El método de Euler es un método numérico para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias dividiendo el intervalo en subintervalos y aproximando la curva por segmentos de recta tangente. Este método introduce un error de truncamiento que se puede reducir tomando pasos más pequeños, aunque aumenta el error de redondeo.

1. Método de Euler
En matemática y computación, el método de Euler, lla-
mado así en honor a Leonhard Euler, es un procedimien-
to de integración numérica para resolver ecuaciones dife-
renciales ordinarias a partir de un valor inicial dado.
El método de Euler es el más simple de los métodos nu-
méricos para resolver un problema del siguiente tipo:
PV I =



dy
dx = f(x, y)
y(x0) = y0
y(xi) =?
1 Una descripción informal
Considere el problema de calcular la pendiente de una
curva desconocida que comienza en un punto dado y sa-
tisface una cierta ecuación diferencial dada. Se puede
pensar en la ecuación diferencial como una fórmula que
nos permite calcular la pendiente de la recta tangente a
la curva en cualquier punto de la curva, siempre que el
punto se conozca.
La idea es que a pesar de que la curva es desconocida en
principio, su punto de comienzo(al cual denotamos por
A0) es conocido. Entonces, de la ecuación diferencial se
puede computar la pendiente de la curva en el punto A0
y por lo tanto la recta tangente a la curva.
Ahora, dando un pequeño paso sobre dicha recta, pode-
mos tomarnos un nuevo punto A1 y suponer que dicho
punto pertenece a la curva, entonces seguimos el mismo
razonamiento aplicado anteriormente y volvemos a cal-
cular la pendiente de la recta tangente a la curva en el
punto A1. Luego de varios pasos tendremos formada una
curva poligonal A0A1A2A3... En general esta curva que
obtenemos al aplicar el método no diverge lejos de la cur-
va original, además el error entre ambas curvas se puede
minimizar si se dan pasos muy pequeños al avanzar sobre
la recta tangente a la curva y además el intervalo sobre el
que trabajamos es finito(aunque las cosas son más com-
plicadas para ecuaciones inestables, como se discute más
abajo).
2 Procedimiento
Consiste en dividir los intervalos que va de xo a xf en n
subintervalos de ancho h ; o sea:
h =
xf − xo
n
de manera que se obtiene un conjunto discreto de n +
1 puntos: xo, x1, x2, ......., xn del intervalo de interés
[xo, xf ] . Para cualquiera de estos puntos se cumple que:
xi = x0 + ih, 0 ≤ i ≤ n .
La condición inicial y(xo) = yo , representa el punto
Po = (xo, yo) por donde pasa la curva solución de la
ecuación del planteamiento inicial, la cual se denotará co-
mo F(x) = y .
Ya teniendo el punto Po se puede evaluar la primera de-
rivada de F(x) en ese punto; por lo tanto:
F′
(x) = dy
dx Po
= f(xo, yo)
Gráfica A.
Con esta información se traza una recta, aquella que pasa
por Po y de pendiente f(xo, yo) . Esta recta aproxima
F(x) en una vecindad de xo . Tómese la recta como re-
emplazo de F(x) y localícese en ella (la recta) el valor
de y correspondiente a x1 . Entonces, podemos deducir
según la Gráfica A:
y1−yo
x1−xo
= f(xo, yo)
Se resuelve para y1 :
y1 = yo + (x1 − xo)f(xo, yo) = yo + hf(xo, yo)
Es evidente que la ordenada y1 calculada de esta manera
no es igual a F(x1) , pues existe un pequeño error. Sin
embargo, el valor y1 sirve para que se aproxime F′
(x) en
el punto P = (x1, y1) y repetir el procedimiento anterior
a fin de generar la sucesión de aproximaciones siguiente:
1

2. 2 4 ANÁLISIS DE ERROR PARA EL MÉTODO DE EULER.
y1 = yo + hf(xo, yo)
y2 = y1 + hf(x1, y1)
.
.
.
yi+1 = yi + hf(xi, yi)
.
.
.
yn = yn−1 + hf(xn−1, yn−1)
3 Ejemplo
PV I =



dy
dx = sin x − ln y
y(0.13) = 0.32
y(0.14) =?
Calculamos el valor de h tomando en cuenta que el n
valor de divisiones es de 4 ; por lo tanto quedaría así:
h =
0.14 − 0.13
4
= 0.0025
Antes de aplicar el método, veamos un esquema de cómo
trabajaría el método en este caso concreto:
dy
dx x y
x0 y0
f(x0, y0) = sin(x0) − ln(y0) x1 = x0 + h y1 = y0 + h ∗ f(x0, y0)
f(x1, y1) = sin(x1) − ln(y1) x2 = x1 + h y2 = y1 + h ∗ f(x1, y1)
f(x2, y2) = sin(x2) − ln(y2) x3 = x2 + h y3 = y2 + h ∗ f(x2, y2)
f(x3, y3) = sin(x3) − ln(y3) x4 = x3 + h y4 = y3 + h ∗ f(x3, y3)
Los valores iniciales de x y y vienen dados por:
x0 = 0.13 , y0 = 0.32 .
Teniendo dichos valores podemos comenzar con el mé-
todo. Se harán aproximaciones de hasta trece decimales.
La función seno se evaluará en grados.
dy
dx x
0.13
sin(0.13) − ln(0.32) = 1.1417032092692 0.13 + 0.0025 = 0.1325 0.32 + (0.0025 ∗ 1.14
sin(0.1325) − ln(0.322854258023173) = 1.1328668303351 0.1325 + 0.0025 = 0.135 0.322854258023173 + (0.0025
sin(0.135) − ln(0.32568642509901075) = 1.1241764390342 0.135 + 0.0025 = 0.1375 0.32568642509901075 + (0.002
sin(0.1375) − ln(0.32849686619659625) = 1.12225822270029 0.1375 + 0.0025 = 0.14 0.32849686619659625 + (0.0025
Por lo que el resultado obtenido es: y4 =
0.331302511753346975 ; posteriormente procede-
remos a encontrar el valor relativo entre el valor exacto
de la ecuación que es dy
dx = sinx − lny = 0.3325459 .
Finalmente se calcula el error relativo:
ϵr =
0.331302511753346975 − 0.3325459
0.3325459
∗ 100% = 0.001243388246653025 = 1.243388246653025∗10−3
%
4 Análisis de error para el método
de Euler.
Gráfica B.
La solución de las Ecuaciones diferenciales por medio de
métodos numéricos involucra varios tipos de errores:
• Error del Método (Error de Truncamiento Lo-
cal y Global): Este se debe a que, cómo la aproxi-
mación de una curva mediante una línea recta no es
exacta, se comete un error propio del método. En
este caso, el error es de primer orden - O(h1
) -
• Local: Es la diferencia que se produce entre el valor
real de la función y el aproximado mediante la recta
tangente -en lugar de moverse por la curva- supo-
niendo que el punto desde el que partimos -donde
se cruzan la curva real y la recta que la aproxima-
no tiene error alguno.
• Propagado: Acumulación de errores por las aproxi-
maciones producidas durante los pasos previos acu-
muladas. Es decir, ya no se supone que el punto del
cual partimos -donde se cruzan la curva real y la rec-
ta que la aproxima- no tenía error sino que asumimos
que dicho error existe y que se propaga de paso en
paso. Dicha propagación es, en el peor de los casos,
lineal.
La suma de los dos es el error global.
• Redondeo/Truncamiento: Resultado del número
límite de cifras significativas que puede retener una
computadora. Ya que el número de dígitos utiliza-
dos para hacer los cálculos es finito y los números
representados puede que no lo sean (es decir, núme-
ros con infinita cantidad de dígitos). Al limitar los
números con infinita cantidad de dígitos -mediante
truncamiento o redondeo- a números con finita can-
tidad de dígitos estamos cometiendo un error extra.
Como se muestra en la Gráfica B, básicamente el método
se encarga de aproximar la curva y = F(x) por medio
de una serie de segmentos en recta.

3. 3
Debido a que la aproximación de una curva por medio de
una línea recta no es exacta, se comete un error deriva-
do del método. A este error se le conoce como error de
truncamiento. Este error se puede disminuir reducien-
do el valor de h , pero se obtendrá un mayor número de
cálculos y, por consiguiente, un error de redondeo mu-
cho más alto.
5 Referencias
• Nieves, Antonio (2007). Métodos numéricos aplica-
dos a la ingeniería. Grupo editorial Patria. ISBN 978-
970-817-080-2.
6 Links Externos
• Método de Euler online by www.mathstools.com

4. 4 7 ORIGEN DEL TEXTO Y LAS IMÁGENES, COLABORADORES Y LICENCIAS
7 Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias
7.1 Texto
• Método de Euler Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Euler?oldid=84013005 Colaboradores: BOT-Superzerocool,
Echani, GermanX, CEM-bot, Thijs!bot, JAnDbot, CommonsDelinker, VolkovBot, Lucien leGrey, Muro Bot, Drinibot, Hamelkarth, Leon-
polanco, SpBot, Mariagar, Luckas-bot, Nallimbot, Fabiocalde, Almabot, Xqbot, Botarel, Joseba.makazaga, BOTirithel, Enrique Cordero,
TjBot, Gimlinu, ChuispastonBot, Vero.delgado, WikitanvirBot, TaTo 713, Ltumb, Carlanguero, Ginés90, Briacos, Addbot, Carlostp12 y
Anónimos: 20
7.2 Imágenes
• Archivo:Aplicación_del_método_de_Euler.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b6/Aplicaci%C3%B3n_
del_m%C3%A9todo_de_Euler.jpg Licencia: CC BY-SA 3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Vero.delgado
• Archivo:Método_de_Euler.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/db/M%C3%A9todo_de_Euler.jpg Licen-
cia: CC BY-SA 3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Vero.delgado
7.3 Licencia del contenido
• Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0