CONTENIDO 3.4

1. Contenido 3.4: Igualdad y semejanza de triángulos
IGUALDAD DE TRIÁNGULOS
Dos triángulos son iguales cuando tienen sus tres lados y sus tres ángulos iguales.
CRITERIOS DE IGUALDAD DE TRIÁNGULOS
CASO A. Si dos triángulos tienen un lado igual e iguales los dos ángulos adyacentes a ese
lado, entonces los triángulos son iguales.
CASO B. Dos triángulos son iguales si tienen respectivamente iguales dos lados y el
ángulo comprendido entre ellos.
CASO C. Dos triángulos que tengan iguales respectivamente sus tres lados son iguales.
AB DE
A D
B E

  
  
AB DE
BC EF
B E


  
AB DE
BC EF
AC DF




2. CASO D. Dos triángulos son iguales cuando tienen dos lados iguales y el ángulo opuesto al
mayor de ellos, respectivamente iguales.
IGUALDAD DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
CRITERIO A. Dos triángulos rectángulos son iguales cuando tienen igual la hipotenusa y
uno de los ángulos agudos.
CRITERIO B. Dos triángulos rectángulos son iguales cuando tienen igual la hipotenusa y
un cateto.
AB DE
AC DF
C F


  
AB DE
A D

  
AB DE
BC EF



3. CRITERIO C. Dos triángulos rectángulos son iguales cuando tienen sus catetos
respectivamente iguales.
CRITERIO D. Dos triángulos rectángulos son iguales cuando tienen un cateto y un ángulo
agudo respectivamente iguales.
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
La igualdad de triángulos exilia la igualdad de forma. De donde se tiene la primera
definición intuitiva de la semejanza: Se llama figuras semejantes las que tienen la misma
forma y distinto tamaño.
En las figuras semejantes se llaman elementos homólogos, aquellos que se corresponden, es
decir, que representan la misma cosa. Así se dice: ángulos homólogos, puntos homólogos,
segmentos homólogos, etc.
Triángulos semejantes, son los que tienen sus ángulos respectivamente iguales y sus lados
homólogos, proporcionales.
Dos triángulos semejantes tienen la misma forma, sin ser necesario que tengan igual área.
El signo de semejanza es ~. Se debe leer semejante a.
Aplicando la noción de proporcionalidad de segmentos tenemos:
Se dice que dos figuras son semejantes si tienen sus ángulos homólogos iguales y sus
lados homólogos proporcionales.
AC DF
BC EF


AC DF
A D

  

4. Diremos que los triángulos
ABC y DEF son semejantes, si se
verifica que:
; ; .A D B E C F  
Y además
AB AC BC
DE DF EF
 
RAZÓN DE SEMEJANZA
Se llama razón de semejanza, a la razón de dos segmentos homólogos. En el ejemplo
anterior si AB mide 10 cms. y DE mide 5 cms. la razón de semejanza es
10
2
5
 cms.
TEOREMA: Toda paralela a un lado de un triángulo forma con los otros lados un
triángulo semejante al primero.
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
CASO A. Dos triángulos son semejantes si dos ángulos de uno, son respectivamente
iguales a los dos ángulos del otro.
ABC CDE
DE AB

A D
C F



5. CASO B. Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman
respectivamente proporcionales.
CASO C. Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados homólogos proporcionales.
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Como los triángulos rectángulos tienen igual el ángulo recto y además dado dos de los
lados queda determinado el tercero por el teorema de Pitágoras, resulta que dos triángulos
rectángulos son semejantes:
a) Si tienen un ángulo agudo igual.
b) Si tienen los catetos proporcionales.
c) Si tienen la hipotenusa y un cateto proporcional.
Ejemplo 1: En la figura siguiente, el ABC es semejante al DEF . Encontrar la
longitud de los lados del .DEF
Dado que los triángulos son
semejantes, sus lados son
proporcionales, de lo cual
obtenemos:
AB AC
DE DF
A D

AB BC AC
DE EF DF
 

6. R/ DF 8 DE 10  
Ejemplo 2: para los triángulos , calculemos las longitudes de los segmentos ̅̅̅̅ ⋀ ̅̅̅̅
Solución: los triángulos tienen dos ángulos iguales por lo tanto son semejantes. Al ser
semejantes concluimos que sus lados son proporcionales.
̅̅̅̅
̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅
Aplicando y sustituyendo los valores concluimos que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Ejemplo 3: determinar la altura de un edificio de apartamentos que proyecta una sombra de
4 metros si a esa misma hora un poste del tendido eléctrico de 5 metros de altura proyecta
una sombra de 1 metro. Respuesta 20 metros
Ejercicio:
EJERCICIOS:
1. Obtén el valor de x
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅
   
 
12 16
6 DF
12 DF 6 16
6 16
DF
12
DF 8




   
 
12 20
6 DE
12 DE 6 20
6 20
DE
12
DE 10





7. 2. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Obtén las longitudes ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
3. Indica las razones por las que
los triángulos ABC y CDE son
semejantes. Obtén la longitud del segmento ̅̅̅̅
4. Indica las razones por las que los triángulos ABC y MBN son semejantes. Obtén la
longitud del segmento ̅̅̅̅̅
5. Encuentra x si ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

8. 6. Encuentra x ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Un niño de 1.5 mts. de estatura proyecta una sombra de 1.2 mts. de largo; a la misma
hora, un árbol proyecta una sombra de 4.8 mts. de largo. Hacer un dibujo que muestre
los triángulos semejantes que se tienen y encontrar la altura del árbol.
2. En la figura, ¿qué altura tiene el templo si su sombra mide 6 metros. La altura del árbol
es de 4 metros y la distancia desde la copa del árbol hasta donde termina su sombra es
de 5 metros?

9. 3. Rodrigo ya vuela su piscucha y decide atarla a una raíz que dista 2 metros de una cerca
que tiene un metro de alto. Considera que desde la cerca a la vertical de la posición de
vuelo de la piscucha hay unos 20 metros ¿qué altura ha ganado la piscucha?