Este documento presenta información sobre la justificación matemática. Explica que existen diferentes niveles de producción de demostraciones matemáticas según Knuth, Choppin y Bieda, desde niveles empíricos hasta argumentos generales. También describe esquemas de justificación como autoritarios, rituales y basados en transformaciones lógicas. Finalmente, propone actividades para que los estudiantes aprendan a justificar como analizar enunciados con diferentes valores de verdad.

1. TALLER DE SOCIALIZACIÓN
Línea de razonamiento
y justificación
Sesión 13. Justificación matemática (Primer aspecto
de la respuesta al ¿por qué?)
Luis Miguel MARAVÍ ZAVALETA
I. E. Nº 80915 “Miguel Grau Seminario”

2. Para pensar – 1
La profesora Estela planteó a sus alumnos la
siguiente tarea (Vallejo, 2012c):
Marquitos respondió:

3. Para pensar – 2
Otra tarea planteada por la profesora Estela fue
la siguiente (Vallejo, 2012c):
“Si 𝒙 es múltiplo de 3, 𝒚 es múltiplo de 3,
entonces ¿siempre se cumplirá que
𝒙
𝒚
es
múltiplo de 3?”
Laurita respondió así:

4. Justificar … ¿por qué es importante?
(Vallejo, 2012b)
“Podemos mencionar
• una alta participación en clase,
• un efecto “refuerzo” para los temas tratados,
• conexiones con conocimientos anteriores,
• una reducida dependencia del profesor para la
aclaración de sus dudas,
• planteamiento de conjeturas,
• una mejora progresiva en sus comunicaciones
verbales y escritas manifestada a través de sus
argumentos,
• seguridad en sus respuestas y así en sus
conocimientos y por tanto en su persona, etc.”

5. Presencia en el CNEB (Perú, Ministerio de
Educación, 2016) - Ejemplos
Nivel Competencia Capacidad
Inicial (p. 96) RESUELVE
PROBLEMAS DE
MOVIMIENTO, FORMA Y
LOCALIZACIÓN.
“Usa estrategias y procedimientos para
encontrar reglas generales”
Primaria (p.
138)
RESUELVE
PROBLEMAS DE
CANTIDAD
“Argumenta afirmaciones sobre las
relaciones numéricas y las
operaciones: Es elaborar afirmaciones
sobre las posibles relaciones entre
números naturales, enteros, racionales,
reales, sus operaciones y propiedades;
en base a comparaciones y experiencias
en las que induce propiedades a partir
de casos particulares; así como
explicarlas con analogías, justificarlas,
validarlas o refutarlas con ejemplos y
contraejemplos”

6. Espectro EP (Exploración – Demostración)
(Hsieh, Horng, Shy, 2012, p. 289)

7. Sobre la justificación matemática
• ¡Existen distintos puntos de vista acerca de la
justificación matemática!
• En este trabajo, habrá que empezar por indicar
qué es una demostración.
• Harel & Sowder (1998, en Vallejo, 2012a, p. 12):
“Por demostración nosotros entendemos el
proceso empleado por una persona para eliminar
o crear dudas acerca de la veracidad de una
observación”.
• Knuth, Choppin & Bieda (2011, pp. 154 – 155)
presentan los siguientes niveles de producción
de la demostración matemática.

8. Niveles de producción de la demostración
matemática (según Knuth, Choppin & Bieda,
2011) – 1
• Nivel 0
“Parecen inconscientes de la necesidad de
proveer una justificación matemática para
demostrar la veracidad de un enunciado” (p.
154).
Ejemplos (Knuth, Choppin, Bieda, 2011, p. 154):
• “La proposición X es verdadera porque mi
profesor dijo que lo era”
• “La suma de dos números pares es par porque
así lo es”, etc.

9. Niveles de producción de la demostración
matemática (según Knuth, Choppin & Bieda,
2011) – 2
• Nivel 1
“Parecen conscientes de la necesidad de
proveer una justificación matemática, pero sus
justificaciones no son generales, sino empíricas”
(p. 154).
Ejemplo (Ordoñez, 2014, p. 28):
Para justificar la propiedad “todo número natural
es divisible entre sí mismo”, un niño podría
indicar “Sí, porque 3 es divisible entre 3; 8 es
divisible entre 8 y 5 es divisible entre 5”.

10. Niveles de producción de la demostración
matemática (según Knuth, Choppin & Bieda,
2011) – 3
• Nivel 2
“Parecen conscientes de la necesidad de un argumento
general y frecuentemente intentan producirlo, pero las
demostraciones no llegan a ser aceptables” (p. 155).
Ejemplo (Vallejo, 2012a, p. 68):
¿17 entre 5 es una división exacta? ¿Por qué?
• Alexander: No. Ningún número multiplicado por 5 me
va a dar 17.
• Profesor: ¿Está bien la justificación de Alexander?
• Alexander: Porque 5, si le multiplico… porque 5 por 3
da 15 y 5 por 4 daría 20 y no, no…

11. Niveles de producción de la demostración matemática
(según Knuth, Choppin & Bieda, 2011) – 4
• Nivel 3
“Parecen conscientes de la necesidad de un
argumento general y son capaces de
producirlos exitosamente” (p. 155).
Ejemplo (Ordoñez, 2014, p. 29):
Para justificar la propiedad “todo número natural
es divisible entre sí mismo”, un niño podría
decir:

12. Respuesta de Orlando (3º de primaria) – nivel 3
(Ordoñez, 2014, p. 316)

13. Entonces, ¿qué es la justificación
matemática?
• De acuerdo con Vallejo (2012a), “un estudiante
presenta una justificación matemática si sus
argumentos clasifican en alguno de los niveles 1, 2 ó 3
de la demostración matemática (…)” (p. 19).
• De este modo, “toda demostración es una justificación
matemática, aunque no toda justificación sea una
demostración” (p. 19).
• “Una demostración matemática nos puede indicar que
el estudiante ha culminado satisfactoriamente el
proceso demostrativo; mientras que una justificación
matemática nos puede indicar el nivel alcanzado por el
estudiante, sus dificultades, sus errores, sus conflictos,
sus concepciones, etc. Estas pueden ser señales
importantes para la tarea docente de orientación,
estímulo y refuerzo” (p. 19).

14. Refrescamos nuestros
conocimientos acerca de lógica
• Para justificar una proposición también se
debe tener en cuenta el tipo de esta, así
como su valor de verdad (Vallejo, 2015).
Tipo de proposición Valor de verdad Se requiere para justificar …
Universal Verdadero Analizar todos los casos
comprendidos por la proposición
Falso Brindar contraejemplo
Particular Verdadero Brindar ejemplo
Falso Indicar la proposición general que
fundamente dicho caso

15. Para analizar (Vallejo, 2015)
1. Dados el conjunto 𝑀 = 36; 16; 100; 81; 144 y la
proposición “todos los elementos de M son
cuadrados perfectos”. Indique el valor de verdad de
esta y justifique.
(SUG.: ¿qué tipo de proposición es?, luego…)
2. Sea la proposición “existen enteros positivos que no
son cuadrados perfectos”. Indique su valor de verdad y
justifique.
3. Sea el enunciado “existen números enteros tales que
su cuadrado es un número negativo”. ¿Verdadero o
falso? Justifique.
4. La proposición “siempre que se tengan tres palitos de
madera se podrá construir un triángulo con ellos” ¿es
verdadera o falsa? Justifique.

16. Retomemos lo visto al inicio – 1
La profesora Estela planteó a sus alumnos la
siguiente tarea (Vallejo, 2012c):
Marquitos respondió:

17. Retomemos lo visto al inicio – 2
Otra tarea planteada por la profesora Estela fue
la siguiente (Vallejo, 2012c):
“Si 𝒙 es múltiplo de 3, 𝒚 es múltiplo de 3,
entonces ¿siempre se cumplirá que
𝒙
𝒚
es
múltiplo de 3?”
Laurita respondió así:

18. ALGUNAS IDEAS PARA
ENSEÑAR (Y APRENDER) A
JUSTIFICAR

19. 1. Los esquemas de justificación
(Sowder & Harel, 1998) – 1
• Flores (2005) indica
que “justificar
resultados en
matemáticas incluye
convencerse a sí
mismo y a otros” (p. 9).
• En ese sentido, Sowder
& Harel (1998) acuñan
el concepto de
“esquema de
justificación” (p. 671).

20. 1. Los esquemas de justificación (Sowder
& Harel, 1998) – 2
• Esquemas autoritarios de justificación
“Los estudiantes […proceden así] cuando ellos
creen que pueden contar solamente con un libro
de texto, con una afirmación del profesor, o quizás
con la confirmación de un compañero más
conocedor para justificar un resultado” (p. 671)
Ejemplo (Flores, 2005, p. 14):

21. 1. Los esquemas de justificación (Sowder
& Harel, 1998) – 3
• Esquemas rituales de justificación
Se caracterizan por que “el estudiante […]
juzga la corrección de un argumento solamente
por su forma, en lugar de […analizar] el
razonamiento mostrado […]” (p. 671)

22. 1. Los esquemas de justificación (Sowder & Harel,
1998) – 4
• Esquemas simbólicos de justificación
Sucede “cuando los estudiantes manejan los símbolos
como si estos […fuesen] independientes de cualquier
significado o de cualquier relación con las cantidades
en la situación en la cual ellos sugieron […]” (p. 672).
Ejemplos (Flores, 2005, p. 15):

23. 1. Los esquemas de justificación (Sowder & Harel,
1998) – 5
• Esquemas perceptuales de justificación
Ocurre cuando los estudiantes buscan
convencer a otros mediante la muestra de un
diagrama (cfr. p. 672).
Ejemplo (adaptado de Sowder & Harel, 1998, p.
672):
¿Es la siguiente figura un rectángulo?

24. 1. Los esquemas de justificación (Sowder & Harel,
1998) – 6
• Esquemas basados en ejemplos
Sucede cuando se evalua una conjetura a
través de uno o más ejemplos y se pretende
convencer con ello a uno mismo u a otros (cfr.
672). Ejemplo (Flores, 2005, p. 17):

25. 1. Los esquemas de justificación (Sowder &
Harel, 1998) – 7
• Esquemas transformacionales de justificación
En este esquema, las justificaciones de los
estudiantes están orientadas hacia el
establecimiento de la conjetura en general (cfr.
p. 673). Ejemplo (Flores, 2005, p. 19):

26. 1. Los esquemas de justificación (Sowder &
Harel, 1998) – 8
• Esquemas axiomáticos de justificación
Un estudiante muestra este tipo de esquema
cuando emplea un sistema organizado de
términos no definidos, definiciones, hipótesis y
teoremas, en los que unas proposiciones son
consecuencia lógica de otras (cfr. p. 674).
Ejemplo:
(Carranza & Molina, 2006, p. 45)

27. 1. Los esquemas de justificación (Sowder
& Harel, 1998) – 9
“Los esquemas de justificación […] nos brindan
una forma de evaluar las justificaciones
brindadas por nuestros estudiantes y también
que nosotros podemos planificar nuestra
enseñanza para llevarles hacia formas más
sofisticadas de razonamiento” (p. 674).

28. 2. Propuesta de Knuth, Choppin &
Bieda (2011) – 1
El siguiente problema “provee una excelente
oportunidad (…) para discutir casos (…)” (p. 169)
en el aula:
“¿Cuáles de los siguientes enunciados son
siempre verdaderos, cuáles son nunca
verdaderos y cuáles son algunas veces
verdaderos? Explica tu razonamiento.
Si un número es mayor que un segundo número,
entonces el primero tiene más divisores que el
segundo.
La suma de dos números impares es par.” (p.
169)

29. 2. Propuesta de Knuth, Choppin &
Bieda (2011) – 2
Esta idea es desarrollada por Vallejo (2012a, pp. 200,
204).

30. Referencias
• Carranza, C. & Molina, A. (2006). Tópicos de aritmética y
álgebra. Lima: Autores.
• Flores, A. (2005). ¿Cómo saben los alumnos que lo que
aprenden en matemáticas es cierto?: un estudio exploratorio.
Educación Matemática, 17 (3), pp. 5 – 24.
• Hsieh, F.-J., Horng, W.-S. & Shy, H.-Y. (2012). From Exploration
to Proof Production. En G. Hanna and M. de Villiers (eds.), Proof
and Proving in Mathematics Education, pp. 279 – 304. New ICMI
Study Series 15, DOI 10.1007/978-94-007-2129-6_12
• Knuth, E., Choppin, J., & Bieda, K. (2011). Middle School
Students’ Production of Mathematical Justifications. En Blanton,
M., Knuth, E. y Stylianou, D. (Eds.), Teaching and learning proof
across the grades: A K-16 perspective. New York: Routledge.
• Sowder, L. & Harel, G. (1998). Types of Students’ Justifications.
The Mathematics Teachers, 91 (8), pp. 670 – 675.

31. Referencias
• Ordoñez, C. (2014). La construcción de la noción de división y
divisibilidad de números naturales, mediada por justificaciones, en
alumnos de tercer grado de nivel primaria. (Tesis de maestría en
Educación Matemática). Pontificia Universidad Católica del Perú,
Lima, Perú.
• Perú, Ministerio de Educación (2016). Currículo Nacional de la
Educación Básica. Lima: Autor.
• Vallejo, E. (2012a). Análisis y propuesta en torno a las
justificaciones en la enseñanza de la divisibilidad en el primer
grado de secundaria. (Tesis de maestría en Educación
Matemática).Pontificia Universidad Católica del Perú, Lima, Perú.
• Vallejo, E. (2012b). Importancia de las justificaciones. VI Coloquio
Internacional de Enseñanza de las Matemáticas, Lima: PUCP.
• Vallejo, E. (2012c). Algunas justificaciones. VI Coloquio
Internacional de Enseñanza de las Matemáticas, Lima: PUCP.
• Vallejo, E. (2015). Razonamiento y Justificación. Maestría en
Enseñanza de las Matemáticas, Lima: PUCP.