Este documento demuestra dos propiedades de los enteros: (1) Que a.0 = 0 para cualquier entero a, y (2) Que (-1).a = -a para cualquier entero a. Para probar la primera propiedad, se utilizan las propiedades fundamentales de igualdad y distribución. Para probar la segunda propiedad, primero se establecen dos lemas: 1) 1.a = a y 2) (-a)b = -(ab). Luego, usando estos lemas y las propiedades de opuestos y elementos neutros, se demuestra que (-1).a = -a

1. Demostrar las siguientes propiedades para todo aϵ Z .
(1) Probar que a.0=0
a+0=a(Elementoneutrode laadicióndeenteros)
a.(a+0)=a.a(Propiedad fundamentaldela igualdad)
a.a+a.0=a.a(Propiedad distributi va)
−(a.a)+(a.a)+a.0=(a.a)+[−(a.a)](Opuesto dea.a)
a.0=0
(2) Probar que (−1).a=−a
a) Lema 1: 1.a=a
(1+0).a=a(Elemento neutrodela adición)
1.a+0.a=a(Propiedad distributiva)
1.a=a(Propiedad anterior)
b) Lema 2: −(ab)=(−a)b=a(−b)
−(ab)+(ab)=0(Opuestode−(ab))
−(ab)+(ab)=0.b(Propiedad anterior)
0.b=(−a+a).b=(−a).b+ab(Opuestode−a)
−(ab)=(−a).b
(Propiedad fundamental delaigualdad conel opuestode ab)

2. Análogamente se prueba para −(ab)=a(−b)
c) Demostración principal
−1+1=0(Opuesto de−1)
(−1+1).a=0.a(.esley decomposicióninterna)
(−1).a+1.a=0.a(Propiedad distributiva)
(−1).a+a=0(Lema1)
(−1).a+a+(−a)=0+(−a)(Opuesto dea)
(−1).a=−a(Elementoneutro delaadición)