Este documento presenta información sobre sistemas de inecuaciones lineales. Explica cómo resolver inecuaciones lineales de dos incógnitas y sistemas de inecuaciones lineales, además de proporcionar ejemplos de problemas de texto resueltos con sistemas de inecuaciones.
Este documento presenta los pasos para resolver inecuaciones lineales de una y dos variables, así como sistemas de inecuaciones lineales. Explica cómo representar las rectas correspondientes a cada inecuación, elegir un punto de prueba, y determinar el semiplano solución. Luego, muestra ejemplos resueltos de inecuaciones y sistemas de inecuaciones, concluyendo con la asociación de cada sistema con su región de solución.
El documento explica cómo resolver diferentes tipos de ecuaciones irracionales y sistemas no lineales mediante la elevación de términos al cuadrado, el traslado de términos, el cambio de variables y los métodos de sustitución e igualación. Se resuelven varios ejemplos paso a paso y se enfatiza la importancia de verificar las soluciones.
1) María modeló un problema de geometría usando ecuaciones algebraicas para determinar las medidas de un terreno rectangular sabiendo solo su área.
2) Los métodos para resolver sistemas de ecuaciones incluyen gráficos, suma y resta, y otros métodos elementales.
3) La modelización con ecuaciones puede usarse para resolver una variedad de problemas matemáticos.
Este documento introduce conceptos básicos de álgebra lineal como sistemas de ecuaciones lineales, matrices y operaciones con matrices. Explica cómo los sistemas de ecuaciones pueden representarse mediante tablas de números llamadas matrices. Define conceptos como suma, producto y transposición de matrices. También introduce tipos especiales de matrices como matrices nulas, diagonales, unitarias y triangulares.
El documento describe tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: sustitución, igualación y reducción. También discute casos especiales como sistemas compatibles determinados, incompatibles e indeterminados. Explica cada método con ejemplos paso a paso para ilustrar cómo aplicarlos para encontrar las soluciones a sistemas de ecuaciones lineales.
A continuacion se presentan una series de ejercicios los cuales contemplan el tema de ecuaciones diferenciales, sus diferentes metodos para la resolucion de las mismas
Este documento presenta un resumen del tema 3 de matemáticas de 4o de ESO sobre ecuaciones, inecuaciones y sistemas. Introduce los conceptos básicos de ecuaciones de primer y segundo grado, sistemas de ecuaciones lineales, y métodos para resolverlos. También cubre otros tipos de ecuaciones como las con radicales, logaritmos o denominadores que pueden reducirse a segundo grado.
Este documento presenta una introducción a la programación lineal. Explica que la programación lineal busca optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo sujeta a restricciones lineales. Se desarrolló originalmente para resolver problemas económicos durante la Segunda Guerra Mundial y ahora se usa ampliamente en la toma de decisiones económicas. A continuación, introduce los conceptos básicos de inecuaciones lineales y sistemas de inecuaciones lineales necesarios para comprender la programación lineal. Finalmente, explica cómo aplicar la program
Este documento presenta los pasos para resolver inecuaciones lineales de una y dos variables, así como sistemas de inecuaciones lineales. Explica cómo representar las rectas correspondientes a cada inecuación, elegir un punto de prueba, y determinar el semiplano solución. Luego, muestra ejemplos resueltos de inecuaciones y sistemas de inecuaciones, concluyendo con la asociación de cada sistema con su región de solución.
El documento explica cómo resolver diferentes tipos de ecuaciones irracionales y sistemas no lineales mediante la elevación de términos al cuadrado, el traslado de términos, el cambio de variables y los métodos de sustitución e igualación. Se resuelven varios ejemplos paso a paso y se enfatiza la importancia de verificar las soluciones.
1) María modeló un problema de geometría usando ecuaciones algebraicas para determinar las medidas de un terreno rectangular sabiendo solo su área.
2) Los métodos para resolver sistemas de ecuaciones incluyen gráficos, suma y resta, y otros métodos elementales.
3) La modelización con ecuaciones puede usarse para resolver una variedad de problemas matemáticos.
Este documento introduce conceptos básicos de álgebra lineal como sistemas de ecuaciones lineales, matrices y operaciones con matrices. Explica cómo los sistemas de ecuaciones pueden representarse mediante tablas de números llamadas matrices. Define conceptos como suma, producto y transposición de matrices. También introduce tipos especiales de matrices como matrices nulas, diagonales, unitarias y triangulares.
El documento describe tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: sustitución, igualación y reducción. También discute casos especiales como sistemas compatibles determinados, incompatibles e indeterminados. Explica cada método con ejemplos paso a paso para ilustrar cómo aplicarlos para encontrar las soluciones a sistemas de ecuaciones lineales.
A continuacion se presentan una series de ejercicios los cuales contemplan el tema de ecuaciones diferenciales, sus diferentes metodos para la resolucion de las mismas
Este documento presenta un resumen del tema 3 de matemáticas de 4o de ESO sobre ecuaciones, inecuaciones y sistemas. Introduce los conceptos básicos de ecuaciones de primer y segundo grado, sistemas de ecuaciones lineales, y métodos para resolverlos. También cubre otros tipos de ecuaciones como las con radicales, logaritmos o denominadores que pueden reducirse a segundo grado.
Este documento presenta una introducción a la programación lineal. Explica que la programación lineal busca optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo sujeta a restricciones lineales. Se desarrolló originalmente para resolver problemas económicos durante la Segunda Guerra Mundial y ahora se usa ampliamente en la toma de decisiones económicas. A continuación, introduce los conceptos básicos de inecuaciones lineales y sistemas de inecuaciones lineales necesarios para comprender la programación lineal. Finalmente, explica cómo aplicar la program
Este documento trata sobre sistemas de inecuaciones lineales de dos incógnitas. Explica cómo resolver inecuaciones lineales individuales y sistemas de inecuaciones lineales mediante la representación de rectas y la determinación de los semiplanos solución. Proporciona ejemplos resueltos de inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales.
Este documento presenta un resumen de tres oraciones o menos de un trabajo escolar sobre ecuaciones simultáneas:
1) El trabajo cubre el tema de ecuaciones simultáneas de primer y segundo grado, incluyendo definiciones, ejemplos y métodos de resolución.
2) También explica conceptos como ecuaciones de primer grado, ecuaciones de segundo grado y sus clasificaciones.
3) Finalmente, detalla métodos para resolver sistemas de ecuaciones simultáneas como sustitución, igualación y reducción, así como la deducción
Este documento resume los conceptos básicos de las ecuaciones diferenciales. Define qué son las ecuaciones diferenciales y ofrece ejemplos. Explica cómo clasificar las ecuaciones diferenciales según su tipo, orden y linealidad. También describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales como la separación de variables y el método de las exactas. Finalmente, discute aplicaciones de las ecuaciones diferenciales.
Este documento describe tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones: el método gráfico para sistemas 2x2, el método de suma y resta para sistemas 3x3, y el método de igualación para sistemas 3x3. Se proveen ejemplos detallados de cada método con pasos explicados.
El documento explica conceptos básicos sobre ecuaciones. Brevemente:
1) Una ecuación representa una igualdad entre términos conocidos y desconocidos.
2) Resolver una ecuación significa encontrar el valor de la incógnita que hace la igualdad verdadera, llamado raíz o solución.
3) Existen métodos para resolver diferentes tipos de ecuaciones como de primer grado, cuadráticas, sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento presenta los sistemas de ecuaciones lineales. Explica qué son las ecuaciones lineales y los sistemas de ecuaciones, y cómo pueden tener una, infinitas o ninguna solución. Además, describe tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: reducción, sustitución e igualación. Finalmente, incluye ejercicios resueltos como ejemplos de aplicación de estos conceptos y métodos.
Capítulo Introductorio de Ecuaciones DiferencialesYerikson Huz
Este documento presenta un resumen de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Introduce las ecuaciones diferenciales y cómo se clasifican según su tipo, orden y linealidad. Explica cómo resolver una ecuación diferencial y define el concepto de solución. Finalmente, menciona brevemente los problemas de valor inicial y los modelos matemáticos.
Este documento presenta conceptos básicos sobre inecuaciones y desigualdades, incluyendo:
1) La notación y significado de desigualdades como a > b, a < b, a ≥ b y a ≤ b.
2) Cómo resolver inecuaciones de primer grado mediante el traslado de términos y despeje de la variable.
3) Propiedades básicas de las desigualdades como a > b y b > c implica a > c.
Este documento introduce conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales, incluyendo su definición, orden y grado. Explica métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales de primer y segundo orden, como variables separables, homogéneas, exactas y lineales. También cubre ecuaciones de orden superior, lineales y no homogéneas, y casos especiales relacionados a las raíces de la ecuación auxiliar.
Este documento trata sobre sistemas de ecuaciones lineales y funciones lineales. Explica conceptos como espacios de tres dimensiones, funciones lineales, y sistemas de ecuaciones lineales. También presenta ejemplos de cómo representar gráficamente funciones lineales de tres variables y cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando métodos como la sustitución.
Este documento explica cómo resolver ecuaciones de segundo grado utilizando la fórmula general. Define una ecuación de segundo grado como aquella de la forma ax^2 + bx + c = 0, donde a ≠ 0. Explica que este tipo de ecuaciones siempre tienen dos soluciones llamadas raíces, las cuales pueden obtenerse aplicando la fórmula general (-b ± √(b^2 - 4ac))/2a. Luego, detalla que la naturaleza de las raíces (reales o no reales) depende del signo del discriminante b
Este documento contiene 10 capítulos que resuelven ejercicios de ecuaciones diferenciales ordinarias utilizando métodos elementales. El índice general enumera los temas cubiertos, incluyendo métodos de resolución, ecuaciones lineales, teoría de comparación, ecuaciones periódicas, dependencia de parámetros y problemas de contorno. El primer capítulo presenta ejemplos resueltos utilizando métodos como separación de variables.
Este documento presenta un resumen de ecuaciones y sistemas de primer grado. Se divide en cuatro secciones principales: 1) ecuaciones, incluyendo ecuaciones de primer grado y transposición de términos, 2) sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas y métodos para resolverlos, 3) resolución de problemas mediante ecuaciones o sistemas, y 4) soluciones de ejercicios propuestos. Se explican conceptos clave como incógnitas, coeficientes, despejar ecuaciones, y métodos para resolver sist
1) El documento habla sobre el origen y desarrollo de las ecuaciones diferenciales desde los siglos XVII y XVIII, cuando Isaac Newton y Gottfried Leibniz sentaron las bases del cálculo y comenzaron a formular y resolver ecuaciones diferenciales.
2) Se clasifican las ecuaciones diferenciales en ordinarias y parciales dependiendo de si la función depende de una o varias variables, respectivamente. También se clasifican por orden, linealidad y otros criterios.
3) Se explican conceptos como solución explíc
Este documento describe diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de igualación, sustitución, y reducción. Explica cómo cada método involucra encontrar ecuaciones con una sola incógnita y luego sustituir valores para resolver el sistema original. También cubre sistemas de segundo grado y diferentes tipos de soluciones posibles como determinada, inconsistente o dependiente.
Clase 3 resolución de ecuaciones de primer gradoMATERIAPSU
Este documento presenta los conceptos fundamentales sobre la resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. Explica cómo resolver ecuaciones utilizando diferentes métodos como igualación, sustitución y reducción. También introduce los sistemas de ecuaciones y cómo determinar si tienen una solución única, infinitas soluciones o ninguna solución.
Este documento resume los conceptos básicos sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica cómo expresar un sistema de ecuaciones lineales en forma matricial y analítica. Luego describe métodos directos para resolver sistemas, incluyendo el método de la matriz inversa, método de Cramer, y métodos de Gauss y Gauss-Jordan. El documento también cubre conceptos como sistemas compatibles, incompatibles e indeterminados.
La programación lineal es un método para encontrar la solución óptima cuando se quiere optimizar una función objetivo lineal sujeta a restricciones lineales. Se representan las restricciones como semiplanos y la intersección de éstos da la región de validez. La solución óptima se encuentra en un vértice de dicha región.
Este documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones y sistemas de ecuaciones, incluyendo igualdades, identidades, ecuaciones de primer y segundo grado, ecuaciones equivalentes, ecuaciones incompletas, resolución de ecuaciones y aplicaciones de ecuaciones de segundo grado.
Este documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Introduce las nociones de igualdad, identidad y ecuación, y explica cómo resolver ecuaciones de primer y segundo grado, incluyendo ecuaciones completas, incompletas e irracionales. También cubre temas como ecuaciones equivalentes, descomposición de trinomios cuadrados perfectos y aplicaciones de ecuaciones de segundo grado.
El documento resume los métodos gráficos y analíticos para calcular la intersección de diferentes funciones como rectas, parábolas y una recta con una parábola. Explica cómo resolver sistemas de ecuaciones surgidos de estos problemas de intersección mediante métodos como sustitución, igualación y reducción. También describe los diferentes casos posibles para cada tipo de intersección.
El documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de reducción, sustitución, igualación y el método gráfico. Explica que los sistemas pueden tener soluciones únicas, infinitas soluciones o no tener solución, y provee ejemplos de cada caso. También provee instrucciones detalladas sobre cómo aplicar el método de reducción paso a paso para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Este documento trata sobre sistemas de inecuaciones lineales de dos incógnitas. Explica cómo resolver inecuaciones lineales individuales y sistemas de inecuaciones lineales mediante la representación de rectas y la determinación de los semiplanos solución. Proporciona ejemplos resueltos de inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales.
Este documento presenta un resumen de tres oraciones o menos de un trabajo escolar sobre ecuaciones simultáneas:
1) El trabajo cubre el tema de ecuaciones simultáneas de primer y segundo grado, incluyendo definiciones, ejemplos y métodos de resolución.
2) También explica conceptos como ecuaciones de primer grado, ecuaciones de segundo grado y sus clasificaciones.
3) Finalmente, detalla métodos para resolver sistemas de ecuaciones simultáneas como sustitución, igualación y reducción, así como la deducción
Este documento resume los conceptos básicos de las ecuaciones diferenciales. Define qué son las ecuaciones diferenciales y ofrece ejemplos. Explica cómo clasificar las ecuaciones diferenciales según su tipo, orden y linealidad. También describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales como la separación de variables y el método de las exactas. Finalmente, discute aplicaciones de las ecuaciones diferenciales.
Este documento describe tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones: el método gráfico para sistemas 2x2, el método de suma y resta para sistemas 3x3, y el método de igualación para sistemas 3x3. Se proveen ejemplos detallados de cada método con pasos explicados.
El documento explica conceptos básicos sobre ecuaciones. Brevemente:
1) Una ecuación representa una igualdad entre términos conocidos y desconocidos.
2) Resolver una ecuación significa encontrar el valor de la incógnita que hace la igualdad verdadera, llamado raíz o solución.
3) Existen métodos para resolver diferentes tipos de ecuaciones como de primer grado, cuadráticas, sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento presenta los sistemas de ecuaciones lineales. Explica qué son las ecuaciones lineales y los sistemas de ecuaciones, y cómo pueden tener una, infinitas o ninguna solución. Además, describe tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: reducción, sustitución e igualación. Finalmente, incluye ejercicios resueltos como ejemplos de aplicación de estos conceptos y métodos.
Capítulo Introductorio de Ecuaciones DiferencialesYerikson Huz
Este documento presenta un resumen de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Introduce las ecuaciones diferenciales y cómo se clasifican según su tipo, orden y linealidad. Explica cómo resolver una ecuación diferencial y define el concepto de solución. Finalmente, menciona brevemente los problemas de valor inicial y los modelos matemáticos.
Este documento presenta conceptos básicos sobre inecuaciones y desigualdades, incluyendo:
1) La notación y significado de desigualdades como a > b, a < b, a ≥ b y a ≤ b.
2) Cómo resolver inecuaciones de primer grado mediante el traslado de términos y despeje de la variable.
3) Propiedades básicas de las desigualdades como a > b y b > c implica a > c.
Este documento introduce conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales, incluyendo su definición, orden y grado. Explica métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales de primer y segundo orden, como variables separables, homogéneas, exactas y lineales. También cubre ecuaciones de orden superior, lineales y no homogéneas, y casos especiales relacionados a las raíces de la ecuación auxiliar.
Este documento trata sobre sistemas de ecuaciones lineales y funciones lineales. Explica conceptos como espacios de tres dimensiones, funciones lineales, y sistemas de ecuaciones lineales. También presenta ejemplos de cómo representar gráficamente funciones lineales de tres variables y cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando métodos como la sustitución.
Este documento explica cómo resolver ecuaciones de segundo grado utilizando la fórmula general. Define una ecuación de segundo grado como aquella de la forma ax^2 + bx + c = 0, donde a ≠ 0. Explica que este tipo de ecuaciones siempre tienen dos soluciones llamadas raíces, las cuales pueden obtenerse aplicando la fórmula general (-b ± √(b^2 - 4ac))/2a. Luego, detalla que la naturaleza de las raíces (reales o no reales) depende del signo del discriminante b
Este documento contiene 10 capítulos que resuelven ejercicios de ecuaciones diferenciales ordinarias utilizando métodos elementales. El índice general enumera los temas cubiertos, incluyendo métodos de resolución, ecuaciones lineales, teoría de comparación, ecuaciones periódicas, dependencia de parámetros y problemas de contorno. El primer capítulo presenta ejemplos resueltos utilizando métodos como separación de variables.
Este documento presenta un resumen de ecuaciones y sistemas de primer grado. Se divide en cuatro secciones principales: 1) ecuaciones, incluyendo ecuaciones de primer grado y transposición de términos, 2) sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas y métodos para resolverlos, 3) resolución de problemas mediante ecuaciones o sistemas, y 4) soluciones de ejercicios propuestos. Se explican conceptos clave como incógnitas, coeficientes, despejar ecuaciones, y métodos para resolver sist
1) El documento habla sobre el origen y desarrollo de las ecuaciones diferenciales desde los siglos XVII y XVIII, cuando Isaac Newton y Gottfried Leibniz sentaron las bases del cálculo y comenzaron a formular y resolver ecuaciones diferenciales.
2) Se clasifican las ecuaciones diferenciales en ordinarias y parciales dependiendo de si la función depende de una o varias variables, respectivamente. También se clasifican por orden, linealidad y otros criterios.
3) Se explican conceptos como solución explíc
Este documento describe diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de igualación, sustitución, y reducción. Explica cómo cada método involucra encontrar ecuaciones con una sola incógnita y luego sustituir valores para resolver el sistema original. También cubre sistemas de segundo grado y diferentes tipos de soluciones posibles como determinada, inconsistente o dependiente.
Clase 3 resolución de ecuaciones de primer gradoMATERIAPSU
Este documento presenta los conceptos fundamentales sobre la resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. Explica cómo resolver ecuaciones utilizando diferentes métodos como igualación, sustitución y reducción. También introduce los sistemas de ecuaciones y cómo determinar si tienen una solución única, infinitas soluciones o ninguna solución.
Este documento resume los conceptos básicos sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica cómo expresar un sistema de ecuaciones lineales en forma matricial y analítica. Luego describe métodos directos para resolver sistemas, incluyendo el método de la matriz inversa, método de Cramer, y métodos de Gauss y Gauss-Jordan. El documento también cubre conceptos como sistemas compatibles, incompatibles e indeterminados.
La programación lineal es un método para encontrar la solución óptima cuando se quiere optimizar una función objetivo lineal sujeta a restricciones lineales. Se representan las restricciones como semiplanos y la intersección de éstos da la región de validez. La solución óptima se encuentra en un vértice de dicha región.
Este documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones y sistemas de ecuaciones, incluyendo igualdades, identidades, ecuaciones de primer y segundo grado, ecuaciones equivalentes, ecuaciones incompletas, resolución de ecuaciones y aplicaciones de ecuaciones de segundo grado.
Este documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Introduce las nociones de igualdad, identidad y ecuación, y explica cómo resolver ecuaciones de primer y segundo grado, incluyendo ecuaciones completas, incompletas e irracionales. También cubre temas como ecuaciones equivalentes, descomposición de trinomios cuadrados perfectos y aplicaciones de ecuaciones de segundo grado.
El documento resume los métodos gráficos y analíticos para calcular la intersección de diferentes funciones como rectas, parábolas y una recta con una parábola. Explica cómo resolver sistemas de ecuaciones surgidos de estos problemas de intersección mediante métodos como sustitución, igualación y reducción. También describe los diferentes casos posibles para cada tipo de intersección.
El documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de reducción, sustitución, igualación y el método gráfico. Explica que los sistemas pueden tener soluciones únicas, infinitas soluciones o no tener solución, y provee ejemplos de cada caso. También provee instrucciones detalladas sobre cómo aplicar el método de reducción paso a paso para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
El documento resume conceptos básicos sobre ecuaciones de primer y segundo grado, incluyendo cómo resolver ecuaciones de una y dos incógnitas, sistemas de ecuaciones lineales y ecuaciones cuadráticas. Explica los métodos para resolver estos tipos de ecuaciones de forma analítica y gráfica.
Este documento presenta una lección sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica cuatro métodos para resolver sistemas de ecuaciones: eliminación, sustitución, igualación y gráfico. Proporciona ejemplos detallados de cada método y ejercicios para practicar. El objetivo es introducir a los estudiantes en los sistemas de ecuaciones como una base para el álgebra.
Este documento presenta 12 ejercicios resueltos sobre geometría analítica. Los ejercicios involucran hallar puntos medios, simétricos y de intersección de rectas, así como obtener ecuaciones de rectas dados diferentes condiciones como pendientes, puntos y paralelismo/perpendicularidad con otras rectas o ejes.
Este documento presenta 12 ejercicios de geometría analítica que involucran puntos, rectas y sus ecuaciones en el plano cartesiano. Los ejercicios cubren temas como hallar puntos medios, simétricos y de intersección; determinar si puntos están alineados; y obtener ecuaciones de rectas que pasan por puntos dados y son paralelas o perpendiculares a otras rectas o ejes.
Este documento parece ser un examen de álgebra que contiene preguntas sobre sistemas de ecuaciones lineales, métodos para resolver sistemas de ecuaciones, gráficas de coordenadas cartesianas y conceptos básicos de álgebra. El examen evalúa la comprensión del estudiante en estas áreas fundamentales de álgebra.
El documento describe conceptos básicos sobre ecuaciones como identidades, ecuaciones, soluciones de ecuaciones, ecuaciones equivalentes y métodos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Explica que una identidad siempre es verdadera mientras que una ecuación sólo lo es para ciertos valores de las incógnitas, y cómo usar reglas algebraicas para transformar ecuaciones en formas equivalentes y así poder resolverlas.
Este documento presenta un módulo sobre sistemas de ecuaciones. Explica que los sistemas de ecuaciones son herramientas útiles en matemáticas y otras áreas. Luego, proporciona ejercicios de práctica y resume diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones de 2 variables, como el método de sustitución y el método de eliminación.
El documento habla sobre los sistemas de ecuaciones lineales de 2 variables. Explica que un sistema 2x2 consiste en dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Presenta diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones como igualación, sustitución, reducción por suma y resta y método gráfico. Como ejemplo, explica cómo resolver un sistema usando el método de sustitución.
Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones Linealesmatbasuts1
Este documento resume los conceptos básicos de ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Explica qué son las ecuaciones, incógnitas, miembros, términos y soluciones. Luego describe los tipos de ecuaciones como lineales, cuadráticas, completas e incompletas, y métodos para resolver cada tipo. Finalmente, introduce los sistemas de ecuaciones y su dimensión.
Este documento explica los conceptos básicos de ecuaciones e inecuaciones de primer y segundo grado. Define qué son las ecuaciones, los elementos que las componen y cómo se representan las ecuaciones de primer grado. Luego, describe las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado, incluyendo su forma general y los diferentes tipos. Finalmente, presenta varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas como la factorización, completar al cuadrado y la fórmula cuadrática.
Este documento explica los conceptos básicos de ecuaciones e inecuaciones de primer y segundo grado. Define qué son las ecuaciones, los elementos que las componen y cómo resolver ecuaciones de primer grado. Luego, explica las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado, incluyendo sus formas y métodos para resolverlas como la fórmula cuadrática, factorización, completar al cuadrado y uso de la calculadora.
Este documento habla sobre las ecuaciones algebraicas. Explica que una ecuación relaciona expresiones algebraicas con letras como x e y que representan incógnitas. Luego clasifica las ecuaciones en varias categorías como racionales vs irracionales, compatibles vs incompatibles, de primer grado vs segundo grado, y numéricas vs literales. Finalmente, explica cómo resolver ecuaciones de primer y segundo grado.
Este documento presenta información sobre ecuaciones de segundo grado. Explica cómo se clasifican las ecuaciones en puras, completas y mixtas, y los métodos para resolver cada tipo, como factorización, raíz cuadrada y despeje. También incluye ejemplos resueltos de diferentes tipos de ecuaciones de segundo grado.
Este documento explica cómo resolver ecuaciones de segundo grado utilizando la fórmula general. Muestra un ejemplo resolviendo la ecuación 4x^2 + 3x - 1 = 0. Primero se identifican los valores de a, b y c. Luego se sustituyen en la fórmula general para obtener x = 2 o x = -1.
2. ÍNDICE
Inecuaciones lineales de dos incógnitas ............................
Sistemas de inecuaciones lineales ......................................
Problemas textuales
de sistemas de inecuaciones (1º bachillerato) ...........
de programación lineal (2º bachillerato) ..................
3. 1/4
La solución de una inecuación de dos incógnitas
es un semiplano.
Los pasos a seguir para resolverla son:
1er paso: representar la recta (cambiamos el símbolo
por un igual)
2º paso: elegir un punto del plano (que no esté en la
recta anterior) y estudiar cómo responde a la
inecuación.
3er paso: colorear el semiplano solución.
4. 2/4
Resuelve la inecuación: 5x + 2 y ≤ 3
Represento la recta: 5x + 2 y = 3
3 − 5x
Despejo la variable y: y=
2
Tabla de valores: x y
1 -1
3 -6
Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación:
5( 0 ) + 2 ( 0 ) ≤ 3 → 0 ≤ 3
Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano
en el que está es la solución.
5. 3/4
Algunas inecuaciones son sencillas:
a x≥0
) b) y ≤ 0 c) x < 3 d ) x > −2 e) y ≥ −4
Si la inecuación tiene una sola variable, la
recta es paralela a alguno de los ejes.
b d
Asocia cada inecuación con su solución
c
e a
6. 4/4
Resuelve las inecuaciones:
a 2 x + 3y ≥ 6
) b) 2 x ≥ y c) x − 2 y < −4 d ) 3x − 4y > 7
Asocia cada inecuación con
su solución
d c
b a
7. 1/5
La solución de un sistema de inecuaciones de
dos incógnitas es una región (si existe).
Los pasos a seguir para resolverla son:
1er paso: representar la recta (cambiamos el símbolo
por un igual)
2º paso: elegir un punto del plano (que no esté en la
recta anterior) y estudiar cómo responde a la
inecuación.
3er paso: colorear el semiplano solución.
8. 2/5
3x − y ≤ −1
Resuelve el sistema de inecuaciones:
2 x + 3y > 7
1er paso: Busco el semiplano solución de la primera inecuación
Represento la recta: 3x − y = −1
Despejo la variable y: y = 3x + 1
Tabla de valores: x y
1 4
-2 -5
Elijo el punto (2,2), que no está en la
recta, y estudio cómo responde la
inecuación: 3( 2 ) − ( 2 ) ≤ −1 → 4 ≤ −1
Como el punto (2,2) NO RESPONDE BIEN a la inecuación, el
semiplano en el que está NO ES LA SOLUCIÓN.
9. 3/5
3x − y ≤ −1
Resuelve el sistema de inecuaciones:
2 x + 3y > 7
1er paso: Tengo el semiplano solución de la primera inecuación
2º paso: Busco el semiplano solución de la segunda inecuación
Represento la recta: 2 x + 3y = 7
7 − 2x
Despejo la variable y: y=
3
Tabla de valores: x y
2 1
-2 3
Elijo el punto (0,0), que no está en la
recta, y estudio cómo responde la
inecuación: 2 ( 0 ) + 3( 0 ) > 7 → 0 > 7
Como el punto (0,0) NO RESPONDE BIEN a la inecuación, el
semiplano en el que está NO ES LA SOLUCIÓN.
10. 4/5
3x − y ≤ −1
Resuelve el sistema de inecuaciones:
2 x + 3y > 7
1er paso: Tengo el semiplano solución de la primera inecuación
2º paso: Tengo el semiplano solución de la segunda inecuación
3er paso: Busco la intersección de los dos semiplanos anteriores
11. 5/5
Resuelve los sistemas de inecuaciones:
a x + y ≥ 3
) b ) 2 x + y > −4 c) 3x + y ≤ 9 d ) x + y ≤ 4
2 x − y < 4 2 x + y ≤ 6
x − y < −1 x + y > −1
y > −6 x < 3
y ≤ 6
Asocia cada sistema con su solución
d
a
c
b
12. 1/9
Problemas de texto con inecuaciones
Los pasos a seguir para resolverlo son:
1er paso: plantear el sistema de inecuaciones.
2º paso: resolver el sistema dibujando la región
solución.
3er paso: resolver el problema, dando la solución con
una frase si es posible.
13. 2/9
Para fabricar una tarta de chocolate necesitamos medio kilo de azúcar y 5 huevos; para fabricar la de
manzana necesitamos un kilo de azúcar y 6 huevos. Si en total tenemos 60 huevos y 9 kilos de
azúcar, ¿qué cantidad de cada tipo de tarta se pueden elaborar?
1er paso: Organizamos los datos en una Cantidad Azúcar (kg) Huevos (u.)
Tarta
tabla y hallamos las inecuaciones
Chocolate x 0’5x 5x
0 ' 5 x + y ≤ 9
5 x + 6y ≤ 60
Manzana y 1y 6y
x ≥ 0 Disponible 9 60
y ≥ 0
2º paso: Busco el semiplano solución de la primera inecuación
Represento la recta: 0' 5x + y = 9 Tabla de valores:
Despejo la variable y: y = 9 − 0' 5x x y
2 8
Elijo el punto (0,0), que no está en la recta,
y estudio cómo responde la inecuación: 6 6
0 ' 5( 0 ) + ( 0 ) ≤ 9 → 0 ≤ 9
Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN.
14. 3/9
3er paso: Busco el semiplano solución de la segunda inecuación
Represento la recta: 5 x + 6y = 60 Tabla de valores:
60 − 5 x
Despejo la variable y: y= x y
6
6 5
Elijo el punto (0,0), que no está en la recta,
y estudio cómo responde la inecuación: 12 0
5( 0 ) + 6( 0 ) ≤ 60 → 0 ≤ 60
Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN.
4º paso: Busco los semiplano solución de las últimas inecuaciones
x≥0 y≥0
15. 4/9
5º paso: Busco la región solución del sistema como intersección de los semiplanos anteriores
La solución del sistema y del problema está representado en esta región. Realmente, sólo valen
los valores x e y no decimales (los puntos de intersección de las cuadrículas)
16. 5/9
Resuelve los problemas:
a) Una empresa fabrica neveras normales (cada una lleva 3 horas de montaje y 3 de acabado), y neveras de
lujo (cada una lleva 3 h de montaje y 6 de acabado). Si en total dispone de 120 h de montaje y 180 h de
acabado, ¿cuántas puede fabricar de cada tipo?
b) Una panadería fabrica dos tipos de bollos: el tipo A tiene 500 g de masa y 250 g de crema; mientras que
el tipo B tiene 250 g de masa y 250 g de crema. Si se dispone de 20 kg de masa y 15 kg de crema,
¿cuántos bollos de cada tipo puede elaborar?
c) Un herrero tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas. Las de montaña llevan 2 kg
de cada material, mientras que las de paseo llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio. ¿Cuántas puede
fabricar de cada tipo?
d) ALSA organiza un viaje para al menos 200 personas. Dispone de 5 microbuses de 25 plazas y de 4
autobuses de 50, y sólo tiene 6 conductores. ¿Cuántos vehículos de cada tipo puede utilizar?
Asocia cada problema con su solución
d a b c
17. 6/9
Una empresa fabrica neveras normales (cada una lleva 3 horas de montaje y 3 de acabado), y neveras de
lujo (cada una lleva 3 h de montaje y 6 de acabado). Si en total dispone de 120 h de montaje y 180 h de
acabado, ¿cuántas puede fabricar de cada tipo?
x : ca ida
nt d de nev a nor l
er s maes ( en decena )
s
Definimos las incógnitas:
y : ca ida
nt d de nev a
er s de l o ( en decena )
uj s
3x + 3y ≤ 12
3x + 6y ≤ 18
Planteamos las inecuaciones:
x ≥ 0
y ≥ 0
Hallamos y representamos los semiplanos
solución de cada inecuación, y la región solución
del sistema:
18. 7/9
Una panadería fabrica dos tipos de bollos: el tipo A tiene 500 g de masa y 250 g de crema; mientras que
el tipo B tiene 250 g de masa y 250 g de crema. Si se dispone de 20 kg de masa y 15 kg de crema,
¿cuántos bollos de cada tipo puede elaborar?
x : ca ida
nt d de bolos
l t
ipo A ( en decena )
s
Definimos las incógnitas:
y : ca ida
nt d de bolos
l t B ( en decena )
ipo s
0 ' 5 x + 0 ' 25 y ≤ 2
0 ' 25 x + 0 ' 25 y ≤ 1' 5
Planteamos las inecuaciones:
x ≥ 0
y ≥ 0
Hallamos y representamos los semiplanos
solución de cada inecuación, y la región solución
del sistema:
19. 8/9
Un herrero tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas. Las de montaña llevan 2 kg
de cada material, mientras que las de paseo llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio. ¿Cuántas puede
fabricar de cada tipo?
x : ca ida
nt d de bicis de paseo ( en decena )
s
Definimos las incógnitas:
y : ca ida
nt d de bicis de mont ñ
aa ( en decena )
s
x + 2 y ≤ 8
3x + 2 y ≤ 12
Planteamos las inecuaciones:
x ≥ 0
y ≥ 0
Hallamos y representamos los semiplanos
solución de cada inecuación, y la región solución
del sistema:
20. 9/9
ALSA organiza un viaje para al menos 200 personas. Dispone de 5 microbuses de 25 plazas y de 4
autobuses de 50, y sólo tiene 6 conductores. ¿Cuántos vehículos de cada tipo puede utilizar?
x : ca ida
nt d de microbuses
Definimos las incógnitas:
y : ca ida
nt d de a obuses
ut
25 x + 50 y ≥ 200
x + y ≤ 6
x ≥ 0
Planteamos las inecuaciones: y ≥ 0
x ≤ 5
y ≤ 4
Hallamos y representamos los semiplanos
solución de cada inecuación, y la región solución
del sistema:
21. 1/6
Problemas de programación lineal
Los pasos a seguir para resolverlo son:
1er paso: plantear el sistema de inecuaciones e identificar la
función objetivo.
2º paso: resolver el sistema de inecuaciones dibujando la
región solución.
3er paso: dibujar el vector de la función objetivo, y buscar el
punto de la región solución que la optimiza.
4º paso: escribir la solución con una frase si es posible.
22. 2/6
Para fabricar una tarta de chocolate necesitamos medio kilo de azúcar y 5 huevos; para
fabricar la de manzana necesitamos un kilo de azúcar y 6 huevos. La tarta de chocolate se
vende a 12 € y la de manzana a 15 €. Si en total tenemos 60 huevos y 9 kilos de azúcar, ¿qué
cantidad de cada tipo de tarta se debe elaborar para que la venta sea máxima?
1er paso: Organizamos los datos en una tabla y hallamos las inecuaciones
Tarta Cantidad Azúcar (kg) Huevos (u.) 0 ' 5 x + y ≤ 9
5 x + 6y ≤ 60
Chocolate x 0’5x 5x
x ≥ 0
Manzana y 1y 6y y ≥ 0
Disponible 9 60
La función objetivo es la que queremos optimizar. En este caso queremos que la venta sea la mayor
posible: v a = 12 x + 15 y
ent
23. 3/6
2º paso: Busco el semiplano solución de la primera inecuación 0' 5x + y ≤ 9
Represento la recta: 0' 5x + y = 9 Tabla de valores:
Despejo la variable y: y = 9 − 0' 5x x y
2 8
Elijo el punto (0,0), que no está en la recta,
y estudio cómo responde la inecuación: 6 6
0 ' 5( 0 ) + ( 0 ) ≤ 9 → 0 ≤ 9
Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN.
3er paso: Busco el semiplano solución de la segunda inecuación 5 x + 6y ≤ 60
Represento la recta: 5 x + 6y = 60 Tabla de valores:
60 − 5 x
Despejo la variable y: y= x y
6
6 5
Elijo el punto (0,0), que no está en la recta,
y estudio cómo responde la inecuación: 12 0
5( 0 ) + 6( 0 ) ≤ 60 → 0 ≤ 60
Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN.
24. 4/6
4º paso: Busco los semiplano solución de las últimas inecuaciones
x≥0 y≥0
5º paso: Busco la región solución del sistema como
intersección de los semiplanos anteriores
La solución del problema está en esta región.
Realmente, sólo valen los valores x e y no
decimales (los puntos de intersección de las
cuadrículas).
6º paso: Dibujo el vector de la función objetivo
v a = 12 x + 15 y
ent
El vector de la función objetivo es: ( − 15,12 ) ∞( − 5,4)
Se dibuja desde el origen (0,0) hasta el punto (-5,4).
25. 5/6
7º paso: Trazo paralelas al vector de la función objetivo, sobre la región factible, y observo cuál está
más alejado.
Los puntos (x,y) de cada recta paralela dan el
mismo valor a la función objetivo. Con cada recta
paralela cambia el valor de la función objetivo:
paralelas hacia un lado aumentan la función objetivo,
y hacia el otro lado la disminuyen. En los punto de la
región factible más alejados están los valores
óptimos: máximo y mínimo.
Se observa que el punto (6,5) es el que maximiza la función objetivo. Recuerda que los valores
decimales de x e y no tienen sentido en este problema.
SOLUCIÓN: Si se elaboran 6 tartas de chocolate y 5 de manzana, las ventas son mayores y se
obtienen 147 €.
26. 6/6
Resuelve los problemas:
a) Una empresa fabrica neveras normales (cada una lleva 3 horas de montaje y 3 de acabado), y neveras de
lujo (cada una lleva 3 h de montaje y 6 de acabado). Los beneficios son de 180 € en la normal y de 240
en la de lujo. Si en total dispone de 120 h de montaje y 180 h de acabado, ¿cuántas debe fabricar de
cada tipo para maximizar el beneficio?
b) Una panadería fabrica dos tipos de bollos: el tipo A tiene 500 g de masa y 250 g de crema; mientras que
el tipo B tiene 250 g de masa y 250 g de crema. Se vende a 1’19 € el tipo A y a 0’89 € el tipo B. Si se
dispone de 20 kg de masa y 15 kg de crema, ¿cuántos bollos de cada tipo se deben elaborar para
maximizar la venta?
c) Un herrero tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas. Las de montaña llevan 2 kg
de cada material, mientras que las de paseo llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio. La de paseo la
vende a 120 € y la de montaña a 90 €. ¿Cuántas debe fabricar de cada tipo?
d) ALSA organiza un viaje para al menos 200 personas. Dispone de 5 microbuses de 25 plazas y de 4
autobuses de 50, y sólo tiene 6 conductores. El microbús se alquila a 250 € y el autobús a 375 €.
¿Cuántos vehículos de cada tipo debe utilizar?
a) 20 neveras normales y 20 de lujo, que reportan de beneficio de 8.400 €.
b) 20 bollos tipo A y 40 bollos tipo B, que reportan de beneficio de 59’40 €.
c) 20 bicis de paseo y 30 de montaña, que reportan de beneficio de 5.100 €.
d) 2 microbuses y 4 autobuses, que reportan de beneficio de 2.000 €.