El documento presenta las demostraciones de dos teoremas de Euclides sobre triángulos rectángulos. Primero demuestra que la altura es la media proporcional geométrica entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. Luego demuestra que el cuadrado de un cateto es la media proporcional geométrica entre la hipotenusa y la proyección que determina ese cateto. Ambas demostraciones utilizan el teorema de Pitágoras y propiedades de triángulos rectángulos.

1. Demostración Teorema de Euclides referente a la altura
En todo triángulo rectángulo de altura y proyecciones p y q, la altura es la media
proporcional geométrica entre las proyecciones determinadas por los catetos sobre la
hipotenusa, es decir:
Demostración:
Aplicando el teorema particular de Pitágoras a los triángulos DBC y ADC puedes obtener las
siguientes igualdades:
Sumando miembro a miembro observas que:
Siendo ABC un triángulo rectángulo, sabemos que , por el teorema de Pitágoras,
por lo tanto:

2. Y como , tienes que:
De donde, finalmente, deduces la igualdad requerida, es decir:
Queda entonces demostrado el teorema.

3. Demostración Teorema de Euclides referente a los catetos
En todo triángulo rectángulo ABC de lados a, b y c con proyecciones q y p sobre la
hipotenusa, el cuadrado de un cateto es la media proporcional geométrica entre la hipotenusa y
la proyección que determina este cateto sobre la misma, es decir:
Demostración de
Si aplicas el teorema de Pitágoras al triangulo DBC tienes que:
Y del teorema de Euclides referente a la altura , podemos escribir:
Si ahora sacas factor común p, puedes escribir la igualdad anterior como sigue:
Teniendo en cuenta que deduces la igualdad deseada, es decir:

4. Queda entonces demostrado el teorema.
Actividad
Mediante un razonamiento completamente análogo, prueba que