Este documento trata sobre deformaciones axiales, cortantes y de torsión. Explica las leyes de Hooke y Poisson, que relacionan esfuerzos y deformaciones en materiales sometidos a fuerzas. También cubre cómo calcular deformaciones axiales, cortantes y angulares usando módulos elásticos y de corte, así como la relación de Poisson. El objetivo final es dimensionar elementos estructurales para que sus deformaciones permanezcan en límites permisibles y no se produzcan roturas.

1. }}UNIVERSIDAD TECNICA DE MACHALA
FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL
ESTRUCTURA I
NOMBRE: JENNER DARIO BARROS ASANZA
CURSO: QUINTO PARALELO: “B”
FECHA: 27 DE AGOSTO DEL 2014
TEMA:
DEFORMACIONES AXIALES, CORTANTES Y TORSION
En general podemos afirmar que una fuerza interna produce un esfuerzo
actuante que trata de romper el elemento. Que se rompa depende del
esfuerzo resistente que tenga el elemento el cual dependerá del material y
de sus dimensiones transversales.
Análogamente, esas mismas fuerzas internas producirán deformaciones del
elemento las cuales dependerán igualmente del material y de sus
dimensiones.
La Resistencia de Materiales se ocupa del cálculo de los esfuerzos y
deformaciones que se producirán debiendo garantizar el ingeniero que las
deformaciones estén dentro de unos límites permisibles y obviamente que
no se produzcan roturas.
Los esfuerzos resistentes del material deben calcularse con el fin de poder
compararlos con los esfuerzos actuantes. Estos esfuerzos dependen no solo
de las dimensiones del elemento estructural sino de la forma como estén
aplicadas las cargas las cuales pueden producir esfuerzos normales o
cortantes dependiendo de que las fuerzas o momentos actuantes sean
axiales, transversales o combinados.
Debe por tanto determinarse primero que todo si el elemento en estudio
está sometido a fuerzas axiales, transversales (en cuyo caso se producirá

2. flexión), momentos torsionales (torsión) o una combinación de algunos de
ellos.
Principios básicos:
Estos principios básicos son:
 Los materiales se consideran homogéneos: esto quiere decir que se
hace caso omiso de las variaciones de composición que de punto a
punto de los mismos tienen los materiales reales.
 Los materiales se consideran contínuos: tampoco se tienen en cuenta
en los análisis las discontinuidades o poros que presentan los
materiales. Piénsese en los casos de la madera y del concreto.
 Los materiales se consideran isótropos: significa que en los análisis
generales no se tienen en cuenta las diferencias de propiedades en
distintas direcciones del material. O sea que se supone que sus
propiedades son iguales en todas las direcciones. (iso: igual, tropos:
dirección).
 No se tienen en cuenta las fuerzas internas de tipo interátomico
existentes en los materiales. Solo se consideran las fuerzas causadas
por la aplicación de fuerzas externas.
 Principio de superposición: los efectos de un sistema de fuerzas
sobre un elemento son iguales a la suma de los efectos individuales
de cada una de las fuerzas. Es válido en el rango elástico lineal como
se verá posteriormente.
 Principio de Saint Venant (científico francés): Cuando a un elemento
estructural se le aplica una fuerza los esfuerzos que esta causa en
puntos suficientemente alejados de ella no dependen de la forma
concreta en que la carga es aplicada:

3. Deformaciones axiales:
El alargamiento total que sufre la barra se representa con la letra griega δ
(Deformación total). Por tanto, la deformación unitaria será:
Robert Hooke en su libro De potentia restitutiva (1679), estableció la
famosa Ley que relaciona fuerzas y deformaciones. Con un sencillo
dispositivo en el cual aun plato se le van agregando pesos y se van
midiendo las deformaciones producidas progresivamente en el resorte
encontró una proporcionalidad directa entre los pesos aplicados y las
deformaciones.
A partir de un ensayo en el laboratorio puede graficarse la variación de la
Fuerza vs la Deformación total:

4. Ley establecida originalmente por Hooke:
Sin embargo, para estudiar las propiedades de un material, deben
relacionarse cantidades unitarias (esfuerzo σ y deformación unitaria ε) de
tal manera que en la ley queden obviadas el área y la longitud de la probeta
ensayada.
Como se ve en la figura, a medida que aumenta el esfuerzo se incrementa la
deformación unitaria del material que se está ensayando, pudiendo de esta
forma obtenerse las propiedades mecánicas de los materiales a partir de
esta Gráfica Esfuerzo-Deformación.
La pendiente inicial de la gráfica nos dice cómo varían las deformaciones
unitarias al incrementarse los esfuerzos. Para varios materiales esta primera
parte de la gráfica es lineal presentándose por tanto una relación directa
entre Esfuerzo y Deformación.

5. Si escribimos la ecuación de la recta obtendremos la expresión actual de la
Ley de Hooke:
La rigidez, la resistencia y la ductilidad son propiedades mecánicas de los
materiales:
- Rigidez: Capacidad de oponersea las deformaciones
- Resistencia: Capacidad de oponersea la rotura
- Ductilidad: Capacidad de deformarse antes de romperse.
A partir de la Ley de Hooke puede calcularse la deformación total que
sufrirá un elemento sometido a fuerza axial.
Según la Ley de Hooke:

6. Con esta expresión puede calcularse la deformación conociendo la carga P
la longitud de la barra L, la sección transversal A y el módulo de
elasticidad E (en la zona elástica).
Ejemplo de aplicación:
Calcular el alargamiento de cada cable y el desplazamiento vertical del
punto C en el cual está aplicada la carga.
Diámetro de los cables: 1.5cm.
Alargamiento de los cables:

7. Cálculo de FA y FB:
Deformacionescortantes:

8. No en todas las ocasiones los elementos estructurales son tensionados o
comprimidos por las fuerzas externas que actúan sobre ellos. En muchas
ocasiones un elemento está tratando de ser cortado.
En este caso, las dos platinas están intentando ser cortadas a lo largo del
área transversal que las une, la cual es paralela a la fuerza P que está siendo
aplicada.
Al producirse una distorsión como la que se ve en la figura, la deformación
está dada por la variación angular que sufre el elemento al ser deformado
por el esfuerzo cortante.
En el rango elástico lineal del material se ha encontrado relación directa
entre los esfuerzos cortantes y las deformaciones angulares sufridas por el
elemento.
Siendo G el módulo cortante o de rigidez del material

9. En este caso, el corte se resiste a través de 2 áreas.
Por lo tanto:
Cuando a un elemento se le produce un alargamiento en una dirección
dada, automáticamente se genera un acortamiento en la dirección
perpendicular o viceversa.
Deducida por el francés Simeon Denis Poisson (1781-1840) quien encontró
que la relación entre la deformación unitaria transversal y la longitudinal
era constante para cada material, denominándose por tanto esta constante,
Relación de Poisson.

10. El signo menos indica que a un alargamiento en un sentido corresponde un
acortamiento en el otro y viceversa.
Ejemplo de aplicación:
Calcular la carga admisible que se puede aplicar a un cilindro de concreto
de 8cm de diámetro para que no sufra una expansión lateral mayor de
0.002cm.
El módulo de elasticidad del concreto es de 20GPa y su relación de Poisson
es igual a 0.15
Calculando el esfuerzo admisible:
Según la ley de Hooke:

11. Aplicando la relaion de Poisson:
Ahora
A partir de un análisis que puede consultarse en alguno de los libros de
resistencia de materiales mencionados en la bibliografía, se ha encontrado
que:
Las constantes E (módulo de elasticidad), G (módulo de corte) y (relación
de Poisson) se denominan constantes elásticas de los materiales.
Deformacionespor torsión:
Entendemos por Torsiónla deformación de un eje, producto de la acción de
dos fuerzas paralelas con direcciones contrarias en sus extremos.

12. En virtud de lo anterior sólo resta considerar que en el problema de torsión
aparecen únicamente tensiones tangenciales. A su vez, para que las
tensiones constituyan un sistema estáticamente equivalente al momento
torsor Mt debe ocurrir que:
Resulta evidente que si tomamos un elemento diferencial en coincidencia
con el borde de la sección, la tensión tangencial deberá ser tangente a la
circunferencia, ya que de no ser así existirá una comp
que, por Cauchy, originaría una tensión tangencial aplicada sobre una
generatriz del cilindro.
Solo existen tensiones tangenciales
Su distribución a lo largo de un diámetro es antimétrica

13. Su dirección es normal al radio.
El ángulo resulta ser el “ángulo de distorsión” de la sección. Debemos tener
presente que si el ángulo es pequeño entonces los arcos se confunden con
las tangentes, lo que permite establecer
De acuerdo a la ley de Hooke:

14. Para el dimensionamiento debemos tener acotado el valor de la tensión
tangencial máxima.
En determinadas circunstancias interesa conocer el valor de la rotación
relativa de las secciones extremas de una barra circular sujeta a torsión.
Si interesa evaluar la energía de deformación absorbida en la torsión, su
expresión es la siguiente:

15. Ejemplo de aplicación
Determinar el mayor esfuerzo cortante al cual está siendo solicitado el eje,
y la deformación angular que presenta la sección C.