El documento presenta varios problemas de álgebra lineal. El primero involucra determinar si un conjunto es linealmente dependiente y hallar un espacio vectorial generado. El segundo comprueba que una aplicación es lineal, determina si es inyectiva, y halla imágenes y bases. El tercero encuentra una aplicación lineal y sus bases. El último determina una matriz ortogonal tal que su producto con otra matriz es simétrica.

1. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
EXAMEN SUPLETORIO DE ÁLGEBRA LINEAL
1. Sea el conjunto
Tal que, y es un e.v.
a) ¿Para qué valores de α y β, S es L.D.?
b) Para α=-2 hallar el s.e.v. W generado por S.
a)
| | | |
| |
b)
( | + ( | +
4

2. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
2. Sea
( )
a) Probar que es una aplicación lineal.
b) ¿ es inyectiva? Justifique.
c) Calcular las imágenes de cada uno de los elementos de la base .
d) Justifique que forman una base de la imagen de .
e) Usando el producto interno , dar una base ortogonal para la
imagen de .
a)
( )
( *
( )
( *
( *
( ) ( *
( )
( ) ( *
( )

3. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
b)
, ( )-
, ( ) ( )-
Entonces:
c)
( ) ( )
d)
,( ) ( )-
,( ) ( ) ( )-
( | , ( | ,
( | ,
(
||
)

4. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
(
||
) (
||
)
,( ) -
( ) ( )
,( ) ( )-
,( ) ( ) ( ) ( )-
( ) ( ) ( *
=( *
( | , ( | ,
( | ,
(
||
)

5. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
(
||
) (
||
)
,( ) -
,( ) ( )-
e)
,( ) ( )-
( ) ( ) |( ) ( )|
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
=( ) ( ) ( ) ( )
( , ( )
,( ) ( )-

6. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
3. Sea una aplicación lineal donde
,( ) - (Conjunto de matrices simétricas)
Tal que:
( ) ( ) y ( )
a) Hallar la aplicación lineal ( ).
b) Hallar y dar una base .
c) A partir de la base anterior completar una base para el s.e.v. .
a)
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( * ( *
( ) ( *
( | + ( | +
( | + ( | )
(
||
)

7. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
( ) ( * ( ) ( * ( ) ( * ( )
( )
( *
( )
( *
( )
( *
( )
( )
( * ( * ( *
( )
( )
( )
b)
{( )
( )
}
,( ) -
{( * }
{( * ( ) } , ( ) ( ) -
,( ) ( )-
c)
( ) ,( ) ( ) ( )-

8. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
4. Sea la matriz:
( + Determinar la matriz ortogonal tal que .
| | |( + ( +| | |
| | | |
| |
* +
( )
( | + ( | +
( | + ( | +

9. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
( | + ( | +
( | + ( | +
( +