Este documento define e ilustra las propiedades de funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Explica que una función inyectiva asigna a cada elemento del conjunto de llegada a lo sumo un elemento del conjunto de partida. Una función sobreyectiva asigna a cada elemento del conjunto de llegada al menos un elemento del conjunto de partida. Una función biyectiva es tanto inyectiva como sobreyectiva, asignando cada elemento del conjunto de llegada exactamente un elemento del conjunto de partida. Proporciona ejemplos de funciones que cumplen cada propiedad y

1. UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
VICE RECTORADO ACADÉMICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
CABUDARE-EDO-LARA
INVESTIGACION SOBRE FUNCIONES INYECTIVAS,
SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS.
Alumno:
Juan Alberto Ojeda S
C.I: 16.544.211

2. "Inyectiva, sobreyectivas y biyectivas" te dan información sobre el comportamiento de
una función. Puedes entender una función como una manera de conectar elementos de
un conjunto "A" a los de otro conjunto "B": "Inyectiva" significa que cada elemento de
"B" tiene como mucho uno de "A" al que corresponde (pero esto no nos dice que todos
los elementos de "B" tengan alguno en "A"). "Sobreyectivas" significa que cada
elemento de "B" tiene por lo menos uno de "A" (a lo mejor más de uno). "Biyectivas"
significa inyectivo y sobreyectivas a la vez. Así que hay una correspondencia perfecta
"uno a uno" entre los elementos de los dos conjuntos. Definiciones formales Inyectiva
Una función f es Inyectiva si, cuando f(x) = f (y), x = y. Ejemplo: f(x) = x2 del conjunto de
los números naturales a es una función Inyectiva. (Pero f(x) = x2 no es Inyectiva cuando
es desde el conjunto de enteros (esto incluye números negativos) porque tienes por
-2) = 4) Nota: Inyectiva también se llama "uno a uno", pero esto
se confunde porque suena un poco como si fuera biyectivas. Sobreyectivas (o también
"epiyectivo") Una función f (de un conjunto A a otro B) es sobreyectivas si para cada y
en B, existe por lo menos un x en A que cumple f(x) = y, en otras palabras f es
sobreyectivas si y sólo si f(A) = B.
3. Así que cada elemento de la imagen corresponde con un elemento del dominio por
lo menos. Ejemplo: la función f(x) = 2x del conjunto de los números naturales al de los
números pares no negativos es sobreyectivas. Sin embargo, f(x) = 2x del conjunto de los
números naturales a no es sobreyectivas, porque, por ejemplo, ningún elemento de va
al 3 por esta función. Biyectivas Una función f (del conjunto A al B) es biyectivas si, para
cada y en B, hay exactamente un x en A que cumple que f(x) = y Alternativamente, f es
biyectivas si es a la vez Inyectiva y sobreyectivas. Ejemplo: La función f(x) = x2 del
conjunto de números reales positivos al mismo conjunto es Inyectiva y sobreyectivas.
Por lo tanto es biyectivas. (Pero no desde el conjunto de todos los números reales
-2)=4) Algunos ejemplos: Ejemplo de
función Inyectiva a) Veamos si la función f(x) = 4x - 1 es Inyectiva: Si las imágenes son
iguales: F(x1) = f(x2) ⇒ 4x1 - 1 = 4x2 - 1 ⇒ 4x1 = 4x2 ⇒ x1 = x2, los originales son iguales.
Por tanto, la función f es Inyectiva. Criterio de la recta horizontal Una función es
Inyectiva si ninguna recta horizontal corta a su gráfica en más de un punto. b) Veamos
si g(x) = x2 es Inyectiva: Si trazamos rectas horizontales sobre la gráfica, Estas la corta en

3. más de un punto. Por ejemplo: si trazamos la recta y = 4: Ésta corta la función en los
puntos: x = 2, x = -2 G (2) = 4, g (-2) = 4 Por tanto, dos elementos distintos, 2 y - 2, tienen
la misma imagen. La función g no es Inyectiva.
4. c) Veamos si h(x) = sen x es Inyectiva: Si trazamos rectas horizontales sobre la gráfica,
estas la corta en más de un punto. Por ejemplo: si trazamos la recta y = 1: Ésta corta la
función en los puntos: x = π/2, -3π/2 h (π/2) = 1, h(-3π/2) = 1 Por tanto, dos elementos
distintos, π/2 y -3π/2, Tienen la misma imagen. La función h no es Inyectiva. Ejemplo de
función sobreyectivas a) Veamos si la función f: R → R, donde f(x) = x2 + 1, es
sobreyectivas: En este caso: El conjunto inicial de f es R. El conjunto final de f es: R La
imagen de f es [1, ∞), es decir: Im (f) = [1, ∞)
5. La imagen de f y el conjunto final de f no coinciden: Véase la parte rayada del eje OY.
No coincide con todo R Luego la función f no es sobreyectivas. b) Veamos si la función
g: R → R, donde g(x) = x3 + 3, es sobreyectivas: En este caso: El conjunto inicial de g es
R. El conjunto final de g es: R La imagen de g es también R, es decir: Im (g) = R La imagen
de g y el conjunto final de g coinciden es R: Véase la parte rayada del eje OY. Coincide
con todo R Luego la función g sí es sobreyectivas.
6. Ejemplo de función biyectivas a) Veamos si la función f: R → R, donde f(x) = 3x - 2, es
biyectivas. Veamos primero si es Inyectiva, Si las imágenes son iguales: F(x1) = f(x2) ⇒
3x1 - 2 = 3x2 - 2 ⇒ 3x1 = 3x2 ⇒ x1 = x2 , los originales son iguales. Por tanto, la función
f es Inyectiva. Veamos ahora si es sobreyectivas: El conjunto inicial de f es R. El conjunto
finalde f es:R Laimagende fes también R, es decir: Im (f)= RLa imagen de f y el conjunto
final de f coinciden: R: Véase la parte rayada del eje OY. Coincide con todo R Luego la
función f sí es sobreyectivas. Por tanto, la función f es biyectivas. b) Veamos si la función
g: R → R, donde g(x) = x2, es biyectivas.
7. La función f es una función par, es decir: f(x) = f (-x). Por tanto no es Inyectiva, pues
dos valores distintos, x, -x, tiene imágenes iguales. Luego f no puede ser biyectivas. c)
Dada la siguiente función h, vamos a ver si es biyectivas. Veamos primero si es Inyectiva,
Si las imágenes son iguales: , los originales son iguales. Por tanto, la función h es
Inyectiva. Veamos ahora si es sobreyectivas: El conjunto inicial es: R El conjunto final es:
R Calculamos el recorrido: Im (f) = [0, ∞) [0,∞) ≠ R: Véase la parte rayada del eje OY. No

4. coincide con todo R Luego la función h no es sobreyectivas. Por tanto, la función h no es
biyectivas.