ur ha de ser tangente a la intersecci´n entre el
o
cono y el semiplano, que no es sino la generatriz del cono que pasa por el punto P , por lo
que ur est´ dirigido en la direcci´n radial (ver Fig. 1.10).
a o
Obtener las relaciones que conectan a estos vectores con la base cartesiana es un buen
ejercicio de visi´n espacial. El resultado es:
o

 ur = cosφ sinθ i + sinφ sinθ j + cosθ k




C
u = −sinφ i + cosφ j (1.60)
 φ




uθ = cosφ cosθ i + sinφ cosθ j − sinθ k
II
I
Y la relaci´n inversa viene dada por:
o

 i = cosφ sinθ ur − sinφ uφ + cosθ cosφ uθ




j = sinφ sinθ ur + cosφ uφ + cosθ sinφ uθ (1.61)





k = cosθ ur − sinθ uθ
1.10.1. Descripci´n del movimiento tridimensional en esf´ricas
o e
Una vez sabemos las relaciones entre coordenas y vectores, podemos obtener la expre-
si´n del radio vector en esf´ricas:
o e
r = r sinθ cosφ [cosφ sinθ ur − sinφ uφ + cosθ cosφ uθ ] +
+r sinθ sinφ [sinφ sinθ ur + cosφ uφ + cosθ sinφ uθ ] + (1.62)
+r cosθ [cosθ ur − sinθ uθ ] = rur ,
usando para ello las identidades sin2 θ + cos2 θ = sin2 φ + cos2 φ = 1.
Pasemos ahora a calcular la expresi´n de la velocidad en esf´ricas. N´tese que TODOS
o e o
los vectores de la base asociada a las coordenadas esf´ricas dependen ahora del punto. Por
e
ello, habr´ que derivar todos los vectores respecto al tiempo siempre que sea necesario.
a
En concreto, en el caso de la velocidad necesitaremos la derivada de ur , que viene dada
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29. 35
por (usando Eq. 1.60):
dur ˙ ˙ ˙ ˙ ˙
= −φ sinφ sinθ + θ cosφ cosθ i + φ cosφ sinθ + θ sinφ cosθ j − θ sinθ k =
dt
˙ ˙
= φ sinθ −sinφ i + cosφ j + θ cosφ cosθi + sinφ cosθj − sinθ k =
˙ ˙
= φ sinθ uφ + θuθ .
(1.63)
C
Usando este resultado, es f´cil ver que el vector velocidad en esf´ricas viene dado por:
a e
dr ur ˙ ˙
v= = rur + r = rur + r θ uθ + r φ sinθ uφ .
˙ ˙ (1.64)
I
dt dt
I I
La interpretaci´n es de nuevo f´cil si utilizamos el concepto de tipo de movimiento
o a
fundamental. Primero, para que s´lo permanezca el primer t´rmino de la velocidad, es
o e
˙ ˙
necesario hacer θ = φ = 0. Este movimiento corresponde a un desplazamiento en la
direcci´n radial, aunque n´tese que la direcci´n radial en esf´ricas es diferente de la
o o o e
direcci´n radial en cil´
o ındricas.
o e ˙ ˙
Segundo, para que s´lo quede el segundo t´rmino de la velocidad, hacemos r = φ = 0.
Esto corresponde a moverse sobre un meridiano, ya que solo θ cambia. N´tese que el
o
radio de este movimiento circular es r.
Finalmente, para que s´lo quede la tercera componente de la velocidad hay que hacer
o
r =θ
˙ ˙ = 0, lo que corresponde a moverse sobre un paralelo, ya que s´lo φ cambia.
o
Este es de nuevo un movimiento circular, pero de radio r sinθ y en el plano horizontal.
De nuevo, cuando se expresa el movimiento en esf´ricas, vemos que puede escribirse
e
como combinaci´n de tres movimientos, uno rectil´
o ıneo y dos circulares, uno seg´n un pa-
u
ralelo y otro seg´n un meridiano. ¿Cu´ndo deberemos utilizar estas coordenadas? Cuando
u a
el movimiento sea tal que una o varias de estas componentes se anule. Por ejemplo, si el
m´vil se desplaza sobre la superficie de una esfera, de modo que la componente rectil´
o ınea
desaparece si se describe el movimiento en esf´ricas. As´ el problema tridimensional se
e ı,
reduce a bidimensional.
El c´lculo de la aceleraci´n en esf´ricas es algebraicamente m´s comprometido, ya que
a o e a
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30. 36
tendremos que derivar tambi´n los vectores uθ y uφ :
e
dv ur ˙ uθ + rφsinθ uφ + rφsinθ uφ +
a= = r ur + r
¨ ˙ ˙˙ ¨
+ r θ uθ + r θ uθ + r θ ˙˙ ¨
dt dt dt
(1.65)
˙˙ ˙ uφ
+rφθcosθ uφ + rφ sinθ .
dt
Para calcular las derivadas de los vectores de la base usaremos la Eq. 1.60 de forma
totalmente an´loga al caso de ur , que ya calculamos antes. Tras un poco de ´lgebra se
a a
C
llega a que:
duφ ˙ ˙
= −φ sinθ ur − φ cosθ uθ , (1.66)
dt
I
y,
I I
duθ ˙ ˙
= −θ ur + φ cosθ uφ . (1.67)
dt
Y sustituyendo todas estas ecuaciones en la expresi´n de la aceleraci´n se obtiene que:
o o
a= ¨ ˙ ˙ ˙˙ ¨ ˙
r − rθ2 − rφ2 sin2 θ ur + 2rθ + rθ − rφ2 sinθcosθ uθ +
(1.68)
˙˙ ˙˙ ¨
+ 2rφsinθ + 2rθφcosθ + rφsinθ uφ ,
que nos da la expresi´n final de la aceleraci´n en esf´ricas. La interpretaci´n del significado
o o e o
de cada uno de los t´rminos es ahora un poco m´s liosa, pero la haremos viendo que
e a
t´rminos sobreviven para cada uno de los tipos fundamentales de movimiento que vimos
e
antes. En el caso del primero, el desplazamiento en la direcci´n radial requiere que
o
θ˙ = φ = 0. Por lo tanto el unico que queda es r, que representa la aceleraci´n en la
˙ ´ ¨ o
direcci´n radial.
o
Cuando nos movemos seg´n el segundo tipo de movimiento, el movimiento circular
u
¨ ˙ ˙
a lo largo de un meridiano, tenemos que r = r = φ = 0. Los unicos t´rminos no nulos
´ e
˙ 2 ¨
en la Eq. 1.68 son −rθ ur y rθuθ . El primero corresponde a la aceleraci´n centr´
o ıpeta de
este movimiento circular (recordar que el radio de un meridiano es r) y el segundo, a la
aceleraci´n angular.
o
En el caso del tercer movimiento fundamental, el movimiento circular a lo largo
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31. 37
¨ ˙ ˙
de un meridiano, tenemos que r = r = θ = 0. Los t´rminos que no se anulan son:
e
˙
−[(rsinθ) φ] · sinθ ur ,
˙
−[(rsinθ) φ] · cosθ uθ , (1.69)
¨
(rsinθ)φ uφ .
Para interpretarlos, hay que recordar que el radio de un paralelo es rsinθ. Por eso, los
dos primeros t´rminos corresponden a la aceleraci´n centr´
e o ıpeta asociada al giro alrededor
C
del paralelo, y el tercero a la aceleraci´n angular de dicho movimiento. El motivo de que
o
la aceleraci´n centr´
o ıpeta aparezca en dos trozos es que, como sabemos, tiene que estar
I
dirigida hacia el centro del paralelo. Pero esa direcci´n no coincide ni con ur ni uθ . Y por
o
I I
ello, hay que proyectarla sobre esos dos vectores.
En cuanto al resto de t´rminos, obs´rvese que son siempre nulos para los tipos de mo-
e e
vimiento fundamental. Por ello, son de naturaleza parecida a la aceleraci´n de Coriolis que
o
ya vimos en el caso cil´
ındrico, y aparecen s´lo en los movimientos que sean combinaci´n
o o
de al menos dos movimientos fundamentales.
1.11. Componentes intr´
ınsecas de la aceleraci´n
o
Hemos visto que en el caso del movimiento m´s general, la expresi´n de la velocidad
a o
y la aceleraci´n puede tornarse harto complicada. Sin embargo hay algo que nunca ha de
o
perderse de vista: el vector velocidad siempre es tangente a la trayectoria (ver
Fig. 1.3). Por ello, si cogemos un vector ut tangente a la trayectoria en cada punto, siempre
se puede escribir:
v = vut , (1.70)
donde v = |v|. Ahora bien, derivando esta expresi´n se obtiene que:
o
dv dv dut
a= = ut + v . (1.71)
dt dt dt
Al primero de estos sumandos se le llama aceleraci´n tangente, at , y es un vector
o
paralelo al vector velocidad, y que da cuenta de los cambios en el m´dulo de la velocidad.
o
As´ por ejemplo, en cualquiera de los movimientos uniformes que definimos antes es igual
ı,
a cero.
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32. 38
v
an= v 2/R n
n
R
C I an = v
II
Figura 1.13: Aceleraci´n normal en el caso de movimiento circular.
o
El segundo sumando es lo que se llama aceleraci´n normal, an . U tilizando resultados
de geometr´ anal´
ıa
dut
dt
o
ıtica que no vamos a ver aqui, es f´cil ver que se puede reescribir como:
a
v2
= n,
ρ
donde n se llama el vector normal, y ρ es lo que se llama radio de curvatura de la
trayectoria. N´tese que el vector n es siempre perpendicular a ut .
o
En ese caso, n no es m´s que un vector unitario dirigido hacia el centro del c´
a
la direcci´n radial, mientras que ρ es igual al radio del c´
o
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u a
a
ısica.
o
(1.72)
La interpretaci´n geom´trica de estas dos cantidades es especialmente sencilla en el
o e
caso del movimiento plano. Imaginemos para ello, un movimiento puramente circular.
ırculo en
ırculo (ver Fig. 1.10.1). Es por
ello que se dice que, en el caso del movimiento circular, an = v 2 /R. En el caso de un
movimiento plano m´s general, el s´
a ımil es f´cil de visualizar. Basta con suponer que, las
a
cercan´ del punto donde est´ nuestro m´vil pueden aproximarse como parte de una
ıas
circunferencia de un cierto radio (ver Fig. 1.11). Dicho radio ser´ el valor de ρ en ese
punto, y n ser´ el vector unitario que apunta el centro del c´
ıa
ıa
ırculo en la direcci´n radial.
o
Al moverse a otro punto de la trayectoria, habr´ que aproximar con una circunferencia
a
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33. 39
v
n
ρ
R
n ρ ρ
C
n
v v
II
I
Figura 1.14: Aceleraci´n normal en el caso de movimiento plano.
o
diferente, lo que hace que el radio de curvatura de la trayectoria sea una funci´n del punto.
o
Como ultimo comentario, fijaros que la Eq. 1.71 implica que:
´
|a| = a2 + a2 .
t n (1.73)
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