1. Coordenadas polares
EDDA RODRIGUEZ
23488756

2. Las coordenadas polares
• Es un sistema de referencia constituido por un eje que
pasa por el origen, la primera coordenada es la
distancia que existe entre el origen y el punto y la
segunda es el ángulo que forma al eje y la recta que
pasa por ambos puntos.
• Son un sistema de coordenadas bidimensional en el
cual cada punto del plano se determina por un ángulo y
una distancia. En muchos casos, es útil utilizar
las coordenadas cartesianas para definir
una función en el plano o en el espacio.

4. • De manera más precisa, se toman: un punto O del
plano, al que se le llama origen o polo, y una recta
dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa
por O, llamada eje polar (equivalente al eje x del
sistema cartesiano), como sistema de referencia.
• Con este sistema de referencia y una unidad de
medida métrica (para poder asignar distancias
entre cada par de puntos del plano), todo
punto P del plano corresponde a un par ordenado
(r, θ) donde r es la distancia de P alorigen y θ es el
ángulo formado entre el eje polar y la recta
dirigida OP que va de O a P

5. El valor θ crece en sentido
antihorario y decrece en sentido
horario. La distancia r (r ≥ 0) se
conoce como la «coordenada
radial» o «radio
vector», mientras que el ángulo
es la «coordenada angular» o
«ángulo polar».
En el caso del origen , O, el
valor de r es cero, pero el valor
de θ es indefinido. En
ocasiones se adopta la
convención de representar el
origen por (0,0º).

6. Sistema de coordenadas
polares
• Es un conjunto que nos permite definir la posición
de cualquier punto en espacio geográfico con
respecto al punto de origen. El sistema de
referencia se encuentra en los ejes, puntos y
planos.

7. Conversión de coordenadas
• La representación de un punto en el plano o en el
espacio , se puede hacer mediantes varios
sistemas de coordenadas que son sistema de
coordenadas rectangulares y polares. la ecuación
Ѳ = -π/4 y r = cos Ѳ son las ecuaciones polares de
dos lugares geométricos planos .

8. • Para efectuar tal Y transformación debemos conocer las
relaciones que existen entre las coordenadas rectangulares y las
coordenadas polares de cualquier punto ,X,A . Se obtienen Y
relaciones particularmente simples cuando el polo y el eje polar
del sistema polar se hacen coincidir , respectivamente , con el
origen y la parte positiva del eje X del sistema rectangular. Sea P
un punto cualquiera que tenga por coordenadas rectangulares
(x, y) y por coordenadas polares (r,Ѳ) Entonces se deducen
inmediatamente las relaciones
• x = r cos Ѳ
• y = r sen Ѳ
• x²+ y² = r²
• Ѳ = arc tg y/x
• r = ± √x²+y²
• sen Ѳ = ± y/√x²+y²
• cos Ѳ = ± x/√x²+y²

9. Grafica de una ecuación
polar
• La gráfica de una ecuación polar en el plano xy de todos los
puntos de coordenadas polares cumpliendo
satisfactoriamente la ecuación dada también se puede decir
que es grafica de ecuación r = f(θ) es el conjunto de puntos
(x,y) para los cuales x = r cos θ , y = r sen θ y r = f
(θ). La curva resultante consiste en una serie de puntos
formados.
• Con respecto al sistema de coordenadas polar, muchas
curvas se pueden describir con una simple ecuación
polar, mientras que en su forma cartesiana sería mucho más
intrincado. Algunas de las curvas más conocidas son la rosa
polar, la espiral de Arquímedes, la lemniscata, el caracol de
Pascal y la cardioide.

10. Nota
Tomando en cuenta con la dependencia de r con
respecto a θ.
Recordemos que θ es la variable independiente y
generalmente va de 0 a 2π.
Ahora que sabemos graficar coordenadas polares no
solo graficaremos puntos sino funciones.

11. Circunferencia
• Un círculo con ecuación (θ) = 1.
• La ecuación general para
una circunferencia con centro en
(0, φ) y radio es
• En ciertos casos específicos, la
ecuación anterior se puede
simplificar. Por ejemplo, para
una circunferencia con centro en
el polo y radio a, se obtiene:
• R(θ)=a

12. Rosa polar
• Una rosa polar con ecuación (θ) = 2 sin 4θ.
• La rosa polar es una famosa curva matemática que
parece una flor con pétalos, y puede expresarse
como una ecuación polar simple, para cualquier
constante (incluyendo al 0). Si k es un número
entero, estas ecuaciones representan una rosa
de k pétalos cuando k es impar, o 2k pétalos si k es
par. Si k es racional pero no entero, la gráfica es
similar a una rosa pero con los pétalos solapados.
Nótese que estas ecuaciones nunca definen una
rosa con 2, 6, 10, 14, etc. pétalos. La
variable a representa la longitud de los pétalos de la
rosa. Si tomamos sólo valores positivos para r y
valores en el intervalo para , la gráfica de la
ecuación: Es una rosa de k pétalos, para cualquier
número natural . Y si , la gráfica es una
circunferencia de radio

13. Área de una región en el
plano de coordenadas
polares
• Para calcular el área se determina los limites de
integración para poder hallar el area de una región
polar.
• El desarrollo de una fórmula para el área de una
región polar va paralelo al de zonas en sistema de
coordenadas rectangulares, pero con sectores de
un círculo en lugar de rectángulos como
elementos básicos de dicha área.