Este documento describe el método de superposición para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. El método implica proponer una solución particular de la forma de funciones como polinomios, exponenciales o funciones trigonométricas con coeficientes desconocidos, y luego determinar esos coeficientes sustituyendo en la ecuación diferencial original. Se proveen ejemplos para ilustrar cómo aplicar el método a diferentes tipos de funciones.

1. COEFICIENTES INDETERMINADOS -MÉTODO SUPERPOSICIÓN-Por: Xavier Jaramillo

2. Pablo Torres

3. Jorge Luis VeintimillaINTRODUCCIÓNPara resolver un sistema de ecuaciones por el teorema de coeficientes indeterminados existen dos métodos de resolución: Método de Superposición

4. Método del Anulador.El Método de Superposición nos permite determinar una función complementaria para así hallar la solución particular de una ecuación dada.

5. MÉTODO SUPERPOSICIÓNEste método nos permite encontrar una solución particular Yp(x) para las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden de la forma:donde a, b, c son constantes y

6. El método es aplicable también cuando la función:Consiste de una suma y productos finitos de funciones polinomiales, exponenciales, trigonométricas. Así mismo, pueden considerarse ecuaciones diferenciales no homogéneas con coeficientes constantes de orden superior.El enfoque del método de coeficientes indeterminados se basa en tres principios de derivación de funciones :1.Cuando derivamos un polinomio, el grado de éste disminuye en uno.Si g(x) = bkxk+bk-1xk-1 +…..+b1X+bQ entonces g‘(x) = kbkxk-1 + (k-1)bk-1xk-2 +…… + b1. Evidentemente si derivamos dos veces p, su grado disminuye en dos.

7. 2.Al derivar una función exponencial, la función "casi no cambia". Si g(x) = eaxentoncesg'(x) — aeax — ag(x). La derivada es casi la función g (salvo por la constante multiplicativa a). 3.Si derivamos g{x) = senmx pasamos al coseno: g'{x) = m cosmx.Si derivamos g{x) = cosmx pasamos al seno: g'{x) = —m senmx.Si derivamos dos veces g{x) = senmx regresamos casi a g(x), g"(x) =-m2 senmx.Si derivamos dos veces g(x) = cosmx regresamos casi a g(x), g"{x) = -m2cosmx.Una solución particular tendrá la misma forma que g(x), excepto cuando g es una solución de la ecuación homogénea.En esencia, el método consiste en proponer una solución particular que contenga uno o más coeficientes desconocidos. Entonces sustituimos esta solución propuesta en la ecuación diferencial y escogemos los coeficientes de tal manera que la función efectivamente satisfaga la ecuación.

8. Casos especiales para hallar una solución particular , dependiendo de la forma de g(x).CASO 1. g(x) = Pn(x) = anxn + an-1xn-1+ …+ a1x + a0. En este caso la ecuación diferencial toma la forma:Proponemos una solución particular de la forma:Sustituyendo yp, y'p y y´´p enResulta:

9. O equivalentemente :y comparando coeficientes obtenemos elsistema de ecuaciones :Si c ≠ O de la primera ecuación determinamos An y de las restantes los demás coeficientes.Si c =0 pero b≠0, el polinomio en el miembro izquierdo es de grado n — 1 y dicha ecuación no puede satisfacerse. Así que si c = 0 proponemos:y procedemos como antes para determinar An, An-1 , . . . , A0. Nótese además que si c = 0una constante es solución de la ecuación diferencial homogénea.Si tanto b = 0 como c = 0 (1 y x son soluciones de la homogénea), se propone: aunque ahora la ecuación diferencial puede integrarse directamente.

10. CASO 2. g(x) = eaxPn(x), donde Pn(x) es un polinomio de grado n.Tenemos ahora la euación:Son posibles los siguientes subcasos.a) a no es una raíz de la ecuación auxiliarEn este caso, es preciso hallar una solución particular de la forma:En efecto, introduciendo yp, y'v y y^ en:y dividiendo por eax se sigue que:Ya que grado (Qn(x)) = n, grado(Qn´(x)) = n - l y grado(Qn´´(x)) = n - 2, los polinomios en ambos miembros son de grado n. Igualando los coeficientes de las mismas potencias de x se obtiene un sistema de n+1 ecuaciones que determina los valores de: An, A n-1, . . . , A0.

11. CASO 3. g(x) = P(x)eaxCosβx + Q(x)eaxsenβ x, donde P(x) y Q(x) son polinomios.Podemos examinar este caso en forma análoga al caso II, usando que:por lo cual :Y considerando de manera independiente las partes real e imaginaria, podemos hallar soluciones que no contengan números complejos de la siguiente forma:a) Si α + i β no es raíz de la ecuación auxiliar, buscamos una solución particular de la forma:donde u(x) y v{x) son polinomios cuyo grado es igual al mayor de los grados de P(x) y Q(x).b) Si α + i β es raíz de la ecuación auxiliar, hacemos:

12. Se concluye que las formas propuestas:para la solución particular, también son válidas cuando P(x) = 0 o Q(x) = 0 y en el caso particularcuando a = 0 o b = 0.

13. EJEMPLOResolverLa solución general tiene la forma y = yc + yP, donde yc es la solución general de la ecuación homogénea.y yp es una solución particular deLa ecuación auxiliar es: m2 + 3m + 2 = 0, cuyas raíces son m = -1 y m 2 = - 2Por otra parte, proponemos una solución particular de la forma: