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Sergio Yansen Núñez
1. Calcule el área de la región encerrada por uno de los cuatro pétalos de la rosa
r = cos2θ.
Solución:
Los límites de integración se obtienen de las soluciones de la ecuación:
cos2θ = 0 ⇒ θ = π
4
, en el primer cuadrante.
A = ∫− π
4
π
4 1
2
r2
dθ = 1
2
∫− π
4
π
4
r2
dθ = 1
2
∫− π
4
π
4
cos2
2θdθ
Por simetría:
A = 1
2
⋅ 2∫0
π
4
cos2
2θdθ = ∫0
π
4
cos2
2θdθ = ∫0
π
4 1 + cos4θ
2
dθ
A = 1
2
∫0
π
4
1 + cos4θdθ = π
8
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
2. Calcule el área de la región encerrada dentro de la circunferencia r = 3sinθ
y fuera de la cardioide r = 1 + sinθ.
Solución:
Puntos de intersección:
3sinθ = 1 + sinθ ⇒ sinθ = 1
2
⇒ θ = π
6
, θ = π − π
6
= 5π
6
(en cuadrantes I y II).
A = 1
2
∫ π
6
5π
6
3sinθ2
dθ − 1
2
∫ π
6
5π
6
1 + sinθ2
dθ
Por simetría, se tiene:
A = 1
2
⋅ 2∫ π
6
π
2
9sin2
θdθ − 1
2
⋅ 2∫ π
6
π
2
1 + sinθ2
dθ
A = ∫ π
6
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2
9sin2
θdθ − ∫ π
6
π
2
1 + sinθ2
dθ
A = ∫ π
6
π
2
9sin2
θ − 1 + sinθ2
dθ
A = ∫ π
6
π
2
8sin2
θ − 1 − 2sinθ dθ
Usando la identidad: sin2
θ =
1 − cos2θ
2
se tiene:
A = ∫ π
6
π
2
8 ⋅
1 − cos2θ
2
− 1 − 2sinθ dθ
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
A = ∫ π
6
π
2
4 − 4cos2θ − 1 − 2sinθdθ
A = ∫ π
6
π
2
3 − 4cos2θ − 2sinθdθ = π
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
3. Calcule el área de la región encerrada por la lemniscata: r2
= 9cos2θ.
Solución:
Por simetría, se calculará 4 veces el área de la porción en el primer cuadrante.
cos2θ = 0 ⇒ θ = π
4
, en el primer cuadrante.
A = 4 ⋅ ∫0
π
4 1
2
r2
dθ = 2∫0
π
4
r2
dθ = 2∫0
π
4
9cos2θdθ
A = 18∫0
π
4
cos2θdθ = 9
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
4. Calcule el área de la región que es interior a la cardioide r = 31 + cosθ
y exterior a la circunferencia r = 3.
Solución:
Puntos de intersección:
31 + cosθ = 3 ⇒ cosθ = 0
⇒ θ = π
2
∨ θ = 3π
2
(menores que 2π)
Por simetría, se calculará dos veces el área de la porción del primer cuadrante
A = 2 ⋅ ∫0
π
2 1
2
31 + cosθ2
dθ − ∫0
π
2 1
2
⋅ 32
dθ
A = ∫0
π
2
91 + cosθ2
dθ − ∫0
π
2
9dθ
A = ∫0
π
2
91 + cosθ2
− 9 dθ
A = 9∫0
π
2
1 + cosθ2
− 1 dθ
A = 9∫0
π
2
2cosθ + cos2
θdθ
A = 9∫0
π
2
2cosθ +
1 + cos2θ
2
dθ
A = 9
2
∫0
π
2
4cosθ + 1 + cos2θdθ = 18 + 9π
4
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
5. Calcule el área de la región interior a r = 2 + cosθ.
Solución:
Por simetría:
A = 2 ⋅ ∫0
π 1
2
r2
dθ = ∫0
π
2 + cosθ2
dθ
A = ∫0
π
4 + 4cosθ + cos2
θdθ
A = ∫0
π
4 + 4cosθ +
1 + cos2θ
2
dθ
A = 1
2
∫0
π
8 + 8cosθ + 1 + cos2θdθ
A = 1
2
∫0
π
9 + 8cosθ + cos2θdθ = 9π
2
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
6. Calcule el área de la región encerrada por r = 4sin2θ.
Solución:
Por simetría, el área será 4 veces el área del pétalo del primer cuadrante
sin2θ = 0 ⇒ θ = 0 ∨ θ = π
2
(considerando el pétalo del primer cuadrante)
A = 4 ⋅ ∫0
π
2 1
2
r2
dθ = 2∫0
π
2
r2
dθ = 2∫0
π
2
4sin2θ2
dθ
A = 32∫0
π
2
sin2
2θdθ = 32∫0
π
2 1 − cos4θ
2
dθ
A = 16∫0
π
2
1 − cos4θdθ = 8π
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
7. Calcule el área de la región exterior a la cardioide r = 1 + cosθ
e interior a la circunferencia r = 3 sinθ.
Solución:
Puntos de intersección:
1 + cosθ = 3 sinθ
1 + cosθ2
= 3sin2
θ
1 + 2cosθ + cos2
θ = 31 − cos2
θ
1 + 2cosθ + cos2
θ − 31 − cos2
θ = 0
−2 + 2cosθ + 4cos2
θ = 0
2cos2
θ + cosθ − 1 = 0
cosθ + 12cosθ − 1 = 0
cosθ + 1 = 0 ∨ 2cosθ − 1 = 0
θ = π
3
∨ θ = π , (valores menores que 2π)
A = 1
2
∫ π
3
π
3 sinθ
2
dθ − 1
2
∫ π
3
π
1 + cosθ2
dθ
A = 1
2
∫ π
3
π
3sin2
θ − 1 + cosθ2
dθ
A = 1
2
∫ π
3
π
3sin2
θ − cos2
θ − 2cosθ − 1 dθ
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
A = 1
2
∫ π
3
π
31 − cos2
θ − cos2
θ − 2cosθ − 1dθ
A = 1
2
∫ π
3
π
2 − 4cos2
θ − 2cosθdθ
A = 1
2
∫ π
3
π
2 − 4
1 + cos2θ
2
− 2cosθ dθ
A = 1
2
∫ π
3
π
−2cos2θ − 2cosθdθ =
3 3
4
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
8. Calcule el área de la región interior a r = 3cosθ y exterior a r = 1 + cosθ.
Solución:
Por simetría, se calculará 2 veces el área de la región del primer cuadrante
Puntos de intersección:
3cosθ = 1 + cosθ ⇒ cosθ = 1
2
⇒ θ = π
3
(valor en primer cuadrante)
A = 2 ⋅ 1
2
∫0
π
3
3cosθ2
dθ − 1
2
∫0
π
3
1 + cosθ2
dθ
A = ∫0
π
3
9cos2
θ − 1 + cosθ2
dθ
A = ∫0
π
3
8cos2
θ − 1 − 2cosθdθ
A = ∫0
π
3
8
1 + cos2θ
2
− 1 − 2cosθ dθ
A = ∫0
π
3
3 + 4cos2θ − 2cosθdθ = π
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
9. Calcule el área de la región interior a r2
= 2cos2θ y exterior a r = 1.
Solución:
Por simetría, se calculará 4 veces el área de la región en el primer cuadrante.
Puntos de intersección:
2cos2θ = 1 ⇒ cos2θ = 1
2
⇒ θ = π
6
, valor en primer cuadrante.
A = 4 ⋅ 1
2
∫0
π
6
2cos2θdθ − 1
2
∫0
π
6
dθ = 2∫0
π
6
2cos2θ − 1dθ = 3 − π
3
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
10. Considere la ecuación polar r = 4sin3θ. Calcule el área de un pétalo.
Solución:
A = 1
2
∫0
π
3
4sin3θ2
dθ = 1
2
∫0
π
3
16sin2
3θdθ
A = 8∫0
π
3
sin2
3θdθ = 8∫0
π
3 1 − cos6θ
2
dθ
A = 4∫0
π
3
1 − cos6θdθ = 4π
3
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
11. Calcule el área de la región interior a las curvas:
r = sinθ y r = cosθ.
Solución:
Puntos de intersección:
sinθ = cosθ ⇒ θ = π
4
, valor en el primer cuadrante.
Por simetría, el área interior a las curvas es 2 veces el área de la región
coloreada con el amarillo más fuerte.
A = 2 ⋅ 1
2
∫0
π
4
sin2
θdθ = ∫0
π
4
sin2
θdθ
A = ∫0
π
4 1 − cos2θ
2
dθ = 1
2
∫0
π
4
1 − cos2θdθ = π
8
− 1
4
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
12. Calcule el área de la región interior a las curvas:
r = sin2θ y r = cos2θ.
Solución:
Puntos de intersección:
sin2θ = cos2θ ⇒ θ = π
8
, menor valor en el primer cuadrante.
Por simetría, el área interior a las curvas es 8 veces el área de la región
coloreada con el amarillo más fuerte. También corresponde a 16 veces el área
de la región sombreada (ver la siguiente figura).
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
A = 16 ⋅ 1
2
∫0
π
8
sin2
2θdθ = 8∫0
π
8
sin2
2θdθ
A = 8∫0
π
8 1 − cos4θ
2
dθ = 4∫0
π
8
1 − cos4θdθ = π
2
− 1
Área en coordenadas polares

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  • 1. Sergio Yansen Núñez 1. Calcule el área de la región encerrada por uno de los cuatro pétalos de la rosa r = cos2θ. Solución: Los límites de integración se obtienen de las soluciones de la ecuación: cos2θ = 0 ⇒ θ = π 4 , en el primer cuadrante. A = ∫− π 4 π 4 1 2 r2 dθ = 1 2 ∫− π 4 π 4 r2 dθ = 1 2 ∫− π 4 π 4 cos2 2θdθ Por simetría: A = 1 2 ⋅ 2∫0 π 4 cos2 2θdθ = ∫0 π 4 cos2 2θdθ = ∫0 π 4 1 + cos4θ 2 dθ A = 1 2 ∫0 π 4 1 + cos4θdθ = π 8 Área en coordenadas polares
  • 2. Sergio Yansen Núñez 2. Calcule el área de la región encerrada dentro de la circunferencia r = 3sinθ y fuera de la cardioide r = 1 + sinθ. Solución: Puntos de intersección: 3sinθ = 1 + sinθ ⇒ sinθ = 1 2 ⇒ θ = π 6 , θ = π − π 6 = 5π 6 (en cuadrantes I y II). A = 1 2 ∫ π 6 5π 6 3sinθ2 dθ − 1 2 ∫ π 6 5π 6 1 + sinθ2 dθ Por simetría, se tiene: A = 1 2 ⋅ 2∫ π 6 π 2 9sin2 θdθ − 1 2 ⋅ 2∫ π 6 π 2 1 + sinθ2 dθ A = ∫ π 6 π 2 9sin2 θdθ − ∫ π 6 π 2 1 + sinθ2 dθ A = ∫ π 6 π 2 9sin2 θ − 1 + sinθ2 dθ A = ∫ π 6 π 2 8sin2 θ − 1 − 2sinθ dθ Usando la identidad: sin2 θ = 1 − cos2θ 2 se tiene: A = ∫ π 6 π 2 8 ⋅ 1 − cos2θ 2 − 1 − 2sinθ dθ Área en coordenadas polares
  • 3. Sergio Yansen Núñez A = ∫ π 6 π 2 4 − 4cos2θ − 1 − 2sinθdθ A = ∫ π 6 π 2 3 − 4cos2θ − 2sinθdθ = π Área en coordenadas polares
  • 4. Sergio Yansen Núñez 3. Calcule el área de la región encerrada por la lemniscata: r2 = 9cos2θ. Solución: Por simetría, se calculará 4 veces el área de la porción en el primer cuadrante. cos2θ = 0 ⇒ θ = π 4 , en el primer cuadrante. A = 4 ⋅ ∫0 π 4 1 2 r2 dθ = 2∫0 π 4 r2 dθ = 2∫0 π 4 9cos2θdθ A = 18∫0 π 4 cos2θdθ = 9 Área en coordenadas polares
  • 5. Sergio Yansen Núñez 4. Calcule el área de la región que es interior a la cardioide r = 31 + cosθ y exterior a la circunferencia r = 3. Solución: Puntos de intersección: 31 + cosθ = 3 ⇒ cosθ = 0 ⇒ θ = π 2 ∨ θ = 3π 2 (menores que 2π) Por simetría, se calculará dos veces el área de la porción del primer cuadrante A = 2 ⋅ ∫0 π 2 1 2 31 + cosθ2 dθ − ∫0 π 2 1 2 ⋅ 32 dθ A = ∫0 π 2 91 + cosθ2 dθ − ∫0 π 2 9dθ A = ∫0 π 2 91 + cosθ2 − 9 dθ A = 9∫0 π 2 1 + cosθ2 − 1 dθ A = 9∫0 π 2 2cosθ + cos2 θdθ A = 9∫0 π 2 2cosθ + 1 + cos2θ 2 dθ A = 9 2 ∫0 π 2 4cosθ + 1 + cos2θdθ = 18 + 9π 4 Área en coordenadas polares
  • 6. Sergio Yansen Núñez 5. Calcule el área de la región interior a r = 2 + cosθ. Solución: Por simetría: A = 2 ⋅ ∫0 π 1 2 r2 dθ = ∫0 π 2 + cosθ2 dθ A = ∫0 π 4 + 4cosθ + cos2 θdθ A = ∫0 π 4 + 4cosθ + 1 + cos2θ 2 dθ A = 1 2 ∫0 π 8 + 8cosθ + 1 + cos2θdθ A = 1 2 ∫0 π 9 + 8cosθ + cos2θdθ = 9π 2 Área en coordenadas polares
  • 7. Sergio Yansen Núñez 6. Calcule el área de la región encerrada por r = 4sin2θ. Solución: Por simetría, el área será 4 veces el área del pétalo del primer cuadrante sin2θ = 0 ⇒ θ = 0 ∨ θ = π 2 (considerando el pétalo del primer cuadrante) A = 4 ⋅ ∫0 π 2 1 2 r2 dθ = 2∫0 π 2 r2 dθ = 2∫0 π 2 4sin2θ2 dθ A = 32∫0 π 2 sin2 2θdθ = 32∫0 π 2 1 − cos4θ 2 dθ A = 16∫0 π 2 1 − cos4θdθ = 8π Área en coordenadas polares
  • 8. Sergio Yansen Núñez 7. Calcule el área de la región exterior a la cardioide r = 1 + cosθ e interior a la circunferencia r = 3 sinθ. Solución: Puntos de intersección: 1 + cosθ = 3 sinθ 1 + cosθ2 = 3sin2 θ 1 + 2cosθ + cos2 θ = 31 − cos2 θ 1 + 2cosθ + cos2 θ − 31 − cos2 θ = 0 −2 + 2cosθ + 4cos2 θ = 0 2cos2 θ + cosθ − 1 = 0 cosθ + 12cosθ − 1 = 0 cosθ + 1 = 0 ∨ 2cosθ − 1 = 0 θ = π 3 ∨ θ = π , (valores menores que 2π) A = 1 2 ∫ π 3 π 3 sinθ 2 dθ − 1 2 ∫ π 3 π 1 + cosθ2 dθ A = 1 2 ∫ π 3 π 3sin2 θ − 1 + cosθ2 dθ A = 1 2 ∫ π 3 π 3sin2 θ − cos2 θ − 2cosθ − 1 dθ Área en coordenadas polares
  • 9. Sergio Yansen Núñez A = 1 2 ∫ π 3 π 31 − cos2 θ − cos2 θ − 2cosθ − 1dθ A = 1 2 ∫ π 3 π 2 − 4cos2 θ − 2cosθdθ A = 1 2 ∫ π 3 π 2 − 4 1 + cos2θ 2 − 2cosθ dθ A = 1 2 ∫ π 3 π −2cos2θ − 2cosθdθ = 3 3 4 Área en coordenadas polares
  • 10. Sergio Yansen Núñez 8. Calcule el área de la región interior a r = 3cosθ y exterior a r = 1 + cosθ. Solución: Por simetría, se calculará 2 veces el área de la región del primer cuadrante Puntos de intersección: 3cosθ = 1 + cosθ ⇒ cosθ = 1 2 ⇒ θ = π 3 (valor en primer cuadrante) A = 2 ⋅ 1 2 ∫0 π 3 3cosθ2 dθ − 1 2 ∫0 π 3 1 + cosθ2 dθ A = ∫0 π 3 9cos2 θ − 1 + cosθ2 dθ A = ∫0 π 3 8cos2 θ − 1 − 2cosθdθ A = ∫0 π 3 8 1 + cos2θ 2 − 1 − 2cosθ dθ A = ∫0 π 3 3 + 4cos2θ − 2cosθdθ = π Área en coordenadas polares
  • 11. Sergio Yansen Núñez 9. Calcule el área de la región interior a r2 = 2cos2θ y exterior a r = 1. Solución: Por simetría, se calculará 4 veces el área de la región en el primer cuadrante. Puntos de intersección: 2cos2θ = 1 ⇒ cos2θ = 1 2 ⇒ θ = π 6 , valor en primer cuadrante. A = 4 ⋅ 1 2 ∫0 π 6 2cos2θdθ − 1 2 ∫0 π 6 dθ = 2∫0 π 6 2cos2θ − 1dθ = 3 − π 3 Área en coordenadas polares
  • 12. Sergio Yansen Núñez 10. Considere la ecuación polar r = 4sin3θ. Calcule el área de un pétalo. Solución: A = 1 2 ∫0 π 3 4sin3θ2 dθ = 1 2 ∫0 π 3 16sin2 3θdθ A = 8∫0 π 3 sin2 3θdθ = 8∫0 π 3 1 − cos6θ 2 dθ A = 4∫0 π 3 1 − cos6θdθ = 4π 3 Área en coordenadas polares
  • 13. Sergio Yansen Núñez 11. Calcule el área de la región interior a las curvas: r = sinθ y r = cosθ. Solución: Puntos de intersección: sinθ = cosθ ⇒ θ = π 4 , valor en el primer cuadrante. Por simetría, el área interior a las curvas es 2 veces el área de la región coloreada con el amarillo más fuerte. A = 2 ⋅ 1 2 ∫0 π 4 sin2 θdθ = ∫0 π 4 sin2 θdθ A = ∫0 π 4 1 − cos2θ 2 dθ = 1 2 ∫0 π 4 1 − cos2θdθ = π 8 − 1 4 Área en coordenadas polares
  • 14. Sergio Yansen Núñez 12. Calcule el área de la región interior a las curvas: r = sin2θ y r = cos2θ. Solución: Puntos de intersección: sin2θ = cos2θ ⇒ θ = π 8 , menor valor en el primer cuadrante. Por simetría, el área interior a las curvas es 8 veces el área de la región coloreada con el amarillo más fuerte. También corresponde a 16 veces el área de la región sombreada (ver la siguiente figura). Área en coordenadas polares
  • 15. Sergio Yansen Núñez A = 16 ⋅ 1 2 ∫0 π 8 sin2 2θdθ = 8∫0 π 8 sin2 2θdθ A = 8∫0 π 8 1 − cos4θ 2 dθ = 4∫0 π 8 1 − cos4θdθ = π 2 − 1 Área en coordenadas polares