El documento presenta diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación gaussiana, el método de Gauss-Jordan, la descomposición LU y la factorización de Cholesky. Explica los pasos de cada método y provee un ejemplo numérico para ilustrar la descomposición LU.
El documento describe diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones, incluyendo el método gráfico, el método de Cramer, la eliminación de incógnitas y los métodos de Gauss, Gauss-Jordan y factorización LU. Se proveen ejemplos para ilustrar cada método.
Este documento describe métodos de aproximación funcional y de interpolación. Explica que las funciones complejas se pueden aproximar con funciones analíticas más simples como polinomios. Detalla dos métodos de aproximación polinomial: el de ajuste exacto y el de mínimos cuadrados. También presenta el método de interpolación polinomial de Lagrange para aproximar funciones desconocidas dadas en forma tabular.
1) El documento describe métodos de aproximación funcional e interpolación numérica para determinar funciones a partir de datos discretos. 2) Explica el método de interpolación lineal y polinomios de grado superior, incluyendo polinomios de Newton y Lagrange. 3) El método de Lagrange determina coeficientes para una combinación lineal de funciones basadas en los puntos de datos, permitiendo aproximar valores intermedios.
Este documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación de Gauss, la descomposición LU, la factorización de Cholesky, la factorización QR y los métodos iterativos de Gauss-Seidel y Jacobi. También compara los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel, señalando que Gauss-Seidel es más eficiente porque utiliza los valores encontrados en cada iteración.
Solucion numerica de ecuaciones diferenciales ordinarias 2cesar91
Este documento describe el método numérico de diferencias finitas para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias unidimensionales. Explica cómo aproximar las derivadas primeras y segundas mediante desarrollos de Taylor y cómo transformar la ecuación diferencial en un sistema de ecuaciones algebraicas que puede resolverse numéricamente. Aplica el método a dos ecuaciones, una con coeficientes constantes proveniente de un sistema resorte-masa y otra con coeficientes variables.
Este documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo métodos gráficos, la regla de Cramer, eliminación de incógnitas, Gauss simple, Gauss-Jordan, y Gauss-Jordan con pivoteo. Explica cada método a través de ejemplos numéricos para ilustrar los pasos de resolución.
Este documento introduce el tema de la aproximación de funciones. Explica que la aproximación discreta implica encontrar la función que mejor se ajusta a un conjunto finito de puntos de datos, mientras que la aproximación continua aproxima una función continua en un intervalo dado mediante otra función de una clase dada. Además, distingue entre aproximación lineal, donde la función depende linealmente de sus parámetros, y no lineal. Finalmente, describe el método de mínimos cuadrados para la aproximación discreta lineal, que minimiza la
Resumen de la unidad iii (analisis numerico) Mirian Rodriguezthaiz050681
El documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación de Gauss, descomposición LU, factorización de Cholesky, factorización QR, métodos iterativos como Gauss-Seidel y Jacobi. Explica cada método con ejemplos para ilustrar los pasos de cada uno.
El documento describe diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones, incluyendo el método gráfico, el método de Cramer, la eliminación de incógnitas y los métodos de Gauss, Gauss-Jordan y factorización LU. Se proveen ejemplos para ilustrar cada método.
Este documento describe métodos de aproximación funcional y de interpolación. Explica que las funciones complejas se pueden aproximar con funciones analíticas más simples como polinomios. Detalla dos métodos de aproximación polinomial: el de ajuste exacto y el de mínimos cuadrados. También presenta el método de interpolación polinomial de Lagrange para aproximar funciones desconocidas dadas en forma tabular.
1) El documento describe métodos de aproximación funcional e interpolación numérica para determinar funciones a partir de datos discretos. 2) Explica el método de interpolación lineal y polinomios de grado superior, incluyendo polinomios de Newton y Lagrange. 3) El método de Lagrange determina coeficientes para una combinación lineal de funciones basadas en los puntos de datos, permitiendo aproximar valores intermedios.
Este documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación de Gauss, la descomposición LU, la factorización de Cholesky, la factorización QR y los métodos iterativos de Gauss-Seidel y Jacobi. También compara los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel, señalando que Gauss-Seidel es más eficiente porque utiliza los valores encontrados en cada iteración.
Solucion numerica de ecuaciones diferenciales ordinarias 2cesar91
Este documento describe el método numérico de diferencias finitas para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias unidimensionales. Explica cómo aproximar las derivadas primeras y segundas mediante desarrollos de Taylor y cómo transformar la ecuación diferencial en un sistema de ecuaciones algebraicas que puede resolverse numéricamente. Aplica el método a dos ecuaciones, una con coeficientes constantes proveniente de un sistema resorte-masa y otra con coeficientes variables.
Este documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo métodos gráficos, la regla de Cramer, eliminación de incógnitas, Gauss simple, Gauss-Jordan, y Gauss-Jordan con pivoteo. Explica cada método a través de ejemplos numéricos para ilustrar los pasos de resolución.
Este documento introduce el tema de la aproximación de funciones. Explica que la aproximación discreta implica encontrar la función que mejor se ajusta a un conjunto finito de puntos de datos, mientras que la aproximación continua aproxima una función continua en un intervalo dado mediante otra función de una clase dada. Además, distingue entre aproximación lineal, donde la función depende linealmente de sus parámetros, y no lineal. Finalmente, describe el método de mínimos cuadrados para la aproximación discreta lineal, que minimiza la
Resumen de la unidad iii (analisis numerico) Mirian Rodriguezthaiz050681
El documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación de Gauss, descomposición LU, factorización de Cholesky, factorización QR, métodos iterativos como Gauss-Seidel y Jacobi. Explica cada método con ejemplos para ilustrar los pasos de cada uno.
Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer ordencesar91
Este documento introduce los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Explica que un sistema de este tipo consta de dos ecuaciones que relacionan las derivadas de dos variables dependientes respecto a una variable independiente. Además, describe métodos para resolver sistemas lineales y homogéneos, e introduce la interpretación geométrica de las soluciones a través de órbitas en un plano de fase.
Este documento describe diferentes métodos de aproximación funcional e interpolación, incluyendo:
1) Aproximación polinomial simple mediante el uso de un polinomio de primer o segundo grado que pasa por puntos de una función tabulada para interpolar valores intermedios.
2) Polinomios de Lagrange, los cuales permiten aproximar funciones tabuladas sin necesidad de resolver sistemas de ecuaciones.
3) Métodos de ajuste exacto y mínimos cuadrados para determinar los coeficientes de polinomios de aproximación.
El documento trata sobre sistemas de ecuaciones lineales. Define sistemas de ecuaciones lineales, conjunto solución, y tipos de sistemas (consistentes con solución única, consistentes con infinitas soluciones, inconsistentes). Explica el método de Gauss para determinar el conjunto solución, reduciendo la matriz aumentada hasta obtener una matriz escalonada.
Este documento explica las funciones cuadráticas. Indica que una función cuadrática tiene la forma f(x)=ax2 + bx + c, con a ≠ 0. Explica cómo graficar una función cuadrática basándose en su eje de simetría, vértice, intersección con los ejes x e y. También cubre los intervalos de monotonía de una función cuadrática y cómo resolver problemas utilizando funciones cuadráticas cuando se conocen tres puntos de la curva.
1) La sección dorada es una técnica para encontrar una solución óptima de una función unidimensional de forma similar al método de bisección. 2) El gradiente representa la derivada direccional de una función en dos dimensiones y puede usarse para evaluar la dirección del paso ascendente más alto. 3) El método de interpolación de diferencias divididas de Newton determina los coeficientes de un polinomio interpolante mediante la construcción de un arreglo triangular.
Este documento presenta una guía de estudio para la unidad curricular de Matemática V. Incluye seis temas principales: 1) Sistemas y errores numéricos, 2) Solución de ecuaciones no lineales, 3) Polinomios interpolantes y ajuste de curvas, 4) Integración numérica, 5) Ecuaciones diferenciales ordinarias, y 6) Solución de sistemas de ecuaciones. Cada tema describe diferentes métodos numéricos como método de bisección, método de Newton-Raphson, regla del trapec
Este documento explica diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas, incluyendo eliminación por igualación, eliminación por sustitución, método de reducción y eliminación de Gauss-Jordan. Define conceptos como ecuaciones simultáneas, equivalentes e independientes, y describe los pasos para aplicar cada método.
Este capítulo trata sobre métodos numéricos para encontrar las raíces de ecuaciones algebraicas y trascendentes. Presenta el método de bisecciones sucesivas, el cual encuentra una raíz iterativamente bisectando el intervalo de búsqueda hasta alcanzar la precisión deseada. Luego introduce el método de interpolación inversa o falsa posición, el cual puede converger más rápidamente al utilizar una fórmula recursiva basada en una secante trazada entre dos puntos. Finalmente, compara ambos métodos numéricos.
Este documento presenta dos métodos numéricos para encontrar las raíces o soluciones de ecuaciones: el método de bisección y el método de Newton-Raphson. El método de bisección divide repetidamente el intervalo que contiene la raíz, mientras que el método de Newton-Raphson traza la tangente en cada punto para encontrar una aproximación mejorada. También introduce el método de la secante, que aproxima la pendiente entre dos puntos en lugar de usar la derivada. El documento provee ejemplos detallados de cómo aplicar estos mé
Este documento presenta conceptos básicos sobre funciones polinomiales. Define una función polinomial como aquella cuya regla de correspondencia es un polinomio. Explica que el dominio de toda función polinomial son los números reales, mientras que su rango depende del grado del polinomio. También introduce teoremas como el del residuo, factor y fundamental del álgebra, así como conceptos como ceros de la función y multiplicidad de raíces.
Este documento introduce conceptos fundamentales de sucesiones y series, incluyendo: (1) Las definiciones de sucesiones finitas e infinitas, y series infinitas; (2) Los tipos de fórmulas recursivas para generar sucesiones, como simple y múltiple; (3) Los criterios de convergencia de sucesiones, como el límite y el criterio de Cauchy; (4) Ejemplos de cómo derivar fórmulas recursivas para sucesiones dados. El documento provee una introducción básica a estos temas importantes en métodos numéric
Este documento introduce los conceptos básicos de los sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo cómo representar un sistema usando una matriz aumentada y diferentes métodos para resolverlos, como eliminación gaussiana, sustitución e igualación. Explica que un sistema es compatible si tiene solución, y puede ser determinado o indeterminado, e incompatible si no tiene solución.
Este documento describe el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que este método utiliza transformaciones elementales sobre la matriz del sistema para obtener un sistema equivalente en forma escalonada, el cual puede resolverse fácilmente mediante sustitución regresiva. También clasifica los sistemas en determinados, indeterminados e incompatibles dependiendo del número de soluciones.
Este documento resume varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación de Gauss, la descomposición LU, la factorización de Cholesky, la factorización QR y los métodos iterativos de Gauss-Seidel y Jacobi. También discute sistemas con solución única, infinitas soluciones, sin solución y sistemas homogéneos.
Este documento compara cinco métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas: gráfico, sustitución, igualación, determinantes y suma/resta. Explica detalladamente cada método a través de un ejemplo numérico y concluye que todos los métodos llevan a la misma solución del sistema dado, que es (1, 3).
Este documento describe diferentes métodos para obtener el polinomio de interpolación que pasa por varios puntos de datos. Explica la interpolación polinómica, lineal y cuadrática, y los problemas de condicionamiento al resolver sistemas lineales. También presenta la forma de Lagrange, que proporciona una expresión explícita pero es inestable numéricamente, y la forma de Newton, que es más estable aunque no tiene expresión explícita.
El documento presenta el método gráfico para resolver problemas de programación lineal con dos variables. Explica cómo graficar las restricciones y función objetivo, y encontrar la solución óptima evaluando la función objetivo en las esquinas del área factible o usando la función objetivo para determinar la esquina que la optimiza. Presenta ejemplos de problemas con una solución única, múltiples soluciones, soluciones indeterminadas y sin solución.
Este documento explica los conceptos de interpolación polinómica y ajuste de curvas. En particular, describe dos métodos de interpolación polinómica: la interpolación polinómica de Lagrange y las diferencias divididas interpolantes de Newton. La interpolación polinómica de Lagrange construye un polinomio que pasa exactamente por los puntos de datos dados, mientras que el método de Newton es más algorítmico y útil para polinomios de alto grado. Ambos métodos se utilizan comúnmente para aproximar funciones a partir de un conjunto
1) El documento presenta diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales, incluyendo el método de eliminación, método de Cramer y método de transformación de Laplace.
2) Como ejemplo, se resuelve un sistema de dos ecuaciones diferenciales usando el método de Cramer y el método de transformación de Laplace.
3) Los métodos permiten reducir sistemas de ecuaciones diferenciales a una forma en que se puedan hallar las soluciones.
El método de Gauss-Seidel es un método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se comienza despejando cada variable en términos de las demás y asignando valores iniciales. Luego se sustituyen los valores encontrados en iteraciones sucesivas hasta que los errores sean suficientemente pequeños. Esto proporciona una secuencia convergente de aproximaciones a la solución del sistema de ecuaciones.
Este documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación de Gauss, la descomposición LU, la factorización de Cholesky, la factorización QR y los métodos iterativos de Gauss-Seidel y Jacobi. También explica cómo aplicar estos métodos para resolver sistemas con solución única, infinitas soluciones, sin solución, y sistemas homogéneos.
Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer ordencesar91
Este documento introduce los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Explica que un sistema de este tipo consta de dos ecuaciones que relacionan las derivadas de dos variables dependientes respecto a una variable independiente. Además, describe métodos para resolver sistemas lineales y homogéneos, e introduce la interpretación geométrica de las soluciones a través de órbitas en un plano de fase.
Este documento describe diferentes métodos de aproximación funcional e interpolación, incluyendo:
1) Aproximación polinomial simple mediante el uso de un polinomio de primer o segundo grado que pasa por puntos de una función tabulada para interpolar valores intermedios.
2) Polinomios de Lagrange, los cuales permiten aproximar funciones tabuladas sin necesidad de resolver sistemas de ecuaciones.
3) Métodos de ajuste exacto y mínimos cuadrados para determinar los coeficientes de polinomios de aproximación.
El documento trata sobre sistemas de ecuaciones lineales. Define sistemas de ecuaciones lineales, conjunto solución, y tipos de sistemas (consistentes con solución única, consistentes con infinitas soluciones, inconsistentes). Explica el método de Gauss para determinar el conjunto solución, reduciendo la matriz aumentada hasta obtener una matriz escalonada.
Este documento explica las funciones cuadráticas. Indica que una función cuadrática tiene la forma f(x)=ax2 + bx + c, con a ≠ 0. Explica cómo graficar una función cuadrática basándose en su eje de simetría, vértice, intersección con los ejes x e y. También cubre los intervalos de monotonía de una función cuadrática y cómo resolver problemas utilizando funciones cuadráticas cuando se conocen tres puntos de la curva.
1) La sección dorada es una técnica para encontrar una solución óptima de una función unidimensional de forma similar al método de bisección. 2) El gradiente representa la derivada direccional de una función en dos dimensiones y puede usarse para evaluar la dirección del paso ascendente más alto. 3) El método de interpolación de diferencias divididas de Newton determina los coeficientes de un polinomio interpolante mediante la construcción de un arreglo triangular.
Este documento presenta una guía de estudio para la unidad curricular de Matemática V. Incluye seis temas principales: 1) Sistemas y errores numéricos, 2) Solución de ecuaciones no lineales, 3) Polinomios interpolantes y ajuste de curvas, 4) Integración numérica, 5) Ecuaciones diferenciales ordinarias, y 6) Solución de sistemas de ecuaciones. Cada tema describe diferentes métodos numéricos como método de bisección, método de Newton-Raphson, regla del trapec
Este documento explica diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas, incluyendo eliminación por igualación, eliminación por sustitución, método de reducción y eliminación de Gauss-Jordan. Define conceptos como ecuaciones simultáneas, equivalentes e independientes, y describe los pasos para aplicar cada método.
Este capítulo trata sobre métodos numéricos para encontrar las raíces de ecuaciones algebraicas y trascendentes. Presenta el método de bisecciones sucesivas, el cual encuentra una raíz iterativamente bisectando el intervalo de búsqueda hasta alcanzar la precisión deseada. Luego introduce el método de interpolación inversa o falsa posición, el cual puede converger más rápidamente al utilizar una fórmula recursiva basada en una secante trazada entre dos puntos. Finalmente, compara ambos métodos numéricos.
Este documento presenta dos métodos numéricos para encontrar las raíces o soluciones de ecuaciones: el método de bisección y el método de Newton-Raphson. El método de bisección divide repetidamente el intervalo que contiene la raíz, mientras que el método de Newton-Raphson traza la tangente en cada punto para encontrar una aproximación mejorada. También introduce el método de la secante, que aproxima la pendiente entre dos puntos en lugar de usar la derivada. El documento provee ejemplos detallados de cómo aplicar estos mé
Este documento presenta conceptos básicos sobre funciones polinomiales. Define una función polinomial como aquella cuya regla de correspondencia es un polinomio. Explica que el dominio de toda función polinomial son los números reales, mientras que su rango depende del grado del polinomio. También introduce teoremas como el del residuo, factor y fundamental del álgebra, así como conceptos como ceros de la función y multiplicidad de raíces.
Este documento introduce conceptos fundamentales de sucesiones y series, incluyendo: (1) Las definiciones de sucesiones finitas e infinitas, y series infinitas; (2) Los tipos de fórmulas recursivas para generar sucesiones, como simple y múltiple; (3) Los criterios de convergencia de sucesiones, como el límite y el criterio de Cauchy; (4) Ejemplos de cómo derivar fórmulas recursivas para sucesiones dados. El documento provee una introducción básica a estos temas importantes en métodos numéric
Este documento introduce los conceptos básicos de los sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo cómo representar un sistema usando una matriz aumentada y diferentes métodos para resolverlos, como eliminación gaussiana, sustitución e igualación. Explica que un sistema es compatible si tiene solución, y puede ser determinado o indeterminado, e incompatible si no tiene solución.
Este documento describe el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que este método utiliza transformaciones elementales sobre la matriz del sistema para obtener un sistema equivalente en forma escalonada, el cual puede resolverse fácilmente mediante sustitución regresiva. También clasifica los sistemas en determinados, indeterminados e incompatibles dependiendo del número de soluciones.
Este documento resume varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación de Gauss, la descomposición LU, la factorización de Cholesky, la factorización QR y los métodos iterativos de Gauss-Seidel y Jacobi. También discute sistemas con solución única, infinitas soluciones, sin solución y sistemas homogéneos.
Este documento compara cinco métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas: gráfico, sustitución, igualación, determinantes y suma/resta. Explica detalladamente cada método a través de un ejemplo numérico y concluye que todos los métodos llevan a la misma solución del sistema dado, que es (1, 3).
Este documento describe diferentes métodos para obtener el polinomio de interpolación que pasa por varios puntos de datos. Explica la interpolación polinómica, lineal y cuadrática, y los problemas de condicionamiento al resolver sistemas lineales. También presenta la forma de Lagrange, que proporciona una expresión explícita pero es inestable numéricamente, y la forma de Newton, que es más estable aunque no tiene expresión explícita.
El documento presenta el método gráfico para resolver problemas de programación lineal con dos variables. Explica cómo graficar las restricciones y función objetivo, y encontrar la solución óptima evaluando la función objetivo en las esquinas del área factible o usando la función objetivo para determinar la esquina que la optimiza. Presenta ejemplos de problemas con una solución única, múltiples soluciones, soluciones indeterminadas y sin solución.
Este documento explica los conceptos de interpolación polinómica y ajuste de curvas. En particular, describe dos métodos de interpolación polinómica: la interpolación polinómica de Lagrange y las diferencias divididas interpolantes de Newton. La interpolación polinómica de Lagrange construye un polinomio que pasa exactamente por los puntos de datos dados, mientras que el método de Newton es más algorítmico y útil para polinomios de alto grado. Ambos métodos se utilizan comúnmente para aproximar funciones a partir de un conjunto
1) El documento presenta diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales, incluyendo el método de eliminación, método de Cramer y método de transformación de Laplace.
2) Como ejemplo, se resuelve un sistema de dos ecuaciones diferenciales usando el método de Cramer y el método de transformación de Laplace.
3) Los métodos permiten reducir sistemas de ecuaciones diferenciales a una forma en que se puedan hallar las soluciones.
El método de Gauss-Seidel es un método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se comienza despejando cada variable en términos de las demás y asignando valores iniciales. Luego se sustituyen los valores encontrados en iteraciones sucesivas hasta que los errores sean suficientemente pequeños. Esto proporciona una secuencia convergente de aproximaciones a la solución del sistema de ecuaciones.
Este documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación de Gauss, la descomposición LU, la factorización de Cholesky, la factorización QR y los métodos iterativos de Gauss-Seidel y Jacobi. También explica cómo aplicar estos métodos para resolver sistemas con solución única, infinitas soluciones, sin solución, y sistemas homogéneos.
1) El documento explica cómo resolver ecuaciones fraccionarias convirtiéndolas a ecuaciones enteras. 2) También cubre métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales como suma-resta, igualación y sustitución. 3) Finalmente, introduce conceptos de geometría analítica como puntos en una recta, teorema de Pitágoras y números complejos.
El documento analiza métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación de Gauss, el método de Gauss-Jordan, y la descomposición LU. Explica que estos métodos transforman el sistema de ecuaciones en una forma más simple para encontrar la solución de manera directa o aproximada.
Este documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación de Gauss, el método de Gauss-Jordan, el método de descomposición LU y el método iterativo de Jacobi. Explica los pasos para aplicar cada método y provee ejemplos numéricos para ilustrar cómo se resuelven sistemas de ecuaciones usando estos métodos.
Métodos de eliminación gaussiana tarea iiiluiguiiiii
Este documento resume varios métodos numéricos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación de Gauss, el método de Gauss-Jordan, la descomposición LU, la factorización de Cholesky, el método de Jacobi y el método de Gauss-Seidel. Explica los pasos involucrados en cada método y cuando se debe usar cada uno. Concluye que el método de Gauss-Seidel es uno de los más utilizados debido a su facilidad y efectividad para resolver este tipo de problemas.
Este documento resume los principales métodos numéricos para resolver ecuaciones no lineales. Explica brevemente el método de la bisección, la interpolación lineal, Newton-Raphson, punto fijo, Bairstow y división sintética. Incluye ejemplos para ilustrar cada método y destaca que Newton-Raphson converge más rápido pero requiere calcular derivadas, mientras que la bisección es más lento pero no necesita derivadas.
Resolver ecuaciones lineales y no lineales buenofrankkqqzz
Este documento presenta diferentes métodos en MATLAB para resolver ecuaciones no lineales, sistemas de ecuaciones no lineales y sistemas de ecuaciones lineales. Incluye ejemplos resueltos de cada tipo de problema usando métodos numéricos como bisección, Newton, punto fijo y el método de Newton para sistemas, así como funciones internas de MATLAB como fzero y roots.
Este documento describe métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo la eliminación de Gauss y Gauss-Jordan para triangularizar una matriz, y el método iterativo de Gauss-Seidel. Explica conceptos como mal condicionamiento y cómo elegir pivotes para mejorar la estabilidad numérica.
METODO ELIMINACION GAUSSIANA UNIDAD IIIjoseimonteroc
RESUMEN CON RESPECTO A LA UNIDAD NUMERO III DE LA MATERIA ANALISIS NUMERICO DE LA SECCION SAIA.
PARTICIPANTE: JOSE IGNACIO MONTERO CRESPO
C.I V-24.340.872
Solución de sistemas de ecuaciones linealesNiel Velasquez
El documento describe el método de eliminación Gaussiana para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Este método convierte el sistema original en otro equivalente más simple a través de operaciones elementales de renglón, como multiplicar o dividir un renglón, sumar múltiplos de renglones, o intercambiar renglones. Se ilustra el método con un ejemplo de tres ecuaciones y tres incógnitas.
El documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación Gaussiana, el método de Gauss-Jordán, la descomposición LU y la factorización QR. Explica cada método a través de ejemplos numéricos y discute las ventajas y desventajas de cada uno.
Este documento presenta un resumen del plan de estudios de álgebra para el primer bimestre impartido por la profesora Germania Rodríguez. Incluye temas como teoría de conjuntos, sistemas de números reales, exponentes y radicales, expresiones algebraicas, ecuaciones y desigualdades, funciones y gráficas. El plan de estudios cubre conceptos fundamentales de álgebra así como funciones polinomiales, racionales y exponenciales entre otros temas.
El documento habla sobre los sistemas de ecuaciones, que son conjuntos de ecuaciones. Explica que el grado de un sistema depende del exponente más alto de las incógnitas. Luego describe tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones: igualación, reducción y sustitución. Finalmente, introduce conceptos como determinantes y funciones cuadráticas.
El documento habla sobre los sistemas de ecuaciones, que son conjuntos de ecuaciones. Explica que el grado de un sistema depende del exponente más alto de las incógnitas. Luego describe tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones: igualación, reducción y sustitución. Finalmente, introduce conceptos sobre determinantes y funciones cuadráticas.
Este documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo la eliminación de Gauss, el método de Gauss-Jordan, la descomposición LU, la factorización de Cholesky, la factorización QR y los métodos iterativos de Gauss-Seidel y Jacobi. Explica los pasos involucrados en cada método y provee ejemplos numéricos para ilustrarlos.
La descomposición LU involucra descomponer una matriz A en dos matrices triangulares, una inferior L y una superior U, mediante operaciones sobre los coeficientes de A. Esto proporciona una forma eficiente de resolver sistemas de ecuaciones lineales. El proceso implica hacer ceros los valores por debajo y por encima de los pivotes en L y U respectivamente, a través de factores multiplicativos.
La descomposición LU involucra descomponer una matriz original A en dos matrices triangulares, una inferior L y una superior U, a través de operaciones sobre los coeficientes de A. Esto provee una forma eficiente de calcular la inversa de A o resolver sistemas de ecuaciones lineales. El proceso implica iterativamente hacer ceros los valores por debajo y por encima de los pivotes para obtener L y U, luego usar estas matrices para resolver el sistema.
Este documento presenta conceptos fundamentales de álgebra incluyendo sistemas de números reales, exponentes, radicales, expresiones algebraicas, fracciones, ecuaciones, desigualdades y funciones. Explica cómo graficar ecuaciones y funciones usando el sistema de coordenadas cartesianas.
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Solución de sistemas de ecuaciones lineales
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PROF DOMINGOMÉNDEZ
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2. SlideShare esunsitioweb 2.0 de alojamiento de diapositivas que ofrece a los usuarios la
posibilidad de subir y compartir en público o en privado presentaciones de diapositivas en
PowerPoint(.ppt,.pps,.pptx,.ppsx,.poty.potx),OpenOffice (.odp);presentacionese infografíasPDF
(.pdf);documentosenAdobe PDF(.pdf),MicrosoftWord(.doc,.docx y.rtf) yOpenOffice (.odt) y la
mayoría de documentosde texto sin formato (.txt), e incluso algunos formatos de audio y vídeo.
Originalmente el sitio web estaba destinado para los empleados del ámbito empresarial con la
intención de que compartieran con más facilidad diapositivas entre ellos, pero luego el público
objetivo se amplió para convertirse también en un entretenimiento.
SOLUCIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
MÉTODOS DE ELIMINACIÓNGAUSSIANA:
El primermétodoque se presentausualmente en álgebra, para la solución de ecuaciones
algebraicas lineales simultáneas, es aquel en el que se eliminan las incógnitas mediante la
combinación de las ecuaciones. Este método se conoce como Método de Eliminación. Se
denominaeliminaciónGaussiana si en el proceso de eliminación se utiliza el esquema particular
atribuido a Gauss.
Utilizando el método de Gauss, un conjunto de n ecuaciones con n incógnitas se reduce a un
sistematriangularequivalente(unsistemaequivalenteesunsistemaque tiene iguales valores de
la solución), que a su vez se resuelve fácilmente por "sustitución inversa"; un procedimiento
simple que se ilustrará con la presentación siguiente.
El esquema de Gauss empieza reduciendo un conjunto de ecuaciones simultáneas, a un sistema
triangular equivalente como:
En el cual los superíndices indican los nuevos coeficientes que se forman en el proceso de
reducción. La reducción real se logra de la siguiente manera:
1. La primera ecuación se divide entre el coeficiente de X1 en esa ecuación para obtener:
(1)
(2)
3. 2. La ecuación(3) se multiplicaentoncesporel coeficientede X1de la segundaecuación(1) y
la ecuación que resulta se resta de la misma, eliminando así X1. La ecuación (2) se multiplica
entoncesporel coeficiente de X1de la terceraecuación(2),y la ecuaciónresultante se resta de la
misma para eliminar X1 de esa ecuación. En forma similar, X1 se elimina de todas las ecuaciones
del conjunto excepto la primera, de manera que el conjunto adopta la forma:
3. La ecuación utilizada para eliminar las incógnitas en las ecuaciones que la siguen se
denomina Ecuación Pivote. En la ecuación pivote, el coeficiente de la incógnita que se va a
eliminar de las ecuaciones que la siguen se denomina el Coeficiente Pivote (a11 en los pasos
previos).
4. Siguiendolospasosanteriores,lasegundaecuación(4) se convierte enlaecuación pivote,
y los pasos de la parte 1 se repiten para eliminar X2 de todas las ecuaciones que siguen a esta
ecuación pivote.
Esta reducción nos conduce a:
A continuación se utiliza la tercer ecuación (5) como ecuación pivote, y se usa el procedimiento
descrito para eliminar X3 de todas las ecuaciones que siguen a la tercer ecuación (5). Este
procedimiento,utilizandodiferentesecuacionespivote,se continúahastaque el conjunto original
de ecuaciones ha sido reducido a un conjunto triangular tal como se muestra en la ecuación (2).
(3)
(4)
(5)
4. 5. Una vez obtenido el conjunto triangular de ecuaciones, la última ecuación de este
conjunto equivalente suministra directamente el valor de Xn (ver ec. 2). Este valor se sustituye
entoncesenlaantepenúltimaecuacióndelconjuntotriangularparaobtenerunvalorde Xn-1, que
a su vez se utiliza junto con el valor de Xn en la penúltima ecuación del conjunto triangular para
obtenerunvalorXn-2 y así sucesivamente.Este esel procedimiento de sustitución inversa al que
nos referimos previamente.
Para ilustrarel métodoconun conjuntonumérico,apliquemosestosprocedimientos a la solución
del siguiente sistema de ecuaciones:
X1 + 4 X2 + X3 = 7
X1 + 6 X2 - X3 = 13
2 X1 - X2 + 2 X3 = 5
Utilizando como ecuación pivote la primera ecuación (el coeficiente pivote es unitario),
obtenemos:
X1 + 4 X2 + X3 = 7
2 X2 - 2 X3 = 6
9 X2 + (0) X3 = -9
A continuación,utilizandola segundaecuacióndel sistema (7) como ecuación pivote y repitiendo
X1 + 4 X2 + X3 = 7
2 X2 - 2 X3 = 6
- 9 X3 = 18
Finalmente mediante sustitución inversa, comenzando con la última de las ecuaciones (8) se
obtienen los siguientes valores:
X3 = -2
X2 = 1
X1 = 5
(6)
(7)
(8)
5. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN:
Este método,que constituye unavariacióndel métodode eliminación de Gauss, permite resolver
hasta 15 o 20 ecuaciones simultáneas, con 8 o 10 dígitos significativos en las operaciones
aritméticas de la computadora. Este procedimiento se distingue del método Gaussiano en que
cuando se elimina una incógnita, se elimina de todas las ecuaciones restantes, es decir, las que
preceden a la ecuación pivote así como de las que la siguen.
El método se ilustra mejor con un ejemplo. Resolvamos el siguiente conjunto de ecuaciones
3.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3 = 7.8500
0.1 X1 + 7.0 X2 - 0.3 X3 = - 19.3
0.3 X1 - 0.2 X2 + 10 X3 = 71.4000
Primero expresemos los coeficientes y el vector de términos independientes como una matriz
aumentada.
Se normaliza el primer renglón dividiendo entre 3 para obtener:
El términoX1se puede eliminar del segundo renglón restando 0.1 veces el primero del segundo
renglón. De una manera similar, restando 0.3 veces el primero del tercer renglón se elimina el
término con X1 del tercer renglón.
6. En seguida, se normaliza el segundo renglón dividiendo entre 7.00333:
Reduciendo los términos en X2 de la primera y la tercera ecuación se obtiene:
El tercer renglón se normaliza dividiendolo entre 10.010:
Finalmente, los términos con X3 se pueden reducir de la primera y segunda ecuación para
obtener:
Nótese que no se necesita sustitución hacia atrás para obtener la solución.
Las ventajas y desventajas de la eliminación gaussiana se aplican también al método de Gauss-
Jordan.
Aunque losmétodosde Gauss-Jordanyde eliminaciónde Gausspueden parecer casi idénticos, el
primero requiere aproximadamente 50% menos operaciones. Por lo tanto, la eliminación
gaussiana es el método simple por excelencia en la obtención de soluciones exactas a las
ecuacioneslinealessimultáneas. Una de las principales razones para incluir el método de Gauss-
Jordan, es la de proporcionar un método directo para obtener la matriz inversa.
7. DESCOMPOSICIÓN LU:
Su nombre se derivade laspalabrasinglesas“Lower"y“Upper”,que enespañol se traducen como
“Inferior” y “Superior”. Estudiando el proceso que se sigue en la descomposición LU es posible
comprenderel por qué de este nombre, analizando cómo una matriz original se descompone en
dos matrices triangulares, una superior y otra inferior.
La descomposición LU involucra solo operaciones sobre los coeficientes de la matriz [A],
proporcionandounmedioeficiente para calcular la matriz inversa o resolver sistemas de álgebra
lineal.
Primeramente se debe obtener la matriz [L] y la matriz [U].
[L] es una matriz diagonal inferior con números 1 sobre la diagonal. [U] es una matriz diagonal
superior en la que sobre la diagonal no necesariamente tiene que haber números 1.
El primerpasoesdescomponerotransformar[A] en[L] y [U], esdecir obtener la matriz triangular
inferior [L] y la matriz triangular superior [U].
PASOS PARA ENCONTRAR LA MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR (MATRIZ [U])
1. Hacer cero todos los valores abajo del pivote sin convertir este en 1.
2. Para lograr lo anterior se requiere obtener un factor el cual es necesario para convertir a
cero los valores abajo del pivote.
3. Dicho factor es igual al número que se desea convertir en cero entre el número pivote.
4. Este factor multiplicado por -1 se multiplica luego por el pivote y a ese resultado se le
suma el valor que se encuentra en la posición a cambiar (el valor en la posición que se
convertirá en cero). Esto es:
- factor * pivote + posición a cambiar
PASOS PARA ENCONTRAR LA MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR (MATRIZ [L])
Para encontrar la matriz triangular inferior se busca hacer ceros los valores de arriba de
cada pivote,asícomo tambiénconvertiren1 cada pivote.Se utilizael mismoconceptode “factor”
explicadoanteriormente yse ubicantodoslos“factores”debajode ladiagonal segúncorresponda
en cada uno.
8. Esquemáticamente se busca lo siguiente:
Originalmente se tenía:
Debido a que [A] = [L][U], al encontrar [L] y [U] a partir de [A] no se altera en nada la
ecuación y se tiene lo siguiente:
Por lo tanto, si Ax = b, entonces LUx = b, de manera que Ax = LUx = b.
PASOS PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN LU
1. Obtener la matriz triangular inferior L y la matriz triangular superior U.
2. Resolver Ly = b (para encontrar y).
3. El resultado del paso anterior se guarda en una matriz nueva de nombre “y”.
4. Realizar Ux = y (para encontrar x).
5. El resultadodel pasoanteriorse almacenaenunamatriznuevallamada “x”, la cual brinda
los valores correspondientes a las incógnitas de la ecuación.
EJEMPLO DE DESCOMPOSICIÓN LU
PROBLEMA: Encontrar los valores de x1, x2 y x3 para el siguiente sistema de ecuaciones:
NOTA: Recuérdese que si la matriz es 2x2 se hará 1 iteración; si es 3x3, 2 iteraciones; si es 4x4, 3
iteraciones; y así sucesivamente.
10. 4 - 2 - 1
[U] = 0 3.5 0.25
0 0 - 0.9285714286
Encontrando [L]
1 0 0
[L] = 1.25 1 0
0.25 0.7142857143 1
Ahoraya se tiene lamatriz[U] y la matriz[L].El siguiente pasoesresolver
Ly = b para encontrar la matriz y. En pocas palabras es como que se pidiera resolver el siguiente
sistema de ecuaciones, encontrando los valores de y1, y2 y y3:
Al resolver el sistema anterior, se obtienen los siguientes valores para y1, y2 y y3:
El últimopasoesresolverUx = y para encontrar lamatriz x.En otras palabras es como que
se pidiera resolver el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de x1, x2 y x3:
La solución del sistema es:
Este es finalmente el valor de x1, x2 y x3; es decir, la respuesta del ejercicio utilizando la
descomposición LU.
11. FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY:
En matemáticas, la factorización o descomposición de Cholesky toma su nombre del
matemático André-Louis Cholesky, quien encontró que una matriz simétrica definida positiva
puede serdescompuesta como el producto de una matriz triangular inferior y la traspuesta de la
matriz triangular inferior. La matriz triangular inferior es el triángulo de Cholesky de la matriz
original positiva definida. El resultado de Cholesky ha sido extendido a matrices con entradas
complejas. Es una manera de resolver sistemas de ecuaciones matriciales y se deriva de la
factorización LU con una pequeña variación.
Cualquier matriz cuadrada A con pivotes no nulos puede ser escrita como el producto de una
matriz triangular inferior L y una matriz triangular superior U; esto recibe el nombre de
factorizaciónLU. Sinembargo,si A es simétricaydefinidapositiva,se pueden escoger los factores
talesque U es la transpuestade L,y esto se llama la descomposición o factorización de Cholesky.
Tanto la descomposición LU como la descomposición de Cholesky son usadas para resolver
sistemasde ecuacioneslineales.Cuandoesaplicable,ladescomposiciónde Cholesky es dos veces
más eficiente que la descomposición LU.
DEFINICIÓN:
En general, si A es Hermitiana y definida positiva, entonces A puede ser descompuesta como
𝑨 = 𝑳𝑳∗ ,
donde L es una matriz triangular inferior con entradas diagonales estrictamente positivas y L*
representa la conjugada traspuesta de L. Esta es la descomposición de Cholesky.
La descomposiciónde Choleskyesúnica:dadauna matrizHermitiana positiva definida A, hay una
únicamatriz triangularinferiorLcon entradasdiagonalesestrictamente positivastalesque A = LL*.
El recíproco se tiene trivialmente:si A se puede escribir como LL* para alguna matriz invertible L,
triangular inferior o no, entonces A es Hermitiana y definida positiva.
El requisitode que Ltengaentradasdiagonalesestrictamente positivas puede extenderse para el
caso de la descomposiciónenel casode ser semidefinidapositiva.Laproposiciónse lee ahora:una
matriz cuadrada A tiene una descomposición de Cholesky si y sólo si A es Hermitiana y
semidefinida positiva. Las factorizaciones de Cholesky para matrices semidefinidas positivas no
son únicas en general.
En el caso especial que A esuna matrizsimétricadefinidapositivacon entradas reales, L se puede
asumirtambién con entradas reales. Una Matriz D diagonal con entradas positivas en la diagonal
(valores propios de A), es factorizable como 𝑫 = √ 𝑫√ 𝑫, donde √ 𝑫 es matriz cuya diagonal
consiste en la raíz cuadrada de cada elemento de D, que tomamos como positivos. Así:
𝑨 = 𝑳𝑼 = 𝑳𝑫𝑼 𝟎 = 𝑳𝑫𝑳𝒕 = 𝑳(√𝑫√𝑫𝑳𝒕 = ( 𝑳√𝑫)(√𝑫𝑳𝒕) = ( 𝑳√𝑫)( 𝑳√𝑫)
𝒕
= 𝑲𝑲𝒕
12. La factorizaciónpuede sercalculadadirectamente atravésde lassiguientesfórmulas(eneste caso
realizamos la factorizacón superior 𝑨 = 𝑼 𝒕 ∗ 𝑼:
𝒖 𝒊𝒊
𝟐
= 𝒂𝒊𝒊 ∑ 𝒖 𝒊𝒌
𝟐𝒊−𝟏
𝑲=𝟏 para los elementos de la diagonal principal, y:
𝒖 𝒊𝒋 =
𝒂 𝒊𝒋−∑ 𝒖𝒊𝒌 𝒖𝒋𝒌
𝒋−𝟏
𝒌=𝟏
𝒖𝒋𝒋
para el resto de los elementos. Donde 𝒖 𝒊𝒋 son los elementos de la matriz U.
APLICACIONES
La descomposiciónde Cholesky se usaprincipalmenteparahallarlasoluciónnuméricade
ecuacioneslinealesAx =b. Si A essimétricaypositivadefinida,entoncesse puede solucionarAx =
b calculandoprimeroladescomposiciónde CholeskyA = LLT, luegoresolviendoLy=b para y,y
finalmenteresolviendoLTx = y para x.
Mínimos cuadrados lineales
Sistemasde laformaAx = b con A simétricaydefinida positiva aparecen a menudo en la práctica.
Por ejemplo,lasecuacionesnormalesenproblemasde mínimoscuadradoslinealessonproblemas
de esta forma.Podría ocurrirque la matrizA proviene de un funcional de energía el cual debe ser
positivo bajo consideraciones físicas; esto ocurre frecuentemente en la solución numérica de
ecuaciones diferenciales parciales.
Simulación de Montecarlo
La descomposición de Cholesky se usa comúnmente en el método de Montecarlo para simular
sistemas con variables múltiples correlacionadas: la matriz de correlación entre variables es
descompuesta, para obtener la triangular inferior L. Aplicando ésta a un vector de ruidos
simulados incorrelacionados, u produce un vector Lu con las propiedades de covarianza del
sistema a ser modelado.
Filtro de Kalman
Los filtros de Kalman usan frecuentemente la descomposición de Cholesky para escoger un
conjunto de puntos sigma. El filtro de Kalman sigue el estado promedio de un sistema como un
vector x de longitud n y covarianza dada por una matriz P de tamaño nxn. La matriz P es siempre
semidefinidapositivaypuede descomponersecomoLLT. Las columnasde L puede seradicionadas
y restadasde la mediax para formar unconjuntode 2N vectoresllamadoslospuntos sigma. Estos
puntos sigma capturan la media y la covarianza del estado del sistema.
13. FACTORIZACIÓN QR (HOUSEHOLDER):
En álgebra lineal, la descomposición o factorización QR de una matriz es una
descomposiciónde lamismacomoproducto de una matriz ortogonal por una triangular superior.
La descomposición QR es la base del algoritmo QR utilizado para el cálculo de los vectores y
valores propios de una matriz.
Mediante el uso de reflexiones de Householder:
Una transformaciónde Householderoreflexión de Householderesunatransformaciónque refleja
el espacioconrespectoa un plano determinado. Esta propiedad se puede utilizar para realizar la
transformación QR de una matriz si tenemos en cuenta que es posible elegir la matriz de
Householderde maneraque unvectorelegido quede con una única componente no nula tras ser
transformado (es decir, premultiplicando por la matriz de Householder). Gráficamente, esto
significa que es posible reflejar el vector elegido respecto de un plano de forma que el refle jo
quede sobre uno de los ejes de la base cartesiana.
La manera de elegir el plano de reflexión y formar la matriz de Householder asociada es el
siguiente:
SeaX un vectorcolumnaarbitrariom-dimensional tal que ‖ 𝒙‖ = | 𝒂|, donde α es un escalar; (si el
algoritmose implementautilizandoaritméticade comaflotante,entoncesα debe adoptarel signo
contrario que 𝒙 𝟏 para evitar pérdida de precisión).
Entonces, siendo 𝒆 𝟏 el vector (1,0,...,0)T, y ||·|| la norma euclídea, se define:
𝒖 = 𝒙 − 𝒂𝒆 𝟏,
𝒗 =
𝒖
‖ 𝒖‖
,
𝑸 = 𝟏 − 𝟐𝒗𝒗 𝒕,
𝒗 es un vector unitario perpendicular al plano de reflexión elegido. 𝑸 Es una matriz de
Householder asociada a dicho plano.
𝑸𝒙 = (𝒂, 𝟎,… , 𝒐) 𝒕
Esta propiedadse puede usarparatransformargradualmente losvectores columna de una matriz
A de dimensionesmporn enuna matriztriangularsuperior.Enprimerlugar se multiplica A con la
matrizde HouseholderQ1que obtenemos al elegir como 𝒙 la primera columna de la matriz. Esto
proporciona una matriz QA con ceros en la primera columna (excepto el elemento de la primera
fila).
𝑸 𝟏 𝑨 = ⌊
𝒂 𝟏 ∗
𝟎
⋯ ∗
⋮
𝟎
𝑨´ ⌋
14. el procedimiento se puede repetir para A′ (que se obtiene de A eliminando la primera fila y
columna), obteniendo así una matriz de Householder Q′2. Hay que tener en cuenta que Q′2 es
menor que Q1. Para conseguir que esta matriz opere con Q1A en lugar de A′ es necesario
expandirla hacia arriba a la izquierda, completando con un uno en la diagonal, o en general:
𝑸 𝒌 = (
𝑰 𝒌−𝟏 𝟎
𝟎 𝑸´ 𝒌
)
Tras repetir el proceso 𝒕 veces, donde 𝒕 = 𝒎𝒊𝒏(𝒎− 𝟏, 𝒏),
𝑹 = 𝑸 𝒕 … 𝑸 𝟏 𝑸 𝟐 𝑨
es una matriz triangular superior. De forma que tomando
𝑸 = 𝑸 𝟏 𝑸 𝟐 … 𝑸 𝒕
𝑨 = 𝑸 𝒕 𝑹es una descomposición QR de la matriz A.
Este métodotiene unaestabilidad numérica mayor que la del método de Gram-Schmidt descrito
arriba.
Una pequeñavariaciónde este método se utiliza para obtener matrices semejantes con la forma
de Hessenberg,muyútilesenel cálculode autovaloresporacelerarla convergencia del algoritmo
QR reduciendo así enormemente su coste computacional.
15. Solución De Sistemas Lineales Utilizando Métodos Iterativos.
El métodode Gauss y susvariantessonconocidoscomométodosdirectospararesolverel
problemainicial Ax =b.Se ejecutanatravésde un númerofinito de pasos y generan una solución
x que sería exacta sino fuera por los errores de redondeo. En contraste, un método iterativo da
lugar a una sucesión de vectores que idealmente converge a la solución. El cálculo se detiene
cuando se cuenta con una solución aproximada con cierto grado de precisión especificado de
antemano o después de cierto número de iteraciones. Los métodos indirectos son casi siempre
iterativos.
Un método iterado de resolución del sistema Ax = b es aquel que genera, a partir de un
vector inicial x0, una sucesión de vectores x1, x2, . . . xn.. "Un método iterado se dirá que es
consistente con el sistemaAx = b, si el límite x de la sucesión (xn), en caso de existir, es solución
del sistema. Se dirá que el método es convergente si la sucesión generada por cualquier vector
inicial x0 es convergente a la solucióndel sistema”.Es evidente que si unmétodoesconvergente
es consistente, sin embargo, el recíproco no es cierto.
MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL:
El método de Gauss-Seidel es un método iterativo y por lo mismo resulta ser bastante
eficiente. Se comienza planteando el sistema de ecuaciones con el que se va a trabajar:
De laecuación1 despejarx1,de laecuación2 despejar x2, …, de la ecuación n despejar xn.
Esto da el siguiente conjunto de ecuaciones:
Este último conjuntode ecuacionessonlasque formanlas fórmulas iterativas con las que
se va a estar trabajando. Para comenzar el proceso iterativo, se le da el valor de cero a las
variables x2,…, xn; esto dará un primer valor para x1. Más precisamente, se tiene que:
16. Enseguida, se sustituye este valor de x1 en la ecuación 2, y las variables x3,…, xn siguen
teniendo el valor de cero. Esto da el siguiente valor para x2:
Estos últimosvaloresde x1 yx2,se sustituyenenlaecuación3,mientrasque x4,…,xn siguen
teniendo el valor de cero; y así sucesivamente hasta llegar a la última ecuación. Todo este paso
arrojará una lista de primeros valores para las incógnitas, la cual conforma el primer paso en el
proceso iterativo. Para una mejor comprensión esto se simbolizará de esta forma:
Se vuelve a repetir el proceso, pero ahora sustituyendo estos últimos datos en vez de
ceroscomo al inicio.Se obtendrá una segunda lista de valores para cada una de las incógnitas, lo
cual se simbolizará así:
En este momento se pueden calcular los errores aproximados relativos, respecto a cada
una de las incógnitas. La lista de errores se presenta a continuación:
El proceso se vuelve a repetir hasta que:
donde se debe prefijar convenientemente.
17. MÉTODO DE JACOBI:
En análisisnuméricoel métodode Jacobi esunmétodoiterativo,usadopara resolver sistemas de
ecuaciones lineales del tipo 𝑨𝑿 = 𝒃. El algoritmo toma su nombre del matemático alemán Carl
Gustav JakobJacobi.El métodode Jacobi consiste en usar fórmulas como iteración de punto fijo.
La base del método consiste en construir una sucesión convergente definida iterativamente. El
límite de estasucesiónesprecisamente lasolucióndel sistema.A efectos prácticos si el algoritmo
se detiene después de un número finito de pasos se llega a una aproximación al valor de x de la
solución del sistema.
La sucesión se construye descomponiendo la matriz del sistema A en la forma siguiente:
𝑨 = 𝑫 + 𝑹
Donde D, es una matriz diagonal y R, es la suma de una matriz triangular inferior L y una matriz
triangularsuperiorU,luego 𝑹 = 𝑳 + 𝑼.Partiendode 𝑨𝒙 = 𝒃, podemos reescribir dicha ecuación
como:
𝑫𝒙 + 𝑹𝒙 = 𝒃
Si aii ≠ 0 para cada i. Por lareglaiterativa,ladefinicióndel Métodode Jacobi puede ser expresado
de la forma:
𝑿(𝑲+𝒊) = 𝑫−𝟏(𝑩− 𝑹𝒙 𝒌)
Donde K es el contador de iteración, Finalmente tenemos:
𝒙 𝒊
(𝒌+𝟏
=
𝟏
𝒂𝒊𝒊
( 𝒃𝒊 − ∑ 𝒂𝒊𝒋 𝒙 𝒋
𝒌
𝒋≠𝟏
), 𝒊 = 𝟏, 𝟐, 𝟑,…
Cabe destacar que al calcular xi(k+1) se necesitan todos los elementos en x(k), excepto el que
tengael mismoi.Por eso,al contrario que en el método Gauss-Seidel, no se puede sobreescribir
xi(k) con xi(k+1), ya que su valor será necesario para el resto de los cálculos. Esta es la diferencia
más significativa entre los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel. La cantidad mínima de
almacenamientoesde dosvectoresde dimensiónn,yseránecesariorealizaruncopiadoexplícito.