Este documento trata sobre el análisis numérico y el manejo de errores. Explica que el análisis numérico permite simular procesos matemáticos complejos mediante algoritmos y números simples. También describe diferentes tipos de errores como el error absoluto, el error relativo y el error de redondeo, y cómo estos errores se generan y propagan durante los cálculos numéricos.

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD FERMIN TORO
VICE RECTORADO ACADEMICO
ESCUELA DE INGENIERIA
CABUDARE-LARA
CÁLCULO NUMÉRICO Y Manejo de errores
DIEGO LEAL P.
CI 25927184
SAIA A
PROF DOMINGOMÉNDEZ
MAYO 2016
ANÁLISIS NUMÉRICO.

2. El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de las matemáticas encargada de diseñar
algoritmospara,a travésde númerosyreglasmatemáticassimples,simularprocesosmatemáticos
más complejos aplicados a procesos del mundo real.
El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores. Los
ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos, pero en última
instancia operan con números binarios y operaciones matemáticas simples.
Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todo el andamiaje necesario para
llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemáticos susceptibles de expresarse
algorítmicamente,basándose enalgoritmosque permitansusimulaciónocálculoenprocesosmás
sencillos empleando números.
Definido el error, junto con el error admisible, pasamos al concepto de estabilidad de los
algoritmos. Muchas de las operaciones matemáticas pueden llevarse adelante a través de la
generación de una serie de números que a su vez alimentan de nuevo el algoritmo (feedback).
Esto proporciona un poder de cálculo y refinamiento importantísimo a la máquina que a medida
que va completando un ciclo va llegando a la solución. El problema ocurre en determinar hasta
cuándo deberá continuar con el ciclo, o si nos estamos alejando de la solución del problema.
Finalmente, otro concepto paralelo al análisis numérico es el de la representación, tanto de los
númeroscomode otros conceptosmatemáticoscomolosvectores,polinomios, etc. Por ejemplo,
para la representación en ordenadores de números reales, se emplea el concepto de coma
flotante que dista mucho del empleado por la matemática convencional.
En general, estos métodos se aplican cuando se necesita un valor numérico como solución a un
problemamatemático,ylosprocedimientos"exactos"o"analíticos"(manipulaciones algebraicas,
teoría de ecuaciones diferenciales, métodos de integración, etc.) son incapaces de dar una
respuesta. Debido a ello, son procedimientos de uso frecuente por físicos e ingenieros, y cuyo
desarrollo se ha visto favorecido por la necesidad de éstos de obtener soluciones, aunque la
precisiónnoseacompleta.Debe recordarse que lafísicaexperimental, por ejemplo, nunca arroja
valores exactos sino intervalos que engloban la gran mayoría de resultados experimentales
obtenidos, ya que no es habitual que dos medidas del mismo fenómeno arrojen valores
exactamente iguales.
MANEJO DE ERRORES.

3. Por razonesprácticas,sólopuede manejarse unacantidadfinita de bits para cada número
enuna computadora,y estacantidado longitudvaríade unamáquinaa otra. Por ejemplo,cuando
se realizan cálculos de ingeniería y ciencia, es mejor trabajar con una longitud grande; por otro
lado, una longitud pequeña es más económica y útil para cálculos y procedimientos
administrativos.
Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las
operaciones y cantidades matemáticas. El error numérico es una medida del ajuste o cálculo de
una magnitud con respecto al valor real o teórico que dicha magnitud tiene. Un aspecto
importante de los errores numéricos es su estabilidad numérica. Dicha estabilidad se refiere a
como dentrode un algoritmode análisisnuméricoel error de aproximación es propagado dentro
del propio algoritmo.
El concepto de error es consustancial con el cálculo numérico. En todos los problemas es
fundamental hacer un seguimiento de los errores cometidos a fin de poder estimar el grado de
aproximación de la solución que se obtiene.
TIPOS DE ERRORES.
1) ERROR ABSOLUTO:
Es la diferenciaentre el valorde lamedidayel valor tomado como exacto. Puede ser positivo
o negativo,segúnsi lamedidaessuperioral valorreal oinferior(larestasale positiva o negativa).
Tiene unidades, las mismas que las de la medida.
El error absoluto de una medida no nos informa por sí solo de la bondad de la misma. Es
evidente, que no es igual de grave tener un error absoluto de 1 cm al medir la longitud de una
carretera que al medir la longitud de un folio.
El error absoluto es el valor absoluto de la diferencia entre el valor exacto y el valor
aproximado. Hay autores que definen el error absoluto como la diferencia entre el valor
aproximadoyel valorexacto,donde la diferencia únicamente está en el signo ya que no se toma
como valorabsoluto.Sinembargo,podríamostomarcomofórmulageneral lasiguienteexpresión:
𝑬𝒂 =
𝜮⃒( 𝒙𝒊−𝒙̅ )⃒
𝒏
error absoluto= valor real - valor medición
Cuando el valor exacto no es conocido, por ejemplo, en cualquier medida física, se habla de
cota del error absoluto, que será un valor superior al error absoluto que asegure que el error
cometidonuncaexcederáaese valor.Si llamamos c a la cota del error absoluto de un número, se
cumplirá:

4. 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 𝒂𝒃𝒔𝒐𝒍𝒖𝒕𝒐 ‹ 𝒄
2) ERROR RELATIVO:
El error relativoesel cometido en la estimación del valor de un número, es el valor absoluto
del cociente entre su error absoluto y el valor exacto. El error relativo da idea de la precisión de
una medida, y se suele manejar en forma de porcentaje (%).
Muchas vecesconocemosel errorabsoluto(Ea),peroesimposible conocerel valorexacto(A),
en cuyo caso, para hallar el error relativo (Er) dividimos el error absoluto entre el valor
aproximado o considerado como exacto.
También puede hablarse de cota del error relativo, que si la representamos como β, se
cumplirá:
A – A´) / A ≤ β
3) ERROR PORCENTUAL:
El error porcentual es fácil de definir, es el resultado de multiplicar el error relativo por 100.
ERP = ER X 100
4) ERROR DE REDONDEO:
A continuaciónse analizaránbrevemente algunasconsecuenciasde utilizarel sistemabinarioy
una longitud de palabra finita.
Como no es posible guardar un numero binario de longitud infinita o un numero de mas
dígitosde los que posee la mantisa de la computadora que se esta empleando, se almacena sólo
un numerofinitode estosdígitos; como consecuencia, se comete automáticamente un pequeño
error, conocido como error de redondeo, que al repetirse muchas veces puede llegar a ser
considerable.
Ya que lamayor parte de lascomputadorastienenentre 7y 14 cifrassignificativas, los errores
de redondeo parecerían no ser muy importantes. Sin embargo, hay dos razones del porqué
pueden resultar críticos en algunos métodos numéricos:
Ciertosmétodosrequierencantidadesextremadamentegrandespara obtener una respuesta.
Además, estos cálculos a menudo dependen entre si. Esto es, los cálculos posteriores son
dependientesde losanteriores.Enconsecuencia,aunque un error de redondeo individual puede
sermuy pequeño,el efectode acumulaciónenel transcursode lagrancantidadde cálculospuede
ser significativo.
El efectodel redondeopuedeserexageradocuando se llevan a cabo operaciones algebraicas
que emplean números muy pequeños y muy grandes al mismo tiempo. Ya que en este caso se

5. presenta en muchos métodos numéricos, el error de redondeo puede resultar de mucha
importancia.
5) ERROR DE TRUNCAMIENTO:
Cuando una expresión matemática se remplaza por una fórmula más simple, se introduce un
error, conocido como error de truncamiento.
Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un
procedimiento matemático exacto. Estos tipos de errores son evaluados con una formulación
matemática: la serie de Taylor.
Taylores unaformulaciónparapredecirel valor de la función en Xi+1 en términos de la función y
de sus derivadas en una vecindad del punto Xi. Siendo el término final:
Rn= ((ƒ(n+1) (ξ))/(n+1)!)hn+1
En general, la expansión en serie de Taylor de n-ésimo orden es exacta par aun polinomio de n-
ésimoorden.Paraotras funcionescontinuasdiferenciables,comolasexponenciales o senoidales,
no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de términos. Cada una de los
términos adicionales contribuye al mejoramiento de la aproximación, aunque sea un poco.