El documento presenta varios problemas de cálculo de áreas en coordenadas polares, cada uno con su respectiva solución. Se abordan diferentes curvas como la rosa, cardioide y lemniscata, utilizando integrales definidas para determinar el área encerrada. Se destacan las simetrías de las formas para simplificar los cálculos de área.

1. Sergio Yansen Núñez
1. Calcule el área de la región encerrada por uno de los cuatro pétalos de la rosa
r = cos2θ.
Solución:
Los límites de integración se obtienen de las soluciones de la ecuación:
cos2θ = 0 ⇒ θ = π
4
, en el primer cuadrante.
A = ∫− π
4
π
4 1
2
r2
dθ = 1
2
∫− π
4
π
4
r2
dθ = 1
2
∫− π
4
π
4
cos2
2θdθ
Por simetría:
A = 1
2
⋅ 2∫0
π
4
cos2
2θdθ = ∫0
π
4
cos2
2θdθ = ∫0
π
4 1 + cos4θ
2
dθ
A = 1
2
∫0
π
4
1 + cos4θdθ = π
8
Área en coordenadas polares

2. Sergio Yansen Núñez
2. Calcule el área de la región encerrada dentro de la circunferencia r = 3sinθ
y fuera de la cardioide r = 1 + sinθ.
Solución:
Puntos de intersección:
3sinθ = 1 + sinθ ⇒ sinθ = 1
2
⇒ θ = π
6
, θ = π − π
6
= 5π
6
(en cuadrantes I y II).
A = 1
2
∫ π
6
5π
6
3sinθ2
dθ − 1
2
∫ π
6
5π
6
1 + sinθ2
dθ
Por simetría, se tiene:
A = 1
2
⋅ 2∫ π
6
π
2
9sin2
θdθ − 1
2
⋅ 2∫ π
6
π
2
1 + sinθ2
dθ
A = ∫ π
6
π
2
9sin2
θdθ − ∫ π
6
π
2
1 + sinθ2
dθ
A = ∫ π
6
π
2
9sin2
θ − 1 + sinθ2
dθ
A = ∫ π
6
π
2
8sin2
θ − 1 − 2sinθ dθ
Usando la identidad: sin2
θ =
1 − cos2θ
2
se tiene:
A = ∫ π
6
π
2
8 ⋅
1 − cos2θ
2
− 1 − 2sinθ dθ
Área en coordenadas polares

3. Sergio Yansen Núñez
A = ∫ π
6
π
2
4 − 4cos2θ − 1 − 2sinθdθ
A = ∫ π
6
π
2
3 − 4cos2θ − 2sinθdθ = π
Área en coordenadas polares

4. Sergio Yansen Núñez
3. Calcule el área de la región encerrada por la lemniscata: r2
= 9cos2θ.
Solución:
Por simetría, se calculará 4 veces el área de la porción en el primer cuadrante.
cos2θ = 0 ⇒ θ = π
4
, en el primer cuadrante.
A = 4 ⋅ ∫0
π
4 1
2
r2
dθ = 2∫0
π
4
r2
dθ = 2∫0
π
4
9cos2θdθ
A = 18∫0
π
4
cos2θdθ = 9
Área en coordenadas polares

5. Sergio Yansen Núñez
4. Calcule el área de la región que es interior a la cardioide r = 31 + cosθ
y exterior a la circunferencia r = 3.
Solución:
Puntos de intersección:
31 + cosθ = 3 ⇒ cosθ = 0
⇒ θ = π
2
∨ θ = 3π
2
(menores que 2π)
Por simetría, se calculará dos veces el área de la porción del primer cuadrante
A = 2 ⋅ ∫0
π
2 1
2
31 + cosθ2
dθ − ∫0
π
2 1
2
⋅ 32
dθ
A = ∫0
π
2
91 + cosθ2
dθ − ∫0
π
2
9dθ
A = ∫0
π
2
91 + cosθ2
− 9 dθ
A = 9∫0
π
2
1 + cosθ2
− 1 dθ
A = 9∫0
π
2
2cosθ + cos2
θdθ
A = 9∫0
π
2
2cosθ +
1 + cos2θ
2
dθ
A = 9
2
∫0
π
2
4cosθ + 1 + cos2θdθ = 18 + 9π
4
Área en coordenadas polares

6. Sergio Yansen Núñez
5. Calcule el área de la región interior a r = 2 + cosθ.
Solución:
Por simetría:
A = 2 ⋅ ∫0
π 1
2
r2
dθ = ∫0
π
2 + cosθ2
dθ
A = ∫0
π
4 + 4cosθ + cos2
θdθ
A = ∫0
π
4 + 4cosθ +
1 + cos2θ
2
dθ
A = 1
2
∫0
π
8 + 8cosθ + 1 + cos2θdθ
A = 1
2
∫0
π
9 + 8cosθ + cos2θdθ = 9π
2
Área en coordenadas polares

7. Sergio Yansen Núñez
6. Calcule el área de la región encerrada por r = 4sin2θ.
Solución:
Por simetría, el área será 4 veces el área del pétalo del primer cuadrante
sin2θ = 0 ⇒ θ = 0 ∨ θ = π
2
(considerando el pétalo del primer cuadrante)
A = 4 ⋅ ∫0
π
2 1
2
r2
dθ = 2∫0
π
2
r2
dθ = 2∫0
π
2
4sin2θ2
dθ
A = 32∫0
π
2
sin2
2θdθ = 32∫0
π
2 1 − cos4θ
2
dθ
A = 16∫0
π
2
1 − cos4θdθ = 8π
Área en coordenadas polares

8. Sergio Yansen Núñez
7. Calcule el área de la región exterior a la cardioide r = 1 + cosθ
e interior a la circunferencia r = 3 sinθ.
Solución:
Puntos de intersección:
1 + cosθ = 3 sinθ
1 + cosθ2
= 3sin2
θ
1 + 2cosθ + cos2
θ = 31 − cos2
θ
1 + 2cosθ + cos2
θ − 31 − cos2
θ = 0
−2 + 2cosθ + 4cos2
θ = 0
2cos2
θ + cosθ − 1 = 0
cosθ + 12cosθ − 1 = 0
cosθ + 1 = 0 ∨ 2cosθ − 1 = 0
θ = π
3
∨ θ = π , (valores menores que 2π)
A = 1
2
∫ π
3
π
3 sinθ
2
dθ − 1
2
∫ π
3
π
1 + cosθ2
dθ
A = 1
2
∫ π
3
π
3sin2
θ − 1 + cosθ2
dθ
A = 1
2
∫ π
3
π
3sin2
θ − cos2
θ − 2cosθ − 1 dθ
Área en coordenadas polares

9. Sergio Yansen Núñez
A = 1
2
∫ π
3
π
31 − cos2
θ − cos2
θ − 2cosθ − 1dθ
A = 1
2
∫ π
3
π
2 − 4cos2
θ − 2cosθdθ
A = 1
2
∫ π
3
π
2 − 4
1 + cos2θ
2
− 2cosθ dθ
A = 1
2
∫ π
3
π
−2cos2θ − 2cosθdθ =
3 3
4
Área en coordenadas polares

10. Sergio Yansen Núñez
8. Calcule el área de la región interior a r = 3cosθ y exterior a r = 1 + cosθ.
Solución:
Por simetría, se calculará 2 veces el área de la región del primer cuadrante
Puntos de intersección:
3cosθ = 1 + cosθ ⇒ cosθ = 1
2
⇒ θ = π
3
(valor en primer cuadrante)
A = 2 ⋅ 1
2
∫0
π
3
3cosθ2
dθ − 1
2
∫0
π
3
1 + cosθ2
dθ
A = ∫0
π
3
9cos2
θ − 1 + cosθ2
dθ
A = ∫0
π
3
8cos2
θ − 1 − 2cosθdθ
A = ∫0
π
3
8
1 + cos2θ
2
− 1 − 2cosθ dθ
A = ∫0
π
3
3 + 4cos2θ − 2cosθdθ = π
Área en coordenadas polares

11. Sergio Yansen Núñez
9. Calcule el área de la región interior a r2
= 2cos2θ y exterior a r = 1.
Solución:
Por simetría, se calculará 4 veces el área de la región en el primer cuadrante.
Puntos de intersección:
2cos2θ = 1 ⇒ cos2θ = 1
2
⇒ θ = π
6
, valor en primer cuadrante.
A = 4 ⋅ 1
2
∫0
π
6
2cos2θdθ − 1
2
∫0
π
6
dθ = 2∫0
π
6
2cos2θ − 1dθ = 3 − π
3
Área en coordenadas polares

12. Sergio Yansen Núñez
10. Considere la ecuación polar r = 4sin3θ. Calcule el área de un pétalo.
Solución:
A = 1
2
∫0
π
3
4sin3θ2
dθ = 1
2
∫0
π
3
16sin2
3θdθ
A = 8∫0
π
3
sin2
3θdθ = 8∫0
π
3 1 − cos6θ
2
dθ
A = 4∫0
π
3
1 − cos6θdθ = 4π
3
Área en coordenadas polares

13. Sergio Yansen Núñez
11. Calcule el área de la región interior a las curvas:
r = sinθ y r = cosθ.
Solución:
Puntos de intersección:
sinθ = cosθ ⇒ θ = π
4
, valor en el primer cuadrante.
Por simetría, el área interior a las curvas es 2 veces el área de la región
coloreada con el amarillo más fuerte.
A = 2 ⋅ 1
2
∫0
π
4
sin2
θdθ = ∫0
π
4
sin2
θdθ
A = ∫0
π
4 1 − cos2θ
2
dθ = 1
2
∫0
π
4
1 − cos2θdθ = π
8
− 1
4
Área en coordenadas polares

14. Sergio Yansen Núñez
12. Calcule el área de la región interior a las curvas:
r = sin2θ y r = cos2θ.
Solución:
Puntos de intersección:
sin2θ = cos2θ ⇒ θ = π
8
, menor valor en el primer cuadrante.
Por simetría, el área interior a las curvas es 8 veces el área de la región
coloreada con el amarillo más fuerte. También corresponde a 16 veces el área
de la región sombreada (ver la siguiente figura).
Área en coordenadas polares

15. Sergio Yansen Núñez
A = 16 ⋅ 1
2
∫0
π
8
sin2
2θdθ = 8∫0
π
8
sin2
2θdθ
A = 8∫0
π
8 1 − cos4θ
2
dθ = 4∫0
π
8
1 − cos4θdθ = π
2
− 1
Área en coordenadas polares