Este documento describe el sistema de coordenadas polares, incluyendo sus características, cómo convertir entre coordenadas polares y cartesianas, y ejemplos de funciones gráficas en coordenadas polares como rosas, limaçones, lemniscata, parábolas y espirales.

1. Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación superior universitaria
Universidad Fermín Toro
Catedra: Matemática II
Sección-. M-812
COORDENADAS POLARES
Profesor: Oscar Pereira Alumno: Joel Barrios
C.I: V-19.290.571
Acarigua, 28 Abril del 2018

2. SISTEMA DE COORDENADAS
Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto
de un espacio geométrico respecto de un punto denominado origen. El conjunto de ejes, puntos o planos que confluyen en
el origen y a partir de los cuales se calculan las coordenadas de cualquier punto, constituyen lo que se denomina sistema
de referencia.
SISTEMA DE COORDENADAS POLARES
En muchos casos es útil utilizar las coordenadas cartesianas para definir una función
en el plano o en el espacio. Aunque en muchos otros, definir ciertas funciones en
dichas coordenadas puede resultar muy tedioso y complicado. En dichos casos,
hacer uso de las coordenadas polares o esféricas puede simplificarnos la vida.
CARACTERISTICAS
Si se elije en el plano un punto O (Polo) y una recta o eje polar, que tiene su origen en el punto O. La posición de un punto
en el plano se representa por dos números: ρ y φ. El primero indica la distancia del punto M al Polo, y el segundo, el valor
del ángulo formado por el segmento OM con el eje polar.
Para calcular el ángulo φ se considera positiva la dirección contraria a las manecillas del reloj. Los números ρ y φ se
denominan coordenadas polares del punto M.
El radio vector ρ se considera siempre no negativo, si el ángulo polar φ en los límites de 0 ≤ φ≤ 2π, a cada punto del plano a
acepción del Polo le corresponde un par de valores ρ y φ. En el polo ρ = 0 y φ puede tener cualquier valor.

3. CONVERSIÓN DE COORDENADAS
La representación de un punto en el plano o el espacio, se puede hacer mediante diferentes sistemas de coordenadas. En
estos momentos nos ocupan los sistemas de coordenadas rectangulares y polares.
Es lógico pensar que existe una equivalencia entre los diferentes sistemas, en este caso nos ocuparemos de la conversión del
rectangular al polar y viceversa.
En este tópico se incluyen algunas gráficas para mostrar la ubicación de un punto en cada uno de los sistemas respectivos.
De cartesianas a polares
Si tienes un punto en coordenadas cartesianas (x,y) y lo quieres en coordenadas polares (r,θ), necesitas resolver un triángulo
del que conoces dos lados.
Usamos el teorema de Pitágoras para calcular el lado largo (la hipotenusa):
• r2 = 122 + 52
• r = √ (122 + 52)
• r = √ (144 + 25) = √ (169) = 13
• Usa la función tangente para calcular el ángulo:
• tan( θ ) = 5 / 12
• θ = atan( 5 / 12 ) = 22.6°
• Así que las fórmulas para convertir coordenadas cartesianas (x,y) a polares (r,θ) son:
• r = √ (x2 + y2)
• θ = atan( y / x )

4. De polares a cartesianas
Si tienes un punto en coordenadas polares (r, θ) y lo quieres en coordenadas cartesianas (x,y) necesitas resolver un
triángulo del que conoces el lado largo y un ángulo:
Usamos la función coseno para x: cos( 23 °) = x / 13
Cambiamos de orden y resolvemos:
x = 13 × cos( 23 °) = 13 × 0.921 =
11.98
Usamos la función seno para y: sin( 23 °) = y / 13
Cambiamos de orden y resolvemos: y = 13 × sin( 23 °) = 13 × 0.391 = 5.08
Así que las fórmulas para convertir coordenadas polares (r,θ) a cartesianas (x,y)
son:
x = r × cos( θ )
y = r × sin( θ )

5. ACONTINUACION VEREMOS ALGUNOS
EJEMPLOS DE GRAFICAS EN EL SISTEMA DE
COORDENADAS POLARES.

6. ROSA DE CUATRO HOJAS/PÉTALOS
Este tipo de gráfico se conoce como Rosa de cuatro pétalos. Es fácil ver cómo se forma una figura parecida a una rosa con
cuatro pétalos. La función para este gráfico es:

7. ROSA DE TRES HOJAS/PÉTALOS
Presentamos ahora el gráfico llamado Rosa de tres pétalos. Analógicamente al gráfico de la rosa de cuatro pétalos, este
gráfico es parecido pero tiene sólo tres hojas o pétalos en su forma gráfica. Un ejemplo es el siguiente:

8. LIMACONES O CARACOLES
Limaçon viene del latín limax que significa caracol. El caracol de Pascal, lo descubrió Etienne Pascal padre de Blaise Pascal
en la primera mitad del siglo XVII y el nombre se lo dio Roberval en 1650 cuando la usó como ejemplo para mostrar su
método para trazar tangentes. Un limaçon o las gráficas polares que generan limaçones son las funciones en coordenadas
polares con la forma:
Ahora veamos un ejemplo concreto de un gráfico de este tipo, donde se muestra un caracol que apunta hacia la derecha y
que tiene un lazo interior. La función para este gráfico es la siguiente:
r = 1 + b cos

9. LEMNISCATA
En matemáticas, una leminscata es un tipo de curva descrita por la siguiente ecuación en coordenadas polares:
La representación gráfica de esta ecuación genera una curva similar a
La curva se ha convertido en el símbolo del infinito y es ampliamente utilizada en matemáticas. El símbolo en sí mismo
es, a veces, llamado lemniscata. Un ejemplo de esta función con su respectivo gráfico lo apreciamos a continuación:

10. PARÁBOLA
Esta figura es muy conocida en el mundo del Cálculo. Tal como podemos generar funciones de parábolas en coordenadas
cartesianas, lo podemos hacer también en coordenadas polares. Veamos el ejemplo:

11. ESPIRAL
Este gráfico tiene la forma de una espiral, tal como su nombre lo indica. La espiral más simple la podemos encontrar al
mirar una cuerda enrollada sobre sí misma. La forma de una espiral la vemos en una serpiente enrollada por ejemplo.
El gráfico que se presenta a continuación es también conocido como Espiral de Arquímedes, precisamente en honor
Arquímedes, quien fue un notable físico y matemático griego que al ser fascinado por la belleza de esta curva, realizó un
estudio profundo sobre sus propiedades matemáticas en su escrito titulado Sobre las espirales, escrito en el siglo III antes
de Cristo.
Para mostrar el gráfico que se forma, presentamos la siguiente función en coordenadas polares que formará la espiral
polar siguiente: