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3.1. Sistemas de referencia
   3.2. Funciones y gráficas
   3.3. Resolución de triángulos rectángulos
   3.4. Magnitudes escalares y vectoriales
   3.5. Vectores en el plano
   3.6. Formas de expresión y transformaciones


05 de diciembre de 2011   Dr. Segundo Morocho C.
SISTEMAS DE REFERENCIA
Aquello a lo que nos vamos a referir para determinar la posición de un objeto

 SISTEMA UNIDIMENSIONAL
 Constituido por una recta, un origen y un sentido positivo y negativo.

                                     Y                            P
                          -6 -5 -4 -3 -2 -1   0   1   2   3   4   5   6   7   8
 P (x)

 P (5)                                            Y (-2)

 Relación biunívoca (uno a uno), para cada valor hay uno y solo un
   punto en la recta y viceversa

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SISTEMA BIDIMENSIONAL

SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES
                                               Y    (+)

                             2do CUADRANTE                    1er CUADRANTE


                               (-)                 o                X (+)

                             3er CUADRANTE                    4to CUADRANTE


                                                    (-)

La posición de un punto en el plano queda determinado por un par de números
ordenados (x, y), llamados coordenadas rectangulares que corresponden a la
intersección de una abscisa (x) y una ordenada (y).
También hay una relación biunívoca entre un par ordenado y un punto en el plano
y viceversa
Ejemplo 1: Representar la posición de los siguientes puntos en el plano
A(5,1) B(-4,4) C(2,-4) D(-1,-3) E(4,-6) F(7,3)

G(-5,-5)         H(-3,6) I(4,0)                  J(0,2)        K(-6,0)      L(0,-2)
   05 de diciembre de 2011           Dr. Segundo Morocho C.
L a representación en el sistema de                        Determine       que       coordenadas
                                                           rectangulares      representan    los
coordenadas rectangulares es:                              siguientes puntos:




                          H
                                                                                     A
                   B                                                             B
                                                       F
                                  J
                                                   A                     C
               K                                                                     D
                                           I
                                                                         E

                                  L                              F
                              D                                                              G
                                       C
               G                                                             H
                                               E
                                                                                         I
                                                                     J




05 de diciembre de 2011           Dr. Segundo Morocho C.
SISTEMA DE COORDENADAS POLARES

Eje numérico de referencia X denominado eje polar

                                                       La posición de un punto queda
                                                         determinada      por    un    par
                                                         ordenado (r, Φ), donde:
                                                       r es el radio vector y representa la
                                                         distancia positiva del origen al
                                                         punto y,
                                                       Φ es el ángulo polar y representa
                                                         la medida del ángulo desde el eje
                    r                                    polar hasta el radio vector,
                          Φ                              medido en sentido antihorario.
                          o              X (0°)
                                                       También     hay    una    relación
                                                         biunívoca entre un par ordenado
                                                         y un punto en el plano y
                                                         viceversa


05 de diciembre de 2011       Dr. Segundo Morocho C.
Ejemplo: Determinar que coordenadas polares
                                      representan los siguientes puntos:

   Ejemplo 1: Representar
   la posición de los
   siguientes puntos en el
   plano                                            A      y

                                                   15m                       B
   A(50 km,120°)
                                                           40°
   B(20km,330°)                                                  60°     10m
   C(40km,45°)                                      C 5m 40°
   D(30km,220°)                                                                  x
                                                                   45°
   E(10km,180°)                                                          D
                                                                       7m
                                                     12m   20°
                                                       E


05 de diciembre de 2011   Dr. Segundo Morocho C.
SISTEMA DE COORDENADAS GEOGRAFICAS
   Dos ejes perpendiculares entre sí, éstos dividen al plano en los cuatro puntos
   cardinales.

   La posición de un punto
   queda determinada por
                                                            N
   un par ordenado (r,
   rumbo), donde:
   r representa la distancia
   positiva del origen al
                                               O                          E
   punto y,
   rumbo representa la
   dirección medida a partir
   del Norte o Sur.
                                                        s
   También hay una relación
   biunívoca entre un par
   ordenado y un punto en el
   plano y viceversa

05 de diciembre de 2011   Dr. Segundo Morocho C.
Ejemplo     2:    Determinar    que
                                                   coordenadas geográficas representan
                                                   los        siguientes        puntos:



 Ejemplo 1: Representar la
   posición de los siguientes                                                     N
   puntos en el plano:                                            A
 A(10kgf, S40°O)                                              100km
 B(4kgf,N30°E)                                            B               40°
                                                               80km                     120km     C
 C(8kgf,S20°E)
                                                   O              10°                       15°       E
 D(6kgf,N60°O)                                                          45°             60km
 E(12kgf,SE)                                                  70km                70°       D

 F(5kgf, O)                                                   E


                                                                              s
05 de diciembre de 2011   Dr. Segundo Morocho C.
SISTEMA TRIDIMENSIONAL



 Esta constituido por tres ejes
   perpendiculares que se
   cortan entre sí, un origen.                         y
   El espacio se ha dividido en
   8 partes (octeto). Este
   sistema sirve para ubicar
   puntos en el espacio.

 Para ubicar un punto se
   necesita tres valores (terna
   ordenada):                                              x

  P (x, y, z)                                      z
05 de diciembre de 2011   Dr. Segundo Morocho C.
FUNCIONES Y GRAFICAS
 FUNCION.-

 Al estudiar los fenómenos que se producen en la naturaleza, se comprueban que
    en ellos, generalmente hay dos (o más) magnitudes relacionadas entre sí. Esto
    significa que al variar una de las magnitudes, la otra también cambia.

  EJEMPLOS
  1. La longitud de un tramo de riel de acero aumenta cuando se eleva su
   temperatura.

  2. La fuerza que un imán ejerce sobre un clavo disminuye cuando aumentamos
   la distancia entre ambos, etc.

 Cuando esto sucede, es decir, cuando las magnitudes están relacionadas, decimos
   que una es función de la otra.

 Así la longitud del riel es función de su temperatura, y la fuerza que el imán
   ejerce sobre el clavo es también función de su distancia


05 de diciembre de 2011   Dr. Segundo Morocho C.
Se dice que una magnitud y (llamada variable
dependiente) es una función de otra magnitud x
(llamada variable independiente), cuando su valor es
determinado por el valor de la x.

 Una función se escribirá simbólicamente:                  y = f(x)

 Y = 3X                   Y = 2X3 + 5             Y = X2

 Toda ecuación es función pero no toda función es ecuación.
 GRAFICOS
  Es la representación lineal de una función en un sistema de coordenadas
    rectangulares.

 Tiene una relación de indicativo.


05 de diciembre de 2011      Dr. Segundo Morocho C.
FUNCION DIRECTAMENTE PROPORCIONAL
 Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando su cociente es
   constante, de modo que al aumentar una, la otra también
   aumenta (en el mismo orden de magnitud) y recíprocamente.

 Si x e y son dos magnitudes directamente proporcionales, debe cumplirse
    que:
                        y
                           k o y kx
                        x



 Esto significa que: y es directamente proporcional a x.


 Constante de proporcionalidad
 Se llama así al cociente entre las dos magnitudes (k)

05 de diciembre de 2011   Dr. Segundo Morocho C.
EJEMPLOS
 1. Una persona al recoger el agua que sale de una manguera,
    obtiene los siguientes datos:
 En 5 segundos (s) recoge 15 litros (lt)
 En 10 s recoge 30 lt
 En 30 s recoge 90 lt, etc.
 a) Podemos decir que hay una proporción directa entre el
    volumen de agua y el tiempo empleado en la operación.
 Si
                           15l    30l     90l
                           5s     10s     30s



 b) ¿Cuál es el valor de la constante de proporcionalidad entre
   las magnitudes?             15l          L           TAMBIÉN
                                           k                      k   3
                                                   5s                     S

05 de diciembre de 2011   Dr. Segundo Morocho C.
2. Al soltar un cuerpo desde cierta altura obtuvimos los
siguientes datos:
 En un tiempo t1 = 1 s recorrió una distancia d1 = 5 m
 En un tiempo t2 = 2 s recorrió una distancia d2 = 20 m
 En un tiempo t3 = 3 s recorrió una distancia d3 = 45 m
 ¿Podemos decir que la distancia recorrida d es
   directamente proporcional al tiempo de caída t?

                                   5m      20m     45m
 No                                1s       2s      3s



 Por tanto en este caso la distancia no es directamente
   proporcional al tiempo.


05 de diciembre de 2011   Dr. Segundo Morocho C.
PROCEDIMIENTO PARA GRAFICAR UNA FUNCIÓN
  Paso 1. Se elabora una tabla de datos, que se disponen en forma de
   tablero a dos columnas o filas.
  Paso 2. Para cada par de la tabla de datos, se dibuja, en el plano un
   punto.
  Paso 3. Se unen estos puntos por una línea de curvatura suave.


 EJEMPLOS:


  1. Al graficar la función           y = ax obtenemos una recta que pasa por
     el origen, por lo que se dice que es una relación de proporcionalidad
     directa.


  El coeficiente a        se llama pendiente (m = constante) y da la
     inclinación de la recta con respecto a los ejes.

05 de diciembre de 2011   Dr. Segundo Morocho C.
Si a es + la recta esta en los
cuadrantes 1 y 3
                                                   Si a es – la recta esta en los
                                                   cuadrantes 2 y 4




05 de diciembre de 2011   Dr. Segundo Morocho C.
Al graficar la función y = ax + b; obtenemos una recta, también
nos indica una relación de proporcionalidad directa.
El término b da el desplazamiento (sobre el eje y) del origen a la
recta
 Si b es + el desplazamiento es hacia               Si b es – el desplazamiento es
    arriba                                             hacia abajo




                          +b
                                                            -b




05 de diciembre de 2011    Dr. Segundo Morocho C.
Deducción de ecuaciones lineales

          Y       4           8            16         40
          X       1           2            4          10


              Y       6       10           18         14
              X       1       2            4          3


          Y               3            4         10
          X               1            2         8



      y               2            0            -4
      x               5            3            -1
Deducción de ecuaciones lineales


    Y         7    21       70
    X         1    3        10


y         2            5         9
x         6            15        27



y         1            4         10
x         0            1         3



y         -12          -2        18
x         -2           0         4
PROPORCIÓN INVERSA.


 Dos magnitudes son inversamente proporcionales
  cuando su producto es constante, de modo que al
  aumentar una, la otra disminuye (en el mismo orden
  de magnitud) y recíprocamente.

                                                      o     k
                                               xy k       y
                                                            x


 Esto significa que:

 y es inversamente proporcional a x.
05 de diciembre de 2011   Dr. Segundo Morocho C.
EJEMPLOS
 1.      Supongamos que una persona realiza un viaje por automóvil en una
         distancia de 180km entre una ciudad y otra. Sea x la velocidad del
         auto e y el tiempo transcurrido en el viaje, es fácil concluir que:

  Si x = 30km/h           y = 6h

  Si x = 60km/h           y = 3h

  Si x = 90km/h           y = 2h, etc.

 El tiempo de viaje entre las dos ciudades es inversamente proporcional a la
    velocidad desarrollada.

 La constante es:
                                   k = 30X60 = 180Km



05 de diciembre de 2011   Dr. Segundo Morocho C.
a
Al graficar una función de este tipo                   y
                                                               x
                                                                         se tienen
las siguientes características:
  Su gráfica es una curva que se denomina hipérbola


  Al graficar la variable dependiente con el recíproco de la variable
     independiente se obtiene una recta (Linealizar)

  Si a es positivo la hipérbola se encuentra en el primer cuadrante y
     si a es negativo la curva se encuentra en el cuarto cuadrante

  Los ejes x e y se dicen asíntotas (por más que se prolonguen la
   curva nunca los llega a alcanzar) de la hipérbola
  EJEMPLOS.- Graficar:

                               20                                  100
                          l                                R
                               m                                    l

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FUNCION DIRECTA CON LOS CUADRADOS
  Una Función de este tipo es y = ax2, tiene las siguientes características:

  y es directamente proporcional a x2

  su gráfica es una curva que se denomina parábola

  al graficar la variable dependiente con el cuadrado de la variable
     independiente se obtiene una recta (Linealizar)

  La constante (pendiente de la recta) se obtiene dividiendo y para x2

  Si a es positivo las ramas se abren hacia arriba y si a es negativo las
   ramas se abren hacia abajo.
  EJEMPLOS.- Graficar:
                           y = 6x2
                                                         t = - 65x2


05 de diciembre de 2011   Dr. Segundo Morocho C.
RESOLUCIÓN DE TRIANGULOS RECTÁNGULOS
 Seis elementos: 3 lados, dos ángulos agudos y un
     ángulo recto
                                                           A

                                                       α
                                                   c
                                                           b

                                      β
                           B
                                                   a
                                                           C


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Para resolver un triángulo rectángulo se aplica:
  a) TEOREMA DE PITAGORAS:


 El cuadrado de la medida de la hipotenusa, es igual a la
   suma de los cuadrados de las medidas de los catetos.

                          c2       a2       b2              c       a2 b2




                               2        2                       b    c2 a2
                     a     c        b




05 de diciembre de 2011            Dr. Segundo Morocho C.
b) FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO AGUDO
 FUNCION                  SIMBOLO                 DEFINICION      FORMULA



 Seno                     sen α                 cateto opuesto      a
                                                  hipotenusa
                                                                    c


 Coseno                   cos α                cateto adyacente
                                                                    b
                                                   hipotenusa
                                                                    c

                                                cateto opuesto
                                                                    a
 Tangente                 tan α
                                               cateto adyacente
                                                                    b
05 de diciembre de 2011      Dr. Segundo Morocho C.
EJEMPLOS
 1. En el triángulo ABC, determinar:
 a) B en términos de a, b
                                                   C
 b) b en términos de a, c
 c) a en términos de c, C                                        a
 d) C en términos de b, c                          b
 e) b en términos de c, B
                                                   A       c                B
 f) c en términos de a, C

 2. Resolver el triángulo rectángulo:
                                                       X             y = 22cm   Z
                                                           28°

                                                                 z              x


                                                                                Y

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3. Resolver el triángulo rectángulo:



                                                   c=37m
                                   E                       D

                                   d
                                                   e=52m

                                   C




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MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES
  MAGNITUD ESCALAR
 Es la magnitud física representada por un número real positivo o
   negativo acompañado del nombre de la unidad

  EJEMPLOS:
 Longitud: 10m                                Temperatura: 23°K = -250°C
 Tiempo: 15s                                  Energía: 10J
 Masa: 10Kg                                   Carga eléctrica: 2C

  MAGNITUD VECTORIAL
 Es la magnitud física que para su representación requiere se indique
   tamaño (módulo o magnitud), dirección y sentido;
   acompañado del nombre de la unidad.

  EJEMPLOS:
 Desplazamiento: 10m al norte                        Fuerza: 5Kgf, 125°
 Velocidad: ; S70°O                                  Aceleración:

05 de diciembre de 2011   Dr. Segundo Morocho C.
REPRESENTACION GRAFICA DE UNA MAGNITUD VECTORIAL
 Las cantidades vectoriales son representadas gráficamente por flechas
   llamadas vectores.

 Los vectores son
 segmentos                                                    b
                                                          B
  orientados
                                                    A θ

                                                    a

 Todo vector queda
 determinado por:
  Tamaño; representa en una escala seleccionada su valor numérico
   (módulo o magnitud)
  Dirección; ángulo (θ)que forma el vector con el eje +x en sentido
   antihorario
  Sentido; es la saeta (punta de flecha)
05 de diciembre de 2011   Dr. Segundo Morocho C.
NOTAS:
  En un vector se distinguen también su origen (punto A) y su extremo
     (punto B)


                                                               b
                                                           B


                                                   A   θ

                                                   a



  Línea de acción del vector, es la recta a lo largo de la cual esta dirigido el
   vector (recta ab)
  Los vectores se representan con letras mayúsculas y una flecha en la
   parte superior
  El módulo del vector se representa con la misma letra pero sin flecha

05 de diciembre de 2011   Dr. Segundo Morocho C.
EJERCICIOS

 1. Representar gráficamente los siguientes vectores




                                                      
                     A    (15 m; S )                   B   (50 Kgf ;140 )




                                                               Km
                     D    (28 cm;225 )                 C   (40      ; S 70 E )
                                                                  h




05 de diciembre de 2011       Dr. Segundo Morocho C.
2. Determinar el módulo y dirección de los siguientes vectores



                    N                                      y
            
            M

            Km
       20        45°
             h
O                             E                      80°                 x
                                                    3m

                                                     
                       S                             N




                                                               N                 y
                                                                         
                                                                         P

                                                                         500Km
                                                                   35°
                                              O                              E       45°          x
                                                                                           45cm

                                                                                            
                                                               S                            Q



    05 de diciembre de 2011       Dr. Segundo Morocho C.
CLASES DE VECTORES
 VECTOR LIBRE.- Cuando el punto de aplicación (origen) se traslada
     a cualquier punto sin alterar el efecto de su acción


                  
                  P



 VECTOR DESLIZANTE.- Es aquel en que el punto de aplicación se
     traslada a lo largo de su línea de acción



                      
                      P


05 de diciembre de 2011   Dr. Segundo Morocho C.
CLASES DE VECTORES
 VECTOR FIJO.- Cuando no se puede mover el punto de aplicación

                                 
                                 P



 VECTORES IGUALES.-                                    Cuando tienen la misma magnitud,
     dirección y sentido

                                                  
                          R                        T                        
                                                                           R T


05 de diciembre de 2011       Dr. Segundo Morocho C.
CLASES DE VECTORES
 VECTOR NEGATIVO.- (Opuesto de otro dado).- Si tienen la misma
     magnitud, la misma dirección pero sentido opuesto
                                            
                                            H

                                                   
                                                   H

 VECTOR NULO.-              Es aquel en el cual el origen y el extremo
     coinciden, En este caso su módulo es igual a cero, carece de dirección y
     sentido

                                               
                                               o
05 de diciembre de 2011   Dr. Segundo Morocho C.
CLASES DE VECTORES
 VECTOR UNITARIO.- Es aquel cuyo módulo es 1
 Para obtener un vector unitario se divide el vector para su módulo

                                                               
                         A                   Por tanto
                                                                       
               UA
                          A
                                                                A     AU A

                                                                       
 El          UA           tiene la misma dirección y sentido que el     A    y

 no tiene unidades
                                                       
                                                       A
                   
                   UA



05 de diciembre de 2011       Dr. Segundo Morocho C.
DESCOMPOSICION DE UN VECTOR EN EL PLANO
             y
                                                                                   
                                                                                   A     Ax , Ay

                                                                                  Ax
                               A                                         cos                 Ax         A cos
                                                                                   A
             
             Ay
                                                                                   Ay
                          α                                              sen                 Ay         Asen
                                                           x
                                                                                   A
                          Ax


 Módulo de un vector                                A           Ax
                                                                     2
                                                                          Ay
                                                                               2




                                                                                                   Ay
 Dirección en función de sus componentes                                               tan
                                                                                                   Ax

05 de diciembre de 2011            Dr. Segundo Morocho C.
ANGULOS DIRECTORES
 Son aquellos que forman el vector con los ejes positivos x e y de un sistema
   de coordenadas rectangulares, varían entre 0° y 180°, no existe
   convención para el giro
 Los ángulos directores en el plano son:
 α es el que forma el vector con el eje positivo de las x
 β es el que forma el vector con el eje positivo de las y

                            y

                                            
                                            P

                                β
                                        α
                                                     x

05 de diciembre de 2011   Dr. Segundo Morocho C.
VECTORES BASE O UNITARIOS NORMALIZADOS
                                                                   
                                                                  Ax      
                                                     U Ax                 i
                             A                                    Ax
       Ay
                                                               
                                                              Ay         
                                                    U Ax                 j
         j                                                     Ay
                                    
                  i                  Ax
                                                                         
                                                     A      Ax i        Ay j

                                            
             UA           cos i           cos j
05 de diciembre de 2011     Dr. Segundo Morocho C.
EJERCICIOS
                                             
 1.- La magnitud de un vector                P
                                        es 18cm, y forma un ángulo de 75
    con el sentido positivo del eje x. Determinar:
 a) Las componentes del vector
 b) Las coordenadas del vector
 c) Los ángulos directores
 d) El vector en función de los vectores base
 e) El vector unitario
                                    
 2. Dado el vector F ( 35 i 67 j ) N , determinar:
 a) Las componentes rectangulares del vector
 b) Las coordenadas del punto extremo del vector
 c) El módulo del vector
 d) La dirección
 e) Los ángulos directores
 f) El vector unitario


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EJERCICIOS
                                               
 3. El módulo de un vector
                                  es 125Km y su vector unitario
                                               K
        U K 0,542 i mj       Determinar:
 a) El valor de m
 b) Los ángulos directores
 c) El vector en función de sus vectores base
 d) Las componentes rectangulares del vector
 e) Las coordenadas del punto extremo del vector
 f) La dirección
                                  
 4. El módulo de un vector        G      es 68m y tiene como ángulos
     directores α = 135 y β = 45 . Determinar:
 a) El vector unitario
 b) El vector en función de los vectores base
 c) Las componentes rectangulares del vector
 d) Las coordenadas del punto extremo del vector
 e) La dirección
05 de diciembre de 2011   Dr. Segundo Morocho C.
EJERCICIOS
                                      
5. El módulo del vector M es 87cm, y forma un ángulo de 315 con
   el eje positivo de las x. Determinar:
a) Los ángulos directores
b) Las componentes rectangulares del vector
c) Las coordenadas del punto extremo del vector
d) El rumbo
e) El vector en función de los vectores base
f) El vector unitario
                                                            
6. Las coordenadas de los puntos inicial y final del vector Q son
     (13,22)m y (-15,-22)m respectivamente. Determinar:
a) Las componentes del vector
b) El módulo
c) La dirección (rumbo)
d) Los ángulos directores
e) El vector en función de los vectores base
f) El vector unitario
05 de diciembre de 2011   Dr. Segundo Morocho C.
FORMAS DE EXPRESION DE UN VECTOR Y SUS
                    TRANSFORMACIONES
 1. EN FUNCIÓN DE SU MODULO                               EJEMPLO
     Y ÁNGULO                                      
                                                   F      (8Kgf ;125 )
              
              F (F ; )                                       y

 Coordenadas polares
                                                   
                                                   F
 F es el módulo del vector
                                                   8Kgf
 θ ángulo medido desde el eje +X
     hasta el vector en sentido                                  125°
     antihorario
                                                                         x


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FORMAS DE EXPRESION DE UN VECTOR Y SUS
                    TRANSFORMACIONES
 2.     EN FUNCIÓN DE                            SUS         EJEMPLO
        COORDENADAS                                      
        RECTANGULARES                                    G   ( 3; 5)m
                                                               y
              
              G           (G x ; G y )

 Donde:                                                                 x

                  Gx          asi como
                                             Gy

 Coordenadas del punto extremo
                                                         
                                                         G


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FORMAS DE EXPRESION DE UN VECTOR Y SUS
                    TRANSFORMACIONES
 3.     EN FUNCIÓN DE                           LOS              EJEMPLO
        VECTORES BASE                                                
                                                             C   (7i 3 j ) Km
                                                      y
             C            (C X i    Cy j)

 Donde:
                                                                                x
                             así como
               CX                           Cy                             
                                                                           C
 Componentes                 rectangulares         del
    vector



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FORMAS DE EXPRESION DE UN VECTOR Y SUS
                    TRANSFORMACIONES
 4.      EN FUNCIÓN                   DE       SUS                    EJEMPLO
        COORDENADAS                                        
        GEOGRAFICAS                                        D       (250 cm; N 25 E )
                                                              N
               D          ( D; rumbo )                                     
                                                                           D
                                                                         250cm
 Donde:                                                            25°

       D es el módulo del vector                       O                               E

       Rumbo es la dirección


                                                               S

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FORMAS DE EXPRESION DE UN VECTOR Y SUS
                    TRANSFORMACIONES
 5. EN FUNCIÓN DE SU MODULO
     Y SU UNITARIO                                              EJEMPLO

                                                                              
           E        EU E                               E   27 Kgf ( 0,538 i 0,843 j )


 Donde:

       E es el módulo del vector
       
       UE         Es el vector unitario del
                          
                          E

05 de diciembre de 2011       Dr. Segundo Morocho C.
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3.vectores en el plano

  • 1. 3.1. Sistemas de referencia 3.2. Funciones y gráficas 3.3. Resolución de triángulos rectángulos 3.4. Magnitudes escalares y vectoriales 3.5. Vectores en el plano 3.6. Formas de expresión y transformaciones 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 2. SISTEMAS DE REFERENCIA Aquello a lo que nos vamos a referir para determinar la posición de un objeto SISTEMA UNIDIMENSIONAL Constituido por una recta, un origen y un sentido positivo y negativo. Y P -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P (x) P (5) Y (-2) Relación biunívoca (uno a uno), para cada valor hay uno y solo un punto en la recta y viceversa 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 3. SISTEMA BIDIMENSIONAL SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES Y (+) 2do CUADRANTE 1er CUADRANTE (-) o X (+) 3er CUADRANTE 4to CUADRANTE (-) La posición de un punto en el plano queda determinado por un par de números ordenados (x, y), llamados coordenadas rectangulares que corresponden a la intersección de una abscisa (x) y una ordenada (y). También hay una relación biunívoca entre un par ordenado y un punto en el plano y viceversa Ejemplo 1: Representar la posición de los siguientes puntos en el plano A(5,1) B(-4,4) C(2,-4) D(-1,-3) E(4,-6) F(7,3) G(-5,-5) H(-3,6) I(4,0) J(0,2) K(-6,0) L(0,-2) 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 4. L a representación en el sistema de Determine que coordenadas rectangulares representan los coordenadas rectangulares es: siguientes puntos: H A B B F J A C K D I E L F D G C G H E I J 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 5. SISTEMA DE COORDENADAS POLARES Eje numérico de referencia X denominado eje polar La posición de un punto queda determinada por un par ordenado (r, Φ), donde: r es el radio vector y representa la distancia positiva del origen al punto y, Φ es el ángulo polar y representa la medida del ángulo desde el eje r polar hasta el radio vector, Φ medido en sentido antihorario. o X (0°) También hay una relación biunívoca entre un par ordenado y un punto en el plano y viceversa 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 6. Ejemplo: Determinar que coordenadas polares representan los siguientes puntos: Ejemplo 1: Representar la posición de los siguientes puntos en el plano A y 15m B A(50 km,120°) 40° B(20km,330°) 60° 10m C(40km,45°) C 5m 40° D(30km,220°) x 45° E(10km,180°) D 7m 12m 20° E 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 7. SISTEMA DE COORDENADAS GEOGRAFICAS Dos ejes perpendiculares entre sí, éstos dividen al plano en los cuatro puntos cardinales. La posición de un punto queda determinada por N un par ordenado (r, rumbo), donde: r representa la distancia positiva del origen al O E punto y, rumbo representa la dirección medida a partir del Norte o Sur. s También hay una relación biunívoca entre un par ordenado y un punto en el plano y viceversa 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 8. Ejemplo 2: Determinar que coordenadas geográficas representan los siguientes puntos: Ejemplo 1: Representar la posición de los siguientes N puntos en el plano: A A(10kgf, S40°O) 100km B(4kgf,N30°E) B 40° 80km 120km C C(8kgf,S20°E) O 10° 15° E D(6kgf,N60°O) 45° 60km E(12kgf,SE) 70km 70° D F(5kgf, O) E s 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 9. SISTEMA TRIDIMENSIONAL Esta constituido por tres ejes perpendiculares que se cortan entre sí, un origen. y El espacio se ha dividido en 8 partes (octeto). Este sistema sirve para ubicar puntos en el espacio. Para ubicar un punto se necesita tres valores (terna ordenada): x P (x, y, z) z 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 10. FUNCIONES Y GRAFICAS FUNCION.- Al estudiar los fenómenos que se producen en la naturaleza, se comprueban que en ellos, generalmente hay dos (o más) magnitudes relacionadas entre sí. Esto significa que al variar una de las magnitudes, la otra también cambia.  EJEMPLOS  1. La longitud de un tramo de riel de acero aumenta cuando se eleva su temperatura.  2. La fuerza que un imán ejerce sobre un clavo disminuye cuando aumentamos la distancia entre ambos, etc. Cuando esto sucede, es decir, cuando las magnitudes están relacionadas, decimos que una es función de la otra. Así la longitud del riel es función de su temperatura, y la fuerza que el imán ejerce sobre el clavo es también función de su distancia 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 11. Se dice que una magnitud y (llamada variable dependiente) es una función de otra magnitud x (llamada variable independiente), cuando su valor es determinado por el valor de la x. Una función se escribirá simbólicamente: y = f(x) Y = 3X Y = 2X3 + 5 Y = X2 Toda ecuación es función pero no toda función es ecuación. GRAFICOS Es la representación lineal de una función en un sistema de coordenadas rectangulares. Tiene una relación de indicativo. 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 12. FUNCION DIRECTAMENTE PROPORCIONAL Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando su cociente es constante, de modo que al aumentar una, la otra también aumenta (en el mismo orden de magnitud) y recíprocamente. Si x e y son dos magnitudes directamente proporcionales, debe cumplirse que: y k o y kx x Esto significa que: y es directamente proporcional a x. Constante de proporcionalidad Se llama así al cociente entre las dos magnitudes (k) 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 13. EJEMPLOS 1. Una persona al recoger el agua que sale de una manguera, obtiene los siguientes datos: En 5 segundos (s) recoge 15 litros (lt) En 10 s recoge 30 lt En 30 s recoge 90 lt, etc. a) Podemos decir que hay una proporción directa entre el volumen de agua y el tiempo empleado en la operación. Si 15l 30l 90l 5s 10s 30s b) ¿Cuál es el valor de la constante de proporcionalidad entre las magnitudes? 15l L TAMBIÉN k k 3 5s S 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 14. 2. Al soltar un cuerpo desde cierta altura obtuvimos los siguientes datos: En un tiempo t1 = 1 s recorrió una distancia d1 = 5 m En un tiempo t2 = 2 s recorrió una distancia d2 = 20 m En un tiempo t3 = 3 s recorrió una distancia d3 = 45 m ¿Podemos decir que la distancia recorrida d es directamente proporcional al tiempo de caída t? 5m 20m 45m No 1s 2s 3s Por tanto en este caso la distancia no es directamente proporcional al tiempo. 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 15. PROCEDIMIENTO PARA GRAFICAR UNA FUNCIÓN  Paso 1. Se elabora una tabla de datos, que se disponen en forma de tablero a dos columnas o filas.  Paso 2. Para cada par de la tabla de datos, se dibuja, en el plano un punto.  Paso 3. Se unen estos puntos por una línea de curvatura suave. EJEMPLOS:  1. Al graficar la función y = ax obtenemos una recta que pasa por el origen, por lo que se dice que es una relación de proporcionalidad directa.  El coeficiente a se llama pendiente (m = constante) y da la inclinación de la recta con respecto a los ejes. 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 16. Si a es + la recta esta en los cuadrantes 1 y 3 Si a es – la recta esta en los cuadrantes 2 y 4 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 17. Al graficar la función y = ax + b; obtenemos una recta, también nos indica una relación de proporcionalidad directa. El término b da el desplazamiento (sobre el eje y) del origen a la recta Si b es + el desplazamiento es hacia Si b es – el desplazamiento es arriba hacia abajo +b -b 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 18. Deducción de ecuaciones lineales Y 4 8 16 40 X 1 2 4 10 Y 6 10 18 14 X 1 2 4 3 Y 3 4 10 X 1 2 8 y 2 0 -4 x 5 3 -1
  • 19. Deducción de ecuaciones lineales Y 7 21 70 X 1 3 10 y 2 5 9 x 6 15 27 y 1 4 10 x 0 1 3 y -12 -2 18 x -2 0 4
  • 20. PROPORCIÓN INVERSA. Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando su producto es constante, de modo que al aumentar una, la otra disminuye (en el mismo orden de magnitud) y recíprocamente. o k xy k y x Esto significa que: y es inversamente proporcional a x. 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 21. EJEMPLOS 1. Supongamos que una persona realiza un viaje por automóvil en una distancia de 180km entre una ciudad y otra. Sea x la velocidad del auto e y el tiempo transcurrido en el viaje, es fácil concluir que:  Si x = 30km/h  y = 6h  Si x = 60km/h  y = 3h  Si x = 90km/h  y = 2h, etc. El tiempo de viaje entre las dos ciudades es inversamente proporcional a la velocidad desarrollada. La constante es: k = 30X60 = 180Km 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 22. a Al graficar una función de este tipo y x se tienen las siguientes características:  Su gráfica es una curva que se denomina hipérbola  Al graficar la variable dependiente con el recíproco de la variable independiente se obtiene una recta (Linealizar)  Si a es positivo la hipérbola se encuentra en el primer cuadrante y si a es negativo la curva se encuentra en el cuarto cuadrante  Los ejes x e y se dicen asíntotas (por más que se prolonguen la curva nunca los llega a alcanzar) de la hipérbola  EJEMPLOS.- Graficar: 20 100 l R m l 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 23. FUNCION DIRECTA CON LOS CUADRADOS  Una Función de este tipo es y = ax2, tiene las siguientes características:  y es directamente proporcional a x2  su gráfica es una curva que se denomina parábola  al graficar la variable dependiente con el cuadrado de la variable independiente se obtiene una recta (Linealizar)  La constante (pendiente de la recta) se obtiene dividiendo y para x2  Si a es positivo las ramas se abren hacia arriba y si a es negativo las ramas se abren hacia abajo.  EJEMPLOS.- Graficar: y = 6x2 t = - 65x2 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 24. RESOLUCIÓN DE TRIANGULOS RECTÁNGULOS  Seis elementos: 3 lados, dos ángulos agudos y un ángulo recto A α c b β B a C 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 25. Para resolver un triángulo rectángulo se aplica:  a) TEOREMA DE PITAGORAS: El cuadrado de la medida de la hipotenusa, es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos. c2 a2 b2 c a2 b2 2 2 b c2 a2 a c b 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 26. b) FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO AGUDO FUNCION SIMBOLO DEFINICION FORMULA Seno sen α cateto opuesto a hipotenusa c Coseno cos α cateto adyacente b hipotenusa c cateto opuesto a Tangente tan α cateto adyacente b 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 27. EJEMPLOS 1. En el triángulo ABC, determinar: a) B en términos de a, b C b) b en términos de a, c c) a en términos de c, C a d) C en términos de b, c b e) b en términos de c, B A c B f) c en términos de a, C 2. Resolver el triángulo rectángulo: X y = 22cm Z 28° z x Y 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 28. 3. Resolver el triángulo rectángulo: c=37m E D d e=52m C 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 29. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES  MAGNITUD ESCALAR Es la magnitud física representada por un número real positivo o negativo acompañado del nombre de la unidad  EJEMPLOS: Longitud: 10m Temperatura: 23°K = -250°C Tiempo: 15s Energía: 10J Masa: 10Kg Carga eléctrica: 2C  MAGNITUD VECTORIAL Es la magnitud física que para su representación requiere se indique tamaño (módulo o magnitud), dirección y sentido; acompañado del nombre de la unidad.  EJEMPLOS: Desplazamiento: 10m al norte Fuerza: 5Kgf, 125° Velocidad: ; S70°O Aceleración: 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 30. REPRESENTACION GRAFICA DE UNA MAGNITUD VECTORIAL Las cantidades vectoriales son representadas gráficamente por flechas llamadas vectores. Los vectores son segmentos b B orientados A θ a Todo vector queda determinado por:  Tamaño; representa en una escala seleccionada su valor numérico (módulo o magnitud)  Dirección; ángulo (θ)que forma el vector con el eje +x en sentido antihorario  Sentido; es la saeta (punta de flecha) 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 31. NOTAS:  En un vector se distinguen también su origen (punto A) y su extremo (punto B) b B A θ a  Línea de acción del vector, es la recta a lo largo de la cual esta dirigido el vector (recta ab)  Los vectores se representan con letras mayúsculas y una flecha en la parte superior  El módulo del vector se representa con la misma letra pero sin flecha 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 32. EJERCICIOS 1. Representar gráficamente los siguientes vectores   A (15 m; S ) B (50 Kgf ;140 )   Km D (28 cm;225 ) C (40 ; S 70 E ) h 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 33. 2. Determinar el módulo y dirección de los siguientes vectores N y  M Km 20 45° h O E 80° x 3m  S N N y  P 500Km 35° O E 45° x 45cm  S Q 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 34. CLASES DE VECTORES VECTOR LIBRE.- Cuando el punto de aplicación (origen) se traslada a cualquier punto sin alterar el efecto de su acción  P VECTOR DESLIZANTE.- Es aquel en que el punto de aplicación se traslada a lo largo de su línea de acción  P 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 35. CLASES DE VECTORES VECTOR FIJO.- Cuando no se puede mover el punto de aplicación  P VECTORES IGUALES.- Cuando tienen la misma magnitud, dirección y sentido   R T   R T 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 36. CLASES DE VECTORES VECTOR NEGATIVO.- (Opuesto de otro dado).- Si tienen la misma magnitud, la misma dirección pero sentido opuesto  H  H VECTOR NULO.- Es aquel en el cual el origen y el extremo coinciden, En este caso su módulo es igual a cero, carece de dirección y sentido  o 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 37. CLASES DE VECTORES VECTOR UNITARIO.- Es aquel cuyo módulo es 1 Para obtener un vector unitario se divide el vector para su módulo    A Por tanto  UA A A AU A   El UA tiene la misma dirección y sentido que el A y no tiene unidades  A  UA 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 38. DESCOMPOSICION DE UN VECTOR EN EL PLANO y  A Ax , Ay  Ax A cos Ax A cos A  Ay Ay α sen Ay Asen  x A Ax Módulo de un vector A Ax 2 Ay 2 Ay Dirección en función de sus componentes tan Ax 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 39. ANGULOS DIRECTORES Son aquellos que forman el vector con los ejes positivos x e y de un sistema de coordenadas rectangulares, varían entre 0° y 180°, no existe convención para el giro Los ángulos directores en el plano son: α es el que forma el vector con el eje positivo de las x β es el que forma el vector con el eje positivo de las y y  P β α x 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 40. VECTORES BASE O UNITARIOS NORMALIZADOS   Ax   U Ax i  A Ax Ay   Ay   U Ax j j Ay   i Ax    A Ax i Ay j    UA cos i cos j 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 41. EJERCICIOS  1.- La magnitud de un vector P es 18cm, y forma un ángulo de 75 con el sentido positivo del eje x. Determinar: a) Las componentes del vector b) Las coordenadas del vector c) Los ángulos directores d) El vector en función de los vectores base e) El vector unitario    2. Dado el vector F ( 35 i 67 j ) N , determinar: a) Las componentes rectangulares del vector b) Las coordenadas del punto extremo del vector c) El módulo del vector d) La dirección e) Los ángulos directores f) El vector unitario 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 42. EJERCICIOS  3. El módulo de un vector    es 125Km y su vector unitario K U K 0,542 i mj Determinar: a) El valor de m b) Los ángulos directores c) El vector en función de sus vectores base d) Las componentes rectangulares del vector e) Las coordenadas del punto extremo del vector f) La dirección  4. El módulo de un vector G es 68m y tiene como ángulos directores α = 135 y β = 45 . Determinar: a) El vector unitario b) El vector en función de los vectores base c) Las componentes rectangulares del vector d) Las coordenadas del punto extremo del vector e) La dirección 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 43. EJERCICIOS  5. El módulo del vector M es 87cm, y forma un ángulo de 315 con el eje positivo de las x. Determinar: a) Los ángulos directores b) Las componentes rectangulares del vector c) Las coordenadas del punto extremo del vector d) El rumbo e) El vector en función de los vectores base f) El vector unitario  6. Las coordenadas de los puntos inicial y final del vector Q son (13,22)m y (-15,-22)m respectivamente. Determinar: a) Las componentes del vector b) El módulo c) La dirección (rumbo) d) Los ángulos directores e) El vector en función de los vectores base f) El vector unitario 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 44. FORMAS DE EXPRESION DE UN VECTOR Y SUS TRANSFORMACIONES 1. EN FUNCIÓN DE SU MODULO EJEMPLO Y ÁNGULO  F (8Kgf ;125 )  F (F ; ) y Coordenadas polares  F F es el módulo del vector 8Kgf θ ángulo medido desde el eje +X hasta el vector en sentido 125° antihorario x 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 45. FORMAS DE EXPRESION DE UN VECTOR Y SUS TRANSFORMACIONES 2. EN FUNCIÓN DE SUS EJEMPLO COORDENADAS  RECTANGULARES G ( 3; 5)m y  G (G x ; G y ) Donde: x Gx asi como Gy Coordenadas del punto extremo  G 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 46. FORMAS DE EXPRESION DE UN VECTOR Y SUS TRANSFORMACIONES 3. EN FUNCIÓN DE LOS EJEMPLO VECTORES BASE    C (7i 3 j ) Km    y C (C X i Cy j) Donde: x así como CX Cy  C Componentes rectangulares del vector 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 47. FORMAS DE EXPRESION DE UN VECTOR Y SUS TRANSFORMACIONES 4. EN FUNCIÓN DE SUS EJEMPLO COORDENADAS  GEOGRAFICAS D (250 cm; N 25 E )  N D ( D; rumbo )  D 250cm Donde: 25° D es el módulo del vector O E Rumbo es la dirección S 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 48. FORMAS DE EXPRESION DE UN VECTOR Y SUS TRANSFORMACIONES 5. EN FUNCIÓN DE SU MODULO Y SU UNITARIO EJEMPLO      E EU E E 27 Kgf ( 0,538 i 0,843 j ) Donde: E es el módulo del vector  UE Es el vector unitario del  E 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.
  • 49. 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.