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Coordenadas polares y geográficas
- 1. 1 INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO SANTIAGO MARIÑO EXTENSION PORLAMAR PORLAMAR EDO NUEVA ESPARTA Coordenadas Polares y Coordenadas Geográficas Informe Porlamar, septiembre de 2015 Profesora: Zaritza Marcano Elaborado por: Andy J. Molina P. C.I. 16.678.943
- 2. 2 Coordenadas Polares Es un eje de coordenadas bidimensional donde podemos ubicar un punto por el radio r que va desde el origen (polo) al punto y el ángulo que forma con la horizontal (eje polar). Fue diseñado por Bonaventura Cavalieri en 1635, si queremos localizar un punto (r,) en este sistema de coordenadas, lo primero que tenemos que hacer es trazar una circunferencia de radio r, después trazar una línea con un ángulo de inclinación y, por último, localizamos el punto de intersección entre la circunferencia y la recta; este punto será el que queríamos localizar. Aplicaciones Las coordenadas polares son enormemente interesantes al estudiar fenómenos relacionados con distancias y ángulos (a grandes rasgos se podría decir que interesan a la hora de estudiar conceptos relacionados con elipses y circunferencias). Vamos a enumerar unos cuantos: 1. Cálculo de límites dobles: a la hora de calcular un límite doble el método definitivo es el método del paso a coordenadas polares. Se pasa con ellas a un límite dependiente de una única variable r utilizando las ecuaciones de cambio de rectangulares a polares y se estudia si dicho límite depende del ángulo . Si no existe tal dependencia el límite inicial existe y su valor es el obtenido en el límite en polares. 2. Ecuaciones de curvas: las coordenadas polares simplifican la expresión de las ecuaciones de ciertas curvas. Forma polar de un número complejo: todo punto del plano con coordenadas rectangulares (x,y) es la representación gráfica del número complejo z=x+iy (esta forma de representar un número complejo se denomina forma binómica del z). Pasando a polares obtenemos el módulo (r) y el argumento () de z y con ello la forma polar de z: z=r {} 1. Expresar los números complejos en su forma polar simplifica mucho ciertas operaciones, como son la multiplicación, la división y el cálculo de raíces n- ésimas. 2. Cálculo de integrales dobles: cuando la región de integración de una integral doble es una circunferencia o una elipse (o parte de alguna de ellas) pasar a coordenadas polares es una opción muy interesante ya que simplifica mucho el cálculo de los límites de integración de la misma. 3. Navegación marítima: como la navegación marítima se basa en ángulos y distancias la utilización de las coordenadas polares simplifica mucho los cálculos necesarios para realizar dicha actividad. 4. Cálculos orbitales: las razones son las mismas que en el caso anterior. Para pasar coordenadas en el eje cartesiano a polares primero debemos hallar el radio r que es calculado por teorema de Pitágoras, luego hallamos el segundo
- 3. 3 componente mediante la tangente inversa del valor del eje y dividido por el valor del eje x: 𝜃 = tan−1 𝑦 𝑥 Ejemplo: sea el punto P (3, 4), ¿cuál sería sus componentes para el sistema polar? 1.- Primero hallamos primero su radio:32 + 42 = 𝑟2 Teniendo como resultado la raíz de la suma de los cuadrados r= 5 2.- Luego hallamos el componente 𝜃 = tan−1 4 3 obteniendo como resultado 53°13’ Entonces se tiene como resultado el siguiente:(5, 53°) que corresponde a los componentes (r,). Coordenadas geográficas En un sistema de coordenadas geográficas (GCS) se utiliza una superficie esférica de tres dimensiones para definir ubicaciones en la Tierra. Con frecuencia, a los GCS, Geographic Coordinate System (sistema de coordenadas geográficas) se los llama incorrectamente datum, pero un datum es solo una parte de un GCS. Un GCS incluye una unidad angular de medida, un meridiano base y un datum (basado en un esferoide). Para hacer referencia a un punto se utilizan sus valores de latitud y longitud. La longitud y la latitud son ángulos medidos desde el centro de la Tierra hasta un punto de la superficie de la Tierra. Los ángulos se suelen medir en grados (o en grados centesimales). En el sistema esférico, las líneas horizontales o líneas este-oeste son líneas de igual latitud, o paralelos. Las líneas verticales o líneas norte-sur son líneas de igual longitud, o meridianos. Estas líneas abarcan el globo y forman una red cuadriculada llamada retícula. La línea de latitud que se encuentra en el punto medio entre los polos se denomina ecuador. Define la línea de latitud cero. La línea de longitud cero se denomina meridiano base. Para la mayoría de los sistemas de coordenadas geográficas, el meridiano base es la longitud que atraviesa Greenwich, Inglaterra. Otros países utilizan líneas de longitud que pasan a través de Berna, Bogotá y París como meridianos base. El origen de la retícula (0,0) se define por el punto donde se intersecan el ecuador y el meridiano base. El globo se divide, entonces, en cuatro cuadrantes geográficos basados en rumbos de brújula desde el origen. El norte y el sur están encima y debajo del ecuador, y el oeste y el este están a la izquierda y a la derecha del meridiano base. Ilustración de los paralelos y los meridianos que forman una retícula En esta ilustración se muestran los paralelos y los meridianos que forman una retícula. Los valores de latitud y longitud se miden tradicionalmente en grados decimales o en grados, minutos y segundos (DMS, Degrees, Minutes and
- 4. 4 Seconds). Los valores de latitud se miden respecto al ecuador y van desde -90° en el polo sur hasta +90° en el polo norte. Los valores de longitud se miden respecto al meridiano base. Van de -180° cuando se viaja hacia el oeste hasta 180° cuando se viaja hacia el este. Si el meridiano base está en Greenwich, Australia, que está al sur del ecuador y al este de Greenwich, tiene valores de longitud positivos y valores de latitud negativos. Puede ser útil igualar los valores de longitud con X y los valores de latitud con Y. Los datos definidos en un sistema de coordenadas geográficas se muestran como si un grado fuera una unidad lineal de medida. Este método es básicamente igual que la proyección de Plate Carrée. d) ¿Cuáles son las coordenadas geográficas de tu ciudad? Coordenadas de Juan-Griego - Nueva-Esparta: 11.08333 Latitud,-63.95 y longitud dentro del espacio geográfico de Venezuela. II. Localiza en el plano cartesiano los siguientes puntos: x y S Q R P T
- 5. 5 III. Escribe las coordenadas que correspondan a cada punto del plano. A(-5,6) B(2,5) C(-3,1) D(-5,0) E(3,-2) F(0,-3’5) G(-3,-5) H(0,3) I(3,2) J(1,0) K(-6,-3) L(5,0) M(3’5,-3’5) N(-2’5,-2’5)