Coordenadas Polares, Transformacion de coordenadas polares a cartesianas y visiversa, las circunferencia , las conicas, la recta en el sistema de coordenadas polares

1. GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
P=(r, θ)
r
θ
0
Eje Polar

2. COORDENADAS POLARES
DEFINICIÓN:
Es un sistema que define la posición de un punto en un
espacio bidimensional el cual está determinado por un
ángulo y una distancia.
Para todo punto P en el plano se le asignan coordenadas
polares (r, ) donde r es la distancia de P al origen O, y θ es
el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP.
Si el punto P coincide con el origen, r = 0 y el ángulo θ no
tendrá un valor determinado

3. Donde:
P=(r, θ)
r
r = Distancia dirigida OP
θ = Ángulo dirigido, desde el
eje
polar al segmento OP
θ
0
Eje Polar
Si P es cualquier punto del plano, r la distancia de O a P, y θ (medido en radianes) el ángulo
formado por el eje polar y la recta OP. Entonces P está representado por el par ordenado (r, θ)
que son las coordenadas polares de P.
Por convención, θ es positivo si se mide en dirección contraria al movimiento de las agujas
del reloj y θ es negativo si se mide a favor del movimiento de las agujas del reloj.

4. Ejemplo:
El punto P1 se puede expresar
en las formas (-3,2π/3) o
(3,5π/3) o (3,- π/3).
P1
P1

5. PLANO POLAR
P1
P2
Eje polar
P3
P4
En el papel coordenado polar se ha trazado los siguientes puntos: P1 = (6,
P3 = (6,7π/6) y P4 = (5,11π/6)
π/4), P2 = (2,3π/4),

6. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS POLARES A
CARTESIANAS Y VICEVERSA
Cartesiana a polar
y
P(r, θ)
P(x, y)
Polar a cartesiana
r
Y = r.Sen θ
θ
0
X = r.Cos θ
X = Eje Polar

7. Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo θ sobre el eje
x, y su distancia r desde el centro de coordenadas al punto P, se tiene:
x
X = r Cos (θ)
r
Y = r Sen (θ)
.
P = (r, θ)
y
θ
O
Por lo tanto:
P = (r Cos θ, r Sen θ)
Eje polar

8. EJEMPLO 01:
Hallar las coordenadas rectangulares del punto P cuyas coordenadas polares son (4,
r = 4; θ = π/3
x = r Cos θ,
y = r Sen θ
x = 4Cos π/3,
y = 4 Sen 2π/3
x = 4(0.5)
y = 4(0.87)
x = 2,
y = 3.46
P = (2, 3.46)
x
.
π/3).
P = (r, 2π/3)
4
y
π/3
O
POR LO TANTO: el punto P en el sistema de coordenadas polares es (4,
coordenadas cartesianas es (2,3.46).
Eje polar
π/3), y en el sistema de

9. EJEMPLO 02:
Dada la ecuación polar r(3 - 2cosθ) = 2. Obtener la ecuación cartesiana.
POR LO TANTO: La ecuación obtenida representa a una elipse

10. Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y), se tiene que la coordenada
polar “r” y el ángulo “θ” es:
y
.
r
P = (x, y)
y
θ
O
x
x

11. y
.
r
θ
O
1
x

12. EJEMPLO 02
Obtener la ecuación polar de la curva cuya ecuación es: 3 x + 4 y + 1 = 0 .

13. Circunferencia con centro en el polo
Su ecuación es: X2 + y2 = a2
.
Aplicando transformaciones tenemos:
x2 + y2 = a2
r=a
θ
Eje polar
De lo cual concluimos que:

14. Circunferencia con centro exterior al polo
P(r,θ)
.
a
Sea C(c, a) el centro de una circunferencia
cualquiera de radio “a”. Sea P = (r, θ) un punto
cualquiera de la circunferencia. Tracemos el radio
CP y los radios vectores de P y C, formando así el
triángulo OPC. De este triángulo, por la ley de
cosenos, resulta:
. C(c, a)
r
c
.
0
Eje polar

15. Directriz (l )
Clasificación de las cónicas de acuerdo con la
excentricidad
El conjunto de todos los puntos P con una
determinada excentricidad es una cónica.
1. La cónica es una elipse si 0 < e < 1.
2. La cónica es una parábola si e = 1.
3. La cónica es una hipérbola si e > 1.
Donde “e” es la excentricidad
.
C
r
D
.
V
.
.
O
B
Eje polar

17. Parábola cóncava a la izquierda
Directriz
X=d
Directriz vertical a la derecha
del polo
F
V
Eje polar
NOTA:
Para todo parábola se cumple que: e = 1
d

18. Parábola cóncava a la derecha
Directriz
X=-d
Directriz vertical a la izquierda
del polo
V
d
F
Eje polar

19. Parábola cóncava hacia abajo
Directriz
y=d
d
Directriz horizontal arriba del
polo
V
F
Eje polar

20. Parábola cóncava hacia arriba
F
Directriz horizontal abajo del
polo
Eje polar
d
V
Directriz
y=-d

21. l
l
una elipse con un foco en el polo y el otro a su
izquierda en el eje polar
.
V2
.
F2
NOTA:
Para todo elipse se cumple que: 0 < e < 1.
.
F1
.
V1
Eje polar

22. l
l
.
V2
F2
.
.
.
F1
V1
Eje polar
Es una elipse con un foco en el polo y el otro a su derecha en el eje polar

23. .
V1
.
F1
Eje polar
.
F2
.
V2
Es una elipse con un foco en el polo y el otro en el eje π/2 hacia abajo

24. .
V1
.
.
F1
F2
Eje polar
.
V2
Es una elipse con un foco en el polo y el otro en el eje π/2 hacia arriba

25. d1
NOTA:
Para todo hipérbola se cumple que: e > 1
. .V
F
1
1
d2
.
V2
.F
2
Eje polar
Aquí tenemos una hipérbola con un foco en el polo y el otro foco a su derecha en el eje
polar

26. d1
.
F
1
.V
1
d2
.
V
2
.F
2
Eje polar
Es una hipérbola con un foco en el polo y el otro foco a su izquierda
en el eje polar

27. F1
.
.
V
1
.
V2
.
F
2
d1
d2
Eje polar
Es una hipérbola con un foco en el polo y el otro foco en el eje π/2 hacia
arriba

28. .
F1
.
V
1
.
Eje polar
d1
d2
V2
F2
.
Es una hipérbola con un foco en el polo y el otro foco en el eje π/2
hacia abajo

29. Recta que contiene al polo
. P(r, θ)
Y = mx
Θ=β
0
Eje polar

30. RECTA QUE NO CONTIENE AL POLO Y SE ENCUENTRAN A UNA
DISTANCIA “d” DEL POLO
P(r, θ)
r
r
θ-β
d
θ-β
θ
0
β
d

31. Ejemplo:

32. UNA RECTA VERTICAL
d
Eje polar

33. Una recta horizontal
d

34. ROSA DE CUATRO HOJAS/PÉTALOS
PARÁBOLA
CIRCUNFERENCIA
y
x
LEMNISCATA
CARDIOIDES
ESPIRAL

35. GRACIAS
GENIOS POR SU
ATENCIÓN
Autor: Richard Portilla Pérez
Universidad Nacional de Cajamarca