Este documento presenta información sobre el tema de aplicaciones de la derivada en matemática I. Explica cómo calcular ecuaciones de rectas tangentes y normales a funciones, y analiza conceptos como puntos críticos, crecimiento y derivada, máximos y mínimos relativos, concavidad y convexidad. También cubre temas como la segunda derivada, puntos de inflexión y criterios para identificar intervalos cóncavos y convexos.
El documento presenta información sobre el desarrollo histórico del cálculo diferencial. Explica que Isaac Newton y Gottfried Leibniz desarrollaron independientemente las ideas del cálculo a finales del siglo XVII. Aunque ambos realizaron contribuciones importantes, mantuvieron un conflicto por la autoría de su invención. Actualmente se reconoce a ambos como los fundadores del cálculo y se utilizan notaciones mixtas de sus trabajos.
Este documento trata sobre el tema de la derivada. Explica brevemente la historia de la derivada y cómo surgió del estudio de problemas geométricos como la tangente a una curva y los extremos. Define la derivada como el límite que representa la pendiente de la recta tangente a una función en un punto. También cubre conceptos como la derivabilidad, las fórmulas de derivación, y la continuidad y discontinuidad de funciones.
Este documento presenta una monografía sobre las aplicaciones de las derivadas. En 3 oraciones: Introduce el tema de las derivadas y sus usos en matemáticas y otras áreas. Explica que las derivadas miden el cambio instantáneo de una cantidad con respecto a otra y tienen aplicaciones en optimización, cálculo de velocidad y aceleración, y análisis de funciones. Concluye resumiendo varias aplicaciones clave de las derivadas como encontrar máximos y mínimos, calcular límites, y analizar puntos de inflexión.
1) La derivada representa la tasa de cambio instantánea de una función y permite estudiar su crecimiento, máximos y mínimos.
2) Para encontrar extremos locales de una función derivable, se analiza cuando su derivada es cero y el signo de su segunda derivada.
3) La derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la tangente en ese punto de la curva gráfica de la función.
Este documento trata sobre funciones exponenciales y logarítmicas. Explica las características de las funciones exponenciales, incluyendo su crecimiento exponencial y aplicaciones como el interés compuesto. También describe las funciones logarítmicas como la inversa de la función exponencial y cómo calcular logaritmos. El documento proporciona ejemplos y ejercicios para practicar estas funciones.
El documento explica las derivadas, que representan la pendiente de la tangente a una curva en un punto y miden la tasa de cambio de una función. Tiene aplicaciones como calcular velocidad y aceleración, optimizar funciones para encontrar máximos y mínimos, y construir carreteras con curvas naturales. Incluye ejemplos de derivadas de funciones y su uso para resolver problemas de física y economía.
Derivación e integración de varias funciones variablesleonelgranado
El documento trata sobre el cálculo integral de funciones de varias variables. Introduce conceptos como límites y continuidad, derivadas parciales, diferencial total, gradientes, divergencia, rotor, plano tangente, recta normal, regla de la cadena y Jacobiano. Explica estos temas fundamentales del cálculo multivariable de forma que sean accesibles para los estudiantes.
Derivadas Daniela Urbina Uribe Extensión San Cristóbal DanielaUrbina19
Este documento presenta una introducción a las derivadas. Explica que las derivadas miden la tasa de cambio de una función y son fundamentales en cálculo. Luego resume algunas derivadas básicas como la de funciones constantes, potencias, sumas, productos y cocientes. También cubre las derivadas de funciones trigonométricas y la regla de la cadena. Finalmente, resume cuatro teoremas clave sobre derivadas como los teoremas de Rolle, Bolzano y Cauchy.
El documento presenta información sobre el desarrollo histórico del cálculo diferencial. Explica que Isaac Newton y Gottfried Leibniz desarrollaron independientemente las ideas del cálculo a finales del siglo XVII. Aunque ambos realizaron contribuciones importantes, mantuvieron un conflicto por la autoría de su invención. Actualmente se reconoce a ambos como los fundadores del cálculo y se utilizan notaciones mixtas de sus trabajos.
Este documento trata sobre el tema de la derivada. Explica brevemente la historia de la derivada y cómo surgió del estudio de problemas geométricos como la tangente a una curva y los extremos. Define la derivada como el límite que representa la pendiente de la recta tangente a una función en un punto. También cubre conceptos como la derivabilidad, las fórmulas de derivación, y la continuidad y discontinuidad de funciones.
Este documento presenta una monografía sobre las aplicaciones de las derivadas. En 3 oraciones: Introduce el tema de las derivadas y sus usos en matemáticas y otras áreas. Explica que las derivadas miden el cambio instantáneo de una cantidad con respecto a otra y tienen aplicaciones en optimización, cálculo de velocidad y aceleración, y análisis de funciones. Concluye resumiendo varias aplicaciones clave de las derivadas como encontrar máximos y mínimos, calcular límites, y analizar puntos de inflexión.
1) La derivada representa la tasa de cambio instantánea de una función y permite estudiar su crecimiento, máximos y mínimos.
2) Para encontrar extremos locales de una función derivable, se analiza cuando su derivada es cero y el signo de su segunda derivada.
3) La derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la tangente en ese punto de la curva gráfica de la función.
Este documento trata sobre funciones exponenciales y logarítmicas. Explica las características de las funciones exponenciales, incluyendo su crecimiento exponencial y aplicaciones como el interés compuesto. También describe las funciones logarítmicas como la inversa de la función exponencial y cómo calcular logaritmos. El documento proporciona ejemplos y ejercicios para practicar estas funciones.
El documento explica las derivadas, que representan la pendiente de la tangente a una curva en un punto y miden la tasa de cambio de una función. Tiene aplicaciones como calcular velocidad y aceleración, optimizar funciones para encontrar máximos y mínimos, y construir carreteras con curvas naturales. Incluye ejemplos de derivadas de funciones y su uso para resolver problemas de física y economía.
Derivación e integración de varias funciones variablesleonelgranado
El documento trata sobre el cálculo integral de funciones de varias variables. Introduce conceptos como límites y continuidad, derivadas parciales, diferencial total, gradientes, divergencia, rotor, plano tangente, recta normal, regla de la cadena y Jacobiano. Explica estos temas fundamentales del cálculo multivariable de forma que sean accesibles para los estudiantes.
Derivadas Daniela Urbina Uribe Extensión San Cristóbal DanielaUrbina19
Este documento presenta una introducción a las derivadas. Explica que las derivadas miden la tasa de cambio de una función y son fundamentales en cálculo. Luego resume algunas derivadas básicas como la de funciones constantes, potencias, sumas, productos y cocientes. También cubre las derivadas de funciones trigonométricas y la regla de la cadena. Finalmente, resume cuatro teoremas clave sobre derivadas como los teoremas de Rolle, Bolzano y Cauchy.
Este documento trata sobre las aplicaciones de las derivadas en matemáticas. Explica conceptos como la monotonía, curvatura y puntos de inflexión de una función, así como cómo usar las derivadas para encontrar máximos, mínimos y tasas de variación. También resume los teoremas de Rolle, el Valor Medio y Cauchy, y cómo las derivadas pueden usarse para la optimización de funciones.
El documento explica la aplicación del cálculo de límites y continuidad a la contabilidad. Primero, resume los conceptos teóricos de límites y continuidad. Luego, presenta ejemplos de cómo estos conceptos se usan para describir el comportamiento de funciones económicas relacionadas con costos de producción y eliminación de contaminación. Concluye que entender límites matemáticos es fundamental para calcular datos importantes para la contabilidad.
Este documento introduce el concepto de derivada y recta tangente. Explica que la derivada de una función en un punto es el límite del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a 0. También define la recta tangente a una función como la recta que pasa por el punto de tangencia y tiene una pendiente igual a la derivada de la función en ese punto. Finalmente, presenta algunas propiedades importantes de las funciones derivables como la derivada de sumas, productos y cocientes.
Este documento presenta conceptos fundamentales de cálculo diferencial e integral, incluyendo: 1) cómo usar derivadas para calcular velocidad y aceleración; 2) derivadas de funciones implícitas y de orden superior; y 3) criterios para determinar intervalos de crecimiento, extremos relativos, y concavidad/convexidad de funciones. Ilustra estos conceptos con ejemplos numéricos.
El documento explica las asíntotas verticales y horizontales de funciones racionales. Las asíntotas verticales son rectas x=x0, donde x0 son los polos de la función (raíces del denominador). A medida que x se acerca a x0, el cociente tiende a infinito. Las asíntotas horizontales ocurren cuando el numerador y denominador tienen el mismo grado y son la recta y=cociente de los términos de mayor exponente. Si el grado del denominador es mayor, la asíntota es y=0.
DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLESStefanyMarcano
Links de los videos:
https://www.youtube.com/watch?v=Vnbi1S7x6Qg
https://www.youtube.com/watch?v=cPuE8bUEaUo
https://www.youtube.com/watch?v=XKgfHOaXhqs
Universidad Técnica Particular de Loja
Ciclo Académico Abril Agosto 2011
Carrera: Gestión Ambiental
Docente: Ing. Antonella González
Ciclo Tercero
Bimestre: Segundo
Este documento presenta un esquema de contenido sobre el tema de límites en matemáticas. Explica brevemente que un límite describe la tendencia de una sucesión o función cuando sus parámetros se acercan a cierto valor, y que este concepto se utiliza para definir convergencia, continuidad, derivación e integración. Luego muestra diferentes submenús sobre teoremas, ejemplos y aplicaciones de límites.
Capitulo 3 funciones de varias variables Paul Borikua
Este documento introduce conceptos fundamentales sobre funciones de varias variables, incluyendo su definición, dominio, codominio y gráficos. Explica cómo representar gráficamente funciones de dos y tres variables a través de trazas en planos y curvas de nivel. También define límites y continuidad para funciones de más de una variable, y presenta ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento presenta conceptos y procedimientos asociados con las derivadas. El objetivo es explicar los conceptos básicos de las derivadas y las reglas para calcularlas, así como explorar aplicaciones. Se define la derivada como una medida del cambio en una función cuando cambia su variable independiente. Se explican las reglas para derivar constantes, potencias, sumas, productos y cocientes.
Aplicación de derivadas en modelos matemáticos tatu906019
Este documento presenta un ejercicio de cálculo diferencial que involucra el movimiento rectilíneo uniforme de una escalera. El objetivo es aplicar el concepto de derivada a una ecuación paramétrica para determinar la tasa a la que la parte superior de la escalera se desliza hacia abajo sobre la pared, dado que la base de la escalera se aleja de la pared a una velocidad constante de 7.5 cm/s y se encuentra a 35 cm de la pared, mientras que la parte superior se encuentra a 20 cm.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de las aplicaciones de la derivada en cálculo, incluyendo extremos de funciones, puntos críticos, teoremas de valor máximo y mínimo, concavidad, asíntotas y métodos para aproximar raíces. Explica estas ideas a través de definiciones, teoremas y ejemplos numéricos para ilustrar los principios clave.
El documento presenta información sobre el tema de las derivadas en ingeniería de sistemas II. Los objetivos generales son analizar los conceptos básicos de la derivada y las reglas para calcular derivadas y sus aplicaciones. Los objetivos específicos son explorar conceptos y procedimientos asociados con derivadas y describir métodos para calcular derivadas y comparar resultados optimizando los procedimientos. Se incluyen definiciones de derivada, historia, conceptos, aplicaciones y ejemplos.
El documento define las funciones y sus elementos principales como dominio, rango y cortes. Luego describe los tipos de funciones como polinómicas, racionales, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas, indicando sus características clave. Finalmente, cubre temas como límites de funciones, formas indeterminadas y solución de problemas relacionados con funciones.
Este documento explica los conceptos fundamentales de la derivación y el cálculo diferencial. Define la derivada como el límite de la razón del incremento de la función y el incremento de la variable independiente cuando este último tiende a cero. Explica el procedimiento general para derivar una función que incluye sustituir la variable por un valor cercano, calcular el incremento de la función, dividir e ir al límite. También introduce a Leibniz como codescubridor independiente del cálculo infinitesimal junto con Newton.
Este documento presenta un resumen de 3 oraciones o menos del capítulo sobre derivación de funciones de una variable en cálculo. Explica la definición formal de derivada como el límite de la razón del cambio en la función dividido por el cambio en la variable independiente a medida que este último se acerca a cero. También describe la interpretación geométrica de la derivada en términos de la pendiente de la tangente a la curva representativa de la función.
1) El documento introduce conceptos básicos de cálculo diferencial como derivadas, tangentes y pendientes.
2) Explica cómo calcular derivadas usando límites y reglas como la del producto y el cociente.
3) Proporciona ejemplos de aplicación de estas reglas y la regla de la cadena para funciones polinomiales y exponenciales.
Este documento explica el concepto matemático de límite y sus aplicaciones. Define límites como la tendencia de una función cuando se acerca a un valor particular. Discute clases de límites como funciones continuas, discontinuas y racionales. También cubre límites laterales e infinitos. Finalmente, menciona algunas aplicaciones de los límites en campos como la arquitectura y el análisis financiero.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la derivada en cálculo, incluyendo la definición de derivada como el límite del cambio en la función entre el cambio en la variable cuando este último tiende a cero. También cubre reglas para calcular derivadas de funciones como sumas, diferencias, productos, cocientes y funciones elevadas a una potencia.
Aplicaciones de los máximos y mínimos en la ingenieria electromecanicaDiego Ruiz
El documento describe cómo un ingeniero encontró las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en una placa circular de 5cm de radio. El ingeniero determinó que el área máxima es 50 cm2 y que ocurre cuando el rectángulo se convierte en un cuadrado de 7.071cm de lado. Esto se encontró derivando la función del área, igualándola a cero y determinando que el punto crítico es una función cóncava de máximo en x=7.071cm.
El documento presenta información sobre la derivada y su aplicación para analizar cambios y variaciones. Explica el concepto histórico de la tangente y la derivada, y cómo esta permite estudiar puntos críticos, máximos, mínimos y curvatura de funciones. También introduce conceptos como razón de cambio y cómo medir variaciones en diferentes ámbitos como crecimiento poblacional, consumo energético y propagación de enfermedades. Por último, plantea un ejemplo para encontrar un mínimo.
Este documento trata sobre la variación de funciones y la determinación de extremos. Explica conceptos como funciones crecientes y decrecientes, valores críticos, y el uso del criterio de la primera derivada para encontrar máximos y mínimos relativos. Además, presenta ejemplos para ilustrar estos conceptos y teoremas como el teorema del valor medio y de Rolle.
Este documento trata sobre las aplicaciones de las derivadas en matemáticas. Explica conceptos como la monotonía, curvatura y puntos de inflexión de una función, así como cómo usar las derivadas para encontrar máximos, mínimos y tasas de variación. También resume los teoremas de Rolle, el Valor Medio y Cauchy, y cómo las derivadas pueden usarse para la optimización de funciones.
El documento explica la aplicación del cálculo de límites y continuidad a la contabilidad. Primero, resume los conceptos teóricos de límites y continuidad. Luego, presenta ejemplos de cómo estos conceptos se usan para describir el comportamiento de funciones económicas relacionadas con costos de producción y eliminación de contaminación. Concluye que entender límites matemáticos es fundamental para calcular datos importantes para la contabilidad.
Este documento introduce el concepto de derivada y recta tangente. Explica que la derivada de una función en un punto es el límite del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a 0. También define la recta tangente a una función como la recta que pasa por el punto de tangencia y tiene una pendiente igual a la derivada de la función en ese punto. Finalmente, presenta algunas propiedades importantes de las funciones derivables como la derivada de sumas, productos y cocientes.
Este documento presenta conceptos fundamentales de cálculo diferencial e integral, incluyendo: 1) cómo usar derivadas para calcular velocidad y aceleración; 2) derivadas de funciones implícitas y de orden superior; y 3) criterios para determinar intervalos de crecimiento, extremos relativos, y concavidad/convexidad de funciones. Ilustra estos conceptos con ejemplos numéricos.
El documento explica las asíntotas verticales y horizontales de funciones racionales. Las asíntotas verticales son rectas x=x0, donde x0 son los polos de la función (raíces del denominador). A medida que x se acerca a x0, el cociente tiende a infinito. Las asíntotas horizontales ocurren cuando el numerador y denominador tienen el mismo grado y son la recta y=cociente de los términos de mayor exponente. Si el grado del denominador es mayor, la asíntota es y=0.
DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLESStefanyMarcano
Links de los videos:
https://www.youtube.com/watch?v=Vnbi1S7x6Qg
https://www.youtube.com/watch?v=cPuE8bUEaUo
https://www.youtube.com/watch?v=XKgfHOaXhqs
Universidad Técnica Particular de Loja
Ciclo Académico Abril Agosto 2011
Carrera: Gestión Ambiental
Docente: Ing. Antonella González
Ciclo Tercero
Bimestre: Segundo
Este documento presenta un esquema de contenido sobre el tema de límites en matemáticas. Explica brevemente que un límite describe la tendencia de una sucesión o función cuando sus parámetros se acercan a cierto valor, y que este concepto se utiliza para definir convergencia, continuidad, derivación e integración. Luego muestra diferentes submenús sobre teoremas, ejemplos y aplicaciones de límites.
Capitulo 3 funciones de varias variables Paul Borikua
Este documento introduce conceptos fundamentales sobre funciones de varias variables, incluyendo su definición, dominio, codominio y gráficos. Explica cómo representar gráficamente funciones de dos y tres variables a través de trazas en planos y curvas de nivel. También define límites y continuidad para funciones de más de una variable, y presenta ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento presenta conceptos y procedimientos asociados con las derivadas. El objetivo es explicar los conceptos básicos de las derivadas y las reglas para calcularlas, así como explorar aplicaciones. Se define la derivada como una medida del cambio en una función cuando cambia su variable independiente. Se explican las reglas para derivar constantes, potencias, sumas, productos y cocientes.
Aplicación de derivadas en modelos matemáticos tatu906019
Este documento presenta un ejercicio de cálculo diferencial que involucra el movimiento rectilíneo uniforme de una escalera. El objetivo es aplicar el concepto de derivada a una ecuación paramétrica para determinar la tasa a la que la parte superior de la escalera se desliza hacia abajo sobre la pared, dado que la base de la escalera se aleja de la pared a una velocidad constante de 7.5 cm/s y se encuentra a 35 cm de la pared, mientras que la parte superior se encuentra a 20 cm.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de las aplicaciones de la derivada en cálculo, incluyendo extremos de funciones, puntos críticos, teoremas de valor máximo y mínimo, concavidad, asíntotas y métodos para aproximar raíces. Explica estas ideas a través de definiciones, teoremas y ejemplos numéricos para ilustrar los principios clave.
El documento presenta información sobre el tema de las derivadas en ingeniería de sistemas II. Los objetivos generales son analizar los conceptos básicos de la derivada y las reglas para calcular derivadas y sus aplicaciones. Los objetivos específicos son explorar conceptos y procedimientos asociados con derivadas y describir métodos para calcular derivadas y comparar resultados optimizando los procedimientos. Se incluyen definiciones de derivada, historia, conceptos, aplicaciones y ejemplos.
El documento define las funciones y sus elementos principales como dominio, rango y cortes. Luego describe los tipos de funciones como polinómicas, racionales, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas, indicando sus características clave. Finalmente, cubre temas como límites de funciones, formas indeterminadas y solución de problemas relacionados con funciones.
Este documento explica los conceptos fundamentales de la derivación y el cálculo diferencial. Define la derivada como el límite de la razón del incremento de la función y el incremento de la variable independiente cuando este último tiende a cero. Explica el procedimiento general para derivar una función que incluye sustituir la variable por un valor cercano, calcular el incremento de la función, dividir e ir al límite. También introduce a Leibniz como codescubridor independiente del cálculo infinitesimal junto con Newton.
Este documento presenta un resumen de 3 oraciones o menos del capítulo sobre derivación de funciones de una variable en cálculo. Explica la definición formal de derivada como el límite de la razón del cambio en la función dividido por el cambio en la variable independiente a medida que este último se acerca a cero. También describe la interpretación geométrica de la derivada en términos de la pendiente de la tangente a la curva representativa de la función.
1) El documento introduce conceptos básicos de cálculo diferencial como derivadas, tangentes y pendientes.
2) Explica cómo calcular derivadas usando límites y reglas como la del producto y el cociente.
3) Proporciona ejemplos de aplicación de estas reglas y la regla de la cadena para funciones polinomiales y exponenciales.
Este documento explica el concepto matemático de límite y sus aplicaciones. Define límites como la tendencia de una función cuando se acerca a un valor particular. Discute clases de límites como funciones continuas, discontinuas y racionales. También cubre límites laterales e infinitos. Finalmente, menciona algunas aplicaciones de los límites en campos como la arquitectura y el análisis financiero.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la derivada en cálculo, incluyendo la definición de derivada como el límite del cambio en la función entre el cambio en la variable cuando este último tiende a cero. También cubre reglas para calcular derivadas de funciones como sumas, diferencias, productos, cocientes y funciones elevadas a una potencia.
Aplicaciones de los máximos y mínimos en la ingenieria electromecanicaDiego Ruiz
El documento describe cómo un ingeniero encontró las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en una placa circular de 5cm de radio. El ingeniero determinó que el área máxima es 50 cm2 y que ocurre cuando el rectángulo se convierte en un cuadrado de 7.071cm de lado. Esto se encontró derivando la función del área, igualándola a cero y determinando que el punto crítico es una función cóncava de máximo en x=7.071cm.
El documento presenta información sobre la derivada y su aplicación para analizar cambios y variaciones. Explica el concepto histórico de la tangente y la derivada, y cómo esta permite estudiar puntos críticos, máximos, mínimos y curvatura de funciones. También introduce conceptos como razón de cambio y cómo medir variaciones en diferentes ámbitos como crecimiento poblacional, consumo energético y propagación de enfermedades. Por último, plantea un ejemplo para encontrar un mínimo.
Este documento trata sobre la variación de funciones y la determinación de extremos. Explica conceptos como funciones crecientes y decrecientes, valores críticos, y el uso del criterio de la primera derivada para encontrar máximos y mínimos relativos. Además, presenta ejemplos para ilustrar estos conceptos y teoremas como el teorema del valor medio y de Rolle.
Este documento presenta los objetivos y temas de la unidad 4 de Matemáticas II. Los temas incluyen aplicaciones de la derivada como funciones crecientes y decrecientes, máximos y mínimos de funciones, derivadas de orden superior y criterios de la primera y segunda derivada. El objetivo es que los estudiantes obtengan conocimiento y aplicación de la derivada para distinguir entre derivadas en puntos y funciones derivadas.
Este documento presenta información sobre las razones de cambio y la derivada. Explica las definiciones históricas de la derivada y cómo se puede construir el concepto usando la pendiente de una curva tangente. También cubre tablas de derivadas elementales, derivadas de funciones trigonométricas, derivadas de orden superior y cómo calcular valores máximos y mínimos de una función usando la primera y segunda derivada.
El documento habla sobre las funciones implícitas y explícitas. Explica que las funciones implícitas están definidas por una ecuación en lugar de una expresión explícita. Luego, describe el método de derivación de funciones implícitas usando derivadas parciales y la regla de la cadena. Finalmente, analiza casos de funciones continuas pero no derivables en ciertos puntos.
Aplicaciones de la derivada-UNIDAD 5 CALCULO DIFERENCIALeleazarbautista35
Este documento describe las aplicaciones de la derivada en diferentes áreas. Explica que la velocidad representa el cambio de posición con respecto al tiempo y que la derivada puede usarse para calcular la velocidad instantánea. También cubre conceptos como la aceleración y cómo la derivada segunda puede usarse para determinar la aceleración instantánea. Además, menciona brevemente otras aplicaciones de la derivada en mecánica, economía y otras disciplinas.
Este documento trata sobre las aplicaciones de la derivada en diferentes conceptos matemáticos. Explica que una función es creciente o decreciente dependiendo del signo de su derivada. También cubre cómo determinar máximos, mínimos, concavidad, convexidad y cómo resolver problemas de optimización usando la derivada. Incluye ejemplos resueltos para ilustrar cada uno de estos conceptos.
Este documento presenta un resumen de las aplicaciones de la derivada, incluyendo determinar la monotonía, curvatura y puntos de inflexión de una función, así como localizar máximos y mínimos. También cubre teoremas como el de Rolle, Lagrange y Cauchy, y cómo usar derivadas para optimización. El documento concluye que las derivadas tienen numerosas aplicaciones en física y otras ciencias.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la derivada, incluyendo su definición como un límite, su interpretación geométrica como la pendiente de la tangente, las reglas básicas para derivar funciones como potencias, sumas y productos, derivadas sucesivas, la regla de la cadena y derivadas implícitas. También introduce la regla de L'Hôpital para calcular límites indeterminados y proporciona enlaces a videos explicativos adicionales.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre la derivada y sus aplicaciones. Introduce la noción de pendiente de la tangente y derivada como razón instantánea de variación. Incluye teoremas sobre derivadas de funciones como suma, producto, cociente y raíz cuadrada. Contiene ejemplos ilustrativos sobre cálculo de derivadas y aplicaciones en problemas de máximos, mínimos, velocidad y aceleración.
Este documento presenta las aplicaciones fundamentales de las derivadas en matemáticas. Explica conceptos como la monotonía, curvatura y puntos de inflexión de funciones, así como cómo usar derivadas para encontrar máximos y mínimos. También cubre la regla de L'Hôpital, tasas de variación, teoremas como los de Rolle y Cauchy, y aplicaciones como la optimización y representación gráfica de funciones. Concluye que las derivadas tienen muchas aplicaciones prácticas en ingeniería, física y economía, más allá de
El documento trata sobre conceptos básicos de cálculo diferencial e integral como derivadas, velocidad, aceleración, derivadas de orden superior, funciones crecientes y decrecientes, extremos de funciones, concavidad, problemas de optimización, y formas indeterminadas. Explica cómo usar la derivada primera para encontrar puntos críticos y la derivada segunda para determinar si son máximos o mínimos. También cubre cómo estudiar la monotonía de funciones usando el signo de la derivada y aplicar esto para identificar extremos absolutos y relativos.
Derivadas- Universidad de la Guajira, Calculo Diferencialdanis_garcia
La derivada de una función mide la tasa de cambio de la función con respecto a cambios en su variable independiente. La derivada en un punto es igual a la pendiente de la tangente a la curva de la función en ese punto. Las derivadas tienen muchas aplicaciones importantes en física, química, economía y otras áreas.
Este documento presenta la unidad sobre funciones en matemáticas para 4o de ESO. Introduce las funciones y explica que muestran la relación entre variables, así como conceptos clave como variable independiente, variable dependiente, dominio y recorrido. Los objetivos son conocer expresiones de funciones, calcular dominio y recorrido, distinguir entre funciones continuas y discontinuas, y analizar crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos en gráficas.
La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a dicha recta en dicho punto. Físicamente, miden la rapidez con la que cambia una variable con respecto a otra. La misma, se aplica en casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una situación. Por tanto, la derivada de una función para un valor de la variable es la tasa de variación instantánea de dicha función y para el valor concreto de la variable
Este documento presenta una clase sobre aplicaciones de la derivada dictada en la Universidad de Los Lagos. Explica conceptos como funciones crecientes y decrecientes, determinación de intervalos de monotonía, máximos y mínimos relativos, concavidad, puntos de inflexión e interpretaciones geométrica y física de la derivada. El profesor Rodrigo Solís impartió la clase a tres alumnos de la carrera de Ingeniería Civil Vespertina.
Similar a Tema i aplicaciones de la derivada matematica i uney (20)
Este documento proporciona recursos sobre el romboide, incluyendo enlaces a una unidad didáctica, la página de Wikipedia sobre romboides, y un video que explica las propiedades del romboide. Define al romboide como un paralelogramo que no tiene ni sus ángulos ni sus lados iguales, y explica que puede transformarse en un rectángulo de igual área.
Este documento proporciona recursos sobre el romboide, incluyendo enlaces a una unidad didáctica, la página de Wikipedia sobre romboides, y un video de YouTube que explica las propiedades del romboide. También define al romboide como un paralelogramo que no tiene ni sus ángulos ni sus lados iguales, y explica que puede transformarse en un rectángulo de igual área.
Este documento proporciona recursos sobre el romboide, incluyendo enlaces a una unidad didáctica, la página de Wikipedia y un video sobre el romboide, así como definiciones y propiedades del romboide. El romboide se define como un paralelogramo que no tiene ni sus ángulos ni sus lados iguales, y puede transformarse en un rectángulo de igual área mediante la fórmula A=b*h.
Tema iii aplicaciones de la integral matematica i uney pnficJulio Barreto Garcia
El documento describe los conceptos de centro de masas, centro de gravedad y centro geométrico o centroide para sistemas discretos y continuos. Explica que el centro de masas es el punto donde se concentra toda la masa del sistema para efectos inerciales, mientras que el centro de gravedad es el punto donde la resultante de las fuerzas de gravedad es nula. También define el momento de inercia como una medida de la inercia rotacional de un cuerpo y explica cómo calcular los centros de masas para distribuciones discretas y continu
Este documento trata sobre el cálculo del área bajo una curva mediante la integral definida. Explica que Arquímedes calculó el área de un círculo dividiéndolo en rectángulos más estrechos y sumando sus áreas. Luego define la integral definida como el límite de la suma de las áreas de rectángulos más estrechos bajo la curva cuando su número tiende a infinito. Por último, explica cómo calcular el área entre dos curvas mediante la diferencia de dos integrales definidas.
El documento trata sobre vectores y álgebra lineal. Brevemente resume que el álgebra lineal surgió en el siglo XVII y se extendió a espacios vectoriales de más de 3 dimensiones en el siglo XIX. Luego define vectores, operaciones básicas como suma y producto por escalar, y conceptos como vector unitario, producto interno, desigualdad de Cauchy-Schwarz y producto vectorial.
El documento describe los diferentes tipos de ángulos formados cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, incluyendo ángulos correspondientes, alternos internos y externos. Explica que estos ángulos son iguales y presenta demostraciones geométricas de propiedades de ángulos y triángulos. También define funciones trigonométricas como seno, coseno y tangente usando un triángulo rectángulo.
Este documento presenta el plan de lapso y evaluación para las áreas de matemáticas de los grados primero B y C. El plan incluye dos temas principales: medidas de terrenos y la economía familiar. Cada tema detalla los conceptos clave, estrategias de enseñanza como preguntas y respuestas, y técnicas de estudio individuales y grupales. El plan también describe las formas de evaluación formativa y sumativa incluyendo pruebas cortas, trabajos grupales, exposiciones y resolución de ejercicios.
Este documento presenta el plan de lapso y evaluación para el área de matemáticas del segundo año de la Unidad Educativa José Antonio Sosa Guillen en Palito Blanco, Yaracuy para el año escolar 2016-2017. El plan contiene dos temas principales: 1) La Tierra en permanente movimiento y los vectores, y 2) Dinámica y distribución de las poblaciones humanas. Para cada tema se describen los referentes teóricos, los conceptos a enseñar, las estrategias y métodos de enseñanza, así como
El documento presenta diferentes técnicas de integración como la integración por partes, sustitución trigonométrica, integración de funciones racionales mediante fracciones parciales e integrales trigonométricas. Explica cómo aplicar estas técnicas a diferentes tipos de funciones y ofrece una estrategia general para identificar la técnica apropiada al integrar una función.
El documento presenta información sobre los números complejos, incluyendo: (1) Los números complejos son una extensión de los números reales que incluyen todas las raíces de los polinomios; (2) Se pueden representar como la suma de un número real y uno imaginario o en forma polar; (3) Son una herramienta importante en matemáticas y física.
El documento trata sobre las matrices y sus operaciones básicas. Introduce las matrices, su notación y definición. Explica cómo sumar y restar matrices, multiplicar una matriz por un escalar, y determinar si dos matrices son iguales. Finalmente, presenta un ejemplo para ilustrar estas operaciones.
Afiche de ii jornada yaracuyana de educacion matematica y aplicacionesJulio Barreto Garcia
El documento presenta el programa de una conferencia de matemáticas que incluye cuatro conferencias magistrales sobre temas como la demostración vs evidencia, el entrenamiento en la resolución de problemas matemáticos, matemáticos ilustres y la diversidad en el aprendizaje de las matemáticas. Además, se detallan cuatro talleres sobre el uso de herramientas como GeoGebra, la resolución de problemas matemáticos, MATLAB y el uso de calculadoras científicas. Finalmente, se proporciona información sobre los
Primer anuncio ii jornada yaracuyana de educacion matematica y aplicaciones (1)Julio Barreto Garcia
La Asociación Venezolana de Educación Matemática está organizando la II Jornada Yaracuyana de Educación Matemática y Aplicaciones, que se llevará a cabo el 12 y 13 de diciembre de 2016 en Yaracuy, Venezuela. El objetivo es promover el intercambio de experiencias e investigaciones sobre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Habrá conferencias magistrales y presentaciones breves sobre temas como la historia, aplicaciones y didáctica de las matemáticas. Los resúmenes se deb
Primer anuncio ii jornada yaracuyana de educacion matematica y aplicaciones (1)Julio Barreto Garcia
La Asociación Venezolana de Educación Matemática está organizando la II Jornada Yaracuyana de Educación Matemática y Aplicaciones, que se llevará a cabo el 12 y 13 de diciembre de 2016 en Yaracuy, Venezuela. El objetivo es promover el intercambio de experiencias e investigaciones sobre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Habrá conferencias magistrales y presentaciones breves sobre temas como la historia, aplicaciones y didáctica de las matemáticas. Los resúmenes se deb
Este documento presenta información sobre la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Explica que un sistema de ecuaciones lineales consiste en un conjunto de ecuaciones de primer grado. Describe cuatro métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: igualación, sustitución, reducción y método gráfico. Además, clasifica los sistemas según el número de soluciones que pueden tener.
Este documento describe la historia de las expresiones algebraicas y los polinomios. Comienza explicando cómo se expresaban las matemáticas antes del siglo XVI sin el uso de símbolos, y cómo a partir de entonces se empezó a utilizar un lenguaje simbólico similar al actual. Luego define qué son las expresiones algebraicas y los polinomios, y explica algunas de sus propiedades y aplicaciones. Finalmente, resume los intentos a lo largo de la historia por demostrar el teorema fundamental del álgebra.
Este documento presenta un plan de estudios para una unidad de álgebra de 11 semanas. Cubre temas como vectores, sistemas de ecuaciones lineales, matrices, números complejos y funciones trigonométricas. El plan divide el contenido en 5 secciones e incluye el número de semanas, clases y evaluaciones dedicadas a cada tema.
El documento presenta un plan de estudios para Matemáticas I durante el año lectivo 2016-2017, dividiendo los temas en 9 unidades que se estudiarán entre 1 y 36 semanas. Cada unidad incluye los contenidos, número de semanas y porcentaje de evaluación. Temas principales son aplicaciones de la derivada, la integral indefinida y definida, sucesiones y series, ecuaciones diferenciales y transformadas de Laplace.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
La Unidad Eudista de Espiritualidad se complace en poner a su disposición el siguiente Triduo Eudista, que tiene como propósito ofrecer tres breves meditaciones sobre Jesucristo Sumo y Eterno Sacerdote, el Sagrado Corazón de Jesús y el Inmaculado Corazón de María. En cada día encuentran una oración inicial, una meditación y una oración final.
LA PEDAGOGIA AUTOGESTONARIA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJEjecgjv
La Pedagogía Autogestionaria es un enfoque educativo que busca transformar la educación mediante la participación directa de estudiantes, profesores y padres en la gestión de todas las esferas de la vida escolar.
Lecciones 10 Esc. Sabática. El espiritismo desenmascarado docx
Tema i aplicaciones de la derivada matematica i uney
1. PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN
INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL
PROFESOR: JULIO BARRETO 1 MATERIA: MATEMÁTICA I
TEMA I: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
RECTA TANGENTE Y NORMAL
EJEMPLO: Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función
xxf )( en el punto .2,4
En primer lugar hallemos la pendiente de la recta tangente usando límites:
)(
)(
lim
)(
))((
limlim
000
xhxh
xhx
xhxh
xhxxhx
h
xhx
m
hhh
4
1
42
1
2
1
)(
1
lim
)(
lim
00
xxhxxhxh
h
m
hh
Ahora hallemos la ecuación de la recta con la expresión: 00 )( yxxmy
1
4
1
21
4
1
2)4(
4
1
xxxy
2. TEMA I: APLICACIONES DE LA DERIVADA
PROFESOR: JULIO BARRETO 2 MATERIA: MATEMÁTICA I
La normal a una curva en un punto P es la perpendicular a la recta tangente en
dicho punto. Si la pendiente de la tangente es ),(' afmt la pendiente de la normal será
)('
1
af
mN y la ecuación de la normal nos viene dada por:
)(
)('
1
)( ax
af
afy
Así, en el ejercicio anterior la pendiente de la normal será .4
4
1
1
Nm Y la
ecuación de la normal nos viene dada por:
104284)2(42 xyxyxy
Grafique esta recta como ejercicio.
EJERCICIO:
Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva dada por 3
)( xxf en
el punto de abscisa x = 2.
Ecuación de la recta tangente: 162 xy
Ecuación de la recta normal:
6
49
12
x
y
INFORMACIÓN EXTRAIDA DE LA PRIMERA DERIVADA
PUNTO CRÍTICO
DEFINICIÓN: Un número c para el cual una función f está definida y para el cual
0 cf o cf no existe, se llama un NÚMERO CRÍTICO para f .
EJEMPLO: La función f está definida por la ecuación .
2
2x-
xexf ¿Cuáles son
los puntos críticos de f ?
3. TEMA I: APLICACIONES DE LA DERIVADA
PROFESOR: JULIO BARRETO 3 MATERIA: MATEMÁTICA I
Para empezar, debemos determinar el dominio de .
2
2x-
xexf
.RDomf
Tenemos que encontrar la derivada de
2
2x-
xexf para determinar los puntos
críticos. Por la regla del producto y la regla de la cadena,
222222
2222222
441 x-x-x-x-x-x-
exexexeexexxf
Igualamos esta expresión a 0 y resolvemos la ecuación resultante.
04104 22222 222
xeexe x-x-x-
Como 0
2
2
x-
e para toda x , se sigue que
2
1
02121041 2
x=x+xx
Así,
2
1
x son los ceros de f ′. Esto significa que los puntos críticos
son
2
1
y
2
1
. Ahora bien, observa la gráfica siguiente y ten en cuenta la relación entre
derivada en un punto y la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.
4. TEMA I: APLICACIONES DE LA DERIVADA
PROFESOR: JULIO BARRETO 4 MATERIA: MATEMÁTICA I
RELACIÓN ENTRE CRECIMIENTO Y DERIVADA
f derivable y creciente en 0x 0)( 0 xf .
f derivable y decreciente en 0x 0)( 0 xf .
EJEMPLO: 3
xxf es derivable en todo R y su derivada es 2
3xxf . La
gráfica es:
Se observa que la función es creciente en todo su dominio que es R , veamos que la
derivada es positiva en todo punto del dominio.
Efectivamente 03)( 2
xxf Rxtodopara .
CRITERIO PARA IDENTIFICAR INTERVALOS CRECIENTES O
DECRECIENTES
fxf 0)( es creciente.
fxf 0)( es decreciente.
MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS
La función f presenta un máximo relativo en ,0x cuando existe un entorno 0xE
tal que: 0xfxf ., 00 xxxEx
5. TEMA I: APLICACIONES DE LA DERIVADA
PROFESOR: JULIO BARRETO 5 MATERIA: MATEMÁTICA I
La función f presenta un mínimo relativo en ,0x cuando existe un entorno 0xE
tal que: 0xfxf ., 00 xxxEx
CONDICIÓN NECESARIA DE MÁXIMO O MÍNIMO RELATIVO
f es derivable en 0x y f tiene un máximo o un mínimo en
0x 0)( 0 xf .
Sin embargo no es una condición suficiente, porque puede ocurrir que la derivada en
un punto valga 0 y que no haya máximo ni mínimo, como en 00 x en el ejemplo 3
xy .
REGLA PARA SABER SI UN PUNTO SINGULAR ES MÁXIMO O MÍNIMO
RELATIVO
Para saber si un punto singular (puntos que anulan la derivada) es máximo o mínimo
relativo de una función estudiaremos el signo de la derivada primera de la función.
EJEMPLO: Sea xxxf 273
cuya grafica es:
SOLUCIÓN:
6. TEMA I: APLICACIONES DE LA DERIVADA
PROFESOR: JULIO BARRETO 6 MATERIA: MATEMÁTICA I
Si calculamos su derivada y estudiamos el signo se tiene,
.33393273 22
xxxxxf Luego podríamos decir que la función de
acuerdo con este estudio:
Crece en ,33,
Decrece en 3,3
Así como crece en 3, y decrece en 3,3 entonces hay un máximo relativo en
)3(,3 f que en este caso será un MÁXIMO ABSOLUTO y como decrece en 3,3 y
crece en ,3 entonces hay un mínimo relativo en )3(,3 f que en este caso será un
MÍNIMO ABSOLUTO cómo se observaba en la gráfica.
INFORMACIÓN EXTRAIDA DE LA SEGUNDA DERIVADA
Una función es cóncava en un intervalo si las rectas tangentes a la función en ese
intervalo están por debajo de la función. Una función es convexa en un intervalo si las
rectas tangentes a la función de ese intervalo están por encima.
La denominación de convexidad y concavidad depende del punto de vista que se
adopte para considerar que es una concavidad, esto es si se mira a la función "desde arriba"
o "desde abajo". Por ello, es frecuente que en ocasiones se adopten las denominaciones
cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo para evitar las ambigüedades.
Los puntos donde la función cambia de curvatura se llaman PUNTOS DE
INFLEXIÓN.
( , -3) (-3,3) (3,)
3 + + +
3x - + +
3x - - +
Signo f + - +
7. TEMA I: APLICACIONES DE LA DERIVADA
PROFESOR: JULIO BARRETO 7 MATERIA: MATEMÁTICA I
RELACIÓN DE LA CURVATURA CON LA SEGUNDA DERIVADA
Si observamos la gráfica siguiente veremos que cuando la función es cóncava las
pendientes de las rectas tangentes (las derivadas) tienen un valor cada vez más grande, y
cuando es convexa cada vez menor.
CRITERIOS DE CONCAVIDAD O CONVEXIDAD
Por la derivada primera:
a. Si una función es cóncava las pendientes de las tangentes aumentan ( f es
creciente).
b. Si una función es convexa las pendientes de las tangentes disminuyen ( f es
decreciente).
Por la derivada segunda:
Si f es cóncava hacia arriba entonces f creciente, por lo tanto .0f
Si f es cóncava hacia abajo entonces f decreciente, por lo tanto .0f
f es derivable en 0x y tiene un PUNTO DE INFLEXIÓN en 0x 00 xf
8. TEMA I: APLICACIONES DE LA DERIVADA
PROFESOR: JULIO BARRETO 8 MATERIA: MATEMÁTICA I
CRITERIO PARA IDENTIFICAR INTERVALOS CÓNCAVOS Y CONVEXOS
Si una función es derivable dos veces, se tiene
fxf 0)( es cóncava.
fxf 0)( es convexa.
EJEMPLO: Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los extremos de
la función indicada:
xx= xxf 156 23
SOLUCIÓN: Tenemos que que su dominio es: .Domf=R Además:
015123 2
xx=xf PUNTOS CRÍTICOS: 5y1 21 .=x=x
0126x=xf 0181=f En 11 = -x se tiene un MÁXIMO de f .
0185 =f En 52 =x se tiene in MÍNIMO de f .
EJEMPLO: Sea la función .x
=xexf Hallar el punto de inflexión y donde la
función es cóncava y convexa.
SOLUCIÓN: Notemos que su dominio es: .Domf=R
Ahora bien hallando la primera derivada:
.11 xxxxxxx
exxeeexeexex=xf
Y la segunda derivada es:
9. TEMA I: APLICACIONES DE LA DERIVADA
PROFESOR: JULIO BARRETO 9 MATERIA: MATEMÁTICA I
xxxxxxxxxxx
exxeexeeeexexexee=xf
22
El punto de inflexión es:
020 x
ex=xf
Y como 0x
e para todo ,x entonces .202 xx Y el PUNTO DE
INFLEXIÓN es .
2
,2 2
e
El signo de f es 0323 33
eef y .0121 11
eef
Así la función es convexa en 2, y cóncava en .,2 Veamos:
APLICACIONES A RAZONES DE CAMBIO
Según lo dicho anteriormente, el concepto de razón de cambio está presente en la vida
diaria, muchas veces manejado sin darle un nombre específico o sin reflexionar sobre las
acciones realizadas. Ya que vivimos en un mundo físico, social, político, económico,
biológico, resulta importante poder describir y medir estos cambios a través de modelos
matemáticos. Por ejemplo, una planta crece a medida que el tiempo transcurre, puede
detener su crecimiento en algún instante, para luego volver a crecer, o permanecer
estacionaria. También la población de un país varía con el correr del tiempo y la variación
depende básicamente de la cantidad de nacimientos y de muertes.
Es importante medir estas variaciones y expresarlas en números pues estos nos
permitirán extraer conclusiones. Esto nos permite saber, por ejemplo, en el caso de
consumo de energía eléctrica como función del tiempo, cuándo se produce un aumento
10. TEMA I: APLICACIONES DE LA DERIVADA
PROFESOR: JULIO BARRETO 10 MATERIA: MATEMÁTICA I
repentino, lo que indica la necesidad de aumentar la capacidad eléctrica; si estamos
analizando la evolución de una enfermedad a través del tiempo podremos saber cuándo se
está propagando con mayor rapidez y así reforzar las medidas sanitarias necesarias.
Analizaremos a través de ejemplos, cómo medir los cambios.
EJEMPLO 1: Un pedazo de alambre de 20 cm de largo se corta en dos partes; una
parte se dobla para formar un cuadrado y con la otra se forma una circunferencia. ¿Dónde
se deberá hacer el corte para que la suma de las áreas del cuadrado y del círculo sea un
mínimo?
SOLUCIÓN:
Con el primer segmento se construye el cuadrado cuyo lado medirá que su dominio
es: ,
4
x
con el resto se construye la circunferencia en que el radio medirá que su dominio es:
.
2
2
xL
rxLr Las áreas, por lo tanto, medirán:
2
cuadrado
16
1
=A x
y
4
=A
2
círculo
xL
El área total será:
416
1
=AA=A
2
2
círculocuadradoTotal
xL
x
La primera derivada del área total respecto de x , resulta: xLx
dx
dA
2
1
8
1
Igualando a 0 y despejando el valor de x , queda:
11. TEMA I: APLICACIONES DE LA DERIVADA
PROFESOR: JULIO BARRETO 11 MATERIA: MATEMÁTICA I
822
16
L
x
La segunda derivada del área total respecto de x queda: 0
2
1
8
1
2
2
dx
Ad
lo
que nos indica que es positiva ,x en consecuencia, el valor del área es un mínimo.
Reemplazando en x el valor de la longitud del alambre: 20 cm tenemos que x = 11,2 cm.
EJEMPLO 2: A un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido de
4 m de radio y 16 m de altura entra agua a una razón de 50 cm3
/s. ¿A qué velocidad está
subiendo el nivel del agua cuando este se encuentra a 4 m. de altura? ¿A qué velocidad está
cambiando el radio en ese mismo instante?
SOLUCIÓN
En la figura aparece el cono con las dimensiones dadas y una porción del volumen en
cualquier instante t .
Desígnese por:
:V volumen (en cm3
) de agua en el tanque en el instante t (s).
:x Radio (en cm) de la sección del cono al nivel del líquido en el instante t .
:y Altura del agua (en cm) en el instante t .
Datos:
seg
cm
dt
dV 3
50
12. TEMA I: APLICACIONES DE LA DERIVADA
PROFESOR: JULIO BARRETO 12 MATERIA: MATEMÁTICA I
El volumen del agua en el instante t viene dado por:
1
3
1 2
yxV
De la semejanza de los triángulos ODE y OBC, se deduce que:
3
4
24
4
16
y
x
xy
x
y
Puede formularse la pregunta así:
?
dt
dy
cuando y = 4 m = 400 cm.
Una manera simple de calcular
dt
dy
consiste en expresar V en 1 en términos
únicamente de la variable y (usando 3 ) y derivando en ambos lados con respecto a .t
Así,
3
2
2
4843
1
3
1
yy
y
yxV
dt
dyy
dt
dy
y
dt
dV
16
3
48
2
2
De donde
2
16
y
dt
dV
dt
dy
De acuerdo a las condiciones del problema:
5
200
1
400
5016
2
3
s
cm
cm
s
cm
dt
dy
Indicando con esto que la altura crece a esa velocidad.
b. Puede formularse la pregunta así:
13. TEMA I: APLICACIONES DE LA DERIVADA
PROFESOR: JULIO BARRETO 13 MATERIA: MATEMÁTICA I
?
dt
dx
cuando y = 4 m. = 400 cm. x = 100 cm.
Una manera sencilla de encontrar la solución, consiste en derivar ambos miembros de
3 con respecto a .t .
Así,
6
800
1
200
1
4
1
4
1
s
cm
s
cm
dt
dy
dt
dx
Indicando con esto que el radio crece a esta velocidad.
Otra manera de obtener la solución, consiste en expresar V en 1 en términos
únicamente de la variable x (usando 2 ) y derivar en ambos lados con respecto a
t .(¡VERIFIQUE!)
EJEMPLO 3: Se dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una
caja sin tapa recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados. ¿Cuál debe
ser la longitud del lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja sea
máximo? ¿Cuál es el volumen de la caja?
SOLUCIÓN:
Sea :x Longitud del lado del cuadrado que se recorta en cada una de las esquinas
según la figura de abajo en la parte (a)), donde .
2
0
a
x
(a) (b)
14. TEMA I: APLICACIONES DE LA DERIVADA
PROFESOR: JULIO BARRETO 14 MATERIA: MATEMÁTICA I
Al doblar la parte de cartulina restante, se forma la caja abierta que aparece en la
figura de arriba en la parte (b).
Ahora, volumen de la caja = área de la base x altura. Esto es,
1
2
0;442 2232 a
xxaaxxxxaxV
Puesto que xV (FUNCIÓN A MAXIMIZAR) es una función continua en el
intervalo ,
2
,0
a
entonces xV alcanza un valor máximo y un valor mínimo en dicho
intervalo.
Al derivar xV en 1 e igualar a cero, se obtienen los puntos críticos. En efecto:
062812 22
x-ax-aaaxxxV
De acá:
6
06
2
02
a
xax
ó
a
xax
Son los puntos críticos
Para analizar la naturaleza de los puntos críticos, se usa el criterio de la segunda
derivada. Así,
axxV 824
Luego:
04
2
8
2
1624
8
2
24
8
2
24
2
a
aaa
a
a
a
aa
V
Lo cual indica que
2
a
x corresponde a un mínimo relativo. (Interprete
geométricamente el resultado).
15. TEMA I: APLICACIONES DE LA DERIVADA
PROFESOR: JULIO BARRETO 15 MATERIA: MATEMÁTICA I
04
6
24
6
4824
8
6
24
8
6
24
6
a
aaa
a
a
a
aa
V
Lo cual indica que
6
a
x corresponde a un máximo relativo.
En consecuencia, el volumen máximo se obtiene recortando en las esquinas de la
cartulina cuadrados de lado
6
a
y se obtiene de esta forma una caja cuyo volumen viene
dado por:
27
2
69
4
63
2
63
3
6366
2
6
322222
aaaaaaaaaa
a
aa
a
a
V
EJERCICIOS:
1. Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los extremos de las
funciones indicadas:
a) 732 2
x+x=xf b) 3
1x=xf c)
x
=xxf
1
SOLUCIÓN: a)
8
47
4
3
f MÍNIMO. b) No existen extremos. c) 21 f
MÍNIMO; 21 f MÁXIMO.
2. ¿Cuáles son las dimensiones de un campo rectangular de área dada que requiere la
menor cantidad de cercado?
SOLUCIÓN: Un cuadrado
3. Encuentre el volumen de la mayor caja que se puede construir de un cuadrado de
cartón de 20 cm de lado cortando cuadros iguales en cada esquina y doblando los
lados hacia arriba.
SOLUCIÓN: V =
27
16
592 cm2
16. TEMA I: APLICACIONES DE LA DERIVADA
PROFESOR: JULIO BARRETO 16 MATERIA: MATEMÁTICA I
APLICACIONES DE LA DERIVADA A LA FÍSICA
VELOCIDAD Y ACELERACION:
dt
ds
v(t) ,
2
2
dt
sd
dt
dv
ta
EJEMPLO: Un punto se mueve a lo largo de un eje coordenado horizontal de tal
manera que su posición en el instante t está especificado por: ,30366 23
t-tts s se mide
en pies y t en segundos.
a) ¿Cuándo la velocidad es cero?
b) ¿Cuándo la velocidad es positiva?
c) Cuándo el punto se está moviendo hacia la izquierda (es decir, en la dirección
negativa).
d) ¿Cuando la aceleración es positiva?
SOLUCIÓN:
a) .62336123 2
tttt
dt
ds
v Así 0v en 2t y .6t
b) ,0v cuando .062 tt La soluciones 2t o ,t 6 en notación de
intervalo .62 ,,
c) El punto está moviéndose hacia la izquierda cuando ,0v esto es cuando
.062 tt Esta desigualdad tiene como solución el intervalo .62,
d) .tt
dt
dv
a 46246 Por tanto 0a cuando .t 4
EJERCICIOS DE APLICACIONES DE LA DERIVADA A LA FÍSICA
1. Un objeto que se lanza directamente hacia arriba está a una altura 2564816 2
tts
pies después de t segundos:
a. ¿Cuál es su velocidad inicial?
b. ¿Cuándo alcanza su altura máxima?
c. ¿Cuál es su altura máxima?
d. ¿Cuándo llega al suelo?
17. TEMA I: APLICACIONES DE LA DERIVADA
PROFESOR: JULIO BARRETO 17 MATERIA: MATEMÁTICA I
e. ¿Con qué rapidez llega al suelo?
2. Un objeto lanzado directamente hacia arriba desde el nivel del piso con una velocidad
de 48 pies por segundos, está aproximadamente a tts 4816 2
pies de altura al final
de t segundos.
a. ¿Cuál es la altura máxima?
b. Al final de un segundo, ¿Qué tan rápido se está moviendo el objeto, y en qué
dirección?
c. ¿Cuánto tarda en regresar a su posición original?
3. Un proyectil se dispara directamente hacia arriba desde el suelo, con una velocidad
inicial de v0 pies por segundos. Su altura a los t segundos está dada por 2
0 16ttvs
pies. ¿Cuál debe ser su velocidad inicial para que el proyectil alcance una altura
máxima de 1 milla?
4. Se lanza verticalmente una pelota hacia arriba con una velocidad inicial v0=30 metros
por segundo. si la ecuación del movimiento es
2
2
0
gt
tvts con ;10 2
s
m
g hallar.
a. La velocidad de la pelota en un tiempo t .
b. La velocidad en t = 1 s, t =3s.
c. El tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima.
d. La altura máxima de la pelota.
e. La velocidad que lleva la pelota al llegar de nuevo al suelo.
ANEXO I. APLICACIÓN DE LA DERIVADA AL CÁLCULO DE LÍMITES
Los límites de formas indeterminadas que no pueden resolverse mediante la
factorización, generalmente se resuelven por la conocida en la matemática como Regla de
L´Hôpital, que contiene en su estructura el concepto de derivada.
TEOREMA DE L´HÔPITAL
Supongamos que las funciones f y g están definidas y son derivables en cierto
entorno de a . Si
)(lim xf
ax
0)(lim
xg
ax
, y 0)( xg en cierto entorno de a , entonces, si
existe
)(
)(
lim
xg
xf
ax
(finito o infinito), existe también
)(
)(
lim
xg
xf
ax
, y se cumple que:
)(
)(
lim
xg
xf
ax
=
)(
)(
lim
xg
xf
ax
.
La Regla de L´Hôpital también es válida en el caso que las funciones f y g no están
definidas en a , pero
)(lim xf
ax
0 y 0)(lim
xg
ax
.
18. TEMA I: APLICACIONES DE LA DERIVADA
PROFESOR: JULIO BARRETO 18 MATERIA: MATEMÁTICA I
Si 0)()( agaf , y )(xf y )(xg satisfacen las condiciones puestas sobre las
funciones f y g , podemos aplicar la Regla de L´Hôpital a
)(
)(
cg
cf
, y obtenemos:
)(
)(
lim
xg
xf
ax
=
)(
)(
lim
xg
xf
ax
; aplicar sucesivamente.
EJEMPLO 1: Calcular:
ee
xx
xx
ln1
lim
2
1
SOLUCIÓN:
En este caso estamos ante la indeterminación
0
0
, pues
0011)ln1(lim 22
1
xx
x
, y 0)(lim 1
1
eeeex
x
Resolvemos aplicando la Regla de L´Hôpital:
ee
xx
xx
ln1
lim
2
1
)(
)ln1(
lim
2
1 ee
xx
xx ee
x
x
xx
3
1
2
lim
1
CÁLCULO DE LÍMITES DE LA FORMA
El teorema anterior es válido si se sustituye la exigencia de
)(lim xf
ax
)(lim xg
ax
=0
por
)(lim xf
ax
)(lim xg
ax
= , y se llama, por extensión, Regla de L´Hôpital.
EJEMPLO 2: Hallar:
x
x
x 1
ln
lim
0
SOLUCIÓN:
En este caso estamos ante la indeterminación
, pues,
x
x
lnlim
0
, y
xx
1
lim
0
. Resolvemos aplicando la Regla de L´Hôpital:
19. TEMA I: APLICACIONES DE LA DERIVADA
PROFESOR: JULIO BARRETO 19 MATERIA: MATEMÁTICA I
x
x
x
1
ln
lim
0
= 0lim
1
1
lim
2
0
2
0
x
x
x
x
xx
Existen otras formas indeterminadas, 0. e , que pueden transformarse en las
formas
0
0
ó
, y aplicar la Regla de L´Hôpital.
Si queremos calcular )().(lim xgxf
ax
y, 0)(lim
xf
ax
y
)(lim xg
ax
, entonces,
)().( xgxf =
)(
1
)(
xg
xf
, y por tanto, )().(lim xgxf
ax
=
)(
1
)(
lim
xg
xf
ax
, y ahora es de la forma
0
0
.
Además, )().( xgxf =
)(
1
)(
xf
xg
, y es un límite de la forma
.
En dependencia del límite que se esté calculando, se hará una u otra de las
transformaciones anteriores, siguiendo el criterio que la aplicación de la Regla de L´Hôpital
simplifique el proceso de determinación del límite.
EJEMPLO 3: Calcular: 22
0
lnlim xx
x
SOLUCIÓN:
Observemos que 0lim 2
0
x
x
, y
2
0
lnlim x
x
Luego, estamos ante una
indeterminación del tipo 0..
Transformando,
22
0
lnlim xx
x
=
2
2
0 1
ln
lim
x
x
x
2
2
0
1
ln
lim
x
x
x
4
2
0 2
2
lim
x
x
x
x
x
0lim 2
0
x
x
20. TEMA I: APLICACIONES DE LA DERIVADA
PROFESOR: JULIO BARRETO 20 MATERIA: MATEMÁTICA I
Observe que 22
0
lnlim xx
x
=
2
2
0
ln
1
lim
x
x
x
, pero esta transformación es menos
recomendable en este caso en particular, pues la derivada de 2
ln
1
x
es mucho más compleja
que, simplemente, la derivada de 2
ln x .
EJERCICIOS:
CALCULAR SOLUCIÓN (JUSTIFICA LOS PASOS)
1. 30
lim
x
xsenx
x
20 3
cos1
lim
x
x
x 6
1
lim
6
1
6
)(
lim
00
x
xsen
x
xsen
xx
2.
34
23
lim 23
23
1
xx
xx
x 5
3
83
63
83
63
lim 2
2
1
xx
xx
x
3.
x
x
sen
x 1
4
lim
4 41.4)
4
(coslim
xx
4. xx e
x2
lim
xx e
x2
lim 0
2
lim
xx e
5.
xxx ln
1
1
1
lim
1
xx
xx
x ln)1(
1ln
lim
1
=
x
xx
x
x 1
).1(ln.1
1
1
lim
1
=
2
2
1 )1(1
1
lim
x
xx
x
x
x
2
2
1 1
1
lim
x
x
x
x 2
1
1
1
lim
1
xx
.
TEOREMA DE ROLLE Y TEOREMA DEL VALOR MEDIO
TEOREMA DE ROLLE: Sea f una función de variable real que satisface las
siguientes propiedades:
i. f es continua en el intervalo cerrado .,ba
ii. f es derivable en el intervalo abierto .,ba
iii. .0 bfaf
21. TEMA I: APLICACIONES DE LA DERIVADA
PROFESOR: JULIO BARRETO 21 MATERIA: MATEMÁTICA I
Entonces, existe por lo menos un punto bac , tal que: .0 cf
El siguiente teorema que se enuncia y se demuestra a continuación, es una
generalización del teorema de Rolle y se conoce con el nombre del teorema del valor medio
para derivadas.
TEOREMA DEL VALOR MEDIO: Sea f una función de variable real que
satisface las siguientes propiedades:
i. f es continua en el intervalo cerrado .,ba
ii. f es derivable en el intervalo abierto .,ba
Entonces, existe por lo menos un punto bac , tal que: .
ab
afbf
cf
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Larson, Hostetler, Edwards: Cálculo. Volumen 1 y 2. Editorial McGraw-Hill. 6ta. Ed.
Leithold. L: El Cálculo. Oxford University Press. 7ma. Ed.
Purcell, E: Cálculo con Geometría Analítica. Editorial Prentice-Hall-Hispanoamericana.
8va. Ed.
Saenz, J. (1995). Cálculo Diferencial para ciencias e ingeniería. Primera Edición.
Hipotenusa Barquisimeto- Venezuela.
Tom Apóstol. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra lineal,
con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades. Editorial
Reverté.
"Si he llegado a ver más lejos que otros, es porque me subí a hombros de gigantes"
Sir. Isaac Newton