Temáticas de matemáticas de mucho interés para el público en general, principalmente dirigido a estudiantes de secuandaria

1. Sergio Yansen Núñez
1. Calcule el área de la región encerrada por uno de los cuatro pétalos de la rosa
r = cos2θ.
Solución:
Los límites de integración se obtienen de las soluciones de la ecuación:
cos2θ = 0 ⇒ θ = π
4
, en el primer cuadrante.
A = ∫− π
4
π
4 1
2
r2
dθ = 1
2
∫− π
4
π
4
r2
dθ = 1
2
∫− π
4
π
4
cos2
2θdθ
Por simetría:
A = 1
2
⋅ 2∫0
π
4
cos2
2θdθ = ∫0
π
4
cos2
2θdθ = ∫0
π
4 1 + cos4θ
2
dθ
A = 1
2
∫0
π
4
1 + cos4θdθ = π
8
Área en coordenadas polares

2. Sergio Yansen Núñez
2. Calcule el área de la región encerrada dentro de la circunferencia r = 3sinθ
y fuera de la cardioide r = 1 + sinθ.
Solución:
Puntos de intersección:
3sinθ = 1 + sinθ ⇒ sinθ = 1
2
⇒ θ = π
6
, θ = π − π
6
= 5π
6
(en cuadrantes I y II).
A = 1
2
∫ π
6
5π
6
3sinθ2
dθ − 1
2
∫ π
6
5π
6
1 + sinθ2
dθ
Por simetría, se tiene:
A = 1
2
⋅ 2∫ π
6
π
2
9sin2
θdθ − 1
2
⋅ 2∫ π
6
π
2
1 + sinθ2
dθ
A = ∫ π
6
π
2
9sin2
θdθ − ∫ π
6
π
2
1 + sinθ2
dθ
A = ∫ π
6
π
2
9sin2
θ − 1 + sinθ2
dθ
A = ∫ π
6
π
2
8sin2
θ − 1 − 2sinθ dθ
Usando la identidad: sin2
θ =
1 − cos2θ
2
se tiene:
A = ∫ π
6
π
2
8 ⋅
1 − cos2θ
2
− 1 − 2sinθ dθ
Área en coordenadas polares

3. Sergio Yansen Núñez
A = ∫ π
6
π
2
4 − 4cos2θ − 1 − 2sinθdθ
A = ∫ π
6
π
2
3 − 4cos2θ − 2sinθdθ = π
Área en coordenadas polares

4. Sergio Yansen Núñez
3. Calcule el área de la región encerrada por la lemniscata: r2
= 9cos2θ.
Solución:
Por simetría, se calculará 4 veces el área de la porción en el primer cuadrante.
cos2θ = 0 ⇒ θ = π
4
, en el primer cuadrante.
A = 4 ⋅ ∫0
π
4 1
2
r2
dθ = 2∫0
π
4
r2
dθ = 2∫0
π
4
9cos2θdθ
A = 18∫0
π
4
cos2θdθ = 9
Área en coordenadas polares

5. Sergio Yansen Núñez
4. Calcule el área de la región que es interior a la cardioide r = 31 + cosθ
y exterior a la circunferencia r = 3.
Solución:
Puntos de intersección:
31 + cosθ = 3 ⇒ cosθ = 0
⇒ θ = π
2
∨ θ = 3π
2
(menores que 2π)
Por simetría, se calculará dos veces el área de la porción del primer cuadrante
A = 2 ⋅ ∫0
π
2 1
2
31 + cosθ2
dθ − ∫0
π
2 1
2
⋅ 32
dθ
A = ∫0
π
2
91 + cosθ2
dθ − ∫0
π
2
9dθ
A = ∫0
π
2
91 + cosθ2
− 9 dθ
A = 9∫0
π
2
1 + cosθ2
− 1 dθ
A = 9∫0
π
2
2cosθ + cos2
θdθ
A = 9∫0
π
2
2cosθ +
1 + cos2θ
2
dθ
A = 9
2
∫0
π
2
4cosθ + 1 + cos2θdθ = 18 + 9π
4
Área en coordenadas polares

6. Sergio Yansen Núñez
5. Calcule el área de la región interior a r = 2 + cosθ.
Solución:
Por simetría:
A = 2 ⋅ ∫0
π 1
2
r2
dθ = ∫0
π
2 + cosθ2
dθ
A = ∫0
π
4 + 4cosθ + cos2
θdθ
A = ∫0
π
4 + 4cosθ +
1 + cos2θ
2
dθ
A = 1
2
∫0
π
8 + 8cosθ + 1 + cos2θdθ
A = 1
2
∫0
π
9 + 8cosθ + cos2θdθ = 9π
2
Área en coordenadas polares

7. Sergio Yansen Núñez
6. Calcule el área de la región encerrada por r = 4sin2θ.
Solución:
Por simetría, el área será 4 veces el área del pétalo del primer cuadrante
sin2θ = 0 ⇒ θ = 0 ∨ θ = π
2
(considerando el pétalo del primer cuadrante)
A = 4 ⋅ ∫0
π
2 1
2
r2
dθ = 2∫0
π
2
r2
dθ = 2∫0
π
2
4sin2θ2
dθ
A = 32∫0
π
2
sin2
2θdθ = 32∫0
π
2 1 − cos4θ
2
dθ
A = 16∫0
π
2
1 − cos4θdθ = 8π
Área en coordenadas polares

8. Sergio Yansen Núñez
7. Calcule el área de la región exterior a la cardioide r = 1 + cosθ
e interior a la circunferencia r = 3 sinθ.
Solución:
Puntos de intersección:
1 + cosθ = 3 sinθ
1 + cosθ2
= 3sin2
θ
1 + 2cosθ + cos2
θ = 31 − cos2
θ
1 + 2cosθ + cos2
θ − 31 − cos2
θ = 0
−2 + 2cosθ + 4cos2
θ = 0
2cos2
θ + cosθ − 1 = 0
cosθ + 12cosθ − 1 = 0
cosθ + 1 = 0 ∨ 2cosθ − 1 = 0
θ = π
3
∨ θ = π , (valores menores que 2π)
A = 1
2
∫ π
3
π
3 sinθ
2
dθ − 1
2
∫ π
3
π
1 + cosθ2
dθ
A = 1
2
∫ π
3
π
3sin2
θ − 1 + cosθ2
dθ
A = 1
2
∫ π
3
π
3sin2
θ − cos2
θ − 2cosθ − 1 dθ
Área en coordenadas polares

9. Sergio Yansen Núñez
A = 1
2
∫ π
3
π
31 − cos2
θ − cos2
θ − 2cosθ − 1dθ
A = 1
2
∫ π
3
π
2 − 4cos2
θ − 2cosθdθ
A = 1
2
∫ π
3
π
2 − 4
1 + cos2θ
2
− 2cosθ dθ
A = 1
2
∫ π
3
π
−2cos2θ − 2cosθdθ =
3 3
4
Área en coordenadas polares

10. Sergio Yansen Núñez
8. Calcule el área de la región interior a r = 3cosθ y exterior a r = 1 + cosθ.
Solución:
Por simetría, se calculará 2 veces el área de la región del primer cuadrante
Puntos de intersección:
3cosθ = 1 + cosθ ⇒ cosθ = 1
2
⇒ θ = π
3
(valor en primer cuadrante)
A = 2 ⋅ 1
2
∫0
π
3
3cosθ2
dθ − 1
2
∫0
π
3
1 + cosθ2
dθ
A = ∫0
π
3
9cos2
θ − 1 + cosθ2
dθ
A = ∫0
π
3
8cos2
θ − 1 − 2cosθdθ
A = ∫0
π
3
8
1 + cos2θ
2
− 1 − 2cosθ dθ
A = ∫0
π
3
3 + 4cos2θ − 2cosθdθ = π
Área en coordenadas polares

11. Sergio Yansen Núñez
9. Calcule el área de la región interior a r2
= 2cos2θ y exterior a r = 1.
Solución:
Por simetría, se calculará 4 veces el área de la región en el primer cuadrante.
Puntos de intersección:
2cos2θ = 1 ⇒ cos2θ = 1
2
⇒ θ = π
6
, valor en primer cuadrante.
A = 4 ⋅ 1
2
∫0
π
6
2cos2θdθ − 1
2
∫0
π
6
dθ = 2∫0
π
6
2cos2θ − 1dθ = 3 − π
3
Área en coordenadas polares

12. Sergio Yansen Núñez
10. Considere la ecuación polar r = 4sin3θ. Calcule el área de un pétalo.
Solución:
A = 1
2
∫0
π
3
4sin3θ2
dθ = 1
2
∫0
π
3
16sin2
3θdθ
A = 8∫0
π
3
sin2
3θdθ = 8∫0
π
3 1 − cos6θ
2
dθ
A = 4∫0
π
3
1 − cos6θdθ = 4π
3
Área en coordenadas polares

13. Sergio Yansen Núñez
11. Calcule el área de la región interior a las curvas:
r = sinθ y r = cosθ.
Solución:
Puntos de intersección:
sinθ = cosθ ⇒ θ = π
4
, valor en el primer cuadrante.
Por simetría, el área interior a las curvas es 2 veces el área de la región
coloreada con el amarillo más fuerte.
A = 2 ⋅ 1
2
∫0
π
4
sin2
θdθ = ∫0
π
4
sin2
θdθ
A = ∫0
π
4 1 − cos2θ
2
dθ = 1
2
∫0
π
4
1 − cos2θdθ = π
8
− 1
4
Área en coordenadas polares

14. Sergio Yansen Núñez
12. Calcule el área de la región interior a las curvas:
r = sin2θ y r = cos2θ.
Solución:
Puntos de intersección:
sin2θ = cos2θ ⇒ θ = π
8
, menor valor en el primer cuadrante.
Por simetría, el área interior a las curvas es 8 veces el área de la región
coloreada con el amarillo más fuerte. También corresponde a 16 veces el área
de la región sombreada (ver la siguiente figura).
Área en coordenadas polares

15. Sergio Yansen Núñez
A = 16 ⋅ 1
2
∫0
π
8
sin2
2θdθ = 8∫0
π
8
sin2
2θdθ
A = 8∫0
π
8 1 − cos4θ
2
dθ = 4∫0
π
8
1 − cos4θdθ = π
2
− 1
Área en coordenadas polares