Una explicación gráfica del funcionamiento de la covarianza.

1. ¿Cómo saber si un conjunto
de observaciones representa
un fenómeno lineal?

2. Calificación
Matemáticas
Calificación
Física
Dato
x
y
0
0
0
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
4
5
5
5
6
6
6
7
7
7
8
8
8
9
9
9
10
10
10

3. Calificación
Matemáticas
Calificación
Física
Dato
x
y
0
0
0
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
4
5
5
5
6
6
6
7
7
7
8
8
8
9
9
9
10
10
10

4. Calificación
Matemáticas
Calificación
Física
Dato
x
y
0
0
0
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
4
5
5
5
6
6
6
7
7
7
8
8
8
9
9
9
10
10
10

5. Calificación
Matemáticas
Calificación
Física
Dato
x
y
0
0
0
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
4
5
5
5
6
6
6
7
7
7
8
8
8
9
9
9
10
10
10

6. Calificación
Matemáticas
Calificación
Física
Dato
x
y
0
0
0
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
4
5
5
5
6
6
6
7
7
7
8
8
8
9
9
9
10
10
10

7. Calificación
Matemáticas
Calificación
Física
Dato
x
y
0
0
0
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
4
5
5
5
6
6
6
7
7
7
8
8
8
9
9
9
10
10
10

8. Calificación
Matemáticas
Calificación
Física
Dato
x
y
0
0
0
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
4
5
5
5
6
6
6
7
7
7
8
8
8
9
9
9
10
10
10

9. Calificación
Matemáticas
Calificación
Física
Dato
x
y
0
0
0
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
4
5
5
5
6
6
6
7
7
7
8
8
8
9
9
9
10
10
10

10. Calificación
Matemáticas
Calificación
Física
Dato
x
y
0
0
0
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
4
5
5
5
6
6
6
7
7
7
8
8
8
9
9
9
10
10
10

11. Calificación
Matemáticas
Calificación
Física
Dato
x
y
0
0
0
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
4
5
5
5
6
6
6
7
7
7
8
8
8
9
9
9
10
10
10

12. Calificación
Matemáticas
Calificación
Física
Dato
x
y
0
0
0
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
4
5
5
5
6
6
6
7
7
7
8
8
8
9
9
9
10
10
10
¿A una mejor calificación
en matemáticas
le corresponde
una mejor calificación
en física?

13. 10
Al graficar las observaciones
en un diagrama de dispersión
se ven así
9
8
calificación física
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
calificación matemáticas
7
8
9
10

14. 10
Los puntos se alinean
formando una recta perfecta
9
8
calificación física
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
calificación matemáticas
7
8
9
10

15. Calificación
Matemáticas
Calificación
Física
Dato
x
y
0
0
0
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
4
5
5
5
6
6
6
7
7
7
8
8
8
9
9
9
10
10
10

16. Calificación
Matemáticas
Calificación
Física
Dato
x
y
0
0
0
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
4
5
5
5
6
6
6
7
7
7
8
8
8
9
9
9
10
10
10
x
̄=
0+ 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9+ 10
=5
11

17. Calificación
Matemáticas
Calificación
Física
Dato
x
y
0
0
0
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
4
5
5
6
6
7
7
7
8
8
8
9
9
9
10
10
10
0+ 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9+ 10
=5
11
5
6
x
̄=
La media de
los valores de x

18. 10
9
Se sitúa aquí
8
calificación física
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
calificación matemáticas
7
8
9
10

19. Calificación
Matemáticas
Calificación
Física
Dato
x
y
0
0
0
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
4
5
5
5
6
6
6
7
7
7
8
8
8
9
9
9
10
10
10

20. Calificación
Matemáticas
Calificación
Física
Dato
x
y
0
0
0
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
4
5
5
5
6
6
6
7
7
7
8
8
8
9
9
9
10
10
10
y
̄=
0+ 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9+ 10
=5
11

21. Calificación
Matemáticas
Calificación
Física
Dato
x
y
0
0
0
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
4
5
5
6
6
7
7
7
8
8
8
9
9
9
10
10
10
0+ 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9+ 10
=5
11
5
6
y
̄=
La media de
los valores de y

22. 10
9
8
Se sitúa aquí
calificación física
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
calificación matemáticas
7
8
9
10

23. ¿Qué tan separados de la media
están cada uno de los puntos?
Movamos nuestro punto de origen
hacia la media para averiguarlo.

24. 5
4
3
calificación física
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
Ahora las coordenadas
nos dicen qué tan
alejados estamos
de la media
-5
calificación matemáticas
5

25. 5
4
3
calificación física
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
1
-1
-2
-3
-4
-5
calificación matemáticas
2
3
4
5

26. 5
+*+=+
¡positivo!
4
3
calificación física
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
1
-1
-2
-3
-4
-5
calificación matemáticas
2
3
4
5

27. 5
4
3
calificación física
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
1
-1
-2
-3
-4
-5
calificación matemáticas
2
3
4
5

28. 5
-*+=¡negativo!
4
3
calificación física
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
1
-1
-2
-3
-4
-5
calificación matemáticas
2
3
4
5

29. 5
4
3
calificación física
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
1
-1
-2
-3
-4
-5
calificación matemáticas
2
3
4
5

30. 5
4
3
calificación física
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
1
-1
-2
-*-=+
¡positivo!
-3
-4
-5
calificación matemáticas
2
3
4
5

31. 5
4
3
calificación física
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
1
-1
-2
-3
-4
-5
calificación matemáticas
2
3
4
5

32. 5
4
3
calificación física
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
-1
-2
0
1
2
+*-=¡negativo!
-3
-4
-5
calificación matemáticas
3
4
5

33. Estamos en condiciones de
medir la separación de cada punto
respecto a la media, representando tal
separación como el área de un rectángulo

34. 5
Área de separación
entre la media (5,5)
y el punto (6,6)
4
3
calificación física
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
1
-1
-2
-3
-4
-5
calificación matemáticas
2
3
4
5

35. SUPERFICIES
NEGATIVAS
La acumulamos
en las superficies
positivas
SUPERFICIES
POSITIVAS

36. Área de separación
entre la media (5,5)
y el punto (7,7)
5
4
3
calificación física
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
1
-1
-2
-3
-4
-5
calificación matemáticas
2
3
4
5

37. SUPERFICIES
NEGATIVAS
La acumulamos
en las superficies
positivas
SUPERFICIES
POSITIVAS

38. Área de separación
5
entre la media (5,5)
y 4el punto (8,8)
3
calificación física
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
1
-1
-2
-3
-4
-5
calificación matemáticas
2
3
4
5

39. SUPERFICIES
NEGATIVAS
La acumulamos
en las superficies
positivas
SUPERFICIES
POSITIVAS

40. Área de separación entre la
media 5(5,5) y el punto (9,9)
4
3
calificación física
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
1
-1
-2
-3
-4
-5
calificación matemáticas
2
3
4
5

41. SUPERFICIES
NEGATIVAS
La acumulamos
en las superficies
positivas
SUPERFICIES
POSITIVAS

42. 5
4
3
calificación física
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
1
2
3
4
-1
-2
Área de separación entre la
media (5,5) y el punto (10,10)
-3
-4
-5
calificación matemáticas
5

43. SUPERFICIES
NEGATIVAS
La acumulamos
en las superficies
positivas
SUPERFICIES
POSITIVAS

44. 5
4
calificación física
Área de separación entre la
media (5,5) y el punto (4,4)
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
1
-1
-2
-3
-4
-5
calificación matemáticas
2
3
4
5

45. SUPERFICIES
NEGATIVAS
La acumulamos
en las superficies
positivas
SUPERFICIES
POSITIVAS

46. 5
4
3
calificación física
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
1
2
3
-1
-2
-3
Área de separación entre la
-4
media (5,5) y el punto (3,3)
-5
calificación matemáticas
4
5

47. SUPERFICIES
NEGATIVAS
La acumulamos
en las superficies
positivas
SUPERFICIES
POSITIVAS

48. 5
4
3
calificación física
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
1
2
-1
-2
-3
-4
Área de separación entre la
-5
media (5,5) y el punto (2,2)
calificación matemáticas
3
4
5

49. SUPERFICIES
NEGATIVAS
La acumulamos
en las superficies
positivas
SUPERFICIES
POSITIVAS

50. 5
4
3
calificación física
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
1
2
3
-1
-2
-3
-4
Área de separación entre la
media (5,5) y el punto (1,1)
-5
calificación matemáticas
4
5

51. SUPERFICIES
NEGATIVAS
La acumulamos
en las superficies
positivas
SUPERFICIES
POSITIVAS

52. 5
4
3
calificación física
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
1
2
-1
-2
-3
-4
-5
Área de separación entre la
media (5,5) y matemáticas (0,0)
calificación el punto
3
4
5

53. SUPERFICIES
NEGATIVAS
La acumulamos
en las superficies
positivas
SUPERFICIES
POSITIVAS

54. En total tenemos
110 unidades
positivas de
de superficie

55. Que dividido entre
11 observaciones
resulta en +10

56. Pero...
¿qué pasaría si los puntos
no formasen una recta perfecta?

57. Calificación
Matemáticas
Calificación
Física
Dato
x
y
0
2
1
1
3
3
2
4
2
3
4
4
4
5
4
5
6
4
6
6
6
7
7
4
8
7
6
9
8
7
10
10
9
11
10
10

58. Calificación
Matemáticas
Calificación
Física
Dato
x
y
0
2
1
1
3
3
2
4
2
3
4
4
4
5
4
5
6
4
6
6
6
7
7
4
8
7
6
9
8
7
10
10
9
11
10
10
Se percibe
menos regularidad
que antes

59. Calificación
Matemáticas
Calificación
Física
Dato
x
y
0
2
1
1
3
3
2
4
2
3
4
4
4
5
4
5
6
4
6
6
6
7
7
4
8
7
6
9
8
7
10
10
9
11
10
10

60. Calificación
Matemáticas
Calificación
Física
Dato
x
y
0
2
1
1
3
3
2
4
2
3
4
4
4
5
4
5
6
4
6
6
6
7
7
4
8
7
6
9
8
7
10
10
9
11
10
10

61. Calificación
Matemáticas
Calificación
Física
Dato
x
y
0
2
1
1
3
3
2
4
2
3
4
4
4
5
4
5
6
4
6
6
6
7
7
4
8
7
6
9
8
7
10
10
9
11
10
10

62. 10
9
8
calificación física
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
calificación matemáticas
7
8
9
10

63. 10
Y también se observa
menos regularidad en el
diagrama de dispersión
9
8
calificación física
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
calificación matemáticas
7
8
9
10

64. 10
Ya no dibuja una
línea recta perfecta
9
8
calificación física
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
calificación matemáticas
7
8
9
10

65. Calificación
Matemáticas
Calificación
Física
Dato
x
y
0
2
1
1
3
3
2
4
2
3
4
4
4
5
4
5
6
4
6
6
6
7
7
4
8
7
6
9
8
7
10
10
9
11
10
10

66. Calificación
Matemáticas
Calificación
Física
Dato
x
y
0
2
1
1
3
3
2
4
2
3
4
4
4
5
4
5
6
4
6
6
6
7
7
4
8
7
6
9
8
7
10
10
9
11
10
10
x
̄=
2+ 3+ 4+ 4+ 5+ 6+ 6+ 7+ 7+ 8+ 10+ 10
=6
12
La media de
los valores de x

67. 10
9
se sitúa aquí
8
calificación física
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
calificación matemáticas
7
8
9
10

68. Calificación
Matemáticas
Calificación
Física
Dato
x
y
0
2
1
1
3
3
2
4
2
3
4
4
4
5
4
5
6
4
6
6
6
7
7
4
8
7
6
9
8
7
10
10
9
11
10
10

69. Calificación
Matemáticas
Calificación
Física
Dato
x
y
0
2
1
1
3
3
2
4
2
3
4
4
4
5
4
5
6
4
6
6
6
7
7
4
8
7
6
9
8
7
10
10
9
11
10
10
y
̄=
1+ 3+ 2+ 4+ 4+ 4+ 6+ 4+ 6+ 7+ 9+ 10
=5
12
La media de
los valores de y

70. 10
9
8
se sitúa aquí
calificación física
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
calificación matemáticas
7
8
9
10

71. ¿Qué tan separados de la media
están ahora cada uno de los puntos?
Movamos de nuevo el punto de origen
hasta la media para averiguarlo.

72. 5
4
3
calificación física
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
De nuevo las
coordenadas nos dicen
qué tan alejados
estamos de la media
-5
calificación matemáticas

73. 5
calificación física
4
Y nuevamente hay
cuadrantes con
superficie positiva
y otros con
superficie negativa
-5
-4
-3
-2
-1
3
2
1
0
0
-1
-2
-3
-4
-5
calificación matemáticas
1
2
3
4

74. Podemos ahora medir la separación
de cada punto respecto a la media,
representada como la superficie
de un rectángulo

75. 5
Área de separación
entre la media (6,5)
y el punto (7,6)
4
3
calificación física
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
-1
-2
-3
-4
-5
calificación matemáticas
1
2
3
4

76. SUPERFICIES
NEGATIVAS
La acumulamos
en las superficies
positivas
SUPERFICIES
POSITIVAS

77. 5
4
calificación física
Entre la media (6,5)
y el punto (6,6)
¡no hay área!
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
-1
-2
-3
-4
-5
calificación matemáticas
1
2
3
4

78. SUPERFICIES
NEGATIVAS
Y por tanto
no se acumula
SUPERFICIES
POSITIVAS

79. 5
Área de separación
entre la media (6,5)
y el punto (8,7)
4
3
calificación física
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
-1
-2
-3
-4
-5
calificación matemáticas
1
2
3
4

80. SUPERFICIES
NEGATIVAS
La acumulamos
en las superficies
positivas
SUPERFICIES
POSITIVAS

81. Área de separación
entre5la media (6,5)
y el punto (10,9)
4
3
calificación física
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
-1
-2
-3
-4
-5
calificación matemáticas
1
2
3
4

82. SUPERFICIES
NEGATIVAS
La acumulamos
en las superficies
positivas
SUPERFICIES
POSITIVAS

83. Área de separación
entre la media (6,5)
y el punto (10,10)
5
4
3
calificación física
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
-1
-2
-3
-4
-5
calificación matemáticas
1
2
3
4

84. SUPERFICIES
NEGATIVAS
La acumulamos
en las superficies
positivas
SUPERFICIES
POSITIVAS

85. 5
4
3
calificación física
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
-1
-2
Área de separación
entre la media (6,5)
y el punto (7,4)
-3
-4
-5
calificación matemáticas
1
2
3
4

86. SUPERFICIES
NEGATIVAS
La acumulamos
en las superficies
negativas
SUPERFICIES
POSITIVAS

87. 5
4
3
calificación física
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
-1
-2
Entre la media (6,5)
y el punto (6,4) -3
¡no hay área!
-4
-5
calificación matemáticas
1
2
3
4

88. SUPERFICIES
NEGATIVAS
Y por tanto
no se acumula
SUPERFICIES
POSITIVAS

89. 5
4
3
calificación física
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
1
2
3
-1
-2
-3
-4
Área de separación
entre la media (6,5)
y el punto (5,4)
-5
calificación matemáticas
4

90. SUPERFICIES
NEGATIVAS
La acumulamos
en las superficies
positivas
SUPERFICIES
POSITIVAS

91. 5
4
3
calificación física
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
1
2
-1
-2
Área de separación
-3
entre la media (6,5)
-4
y el punto (3,4)
-5
calificación matemáticas
3
4

92. SUPERFICIES
NEGATIVAS
La acumulamos
en las superficies
positivas
SUPERFICIES
POSITIVAS

93. 5
4
3
calificación física
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
1
-1
-2
Área de -3
separación
entre la media (6,5)
-4
y el punto (3,3)
-5
calificación matemáticas
2
3
4

94. SUPERFICIES
NEGATIVAS
La acumulamos
en las superficies
positivas
SUPERFICIES
POSITIVAS

95. 5
4
3
calificación física
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
1
2
-1
-2
-3
Área de separación
-4
entre la media (6,5)
-5y el punto (4,2)
calificación matemáticas
3
4

96. SUPERFICIES
NEGATIVAS
La acumulamos
en las superficies
positivas
SUPERFICIES
POSITIVAS

97. 5
4
3
calificación física
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
1
-1
-2
-3
-4
Área de separación
entre la media (6,5)
-5
y el punto (1,1)
calificación matemáticas
2
3
4

98. SUPERFICIES
NEGATIVAS
La acumulamos
en las superficies
positivas
SUPERFICIES
POSITIVAS

99. SUPERFICIES
NEGATIVAS
Restamos las
áreas negativas
a las
áreas positivas
SUPERFICIES
POSITIVAS

100. SUPERFICIES
NEGATIVAS
SUPERFICIES
POSITIVAS

101. En total tenemos
71 unidades
positivas
de superficie

102. Que dividido entre
12 mediciones
resulta en +5.916

103. Cuando formaba
una recta perfecta
el resultado fue +10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
calificación matemáticas
calificación física
calificación física
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
calificación matemáticas
8
9
10

104. 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
calificación matemáticas
Al alejarse de
una recta perfecta
el resultado es +5.916
calificación física
calificación física
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
calificación matemáticas
8
9
10

105. ¿Funcionará igual de bien,
si los valores de una variable
decrecen respecto a la otra?

106. Horas
de Estudio
Número de
Reprobados
Dato
x
y
0
0
10
1
1
9
2
2
8
3
3
7
4
4
6
5
5
5
6
6
4
7
7
3
8
8
2
9
9
1
10
10
0

107. Horas
de Estudio
Número de
Reprobados
Dato
x
y
0
0
10
1
1
9
2
2
8
3
3
7
4
4
6
5
5
5
6
6
4
7
7
3
8
8
2
9
9
1
10
10
0

108. Horas
de Estudio
Número de
Reprobados
Dato
x
y
0
0
10
1
1
9
2
2
8
3
3
7
4
4
6
5
5
5
6
6
4
7
7
3
8
8
2
9
9
1
10
10
0

109. Horas
de Estudio
Número de
Reprobados
Dato
x
y
0
0
10
1
1
9
2
2
8
3
3
7
4
4
6
5
5
5
6
6
4
7
7
3
8
8
2
9
9
1
10
10
0

110. Horas
de Estudio
Número de
Reprobados
Dato
x
y
0
0
10
1
1
9
2
2
8
3
3
7
4
4
6
5
5
5
6
6
4
7
7
3
8
8
2
9
9
1
10
10
0
¿A más horas de estudio
le corresponderá
un menor número de
reprobados?

111. 10
Graficando los puntos
en un diagrama de dispersión
se ven así
9
8
número de reprobados
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
horas de estudio
6
7
8
9
10

112. 10
Los puntos se alinean
formando una recta perfecta
de pendiente negativa
9
8
número de reprobados
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
horas de estudio
6
7
8
9
10

113. Horas
de Estudio
Número de
Reprobados
Dato
x
y
0
0
10
1
1
9
2
2
8
3
3
7
4
4
6
5
5
5
6
6
4
7
7
3
8
8
2
9
9
1
10
10
0

114. Horas
de Estudio
Número de
Reprobados
Dato
x
y
0
0
10
1
1
9
2
2
8
3
3
7
4
4
6
5
5
6
4
7
7
3
8
8
2
9
9
1
10
10
0
0+ 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9+ 10
=5
11
5
6
x
̄=
La media de
los valores de x

115. 10
9
Se sitúa aquí
8
número de reprobados
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
horas de estudio
6
7
8
9
10

116. Horas
de Estudio
Número de
Reprobados
Dato
x
y
0
0
10
1
1
9
2
2
8
3
3
7
4
4
6
5
5
5
6
6
4
7
7
3
8
8
2
9
9
1
10
10
0

117. Horas
de Estudio
Número de
Reprobados
Dato
x
y
0
0
10
1
1
9
2
2
8
3
3
7
4
4
6
5
5
6
4
7
7
3
8
8
2
9
9
1
10
10
0
10+ 9+ 8+ 7+ 6+ 5+ 4+ 3+ 2+ 1
=5
11
5
6
x
̄=
La media de
los valores de y

118. 10
9
8
número de reprobados
7
6
5
4
Se sitúa aquí
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
horas de estudio
6
7
8
9
10

119. 5
4
3
número de reprobados
2
1
-5
-4
-3
-2
0
-1
0
-1
De nuevo las
coordenadas nos dicen
qué tan alejados
estamos de la media
-2
-3
-4
-5
horas de estudio
1
2
3
4
5

120. 5
Y nuevamente hay
cuadrantes con
superficie positiva y
superficie negativa
4
3
número de reprobados
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
-1
-2
-3
-4
-5
horas de estudio
1
2
3
4
5

121. Podemos ahora medir la separación
de cada punto respecto a la media,
representada como la superficie
de un rectángulo

122. 5
Área de separación
entre la media (5,5)
y el punto (4,6)
4
3
número de reprobados
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
-1
-2
-3
-4
-5
horas de estudio
1
2
3
4
5

123. SUPERFICIES
NEGATIVAS
La acumulamos
en las superficies
negativas
SUPERFICIES
POSITIVAS

124. 5
4
3
número de reprobados
2
1
-5
-4
-3
Área de separación
entre la media (5,5)
y el punto (3,7)
-2
-1
0
0
-1
-2
-3
-4
-5
horas de estudio
1
2
3
4
5

125. SUPERFICIES
NEGATIVAS
La acumulamos
en las superficies
negativas
SUPERFICIES
POSITIVAS

126. Área de separación
entre la media (5,5)
y el punto (2,8)
5
4
3
número de reprobados
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
-1
-2
-3
-4
-5
horas de estudio
1
2
3
4
5

127. SUPERFICIES
NEGATIVAS
La acumulamos
en las superficies
negativas
SUPERFICIES
POSITIVAS

128. Área de separación
entre la media (5,5)
5
y el punto (1,9)
4
3
número de reprobados
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
-1
-2
-3
-4
-5
horas de estudio
1
2
3
4
5

129. SUPERFICIES
NEGATIVAS
La acumulamos
en las superficies
negativas
SUPERFICIES
POSITIVAS

130. 5
4
3
número de reprobados
2
1
-5
-4
-3
-2
0
-1
Área de separación
entre la media (5,5)
y el punto (0,10)
0
-1
-2
-3
-4
-5
horas de estudio
1
2
3
4
5

131. SUPERFICIES
NEGATIVAS
La acumulamos
en las superficies
negativas
SUPERFICIES
POSITIVAS

132. 5
4
Área de separación
entre la media (5,5)
y el punto (6,4)
3
número de reprobados
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
-1
-2
-3
-4
-5
horas de estudio
1
2
3
4
5

133. SUPERFICIES
POSITIVAS
SUPERFICIES
NEGATIVAS
La acumulamos
en las superficies
negativas

134. 5
4
3
Área de separación
entre la media (5,5)
y el punto (7,3)
número de reprobados
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
-1
-2
-3
-4
-5
horas de estudio
1
2
3
4
5

135. SUPERFICIES
POSITIVAS
SUPERFICIES
NEGATIVAS
La acumulamos
en las superficies
negativas

136. 5
4
3
número de reprobados
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
-1
-2
-3
-4
Área de separación
entre la media (5,5)
-5
y el punto (8,2) de estudio
horas
1
2
3
4
5

137. SUPERFICIES
POSITIVAS
SUPERFICIES
NEGATIVAS
La acumulamos
en las superficies
negativas

138. 5
4
3
número de reprobados
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
-1
-2
-3
-4
Área de separación
-5
entre la media (5,5)
horas
y el punto (9,1) de estudio
1
2
3
4
5

139. SUPERFICIES
NEGATIVAS
SUPERFICIES
POSITIVAS
La acumulamos
en las superficies
negativas

140. 5
4
3
Área de separación
entre la media (5,5)
y el punto (10,0)
número de reprobados
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
-1
-2
-3
-4
-5
horas de estudio
1
2
3
4
5

141. SUPERFICIES
NEGATIVAS
SUPERFICIES
POSITIVAS
La acumulamos
en las superficies
negativas

142. En total tenemos
110 unidades
negativas
de superficie

143. Que dividido entre
11 observaciones
resulta en -10

144. Cuando formaba
una recta perfecta
de pendiente positiva
el resultado fue +10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
calificación matemáticas
número de reprobados
calificación física
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
horas de estudio
7
8
9
10

145. 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
calificación matemáticas
Ahora que su
pendiente se
hace negativa
el resultado es -10
número de reprobados
calificación física
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
horas de estudio
7
8
9
10

146. +10
0
1
2
3
4
5
calificación física
calificación física
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
6
7
8
9
10
número de reprobados
+5.166
0
1
2
3
4
5
6
7
8
calificación matemáticas
calificación matemáticas
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-10
Así que la magnitud
indica la fuerza
de la dependencia
0
1
2
3
4
5
6
horas de estudio
7
8
9
10
9
10

147. +10
0
1
2
3
4
5
calificación física
calificación física
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
6
7
8
9
10
número de reprobados
+5.166
0
1
2
3
4
5
6
7
8
calificación matemáticas
calificación matemáticas
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-10
Y el signo
indica el tipo de
proporcionalidad:
directa o inversa
0
1
2
3
4
5
6
horas de estudio
7
8
9
10
9
10

148. Ahora revisemos los pasos
seguidos para obtener el resultado

149. Dato
x
y
1
2
1
2
3
3
3
4
2
4
4
4
5
5
4
6
6
4
7
6
6
8
7
4
9
7
6
10
8
7
11
10
9
12
10
10

150. Dato
x
y
1
2
1
2
3
3
3
4
2
4
4
4
5
5
4
6
6
4
7
6
6
8
7
4
9
7
6
10
8
7
11
10
9
12
10
10
m=
6
Calculamos
x, la media de x

151. Dato
x
y
1
2
1
2
3
3
3
4
2
4
4
4
5
5
4
6
6
4
7
6
6
8
7
4
9
7
6
10
8
7
11
10
9
12
10
10
6
5
m=
Calculamos
y, la media de y

152. Dato
x
y
1
2
1
2
3
3
3
4
2
4
4
4
5
5
4
6
6
4
7
6
6
8
7
4
9
7
6
10
8
7
11
10
9
12
10
10
6
5
m=

153. Dato
x
y
x-x
1
2
1
-4
2
3
3
-3
3
4
2
-2
4
4
4
-2
5
5
4
-1
6
6
4
0
7
6
6
0
8
7
4
+1
9
7
6
+1
10
8
7
+2
11
10
9
+4
12
10
10
+4
6
5
m=
Calculamos
la anchura
de cada
rectángulo:
la diferencia
x-x

154. Dato
x
y
1
2
1
2
3
3
3
4
2
4
4
4
5
5
4
6
6
4
7
6
6
8
7
4
9
7
6
10
8
7
11
10
9
12
10
10
6
5
m=

155. Dato
x
y
x-x
y-y
1
2
1
-4
-4
2
3
3
-3
-2
3
4
2
-2
-3
4
4
4
-2
-1
5
5
4
-1
-1
6
6
4
0
-1
7
6
6
0
+1
8
7
4
+1
-1
9
7
6
+1
+1
10
8
7
+2
+2
11
10
9
+4
+4
12
10
10
+4
+5
6
5
m=
Calculamos
la altura
de cada
rectángulo:
la diferencia
y-y

156. Dato
x
y
x-x
y-y
1
2
1
-4
-4
2
3
3
-3
-2
3
4
2
-2
-3
4
4
4
-2
-1
5
5
4
-1
-1
6
6
4
0
-1
7
6
6
0
+1
8
7
4
+1
-1
9
7
6
+1
+1
10
8
7
+2
+2
11
10
9
+4
+4
12
10
10
+4
+5
6
5
m=

157. Dato
x
y
x-x
y-y
(x – x)(y - y)
1
2
1
-4
-4
+16
2
3
3
-3
-2
+6
3
4
2
-2
-3
+6
4
4
4
-2
-1
+2
5
5
4
-1
-1
+1
6
6
4
0
-1
0
7
6
6
0
+1
0
8
7
4
+1
-1
-1
9
7
6
+1
+1
+1
10
8
7
+2
+2
+4
11
10
9
+4
+4
+16
12
10
10
+4
+5
+20
6
5
m=
Calculamos la superficie
de cada rectángulo:
anchura * altura

158. Dato
x
y
x-x
y-y
(x – x)(y - y)
1
2
1
-4
-4
+16
2
3
3
-3
-2
+6
3
4
2
-2
-3
+6
4
4
4
-2
-1
+2
5
5
4
-1
-1
+1
6
6
4
0
-1
0
7
6
6
0
+1
0
8
7
4
+1
-1
-1
9
7
6
+1
+1
+1
10
8
7
+2
+2
+4
11
10
9
+4
+4
+16
12
10
10
+4
+5
+20
6
5
m=
Suma:
Calculamos la superficie total:
la suma de las superficies
de todos los rectángulos
71

159. Dato
x
y
x-x
y-y
(x – x)(y - y)
1
2
1
-4
-4
+16
2
3
3
-3
-2
+6
3
4
2
-2
-3
+6
4
4
4
-2
-1
+2
5
5
4
-1
-1
+1
6
6
4
0
-1
0
7
6
6
0
+1
0
8
7
4
+1
-1
-1
9
7
+1
+1
10
8
+2
+4
11
10
+4
+16
12
10
10
+5
+20
6
5
m=
La dividimos
6
+1
entre el número
7
+2
total de observaciones
9
+4
+4
Suma:
71
Sxy=
5.916

160. Dato
x
y
x-x
y-y
(x – x)(y - y)
1
2
1
-4
-4
+16
2
3
3
-3
-2
+6
3
4
2
-2
-3
+6
4
4
4
-2
-1
+2
5
5
4
-1
-1
+1
6
6
4
0
-1
0
7
6
6
0
+1
0
8
7
-1
-1
9
7
+1
+1
10
8
+2
+4
11
10
+4
+16
12
10
10
+5
+20
6
5
m=
4
+1
Llamamos a este
6
resultado: +1
7
+2
la covarianza
9
+4
+4
Suma:
71
Sxy=
5.916

161. Expresado en forma algebraica:

162. ( x 1− ̄ )( y 1− ̄ )+ ( x 2− ̄ )( y 2− ̄ )+ ...+ ( x n− ̄ )( y n − ̄ )
x
y
x
y
x
y
S XY =
n

163. Podemos abreviar esta expresión
mediante la notación de sumatoria:

164. n
x
y
∑ ( x i− ̄ )( y i − ̄ )
S XY =
i=1
n

165. Y podemos simplificar
su cálculo como sigue:

166. n
∑ ( xi yi)
S XY =
i=1
n
−( ̄ ̄ )
xy

167. Podemos programar nuestra
computadora para que calcule
el valor de la covarianza de dos variables

168. def media(x):
acum = 0
l = len(x)
for i in range(0,l):
acum = acum + x[i]
return float(acum) / l
def Covarianza(x, y):
local acum, i, n, xm, ym, covar
xm = media(x)
ym = media(y)
n = len(x)
acum = 0
for i in range(0, n):
acum = acum + (x[i] ­ xm) * (y[i] ­ ym)
covar = float(acum) / n
return covar

169. x = [2,3,4,4,5,6,6,7,7,8,10,10]
Y = [1,3,2,4,4,4,6,4,6,7, 9,10]
print x
print y
print Covarianza(x, y)