Este documento presenta sugerencias metodológicas para trabajar con proposiciones categóricas en la enseñanza de las matemáticas. Incluye ejemplos de tareas que promueven la clasificación de proposiciones y ejercicios para determinar el valor de verdad de enunciados. También presenta principios de diseño de tareas de demostración y una tabla sobre tipos de ejemplos para probar y refutar proposiciones universales y particulares.

1. TALLER DE SOCIALIZACIÓN
Línea de razonamiento y
justificación
Luis Miguel MARAVÍ ZAVALETA
I. E. Nº 80915 “Miguel Grau Seminario”
Sesión 5
Sugerencias metodológicas para el trabajo con
proposiciones categóricas

2. Una aclaración necesaria
• “No todos los resultados de la actividad de
investigación, en cualquier campo, tienen directa
y concreta influencia en la vida cotidiana: esto,
en ocasiones, hace pensar lejana (…) la
actividad de los investigadores” (Fandiño, 2006)
• Tres líneas en la Educación Matemática (Godino
& Batanero, 1998, citado en Fandiño, 2006):
- Acción práctica – reflexiva sobre PEA de la
matemática.
- Tecnología didáctica.
- Investigación científica propiamente dicha

3. ¿Dónde nos encontramos? ¿A dónde
vamos?

4. Principios para el diseño de tareas de
demostración
Tarea: “todo lo que un profesor emplea para
manifestar matemáticas, para relacionarse
interactivamente con los estudiantes o para pedir a los
estudiantes que hagan algo” (Watson, Ohtani, Ainley,
Bolite, Doorman, Kieran, Leung, Margolinas, Sullivan,
Thompson, Yang, 2013, p. 12). En esa línea parece
situarse Leuders (2016).
Entre los principios propuestos por Lin, Yang,
Lee, Tabach & Stylianides (2012) destaca el siguiente:
Promover la clasificación de proposiciones
matemáticas

5. Promover la clasificación de proposiciones
matemáticas (1)
Lin et al. (2012) indican la relación de dicho
principio con la argumentación adecuada para
cada tipo de proposición.
Por ejemplo, en:
“La suma de tres números naturales
consecutivos es divisible por seis”
¿Dicha proposición es verdadera o falsa?
¿Cuál es el rol que juegan los cuantificadores
en la respuesta a la pregunta anterior?

6. Promover la clasificación de proposiciones
matemáticas (2)
• Tarea de clasificación proporcionada (Lin et al., 2012, p. 319):

7. Ejemplo de aplicación Nº 1
• Todos los días, a la hora del juego, la profesora Dora saca
los juguetes de diferentes cajas de cartón, cuyo contenido
siempre es variado. En una ocasión, ella no desaprovechó
la oportunidad para efectuar a los niños las siguientes
preguntas:
a) “Si yo saco un carrito, ¿es verdad que todos los
juguetes de la caja son carritos? ¿Por qué?”
b) “Si yo saco una muñeca, ¿es verdad que algunos
juguetes de la caja son muñecas?, ¿es verdad que
algunos juguetes no son muñecas? ¿Por qué?”
c) “Si yo, antes de abrir una caja, les digo ‘todos los
juguetes que hay aquí son trompos’ y saco un yoyó,
¿he dicho la verdad o he mentido? ¿Por qué?”
d) “Si yo, antes de abrir una caja, les digo ‘algunos
juguetes son para jugar a la carpintería’ y saco una
ollita, ¿he dicho la verdad o he mentido? ¿Por qué?”

8. Ejemplo de aplicación Nº 2
Problemas con tetraminós
“Un tetraminó es una ficha conformada por cuatro
cuadrados de 1 x 1 (…)” (Neyra, 2013)
Cuestiones a examinar:
a) ¿Es verdad que todos los tetraminós tienen la
misma área?
b) ¿Es verdad que todos los tetraminós tienen
igual perímetro?
c) ¿Es verdad que no existen más de cinco tipos
de tetraminó?

9. Ejemplo de aplicación Nº 3
Problema (Vallejo, 2015a) – 1
Dado el conjunto 𝐾 = 1; 3; 5; 9 ∪ 0
Determine el valor de verdad de las siguientes
proposiciones. Justifique su respuesta.
• Todos los elementos del conjunto K son menores
que 10.
• Algún elemento del conjunto K es un número par
• Cada elemento del conjunto K es un número
positivo
• Existen elementos del conjunto K que no son
pares.
• Los elementos de K son números negativos

10. Problema (Vallejo, 2015a) – 2
Dado el conjunto 𝐾 = 1; 3; 5; 9 ∪ 0
Determine el valor de verdad de las siguientes
proposiciones. Justifique su respuesta.
• Ningún elemento de K es un número compuesto.
• Algún elemento de K es mayor que 20.
• Existen elementos de K que no son números
naturales
• Ningún elemento del conjunto K es un número
negativo.

11. Ejemplo de aplicación Nº 4
Problema (Vallejo, 2015b)
• Determine valor de verdad (con su respectiva
justificación), así como proposiciones
equivalentes en la siguiente lista:
a) Todo número natural es entero.
b) Ningún número natural es entero.
c) Existen números naturales que no son enteros
d) No es verdad que existen números naturales que
son enteros
e) Ningún número entero es natural
f) Existen números enteros que son números
naturales
g) Todos los números enteros son números naturales

12. A modo de conclusión: tipos de ejemplos en
relación con proposiciones categóricas
Proposición universal Proposición particular
Probar Refutar Probar Refutar
Confirmatorio Insuficiente
(necesita prueba
general)
No aplicable Suficiente No aplicable
Contradictorio o
no confirmatorio
(contraejemplo)
No aplicable Suficiente No aplicable Insuficiente
Tipo de ejemplo
Fuente: Adaptado de Buchbinder & Zaslavsky (2013, p. 29)

13. Referencias (1)
• Buchbinder, O. & Zaslavsky, O. (2013). A Holistic Approach
for Designing Task that Capture and Enhance Mathematical
Understanding of a Particular Topic: The Case of the
Interplay between Examples and Proof. En Margolinas, C.
(Ed.) Task Design in Mathematics Education. Proceedings
of ICMI Study 22 (Vol. 1), pp. 27 – 35.
• Copi, I. (1981). Introducción a la Lógica. Buenos Aires:
Universitaria de Buenos Aires.
• Fandiño, M. (2006). Currículo, evaluación y formación
docente en matemática. Bogotá: Magisterio.
• Leuders, T. (2016). El rol de las tareas en las clases de
matemáticas. En pp. 97 – 113. Blum, W., Drüke-Noe, C.,
Hartung, R. & Köller, O. (Eds.) Estándares de aprendizaje
de la matemática. Lima: SINEACE.

14. Referencias (2)
• Lin, F. – L., Yang, K. – L., Lee, K. H., Tabach, M.
& Stylianides, G. (2012). Principles of Task
Design for Conjecturing and Proving. En Hanna,
G. & de Villiers, M. (Eds.), Proof and Proving in
Mathematics Education. Doi 10.1007/978-94-007-
2129-6_13
• Neyra, J. (2013). Técnica de coloración. XXXI
Coloquio de la Sociedad Matemática Peruana.
• Ricotti, S. (2013). Juegos y problemas para
construir ideas matemáticas. Buenos Aires:
Centro de Publicaciones y Material Didáctico.

15. Referencias (3)
• Vallejo, E. (2015a). Razonamiento y justificación
(apuntes de clase). Maestría en Enseñanza de la
Matemática con mención en Educación Primaria
– PUCP.
• Vallejo, E. (2015b). Matemática (apuntes de
clase). Facultad de Educación – PUCP.
• Watson, A., Ohtani, M., Ainley, J., Bolite, J.,
Doorman, M., Kieran. C., Leung, A., Margolinas,
C., Sullivan, P., Thompson, D. & Yang, Y. (2013).
Introduction. En Margolinas, C. (Ed.) Task Design
in Mathematics Education. Proceedings of ICMI
Study 22 (Vol. 1), pp. 9 – 15.