Este documento introduce conceptos básicos de sistemas digitales binarios y circuitos lógicos combinacionales. Explica que los sistemas digitales utilizan dos valores posibles representados numéricamente por 1 y 0. Describe circuitos lógicos como AND, OR y NOT, y cómo pueden representarse sus funciones mediante tablas de verdad y expresiones lógicas usando el álgebra de Boole.

1. “CIRCUITOS LÓGICOS
COMBINACIONALES”
Curso: SISTEMAS ELECTRONICOS
DIGITALES
ISTP “TELESUP”
Ing. JOSE RICARDO LARA
DAVILA

2. Introducción a los
sistemas digitales
Sistemas binarios
Un sistema binario se caracteriza por tener dos valores
posibles que, en términos de voltaje, se corresponden a dos
valores de tensión, los que se representan numéricamente por
un “1” y por un “0”.
Generalmente, la “lógica positiva” hace corresponder un valor
positiva
de tensión alto al “1” y un valor de tensión bajo al “0” (y
viceversa para la “lógica negativa”):
negativa
0 → VL ( voltaje bajo) 
 Lógica Positiva
1 → VH ( voltaje alto) 

3. Números binarios
La correspondencia entre los
primeros 16 números decimales
y binarios se muestra en la
siguiente tabla:
Mientras más dígitos tiene un sistema,
más compacta es su notación. Así, los
dígitos bina-rios tienden a ser más
largos (en un factor log210=2,3222)
10=2,3222
que su correspondiente nota-ción
decimal.
Número decimal Número binario
0
0000
1
0001
2
0010
3
0011
4
0100
5
0101
6
0110
7
0111
8
1000
9
1001
10
1010
11
1011
12
1100
13
1101
14
1110
15
1111

4. Porqué usar la representación binaria
Las principales razones por las cuales utilizar sistemas de
representación binaria son:
• Los sistemas de procesamiento de
información se construyen en base a
conmutadores;
conmutadores
• Los procesos de toma de decisión, en un
decisión
sistema digital, son binarios; y
• Las señales binarias son más confiables que
las que tienen más niveles de cuantificación.

5. Porqué usar la representación binaria
Conmutadores
Supóngase un sistema de
iluminación basado en
dos interruptores o conmutadores (como el que
existe en la parte inferior y
superior de una escalera):
S1
S1 = 1 (conmutador 1 en posición 1)
S1 = 0 (conmutador 1 en posición 0)
S 2 = 1 (conmutador 2 en posición 1)
S 2 = 0 (conmutador 2 en posición 0)
 


Condiciones o premisas
1
0
220V
1
S2
0
Ampolleta
A
A = 0 (ampolleta apagada)
A = 1 (ampolleta encendida)
  


Acciones o Conclusiones

6. Porqué usar la representación binaria
Toma de decisiones
Gran parte de los procesos de decisión tienen carácter binario
 SI VERDADERO CORRECTO



Respuestas = 
etc.
FALSO
INCORRECTO
 NO



Un sistema puede caracterizarse lingüísticamente como:
Si (S1=1 y S2=0) o (S1=0 y S2=1),
S2=0
S2=1
entonces B=1; caso contrario, B=0.
B=1
B=0
Confiabilidad
Las señales binarias son mucho más confiables para ser
transmitidas entre dos puntos distantes. Al usar sólo dos
niveles de voltaje para representar un dígito, el sistema es más
inmune a la presencia de ruidos.

7. Descripciones formales
Definición de modelos lógicos
Una descripción abstracta de un sistema digital, expresado
con enunciados lógicos formales, se denomina “DISEÑO
LÓGICO”.
LÓGICO
 ∧ → Y

Los símbolos más
 ∨ → O
comunes son:
 ⇒ → entonces

Usando estos símbolos, el circuito de encendido de la ampolleta
puede representarse como:
[( S1 = 0) ∧ ( S 2 =1) ] ∨[( S1 =1) ∧ ( S 2 = 0 )] ⇒ ( B =1)
ó
[( S1 =1) ∧ ( S 2 =1) ] ∨[( S1 = 0) ∧ ( S 2 = 0) ]
⇒
( B = 0)

8. Definición de modelos lógicos
Usando este tipo de representación, podría definirse la
operatoria de un sumador binario como:
x + y = Acarreo | Suma
0+0 =
0
|
0
0 +1 =
0
|
1
1+ 0 =
0
|
1
1+1 =
1
|
0
Entradas
X
Y
0
0
0
1
1
0
1
1
Salidas
Acarreo Suma
0
0
0
1
0
1
1
1
o, en forma simbólica (para el caso de la “suma”), por:
suma
[ ( x = 0) ∧ ( y = 1) ] ∨ [ ( x = 1) ∧ ( y = 0) ]
⇒
( Suma = 1)
ó
[ ( x = 1) ∧ ( y = 1) ] ∨ [ ( x = 0) ∧ ( y = 0) ] ⇒
( Suma = 0)

9. Definición de modelos lógicos
Un comportamiento de un sistema combinacional puede expresarse
formalmente como z=f(x), donde “z” representa la salida del sistema y
“x” la entrada (para un sistema de una entrada y una salida).
En caso de sistemas multivariables (varias entradas y
salidas), “x” será un vector de entradas y habrá una
función asociada a cada salida. Estas funciones también
suelen denominarse “funciones booleanas”, ya que
booleanas
responden al “álgebra de Boole”.
Boole

10. Definición de modelos lógicos
Para el caso del circuito de la ampolleta:
 f (0,0) = 0
 f (0,1) = 1


 f (1,0) = 1
 f (1,1) = 1

B = f ( S1 , S 2 )
TABLA DE VERDAD
S1
S2
B
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
Puede apreciarse que
el comportamiento de
un circuito combinacional puede representarse también a
través de una tabla
conocida como “tabla
de verdad”.
verdad

11. Componentes lógicos
Sistemas con conmutadores
Los conmutadores son elementos que pueden tener dos estados
posibles (son adecuados para entender dispositivos lógicos).
Los tipos de conmutadores eléctricos más comunes son:
Electro imán
Transis tor M O S
C orrien te “z”
+
C orrien te “ x”
C onmutador electromecá nico
Voltaje “x”
-
C orrien te “z”
Conmutador electró nico

12. Circuitos de conmutación
Circuito AND
En la siguiente figura se muestra este tipo de circuito, junto
con el símbolo lógico más utilizado para una compuerta AND
y la tabla de verdad correspondiente.
S1
S2
z
Circuito AND
FUENTE
CARGA
S1
S2
Comp uerta AND
AND
AN
z

13. Circuitos de conmutación
Circuito OR
En la siguiente figura se muestra este tipo de circuito, junto
con el símbolo lógico más utilizado para una compuerta OR y
la tabla de verdad correspondiente.
S1
S2
z
Circuito OR
FUENTE
CARGA
Compuerta OR
S1
S2
z

14. Circuitos de conmutación
Circuito NOT
En la siguiente figura se muestra este tipo de circuito, junto
con el símbolo lógico más utilizado para una compuerta NOT
y la tabla de verdad correspondiente.
S
z
C i rcui to N O T
FUE NTE
CA RGA
1
Co mp uerta NO T
S
z

15. Expresiones lógicas
Para expresar las funciones lógicas asociadas a cada uno de
los circuitos anteriores, se usan operadores lógicos.
lógicos
zAND(x1, x2)=1 sí y sólo sí x1=1 Y x2=1
z AND ( x1 , x2 ) = x1 ⋅ x2
ZOR(x1, x2)=1 sí y sólo sí x1=1 O x2=1
zOR ( x1 , x2 ) = x1 + x2
ZNOT (x)=1 sí y sólo sí x=0
z NOT ( x) = x
Es importante
tener en cuenta
que los símbolos
“.” y “+” son
operadores
lógicos y NO
algebraicos.

16. Convenios de voltaje
Para la lógica TTL (“Transistor – Transistor Logic”) se ha
Logic
determinado un convenio de voltajes, para especificar
voltajes
cuándo una entrada o salida se considera que tiene el valor
lógico correspondiente.
[V]
L ÓGIC A TTL
5,0
Inve rva lo V H
ga rantizado
para salida s = 1
Inve rva lo V H
aceptado pa ra
entrada s = 1
2 ,4
2 ,0
Inve rvalo V L gar anti za do
para salidas = 0
0 ,8
0,4
0 ,0
In ve rvalo V L ac epta do
pa ra e ntr adas = 0

17. Álgebra de Boole
Axiomas
Se definen a
continuación:
ÁLGEBRA DE BOOLE
Número
Enunciado del Teorema
Nombre
1a
1b
2a
2b
3a
3b
4a
4b
Si a y b están en K , entonces a+b está en K
Si a y b están en K , entonces a.b está en K
Cierre
5a
5b
6
7a
7b
8a
8b
9a
9b
10a
10b
11
12a
12b
13a
13b
14
Hay un elemento 0 en K , tal que a+0=a
Hay un elemento 1 en K , tal que a.1=a
Para todos a y b en K , a+b=b+a
Para todos a y b en K , a.b=b.a
Para todos a , b y c en K , a+b.c=(a+b).(a+c)
Para todos a , b y c en K , a.(b+c)=a.b+a.c
Para cada a en K, hay un inverso o complemento a'
en K, tal que
a+a´=1
a.a´=0
Hay por lo menos dos elementos distintos en K
El elemento 0 es único
El elemento 1 es único
Para cada a en K , a+a=a
Para cada a en K , a.a=a
Para cada a en K , a+1=1
Para cada a en K , a.0=0
Para todos a y b en K , a+a.b=a
Para todos a y b en K , a.(a+b)=a
Para cada a en K , el inverso a' es único
Para todos a , b y c en K , a+(b+c)=(a+b)+c
Para todos a , b y c en K , a.(b.c)=(a.b).c
Para todos a y b en K , (a+b)'=a'.b'
Para todos a y b en K , (a.b)'=a'+b
Para cada a en K , ( a' )' = a
Axioma del cero
Axioma de la unidad
Conmutatividad
Distributividad
Axiomas de inversión
--Unicidad de 0 y 1
Idempotencia
Propiedad de unicidad
Propiedad de cero
Absorción
Unicidad de la inversión
Asociatividad
Leyes de De Morgan
Involución

18. Equivalencia de expresiones booleanas
Dos expresiones booleanas, E1 y E2 , se dicen que son
equivalentes (es decir, E1 = E2 ) cuando, ante las mismas
entradas, provocan las mismas salidas. Esto se puede
comprobar a partir de la tabla de verdad, o bien, partiendo de
una de ellas y aplicar álgebra de Boole, hasta llegar a la otra.
Ejemplo: Demostrar que E1 = E2 , donde:
E1 = a .b .h + c . f .g .h + d . f .g .h + e . f .g .h
E 2 = (a + b).(c.d .e + f .g ).h
¿es práctico usar la tabla de verdad
para comprobarlo en este caso?

19. Correspondencia de la lógica combinacional
Una función lógica presenta una correspondencia “uno a uno”
uno
con un circuito lógico o con una tabla de verdad.
verdad
CIRCUITO LÓGICO
Sea la siguiente función
lógica:
z = (a + b).c + (a + c).d
el circuito lógico y su tabla
de verdad serán:
a
b
c
a +b
c
( a + b ).c
z
a+c
d
d
( a + c ).d

20. Representación de un
sistema combinacional
Introducción
Los circuitos de Lógica Combinacional se caracterizan porque
sus salidas se definen por una combinación lógica de sus
entradas.

21. Minitérminos
Una función combinacional distintiva son los
minitérminos de “n”
variables, y se los
variables
denota como mi. Son
funciones
booleanas
cuya tabla de verdad
tiene un “1” en la
i-ésima fila, y un “0”
en las restantes.
nº
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Entradas
A B C D
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0
1 1 1 1
MINITÉRMINOS
.... m3 m4 ....
.... 0 0 ....
.... 0 0 ....
.... 0 0 ....
.... 1 0 ....
.... 0 1 ....
.... 0 0 ....
.... 0 0 ....
.... 0 0 ....
.... 0 0 ....
.... 0 0 ....
.... 0 0 ....
.... 0 0 ....
.... 0 0 ....
.... 0 0 ....
.... 0 0 ....
.... 0 0 ....
m4 = x1 x 2 x3 x 4
m13 = x1 x 2 x3 x 4

22. Forma canónica “Suma de minitérminos”
Dada una función z de “n” variables, cuya tabla de verdad
tiene “1” en las filas a, b, ..., k, y “0” en las demás. A partir de
...
la definición de minitérmino, y usando la función OR, es
evidente que:
a
b
k
z = m + m + ... + m
Ejemplo: Sean las funciones para z1=Z1(A,B,C,D),
(A,B,C,D)
z2=Z2(A,B,C,D) y z3=Z3(A,B,C,D), caracterizadas por
(A,B,C,D)
la siguiente tabla de verdad, determinar las funciones
booleanas correspondientes:

23. Forma canónica “Suma de minitérminos”
TABLA DE VERDAD
ENTRADA
A
B
C
D
SALIDAS
z1
z2
z3
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
Solución: Aplicando el concepto de
minitérminos, las funciones busca-das
minitérminos
serán:
z1 = a bcd + a bcd + ab cd + ab cd + abcd + abcd
z 2 = a b c d + a b c d + a bcd + a bcd + ab cd +
+ ab cd + abcd + abcd
z 3 = a b c d + a b c d + a b cd + a bc d + a bcd +
+ ab c d + ab cd + abc d + abcd

24. Construcción algebraica
Cualquier expresión booleana puede convertirse a su forma
canónica “suma de minitérminos” empleando las propiedaminitérminos
des del álgebra de Boole. A esta forma canónica también
suele denominarse “Suma De Productos (SDP)”.
SDP
Ejemplo: Encontrar
minitérminos” de:
minitérminos
la
forma
canónica
“suma
de
z = ac + bc + abc
Solución:
z = a b + b c d + d + a + a bc d + d + abc d + d
(
) (
) (
) (
)
(
)
o bien:
z = abcd + abc d + abcd + abcd + abcd + abcd + abc d + abcd

25. Maxitérminos
Una segunda función son los
maxitérminos de “n” variables,
variables
denotada
como
Mi. Son
funciones booleanas cuya tabla
de verdad tiene un “0” en la iésima fila, y un “1” en las
fila
restantes.
M 3 = x1 + x2 + x 3 + x 4
M 4 = x1 + x 2 + x3 + x4
nº
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Entradas
A B C D
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0
1 1 1 1
MAXITÉRMINOS
.... M3 M4 ....
.... 1
1 ....
.... 1
1 ....
.... 1
1 ....
.... 0
1 ....
.... 1
0 ....
.... 1
1 ....
.... 1
1 ....
.... 1
1 ....
.... 1
1 ....
.... 1
1 ....
.... 1
1 ....
.... 1
1 ....
.... 1
1 ....
.... 1
1 ....
.... 1
1 ....
.... 1
1 ....

26. Forma canónica “Producto de maxitérminos”
Toda función z tiene un conjunto único de maxitérminos Mi,
que corresponde al conjunto de ceros que aparecen en la
columna de salida de su tabla de verdad. La forma canónica
de producto de maxitérminos será la función AND o producto
lógico de estos maxitérminos. A esta forma canónica también
suele denominarse “Producto De Sumas (PDS)”.
(PDS)
Ejemplo: Sea la la siguiente función booleana de tres
variables:
z = a +bc
la expresión canónica de producto de maxitérminos será:
(
)(
)(
z = M4 M5 M6 = a + b + c a + b + c a + b + c
)

27. Circuitos combinacionales
Las formas canónicas anteriores se representan con circuitos
combinacionales de dos niveles de compuertas:
P
R
O
D
U
C
T
O
S
DE
S
U
M
A
S
U
M
A
S
DE
P
R
O
D
U
C
T
O

28. Notación decimal
Las funciones booleanas, dadas en
cualesquiera de sus
formas
canónicas,
pueden escribirse de
manera simplificada
usando el símbolo Σ
para indicar la suma
de productos, y Π
para el producto de
sumas.

29. Formas de dos niveles
La profundidad de un circuito se mide por el máximo número
de compuertas que una señal tiene que atravesar desde la
entrada hasta la salida.
Las formas canónicas vistas tienen una profundidad de dos,
dos
considerando que se dispone de las entradas necesarias
complementadas.
A pesar de que suelen ser los circuitos más rápidos que
pueden lograrse con este tipo de implementación, esta
disposición no implica ser la mejor desde el punto de vista
del número de compuertas empleadas.

30. Formas de dos niveles
Los tres
circuitos
tienen la
misma tabla
de verdad.