Este documento explica el concepto matemático de la derivada. Define la derivada como el límite de la pendiente de la recta tangente a una función cuando el cambio en el valor de x tiende a cero. Presenta la regla de los cuatro pasos para calcular derivadas y varios ejemplos resueltos de derivar funciones específicas.

1. Tema: La derivada
Autor: Erick Vicente Yagual Guevara

2. Sea 𝑓(𝑥) una función, se define a su derivada
𝑓’(𝑥), como:
𝑓’ 𝑥 = lim
∆𝑥→0
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
Para toda 𝑥 , siempre que el límite exista y se
representa por:
𝑦′, 𝑓′ 𝑥 ,
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑜 𝐷 𝑥 𝑦

3. Interpretación geométrica
El valor de la derivada en cualquier punto de la curva es
igual a la pendiente de la recta tangente en ese punto.
Donde:
∆𝑥: 𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑥
∆𝑦: 𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑦

4. En la gráfica se observa que la pendiente de la recta L
es:
𝑚 𝑡 =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 + 𝑓(𝑥)
∆𝑥
Si ∆𝑥 tiende a cero, la recta 𝐿 coincide con 𝐿 𝑡, entonces
la pendiente de𝐿 𝑡, será el límite de 𝑚 𝑡.
lim
∆𝑥→0
𝑚 𝑡 = lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 + 𝑓(𝑥)
∆𝑥
Por definición, la derivada es:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 + 𝑓(𝑥)
∆𝑥

5. Regla de los 4 pasos
Sea una función 𝑦 = 𝑓(𝑥), entonces:
1. Agregar el incremento en x e y.
𝑦 + ∆𝑦 = 𝑓 𝑥 + ∆𝑥
2. Despejar ∆𝑦 y se le resta la función original.
∆𝑦 = 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑥
3. Dividir para ∆𝑥.
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓 𝑥
∆𝑥
4. Límite cuando ∆𝑥 tiende a cero.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓 𝑥
∆𝑥

6. 1.- Hallar la derivada mediante la regla de los 4 pasos
para la siguiente función:
𝒚 = 𝒙 𝟐
𝑦 + ∆𝑦 = (𝑥 + ∆𝑥)2
𝑦 + ∆𝑦 = 𝑥2
+ 2𝑥∆𝑥 + (∆𝑥)2
∆𝑦 = 𝑥2
+ 2𝑥∆𝑥 + (∆𝑥)2
−𝑦
∆𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥∆𝑥 + (∆𝑥)2− 𝑥2
∆𝑦 = 2𝑥∆𝑥 + (∆𝑥)2
∆𝑦
∆𝑥
=
2𝑥∆𝑥
∆𝑥
+
(∆𝑥)2
∆𝑥
∆𝑦
∆𝑥
= 2𝑥∆𝑥 + ∆𝑥
lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
lim
∆𝑥→0
2𝑥 + ∆𝑥 = 2𝑥 + 0 = 𝟐𝒙
𝑓′ 𝑥 = 𝟐𝒙 𝑹/.

7. 2.- Encuentra la derivada de la función 𝒇 𝒙 =
𝟐𝒙−𝟏
𝒙+𝟓
,
aplica la definición.
𝑦 + ∆𝑦 =
2(𝑥 + ∆𝑥) − 1
𝑥 + ∆𝑥 + 5
∆𝑦 =
2(𝑥 + ∆𝑥) − 1
𝑥 + ∆𝑥 + 5
−
2𝑥 − 1
𝑥 + 5
∆𝑦 =
𝑥 + 5 2𝑥 + 2∆𝑥 − 1 − (2𝑥 − 1)(𝑥 + ∆𝑥 + 5)
(𝑥 + ∆𝑥 + 5)(𝑥 + 5)
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑥 + 5 2𝑥 + 2∆𝑥 − 1 − (2𝑥 − 1)(𝑥 + ∆𝑥 + 5)
(𝑥 + ∆𝑥 + 5)(𝑥 + 5)
∆𝑥

8. ∆𝑦
∆𝑥
=
2𝑥3
+ 2𝑥∆𝑥 − 𝑥 + 10𝑥 + 10∆𝑥 − 5 − (2𝑥3
+ 2𝑥∆𝑥 + 10𝑥 − 𝑥 − ∆𝑥 − 5)
∆𝑥(𝑥 + ∆𝑥 + 5)(𝑥 + 5)
∆𝑦
∆𝑥
=
2𝑥3
+ 2𝑥∆𝑥 − 𝑥 + 10𝑥 + 10∆𝑥 − 5 − 2𝑥3
− 2𝑥∆𝑥 − 10𝑥 + 𝑥 + ∆𝑥 + 5
∆𝑥(𝑥 + ∆𝑥 + 5)(𝑥 + 5)
∆𝑦
∆𝑥
=
11∆𝑥
∆𝑥(𝑥 + ∆𝑥 + 5)(𝑥 + 5)
lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
lim
∆𝑥→0
11
(𝑥 + ∆𝑥 + 5)(𝑥 + 5)
= lim
∆𝑥→0
11
(𝑥 + 0 + 5)(𝑥 + 5)
= lim
∆𝑥→0
11
(𝑥 + 5)(𝑥 + 5)
𝒇′ 𝒙 =
𝟏𝟏
(𝒙 + 𝟓) 𝟐
𝑹/.

9. 3.- ¿Cuál es la derivada de la función 𝒚 = 𝒙 + 𝟐?
Nota: En este ejercicio utilizamos la conjugada.
𝑦 + ∆𝑦 = 𝑥 + ∆𝑥 + 2
∆𝑦 = 𝑥 + ∆𝑥 + 2 − 𝒙 + 𝟐
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑥 + ∆𝑥 + 2 − 𝒙 + 𝟐
∆𝑥
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑥 + ∆𝑥 + 2 − 𝒙 + 𝟐
∆𝑥
∗
𝑥 + ∆𝑥 + 2 + 𝑥 + 2
𝑥 + ∆𝑥 + 2 + 𝑥 + 2
∆𝑦
∆𝑥
=
( 𝑥 + ∆𝑥 + 2)2−( 𝒙 + 𝟐)2
∆𝑥( 𝑥 + ∆𝑥 + 2 + 𝑥 + 2)

10. ∆𝑦
∆𝑥
=
𝑥 + ∆𝑥 + 2 − (𝑥 + 2)
∆𝑥( 𝑥 + ∆𝑥 + 2 + 𝑥 + 2)
=
𝑥 + ∆𝑥 + 2 − 𝑥 − 2
∆𝑥( 𝑥 + ∆𝑥 + 2 + 𝑥 + 2)
∆𝑦
∆𝑥
=
∆𝑥
∆𝑥( 𝑥 + ∆𝑥 + 2 + 𝑥 + 2)
=
1
( 𝑥 + ∆𝑥 + 2 + 𝑥 + 2)
lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
lim
∆𝑥→0
1
( 𝑥 + ∆𝑥 + 2 + 𝑥 + 2)
= lim
∆𝑥→0
1
( 𝑥 + 0 + 2 + 𝑥 + 2)
= lim
∆𝑥→0
1
( 𝑥 + 2 + 𝑥 + 2)
𝒇′ 𝒙 =
𝟏
𝟐 𝒙 + 𝟐
𝑹/.

11. Ejercicios Propuestos
Deriva las siguientes funciones, utilizando la regla de
los 4 pasos.
1.- 𝒚 = 𝟑𝒙 + 𝟐
2.- 𝒚 = 𝒙 𝟑
3.- 𝒚 =
𝟐𝒙
𝒙−𝟏
4.- 𝒚 =
𝟑
𝒙 𝟐
5.- 𝒇 𝒙 = 𝒙 − 𝟐
6.- 𝒚 =
𝟐
𝒙
7.- 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟐 + 𝟒

12. 1.- 𝑦′ = 3
2.- 𝑦′ = 3𝑥2
3.- 𝑦′ = −
2
(𝑥−1)2
4.- 𝑦′ = −
6
𝑥3
5.- 𝑓′ 𝑥 =
1
2 𝑥−2
6.- 𝑦′ = −
1
𝑥 𝑥
7.- 𝑓′ 𝑥 =
𝑥
𝑥2+4