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Temas de Matemáticas Inc.Mapa Coordenadas Cartesianas Pares Ordenados Un par ordenado es un par de números de la forma ( , ) en donde el orden en que se escriben los números es importante. La forma general de un par ordenado es: (abscisa, ordenada) Cada par ordenado representa un punto en el plano cartesiano y viceversa. 5
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Temas de Matemáticas Inc.Mapa Coordenadas Cartesianas Signos de los pares ordenados 6 Cuadrante I x > 0, y > 0 Cuadrante IV x > 0, y < 0 Cuadrante III x < 0, y < 0 Cuadrante II x < 0, y > 0 Origen -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 y x Eje de las abscisas Eje de las ordenadas (+,-)(-,-) (-,+) (+,+) En el cuadrante I la abscisa y la ordenada son positivas. En el cuadrante II la abscisa es negativa y la ordenada es positiva. En el cuadrante III la abscisa y la ordenada son negativas. En el cuadrante IV la abscisa es positiva y la ordenada es negativa.
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Temas de Matemáticas Inc.Mapa Coordenadas Cartesianas Pares Ordenados 7 Ejemplo: Localiza los siguientes pares ordenados en el plano cartesiano. 1. A(-2, -3) 2. B(2, -4) 3. C(3, 2) 4. D(-1, 3) 5. E(0, 2) 6. F(-1, 0)
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Temas de Matemáticas Inc.Mapa Coordenadas Cartesianas Pares Ordenados 7 1. A(-2, -3) 2. B(2, -4) 3. C(3, 2) 4. D(-1, 3) 5. E(0, 2) 6. F(-1, 0) A(-2, -3) E(0, 2) Puntos cuadrantales -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 y x Ejemplo: Localiza los siguientes pares ordenados en el plano cartesiano. Solución: F(-1, 0) D(-1, 3) C(3, 2) B(2, -4)
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Temas de Matemáticas Inc.Mapa Coordenadas Cartesianas Aplicación 8 Ejemplo: Año Suscriptores 1990 54,871,330 1991 55,786,390 1992 57,211,600 1993 58,834,440 1994 59,332,200 En la tabla de la derecha aparece una lista de la cantidad de suscriptores de TV básica y cable para los años 1990 al 1994. Dibuja una gráfica poligonal de los datos. Explique cómo está cambiando la cantidad de suscriptores.
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Temas de Matemáticas Inc.Mapa Coordenadas Cartesianas Aplicación 8 En la tabla de la derecha aparece una lista de la cantidad de suscriptores de TV básica y cable para los años 1990 al 1994. Dibuja una gráfica poligonal de los datos. Explique cómo está cambiando la cantidad de suscriptores. Año Suscriptores 1990 54,871,330 1991 55,786,390 1992 57,211,600 1993 58,834,440 1994 59,332,200 Ejemplo: Solución: c t 50 52 54 56 58 60 1990 1991 1992 1993 1994 1995 Años Cantidaddesuscriptores 1996 Definir las variables dependiente e independiente y establecer los ejes coordenados. Localizar los pares ordenados de la forma (año, número de suscriptores). Unir los puntos con segmentos de línea para formar el polígono. La cantidad de suscriptores está aumentando.
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Temas de Matemáticas Inc.Mapa Coordenadas Cartesianas Práctica 9 Buscar el Manual de práctica Hacer los ejercicios de la página 1
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Temas de Matemáticas Inc.Mapa Coordenadas Cartesianas Pares Ordenados 10 1. A(2, -3) 2. B(-2, -4) 3. C(4, 3) 4. D(0, 3) Práctica: Localiza los siguientes pares ordenados en el plano cartesiano.
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Temas de Matemáticas Inc.Mapa Coordenadas Cartesianas Pares Ordenados 10 1. A(2, -3) 2. B(-2, -4) 3. C(4, 3) 4. D(0, 3) Práctica: Localiza los siguientes pares ordenados en el plano cartesiano. D(0, 3) Punto cuadrantal Solución: Definir los ejes coordenados. -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 y x Localizar los pares ordenados de la forma ( , ). Localizar la abscisa. Localizar la ordenada. Identificar el par ordenado.A(2, -3) B(-2, -4) C(4, 3)
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Temas de Matemáticas Inc.Mapa Coordenadas Cartesianas Pares Ordenados 11 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 y x Práctica: Escribe las coordenadas cartesianas de los pares ordenados representados gráficamente. A D C B Solución: A B C D
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Temas de Matemáticas Inc.Mapa Coordenadas Cartesianas Pares Ordenados 11 Práctica: Escribe las coordenadas cartesianas de los pares ordenados representados gráficamente. -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 y x A D C B Solución: A B C D (-3, 0) (-2, -2) (1, -3) (2, 3)
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Temas de Matemáticas Inc.Mapa Coordenadas Cartesianas Aplicación 12 La cantidad (en miles) de automóviles vendidos en P.R. para los años 1988 al 1993 está dada en la table de la derecha. Localiza los puntos en el plano cartesiano y traza una gráfica poligonal de los datos. Año # Automobiles 1988 25 1989 20 1990 28 1991 30 1992 15 1993 40 Práctica:
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Temas de Matemáticas Inc.Mapa Coordenadas Cartesianas Aplicación 12 Año # Automobiles 1988 25 1989 20 1990 28 1991 30 1992 15 1993 40 Práctica: La cantidad (en miles) de automóviles vendidos en P.R. para los años 1988 al 1993 está dada en la table de la derecha. Localiza los puntos en el plano cartesiano y traza una gráfica poligonal de los datos. Solución: Definir las variables dependiente e independiente y establecer los ejes coordenados. c t 10 20 30 40 50 60 1988 1989 1990 1991 1992 1993 Años Cantidadenmilesdeautomóviles 1994 Localizar los pares ordenados de la forma (año, número de automóviles). Unir los puntos con segmentos de recta para formar el polígono.
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Temas de Matemáticas Inc.Mapa Coordenadas Cartesianas Distancia entre dos puntos 13 La distancia más corta entre los puntos A y B es la medida de la línea recta que une los puntos A y B. -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 y x A , B , La distancia , entre cualesquiera dos puntos , y B , en un plano cartesiano es , = − + −
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Temas de Matemáticas Inc.Mapa Coordenadas Cartesianas Demostración Fórmula Distancia 14 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 y x A , B , C , Si ≠ y ≠ , entonces los puntos A, B y C , son vértices de un triángulo rectángulo. Ver figura de abajo. − − Por el teorema de Pitágoras , = , + , En la figura de la derecha notamos que , = − y , = − . Dado que = para todo número real a, podemos escribir , = − + − Se aplica raíz cuadrada en ambos lados y obtenemos , = − + − Se puede considerer la distancia entre dos puntos como la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo.
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Temas de Matemáticas Inc.Mapa Coordenadas Cartesianas Distancia entre dos puntos 15 Encuentre la distancia entre los puntos 3,7 y −1,1 . Ejemplo:
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Temas de Matemáticas Inc.Mapa Coordenadas Cartesianas Distancia entre dos puntos 15 Encuentre la distancia entre los puntos 3,7 y −1,1 . Ejemplo: Solución: Identificar las coordenadas , y , 3, 7 −1,1 , , , = − + − , = −4 + −6 , = 16+36 , = 52 Escribir la fórmula de distancia y sustituir las coordenadas de los puntos A y B., = −1 − 3 + 1 − 7−1 3 1 7 Simplificar el radical si es posible., = 4 ∙ 13 , = 2 13 Realizar las operaciones en el orden correcto.
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Temas de Matemáticas Inc.Mapa Coordenadas Cartesianas Distancia entre dos puntos 16 En un mapa el punto A tiene las coordenadas (2, 2.5) y el punto B tiene coordenadas (−4, 3.5). Calcule la distancia entre A y B. Suponga que la escala es en centímetros. Ejemplo:
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Temas de Matemáticas Inc.Mapa Coordenadas Cartesianas Distancia entre dos puntos 16 En un mapa el punto A tiene las coordenadas (2, 2.5) y el punto B tiene coordenadas (−4, 3.5). Calcule la distancia entre A y B. Suponga que la escala es en centímetros. Ejemplo: Solución: Identificar las coordenadas , y , 2, 2.5 −4, 3.5 , , , = − + − , = −6 + 1 , = 36+1 , = 37 Escribir la fórmula de distancia y sustituir las coordenadas de los puntos A y B., = −4 − 2 + 3.5 − 2.5−4 2 3.5 2.5 Simplificar el radical si es posible y contestar la pregunta. La distancia es 37 centímetros Realizar las operaciones en el orden correcto.
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Temas de Matemáticas Inc.Mapa Coordenadas Cartesianas Práctica 17 Buscar el Manual de práctica Hacer los ejercicios de la página 2
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Temas de Matemáticas Inc.Mapa Coordenadas Cartesianas Distancia entre dos puntos 18 Práctica: Encuentre la distancia entre los puntos −1,5 y 4,2 .
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Temas de Matemáticas Inc.Mapa Coordenadas Cartesianas Distancia entre dos puntos 18 Encuentre la distancia entre los puntos −1,5 y 4,2 . Práctica: Solución: Identificar las coordenadas , y , −1, 5 4,2 , , Escribir la fórmula de distancia y sustituir las coordenadas de los puntos A y B. , = − + − , = 4 − (−1) + 2 − 5 Realizar las operaciones en el orden correcto. , = 5 + −3 , = 25+9 , = 34 Simplificar el radical si es posible.
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Temas de Matemáticas Inc.Mapa Coordenadas Cartesianas Distancia entre dos puntos 19 Encuentre las abscisas de los puntos , 3 , si su distancia al punto 3,4 es 17 unidades. Práctica:
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Temas de Matemáticas Inc.Mapa Coordenadas Cartesianas Distancia entre dos puntos 19 Práctica: Encuentre las abscisas de los puntos , 3 , si su distancia al punto 3,4 es 17 unidades. Solución: Identificar las coordenadas , y , , 3 3,4 , , Escribir la fórmula de distancia y sustituir las coordenadas de los puntos A y B. , = − + − 17 = 3 − + 4 − 3 Despejar para la variable en la ecuación formada. 17 = 9 − 6 + +1 17 = − 6 + 10 0 = − 6 − 7 0 = − 7 + 1 = 7 o = −1 La abscisa tiene dos posibles valores estos son −1 y 7.
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Temas de Matemáticas Inc.Mapa Coordenadas Cartesianas El Punto Medio entre dos puntos 20 1x 2x 1y 2y 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y El punto medio del segmento de línea con extremos en , y B , en un plano cartesiano es #$ , = + 2 , + 2 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 y x #$ Punto medio es el punto que divide a un segmento en dos partes iguales. El punto medio de un segmento, es único y equidista de los extremos del segmento.
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Temas de Matemáticas Inc.Mapa Coordenadas Cartesianas El Punto Medio entre dos puntos 21 Encuentre el punto medio del segmento cuyos extremos están en los puntos 3,7 y −1,1 . Ejemplo:
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Temas de Matemáticas Inc.Mapa Coordenadas Cartesianas El Punto Medio entre dos puntos 21 Encuentre el punto medio del segmento cuyos extremos están en los puntos 3,7 y −1,1 . Ejemplo: Solución: Identificar las coordenadas , y , Escribir la fórmula del punto medio y sustituir las coordenadas de los puntos A y B. Realizar las operaciones en el orden correcto. 3, 7 −1,1 , , #$ , = + 2 , + 2 #$ , = 3 + −1 2 , 7 + 1 2 #$ , = 2 2 , 8 2 Simplificar la expresión si es posible. #$ , = 1, 4
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Temas de Matemáticas Inc.Mapa Coordenadas Cartesianas El Punto Medio entre dos puntos 22 La cadena de los supermercados Colón tuvo unas ventas anuales de $2.2 millones en 2007 y de $3.0 millones en 2011. Haga un estimado de las ventas de estos supermercados en el 2009. Asumir que las ventas siguieron un patrón lineal. Ejemplo:
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Temas de Matemáticas Inc.Mapa Coordenadas Cartesianas El Punto Medio entre dos puntos 22 La cadena de los supermercados Colón tuvo unas ventas anuales de $2.2 millones en 2007 y de $3.0 millones en 2011. Haga un estimado de las ventas de estos supermercados en el 2009. Asumir que las ventas siguieron un patrón lineal. Ejemplo: Solución: #$ , = + 2 , + 2 2007, 2.2 2011,3.05 , , Identificar las coordenadas , y , . Escribir la fórmula del punto medio, sustituir las coordenadas de los puntos A y B y simplificar. #$ , = 2007 + 2011 2 , 2.2 + 3.0 2 Las ventas en el 2009 fueron de 2.6 millones.#$ , = 2009, 2.6 #$ , = 2018 2 , 5.2 2 Como el año 2009 es el medio de los años 2007 y 2011 se usa la fórmula de punto medio.
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Temas de Matemáticas Inc.Mapa Coordenadas Cartesianas El Punto Medio entre dos puntos 23 Ejemplo: Las coordenadas −2,6 pertenecen al punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos , y 5,3 .
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Temas de Matemáticas Inc.Mapa Coordenadas Cartesianas El Punto Medio entre dos puntos 23 Ejemplo: Solución: Identificar las coordenadas , y , Formar una ecuación para la abscisa y otra para la ordenada. , 5,3 , , Las coordenadas −2,6 pertenecen al punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos , y 5,3 . Escribir la fórmula del punto medio y sustituir las coordenadas de los puntos A, B y PM. #$ , = + 2 , + 2 −2,6 = + 5 2 , + 3 2 −2 = + 5 2 6 = + 3 2 Despejar para la variable cada ecuación. 2 2 2 2 Las coordenadas del punto son −9, 9 . −4 = + 5 −9 = 12 = + 3 9 =
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Temas de Matemáticas Inc.Mapa Coordenadas Cartesianas Práctica 24 Buscar el Manual de práctica Hacer los ejercicios de la página 4
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Temas de Matemáticas Inc.Mapa Coordenadas Cartesianas El Punto Medio entre dos puntos 25 Encuentre el punto medio del segmento cuyos extremos están en los puntos −2,4 y 1, −1 . Práctica:
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Temas de Matemáticas Inc.Mapa Coordenadas Cartesianas El Punto Medio entre dos puntos 25 Encuentre el punto medio del segmento cuyos extremos están en los puntos −2,4 y 1, −1 . Práctica: Solución: Identificar las coordenadas , y , . −2, 4 1, −1 , , Escribir la fórmula del punto medio y sustituir las coordenadas de los puntos A y B. #$ , = + 2 , + 2 #$ , = (−2) + 1 2 , 4 + (−1) 2 Realizar las operaciones en el orden correcto. #$ , = −1 2 , 3 2 Simplificar la expresión si es posible.
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Temas de Matemáticas Inc.Mapa Coordenadas Cartesianas El Punto Medio entre dos puntos 26 Encuentre el punto medio del segmento cuyos extremos están en los puntos 2,3 y 4, −5 . Práctica:
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Temas de Matemáticas Inc.Mapa Coordenadas Cartesianas El Punto Medio entre dos puntos 26 Encuentre el punto medio del segmento cuyos extremos están en los puntos 2,3 y 4, −5 . Práctica: Solución: Identificar las coordenadas , y , . 2, 3 4, −5 , , Escribir la fórmula del punto medio y sustituir las coordenadas de los puntos A y B. #$ , = + 2 , + 2 #$ , = 2 + 4 2 , 3 + (−5) 2 Realizar las operaciones en el orden correcto. #$ , = 6 2 , −2 2 Simplificar la expresión si es posible.#$ , = 3, −1
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Temas de Matemáticas Inc.Mapa Coordenadas Cartesianas El Punto Medio entre dos puntos 27 La empresa Kmart vendio 25.3 millones en el 1996 y 36.9 millones en el 2000. Estime las ventas de Kmart para el año 1998. Asumir que las ventas siguieron un patrón lineal. Práctica:
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Temas de Matemáticas Inc.Mapa Coordenadas Cartesianas El Punto Medio entre dos puntos 27 La empresa Kmart vendio 25.3 millones en el 1996 y 36.9 millones en el 2000. Estime las ventas de Kmart para el año 1998. Asumir que las ventas siguieron un patrón lineal. Práctica: Solución: El año 1998 es el medio de los años 1996 y 2000 por lo tanto se usa la fórmula de punto medio. Identificar las coordenadas , y , . 1996, 25.3 2000, 36.9 , , Escribir la fórmula del punto medio, sustituir las coordenadas de los puntos A y B y simplificar. #$ , = + 2 , + 2 #$ , = 1996 + 2000 2 , 25.3 + 36.9 2 #$ , = 3996 2 , 62.2 2 #$ , = 1998, 31.1 Las ventas de Kmart en el 1998 fueron de 31.1 millones.
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Temas de Matemáticas Inc.Mapa Coordenadas Cartesianas Mapa Coordenadas Cartesianas 28 Punto Medio