El documento explica las ecuaciones canónicas de las elipses con centro en (0,0) y focos en diferentes posiciones. Define la elipse como el conjunto de puntos cuya suma de distancias a dos focos (F1 y F2) es constante (2a). Deriva la ecuación canónica x2/a2 + y2/b2 = 1 cuando el eje mayor está en el eje x y F1=(-c,0), F2=(c,0). También cubre el caso cuando el eje mayor está en el eje y.

1. ELIPSE

2. ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE CON CENTRO EN (0,0) Ecuación canónica de la elipse con centro en (0,0) y cuyo eje mayor esta en el eje x. Sea a la distancia de uno de los focos a uno de los vértices menores, b la distancia del centro a uno de los vértices menores Al aplicar la definición de elipse sabemos que la d (A, F 1 ) + d (A, F 2 ) = 2a. Para aplicar ésta definición debemos identificar las coordenadas de los puntos. F 1 (-c,0) F 1 F 2 a y c la distancia de uno de los focos al centro. b c x y B A (x, y) , F 2 (c,0) A (x, y),

3. Tenemos que aplicar d (A, F 1 ) + d (A, F 2 ) = 2a. Sabiendo que A (x, y), F 1 (-c,0) y F 2 (c,0) d (A, F 1 ) + d (A, F 2 ) = 2 a

4. Como a>c , entonces a 2 >c 2 , luego, a 2 – c 2 >0. si se sabe que a 2 = b 2 + c 2 entonces la ecuación anterior se puede escribir así: de donde, la ecuación de la elipse con centro (0,0) y focos en los puntos (-c,0) y (c,0) es: Con a>b>0 y a 2 = b 2 + c 2 Para hallar los vértices menores y mayores de la elipse, se hallan los interceptos de la gráfica Así, cuando en la ecuación canónica se hace y = 0 , se obtiene: entonces x = a Así, cuando en la ecuación canónica se hace x = 0 , se obtiene: entonces y = b

5. La elipse con centro en (0,0) y focos F 1 (-c,0) y F 2 (c,0), tal que la suma de las distancias de un punto A (x, y), de la elipse a los focos es 2a, tiene por ecuación canónica, la expresión: donde a, b y c > 0, a > c, a > b y a 2 = b 2 + c 2 La elipse con centro en (0,0) y focos F 1 (0,-c) y F 2 (0,c), tal que la suma de las distancias de un punto A (x, y), de la elipse a los focos es 2a, tiene por ecuación canónica, la expresión: donde a, b y c > 0, a > c, a > b y a 2 = b 2 + c 2 ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE CON CENTRO EN (0,0) Y EJE MAYOR SOBRE EL EJE X ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE CON CENTRO EN (0,0) Y EJE MAYOR SOBRE EL EJE Y LADO RECTO Y EXCENTRIDAD DE UNA ELIPSE Para las elipses con centro en (0,0) se cumple: la longitud del lado recto es: la excentricidad se define como con a > c

6. ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE CON CENTRO EN (h,k) La ecuación canónica de la elipse con centro en (h,k) cuyo eje mayor es paralelo al eje x y a > b, es : La ecuación canónica de la elipse con centro en (h,k) cuyo eje mayor es paralelo al eje y y a > b, es : donde a 2 = b 2 + c 2 ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE La ecuación general de la elipse con ejes paralelos a los eje del plano cartesiano , es de la forma : Ax 2 +Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 Con A y C diferentes pero con el mismo signo.

7. En el siguiente cuadro se presenta un resumen de los elementos de la elipse con centro en (h,k) B 1 (h-b, k) B 2 (h+b, k) V 1 (h, k-a) V 2 (h, k+a) F 1 (h, k-c) F 2 (h, k+c) Longitud eje mayor: 2a Longitud eje menor: 2b Paralelo al eje y (h,k) B 1 (h, k-b) B 2 (h, k+b) V 1 (h-a, k) V 2 (h+a, k) F 1 (h-c, k) F 2 (h+c, k) Longitud eje mayor: 2a Longitud eje menor: 2b Paralelo al eje x (h,k) Gráfica Vértices Menores Vértices Mayores Focos Ecuación Eje mayor Centro