Este documento explica el sistema de coordenadas polares, incluyendo cómo expresar coordenadas rectangulares en forma polar y viceversa. Muestra cómo graficar puntos usando coordenadas polares y cómo transformar entre los dos sistemas de coordenadas. Incluye ejemplos numéricos que ilustran cómo realizar estas transformaciones.

1. Coordenadas polares y gráficas polares<br />Objetivos: <br />Comprender el sistema de coordenadas polares.<br />Expresar coordenadas y ecuaciones rectangulares en forma polar y viceversa.<br />Graficar en coordenadas polares.<br />Realizar un ejemplo de una gráfica polar.<br />Coordenadas polares<br /> Hasta ahora las gráficas se han venido representando como colecciones de puntos (x, y) en el sistema de coordenadas rectangulares. Las ecuaciones correspondientes a estas gráficas han estado en forma rectangular o en forma paramétrica. En esta sección se estudiará un sistema de coordenadas denominado sistema de coordenadas polares.<br />Para formar el sistema de coordenadas polares en el plano, se fija un punto O, llamado polo (u origen), y a partir de O, se traza un rayo inicial llamado eje polar, como se muestra en la figura 10.36.<br /> A continuación, a cada punto P en el plano se le asignan coordenadas polares (r, θ), como sigue.<br />r = distancia dirigida de O a P<br />θ = ángulo dirigido, en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el<br />1948815-444500eje polar hasta el segmento OP.<br />La figura 10.37 muestra tres puntos en el sistema de coordenadas polares. Obsérvese que en este sistema es conveniente localizar los puntos con respecto a una retícula de circunferencias concéntricas intersecadas por rectas radiales que pasan por el polo.<br />Transformación (o cambio) de coordenadas<br />Para establecer una relación entre coordenadas polares y rectangulares, se hace coincidir el eje polar con el eje x positivo y el polo con el origen, como se ilustra en la figura 10.38. <br />Puesto que ( x , y ) se encuentra en un círculo de radio “r”, se sigue que r2 = x2 + y2 <br />Para r > 0, la definición de las funciones trigonométricas implica que<br /> <br />tanθ=yx cosθ=xr senθ=yr<br />Si r < 0, estas relaciones también son válidas, como se puede verificar.<br />EJEMPLO 1: Transformación (o cambio) de coordenadas polares a rectangulares.<br />Dado el punto ( r , θ ) = ( 2 , π ),<br />x = r cos θ = 2 cos π = 2 cos 180° = 2 ( - 1 ) = -2<br />y = r sen θ = 2 sen π = 2 sen 180° = 2 ( 0 ) = 0<br />Por lo tanto las coordenadas rectangulares son ( x , y ) = ( -2 , 0 )<br />4133215-1689104000020000<br />Dado el punto ( r , θ ) = ( 3 , π6 )<br />x = r cos θ = 3 cos π6 = 3 cos 30° = 3 ( 32 ) = 32 <br />y = r sen θ = 3 sen π6 = 3 sen 30° = 3 ( 12 ) = 32<br />EJEMPLO 2: Transformación (o cambio) de coordenadas rectangulares a polares.<br />Dado el punto del segundo cuadrante ( x , y ) = ( -1 , 1 )<br />28422604191000tanθ=xy = -11 = -1 θ = tan-1 (-1) = 135° = 3π4<br />Como θ se eligió que en el mismo cuadrante que ( x , y ), se debe usar un valor positivo para r.<br />r = x2+y2 = (-1)2+(1)2 = 2<br />Esto implica que el conjunto de coordenadas polares es ( r , θ ) = ( 2 , 3π4 ).<br />Dado que el punto ( x , y ) = ( 0 , 2 ) se encuentra en el eje “y” positivo, se elije θ = /2 y r = 2, y un conjunto de coordenadas polares es ( r , θ ) = ( 2 , /2 ).<br />Nota: Una forma de bosquejar la gráfica de a mano es elaborar una tabla de valores.<br />325183570294500325183547434500325183517145004004310171450036423601714500 <br />Si se amplía la tabla, y se representan los puntos gráficamente, se obtiene la curva mostrada en la figura siguiente.<br />La figura recibe el nombre de Rosa de Tres Pétalos.<br />