Este documento presenta el Teorema de las alturas y catetos para triángulos rectángulos. Explica que la altura sobre la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada del producto de las proyecciones de los catetos, y que los catetos son iguales a la raíz cuadrada del producto de la hipotenusa por su proyección correspondiente. A continuación, resuelve varios problemas aplicando estos teoremas.

1. Teorema de las alturas
y catetos.

2. Teorema de la altura

El cuadrado de la altura sobre la hipotenusa de un
triángulo rectángulo es igual al producto de las
proyecciones de sus catetos sobre la hipotenusa.

Es decir que h2 = m·n

Este teorema nos permite calcular la altura sobre la
hipotenusa de un triángulo rectángulo si
conocemos las proyecciones de los catetos sobre
la hipotenusa

3. También nos dice que en un triángulo rectángulo, la altura
relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los 2
segmentos que dividen a ésta.

4. En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los
catetos sobre la hipotenusa miden 4 y 9 metros.
Calcular la altura relativa a la hipotenusa.
Respuesta: h=6

5. Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo
con los datos que se muestran en la figura:

6. En un triángulo rectángulo, la altura
correspondiente a la hipotenusa mide 16 cm y la
proyección ortogonal de uno de sus catetos mide
32 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa de dicho
triángulo?
Luego, la otra proyección mide 8 cm.
Por tanto, la hipotenusa mide 32 + 8 = 40 cm.

7. Teorema del cateto

El cuadrado de un cateto es igual al producto de
la hipotenusa por la proyección de dicho cateto
sobre la hipotenusa.

Como consecuencia tenemos las
siguientes fórmulas:
b2 = m·a
c2 = n·a

Siendo a = m + n y m la proyección del
cateto b sobre la hipotenusa y n la del
cateto c, tal y como se puede observar en el
triángulo anterior.

8. 
La media proporcional (o geométrica) de dos números es la
raíz cuadrada de su producto. Esto nos indica que; si
extraemos la raíz cuadrada a cada término de las dos
expresiones, tenemos que los catetos son la media
proporcional de sus proyecciones y la hipotenusa.

Estas fórmulas nos permiten calcular los catetos, conocidas
sus proyecciones o bien calcular un cateto conocida su
proyección y la hipotenusa.

9. Una maqueta de barco usa dos cablecitos
para tensar el mástil mayor, debiendo
quedar como muestra la figura.
 Calcula la distancia a la que debemos
colocar el segundo cable.
 ¿Cuál debe ser la longitud de dicho cable?
 ¿Sabrías decir cuál es la altura del mástil?

10. En primer lugar observemos que se trata
de un triángulo rectángulo, por lo que
podemos aplicar el teorema del cateto y
de la altura.
Aplicamos el teorema del cateto para
calcular la distancia a la que se debe
encontrar el segundo cable:
9−4=5

11. Debemos colocar el segundo cable a5 cm
de distancia de la base de mástil.
 Aplicamos el teorema del cateto para
calcular la medida del lado c:

La medida del lado c es de 6.71 cm

12. Aplicamos el teorema de la altura para
calcular la altura del mástil:
El mástil tiene una altura de 4.47 cm

13. Observa el tobogán en el que juegan Lucía
y Marcos. Calcula la medida del lado n.
¿Cuál es la altura del tobogán?

14. 

En primer lugar observemos que se trata de un triángulo
rectángulo, por lo que podemos aplicar el teorema del
cateto y de la altura.
Aplicamos el teorema del cateto para calcular la medida
de n.

15. De las dos soluciones obtenidas sólo es
válida la solución positiva, pues el dato
que buscamos es una medida, que no
puede ser negativa.
 Por tanto, la distancia pedida es de1.6 m

Usamos el teorema de la altura para
calcular la altura del tobogán.
Luego, la altura del tobogán es
de 1.2m.