SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 15
Descargar para leer sin conexión
Sergio Yansen Núñez
1. Calcule el área de la región encerrada por uno de los cuatro pétalos de la rosa
r = cos2θ.
Solución:
Los límites de integración se obtienen de las soluciones de la ecuación:
cos2θ = 0 ⇒ θ = π
4
, en el primer cuadrante.
A = ∫− π
4
π
4 1
2
r2
dθ = 1
2
∫− π
4
π
4
r2
dθ = 1
2
∫− π
4
π
4
cos2
2θdθ
Por simetría:
A = 1
2
⋅ 2∫0
π
4
cos2
2θdθ = ∫0
π
4
cos2
2θdθ = ∫0
π
4 1 + cos4θ
2
dθ
A = 1
2
∫0
π
4
1 + cos4θdθ = π
8
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
2. Calcule el área de la región encerrada dentro de la circunferencia r = 3sinθ
y fuera de la cardioide r = 1 + sinθ.
Solución:
Puntos de intersección:
3sinθ = 1 + sinθ ⇒ sinθ = 1
2
⇒ θ = π
6
, θ = π − π
6
= 5π
6
(en cuadrantes I y II).
A = 1
2
∫ π
6
5π
6
3sinθ2
dθ − 1
2
∫ π
6
5π
6
1 + sinθ2
dθ
Por simetría, se tiene:
A = 1
2
⋅ 2∫ π
6
π
2
9sin2
θdθ − 1
2
⋅ 2∫ π
6
π
2
1 + sinθ2
dθ
A = ∫ π
6
π
2
9sin2
θdθ − ∫ π
6
π
2
1 + sinθ2
dθ
A = ∫ π
6
π
2
9sin2
θ − 1 + sinθ2
dθ
A = ∫ π
6
π
2
8sin2
θ − 1 − 2sinθ dθ
Usando la identidad: sin2
θ =
1 − cos2θ
2
se tiene:
A = ∫ π
6
π
2
8 ⋅
1 − cos2θ
2
− 1 − 2sinθ dθ
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
A = ∫ π
6
π
2
4 − 4cos2θ − 1 − 2sinθdθ
A = ∫ π
6
π
2
3 − 4cos2θ − 2sinθdθ = π
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
3. Calcule el área de la región encerrada por la lemniscata: r2
= 9cos2θ.
Solución:
Por simetría, se calculará 4 veces el área de la porción en el primer cuadrante.
cos2θ = 0 ⇒ θ = π
4
, en el primer cuadrante.
A = 4 ⋅ ∫0
π
4 1
2
r2
dθ = 2∫0
π
4
r2
dθ = 2∫0
π
4
9cos2θdθ
A = 18∫0
π
4
cos2θdθ = 9
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
4. Calcule el área de la región que es interior a la cardioide r = 31 + cosθ
y exterior a la circunferencia r = 3.
Solución:
Puntos de intersección:
31 + cosθ = 3 ⇒ cosθ = 0
⇒ θ = π
2
∨ θ = 3π
2
(menores que 2π)
Por simetría, se calculará dos veces el área de la porción del primer cuadrante
A = 2 ⋅ ∫0
π
2 1
2
31 + cosθ2
dθ − ∫0
π
2 1
2
⋅ 32
dθ
A = ∫0
π
2
91 + cosθ2
dθ − ∫0
π
2
9dθ
A = ∫0
π
2
91 + cosθ2
− 9 dθ
A = 9∫0
π
2
1 + cosθ2
− 1 dθ
A = 9∫0
π
2
2cosθ + cos2
θdθ
A = 9∫0
π
2
2cosθ +
1 + cos2θ
2
dθ
A = 9
2
∫0
π
2
4cosθ + 1 + cos2θdθ = 18 + 9π
4
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
5. Calcule el área de la región interior a r = 2 + cosθ.
Solución:
Por simetría:
A = 2 ⋅ ∫0
π 1
2
r2
dθ = ∫0
π
2 + cosθ2
dθ
A = ∫0
π
4 + 4cosθ + cos2
θdθ
A = ∫0
π
4 + 4cosθ +
1 + cos2θ
2
dθ
A = 1
2
∫0
π
8 + 8cosθ + 1 + cos2θdθ
A = 1
2
∫0
π
9 + 8cosθ + cos2θdθ = 9π
2
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
6. Calcule el área de la región encerrada por r = 4sin2θ.
Solución:
Por simetría, el área será 4 veces el área del pétalo del primer cuadrante
sin2θ = 0 ⇒ θ = 0 ∨ θ = π
2
(considerando el pétalo del primer cuadrante)
A = 4 ⋅ ∫0
π
2 1
2
r2
dθ = 2∫0
π
2
r2
dθ = 2∫0
π
2
4sin2θ2
dθ
A = 32∫0
π
2
sin2
2θdθ = 32∫0
π
2 1 − cos4θ
2
dθ
A = 16∫0
π
2
1 − cos4θdθ = 8π
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
7. Calcule el área de la región exterior a la cardioide r = 1 + cosθ
e interior a la circunferencia r = 3 sinθ.
Solución:
Puntos de intersección:
1 + cosθ = 3 sinθ
1 + cosθ2
= 3sin2
θ
1 + 2cosθ + cos2
θ = 31 − cos2
θ
1 + 2cosθ + cos2
θ − 31 − cos2
θ = 0
−2 + 2cosθ + 4cos2
θ = 0
2cos2
θ + cosθ − 1 = 0
cosθ + 12cosθ − 1 = 0
cosθ + 1 = 0 ∨ 2cosθ − 1 = 0
θ = π
3
∨ θ = π , (valores menores que 2π)
A = 1
2
∫ π
3
π
3 sinθ
2
dθ − 1
2
∫ π
3
π
1 + cosθ2
dθ
A = 1
2
∫ π
3
π
3sin2
θ − 1 + cosθ2
dθ
A = 1
2
∫ π
3
π
3sin2
θ − cos2
θ − 2cosθ − 1 dθ
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
A = 1
2
∫ π
3
π
31 − cos2
θ − cos2
θ − 2cosθ − 1dθ
A = 1
2
∫ π
3
π
2 − 4cos2
θ − 2cosθdθ
A = 1
2
∫ π
3
π
2 − 4
1 + cos2θ
2
− 2cosθ dθ
A = 1
2
∫ π
3
π
−2cos2θ − 2cosθdθ =
3 3
4
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
8. Calcule el área de la región interior a r = 3cosθ y exterior a r = 1 + cosθ.
Solución:
Por simetría, se calculará 2 veces el área de la región del primer cuadrante
Puntos de intersección:
3cosθ = 1 + cosθ ⇒ cosθ = 1
2
⇒ θ = π
3
(valor en primer cuadrante)
A = 2 ⋅ 1
2
∫0
π
3
3cosθ2
dθ − 1
2
∫0
π
3
1 + cosθ2
dθ
A = ∫0
π
3
9cos2
θ − 1 + cosθ2
dθ
A = ∫0
π
3
8cos2
θ − 1 − 2cosθdθ
A = ∫0
π
3
8
1 + cos2θ
2
− 1 − 2cosθ dθ
A = ∫0
π
3
3 + 4cos2θ − 2cosθdθ = π
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
9. Calcule el área de la región interior a r2
= 2cos2θ y exterior a r = 1.
Solución:
Por simetría, se calculará 4 veces el área de la región en el primer cuadrante.
Puntos de intersección:
2cos2θ = 1 ⇒ cos2θ = 1
2
⇒ θ = π
6
, valor en primer cuadrante.
A = 4 ⋅ 1
2
∫0
π
6
2cos2θdθ − 1
2
∫0
π
6
dθ = 2∫0
π
6
2cos2θ − 1dθ = 3 − π
3
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
10. Considere la ecuación polar r = 4sin3θ. Calcule el área de un pétalo.
Solución:
A = 1
2
∫0
π
3
4sin3θ2
dθ = 1
2
∫0
π
3
16sin2
3θdθ
A = 8∫0
π
3
sin2
3θdθ = 8∫0
π
3 1 − cos6θ
2
dθ
A = 4∫0
π
3
1 − cos6θdθ = 4π
3
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
11. Calcule el área de la región interior a las curvas:
r = sinθ y r = cosθ.
Solución:
Puntos de intersección:
sinθ = cosθ ⇒ θ = π
4
, valor en el primer cuadrante.
Por simetría, el área interior a las curvas es 2 veces el área de la región
coloreada con el amarillo más fuerte.
A = 2 ⋅ 1
2
∫0
π
4
sin2
θdθ = ∫0
π
4
sin2
θdθ
A = ∫0
π
4 1 − cos2θ
2
dθ = 1
2
∫0
π
4
1 − cos2θdθ = π
8
− 1
4
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
12. Calcule el área de la región interior a las curvas:
r = sin2θ y r = cos2θ.
Solución:
Puntos de intersección:
sin2θ = cos2θ ⇒ θ = π
8
, menor valor en el primer cuadrante.
Por simetría, el área interior a las curvas es 8 veces el área de la región
coloreada con el amarillo más fuerte. También corresponde a 16 veces el área
de la región sombreada (ver la siguiente figura).
Área en coordenadas polares
Sergio Yansen Núñez
A = 16 ⋅ 1
2
∫0
π
8
sin2
2θdθ = 8∫0
π
8
sin2
2θdθ
A = 8∫0
π
8 1 − cos4θ
2
dθ = 4∫0
π
8
1 − cos4θdθ = π
2
− 1
Área en coordenadas polares

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Tarea 6 de probabilidad y estadistica con respuestas
Tarea 6 de probabilidad y estadistica con respuestasTarea 6 de probabilidad y estadistica con respuestas
Tarea 6 de probabilidad y estadistica con respuestasIPN
 
Ecuaciones Diferenciales - La Transformada de Laplace
Ecuaciones Diferenciales - La Transformada de LaplaceEcuaciones Diferenciales - La Transformada de Laplace
Ecuaciones Diferenciales - La Transformada de LaplaceKike Prieto
 
Problemas resueltos-tensiones-cuerdas
Problemas resueltos-tensiones-cuerdasProblemas resueltos-tensiones-cuerdas
Problemas resueltos-tensiones-cuerdasbeto montero
 
Libro estatica problemas_resueltos
Libro estatica problemas_resueltosLibro estatica problemas_resueltos
Libro estatica problemas_resueltosYordi Flor Alva
 
Energia potencial electrica problemas resueltos-gonzalo revelo pabon
Energia potencial electrica  problemas resueltos-gonzalo revelo pabonEnergia potencial electrica  problemas resueltos-gonzalo revelo pabon
Energia potencial electrica problemas resueltos-gonzalo revelo pabonGONZALO REVELO PABON . GORETTI
 
Fuentes de campo magnetico 2. ing Carlos Moreno. ESPOL
Fuentes de campo magnetico 2. ing Carlos Moreno. ESPOLFuentes de campo magnetico 2. ing Carlos Moreno. ESPOL
Fuentes de campo magnetico 2. ing Carlos Moreno. ESPOLFrancisco Rivas
 
Electrostatica resueltos
Electrostatica resueltosElectrostatica resueltos
Electrostatica resueltosurrutia9
 
Ejercicios resueltos(f.vectoriales)(1)
Ejercicios resueltos(f.vectoriales)(1)Ejercicios resueltos(f.vectoriales)(1)
Ejercicios resueltos(f.vectoriales)(1)ratix
 
Fuentes de campo magnetico
Fuentes de campo magneticoFuentes de campo magnetico
Fuentes de campo magneticoVelmuz Buzz
 
Estatica ejerciciosresueltos 25 de febrero
Estatica ejerciciosresueltos 25 de febreroEstatica ejerciciosresueltos 25 de febrero
Estatica ejerciciosresueltos 25 de febreroJosue Echenagucia
 
Formulas de derivadas e integrales
Formulas de derivadas e integralesFormulas de derivadas e integrales
Formulas de derivadas e integralesIvan Vera Montenegro
 
Centroides y momentos de inercia
Centroides y momentos de inerciaCentroides y momentos de inercia
Centroides y momentos de inerciaAlan Aguilar Perez
 
Formulario de integrales
Formulario de integralesFormulario de integrales
Formulario de integralesAndres Mendoza
 
Resolucion problemas de optica
Resolucion problemas de opticaResolucion problemas de optica
Resolucion problemas de opticaJosé Miranda
 
Tabla centroide-momento-inercia
Tabla centroide-momento-inerciaTabla centroide-momento-inercia
Tabla centroide-momento-inerciaJaime Pérez
 
Dominio de una funcion vectorial - UNSCH
Dominio de una funcion vectorial - UNSCHDominio de una funcion vectorial - UNSCH
Dominio de una funcion vectorial - UNSCHDarcknes
 
Ley de gauss. ing. carlos moreno (ESPOL)
Ley de gauss. ing. carlos moreno (ESPOL)Ley de gauss. ing. carlos moreno (ESPOL)
Ley de gauss. ing. carlos moreno (ESPOL)Francisco Rivas
 
PROBLEMAS RESUELTOS ESTATICA - Phd. Genner Villarreal Castro
PROBLEMAS RESUELTOS ESTATICA - Phd. Genner Villarreal CastroPROBLEMAS RESUELTOS ESTATICA - Phd. Genner Villarreal Castro
PROBLEMAS RESUELTOS ESTATICA - Phd. Genner Villarreal CastroGiancarlos Villalobos Romero
 
Problemas resueltos-cap-4-fisica-serway
Problemas resueltos-cap-4-fisica-serwayProblemas resueltos-cap-4-fisica-serway
Problemas resueltos-cap-4-fisica-serwayJamil Agualongo
 
Problemas resueltos-cap-28-fisica-serway
Problemas resueltos-cap-28-fisica-serwayProblemas resueltos-cap-28-fisica-serway
Problemas resueltos-cap-28-fisica-serwayEsteban Esteb
 

La actualidad más candente (20)

Tarea 6 de probabilidad y estadistica con respuestas
Tarea 6 de probabilidad y estadistica con respuestasTarea 6 de probabilidad y estadistica con respuestas
Tarea 6 de probabilidad y estadistica con respuestas
 
Ecuaciones Diferenciales - La Transformada de Laplace
Ecuaciones Diferenciales - La Transformada de LaplaceEcuaciones Diferenciales - La Transformada de Laplace
Ecuaciones Diferenciales - La Transformada de Laplace
 
Problemas resueltos-tensiones-cuerdas
Problemas resueltos-tensiones-cuerdasProblemas resueltos-tensiones-cuerdas
Problemas resueltos-tensiones-cuerdas
 
Libro estatica problemas_resueltos
Libro estatica problemas_resueltosLibro estatica problemas_resueltos
Libro estatica problemas_resueltos
 
Energia potencial electrica problemas resueltos-gonzalo revelo pabon
Energia potencial electrica  problemas resueltos-gonzalo revelo pabonEnergia potencial electrica  problemas resueltos-gonzalo revelo pabon
Energia potencial electrica problemas resueltos-gonzalo revelo pabon
 
Fuentes de campo magnetico 2. ing Carlos Moreno. ESPOL
Fuentes de campo magnetico 2. ing Carlos Moreno. ESPOLFuentes de campo magnetico 2. ing Carlos Moreno. ESPOL
Fuentes de campo magnetico 2. ing Carlos Moreno. ESPOL
 
Electrostatica resueltos
Electrostatica resueltosElectrostatica resueltos
Electrostatica resueltos
 
Ejercicios resueltos(f.vectoriales)(1)
Ejercicios resueltos(f.vectoriales)(1)Ejercicios resueltos(f.vectoriales)(1)
Ejercicios resueltos(f.vectoriales)(1)
 
Fuentes de campo magnetico
Fuentes de campo magneticoFuentes de campo magnetico
Fuentes de campo magnetico
 
Estatica ejerciciosresueltos 25 de febrero
Estatica ejerciciosresueltos 25 de febreroEstatica ejerciciosresueltos 25 de febrero
Estatica ejerciciosresueltos 25 de febrero
 
Formulas de derivadas e integrales
Formulas de derivadas e integralesFormulas de derivadas e integrales
Formulas de derivadas e integrales
 
Centroides y momentos de inercia
Centroides y momentos de inerciaCentroides y momentos de inercia
Centroides y momentos de inercia
 
Formulario de integrales
Formulario de integralesFormulario de integrales
Formulario de integrales
 
Resolucion problemas de optica
Resolucion problemas de opticaResolucion problemas de optica
Resolucion problemas de optica
 
Tabla centroide-momento-inercia
Tabla centroide-momento-inerciaTabla centroide-momento-inercia
Tabla centroide-momento-inercia
 
Dominio de una funcion vectorial - UNSCH
Dominio de una funcion vectorial - UNSCHDominio de una funcion vectorial - UNSCH
Dominio de una funcion vectorial - UNSCH
 
Ley de gauss. ing. carlos moreno (ESPOL)
Ley de gauss. ing. carlos moreno (ESPOL)Ley de gauss. ing. carlos moreno (ESPOL)
Ley de gauss. ing. carlos moreno (ESPOL)
 
PROBLEMAS RESUELTOS ESTATICA - Phd. Genner Villarreal Castro
PROBLEMAS RESUELTOS ESTATICA - Phd. Genner Villarreal CastroPROBLEMAS RESUELTOS ESTATICA - Phd. Genner Villarreal Castro
PROBLEMAS RESUELTOS ESTATICA - Phd. Genner Villarreal Castro
 
Problemas resueltos-cap-4-fisica-serway
Problemas resueltos-cap-4-fisica-serwayProblemas resueltos-cap-4-fisica-serway
Problemas resueltos-cap-4-fisica-serway
 
Problemas resueltos-cap-28-fisica-serway
Problemas resueltos-cap-28-fisica-serwayProblemas resueltos-cap-28-fisica-serway
Problemas resueltos-cap-28-fisica-serway
 

Destacado

Aplicacion de la integral
Aplicacion de la integralAplicacion de la integral
Aplicacion de la integralRAFA Ortega
 
Cálculo de área de una curva en coordenadas polares
Cálculo de área de una curva en coordenadas polaresCálculo de área de una curva en coordenadas polares
Cálculo de área de una curva en coordenadas polaresGil Sandro Gómez Santos
 
Coordenadas Polares
Coordenadas PolaresCoordenadas Polares
Coordenadas PolaresERICK CONDE
 
integral doble ejercicios resueltos método conversión polares a rectangulares
integral doble ejercicios resueltos método conversión polares a rectangulares integral doble ejercicios resueltos método conversión polares a rectangulares
integral doble ejercicios resueltos método conversión polares a rectangulares Edwin Alexis SemiNArio Beltran
 
Coordenadas polares
Coordenadas polaresCoordenadas polares
Coordenadas polaresEmma
 
Aplicación de integrales
Aplicación de integralesAplicación de integrales
Aplicación de integralespercyvasquez
 
Integrales multiples
Integrales multiplesIntegrales multiples
Integrales multiplesEms Es
 
DEMIDOVICH problemas y ejercicios de Analisis Matematico
DEMIDOVICH problemas y ejercicios de Analisis MatematicoDEMIDOVICH problemas y ejercicios de Analisis Matematico
DEMIDOVICH problemas y ejercicios de Analisis MatematicoHernan Jesus Quispe Gutierrez
 

Destacado (11)

Aplicacion de la integral
Aplicacion de la integralAplicacion de la integral
Aplicacion de la integral
 
Cálculo de área de una curva en coordenadas polares
Cálculo de área de una curva en coordenadas polaresCálculo de área de una curva en coordenadas polares
Cálculo de área de una curva en coordenadas polares
 
Coordenadas Polares
Coordenadas PolaresCoordenadas Polares
Coordenadas Polares
 
Coordenadas polares
Coordenadas polaresCoordenadas polares
Coordenadas polares
 
Presentacion 4
Presentacion 4Presentacion 4
Presentacion 4
 
integral doble ejercicios resueltos método conversión polares a rectangulares
integral doble ejercicios resueltos método conversión polares a rectangulares integral doble ejercicios resueltos método conversión polares a rectangulares
integral doble ejercicios resueltos método conversión polares a rectangulares
 
Coordenadas polares
Coordenadas polaresCoordenadas polares
Coordenadas polares
 
Aplicación de integrales
Aplicación de integralesAplicación de integrales
Aplicación de integrales
 
Integrales multiples
Integrales multiplesIntegrales multiples
Integrales multiples
 
SUMAS DE RIEMANN
SUMAS DE RIEMANNSUMAS DE RIEMANN
SUMAS DE RIEMANN
 
DEMIDOVICH problemas y ejercicios de Analisis Matematico
DEMIDOVICH problemas y ejercicios de Analisis MatematicoDEMIDOVICH problemas y ejercicios de Analisis Matematico
DEMIDOVICH problemas y ejercicios de Analisis Matematico
 

Similar a Area en-coordenadas-polares3

Similar a Area en-coordenadas-polares3 (20)

Trabajocoordenadas
TrabajocoordenadasTrabajocoordenadas
Trabajocoordenadas
 
Trabajocoordenadas
TrabajocoordenadasTrabajocoordenadas
Trabajocoordenadas
 
Trigonometria
TrigonometriaTrigonometria
Trigonometria
 
Ciencias1
Ciencias1Ciencias1
Ciencias1
 
Sol6
Sol6Sol6
Sol6
 
Semana 10 identidades trigonometricas de angulos triple sx
Semana 10 identidades trigonometricas de angulos triple sxSemana 10 identidades trigonometricas de angulos triple sx
Semana 10 identidades trigonometricas de angulos triple sx
 
Green teorema
Green teoremaGreen teorema
Green teorema
 
Green
GreenGreen
Green
 
Semana10 identidades trigonometricas_dobles
Semana10 identidades trigonometricas_doblesSemana10 identidades trigonometricas_dobles
Semana10 identidades trigonometricas_dobles
 
Ejercicio resuelto: Entretenimiento
Ejercicio resuelto: EntretenimientoEjercicio resuelto: Entretenimiento
Ejercicio resuelto: Entretenimiento
 
Semana 9 identidades trigonometricas de angulos dobles
Semana 9 identidades trigonometricas de angulos doblesSemana 9 identidades trigonometricas de angulos dobles
Semana 9 identidades trigonometricas de angulos dobles
 
Ángulos horizontales
Ángulos horizontalesÁngulos horizontales
Ángulos horizontales
 
Semana 12 ecuaciones e inecuaciones trigonometricas
Semana 12 ecuaciones e inecuaciones trigonometricasSemana 12 ecuaciones e inecuaciones trigonometricas
Semana 12 ecuaciones e inecuaciones trigonometricas
 
wert ttt ttt
wert ttt tttwert ttt ttt
wert ttt ttt
 
Ejercicios detallados del obj 4 mat iii 733
Ejercicios detallados del obj 4 mat iii  733 Ejercicios detallados del obj 4 mat iii  733
Ejercicios detallados del obj 4 mat iii 733
 
Trabajo practico 1_luis Alfredo hurtado 20666156
Trabajo practico 1_luis Alfredo hurtado 20666156Trabajo practico 1_luis Alfredo hurtado 20666156
Trabajo practico 1_luis Alfredo hurtado 20666156
 
Balotario de trigonometria agostoo 2013 seleccion
Balotario de trigonometria agostoo  2013 seleccionBalotario de trigonometria agostoo  2013 seleccion
Balotario de trigonometria agostoo 2013 seleccion
 
8 integrales
8 integrales8 integrales
8 integrales
 
Identidades trigonometricas
Identidades trigonometricasIdentidades trigonometricas
Identidades trigonometricas
 
Cap
CapCap
Cap
 

Último

Libros del Ministerio de Educación (2023-2024).pdf
Libros del Ministerio de Educación (2023-2024).pdfLibros del Ministerio de Educación (2023-2024).pdf
Libros del Ministerio de Educación (2023-2024).pdfGalletitas default
 
Plantilla de Bitácora Participación Estudiantil Ecuador
Plantilla de Bitácora Participación Estudiantil EcuadorPlantilla de Bitácora Participación Estudiantil Ecuador
Plantilla de Bitácora Participación Estudiantil EcuadorJose Santos
 
EFEMERIDES DEL MES DE MAYO PERIODICO MURAL.pdf
EFEMERIDES DEL MES DE MAYO PERIODICO MURAL.pdfEFEMERIDES DEL MES DE MAYO PERIODICO MURAL.pdf
EFEMERIDES DEL MES DE MAYO PERIODICO MURAL.pdfsalazarjhomary
 
Evaluación de los Factores Externos de la Organización.
Evaluación de los Factores Externos de la Organización.Evaluación de los Factores Externos de la Organización.
Evaluación de los Factores Externos de la Organización.JonathanCovena1
 
El liderazgo en la empresa sostenible, introducción, definición y ejemplo.
El liderazgo en la empresa sostenible, introducción, definición y ejemplo.El liderazgo en la empresa sostenible, introducción, definición y ejemplo.
El liderazgo en la empresa sostenible, introducción, definición y ejemplo.JonathanCovena1
 
Programa dia de las madres para la convi
Programa dia de las madres para la conviPrograma dia de las madres para la convi
Programa dia de las madres para la convikevinmolina060703
 
SESION DE APRENDIZAJE PARA3ER GRADO -EL SISTEMA DIGESTIVO
SESION DE APRENDIZAJE PARA3ER GRADO -EL SISTEMA DIGESTIVOSESION DE APRENDIZAJE PARA3ER GRADO -EL SISTEMA DIGESTIVO
SESION DE APRENDIZAJE PARA3ER GRADO -EL SISTEMA DIGESTIVOJuanaBellidocollahua
 
Estudios Sociales libro 8vo grado Básico
Estudios Sociales libro 8vo grado BásicoEstudios Sociales libro 8vo grado Básico
Estudios Sociales libro 8vo grado Básicomaxgamesofficial15
 
Las Preguntas Educativas entran a las Aulas CIAESA Ccesa007.pdf
Las Preguntas Educativas entran a las Aulas CIAESA  Ccesa007.pdfLas Preguntas Educativas entran a las Aulas CIAESA  Ccesa007.pdf
Las Preguntas Educativas entran a las Aulas CIAESA Ccesa007.pdfDemetrio Ccesa Rayme
 
Lineamientos de la Escuela de la Confianza SJA Ccesa.pptx
Lineamientos de la Escuela de la Confianza  SJA  Ccesa.pptxLineamientos de la Escuela de la Confianza  SJA  Ccesa.pptx
Lineamientos de la Escuela de la Confianza SJA Ccesa.pptxDemetrio Ccesa Rayme
 
ciclos biogeoquimicas y flujo de materia ecosistemas
ciclos biogeoquimicas y flujo de materia ecosistemasciclos biogeoquimicas y flujo de materia ecosistemas
ciclos biogeoquimicas y flujo de materia ecosistemasFlor Idalia Espinoza Ortega
 
Proyecto de Participación Estudiantil Completo - Bachillerato Ecuador
Proyecto de Participación Estudiantil Completo - Bachillerato EcuadorProyecto de Participación Estudiantil Completo - Bachillerato Ecuador
Proyecto de Participación Estudiantil Completo - Bachillerato EcuadorJose Santos
 
Escucha tu Cerebro en Nuevos Escenarios PE3 Ccesa007.pdf
Escucha tu Cerebro en Nuevos Escenarios  PE3  Ccesa007.pdfEscucha tu Cerebro en Nuevos Escenarios  PE3  Ccesa007.pdf
Escucha tu Cerebro en Nuevos Escenarios PE3 Ccesa007.pdfDemetrio Ccesa Rayme
 
DISEÑO DE ESTRATEGIAS EN MOMENTOS DE INCERTIDUMBRE.pdf
DISEÑO DE ESTRATEGIAS EN MOMENTOS DE INCERTIDUMBRE.pdfDISEÑO DE ESTRATEGIAS EN MOMENTOS DE INCERTIDUMBRE.pdf
DISEÑO DE ESTRATEGIAS EN MOMENTOS DE INCERTIDUMBRE.pdfVerenice Del Rio
 
POEMAS ILUSTRADOS DE LUÍSA VILLALTA. Elaborados polos alumnos de 4º PDC do IE...
POEMAS ILUSTRADOS DE LUÍSA VILLALTA. Elaborados polos alumnos de 4º PDC do IE...POEMAS ILUSTRADOS DE LUÍSA VILLALTA. Elaborados polos alumnos de 4º PDC do IE...
POEMAS ILUSTRADOS DE LUÍSA VILLALTA. Elaborados polos alumnos de 4º PDC do IE...Agrela Elvixeo
 

Último (20)

Libros del Ministerio de Educación (2023-2024).pdf
Libros del Ministerio de Educación (2023-2024).pdfLibros del Ministerio de Educación (2023-2024).pdf
Libros del Ministerio de Educación (2023-2024).pdf
 
Plantilla de Bitácora Participación Estudiantil Ecuador
Plantilla de Bitácora Participación Estudiantil EcuadorPlantilla de Bitácora Participación Estudiantil Ecuador
Plantilla de Bitácora Participación Estudiantil Ecuador
 
Salud mental y bullying en adolescentes.
Salud mental y bullying en adolescentes.Salud mental y bullying en adolescentes.
Salud mental y bullying en adolescentes.
 
EFEMERIDES DEL MES DE MAYO PERIODICO MURAL.pdf
EFEMERIDES DEL MES DE MAYO PERIODICO MURAL.pdfEFEMERIDES DEL MES DE MAYO PERIODICO MURAL.pdf
EFEMERIDES DEL MES DE MAYO PERIODICO MURAL.pdf
 
Evaluación de los Factores Externos de la Organización.
Evaluación de los Factores Externos de la Organización.Evaluación de los Factores Externos de la Organización.
Evaluación de los Factores Externos de la Organización.
 
Motivados por la esperanza. Esperanza en Jesús
Motivados por la esperanza. Esperanza en JesúsMotivados por la esperanza. Esperanza en Jesús
Motivados por la esperanza. Esperanza en Jesús
 
El liderazgo en la empresa sostenible, introducción, definición y ejemplo.
El liderazgo en la empresa sostenible, introducción, definición y ejemplo.El liderazgo en la empresa sostenible, introducción, definición y ejemplo.
El liderazgo en la empresa sostenible, introducción, definición y ejemplo.
 
Programa dia de las madres para la convi
Programa dia de las madres para la conviPrograma dia de las madres para la convi
Programa dia de las madres para la convi
 
SESION DE APRENDIZAJE PARA3ER GRADO -EL SISTEMA DIGESTIVO
SESION DE APRENDIZAJE PARA3ER GRADO -EL SISTEMA DIGESTIVOSESION DE APRENDIZAJE PARA3ER GRADO -EL SISTEMA DIGESTIVO
SESION DE APRENDIZAJE PARA3ER GRADO -EL SISTEMA DIGESTIVO
 
Estudios Sociales libro 8vo grado Básico
Estudios Sociales libro 8vo grado BásicoEstudios Sociales libro 8vo grado Básico
Estudios Sociales libro 8vo grado Básico
 
Las Preguntas Educativas entran a las Aulas CIAESA Ccesa007.pdf
Las Preguntas Educativas entran a las Aulas CIAESA  Ccesa007.pdfLas Preguntas Educativas entran a las Aulas CIAESA  Ccesa007.pdf
Las Preguntas Educativas entran a las Aulas CIAESA Ccesa007.pdf
 
Lineamientos de la Escuela de la Confianza SJA Ccesa.pptx
Lineamientos de la Escuela de la Confianza  SJA  Ccesa.pptxLineamientos de la Escuela de la Confianza  SJA  Ccesa.pptx
Lineamientos de la Escuela de la Confianza SJA Ccesa.pptx
 
TÉCNICAS OBSERVACIONALES Y TEXTUALES.pdf
TÉCNICAS OBSERVACIONALES Y TEXTUALES.pdfTÉCNICAS OBSERVACIONALES Y TEXTUALES.pdf
TÉCNICAS OBSERVACIONALES Y TEXTUALES.pdf
 
flujo de materia y energía ecosistemas.
flujo de materia y  energía ecosistemas.flujo de materia y  energía ecosistemas.
flujo de materia y energía ecosistemas.
 
¿Que es Fuerza? online 2024 Repaso CRECE.pptx
¿Que es Fuerza? online 2024 Repaso CRECE.pptx¿Que es Fuerza? online 2024 Repaso CRECE.pptx
¿Que es Fuerza? online 2024 Repaso CRECE.pptx
 
ciclos biogeoquimicas y flujo de materia ecosistemas
ciclos biogeoquimicas y flujo de materia ecosistemasciclos biogeoquimicas y flujo de materia ecosistemas
ciclos biogeoquimicas y flujo de materia ecosistemas
 
Proyecto de Participación Estudiantil Completo - Bachillerato Ecuador
Proyecto de Participación Estudiantil Completo - Bachillerato EcuadorProyecto de Participación Estudiantil Completo - Bachillerato Ecuador
Proyecto de Participación Estudiantil Completo - Bachillerato Ecuador
 
Escucha tu Cerebro en Nuevos Escenarios PE3 Ccesa007.pdf
Escucha tu Cerebro en Nuevos Escenarios  PE3  Ccesa007.pdfEscucha tu Cerebro en Nuevos Escenarios  PE3  Ccesa007.pdf
Escucha tu Cerebro en Nuevos Escenarios PE3 Ccesa007.pdf
 
DISEÑO DE ESTRATEGIAS EN MOMENTOS DE INCERTIDUMBRE.pdf
DISEÑO DE ESTRATEGIAS EN MOMENTOS DE INCERTIDUMBRE.pdfDISEÑO DE ESTRATEGIAS EN MOMENTOS DE INCERTIDUMBRE.pdf
DISEÑO DE ESTRATEGIAS EN MOMENTOS DE INCERTIDUMBRE.pdf
 
POEMAS ILUSTRADOS DE LUÍSA VILLALTA. Elaborados polos alumnos de 4º PDC do IE...
POEMAS ILUSTRADOS DE LUÍSA VILLALTA. Elaborados polos alumnos de 4º PDC do IE...POEMAS ILUSTRADOS DE LUÍSA VILLALTA. Elaborados polos alumnos de 4º PDC do IE...
POEMAS ILUSTRADOS DE LUÍSA VILLALTA. Elaborados polos alumnos de 4º PDC do IE...
 

Area en-coordenadas-polares3

  • 1. Sergio Yansen Núñez 1. Calcule el área de la región encerrada por uno de los cuatro pétalos de la rosa r = cos2θ. Solución: Los límites de integración se obtienen de las soluciones de la ecuación: cos2θ = 0 ⇒ θ = π 4 , en el primer cuadrante. A = ∫− π 4 π 4 1 2 r2 dθ = 1 2 ∫− π 4 π 4 r2 dθ = 1 2 ∫− π 4 π 4 cos2 2θdθ Por simetría: A = 1 2 ⋅ 2∫0 π 4 cos2 2θdθ = ∫0 π 4 cos2 2θdθ = ∫0 π 4 1 + cos4θ 2 dθ A = 1 2 ∫0 π 4 1 + cos4θdθ = π 8 Área en coordenadas polares
  • 2. Sergio Yansen Núñez 2. Calcule el área de la región encerrada dentro de la circunferencia r = 3sinθ y fuera de la cardioide r = 1 + sinθ. Solución: Puntos de intersección: 3sinθ = 1 + sinθ ⇒ sinθ = 1 2 ⇒ θ = π 6 , θ = π − π 6 = 5π 6 (en cuadrantes I y II). A = 1 2 ∫ π 6 5π 6 3sinθ2 dθ − 1 2 ∫ π 6 5π 6 1 + sinθ2 dθ Por simetría, se tiene: A = 1 2 ⋅ 2∫ π 6 π 2 9sin2 θdθ − 1 2 ⋅ 2∫ π 6 π 2 1 + sinθ2 dθ A = ∫ π 6 π 2 9sin2 θdθ − ∫ π 6 π 2 1 + sinθ2 dθ A = ∫ π 6 π 2 9sin2 θ − 1 + sinθ2 dθ A = ∫ π 6 π 2 8sin2 θ − 1 − 2sinθ dθ Usando la identidad: sin2 θ = 1 − cos2θ 2 se tiene: A = ∫ π 6 π 2 8 ⋅ 1 − cos2θ 2 − 1 − 2sinθ dθ Área en coordenadas polares
  • 3. Sergio Yansen Núñez A = ∫ π 6 π 2 4 − 4cos2θ − 1 − 2sinθdθ A = ∫ π 6 π 2 3 − 4cos2θ − 2sinθdθ = π Área en coordenadas polares
  • 4. Sergio Yansen Núñez 3. Calcule el área de la región encerrada por la lemniscata: r2 = 9cos2θ. Solución: Por simetría, se calculará 4 veces el área de la porción en el primer cuadrante. cos2θ = 0 ⇒ θ = π 4 , en el primer cuadrante. A = 4 ⋅ ∫0 π 4 1 2 r2 dθ = 2∫0 π 4 r2 dθ = 2∫0 π 4 9cos2θdθ A = 18∫0 π 4 cos2θdθ = 9 Área en coordenadas polares
  • 5. Sergio Yansen Núñez 4. Calcule el área de la región que es interior a la cardioide r = 31 + cosθ y exterior a la circunferencia r = 3. Solución: Puntos de intersección: 31 + cosθ = 3 ⇒ cosθ = 0 ⇒ θ = π 2 ∨ θ = 3π 2 (menores que 2π) Por simetría, se calculará dos veces el área de la porción del primer cuadrante A = 2 ⋅ ∫0 π 2 1 2 31 + cosθ2 dθ − ∫0 π 2 1 2 ⋅ 32 dθ A = ∫0 π 2 91 + cosθ2 dθ − ∫0 π 2 9dθ A = ∫0 π 2 91 + cosθ2 − 9 dθ A = 9∫0 π 2 1 + cosθ2 − 1 dθ A = 9∫0 π 2 2cosθ + cos2 θdθ A = 9∫0 π 2 2cosθ + 1 + cos2θ 2 dθ A = 9 2 ∫0 π 2 4cosθ + 1 + cos2θdθ = 18 + 9π 4 Área en coordenadas polares
  • 6. Sergio Yansen Núñez 5. Calcule el área de la región interior a r = 2 + cosθ. Solución: Por simetría: A = 2 ⋅ ∫0 π 1 2 r2 dθ = ∫0 π 2 + cosθ2 dθ A = ∫0 π 4 + 4cosθ + cos2 θdθ A = ∫0 π 4 + 4cosθ + 1 + cos2θ 2 dθ A = 1 2 ∫0 π 8 + 8cosθ + 1 + cos2θdθ A = 1 2 ∫0 π 9 + 8cosθ + cos2θdθ = 9π 2 Área en coordenadas polares
  • 7. Sergio Yansen Núñez 6. Calcule el área de la región encerrada por r = 4sin2θ. Solución: Por simetría, el área será 4 veces el área del pétalo del primer cuadrante sin2θ = 0 ⇒ θ = 0 ∨ θ = π 2 (considerando el pétalo del primer cuadrante) A = 4 ⋅ ∫0 π 2 1 2 r2 dθ = 2∫0 π 2 r2 dθ = 2∫0 π 2 4sin2θ2 dθ A = 32∫0 π 2 sin2 2θdθ = 32∫0 π 2 1 − cos4θ 2 dθ A = 16∫0 π 2 1 − cos4θdθ = 8π Área en coordenadas polares
  • 8. Sergio Yansen Núñez 7. Calcule el área de la región exterior a la cardioide r = 1 + cosθ e interior a la circunferencia r = 3 sinθ. Solución: Puntos de intersección: 1 + cosθ = 3 sinθ 1 + cosθ2 = 3sin2 θ 1 + 2cosθ + cos2 θ = 31 − cos2 θ 1 + 2cosθ + cos2 θ − 31 − cos2 θ = 0 −2 + 2cosθ + 4cos2 θ = 0 2cos2 θ + cosθ − 1 = 0 cosθ + 12cosθ − 1 = 0 cosθ + 1 = 0 ∨ 2cosθ − 1 = 0 θ = π 3 ∨ θ = π , (valores menores que 2π) A = 1 2 ∫ π 3 π 3 sinθ 2 dθ − 1 2 ∫ π 3 π 1 + cosθ2 dθ A = 1 2 ∫ π 3 π 3sin2 θ − 1 + cosθ2 dθ A = 1 2 ∫ π 3 π 3sin2 θ − cos2 θ − 2cosθ − 1 dθ Área en coordenadas polares
  • 9. Sergio Yansen Núñez A = 1 2 ∫ π 3 π 31 − cos2 θ − cos2 θ − 2cosθ − 1dθ A = 1 2 ∫ π 3 π 2 − 4cos2 θ − 2cosθdθ A = 1 2 ∫ π 3 π 2 − 4 1 + cos2θ 2 − 2cosθ dθ A = 1 2 ∫ π 3 π −2cos2θ − 2cosθdθ = 3 3 4 Área en coordenadas polares
  • 10. Sergio Yansen Núñez 8. Calcule el área de la región interior a r = 3cosθ y exterior a r = 1 + cosθ. Solución: Por simetría, se calculará 2 veces el área de la región del primer cuadrante Puntos de intersección: 3cosθ = 1 + cosθ ⇒ cosθ = 1 2 ⇒ θ = π 3 (valor en primer cuadrante) A = 2 ⋅ 1 2 ∫0 π 3 3cosθ2 dθ − 1 2 ∫0 π 3 1 + cosθ2 dθ A = ∫0 π 3 9cos2 θ − 1 + cosθ2 dθ A = ∫0 π 3 8cos2 θ − 1 − 2cosθdθ A = ∫0 π 3 8 1 + cos2θ 2 − 1 − 2cosθ dθ A = ∫0 π 3 3 + 4cos2θ − 2cosθdθ = π Área en coordenadas polares
  • 11. Sergio Yansen Núñez 9. Calcule el área de la región interior a r2 = 2cos2θ y exterior a r = 1. Solución: Por simetría, se calculará 4 veces el área de la región en el primer cuadrante. Puntos de intersección: 2cos2θ = 1 ⇒ cos2θ = 1 2 ⇒ θ = π 6 , valor en primer cuadrante. A = 4 ⋅ 1 2 ∫0 π 6 2cos2θdθ − 1 2 ∫0 π 6 dθ = 2∫0 π 6 2cos2θ − 1dθ = 3 − π 3 Área en coordenadas polares
  • 12. Sergio Yansen Núñez 10. Considere la ecuación polar r = 4sin3θ. Calcule el área de un pétalo. Solución: A = 1 2 ∫0 π 3 4sin3θ2 dθ = 1 2 ∫0 π 3 16sin2 3θdθ A = 8∫0 π 3 sin2 3θdθ = 8∫0 π 3 1 − cos6θ 2 dθ A = 4∫0 π 3 1 − cos6θdθ = 4π 3 Área en coordenadas polares
  • 13. Sergio Yansen Núñez 11. Calcule el área de la región interior a las curvas: r = sinθ y r = cosθ. Solución: Puntos de intersección: sinθ = cosθ ⇒ θ = π 4 , valor en el primer cuadrante. Por simetría, el área interior a las curvas es 2 veces el área de la región coloreada con el amarillo más fuerte. A = 2 ⋅ 1 2 ∫0 π 4 sin2 θdθ = ∫0 π 4 sin2 θdθ A = ∫0 π 4 1 − cos2θ 2 dθ = 1 2 ∫0 π 4 1 − cos2θdθ = π 8 − 1 4 Área en coordenadas polares
  • 14. Sergio Yansen Núñez 12. Calcule el área de la región interior a las curvas: r = sin2θ y r = cos2θ. Solución: Puntos de intersección: sin2θ = cos2θ ⇒ θ = π 8 , menor valor en el primer cuadrante. Por simetría, el área interior a las curvas es 8 veces el área de la región coloreada con el amarillo más fuerte. También corresponde a 16 veces el área de la región sombreada (ver la siguiente figura). Área en coordenadas polares
  • 15. Sergio Yansen Núñez A = 16 ⋅ 1 2 ∫0 π 8 sin2 2θdθ = 8∫0 π 8 sin2 2θdθ A = 8∫0 π 8 1 − cos4θ 2 dθ = 4∫0 π 8 1 − cos4θdθ = π 2 − 1 Área en coordenadas polares