Este documento presenta una introducción a los cuerpos geométricos en el espacio, incluyendo poliedros, la fórmula de Euler desarrollada por Leonhard Euler, poliedros regulares como el cubo y el tetraedro, pirámides, cilindros, conos y esferas. También incluye ejemplos de estos cuerpos en el arte y la vida cotidiana.

2. CUERPOS EN EL ESPACIO. ÍNDICE
• Poliedros.
• Leonhard Euler.
•Fórmula de Euler.
• Poliedros regulares.
• Prismas.
•Definición.
 Elementos.
 Clasificación.
• Paralelepípedos
•Pirámides.
 Definición y elementos.
 Clasificación.
• Cuerpos de revolución.
 Definición.
 Cilindro.
 Cono.
 Esfera.
• Ejemplos de la vida cotidiana.

3. POLIEDROS
Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por cuatro o más polígonos
planos.
Los polígonos que limitan al poliedro se llaman caras.
El lado común a dos caras se llama arista.
El punto común a tres o más aristas se llama vértice.
CARAS
ARISTAS
VÉRTICES

4. LEONHARD EULER
• Leonhard Euler fue un matemático suizo.
Nació en Basilea en 1707 y murió en San
Petersburgo en 1783.
• En el ámbito de la Geometría desarrolló
conceptos básicos como los del ortocentro,
el circuncentro y el baricentro de un
triángulo, y revolucionó el tratamiento de
las funciones trigonométricas al adoptar
ratios numéricos y relacionarlos con los
números complejos mediante la
denominada identidad de Euler.
• A él también le debemos la denominada
fórmula de Euler, con la que se relacionan
las caras, vértices y aristas de un poliedro.
BIOGRAFÍA DE EULER

5. FÓRMULA DE EULER
Vamos a observar la relación que existe entre el número de caras,
vértices y aristas de un poliedro.
Para ello, vamos a llamar C al número de caras, V al número de vértices
y A al número de aristas de un poliedro cualquiera.
Comencemos con un cubo.
Vemos que: C = 6, V = 8, A =12
Si observamos estos números
detenidamente, vemos que cumplen que:
C + V – A = 6 + 8 – 12 = 2

6. FÓRMULA DE EULER
Si hacemos un corte en una esquina obtenemos un nuevo poliedro
irregular que guarda la misma relación entre sus caras, aristas y
vértices.
En este caso, C = 7, V = 10, A = 15.
Estos números cumplen la misma
condición:
C + V – A = 7 + 10 – 15 = 2

7. FÓRMULA DE EULER
La fórmula de Euler para Poliedros es la siguiente:
Sea P un poliedro cualquiera, que tiene:
• Número de caras: C
• Número de vértices: V
• Número de aristas: A
Entonces se cumple que:
C+V–A=2

8. POLIEDROS REGULARES
Un poliedro se llama regular cuando cumple estas dos condiciones:
• Sus caras son polígonos regulares idénticos.
• En cada vértice del poliedro concurre el mismo número de caras.
Solo hay cinco poliedros regulares:
•Tetraedro (4): Formado por cuatro triángulos equiláteros.
•Cubo o hexaedro (6): Formado por seis cuadrados.
•Octaedro (8): Formado por ocho triángulos equiláteros.
•Dodecaedro (12): Formado por doce pentágonos regulares.
•Icosaedro (20): Formado por veinte triángulos equiláteros.

9. PRISMAS. DEFINICIÓN
Un prisma es un poliedro limitado por:
 Dos caras iguales y paralelas que son polígonos, llamados bases.
 Varios paralelogramos, llamados caras laterales.
S
BASE
C
LAT ARAS
ER
ALE
S

10. PRISMAS. ELEMENTOS.
Otros elementos importantes de un prisma son:
ARISTA BÁSICA
ARISTA LATERAL
ALTURA
APOTEMA BASE

11. PRISMAS. CLASIFICACIÓN
PRISMAS
OBLICUOS
RECTOS
REGULARES IRREGULARES

12. PARALELEPÍPEDOS
Un paralelepípedo es un prisma de seis caras, cuyas bases son
paralelogramos, iguales y paralelos dos a dos.
Un paralelepípedo en el que la
totalidad de sus caras son
rectángulos se llama ortoedro.
Un ortoedro queda determinado
conociendo las longitudes de las
tres aristas que concurren en un
vértice. Se llaman las dimensiones
del ortoedro: longitud, profundidad y
altura.
Un cubo es un ortoedro en el que las
tres dimensiones son iguales. Es
decir, las seis caras son cuadrados
iguales.

13. PIRÁMIDES
Una pirámide es un poliedro que tiene por base un polígono
cualquiera y por caras laterales triángulos con un vértice común, que
se llama vértice o cúspide de la pirámide.
Los elementos de una pirámide son los siguientes:
APOTEMA LATERAL O
ALTURA DE LA CARA
ARISTA LATERAL
ALTURA DE LA PIRÁMIDE
a
APOTEMA BASE
a´ ARISTA BÁSICA
BASE

14. PIRÁMIDES. CLASIFICACIÓN
PIRÁMIDES
OBLICUAS
RECTAS
REGULARES IRREGULARES

15. CUERPOS DE REVOLUCIÓN
Se llaman cuerpos de revolución
a los que se obtienen al girar una
figura plana, alrededor de un eje.

16. CILINDRO
 El cilindro se obtiene al girar un rectángulo
alrededor de uno de sus lados.
generatriz EJE GIRO
RADIO
altura
GENERATRIZ
BASE
radio

17. CONO
El cono se obtiene al girar un triángulo
rectángulo alrededor de uno de sus catetos.
EJE GIRO
GENERATRIZ
ge
altura
ne
eje giro
RADIO
ra
tri
z
BASE
radio

18. ESFERA
La esfera se obtiene al girar un semicírculo
alrededor de su diámetro .
GENERATRIZ
CENTRO
RADIO
diámetro
eje giro
EJE DE GIRO

19. EJEMPLOS EN EL ARTE Y EN LA
VIDA COTIDIANA

20. HASTA PRONTO, CHAVALES.
ESPERO QUE HAYÁIS APRENDIDO MUCHO.
COMPROBAD VUESTRO APRENDIZAJE CON
LAS ACTIVIDADES QUE APARECEN EN LA
PÁGINA WEB.
¡¡¡¡ ADIOS !!!!