3.vectores en el plano

3.1. Sistemas de referencia
3.2. Funciones y gráficas
3.3. Resolución de triángulos rectángulos
3.4. Magnitudes escalares y vectoriales
3.5. Vectores en el plano
3.6. Formas de expresión y transformaciones

05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

SISTEMAS DE REFERENCIA
Aquello a lo que nos vamos a referir para determinar la posición de un objeto

SISTEMA UNIDIMENSIONAL
Constituido por una recta, un origen y un sentido positivo y negativo.

Y P
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
P (x)

P (5) Y (-2)

Relación biunívoca (uno a uno), para cada valor hay uno y solo un
punto en la recta y viceversa


SISTEMA BIDIMENSIONAL

SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES
Y (+)

2do CUADRANTE 1er CUADRANTE

(-) o X (+)

3er CUADRANTE 4to CUADRANTE

(-)

La posición de un punto en el plano queda determinado por un par de números
ordenados (x, y), llamados coordenadas rectangulares que corresponden a la
intersección de una abscisa (x) y una ordenada (y).
También hay una relación biunívoca entre un par ordenado y un punto en el plano
y viceversa
Ejemplo 1: Representar la posición de los siguientes puntos en el plano
A(5,1) B(-4,4) C(2,-4) D(-1,-3) E(4,-6) F(7,3)

G(-5,-5) H(-3,6) I(4,0) J(0,2) K(-6,0) L(0,-2)

L a representación en el sistema de Determine que coordenadas
rectangulares representan los
coordenadas rectangulares es: siguientes puntos:

H
A
B B
F
J
A C
K D
I
E

L F
D G
C
G H
E
I
J


SISTEMA DE COORDENADAS POLARES

Eje numérico de referencia X denominado eje polar

La posición de un punto queda
determinada por un par
ordenado (r, Φ), donde:
r es el radio vector y representa la
distancia positiva del origen al
punto y,
Φ es el ángulo polar y representa
la medida del ángulo desde el eje
r polar hasta el radio vector,
Φ medido en sentido antihorario.
o X (0°)
También hay una relación
biunívoca entre un par ordenado
y un punto en el plano y
viceversa


Ejemplo: Determinar que coordenadas polares
representan los siguientes puntos:

Ejemplo 1: Representar
la posición de los
siguientes puntos en el
plano A y

15m B
A(50 km,120°)
40°
B(20km,330°) 60° 10m
C(40km,45°) C 5m 40°
D(30km,220°) x
45°
E(10km,180°) D
7m
12m 20°
E


SISTEMA DE COORDENADAS GEOGRAFICAS
Dos ejes perpendiculares entre sí, éstos dividen al plano en los cuatro puntos
cardinales.

La posición de un punto
queda determinada por
N
un par ordenado (r,
rumbo), donde:
r representa la distancia
positiva del origen al
O E
punto y,
rumbo representa la
dirección medida a partir
del Norte o Sur.
s
También hay una relación
biunívoca entre un par
ordenado y un punto en el
plano y viceversa


Ejemplo 2: Determinar que
coordenadas geográficas representan
los siguientes puntos:

Ejemplo 1: Representar la
posición de los siguientes N
puntos en el plano: A
A(10kgf, S40°O) 100km
B(4kgf,N30°E) B 40°
80km 120km C
C(8kgf,S20°E)
O 10° 15° E
D(6kgf,N60°O) 45° 60km
E(12kgf,SE) 70km 70° D

F(5kgf, O) E

s

SISTEMA TRIDIMENSIONAL

Esta constituido por tres ejes
perpendiculares que se
cortan entre sí, un origen. y
El espacio se ha dividido en
8 partes (octeto). Este
sistema sirve para ubicar
puntos en el espacio.

Para ubicar un punto se
necesita tres valores (terna
ordenada): x

P (x, y, z) z

FUNCIONES Y GRAFICAS
FUNCION.-

Al estudiar los fenómenos que se producen en la naturaleza, se comprueban que
en ellos, generalmente hay dos (o más) magnitudes relacionadas entre sí. Esto
significa que al variar una de las magnitudes, la otra también cambia.

 EJEMPLOS
 1. La longitud de un tramo de riel de acero aumenta cuando se eleva su
temperatura.

 2. La fuerza que un imán ejerce sobre un clavo disminuye cuando aumentamos
la distancia entre ambos, etc.

Cuando esto sucede, es decir, cuando las magnitudes están relacionadas, decimos
que una es función de la otra.

Así la longitud del riel es función de su temperatura, y la fuerza que el imán
ejerce sobre el clavo es también función de su distancia


Se dice que una magnitud y (llamada variable
dependiente) es una función de otra magnitud x
(llamada variable independiente), cuando su valor es
determinado por el valor de la x.

Una función se escribirá simbólicamente: y = f(x)

Y = 3X Y = 2X3 + 5 Y = X2

Toda ecuación es función pero no toda función es ecuación.
GRAFICOS
Es la representación lineal de una función en un sistema de coordenadas
rectangulares.

Tiene una relación de indicativo.


FUNCION DIRECTAMENTE PROPORCIONAL
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando su cociente es
constante, de modo que al aumentar una, la otra también
aumenta (en el mismo orden de magnitud) y recíprocamente.

Si x e y son dos magnitudes directamente proporcionales, debe cumplirse
que:
y
k o y kx
x

Esto significa que: y es directamente proporcional a x.

Constante de proporcionalidad
Se llama así al cociente entre las dos magnitudes (k)


EJEMPLOS
1. Una persona al recoger el agua que sale de una manguera,
obtiene los siguientes datos:
En 5 segundos (s) recoge 15 litros (lt)
En 10 s recoge 30 lt
En 30 s recoge 90 lt, etc.
a) Podemos decir que hay una proporción directa entre el
volumen de agua y el tiempo empleado en la operación.
Si
15l 30l 90l
5s 10s 30s

b) ¿Cuál es el valor de la constante de proporcionalidad entre
las magnitudes? 15l L TAMBIÉN
k k 3
5s S


2. Al soltar un cuerpo desde cierta altura obtuvimos los
siguientes datos:
En un tiempo t1 = 1 s recorrió una distancia d1 = 5 m
¿Podemos decir que la distancia recorrida d es
directamente proporcional al tiempo de caída t?

5m 20m 45m
No 1s 2s 3s

Por tanto en este caso la distancia no es directamente
proporcional al tiempo.


PROCEDIMIENTO PARA GRAFICAR UNA FUNCIÓN
 Paso 1. Se elabora una tabla de datos, que se disponen en forma de
tablero a dos columnas o filas.
 Paso 2. Para cada par de la tabla de datos, se dibuja, en el plano un
punto.
 Paso 3. Se unen estos puntos por una línea de curvatura suave.

EJEMPLOS:

 1. Al graficar la función y = ax obtenemos una recta que pasa por
el origen, por lo que se dice que es una relación de proporcionalidad
directa.

 El coeficiente a se llama pendiente (m = constante) y da la
inclinación de la recta con respecto a los ejes.


Si a es + la recta esta en los
cuadrantes 1 y 3
Si a es – la recta esta en los
cuadrantes 2 y 4


Al graficar la función y = ax + b; obtenemos una recta, también
nos indica una relación de proporcionalidad directa.
El término b da el desplazamiento (sobre el eje y) del origen a la
recta
Si b es + el desplazamiento es hacia Si b es – el desplazamiento es
arriba hacia abajo

+b
-b


Deducción de ecuaciones lineales

Y 4 8 16 40
X 1 2 4 10

Y 6 10 18 14
X 1 2 4 3

Y 3 4 10
X 1 2 8

y 2 0 -4
x 5 3 -1

Deducción de ecuaciones lineales

Y 7 21 70
X 1 3 10

y 2 5 9
x 6 15 27

y 1 4 10
x 0 1 3

y -12 -2 18
x -2 0 4

PROPORCIÓN INVERSA.

Dos magnitudes son inversamente proporcionales
cuando su producto es constante, de modo que al
aumentar una, la otra disminuye (en el mismo orden
de magnitud) y recíprocamente.

o k
xy k y
x

Esto significa que:

y es inversamente proporcional a x.

EJEMPLOS
1. Supongamos que una persona realiza un viaje por automóvil en una
distancia de 180km entre una ciudad y otra. Sea x la velocidad del
auto e y el tiempo transcurrido en el viaje, es fácil concluir que:

 Si x = 30km/h  y = 6h

 Si x = 60km/h  y = 3h

 Si x = 90km/h  y = 2h, etc.

El tiempo de viaje entre las dos ciudades es inversamente proporcional a la
velocidad desarrollada.

La constante es:
k = 30X60 = 180Km


a
Al graficar una función de este tipo y
x
se tienen
las siguientes características:
 Su gráfica es una curva que se denomina hipérbola

 Al graficar la variable dependiente con el recíproco de la variable
independiente se obtiene una recta (Linealizar)

 Si a es positivo la hipérbola se encuentra en el primer cuadrante y
si a es negativo la curva se encuentra en el cuarto cuadrante

 Los ejes x e y se dicen asíntotas (por más que se prolonguen la
curva nunca los llega a alcanzar) de la hipérbola
 EJEMPLOS.- Graficar:

20 100
l R
m l


FUNCION DIRECTA CON LOS CUADRADOS
 Una Función de este tipo es y = ax2, tiene las siguientes características:

 y es directamente proporcional a x2

 su gráfica es una curva que se denomina parábola

 al graficar la variable dependiente con el cuadrado de la variable
independiente se obtiene una recta (Linealizar)

 La constante (pendiente de la recta) se obtiene dividiendo y para x2

 Si a es positivo las ramas se abren hacia arriba y si a es negativo las
ramas se abren hacia abajo.
 EJEMPLOS.- Graficar:
y = 6x2
t = - 65x2


RESOLUCIÓN DE TRIANGULOS RECTÁNGULOS
 Seis elementos: 3 lados, dos ángulos agudos y un
ángulo recto
A

α
c
b

β
B
a
C


Para resolver un triángulo rectángulo se aplica:
 a) TEOREMA DE PITAGORAS:

El cuadrado de la medida de la hipotenusa, es igual a la
suma de los cuadrados de las medidas de los catetos.

c2 a2 b2 c a2 b2

2 2 b c2 a2
a c b


b) FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO AGUDO
FUNCION SIMBOLO DEFINICION FORMULA

Seno sen α cateto opuesto a
hipotenusa
c

Coseno cos α cateto adyacente
b
hipotenusa
c

cateto opuesto
a
Tangente tan α
cateto adyacente
b

EJEMPLOS
1. En el triángulo ABC, determinar:
a) B en términos de a, b
C
b) b en términos de a, c
c) a en términos de c, C a
d) C en términos de b, c b
e) b en términos de c, B
A c B
f) c en términos de a, C

2. Resolver el triángulo rectángulo:
X y = 22cm Z
28°

z x

Y


3. Resolver el triángulo rectángulo:

c=37m
E D

d
e=52m

C


MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES
 MAGNITUD ESCALAR
Es la magnitud física representada por un número real positivo o
negativo acompañado del nombre de la unidad

 EJEMPLOS:
Longitud: 10m Temperatura: 23°K = -250°C
Tiempo: 15s Energía: 10J
Masa: 10Kg Carga eléctrica: 2C

 MAGNITUD VECTORIAL
Es la magnitud física que para su representación requiere se indique
tamaño (módulo o magnitud), dirección y sentido;
acompañado del nombre de la unidad.

 EJEMPLOS:
Desplazamiento: 10m al norte Fuerza: 5Kgf, 125°
Velocidad: ; S70°O Aceleración:


REPRESENTACION GRAFICA DE UNA MAGNITUD VECTORIAL
Las cantidades vectoriales son representadas gráficamente por flechas
llamadas vectores.

Los vectores son
segmentos b
B
orientados
A θ

a

Todo vector queda
determinado por:
 Tamaño; representa en una escala seleccionada su valor numérico
(módulo o magnitud)
 Dirección; ángulo (θ)que forma el vector con el eje +x en sentido
antihorario
 Sentido; es la saeta (punta de flecha)

NOTAS:
 En un vector se distinguen también su origen (punto A) y su extremo
(punto B)

b
B

A θ

a

 Línea de acción del vector, es la recta a lo largo de la cual esta dirigido el
vector (recta ab)
 Los vectores se representan con letras mayúsculas y una flecha en la
parte superior
 El módulo del vector se representa con la misma letra pero sin flecha


EJERCICIOS

1. Representar gráficamente los siguientes vectores

 
A (15 m; S ) B (50 Kgf ;140 )

  Km
D (28 cm;225 ) C (40 ; S 70 E )
h


2. Determinar el módulo y dirección de los siguientes vectores

N y

M

Km
20 45°
h
O E 80° x
3m


S N

N y

P

500Km
35°
O E 45° x
45cm


S Q


CLASES DE VECTORES
VECTOR LIBRE.- Cuando el punto de aplicación (origen) se traslada
a cualquier punto sin alterar el efecto de su acción


P

VECTOR DESLIZANTE.- Es aquel en que el punto de aplicación se
traslada a lo largo de su línea de acción


P


CLASES DE VECTORES
VECTOR FIJO.- Cuando no se puede mover el punto de aplicación


P

VECTORES IGUALES.- Cuando tienen la misma magnitud,
dirección y sentido

 
R T  
R T


CLASES DE VECTORES
VECTOR NEGATIVO.- (Opuesto de otro dado).- Si tienen la misma
magnitud, la misma dirección pero sentido opuesto

H


H

VECTOR NULO.- Es aquel en el cual el origen y el extremo
coinciden, En este caso su módulo es igual a cero, carece de dirección y
sentido


o

CLASES DE VECTORES
VECTOR UNITARIO.- Es aquel cuyo módulo es 1
Para obtener un vector unitario se divide el vector para su módulo

 
 A Por tanto

UA
A
A AU A

 
El UA tiene la misma dirección y sentido que el A y

no tiene unidades

A

UA


DESCOMPOSICION DE UN VECTOR EN EL PLANO
y

A Ax , Ay

 Ax
A cos Ax A cos
A

Ay
Ay
α sen Ay Asen
 x
A
Ax

Módulo de un vector A Ax
2
Ay
2

Ay
Dirección en función de sus componentes tan
Ax


ANGULOS DIRECTORES
Son aquellos que forman el vector con los ejes positivos x e y de un sistema
de coordenadas rectangulares, varían entre 0° y 180°, no existe
convención para el giro
Los ángulos directores en el plano son:
α es el que forma el vector con el eje positivo de las x
β es el que forma el vector con el eje positivo de las y

y


P

β
α
x


VECTORES BASE O UNITARIOS NORMALIZADOS

 Ax 
 U Ax i
 A Ax
Ay

 Ay 
 U Ax j
j Ay
 
i Ax
  
A Ax i Ay j

  
UA cos i cos j

EJERCICIOS

1.- La magnitud de un vector P
es 18cm, y forma un ángulo de 75
con el sentido positivo del eje x. Determinar:
a) Las componentes del vector
b) Las coordenadas del vector
c) Los ángulos directores
d) El vector en función de los vectores base
e) El vector unitario
  
2. Dado el vector F ( 35 i 67 j ) N , determinar:
a) Las componentes rectangulares del vector
b) Las coordenadas del punto extremo del vector
c) El módulo del vector
d) La dirección
e) Los ángulos directores
f) El vector unitario


EJERCICIOS

3. El módulo de un vector
   es 125Km y su vector unitario
K
U K 0,542 i mj Determinar:
a) El valor de m
b) Los ángulos directores
c) El vector en función de sus vectores base
d) Las componentes rectangulares del vector
e) Las coordenadas del punto extremo del vector
f) La dirección

4. El módulo de un vector G es 68m y tiene como ángulos
directores α = 135 y β = 45 . Determinar:
a) El vector unitario
b) El vector en función de los vectores base
c) Las componentes rectangulares del vector
d) Las coordenadas del punto extremo del vector
e) La dirección

EJERCICIOS

5. El módulo del vector M es 87cm, y forma un ángulo de 315 con
el eje positivo de las x. Determinar:
a) Los ángulos directores
b) Las componentes rectangulares del vector
c) Las coordenadas del punto extremo del vector
d) El rumbo
e) El vector en función de los vectores base

6. Las coordenadas de los puntos inicial y final del vector Q son
(13,22)m y (-15,-22)m respectivamente. Determinar:
a) Las componentes del vector
b) El módulo
c) La dirección (rumbo)
d) Los ángulos directores
e) El vector en función de los vectores base

FORMAS DE EXPRESION DE UN VECTOR Y SUS
TRANSFORMACIONES
1. EN FUNCIÓN DE SU MODULO EJEMPLO
Y ÁNGULO 
F (8Kgf ;125 )

F (F ; ) y

Coordenadas polares

F
F es el módulo del vector
8Kgf
θ ángulo medido desde el eje +X
hasta el vector en sentido 125°
antihorario
x


TRANSFORMACIONES
2. EN FUNCIÓN DE SUS EJEMPLO
COORDENADAS 
RECTANGULARES G ( 3; 5)m
y

G (G x ; G y )

Donde: x

Gx asi como
Gy

Coordenadas del punto extremo

G


TRANSFORMACIONES
3. EN FUNCIÓN DE LOS EJEMPLO
VECTORES BASE   
C (7i 3 j ) Km
   y
C (C X i Cy j)

Donde:
x
así como
CX Cy 
C
Componentes rectangulares del
vector


TRANSFORMACIONES
4. EN FUNCIÓN DE SUS EJEMPLO
COORDENADAS 
GEOGRAFICAS D (250 cm; N 25 E )
 N
D ( D; rumbo ) 
D
250cm
Donde: 25°

D es el módulo del vector O E

Rumbo es la dirección

S


TRANSFORMACIONES
5. EN FUNCIÓN DE SU MODULO
Y SU UNITARIO EJEMPLO

    
E EU E E 27 Kgf ( 0,538 i 0,843 j )

Donde:

E es el módulo del vector

UE Es el vector unitario del

E


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