Coordenadas cartesianas (slide share)

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Coordenadas Cartesianas

www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Coordenadas Cartesianas
Objetivos:
Localizar puntos en el plano cartesiano.
Trazar la gráfica (poligonal) de un conjunto de puntos.
Encontrar la distancia entre dos puntos en el plano.
Encontrar el punto medio entre dos puntos en el plano.
Aplicar la fórmula de distancia y punto medio.
2

Un plano cartesiano se compone de dos
rectas numéricas reales que se intersecan
formando un ángulo de 90 grados en el cero
de las dos rectas.
El plano cartesiano se utiliza como sistema
de referencia para localizar puntos en un
plano.
Plano Cartesiano
3

Plano Cartesiano
4
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
y
x
En el plano, las coordenadas
cartesianas se denominan abscisa y
ordenada. La abscisa es la
coordenada horizontal, generalmente
se representa por la letra,
mientras que la ordenada es la
coordenada vertical, generalmente
se representa por la letra .
Eje de las abscisas
Eje de las ordenadas
El punto donde se intersecan los
eje se le llama Origen del Sistema.
Origen
Los ejes dividen el plano en
cuatro regiones llamados Cuadrantes
numeradas con Números Romanos.
Cuadrante I
x > 0, y > 0
Cuadrante II
x < 0, y > 0
Cuadrante III
x < 0, y < 0
Cuadrante IV
x > 0, y < 0

Pares Ordenados
Un par ordenado es un par de números
de la forma ( , ) en donde el orden en que
se escriben los números es importante. La
forma general de un par ordenado es:
(abscisa, ordenada)
Cada par ordenado representa un punto
en el plano cartesiano y viceversa.
5

Signos de los pares ordenados
6
Cuadrante I
x > 0, y > 0
Cuadrante IV
x > 0, y < 0
Cuadrante III
x < 0, y < 0
Cuadrante II
x < 0, y > 0
Origen
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
y
x
Eje de las abscisas
Eje de las ordenadas
(+,-)(-,-)
(-,+) (+,+)
En el cuadrante I la
abscisa y la ordenada son
positivas.
En el cuadrante II la
abscisa es negativa y la
ordenada es positiva.
En el cuadrante III la
abscisa y la ordenada son
negativas.
En el cuadrante IV la
abscisa es positiva y la
ordenada es negativa.

Pares Ordenados
7
Ejemplo:
Localiza los siguientes pares ordenados en el plano
cartesiano.
1. A(-2, -3)
2. B(2, -4)
3. C(3, 2)
4. D(-1, 3)
5. E(0, 2)
6. F(-1, 0)

Pares Ordenados
7
1. A(-2, -3)
2. B(2, -4)
3. C(3, 2)
4. D(-1, 3)
5. E(0, 2)
6. F(-1, 0)
A(-2, -3)
E(0, 2)
Puntos
cuadrantales
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
y
x
Ejemplo:
Localiza los siguientes pares ordenados en el plano
cartesiano.
Solución:
F(-1, 0)
D(-1, 3)
C(3, 2)
B(2, -4)

Aplicación
8
Ejemplo: Año Suscriptores
1990 54,871,330
1991 55,786,390
1992 57,211,600
1993 58,834,440
1994 59,332,200
En la tabla de la derecha aparece una lista de la
cantidad de suscriptores de TV básica y cable para
los años 1990 al 1994. Dibuja una gráfica poligonal
de los datos. Explique cómo está cambiando la
cantidad de suscriptores.

Aplicación
8
En la tabla de la derecha aparece una lista de la
cantidad de suscriptores de TV básica y cable para
los años 1990 al 1994. Dibuja una gráfica poligonal
de los datos. Explique cómo está cambiando la
cantidad de suscriptores.
Año Suscriptores
1990 54,871,330
1991 55,786,390
1992 57,211,600
1993 58,834,440
1994 59,332,200
Ejemplo:
Solución:
c
t
50
52
54
56
58
60
1990 1991 1992 1993 1994 1995
Años
Cantidaddesuscriptores
1996
Definir las variables dependiente e
independiente y establecer los ejes
coordenados.
Localizar los pares ordenados de la
forma (año, número de suscriptores).
Unir los puntos con segmentos de
línea para formar el polígono.
La cantidad de suscriptores está
aumentando.

Práctica
9
Buscar el Manual de práctica
Hacer los ejercicios de la página 1

Pares Ordenados
10
1. A(2, -3) 2. B(-2, -4) 3. C(4, 3) 4. D(0, 3)
Práctica:
Localiza los siguientes pares ordenados en el plano cartesiano.

Pares Ordenados
10
1. A(2, -3) 2. B(-2, -4) 3. C(4, 3) 4. D(0, 3)
Práctica:
Localiza los siguientes pares ordenados en el plano cartesiano.
D(0, 3)
Punto
cuadrantal
Solución:
Definir los ejes coordenados.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
y
x
Localizar los pares ordenados
de la forma ( , ).
Localizar la abscisa.
Localizar la ordenada.
Identificar el par ordenado.A(2, -3)
B(-2, -4)
C(4, 3)

Pares Ordenados
11
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
y
x
Práctica:
Escribe las coordenadas cartesianas de los pares ordenados
representados gráficamente.
A
D
C
B
Solución:
A
B
C
D

Pares Ordenados
11
Práctica:
Escribe las coordenadas cartesianas de los pares ordenados
representados gráficamente.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
y
x
A
D
C
B
Solución:
A
B
C
D (-3, 0)
(-2, -2)
(1, -3)
(2, 3)

Aplicación
12
La cantidad (en miles) de automóviles vendidos
en P.R. para los años 1988 al 1993 está dada en la
table de la derecha. Localiza los puntos en el plano
cartesiano y traza una gráfica poligonal de los
datos.
Año # Automobiles
1988 25
1989 20
1990 28
1991 30
1992 15
1993 40
Práctica:

Aplicación
12
Año # Automobiles
1988 25
1989 20
1990 28
1991 30
1992 15
1993 40
Práctica:
La cantidad (en miles) de automóviles vendidos
en P.R. para los años 1988 al 1993 está dada en la
table de la derecha. Localiza los puntos en el plano
cartesiano y traza una gráfica poligonal de los
datos.
Solución:
Definir las variables dependiente e
independiente y establecer los ejes
coordenados.
c
t
10
20
30
40
50
60
1988 1989 1990 1991 1992 1993
Años
Cantidadenmilesdeautomóviles
1994
Localizar los pares ordenados de la
forma (año, número de automóviles).
Unir los puntos con segmentos de
recta para formar el polígono.

Distancia entre dos puntos
13
La distancia más corta
entre los puntos A y B es la
medida de la línea recta
que une los puntos A y B.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
y
x
A ,
B ,
La distancia , entre cualesquiera dos puntos
, y B , en un plano cartesiano es
, = − + −

Demostración Fórmula Distancia
14
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
y
x
A ,
B ,
C ,
Si ≠ y ≠ , entonces los puntos A, B y C , son
vértices de un triángulo rectángulo. Ver figura de abajo.
−
−
Por el teorema de Pitágoras
, = , + ,
En la figura de la derecha
notamos que , = − y
, = − .
Dado que = para todo
número real a, podemos escribir
, = − + −
Se aplica raíz cuadrada en
ambos lados y obtenemos
, = − + −
Se puede considerer la
distancia entre dos puntos como
la longitud de la hipotenusa de
un triángulo rectángulo.

15
Encuentre la distancia entre los puntos 3,7 y −1,1 .
Ejemplo:

15
Encuentre la distancia entre los puntos 3,7 y −1,1 .
Ejemplo:
Solución:
Identificar las coordenadas
, y ,
3, 7 −1,1
, ,
, = − + −
, = −4 + −6
, = 16+36
, = 52
Escribir la fórmula de distancia
y sustituir las coordenadas de los
puntos A y B., = −1 − 3 + 1 − 7−1 3 1 7
Simplificar el radical si es
posible., = 4 ∙ 13
, = 2 13
Realizar las operaciones en el
orden correcto.

16
En un mapa el punto A tiene las coordenadas (2, 2.5) y el punto B
tiene coordenadas (−4, 3.5). Calcule la distancia entre A y B. Suponga
que la escala es en centímetros.
Ejemplo:

16
En un mapa el punto A tiene las coordenadas (2, 2.5) y el punto B
tiene coordenadas (−4, 3.5). Calcule la distancia entre A y B. Suponga
que la escala es en centímetros.
Ejemplo:
Solución:
, y ,
2, 2.5 −4, 3.5
, ,
, = − + −
, = −6 + 1
, = 36+1
, = 37
puntos A y B., = −4 − 2 + 3.5 − 2.5−4 2 3.5 2.5
posible y contestar la pregunta.
La distancia es 37 centímetros
orden correcto.

Práctica
17

18
Práctica:
Encuentre la distancia entre los puntos −1,5 y 4,2 .

18
Encuentre la distancia entre los puntos −1,5 y 4,2 .
Práctica:
Solución:
, y ,
−1, 5 4,2
, ,
puntos A y B.
, = − + −
, = 4 − (−1) + 2 − 5
orden correcto.
, = 5 + −3
, = 25+9
, = 34
posible.

19
Encuentre las abscisas de los puntos , 3 , si su distancia al punto
3,4 es 17 unidades.
Práctica:

19
Práctica:
Encuentre las abscisas de los puntos , 3 , si su distancia al punto
3,4 es 17 unidades.
Solución:
, y ,
, 3 3,4
, ,
puntos A y B.
, = − + −
17 = 3 − + 4 − 3
Despejar para la variable en la
ecuación formada.
17 = 9 − 6 + +1
17 = − 6 + 10
0 = − 6 − 7
0 = − 7 + 1
= 7 o = −1
La abscisa tiene dos posibles
valores estos son −1 y 7.

El Punto Medio entre dos puntos
20
1x
2x
1y
2y
1 1( , )A x y
2 2( , )B x y
El punto medio del segmento de línea con extremos en
, y B , en un plano cartesiano es
#$ , =
+
2
,
+
2
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
y
x
#$
Punto medio es el punto que
divide a un segmento en dos partes
iguales.
El punto medio de un segmento,
es único y equidista de los
extremos del segmento.

21
Encuentre el punto medio del segmento cuyos extremos están en los
puntos 3,7 y −1,1 .
Ejemplo:

21
puntos 3,7 y −1,1 .
Ejemplo:
Solución:
, y ,
Escribir la fórmula del punto
medio y sustituir las coordenadas
de los puntos A y B.
orden correcto.
3, 7 −1,1
, ,
#$ , =
+
2
,
+
2
#$ , =
3 + −1
2
,
7 + 1
2
#$ , =
2
2
,
8
2 Simplificar la expresión si es
posible.
#$ , = 1, 4

22
La cadena de los supermercados Colón tuvo unas ventas anuales de
$2.2 millones en 2007 y de $3.0 millones en 2011. Haga un estimado
de las ventas de estos supermercados en el 2009. Asumir que las
ventas siguieron un patrón lineal.
Ejemplo:

22
La cadena de los supermercados Colón tuvo unas ventas anuales de
$2.2 millones en 2007 y de $3.0 millones en 2011. Haga un estimado
de las ventas de estos supermercados en el 2009. Asumir que las
Ejemplo:
Solución:
#$ , =
+
2
,
+
2
2007, 2.2 2011,3.05
, ,
Identificar las coordenadas ,
y , .
medio, sustituir las coordenadas de
los puntos A y B y simplificar.
#$ , =
2007 + 2011
2
,
2.2 + 3.0
2
Las ventas en el 2009 fueron de 2.6
millones.#$ , = 2009, 2.6
#$ , =
2018
2
,
5.2
2
Como el año 2009 es el medio de
los años 2007 y 2011 se usa la
fórmula de punto medio.

23
Ejemplo:
Las coordenadas −2,6 pertenecen al punto medio del segmento
cuyos extremos son los puntos , y 5,3 .

23
Ejemplo:
Solución:
, y ,
Formar una ecuación para la
abscisa y otra para la ordenada.
, 5,3
, ,
Las coordenadas −2,6 pertenecen al punto medio del segmento
cuyos extremos son los puntos , y 5,3 .
de los puntos A, B y PM.
#$ , =
+
2
,
+
2
−2,6 =
+ 5
2
,
+ 3
2
−2 =
+ 5
2
6 =
+ 3
2 Despejar para la variable cada
ecuación.
2 2 2 2
Las coordenadas del punto
son −9, 9 .
−4 = + 5
−9 =
12 = + 3
9 =

Práctica
24

25
puntos −2,4 y 1, −1 .
Práctica:

25
puntos −2,4 y 1, −1 .
Práctica:
Solución:
, y , .
−2, 4 1, −1
, ,
#$ , =
+
2
,
+
2
#$ , =
(−2) + 1
2
,
4 + (−1)
2
orden correcto.
#$ , =
−1
2
,
3
2
Simplificar la expresión si es
posible.

26
puntos 2,3 y 4, −5 .
Práctica:

26
puntos 2,3 y 4, −5 .
Práctica:
Solución:
, y , .
2, 3 4, −5
, ,
#$ , =
+
2
,
+
2
#$ , =
2 + 4
2
,
3 + (−5)
2 Realizar las operaciones en el
orden correcto.
#$ , =
6
2
,
−2
2 Simplificar la expresión si es
posible.#$ , = 3, −1

27
La empresa Kmart vendio 25.3 millones en el 1996 y 36.9 millones en
el 2000. Estime las ventas de Kmart para el año 1998. Asumir que las
Práctica:

27
La empresa Kmart vendio 25.3 millones en el 1996 y 36.9 millones en
el 2000. Estime las ventas de Kmart para el año 1998. Asumir que las
Práctica:
Solución:
El año 1998 es el medio de los años
1996 y 2000 por lo tanto se usa la
fórmula de punto medio.
Identificar las coordenadas ,
y , .
1996, 25.3 2000, 36.9
, ,
medio, sustituir las coordenadas de
los puntos A y B y simplificar.
#$ , =
+
2
,
+
2
#$ , =
1996 + 2000
2
,
25.3 + 36.9
2
#$ , =
3996
2
,
62.2
2
#$ , = 1998, 31.1
Las ventas de Kmart en el 1998
fueron de 31.1 millones.

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28
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