Estructuras

1. Estructuras básicas de algebra lineal
Monoide
Grupos
Semigrupos
Catedrático: Ing. Noé Abel Castillo Lemus
UNIVERSIDAD MARIANO GALVEZ DE GUATEMALA
FACULCTAD DE CIENCIAS DE LA ADMINISTRACIÓN
Algebra Lineal

2. Estructuras algebraicas con una
operación interna
 Empezaremos nombrando desde la más pequeña a la
más grande e importante, ya que cumple mayor
número de propiedades. A partir de este momento,
utilizaremos* como notación para la operación interna.

3. Semigrupo
 Diremos que A es un semigrupo, si (A,*)
cumple la propiedad asociativa: si para
todo a,b y c pertenecientes a A, se tiene
que (a*b)*c=a*(b*c). Si además se cumple
la propiedad conmutativa: a*b=b*a,
entonces diremos que (A,*) es un
semigrupo conmutativo.

4. Monoide
 Si (A,*) es un semigrupo que además
tiene elemento neutro que denotamos por
e:
a*e=e*a=a.
 Por ejemplo el conjunto de los números naturales
menos el cero, con la operación suma, es un semigrupo
conmutativo. Mientras que el conjunto de los números
naturales (incluido el cero) con la operación producto es
un monoide.

5. Grupo
 Diremos que G es un grupo si (G,*)
cumple las siguientes propiedades:
asociativa, existencia de elemento neutro
y existencia de elemento simétrico o
inverso que denotamos por i: a*i=i*a=e.

6. Estructuras algebraicas con dos
operaciones internas
 Como en este apartado tenemos dos
operaciones internas, denotaremos a cada
una de ellas con los símbolos * y °.

7. Semianillo
 Diremos que (A,*,°) es un semianillo si se
cumple que:
1) (A,*) es un monoide, es decir, un
semigrupo conmutativo con elemento
neutro.
2) (A, °) es un semigrupo.
3) Se cumple la distributividad de °
respecto de * : a°(b*c)=(a°b)*(a°c).

8. Anillo
 Diremos que (A,*, °) es un anillo, si se cumple
que:
1) (A,*) es un grupo conmutativo.
2) (A, °) es un semigrupo.
3) Se cumple la distributividad de ° respecto de
*.
Al igual que en el caso de semianillo, si (A, °) es
un semigrupo conmutativo, entonces (A, *, °) es
un anillo conmutativo, y si además tiene
elemento neutro, entonces es un anillo
conmutativo con elemento neutro.

9. Ejemplos de estructuras
alebraicas
 Operaciones binarias internas
 Asociativa
 Elemento Neutro
 Elemento simetrico
 Conmutativa (abeliano)

10. Ejemplos: Operaciones
binarias
 Operación binaria interna
 (Z,+)
 + : Z x Z Z
 (x , y) x + y ∈ Z
 En números naturales no cumple
 -:N x N N
 Ejemplo: (2,3) 2 – 3 = - 1
 Asociativa
 x+ (y + z) = (x + y) + z
 x + y + z = x + y + z

11. Ejemplos: Operaciones
binarias
 Elemento neutro
 X + e= x
 e = x – x = 0 ∈ Z
 Elemento simétrico
 a + a´ = 0
 a´= - a ∈ Z
 Grupo abeliano
 Propiedad conmutativa
 a + b = b +a
 b – b = a- b
 0 = 0

12. Ley de composición interna
 Sea A{- 1 , 0 ,1}
 Determina si (A, +) cumple con la ley de
composición interna.

13. Ejemplos de composición
interna

14. Inverso multiplicativo y
elemento neutro (ejemplo)


15. Ejemplos de estructuras con
tablas
 Z3 ={[0],[1],[2]}