Este documento presenta conceptos básicos de geometría moderna como ángulos diedros, triedros, poliedros y poliedros regulares. Explica elementos como caras, aristas y vértices de los poliedros, así como la clasificación de poliedros según su número de caras y características. También presenta el teorema de Euler y resuelve ejercicios prácticos sobre poliedros regulares como el tetraedro, hexaedro y octaedro.

1. 2013
GEOMETRÍA MODERNAGEOMETRÍA MODERNAGEOMETRÍA MODERNAGEOMETRÍA MODERNA
Profesor:Profesor:Profesor:Profesor: Bonilla Salcedo
Universidad NacionalUniversidad NacionalUniversidad NacionalUniversidad Nacional
Federico VillarrealFederico VillarrealFederico VillarrealFederico Villarreal
Facultad de Educación
MatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemática ---- FísicaFísicaFísicaFísica
Tema:
DIEDROS,
TRIEDROS,
POLIEDROS Y
POLIEDROS
REGULARES
INTEGRANTES:
CÓRDOVA CONDORI, TORIBIO
HUIMAN NAKANDAKARI, JUAN
CICLO: X
AÑO: 5TO AULA: A3-7

2. Toribio Córdova Condori – Juan Huiman Nakandakari
Universidad Nacional Federico Villarreal X Ciclo GEOMETRÍA MODERNA
ÁNGULOS DIEDROS
Es la figura geométrica formada por la unión
de sus semiplanos que tienen una recta en
común a la cual se le denomina arista del
ángulo diedro.
Notación:
Ángulo Diedro AB ó
Ángulo Diedro
P - AB - Q
θθθθ: Medida del ángulo
Diedro
PLANOS PERPENDICULARES
Dos planos son perpendiculares, cuando
determinan diedros que miden 90º.
θθθθ: Medida del
ángulo diedro.
Si θθθθ = 90º
⇒ P Q
Observación.- Dos diedros adyacentes son
suplementarios.
PROYECCIÓN ORTOGONAL SOBRE
UN PLANO
Por definición la proyección ortogonal de un
punto sobre un plano es el pie de la
perpendicular trazada de este punto al plano. De
esto se concluye que la proyección ortogonal de
cualquier figura geométrica sobre un plano es la
reunión de las proyecciones
ortogonales de todos sus puntos sobre dicho
plano.
Sea 'PP Q ⇒ P’ es la proyección del
punto P sobre el plano Q
Además M es la proyección ortogonal de
L sobre el plano Q.
P Q
cara cara
x y
θθθθ
B
A
Arista
θ
P
Q
P
αααα θθθθ
Q
α + θ = 180º
P’
θ m
P L
Q

3. Toribio Córdova Condori – Juan Huiman Nakandakari
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POLIEDROS
Poliedro es un sólido completamente
limitado por polígonos. El mínimo número de
caras que tiene un poliedro es cuatro.
ELEMENTOS DE UN POLIEDRO
Los elementos principales de un poliedro son:
Arista
Cara
Vértice
Diagonal
Caras
Son los polígonos que limitan los poliedros.
Aristas
Son las intersecciones de las caras.
Vértice
Son los puntos donde se encuentran las
aristas-
Ángulos Diedros
Son los formados por dos caras consecutivas.
Ángulos Poliedros
Son los formados en los vértices del
poliedro
Diagonal
Es el segmento que une dos vértices no
situados en la misma cara
CLASIFICACION
1) Por el número de caras:
- Tetraedro: cuando tiene 4 caras
- Pentaedro: cuando tiene 5 caras
- Hexaedro: cuando tiene 6 caras
- Heptaedro: cuando tiene 7 caras
- Octaedro: cuando tiene 8 caras
2) Según sus características:
a. Poliedro Convexo.- Cuando cualquiera
de sus secciones planas es un polígono
convexo, o equivalentemente, si el
segmento que une dos puntos
cualesquiera del poliedro está totalmente
contenido en el poliedro.
b. Poliedro no convexo.- Cuando alguna de
las secciones planas es un polígono
cóncavo. Al trazar una recta secante
corta en más de 2 puntos de intersección
a su superficie poliédrica.

4. Toribio Córdova Condori – Juan Huiman Nakandakari
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1
2
3
4
5
6
c. Poliedro Regular.- Cuando todas sus
caras son polígonos regulares e iguales, y
sus ángulos diedros y triedros también
son iguales.
d. Poliedro Irregular.- Cuando sus caras
son polígonos irregulares y desiguales, y
sus angulos poliedros no son todos
iguales.
TEOREMA DE EULER
En todo poliedro convexo el número de caras
aumentado en el número de vértices es igual
al número de aristas más dos.
Si para un poliedro convexo:
C → número de caras
V → número de vértices
A → número de aristas
Entonces se verifica que:
C + V = A + 2
POLIEDROS REGULARES
Son aquellos poliedros convexos cuyas caras son
polígonos regulares iguales entre si:

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A) TETRAEDRO: Sus caras son cuatro
regiones triangulares equiláteras.
A
B
C
O
G
Notación: Tetraedro Regular O – ABC
Altura: OG ; siempre cae en el baricentro (G)
3
6
OG
l=
Volumen (V):
12
2
V
3
l=
Superficie total o Área (A):
3A 2
l=
B) HEXAEDRO: Sus caras son seis regiones
cuadradas, también se le denomina cubo.
B
A
G
C
E
D
F
H
Notación: Exaedro Regular ABCD – EFGH
Diagonal (BH ):
3BH l=
Volumen (V):
3
v l=
Superficie total o Área (A):
2
6A l=
C) OCTAEDRO: Sus caras son ocho
regiones triangulares equiláteras.
B
C
DA
M
N
Notación: Octaedro Regular M – ABCD – N
Diagonal (MN):
2MN l=
Volumen (V):
3
2
V
3
l=
Superficie total o Área (A):
32A 2
l=

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D) DODECAEDRO: Sus caras son doce
regiones pentagonales iguales.
Volumen (V):
10
52147
2
5
V
3
+
=
l
Superficie total o Área (A):
5
525
15A 2 +
= l
E) ICOSAEDRO: Sus caras son veinte
regiones triangulares equiláteras.
a
Volumen (V):
2
537
6
5 2
+
=
a
V
Superficie total o Área (A):
3a5A 2
=
1. En un tetraedro O-ABC, OA=BC,
OB=AC y OC=AB, además se cumple
AC>OC>AO. Halla la suma del máximo
y mínimo entero de la cara AOC
Solución
a>b>c→θ> >
ΔAOC ≈ Δ OAB ≈ Δ CBA (LLL)
→m∠AOC=m∠ OCB= θ
m∠AOC= m∠ACB=
AOC:
θ+ + = 180º → + = 180º θ ……. (1)
Por teorema:
< θ < ……. (2)
De (1) y (2): θ < 180º θ

7. Toribio Córdova Condori – Juan Huiman Nakandakari
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θ < 90º
Por condición:
< θ; < θ
Sumando: < 2θ
180º θ < 2θ y 60º < θ
60º < θ < 90º
luego:
θmin= 61º θmáx.= 89º
θθθθmin + θθθθmáx = 150º
2. Un cuadrado ABCD y un triangulo
rectángulo APB están contenidos en
dos planos perpendiculares. Halle la
distancia entre el vértice D y el
baricentro APB; si se sabe que AP=3,
PB=4.
Solución
APB: AH=
HAD: = + …. (1)
GHD: = + …. (2)
en (2):
Simplificando:
3. En un poliedro convexo, el numero de
caras, mas el numero de vértices, y
más el numero de aristas, es 28. Si las
medidas de los ángulos en todas las
caras suman 1800º. Hallar el número de
caras.
Solución
Dato: S = 1800º. Pero sabemos que
S = 360º(V-2)
Entonces: 360º(V – 2) = 1800º
V – 2 = 5 V = 7
Por el Teorema de Euler:
C + V = A + 2 A = C + 5......(1)

8. Toribio Córdova Condori – Juan Huiman Nakandakari
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Pero por dato también:
C + V + A = 28
C + 7 + A = 28
C + A = 21......(2)
Reemplazando (1) en (2):
C + C + 5 =21 2C = 16
∴ C = 8
4. Se tiene un exaedro regular ABCD –
EFGH, donde “O” es centro de la cara
ABFE y “M” punto medio de EH.
Calcular la medida del ángulo COM.
Solución
En el grafico, observamos que:
NC = 3a 2
En el NOC; se cumple que:
NC=3a
∴ x = 90º
5. Se tiene un cuadrado ABCD y un
triangulo equilátero AMB
pertenecientes a dos planos
perpendiculares. Calcular la medida del
ángulo determinado por BC y el
segmento que une los puntos medios de
MB y AD.
Solución
• Los segmentos EF y BC son
alabeados.
• El ángulo formado por dichos
segmentos es AFE
• En la figura el ΔAEM ≈ ΔEAF

9. Toribio Córdova Condori – Juan Huiman Nakandakari
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∴ x = 60º
6. Por el vértice “B” de un triangulo ABC
recto en “B”, se levanta BD
perpendicular al plano determinado por
el triangulo. Calcular la medida del
ángulo diedro que forman los planos
determinados por los triángulos ADC y
ABC.
Si AB=8, BC=8 3 /3 y BD=3
Solución
• Por dato; AB=8, BC=8 3 /3,
entonces por propiedad en el Δ ABC:
→ BH=4
• En el Δ DBH: tgx= 3/4
∴ x = 37º
7. Se tiene un triangulo isósceles AOB,
tal que AO=OB= 6 , se levanta OM
perpendicular al plano determinado por
el triangulo. Calcular la longitud de OM,
si el diedro formado por los planos
determinados por los triángulos AMB y
AOB mide 60º.
Solución
Por dato: AO= 6 , OB=ON= 3
Em Δ MON es notable, ya que la
m∠MNO=60º
En consecuencia: x= 3 . 3
∴ x = 3
8. La suma de las medidas de las cars de
un poliedro convexo es 3600º. Si el
número de aristas excede en 2 al doble
del número de cars. Hallar el número
de caras.
Solución
Sabemos que: S=360º(V-2)
Pero: S=3600º

10. Toribio Córdova Condori – Juan Huiman Nakandakari
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Entonces: 3600º=360º(V-2)
→ V-2=10
→ V=12
Por dato también: A=2C+2 …(1)
Por el Teorema de Euler:
C + V = A + 2…(2)
Reemplazando (1) en (2):
C + V = 2C + 2 + 2
→ C + 12 = 2C + 4
→ C = 8
9. Hallar el número de vértices del
poliedro convexo que está limitado por
32 cuadriláteros y 64 triángulos.
Solución
Por el Teorema de Euler:
C + V = A + 2……(1)
Donde:
C → Nº de caras
V → Nº de vértices
A → Nº de aristas
En el problema:
C = 32 + 64
→ C = 96
Además sabemos que:
→ A = 160
Reemplazando en (1):
96 + V = 160 + 2
∴ V = 66
10.Se tiene un tetraedro S-BCD, siendo
los puntos M y N los baricentros de las
caras, además el punto G es el punto de
intersección de los segmentos BM y
SN. Si: SN=12m. Hallar SG.
Solución
En la figura sombreada:
Por el Teorema de Menelao:
m. x . 2n = 2m . GN . 3n
x = 3(SN – x)
4x = 3(12)
∴ x = 9m

11. Toribio Córdova Condori – Juan Huiman Nakandakari
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11.En la figura P-ABC es un triedro
birrectángulo donde BPC=120°, si
BP=PC=2 y AP= 2. Hallar el área del
triángulo ABC.
A) B) C)
D) E)
Solución
Por prop. del triángulo de 120° :
BP= PC=2 → BC = 6
p=
S=
S=
S=
12.En un triedro isósceles O-ABC,
AOB=BOC= 60° y el diedro OB mide
90°. calcule la medida de la cara AOC.
A) arc cos ( B) arc cos (
C) arc cos ( D) arc cos (
E) arc cos (
Solución
= +
Por ley de cosenos:
= + 2( 2a)
(2a) cos x
8 cos x = 2
x = arc cos (
13.Los catetos de un triángulo rectángulo
miden 30 cm y 40 cm, se hace girar el
triángulo alrededor de su hipotenusa

12. Toribio Córdova Condori – Juan Huiman Nakandakari
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hasta formar un diedro de 60°.
Calcular la longitud del segmento que
une los centros de gravedad de las
bases del diedro.
Solución
rectángulo BAC
30 (40) = 50 AH; AH =
es equilátero =
M
// Lema de Thales
= ( = 8
→ = 8 m.
14.Dos caras de un triedro miden 115° y
125°. Determinar entre que valores
puede variar la tercera cara.
Solución
Por teorema:
70° + 90° + VC → VC
70° + 90° + VC 180° → VC
20° VC
15.En un triedro SABC, el diedro SA es
recto y las caras ASB y ASC son
ángulos de 45°, se pide calcular las
caras BSC.
Solución
Se traza un plano ABC ⊥ SA
∠BAC = 90° m∠diedro SA
Hacemos SA = a
ΔSAB: SB = = a = SC

13. Toribio Córdova Condori – Juan Huiman Nakandakari
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(∇rect.SAB = ∇rest.SAC )
Δ BAC: BC = = a
Como SB = BC = a , el ∇ BSC es
equilátero, entonces
∠BSC = 60°
16.Dado un triángulo rectángulo AOB,
recto en O, cuyos catetos OA= OB =
2a, se levanta en O el plano AOB, una
perpendicular sobre la que se toma
OM= a y se une luego M con los
puntos A y B. Calcular la medida del
ángulo diedro AB.
Solución
Se traza OF ⊥ AB
MF ⊥ AB ( Teor, 3 ⊥s)
∠MFO es m∠ diedro AB
Observando ΔMOF.
Δrect. AOB: OF = =
Δ rect.MOF: MF= = 2a
como cateto OF = de la hipotenusa MF,
∠MFO = 30°
entonces:
α = 90° 30°
αααα=60°°°°

14. Toribio Córdova Condori – Juan Huiman Nakandakari
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PROBLEMAS PROPUESTOS
1. ABC, es un triangulo recto en B. ACD,
es un triangulo equilátero contenido en
un plano perpendicular al plano ABC. Si
AC = 8, Hallar BD.
2. De las siguientes proposiciones indicar
verdadero (V) o falso (F):
( ) Todo plano perpendicular a la arista
de un diedro es perpendicular a las
caras del diedro.
( ) Si una recta es perpendicular a una
de las caras de un diedro y paralela a la
otra cara entonces la medida del
diedro es 90.
A) VV B) FV C) FF
D) VF E) VV
3. Se tiene un diedro MN que mide 60º y
un punto F situado en su plano
bisector, si F dista de la arista que une
los planos M y N en 10 u. Calcular la
distancia de F a las caras del diedro.
A) 3 3 B) 4 C) 5
D) 10 E) 5 3
4. Calcular el mayor valor entero que
puede tomar una de las caras de un
triedro birrectángulo.
A) 149º B) 169º C) 179º
B) D) 99º E) 189º
5. Las regiones rectangulares ABCD y
ABMN, determinan un diedro que mide
120º, si 2 BM = AB = 2 BC = 2 a. Halle
la distancia “D” al punto medio de MN.
A) a B) C) 2a
D) E)
6. En un exaedro regular ABCD – EFGH
cuya arista mide 4m. ¿Calcular la
distancia entre AF y BH?.
7. En un hexaedro regular ABCD – EFGH, con
centro en E y radio EB se traza un arco de
circunferencia que interseca a HC en “P”.
¿Calcular el ángulo que forma EP con la
cara EFGH?.
8. En un octaedro regular M-ABCD-N,
cuya arista mide 6m, G es baricentro
de la cara DMC. ¿Calcular AG?
9. Calcular el volumen de un cubo donde el
área y el volumen son numéricamente
iguales.
10.En un octaedro regular, de arista “a”,
hallar la distancia del centro a una
cara.