El documento describe el análisis de varianza (ANOVA) para un diseño de cuadrados latinos. Explica que este diseño permite controlar dos fuentes de variación al mismo tiempo agrupando unidades experimentales en bloques de acuerdo a dos factores. Luego resume los pasos del ANOVA, incluyendo la descomposición de la suma de cuadrados totales, la obtención de estimadores independientes de la varianza, y la prueba de hipótesis utilizando la distribución F.

1. Cuadrados latinos ANOVA Resumen
Estadística III
Cuarta Lectura
David Medina
ITSPe
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Estadística III Cuarta Lectura

2. Cuadrados latinos ANOVA Resumen
Outline
Cuadrados latinos
Introducción
ANOVA
Modelo
Análisis de varianza
Resumen
Resumen ANOVA
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3. Cuadrados latinos ANOVA Resumen
Introducción
Introducción
Supongamos que se tiene un experimento agrícola donde las
unidades experimentales son parcelas, pero estas parcelas
están ubicadas en diferentes tipos de suelo y además tienen
diferentes valores de pH. Se podría pensar en realizar un
diseño en bloques completamente aleatorio usando cualquiera
de estas dos características: realizando bloques de acuerdo a
los valores de pH o bloques que consideren los diferentes tipos
de suelo.
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4. Cuadrados latinos ANOVA Resumen
Introducción
Introducción
Otra alternativa es realizar un doble bloqueo, o sea bloques en
dos direcciones, que consideren las dos fuentes de variación.
A este tipo de diseño se le denomina cuadrado latino, donde
se tiene un conjunto de t tratamientos y t2 unidades
experimentales, que son agrupadas por dos factores.
Para un diseño de cuadrados latinos t × t, se tienen t
tratamientos que se asignan aleatoriamente a t2 unidades
experimentales, de tal manera que cada tratamiento aparece
una sola vez, en cada fila y columna, al cual se le denota por
una letra latina: A, B, C, etc. De ahí el nombre de cuadrado
latino.
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5. Cuadrados latinos ANOVA Resumen
Introducción
Introducción
Si se requiere analizar el rendimiento de 4 variedades de trigo
utilizando 4 fertilizantes durante un periodo de 4 años, el
número de tratamientos para un diseño aleatorio sería de 64.
Sin embargo con un cuadrado latino se puede analizar el
rendimiento seleccionando al azar sólo 16 resultados que se
muestran en un cuadro como el siguiente:
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6. Cuadrados latinos ANOVA Resumen
Introducción
Introducción
1 2 3 4
1 A B C D
2 D A B C
3 C D A B
4 B C D A
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7. Cuadrados latinos ANOVA Resumen
Introducción
Introducción
Las cuatro letras A, B, C y D representan las 4 variedades de
trigo a que se alude como tratamientos. Los renglones y las
columnas, representados por los 4 fertilizantes y los 4 años,
respectivamente, son las dos fuentes de variación que se
desea controlar.
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8. Cuadrados latinos ANOVA Resumen
Modelo
Modelo
Se considera un cuadrado latino de r × r, donde yijk denota
una observación en el i-ésimo renglón y en la j-ésima columna
para la k-ésima letra. Observe que una vez que se especifican
la i y la j para un cuadrado latino en particular, en forma
automática se conoce la letra determinada por k. Por ejemplo,
en el cuadrado latino de 4 × 4 anterior, cuando i = 2 y j = 3 se
tiene que k = B. Si αi y βj son los efectos del i-ésimo renglón y
la j-ésima columna, τk el efecto del k-ésimo tratamiento, µ la
media general, y ijk el error aleatorio, entonces:
yijk = µ + αi + βj + τk + ijk ,
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9. Cuadrados latinos ANOVA Resumen
Modelo
Modelo
a la que se imponen las restricciones:
i
αi =
j
βj =
k
τk = 0.
Las hipótesis a probar son las siguientes:
H0 : τ1 = τ2 = · · · = τk = 0,
H1 : Al menos una de las τi no es igual a cero.
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10. Cuadrados latinos ANOVA Resumen
Análisis de varianza
ANOVA
Esta prueba se basará en la comparación de estimadores
independientes de σ2, obtenidos con la descomposición de la
suma total de cuadrados de nuestros datos en cuatro
componentes usando la siguiente identidad.
Teorema
i j k
(yijk − ¯y...)2
= r
i
(¯yi.. − ¯y...)2
+ r
j
(¯y.j. − ¯y...)2
+ r
k
(¯y..k − ¯y...)2
+
i j k
(yijk − ¯yi.. − ¯y..k + 2¯y...)2
.
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11. Cuadrados latinos ANOVA Resumen
Análisis de varianza
ANOVA
Simbólicamente, la identidad de la suma de cuadrados se
escribe así:
SST = SSR + SSC + SSTr + SSE,
donde SSR y SSC se denominan suma de cuadrados del
renglón y suma de cuadrados de la columna, respectivamente;
SSTr recibe el nombre de suma de cuadrado del tratamiento, y
SSE esla suma de cuadrados del error.
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12. Cuadrados latinos ANOVA Resumen
Análisis de varianza
ANOVA
Se obtienen cuatro estimadores independientes de σ2:
s2
1 =
SSR
r − 1
,
s2
2 =
SSC
r − 1
,
s2
3 =
SSTr
r − 1
,
s2
=
SSE
(r − 1)(r − 2)
.
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13. Cuadrados latinos ANOVA Resumen
Análisis de varianza
ANOVA
La hipótesis nula se rechaza con el nivel de significancia α
cuando
f > fα[r − 1, (r − 1)(r − 2)],
donde
f =
s2
3
s2
,
y fα[r − 1, (r − 1)(r − 2)] es el valor de una variable que tiene
una distribución F con r − 1 y (r − 1)(r − 2) grados de libertad.
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14. Cuadrados latinos ANOVA Resumen
Resumen ANOVA
Resumen
F. V. S. C. G. L. M. C. f
Renglones SSR r − 1 s2
1 = SSR
r−1
Columnas SSC r − 1 s2
2 = SSC
r−1
Tratamientos SSTr r − 1 s2
3 = SSTr
r−1 f =
s2
3
s2
Error SSE (r − 1)(r − 2) s2 = SSE
(r−1)(r−2)
Total SST r2 − 1
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15. Cuadrados latinos ANOVA Resumen
Resumen ANOVA
Resumen
F. V. Fuente de variación.
S. C. Suma de cuadrados.
G. L. Grados de libertad.
M. C. Media cuadrática
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