Apoyo 2 para unidad 8

GEOMETRIA ANALITICA
CUADERNO DE EJERCICIOS
EL MATERIAL QUE SE PRESENTA EN ESTE CUADERNO DE EJERCICIOS CORRESPONDE AL PROGRAMA VIGENTE DEL CURRICULUM DEL BACHILLERATO DE LA U.A.E.M.
PRESENTA EJERCICIOS QUE APOYAN EL PROCESO DE ENSEÑANZA- APRENDIZAJE DEL ALUMNO CON UN ENFOQUE POR COMPETENCIAS DE CADA UNO DE LOS MODULOS DEL PROGRAMA
ROBERTO MERCADO DORANTES
25/10/2011

Roberto Mercado Dorantes Página 2
PROGRAMA
MODULO I RECTA
MODULOII CIRCUNFERENCIA
MODULO III PARÁBOLA
MODULO IV ELIPSE
MODULO VI HIPERBOLA

INDICE
PORTADA 1
PROGRAMA 2
INDICE 3
MODULO I 4-13
MODULO II 14-17
MODULO III 18-23
MODULO IV 24-34
MODULO V 35-42
BIBLIOGRAFIA 43

MODULO I
OBJETIVO
Calcular ecuaciones de rectas, graficarlas y resolver problemas cuya modelación conduzca a
ecuaciones de rectas.
OBJETIVOS PARTICULARES:
Calcular la ecuación de una recta, dados como datos: dos puntos, pendiente y un punto, el
ángulo de inclinación y un punto.
Obtener la ecuación de una recta, a partir de la pendiente y ordenada al origen.
Identificar la pendiente, la abscisa y la ordenada al origen a partir de la ecuación general
de una recta.
Graficar la recta a partir de su ecuación general.
Reconocer que toda ecuación de primer grado se representa como una recta y
recíprocamente.
Resolver problemas que involucren el concepto de distancia de un punto a una recta
Evidencias de aprendizaje
1. Obtén las coordenadas de los siguientes puntos mostrados en el plano cartesiano
A ( ), B ( ), C ( ), D ( ), E ( )

2. Calcula el perímetro del siguiente polígono que se muestra en la figura
3. Determine las coordenadas del P(x, y) , que divide al segmento AB cuyos extremos son:
A (1,-1) Y B (10,10) en la razón
3
1
r , e indique si es punto de trisección. Grafique
P=

4. Determine las coordenadas del punto medio de un segmento de recta delimitado por los puntos A (-5,3) y B (6,1/2). Grafique
5. Señala gráficamente la pendiente m del segmento de recta que se muestra en la figura y obtén el valor de su ángulo de inclinación

6. Calcula el ángulo interior del triángulo con vértice en el punto A del triángulo formado por los puntos A (-1,1), B (2,5) y C (4,-3). Grafique
7. Halle la ecuación del conjunto de puntos, tales que el triple de su ordenada disminuida en seis unidades es igual al cuádruple de su abscisa.

8. Halle la ecuación del conjunto de puntos que equidistan ocho unidades del punto
A( 3,4) . Grafique
9. Grafica en el plano cartesiano las siguientes ecuaciones:
c x y
b y
a x
) 2
) 4

10. Obtenga la ecuación de la recta que contiene al punto P (2,3) y su ángulo de inclinación es
0 135 . Grafique
11. Obtenga la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (-2,-3) y B (2,5). Grafique

12. Halle la ecuación de la recta que tiene pendiente m=1/3 y su intersección con el eje Y es el
punto (0,-2). Grafique
13. Obtenga la pendiente da cada una de las siguientes rectas:
)5 4 15 0
) 5 0
)2 3 10 0
c x y
b x y
a x y
14. Determine la ecuación general de la recta que contiene al origen y es paralela a la recta
2x 3y 12 0
a) m=…………………………….
b) m=…………………………….
c) m=-------------------------

15. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto P (-4,3) Y es perpendicular a la recta
x 2y 0
15. Determine el valor de k para que la recta 2kx (k 2)y 10 0, sea perpendicular a la
recta que tiene por ecuación 7x 10y 12 0 .
16. Determine la distancia del punto P(5,-6) a la recta: 3x 4y 6 0

1. Escribe la ecuación cuya pendiente es m 3 y su intersección con el eje y
es el punto (0,2). (Utiliza Geogebra para representar su lugar geométrico).
2. Escribe la ecuación de la recta de pendiente
3
2
y ordenada en el origen
igual a 4 (Utiliza Geogebra para representar su lugar geométrico).
3. La siguiente ecuación y 4x 50 representa el sueldo de Luis que trabaja
en una florería, donde y representa el salario semanal de Luis en dólares y
la literal x representa el número de arreglos florales vendidos durante la
primera semana, calcula:
a) El sueldo semanal de Luis cuando no vende ningún arreglo floral
b) Cuando vende 10 arreglos florales
c) Representa utilizando Geogebra la solución de los dos incisos
anteriores.
4. Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,5) y tiene pendiente
m 2 (Utiliza Geogebra para representar su lugar geométrico).
5. Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,3) 1 P y tiene un
ángulo de inclinación 0 45 (Utiliza Geogebra para representar su lugar
geométrico).
6. Escribe la ecuación que pasa por los puntos (3,5) 1 P y ( 2,1) 2 P . (Utiliza
Geogebra para representar su lugar geométrico).
7. Se espera que el valor de una maquina disminuya con el paso del tiempo de
manera lineal. Do puntos de datos indican que el valor de la maquina en un
año después de la compra será $120,000.00 y su valor después de 6 años
será de $30,000.00. Determina:
a) La ecuación que representa la depreciación de la máquina,
considerando como valor V, y antigüedad en años t.
b) Interpreta el significado de la pendiente
c) (Utiliza Geogebra para representar su lugar geométrico).
8. De acuerdo con la Ley de Charles, la presión P (en pascales) de un
volumen de gas se relaciona de forma lineal con la temperatura T (en
grados centígrados). Un experimento dio como resultado que si T=20,
entonces P=40, y que si T=70, entonces P=90.

(Sugerencia: representa en el eje y la presión y temperatura en el eje x)
a) ¿Cuál es la pendiente de la recta que contiene estos puntos?
b) Explica el significado de la pendiente en este contexto
c) Escribe la ecuación de este modelo experimental
d) Utilizando Geogebra representa el lugar geométrico de la ecuación
obtenida.
9. Escribe la ecuación de la recta en forma simétrica, si sus intersecciones con
los ejes X Y son los puntos A (3,0) y B (0,-2). (Utiliza Geogebra para
representar su lugar geométrico).
10. La grafica que aparece más adelante muestra el comportamiento de un
negocio que renta locales para exposiciones. El dueño cobra x pesos por
metro cuadrado, y el número de espacios y que puede rentar esta
modelado por la ecuación lineal y 200 5x .
a) ¿Cuántos espacios disponibles hay al iniciar el negocio?
b) Escribe el modelo de la ecuación en la forma simétrica
c) ¿Qué significa la intersección de la recta con el eje x

MODULO II CIRCUNFERENCIA
En este tema se pretende que el alumno desarrolle las siguientes; competencias:
1. Construir e interpretar modelos auxiliándose de distintas formas de la ecuación de la circunferencia al resolver problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas.
2. Interpretar tablas, gráficas y expresiones simbólicas relacionadas con diferentes formas de la ecuación de la circunferencia.
3. Argumentar la pertinencia de utilizar una forma específica de la ecuación de la circunferencia, dependiendo de la naturaleza de la situación bajo estudio
Conocimientos
Al finalizar este tema, el alumno adquirirá los conocimientos que le permitirán:
1. Reconocer las curvas que se obtienen al realizar cortes a un cono mediante un plano.
2. Reconocer la circunferencia como lugar geométrico.
3. Identificar los elementos asociados a la circunferencia.
4. Comprender la existencia de una circunferencia específica cuando se conocen su centro y su radio.
5. Identificar el centro y el radio de una circunferencia con centro en el origen a partir de su ecuación.
6. Identificar las secciones cónicas resultantes de los cortes a un cono
Habilidades
Al finalizar este tema, el alumno habrá desarrollado las habilidades que le permitirán:
1. Analizar la forma de secciones cónicas en su entorno.
2. Determinar los elementos mínimos para trazar una circunferencia.

3. Integrar los elementos necesarios para el trazado de una circunferencia con centro en el origen en la escritura de su ecuación.
4. Obtener los elementos de una circunferencia a partir de su ecuación.
5. Resolver problemas que implican la determinación o el análisis de la ecuación de circunferencias con centro en el origen.
6. Reflexionar sobre las características de la circunferencia como lugar geométrico, con la finalidad de modelar fenómenos o situaciones provenientes de diversos contextos.
Actitudes y valores
Al estudiar el tema, el alumno:
1. Participará activamente en la realización de ejercicios y en la resolución de problemas.
2. Aportará puntos de vista personales con apertura y considerará los de otras personas.
3. Propondrá maneras creativas de resolver problemas matemáticos.
Indicadores de desempeño
Se pretende que el alumno logre:
1. Identificar el tipo de curvas que se forman por medio de los cortes de un plano en un cono.
2. Realizar las descripciones mínimas necesarias para el trazado de una circunferencia.
3-Determinar la expresión algebraica de una circunferencia con centro en el origen a partir de la medida de su radio o de otros datos.
4. Establecer el centro y el radio de una circunferencia con centro en el origen
a partir de su ecuación.
5. Resolver situaciones problemáticas que impliquen determinar la ecuación o la gráfica de circunferencias con centro en el origen.

Es el lugar geométrico del conjunto de puntos tales que su
distancia (radio) a un punto fijo (centro) es siempre constante
Dónde:
r= constante (radio)
C=punto fijo (centro)
CP r
Formas de la ecuación de una
circunferencia
a)Ecuación de una circunferencia de
centro en el origen(0,0) y radio r
2 2 2 x y r ;forma canoníca
b)Ecuación de una circunferencia de
centro (h,k) y radio r
2 2 2 (x h) ( y k) r ;forma ordinaria
c)Ecuación de una circunferencia en
su forma general
0 2 2 x y Dx Ey F ;forma general
1. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro en el origen y radio 6
(Utilizando Geogebra representa su lugar geométrico).
2. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro en el origen y radio 6
3. Determina si el punto (3,-1) pertenece a la circunferencia 9 2 2 x y
4. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro en el origen y que pasa
por el punto (2,3). Utiliza Geogebra para trazar su grafica.
5. Una laguna de forma circular tiene una superficie de
806m2, toma como origen el centro de la laguna, obtén
la medida de su radio.
R. No es un punto de la circunferencia
R. 13 2 2 x y
R. 16.02

6. Escribe la ecuación ordinaria de la circunferencia con centro en el punto
(2,1) y radio r=3 (Utiliza Geogebra para trazar su grafica).
7. En la ciudad de México se encuentra un reloj floral, que
tiene una caratula floral de 10 metros de diámetro. Lo
adornan 20 mil plantas de diferentes especies.
Determina:
a) La ecuación ordinaria de la circunferencia
considerando que su centro esta en el punto P (6,2)
8. La glorieta del paseo colon en la ciudad de Toluca
tiene por ecuación en su base
24 24 144 0 2 2 x y x y ;
Determinar:
a) La ecuación ordinaria
b) Elementos (centro, radio)
9. Escribe la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (-1,0) y que
es tangente a la recta 3x 4y 12 0. (Utiliza Geogebra para trazar su
grafica).
10. Transformar la siguiente ecuación de una circunferencia, a la forma
ordinaria, obtén las coordenadas del centro, la magnitud del radio y
representa su lugar geométrico utilizando Geogebra.
2 4 20 0 2 2 x y x y
( 2) ( 1) 9 2 2 x y
( 6) ( 2) 100 2 2 x y

MODULO III PARÁBOLA
En este tema se pretende que el alumno desarrolle las siguientes competencias:
1. Construir e interpretar modelos sobre la parábola como lugar geométrico al resolver problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas.
2. Interpretar tablas, gráficas y expresiones simbólicas en distintas representaciones de la parábola.
Conocimientos
1. Reconocer a la parábola como lugar geométrico.
2. Identificar los elementos asociados a la parábola.
3. Reconocer la ecuación de parábolas horizontales y verticales con vértice en el origen.
4. Identificar los elementos de una parábola con vértice en el origen a partir de su ecuación.
Habilidades
1. Determinar las condiciones necesarias para trazar una parábola.
2. Integrar los elementos necesarios para el trazado de una parábola con vértice en el origen y eje focal coincidente con el eje x o y en la escritura de su ecuación
3. Obtener los elementos de una parábola horizontal o vertical con vértice en
el origen a partir de su ecuación.
4. Resolver problemas que implican la determinación o el análisis de la ecuación de parábolas horizontales o verticales con vértice en el origen.

Actitudes y valores
1. Participará activamente tanto en la realización de ejercicios como en la resolución de problemas referentes al lugar geométrico de la parábola.
2. Aportará puntos de vista personales con apertura y considerará los de otras personas.
3. Propondrá maneras creativas de resolver problemas matemáticos.
1. Reconocer los elementos de la parábola como lugar geométrico.
2. Trazar parábolas por medio de distintos métodos.
3. Determinar la ecuación de una parábola vertical u horizontal con vértice en el origen.
4. Determinar el vértice, el foco y la directriz asociados a una parábola a partir de su ecuación.
5. Modelar situaciones en las que intervienen parábolas verticales u horizontales con vértice en el origen.

Formas de la ecuación de una parábola
a)Ecuación de una
parábola con vértice
en el origen y eje
horizontal(forma
canonica)
y 4 px 2 ;p distancia
del vértice al foco, si
p>0 la parabola se
abre a la derecha, si
p<0 la parábla se
abre a la izquierda
Ecuación de la directriz es
x=-P,las coordenadas de
su foco son F(p,0) y la
longitud de su lado recto
LR= 4P
b) Ecuación de una
parábola con vértice
en el origen y eje
vertical(forma
canonica)
x 4 py 2 ; p distancia
del vértice al foco, si
p>0 la parabola se
abre hacia arriba, si
p<0 la parábla se
abre hacia abajo.
Ecuación de la directriz es
y=-P,las coordenadas de
su foco son F(0,p) y la
longitud de su lado recto
LR= 4P
c)Ecuación de una
parábola de vértice
(h,k) y eje
horizontal(forma
ordinaria)
( ) 4 ( ) 2 y k p x h
;p distancia del
vértice al foco, si p>0
la parabola se abre a
la derecha, si p<0 la
parábla se abre a la
izquierda
Ecuación de su directriz
x=h-p, coordedenadas de
su foco F(h+p,k), longitud
de su lado rectoLR= 4P
d) Ecuación de una
parábola de vértice
(h,k) y eje
vertical(forma
ordinaria)
( ) 4 ( ) 2 x h p y k
;p distancia del
vértice al foco, si p>0
la parabola se abre a
la derecha, si p<0 la
parábla se abre a la
izquierda
Ecuación de su directriz
y=k-p, coordedenadas de
su foco F(h,k+p), longitud
de su lado rectoLR= 4P

Forma general de la ecuación de la parábola
Una ecuación de segundo grado en las variables x y que carezca del término en xy
puede escribirse en la forma 0 2 2 Ax Cy Dx Ey F
a) Si A=0.C 0 y D 0, la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo(o
coincide) el eje X. Si, en cambio, D=0, la ecuación representa dos rectas diferentes
paralelas al eje X, dos rectas coincidentes paralelas al eje X, o ningún lugar
geométrico, según que las raíces de 0 2 Cy Ey F sean reales y desiguales,
reales e iguales o complejas
b) Si A 0, C=0 y E 0, la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo a (o
coincide con) el eje Y. Si, en cambio, E=0, la ecuación representa dos recta
diferentes paralelas al eje Y, dos rectas coincidentes paralelas al eje Y o ningún
lugar geométrico, según que las raíces de 0 2 Ax Dx F sean reales y
desiguales, reales e iguales o complejas
1. Escribe la ecuación de la parábola con vertice (0,0) y foco el punto (3,0), obten
ademas el valor de su lado recto y la ecuación de su directriz. (Utilizando Geogebra
representa su lugar geometrico)
Resultado:
Ecuación buscada y 12x 2
LR=12
Ecuación de la directriz x=-3
2. Escribe la ecuación de la parábola con vertice (0,0) y el eje vertical, pasa por el punto
(6,3), obten ademas las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud
de su lado recto. (Utilizando Geogebra representa su lugar geometrico)
Resultado:
Ecuación de la parábola x 12 y 2
Coordenadas del foco F(0,3)
Ecuación de la directriz y=-3
Longitud del ladorecto LR=12

3. Obtenga la ecuación en forma ordinaria de la parábola con vertice en el punto (-4,3)
y que tiene como foco el punto (-1,3). Obtenga ademas la ecuación de la directriz y la
longitud del lado recto. (Utilizando Geogebra representa su lugar geometrico)
Resultado:
Ecuación de la parábola ( 3) 12( 4) 2 y x
Ecuación de la directriz x=-7
Longitud del lado recto LR=12
4. Obtenga la forma ordinaria de la ecuación de la parábola cuya ecuación general es
4 48 20 71 0 2 y x y
Resultado:
12( 2)
2
5
2
y x
5. Compruebe que la ecuación 4 48 12 159 0 2 x y x representa una parábola.
Hallar todos sus elementos
Resultado
Representa una parábola con eje vertical
2
7
12
2
3
2
x y
Coordenadas del foco 2
1
,
2
3
Ecuación de la directriz 2
13
y
Longitud del lado recto LR=12

6. Un reflector cuya concavidad es parabólica, tiene un diámetro de 30 cm y mide 20 cm de profundidad, como se aprecia en la figura. Si el filamento del bulbo está en el foco, ¿a qué distancia del vértice del reflector se encuentra? Sugerencia: Si haces un bosquejo de la figura en las coordenadas cartesianas, observa que tienes el punto (20,15).
7. El puente Golden Gate, en San Francisco, California, es un puente de suspensión cuya forma es aproximada a una parábola. Los cables del tramo principal se suspenden entre dos torres que se encuentran separadas 1 280 metros y cuyo borde superior se ubica a 150 metros por arriba de la autopista. El cable se extiende 3 metros arriba del punto medio de la autopista entre las dos torres. Encuentra una ecuación que represente la forma del cable. Observa la figura.

Módulo IV Elipse
La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva.
Elementos de la elipse Focos Son los puntos fijos F y F'. Eje focal Es la recta que pasa por los focos. Eje secundario Es la mediatriz del segmento FF'.

Centro Es el punto de intersección de los ejes. Radios vectores Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'. Distancia focal Es el segmento de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal. Vértices Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'. Eje mayor Es el segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor. Eje menor Es el segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor. Ejes de simetría Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.

Centro de simetría Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.
Relación entre la distancia focal y los semiejes
Excentricidad de la elipse La excentricidad es un número que mide el mayor o menor achatamiento de la elipse. Y es igual al cociente entre su semidistancia focal y su semieje mayor.

En este tema se pretende que el alumno desarrolle las siguientes competencias:
a) Construir e interpretar modelos sobre la elipse como lugar geométrico al resolver problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas.
b) Interpretar tablas, gráficas y expresiones simbólicas como distintas representaciones de la elipse con centro en el origen.
Conocimientos
a) Caracterizar la elipse como lugar geométrico.
b) Identificar los elementos asociados a la elipse.
c) Reconocer la ecuación ordinaria de elipses horizontales o verticales con centro en el origen y con ejes sobre los ejes cartesianos.

d) Identificar los elementos de una elipse con centro en el origen y con ejes sobre los ejes cartesianos, a partir de su ecuación ordinaria.
Habilidades
a) Determinar las condiciones necesarias para trazar una elipse con la ayuda de hilo, regla y compás.
b) Integrar en un plano cartesiano los elementos necesarios para trazar una elipse con centro en el origen y con eje focal sobre algún eje coordenado, y conocer su efecto en la conformación de su ecuación.
c) Obtener los elementos de elipses horizontales o verticales con centro en el origen y con eje focal sobre alguno de los ejes coordenados a partir de su ecuación.
d) Resolver problemas que implican la determinación o el análisis de la ecuación de elipses con centro en el origen.
Actitudes y valores
a) Participará activamente tanto en la realización de ejercicios como en la resolución de problemas referentes a la elipse.
b) Aportará puntos de vista personales con apertura y considerará los de otras personas.
c) Propondrá maneras creativas de resolver problemas matemáticos.
a) Reconocer los elementos de la elipse como lugar geométrico.
b) Trazar elipses por medio de distintos métodos.
c) Determinar la ecuación de elipses verticales u horizontales con centro en el origen y con ejes coincidentes con los ejes coordenados.

d) Determinar los elementos asociados a una elipse a partir de su ecuación.
e) Modelar situaciones en las que intervienen elipses verticales u horizontales con
centro en el origen y con ejes coincidentes con los ejes coordenados
ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL SOBRE EL EJE X
Ecuación Vértices Longitud del
eje mayor
Longitud del
eje menor
Focos
1 2
2
2
2
b
y
a
x
( , ), ( , ) ' V a o V a o 2a 2b F(c,0), F´(-c,0)
ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL SOBRE EL EJE Y
1 2
2
2
2
a
y
b
x
(0, ), (0, ) ' V a V a 2a 2b F(0,c),F’(0,-c)
Elipse Horizontal
Elipse Vertical

1. Escribe la ecuación de la elipse en forma canónica que tiene como vértices
y focos los siguientes puntos: V (6,0), V´ (0,-3), F (4,0) y F (-4,0), representa
su lugar geométrico utilizando Geogebra.
Respuesta:
Ecuación en su forma canónica 1
36 20
2 2 x y
:
2. Escribe la ecuación de la elipse en forma canónica que tiene como focos
los siguientes puntos: F (0,3), F´ (0,-3) y su excentricidad es
3
2
representa
su lugar geométrico utilizando Geogebra.
Respuesta:
Ecuación en su forma canónica 1
2
45
2
9
2
2
2
2 x y
3. Escribe la ecuación de la elipse en su forma ordinaria que tiene como
focos los siguientes puntos: F (-4,-6), F (-4,-2) y vértices V´ (-4,-8), V (-4,0).
Respuesta:
Ecuación en su forma ordinaria 1
16
( 4)
12
( 4) 2 2 x y

4. Escribe la ecuación de la elipse en su forma ordinaria con centro en C(-9,3)
foco y vértice en F (-6,3),y vértices V (-4,3),obtén además su dominio y
rango, representa su lugar geométrico utilizando Geogebra.
Respuesta:
Ecuación de la elipse en su forma ordinaria 1
16
( 3)
25
( 9) 2 2 x y
Dominio x 14, 4
Rango y 1,7
5. El centro de una elipse es el punto (-2,-1) y uno de sus vértices es el punto
(3,-1). Si la longitud de cada lado recto es 4, escribe la ecuación de la elipse
en su forma ordinaria, su excentricidad y las coordenadas de sus focos.
Respuesta:
10
( 1)
25
( 2) 2 2 x y
Excentricidad
5
15
a
c
e
Coordenadas de los focos F( 2 15, 1) y ( 2 15, 1) ´ F
6. La forma general de la ecuación de una elipse es:
9 4 18 12 18 0 2 2 x y x y .Redúzcala a su forma ordinaria; determine
centro, focos, longitud de los ejes mayor y menor, lado recto y su
excentricidad. representa su lugar geométrico utilizando Geogebra.
Respuesta:
9
)
2
3
(
4
( 1)
2
2 y
x
Centro C(-1,3/2)
Focos 5)
2
3
F( 1, y 5)
2
3
F ´( 1,
Vértices 3)
2
3
V ( 1, y )
2
3
V ( 3
Longitud del eje mayor LR=6

Longitud del eje menor Lm=4
Excentricidad
3
5
e
7. La órbita de la tierra es una elipse en uno de cuyos focos está el sol,
sabiendo que el semieje mayor de la elipse es 148.5 millones de kilómetros
y qué la excentricidad vale 0,017, hallar la máxima y la mínima distancia de
la tierra al sol.
Respuesta:
Máxima distancia 152 millones de kilómetros
Mínima distancia 146 millones de kilómetros

Modulo V Hipérbola
Se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante (se representa por 2a).
La recta que une los dos focos se llama eje real de la hipérbola y la mediatriz se llama eje imaginario de la hipérbola. El punto donde se cortan ambos ejes (que es el punto medio de los focos) se llama centro de la hipérbola. Los puntos donde la hipérbola corta a los ejes se llaman vértices de la hipérbola. Al igual que en la elipse, se llama distancia focal a la distancia entre los dos focos y a las distancias desde un punto cualquiera de la hipérbola a ambos focos se les llama radios vectores del punto.
Sus elementos son:
Vértices: A y A’
Covértices: B y B’
Eje transversal: recta que contiene los focos
Eje conjugado: recta que contiene a los covértices
Centro: intersección de los ejes transversal y conjugado
O

Ecuaciones canonícas de la hipérbola
a) Se llama ecuación canoníca a la ecuación de la hipérbola cuyos ejes coinciden con los ejes coordenadas, y, por tanto, el centro de hipérbola con el origen de coordenadas. Si el eje real está en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son: F'(-c, 0) y F(c, 0) Cualquier punto de la hipérbola cumple: b) Ecuación canoníca de eje vertical de la hipérbola F'(0, -c) y F (0, c) 2a=Longitud del eje transverso 2b=Longitud deleje conjugado 2c=Distancia éntrelos focos

2 2 2 c a b
Formas de la ecuación de la hipérbola de cent ro (h, k)
a) Eje focal paralelo al eje X
1
( ) ( )
2
2
2
2
b
y k
a
x h
b) Eje focal paralelo al eje Y
1
( ) ( )
2
2
2
2
b
x h
a
y k
Excent r icidad 1
a
c
e
a) Los vér t ices de una hipérbola son los puntos V (3,0) y V` ( -3,0) y
sus focos son los puntos F(5,0) y F` ( -5,0) . Determinar la ecuación
de la hipérbola, las longi tudes de sus ejes t ransverso y conjugado,
su excent r icidad, la longi tud de cada lado recto, el dominio, rango y
const rucción graf ica ut i l izando Geogebra.
Respuestas:
Ecuación 1
9 16
2 2 x y
Longi tud deleje transverso LT=6
Longi tud deleje conjugado LC=8
Longi tud de cada lado recto LR=
3
32
Excentr icidad 1
3
5
e
Dominio x ( , 3) (3, )

Rango y ( , )
b) Escr ibe la ecuación 9 4 36 0 2 2 x y , en su forma canoníca y obtén
todos sus elementos, con Geogebra representa su lugar
geomét r ico.
Respuesta:
Ecuación en su forma canoníca 1
9 4
2 2 y x
Focos F(0, 13 ) y F(0, 13 )
Vér t ices(0,3) y V(0, -3)
Extremos del eje conjugado (2,0) y ( -2,0)
Longi tud deleje transverso LT=6
Longi tud del eje conjugado LC=4
Longi tud de cada lado recto LR=
3
8
Excentr icidad 1
3
13
e
Dominio x ( , )
Rango y ( , 3) (3, )
c) Obtenga las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola cuya
ecuación es: 4 25 100 2 2 x y ut i l izando Geogebra representa su lugar
geomét r ico.
Respuesta:
Ecuaciones de las asíntotas
2 5 0
2 5 0
x y
x y

d) Los vér t ices de una hipérbola están en los puntos ( -5,-3) y ( -5,-
1) y los ext remos del eje conjugado están en ( -7,-2) y ( -3,-2) .
Obtenga la ecuación de la hipérbola así como las ecuaciones de las
asíntotas.
Respuesta:
Ecuación de la hipérbola 1
4
( 5)
1
( 2) 2 2 y x
Ecuaciones de las asíntotas
2 9 0
2 1 0
x y
x y
e) Hallar la ecuación canónica, los focos, los vértices, la excentricidad y las
asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es
Solución
Completando el cuadrado en ambas variables
Por tanto, el centro está en . El eje de la hipérbola es horizontal,
y

Los vértices están en, los focos en y y la excentricidad es. La gráfica se muestra en la figura
f) Hallar la ecuación canónica de la hipérbola con vértices en y y asíntotas y . Además calcule los focos, la excentricidad y trace la gráfica.
Solución
Por ser el centro el punto medio de los vértices sus coordenadas son. Además, la hipérbola tiene eje transversal vertical y . Por otro lado, por el teorema de las asíntotas.

Por tanto, la ecuación canónica es
El valor de está dado por
Los focos están en y y la excentricidad es La gráfica se muestra en la figura

y si el eje transversal es vertical, las ecuaciones de las asíntotas son
-La tangente en un punto P de una hipérbola es la bisectriz del ángulo formado por lo segmentos que unen este punto con los focos.

BIBLIOGRAFIA
 OCAMPO CONTRERAS, JÓSE, GEOMETRIA ANALITICA, U.A.E.M, MEXICO 2011
 LEHMANN, CHARLES, GEOMETRIA ANALITICA, LIMUSA, MÈXICO, 1982
 JIMENEZ, RENE, MATEMATICAS III, PEARSON, MEXICO, 2011
 VAZQUEZ SANCHEZ, AGUSTIN, GEOMETRIA ANALITICA, PEARSON, MÈXICO, 2007
 OTEYZA.LAM.HERNANDEZ.CARRILLO, GEOMETRIA ANLITICA, PEARSON, MEXICO, 2005

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