Enseñar a encontrar derivadas de funciones trigonométricas inversas. Estas laminas sirvieron como apoyo didáctico para la elaboración del vídeo correspondiente a las "derivadas de funciones trigonométricas inversas" contenidos en el SEED.

1. Derivadas de Funciones
Trigonométricas
Inversas
Elaborado por:
Camilo Andrés Ortiz Daza

2. Objetivo General
•Enseñar a encontrar derivadas de funciones
trigonométricas inversas

3. Introducción
En este punto se puede suponer que las funciones
seno, coseno y tangente de un ángulo particular ya
son conocidas así como sus derivadas , pero
¿Qué hay más allá de ellas?

4. Imagine por un momento que tenemos la
función 𝑦 = sin(𝑥), ahora queremos despejar
la variable 𝑥 de la igualdad.
¿Cómo lo haríamos?
Para responder a esta pregunta debemos
recurrir a los conceptos básicos sobre
funciones inversas.

5. Función Inversa
𝑦 = 𝑓 𝑥 → 𝑥 = 𝑓−1(𝑦)
𝑓−1
𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑓(𝑓−1
(𝑥)) = 𝑥y

6. Ejemplo:
Supongamos que tenemos la función 𝑦 = 𝑥2, si quisiéramos despejar a
x de la igualdad entonces podemos aplicar los conceptos de función
inversa obteniendo así
𝑦 = 𝑥
Ya que la raíz cuadrada es la operación inversa de elevar al cuadrado
una cantidad determinada. De este modo al reemplazar 𝑦 por 𝑥2
En la expresión resultante obtenemos que
𝑥2 = (𝑥2)
1
2
Aplicando propiedades de los exponentes finalmente concluimos que
𝒙 = 𝒙
La primera propiedad se cumple!

7. Nuevamente , aplicando las propiedades de los exponentes la 𝑥2
puede escribirse como sigue:
𝑥2 = 𝑥
1
2
2
De este modo obtenemos el mismo resultado, es decir que
𝒙 = 𝒙
Razón por la cual la segunda propiedad también se cumple!

8. De esta manera sí
𝑦 = sin(𝑥)
Entonces
𝑥 = arcsin(𝑦)
En términos generales podemos escribir a esta función en “x” como
𝑦 = arcsin(𝑥)
Así por ejemplo
arcsin sin 𝑥 = 𝑥 sin arcsin 𝑥 = 𝑥y

9. La función arco seno también puede escribirse como
arcsin 𝑥 = sin−1(𝑥)
En conclusión las funciones trigonométricas inversas son:
𝑦 = sin−1(𝑥)
𝑦 = cos−1
(𝑥)
𝑦 = tan−1
(𝑥)
𝑦 = csc−1
(𝑥)
𝑦 = sec−1
(𝑥)
𝑦 = cot−1
(𝑥)

10. Teorema: Derivada de la Función Inversa
Suponga que 𝑦 = 𝑓−1
(𝑥) entonces
𝑓(𝑦) = 𝑥
De esta manera aplicando la regla de la cadena y derivando a ambos
miembros de la igualdad obtenemos que
𝑦′
∙ 𝑓′(𝑦) = 1
𝒚′
=
𝟏
𝒇′(𝒚)

11. Ejemplo 1.
Encontrar la derivada de 𝑦 = sin−1(𝑥)

12. Ahora usando las propiedades de la función inversa para despejar x entonces
sin 𝑦 = 𝑥
Aplicando la regla de la cadena y derivando a ambos miembro de la igualdad
obtenemos
cos 𝑦 ∙ 𝑦′ = 1
Despejando a 𝑦′ obtenemos que
𝑦′ =
1
cos(𝑦)
Como sin2
𝑦 + cos2
(𝑦) = 1 entonces
𝑦′
=
1
1 − sin2(𝑦)
Como 𝑦 = sin−1(𝑥) entonces
Solución:

13. 𝑦′ =
1
1 − sin(sin−1 𝑥 2)
𝒚′ =
𝟏
𝟏 − 𝒙 𝟐

15. Ejemplo 2.
Encontrar la derivada de 𝑦 = tan−1(𝑥)

16. Solución:
Recuerde que el teorema “Derivada de la Función Inversa” es:
𝑦′ =
1
𝑓′(𝑦)
𝑓 𝑦 = tan(𝑦)
De acuerdo con el ejercicio anterior
𝑓′ 𝑦 = sec2(𝑦)⇒
Al aplicar el teorema enunciado
𝑦′ =
1
sec2(𝑦)
Aplicando las identidades trigonométricas
𝑦′ =
1
1 + tan2(𝑦)

17. 𝒚′ =
𝟏
𝟏 + 𝒙 𝟐