Dinámica

5
UNIDAD
OBJETIVOS.
 Explicar el concepto de fuerza y sus diferentes
clases.
 Elaborar resúmenes, cuadros
sinópticos, estructuras
conceptuales y esquemas
sobre los temas tratados en dinámica.
 Establecer cuando un cuerpo se encuentra en
equilibrio.
 Interpretar el movimiento planetario de acuerdo
con la ley gravitacional.
 Describir el movimiento de cuerpos utilizando las
leyes de Newton.
 Establecer las fuerzas que actúan sobre una
estructura en reposo o en movimiento.
 Utilizar algunas estrategias para resolver
problemas de dinámica.
 Formular problemas a partir de situaciones de la vida diaria.
 Hacer buena distribución del tiempo y obtener el máximo rendimiento en todas las
actividades.
TEMA 1. FUERZA.
1. Definición.
2. Fuerzas de la naturaleza.
3. Otras fuerzas.
4. Leyes de Newton.
TEMA 2. PRIMERA LEY DE
NEWTON.
1. Equilibrio de fuerzas (estática).
2. Reglas para resolver problemas.
3. Actividad 4.
4. Ejercicios.
TEMA 3. EQUILIBRIO DEL
CUERPO SOLIDO.
1. Torques o Momentos.
2. Segunda condición de equilibrio.
3. Actividad 5.
4. Ejercicios.
TEMA 4. SEGUNDA LEY DE
NEWTON.
1. Sistemas de ecuaciones.
2. Reglas para resolver problemas.
3. Actividad 6.
4. Ejercicios.
TEMA 4. FUERZAS EN EL
MOVIMIENTO CIRCULAR.
1. Movimiento Horizontal.
2. Movimiento Vertical
3. Leyes de Kepler.
4. Actividad 7.
5. Ejercicios.
CONTENIDO
S
DINAMICA

Leyes de la Dinámica
Gustavo Salinas E. 30
INTRODUCCION
Los antiguos griegos que se preocupaban por estudiar el movimiento y sus causas pensaban
que el estado natural de los cuerpos era el reposo. Para sacarlos de ese estado, es decir, para
que un cuerpo se moviera, era necesario ejercer una fuerza sobre dicho cuerpo y si ésta se
dejaba de aplicar, inmediatamente cesaba el movimiento del cuerpo volviendo por lo tanto a su
estado natural: “el reposo”; estas ideas fueron aceptadas sin modificación alguna durante
muchos siglos.
Fue necesario un genio extraordinario como el Italiano Galileo Galilei para extraer las leyes
de la naturaleza de los fenómenos que se habían tenido siempre frente a los ojos, pero cuya
explicación había escapado siempre a la investigación de los filósofos.
Galileo estaba de acuerdo con que para iniciar el movimiento de un cuerpo era necesario una
fuerza, pero una vez que dicho cuerpo estuviera en movimiento éste continuaría moviéndose
indefinidamente, con velocidad constante, hasta que se ejecutara una nueva acción que pusiera
fin a dicho movimiento.
Galileo, al contrario de lo que opinaba la gente de su época, pensaba que el estado natural de
los cuerpos no era el reposo, sino el de un movimiento rectilíneo y uniforme.
Toda fuerza aplicada sobre un cuerpo modifica éste estado y tan pronto como la fuerza cesa, el
cuerpo continuara con movimiento rectilíneo y uniforme del cual el reposo es un caso
particular, ya que un cuerpo en reposo tiene una velocidad constante de magnitud cero.
2.1. DINAMICA.
Es la parte de la mecánica que estudia el
movimiento de los cuerpos y las causas que
lo producen. El movimiento de una partícula
queda determinado por la naturaleza y la
disposición de los otros cuerpos que forman
su medio ambiente.
Por nuestra experiencia diaria sabemos que
el movimiento de un cuerpo es un resultado
directo de sus interacciones con los otros
cuerpos que lo rodean. Las interacciones se
describen convenientemente por un concepto
matemático denominado fuerza. El estudio
de la Dinámica es básicamente el análisis de la relación entre la fuerza y los cambios en el
movimiento de un cuerpo.
2.1.1. FUERZA.- Desde el punto de vista de la Física, fuerza es todo aquello capaz de alterar la
condición de reposo, movimiento o deformación de un cuerpo, la misma que tiene
características vectoriales.
Unidades.- A la interacción de la fuerza se mide, utilizando los llamados

Dinamómetros, los mismos que vienen graduados en Newton (N), para el S.I., mientras que en
el sistema inglés se expresa en Kilopondios o Kilogramo-fuerza.
)(8.91 Nkgf
En nuestro estudio veremos aquí la dinámica del punto material "partícula".
Entendemos por punto material un cuerpo dotado de masa que para describir su
movimiento podemos prescindir de sus dimensiones. Tal cuerpo no puede
presentar rotaciones ni deformaciones, pues lo único que puede observarse en él
es la posición que ocupa, y sus cambios respecto a un sistema de referencia.
La Dinámica estudia a los cuerpos en movimiento de traslación y rotación,
convirtiéndose en Dinámica traslacional y Dinámica rotacional.
La Dinámica traslacional de una partícula comprende los temas de: Leyes de
Newton, Trabajo, Potencia, Energía, Conservación y Cantidad de movimiento.
La Dinámica Rotacional es la que se encarga de estudiar los cuerpos en rotación con respecto a
un eje, y también los movimientos de rotación y traslación a la vez, entre los temas que
comprende son: Torques, Momento angular, Momentos de Inercia, Fuerzas centrales, entre
otras.
2.1.2. NATURALEZA DE LAS FUERZAS.
La fuerza mide el grado de interacción entre dos cuerpos. La interacción puede ser de diversas
formas: A distancia, por contacto, nuclear, etc. Todas estas interacciones naturales originan
únicamente cuatro tipos de fuerzas: Gravitacionales, Electromagnéticas, Nucleares Fuertes y
Nucleares Débiles.
2.1.2.1. Fuerza Gravitacional.- Es la atracción que ejercen entre sí dos cuerpos, a causa de sus
masas. Generalmente la masa de un cuerpo es la cantidad de sustancia que tiene, la misma que
es constante y no presenta variación alguna de un lugar a otro.
2
r
mM
GF
2.1.2.2. Fuerza Electromagnética.- Es la fuerza producida por un cuerpo cargado
eléctricamente, ya sea que esté en reposo o en movimiento. Si está en reposo sólo se genera una
fuerza eléctrica; si el cuerpo cargado se mueve, además de la fuerza eléctrica, se genera una
fuerza magnética.
2
r
qQ
kF
2.1.2.3. Fuerza Nuclear Fuerte.- Es la responsable de mantener unidos los protones y
neutrones en el núcleo atómico. Esta fuerza no obedece a ninguna ley conocida, sino que
decrece rápidamente, hasta prácticamente anularse cuando la distancia entre los cuerpos es
mayor a 10-15
m.
2.1.2.4. Fuerza Nuclear Débil.- Es de naturaleza y característica diferente a la anterior, a pesar
de que también se origina a nivel nuclear. Esta fuerza tampoco cumple una ley establecida y se
encuentra en el fenómeno físico de la radiación.
Dinamómetro

Estas cuatro fuerzas fundamentales son de muy distinta intensidad, siendo la más intensa, para
pequeñas distancias, la correspondiente a la fuerza nuclear fuerte y la más débil la fuerza
gravitatoria. Así, si entre dos partículas la fuerza correspondiente a nuclear fuerte es 1, la
electromagnética entre las mismas partículas es del orden de 10-2
, la nuclear débil de orden
5
10 y la gravitatoria de 39
10
2.1..3. OTRAS FUERZAS EN LA DINAMICA.
La mayor parte de las fuerzas que se observan entre los cuerpos del macroscópico son: Peso,
Normal, Fuerzas de rozamiento, Fuerzas elásticas y Tensión.
2.1.3.1. Peso.- Es la fuerza con que la Tierra atrae a todos
los cuerpos. Está dirigida hacia el centro de la Tierra. El
peso es un vector, cuya dirección y sentido será hacia el
centro del Planeta, debido a la aceleración de la gravedad.
La ecuación del peso es:
gmW . .
Masa.- La masa m de un cuerpo es la cantidad de materia que lo forma, la cual es constante y
no presenta variación alguna de un lugar a otro, a la misma se le considera como una cantidad
escalar. Esta se mide en Kilogramos (kg.) para el S.I.
Aceleración de la gravedad (g).- La aceleración de la gravedad, tiene un valor promedio igual
9,80 m/s2
, no es la misma en todos los puntos de la Tierra, existe pequeñas variaciones de un
lugar a otro, por la cual el peso de un cuerpo varía de acuerdo con el lugar.
2.1.3.2. Normal.- La normal N es una fuerza que se genera
cuando dos cuerpos están en contacto, tiene una dirección
perpendicular a las superficies en contacto, como se observa
en las figuras.
2.1.3.3. Fuerza de Rozamiento.- La fuerza de rozamiento ( fr ) se genera cuando dos cuerpos
están en contacto y el uno tiende a moverse o se mueve con
relación al otro, se dice que ésta fuerza es paralela o tangente a
las superficies en contacto y su sentido sobre cada cuerpo
es el opuesto al movimiento relativo.
La fuerza de rozamiento se origina básicamente debido a
las rugosidades de ambas superficies en contacto.
El estudio del rozamiento no está sujeto a leyes físicas
fundamentales; las leyes obtenidas son leyes empíricas,
resultado de una serie de observaciones sencillas. Estas
prueban, entre otras, las siguientes conclusiones:
1. La fuerza de rozamiento es paralela a las superficies
deslizantes.
2. Es proporcional a la fuerza normal que aprieta una
superficie sobre la otra.
3. La fuerza de rozamiento es prácticamente
independiente del área de contacto entre ambas superficies.
4. Es aproximadamente independiente de la velocidad de deslizamiento, siempre que el
calor producido por el roce no altere la condición de las superficies.
5. Las fuerzas de rozamiento siempre se oponen al movimiento.
N
N
N
frs = 0
frs F
Ffrs
F = 0
frs > µs.N
frs = F
NO HAY MOVIMIENTO

F
x
x
F
F
Fe
Fe
La fuerza de rozamiento se denomina estática o cinética, según si los cuerpos entre sí, tiendan a
moverse o se muevan. La relación de la fuerza de rozamiento y la normal, dan lugar a una
constante de proporcionalidad adimensional, que sólo depende de la naturaleza de las
superficies en contacto, llamada coeficiente de fricción o rozamiento ( ).
En general, para dos cuerpos determinados, hay dos clases de coeficientes de fricción; estático
s y cinético k.
El coeficiente estático de rozamiento es un número que al ser multiplicado por la fuerza normal
N, da el valor de la fuerza mínima (frmin) que
hay que aplicar para poner en movimiento
relativo a los dos cuerpos en contacto e
inicialmente en reposo.
Nfr s . ;
N
fr
s
El coeficiente cinético de rozamiento es el
número que al ser multiplicado por la normal N,
da el valor de la fuerza necesaria para mantener
a los dos cuerpos en movimiento relativo
uniforme.
Para todos los materiales conocidos se ha
encontrado que s k.
El coeficiente k, que es el que normalmente se
usa, a veces se representa simplemente por .
Nfr k . ;
N
fr
k
2.1.3.4. Fuerzas Elásticas.- Cuando estiramos un resorte mediante una fuerza externa, llamada
deformadora (F), el resorte a su vez genera
otra fuerza interna de la misma magnitud que
F pero en dirección contraria, llamada
recuperadora o fuerza elástica (Fe). Esta
fuerza se opone a la acción de las fuerzas
externas sobre el resorte, su valor es
directamente proporcional al desplazamiento o
más claramente al estiramiento o compresión
del resorte, como se observa en la figura.
Entonces la fuerza recuperadora es:
xkFe .
La fuerza elástica tiene el signo menos (-), por que indica que siempre se dirige al punto de
equilibrio.
La constante k significa el grado de compresibilidad o estiramiento del resorte, y sus unidades
para el S.I. son Newton por metro (Nm-1
).
El desplazamiento del resorte ( x), es la distancia comprendida entre la posición final y el punto
de equilibrio.
F
a
N
N
N
frmám = F
MOV.INMINENTE
v = cte
Ffrmáx
Frk
F
Frk
MOV.UNIFORME
MOV. ACELERADO
frmám = µk.N
Frk = µk.N
Frk < F
Frk = F
Frk = µk.N

oxxx
El alargamiento se mide en unidades de longitud, que es el metro (m).
2.1.3.5. Tensión.- La tensión (T), es la que se presenta en una cuerda, la misma que es un
elemento flexible e inextensible que sirve para
transmitir la acción de una fuerza aplicada. En
condiciones ideales la fuerza transmitida es la
misma en cualquier sección de la cuerda, o sea que,
la fuerza no se pierde.
2.2. LEYES DE NEWTON
La iniciación del conocimiento de la Dinámica se debe a Galileo (1564-1642), quién observó
con toda atención la caída libre de los cuerpos, el movimiento en un plano inclinado y el
movimiento del péndulo. Gracias a los múltiples aportes de Galileo para la ciencia, Newton
pudo formular con precisión las "LEYES DEL MOVIMIENTO", y así fundamentar sólidamente
la dinámica, que en Relatividad dice: "el movimiento de los cuerpos en todos los laboratorios
que se desplazan unos respecto a los otros de manera rectilínea uniforme, transcurre de acuerdo
a unas mismas leyes"
Estos principios constituyen los pilares de la Mecánica, y fueron
enunciados en la famosa obra de Newton titulada "Principios
Matemáticos de la Filosofía Natural", publicada en 1686. Se
conocen también como Primera, Segunda y Tercera Leyes de
Newton, de acuerdo con el orden en que aparecieron en la obra
citada.
Isaac Newton
Newton nació el día de Navidad de 1642, el mismo año que murió
Galilea, en Woolsthorpe, Inglaterra. De pequeño Newton fue un
estudiante poco aventajado, hasta el día (cuenta la leyenda) en que se
cansó de que le ganara el primero de la clase; entonces se aplicó
hasta que consiguió deshancarle. A los dieciocho años empezó a
llamar la atención su interés por las matemáticas. Mal granjero va a ser, dijo su tio, y convenció a la
madre para que le enviara a la Universidad de Cambridge. Nueve años más tarde era profesor de
matemáticas allí.
2.2.1. PRIMERA LEY DE NEWTON O "LEY DE LA INERCIA".
A esta ley también se lo conoce como Ley de la Inercia o Ley de la Estática, cuyo enunciado
dice: "Todo cuerpo continúa en su estado de reposo o de MRU, a menos que se le obligue a
cambiar ese estado por medio de fuerzas que actúan sobre él".
Se denomina Ley de la Inercia porque el cuerpo por sí mismo permanece en reposo en MRU y
si experimenta un cambio en su velocidad (aceleración), en contra de su tendencia a
permanecer en reposo o en MRU, es porque sobre él actúa una fuerza neta exterior que le
obliga a cambiar de estado.
La oposición que presenta todo cuerpo a un cambio en su estado de reposo o movimiento, se
llama inercia, que es cuantificada por la masa del cuerpo. Cuanto mayor es la masa mayor es la
Inercia.
T
F

También esta primera ley se lo denomina: Ley del Equilibrio Traslacional o de la Estática,
porque a estos estados corresponde la condición de que la aceleración es nula.
2.2.2. SEGUNDA LEY DE NEWTON O "LEY DE LA FUERZA"
Esta ley conocida también como Ley de la
Dinámica o Ley de la Fuerza:
"La aceleración de un cuerpo es
directamente proporcional a la fuerza
neta que actúa sobre él, e inversamente
proporcional al valor de su masa".
Los resultados experimentales indican que
la aceleración ( a ) tiene la misma dirección
y el mismo sentido que la fuerza resultante
aplicada ( F ). Fuerza y aceleración son dos
vectores que difieren únicamente de una
constante de proporcionalidad, un escalar
positivo llamado "masa (m)". La expresión
matemática de la segunda ley de Newton
es:
amF .
La fuerza resultante es igual a ala suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el
cuerpo:
.......321 FFFF
amF .
z
y
x
amFz
amFy
amFx
amkFzjFyiFx
.
.
.
.

Si resolvemos los vectores F y a en sus componentes rectangulares se obtienen las ecuaciones
equivalentes:
xx amF .
yy amF .
zz amF .
2.2.3. TERCERA LEY DE NEWTON O "LEY DE ACCION Y REACCION"
"Cuando dos cuerpos interactúan, la fuerza que el
primero ejerce sobre el segundo (acción), es
igual a la que éste ejerce sobre el primero
(reacción), en módulo y dirección, pero en
sentido opuesto".
Es conveniente aclarar que las fuerzas de acción
y reacción están aplicadas en cuerpos diferentes,
es decir que en el uno actúa la acción y en el otroFB/A = - FA/B

la reacción, esto significa que los efectos sobre cada cuerpo serán diferentes, ya que dependerán
de que otras fuerzas actúen sobre cada uno, o del valor de las masas.
Es común llamar acción y reacción a las dos fuerzas relacionadas con la interacción entre dos
cuerpos, pero esto no significa que una sea precisamente la "causa" y la otra el "efecto", es
decir, cualquiera de las dos puede considerarse como reacción correspondiente a la acción de la
otra.
Para explicar ésta ley, analizaremos los cuerpos A y B de la figura, que interactúan, la fuerza
que el cuerpo A ejerce sobre el cuerpo B BAF / es igual y opuesta a la que el cuerpo B ejerce
sobre el cuerpo A ABF / .
De las tres Leyes de Newton concluimos que: La primera Ley proporciona una definición
cualitativa de la fuerza, la Segunda Ley establece una relación cuantitativa entre una fuerza
desequilibrante y la aceleración que produce, y la Tercera Ley presenta la Fuerza como una
forma de interacción entre dos cuerpos.
2.3. APLICACIÓN DE LA PRIMERA LEY DE NEWTON.
2.3.1. Equilibrio de una Partícula o Estática.
Según la primera Ley de Newton, una partícula esta
en equilibrio (reposo o MRU), cuando la fuerza neta
que actúa sobre ella es nula, condición única para
que una partícula esté en equilibrio:
0F
Pero como la fuerza puede tener componentes en los
diferentes ejes, entonces se tiene:
0
0
0
0
Fz
Fy
Fx
kFzjFyiFx

De la figura, se puede concluir que las componentes de la fuerza con respecto a sus ejes, se
pueden determinar utilizando los ángulos directores, y se tiene:
xFFx cos ; yFFy cos ; zFFz cos
Reglas para resolver problemas de dinámica.
Para resolver problemas de Dinámica, es conveniente seguir ordenadamente ciertos pasos que
faciliten los análisis y resolución de problemas de equilibrio.
1.- Realizar el gráfico lo más grande posible.
2.- Aislar él o los cuerpos de interés, es importante cuando
hay varios cuerpos, los pasos que a continuación se
describen deben repetirse por cada cuerpo que interviene
en el sistema en estudio.
3.- Dibujar o trazar todas las fuerzas externas aplicadas al
1y 2

Experimento:
cuerpo en estudio: Estas fuerzas son generalmente el peso y las producidas por: las cuerdas, las
varillas, el suelo, la pared y los pivotes o articulaciones.
4.- Elegir un sistema de referencia adecuado con la probable
dirección del movimiento, en el cual se pueden descomponer las
fuerzas y aplicar las leyes de Newton.
5.- Descomponer las fuerzas con respecto a cada uno de sus ejes,
aquellas que no se encuentren en la dirección del eje x – y.
6.- Resolver el sistema de ecuaciones, asegurándose de que
exista igual número de ecuaciones que de incógnitas.
Diagrama del cuerpo libre para el cuerpo 1.
y
0F
N 0xF
mgsen T x 0mgsenT ( 1 )
0yF
mgcos 0cosmgN ( 2 )
Diagrama del cuerpo libre para el cuerpo 2.
y
0xF ;No hay
T 0yF
0Tmg ( 3 )
x
mg
 Comprobar la primera ley de Newton.
Equilibrio de fuerzas concurrentes.
3
4 5

ACTIVIDAD N°- 04
CONTESTE:
1.- ¿Cómo se define a la fuerza y en que? y ¿cómo se puede medir una fuerza?.
2.- ¿Cuáles son las fuerzas de la naturaleza? y ¿cuáles no obedecen a ley alguna?.
3.- Enumere varias fuerzas que conozca, explicando su origen y su forma de actuar.
4.- Describa cómo y por qué se inicia el movimiento de los cuerpos.
5.- Enuncie las tres leyes de Newton.
6.- Explique qué efecto tiene la aplicación de una fuerza neta a un cuerpo que se encuentra en
movimiento uniforme o en reposo.
7.- ¿Qué relación tiene la fuerza neta aplicada con la aceleración que se produce?. Explique.
8.- Indique a qué se llama acción y reacción y de algunos ejemplos.
COMPLETE:
9.- Newton es la unidad de ...............................y es equivalente a ...............................................
10.- La ley que rige la atracción y repulsión de las cargas eléctricas se debe a la
..................................................................
11.- Si manteniendo constante la fuerza neta que se aplica a un cuerpo, disminuye su masa a la
tercera parte, la aceleración que recibe se .......................................................
12.- Para que un avión se mueva hacia el norte, las hélices ejercen sobre el aire una fuerza hacia
el ............................................
13.- El diagrama del cuerpo libre de una partícula, consiste en, ...................................................
el cuerpo de interés y graficar sobre éste todas ....................................................................
externas actuantes sobre él.
ANALICE:
14.- ¿Cuáles son las fuerzas que actúan sobre su cuerpo cuando se encuentra de pie sobre una
mesa?.
15.- El anillo A está en equilibrio bajo la acción de las fuerzas
que ejercen sobre él, dibuje las fuerzas que actúan sobre el
anillo. ¿Por qué la fuerza neta sobre el anillo es igual a cero?.
16.- Escoja 10 términos de la Dinámica y construya un
laberinto de letras (sopa de letras).
 Nunca trate de elaborar las actividades solicitadas sin antes haber estudiado
los temas indicados, pues existen algunas preguntas que no podrá
realizarlas sin un adecuado conocimiento.
 En los ejercicios prácticos y de investigación que se solicitan, sea lo más
ordenado y detallista posible, ya que estas características permitirán
establecer el nivel de conocimientos adquiridos por usted.

1.- Dada la siguiente figura. Determine la Tensión de las
cuerdas, teniendo en cuenta que el peso del objeto es de
100 [N].
DATOS SOLUCION
W = ..........
a) T1 = ??
… = ??
2.- Dada la siguiente figura. Determine la Tensión de las
cuerdas, teniendo en cuenta que el peso del objeto es de
100 [N].
DATOS SOLUCION
W = ..........
a) T1 = ??
… = ??
3.- Sobre un plano horizontal de coeficiente de rozamiento 0,2 un cuerpo de peso de 50 kg-f es
arrastrado por una fuerza horizontal F a velocidad constante. Calcular el valor de F.
DATOS SOLUCION
= 0,2
.... = 50 kg-f.
a).... = ??
4.- En la figura, los cuerpos A y B pesan cada
uno 50 kg-f y se mueven a velocidad
constante. El coeficiente de rozamiento es 0,2
para los dos cuerpos. Calcular el peso del
cuerpo C.
DATOS SOLUCION
WA = ..........
..... = 50 kg-f.
... = ......
a) WC = ??
EJERCICIOS DE APLICACION

5.- Se aplica una fuerza P a una pequeña rueda que
gira sobre el cable ACB. Sabiendo que la tensión en
ambas partes del cable es de 750 N. Determinar la
magnitud y dirección de P.
DATOS MODELO
PLANTEAMIENTO SOLUCION ANALISIS
6.- Un recipiente está sostenido por un solo cable que pasa a
través de un aro A sin fricción y que está amarrado a los
puntos fijos B y C. Para mantener el recipiente en la posición
mostrada se aplican al aro dos fuerzas P = P i

y Q = Q k

.
Sabiendo que el peso del recipiente es W = 376 j

N.
Determínese las magnitudes de P y Q.
DATOS MODELO

1.- Un resorte se alarga 5 cm bajo la acción de una fuerza de 4 kg-f. ¿Cuál es la constante del
resorte? Si ahora la fuerza es 7 kg-f, ¿cuál es el nuevo alargamiento? R. 0,8 kg-f/cm; 8,75 cm.
2.- Un objeto de peso 10 kg-f se encuentra sobre un plano horizontal. Un niño empuja
horizontalmente el objeto y cuando hace una fuerza de 3 kg-f, el objeto empieza a moverse.
¿Cuál es el coeficiente estático de rozamiento? R. 0,3
3.- En el problema anterior, para mantener el objeto con velocidad constante, el niño tiene que
hacer una fuerza de 2 kg-f. ¿Cuál es el coeficiente dinámico de rozamiento? R. 0,2.
4.- Un cuerpo de peso 20 kg-f flota sobre un líquido. ¿Qué fuerza produce el líquido sobre el
cuerpo? ¿Cómo se explica esta fuerza?
5.- Mostrar que si un bloque se mueve con velocidad constante sobre un plano inclinado, es que
el coeficiente dinámico de rozamiento es igual a tan 6 siendo 6 el ángulo que forma el plano con
la horizontal.
6.- Un cuerpo de peso w suspendido de un hilo forma un ángulo 9 con la vertical cuando está
sometido a una fuerza horizontal F. ¿Cuál es el valor de F? R. F = wtan .
7.- Para mover un auto, un conductor ató
un cable al auto y a un árbol y ejerció
una fuerza F = 100 kg-f en la mitad del
cable como muestra la figura 1. ¿Cuál
será la fuerza de tracción sobre el auto?.
R. 500 kg-f.
8.- Dos cables se amarran en C y se cargan como muestra la figura 2. Sabiendo que P = 400 N y
α = 75°. Determinar las tensiones AC y en BC. R. 326 N; 369 N.
9.- En la figura 3. Calcúlese el peso del cuerpo suspendido si la tensión de la cuerda diagonal es
de 20 [N]. R. 14.1 [N].
10.- El bloque A de la figura 5, pesa 100 N. El
coeficiente estático de rozamiento entre el bloque y
la superficie sobre la que reposa es 0,30. El peso W
es 20 N y el sistema está en equilibrio.
a) Hallar la fuerza de rozamiento ejercida sobre el
bloque A.
b) Hallar el peso máximo W para el cual el sistema
permanecerá en equilibrio. R. a) 20 N; b) 30 N.
11.- Dos bloques, A y B, están dispuestos como
indica la figura 4 y unidos por cuerdas al bloque C. Tanto A como B pesan 20 N y el coeficiente
cinético de rozamiento entre cada bloque y la superficie es 0,5. El boque C desciende a
velocidad constante.
a) Dibújense dos diagramas de fuerzas distintos que indican las fuerzas que actúan sobre A y B.
b) Calcúlese la Tensión de la cuerda que une los bloques A y B.
c) ¿Cuál es el peso del boque C?. R. b) 10 N; c) 30 N.
12.- El collarín A puede resbalar libremente sobre la barra horizontal sin fricción. El resorte
unido al collarín tiene una constante de 10 lb/in, y no se deforma cunado el collarín pasa
EJERCICIOS PROPUESTOS
1
3 4
5
2

directamente bajo del soporte B. Determinar la magnitud de la fuerza P necesaria para mantener
el equilibrio cuando:
a) c = 9 in.
b) c = 16 in.
R. a) 18 lb; b) 64 lb.
13.- Un estudiante quiere determinar el coeficiente Único de
rozamiento entre un cuerpo y un plano inclinado trasparente a
mediodía, cuando la luz del sol incide verticalmente sobre el suelo.
Después de tirios ensayos, nota que el cuerpo se desliza con
velocidad constante cuando el cuerpo baja 3 m, mientras su sombra
recorre una distancia de 4 m en el meló horizontal. ¿Cuál es el
coeficiente de rozamiento dinámico'' R. 0,75
14.- Un cuerpo de peso w es halado sobre una superficie horizontal
de coeficiente de rozamiento por una fuerza F que forma con la horizontal un ángulo por
arriba de la horizontal. ¿Cuál es el valor de F para que el cuerpo se mueva a velocidad
constante?
¿Cual es el valor de la normal? R.
sen
W
cos
;
sencos
cos
.
15.- Un cuerpo de peso w es empujado sobre una superficie horizontal de coeficiente de
rozamiento por una fuerza F que forma un ángulo por debajo de la horizontal. ¿Cuál es el
valor de F para que el cuerpo se mueva con velocidad constante? ¿Cuál es e1 valor de la
normal? R.
sen
W
cos
;
sencos
cos
.
16.- El cable AB tiene 65 ft de longitud y su tensión es de 3 900 lb.
Determinar:
a) Las componentes x, y y z de la fuerza ejercida por el cabe sobre el
anclaje C.
b) Los ángulos directores θx, θy, θz que definen la dirección de la
fuerza ejercida en C.
R. a) -1 861 lb, 3 360 lb, 677 lb.; b) 118,5°; 30,5°; 80,0°.
17.- Un recipiente de peso W = 1 165 N está sostenido por tres
cables como se muestra en la figura. Determinar la tensión en cada
cable. R. TAB = 500 N; TAC = 459 N; TAD = 516 N.
18.- Una placa circular de 12 lib de peso y 7 in de radio está
sostenida en la forma indicada, por tres alambres cada uno de
25 in de longitud. Determinar la tensión en cada alambre
sabiendo que α = 30°. R. TAB = TAC = 3,35 lb; TAD = 5,80 lb.
19.- Un recipiente de peso W = 400 N se sostiene por dos cables AB y AC amarrados a un aro
A. Sabiendo que Q = 0. Determinar:

a) La magnitud de la fuerza P que debe aplicarse al aro para mantener al recipiente en la
posición indicada.
b) Los valores correspondientes de la tensión en los cables AB y AC.
R. a) 138 N; b) TAB = 270 N; TAC = 196 N.
20.- Un cilindro de peso W = 650 N está sostenido por dos
cables AC y BC unidos a la parte superior de dos postes
verticales. Una fuerza horizontal P perpendicular al plano
que contiene a los postes, sostiene al cilindro en la
posición mostrada. Determinar:
a) La magnitud de P.
b) La tensión en cada cable.
c) Los ángulos directores para la fuerza ejercida en B por
el cable BC.
R. c) 141,5°; 124,4°; 74,9°.

2.3.2. Equilibrio de un Cuerpo Sólido:
En la Primera ley de Newton, se estudió el equilibrio, considerando que los cuerpos pueden
representarse como puntos. Sin embargo, se mencionó para que un cuerpo extenso esté en
equilibrio tampoco debe tener tendencia a girar. Para poder despejar estas preguntas, ahora
introduciremos un nuevo concepto de momento o torque de una fuerza.
Las fuerzas aplicadas al cuerpo rígido, los efectos con respecto al movimiento son de traslación
o rotación.
2.3.3. Torque o Momento de una Fuerza.
El torque o momento de una fuerza, mide la
tendencia de un sólido o de un sistema a rotar
alrededor de un punto fijo (O) o eje, bajo la
acción de una fuerza F.
El torque o momento de una fuerza es una
magnitud vectorial, perpendicular al plano
formado por los vectores F y r, y se define por:
De acuerdo a la figura, la ecuación del vector
momento de fuerza es:
rFo
Como el momento de una fuerza es el producto de la fuerza por el brazo, los mismos que deben
ser perpendiculares entre sí, entonces, el momento de fuerza de la figura será igual al producto
de la componente en eje y por el brazo, esto en forma escalar:
rFyo . ; rFo .sen
El módulo del torque con respecto a un punto O es igual al producto del módulo de la fuerza (F)
por la distancia perpendicular (d), desde el punto O hasta la línea de acción de la fuerza. A esta
distancia se la denomina brazo de momento o brazo de palanca.
Determinando el valor de d en el triángulo rectángulo OPA, se tiene:
r
d
sen ; sen.rd
dF.0
sen.rFo
rFo .sen
De esto se puede concluir que el torque de una fuerza depende del punto con respecto al cual se
calcule, puesto que si el punto varía, varía también el brazo de palanca.
Una fuerza no genera torque en los puntos contenidos en la línea de acción de la fuerza, porque
d es igual a cero.
Por convención, diremos que el momento de fuerza es positivo, si el efecto de la fuerza es
producir una rotación alrededor de O en sentido antihorario, y negativo cuando la rotación se
produce en sentido horario.

El torque o momento de fuerza tiene por unidades, la distancia multiplicada por la de una
fuerza.
Para el S.I, el torque es Newton x metro (N.m)
Para el C.G.S, el torque es Dina x centímetro (Dina.cm).
La dimensión del torque es: 22
TML
2.3.3. Condiciones de Equilibrio del Sólido Rígido.
Un sólido rígido está en equilibrio cuando no tiene movimiento de traslación ni de rotación.
Para esto son necesarias las siguientes condiciones:
1.- La fuerza neta aplicada al cuerpo debe ser nula:
F = 0 vectorialmente
Fx = 0
Fy = 0 en función de las componentes escalares.
Fz = 0
2.- El torque neto evaluado en cualquier punto del cuerpo o sistema, debe ser nulo.
o = 0 vectorialmente.
Es decir, la suma algebraica de los momentos respecto a un punto, es igual a cero y se conoce
como la segunda condición de equilibrio.
2.3.4. Reacciones en los apoyos.
Los apoyos más comunes en los cuales se sustentan los sólidos son: de contacto, de rodillo, de
pasador y de empotramiento.
CONTACTO.- En el contacto se generan dos tracciones, la normal y la fuerza de
rozamiento (estática), como se observa en la figura (a).
RODILLO.- El rodillo sólo transmite una sola fuerza en dirección perpendicular a las
superficies de contacto, como se observa en la figura (b).
PASADOR.- En este apoyo se genera únicamente una fuerza en el mismo plano de las
fuerzas aplicadas. Esta reacción se descompone en las direcciones horizontal y vertical (Rx y
Ry), como se observa en la figura ( c ).
EMPOTRAMIENTO.- Este apoyo, a más de una fuerza de reacción en el mismo plano de
las fuerzas aplicadas, impide la rotación de un cuerpo, como se observa en la figura ( d ).

Experimento:
Reglas para resolver problemas de equilibrio de sólidos rígidos.
Al igual que en la resolución de problemas de Dinámica, es conveniente seguir ordenadamente
ciertos pasos que faciliten los análisis y resolución de problemas de equilibrio de sólidos
rígidos.
1.- Aislar el o los cuerpos de interés.
2.- Dibujar o trazar todas las fuerzas externas aplicadas al cuerpo rígido en estudio: Estas
fuerzas son generalmente el peso y las producidas por: las cuerdas, las varillas, el suelo, la pared
y los pivotes o articulaciones. Cuando se tiene duda del sentido de una fuerza se escogerá éste,
arbitrariamente. Si en la solución resulta, para esta fuerza un valor negativo, esto quiere decir
que la fuerza realmente tiene el sentido contrario.
3.- Elegir un sistema de referencia adecuado en el cual se pueden descomponer las fuerzas y
aplicar la primera condición de equilibrio.
4.- Escoger un punto con respecto al cual se calculan los momentos de fuerza (fuerzas
coplanares). En general se elige el punto que haga desaparecer el mayor número posible de
fuerzas incógnitas en la segunda ecuación de equilibrio (este punto será sobre el cual el sistema
puede girar).
5.- Resolver el sistema de ecuaciones, asegurándose de que exista igual número de ecuaciones
que de incógnitas.
 Aplicación de la segunda condición de equilibrio.
Equilibrio de fuerzas paralelas.
ACTIVIDAD N°- 05
los temas indicados, pues existen algunas preguntas que no podrá realizarlas
sin un adecuado conocimiento.
ordenado y detallista posible, ya que estas características permitirán establecer
el nivel de conocimientos adquiridos por usted.

CONTESTE:
1.- ¿Qué es un cuerpo rígido?.
2.- ¿Cómo es el movimiento de traslación?.
3.- ¿Cómo es el movimiento de rotación?.
4.- Escriba tres ejemplos de cuerpos con movimiento de traslación, tres ejemplos de cuerpos con
movimientos de rotación y tres ejemplos de cuerpos con ambos tipos de movimiento.
5.- ¿Cuál es la ecuación del torque de una fuerza?, ¿qué signo tiene?. Indique sus unidades y
ecuación dimensional.
6.- ¿Qué dirección y sentido tiene el vector que representa el torque de una fuerza?.
COMPLETE:
7.- Si el torque de una fuerza tiende hacer girar a un cuerpo en el mismo sentido que giran las
manecillas del reloj, su signo es ...............................................
8.- El brazo de palanca y la línea de acción de la fuerza siempre deben ser ...................................
9.- Si una fuerza se aplica en la dirección del eje de rotación, el torque o momento de fuerza es
.......................................................
10.- El torque se puede representar por un vector perpendicular al ...............................................
11.- Las condiciones para que un cuerpo se encuentre en equilibrio son
que........................................ y que .....................................................................
ANALICE:
12.- En cada una de las siguientes herramientas es necesario aplicar momentos de fuerza para
operarlos. Describa los momentos de fuerza que se aplican en un cortaúñas, una carretilla, unas
tijeras de podar el césped y unas pinzas.
13.- ¿Por qué una mujer en las últimas etapas del embarazo debe inclinarse hacia atrás para
caminar?.
14.- ¿Qué fuerza F’ debe aplicar en el punto A para que la barra permanezca en equilibrio
estático?.
15.- ¿En qué sentido aplica fuerza el pivote sobre la barra?. Además tace las fuerzas que hay en
la figura.
16.- ¿En qué posición y en qué sentido se debe aplicar una fuerza para que la barra permanezca
en equilibrio estático?.

1.- Calcular el momento de fuerza de la fuerza de
la figura respecto al punto O, por tres métodos
diferentes:
a) Por la definición de momento de fuerza.
b) Por descomposición de la fuerza.
c) Calculando el brazo de la fuerza.
DATOS MODELO PLANTEAMIENTO SOLUCION ANALISIS
2.- Calcular las fuerzas en la dirección x, la suma de
las fuerzas en la dirección de y, y la suma de los
momentos de fuerza respecto a O de las fuerzas de
la figura.
DATOS MODELO
3.- La viga homogénea de la figura, pesa 50 kg-f y está articulada
en A. Calcular la tensión del cable y la fuerza que hace el pivote A.
DATOS MODELO PLANTEAMIENTO
SOLUCION ANALISIS
4.- Una viga sin peso de 3 m de largo está
soportada por dos cables como muestra la figura.
En dónde puede situarse, sobre la viga, a partir
de 0, una persona de 50 kg-f para que la viga
esté horizontal?.
100 kg-f
3 m
4 m
5 m
37°
5 m
10 N
O
8 kg-f

5.- Una escalera de 10 m de longitud y 400 N de peso, que se considera concentrado en su
centro, está apoyada en una pared vertical sin rozamiento y forma un ángulo de 53,1º con la
horizontal como indica en la fig. Se desean hallar las magnitudes y las direcciones de las fuerzas
F1 y F2.
DATOS MODELO PLANTEAMIENTO F1
10m
SOLUCION F2
ANALISIS
1.- Calcular el momento de fuerza de cada fuerza de la figura , con respecto a 0.
R: 40 kg-f m; - 15 kg-f m; 0.
y 10 Kg-f.
7Kg-f. 5 Kg-f.
3 m
O 4 m x
2.- El sistema de la figura está en equilibrio. Cuál es el valor de F y a qué distancia de 0 se
encuentra?.
R: 30 kg-f; 2 m.
F
3 m
10 Kg-f 20 Kg-f.

x
BA
3.- Un tablón uniforme de 15 m de longitud y 400 N de peso está situado simétricamente sobre
dos soportes separados 8 m, según muestra la siguiente figura. Un muchacho que pesa 640 N
comienza a caminar desde el punto A hacia la derecha.
a) Constrúyanse en el mismo diagrama dos gráficas que representen las fuerzas hacia arriba FA
y FB ejercidas sobre el tablón en los puntos A y B, como funciones de la coordenada x del
muchacho. Tómese 1 pulgada = 250 N verticalmente y 1 pulgada = 2,5 m horizontalmente.
b) Hállese, a partir del diagrama, qué distancia pasado el punto B podrá caminar el muchacho
antes de que vuelque la tabla.
c) A qué distancia del extremo derecho de la tabla
debería situarse el soporte B para que el muchacho
pueda caminar justo hasta el extremo de la misma sin
que vuelque?.
R: b) 2,5 m c) 2,89 m.
4.- Una viga homogénea de 100 kg-f está soportada por dos cables como muestra la figura. Una
persona de 80 kg-f se encuentra a la cuarta parte de longitud a partir de 0. Cuáles son las
tensiones de los cables?
R: 70 kg-f; 110 kg-f.
O
5.- Una viga homogénea de 30 kg-f se encuentra vertical bajo la acción de una fuerza de 40 kg-f
en uno de sus extremos y de una fuerza F horizontal en su centro como muestra la figura. (a)
Cuál es el valor de R ? (b) Cuál es el valor de la fuerza R que ejerce el perno A sobre la viga?.
R: 80 kg-f ; 50 kg-f.
40 Kg-f.
F
30 Kg-f R
6.-Hállense la tensión del cable BD de la siguiente figura y las componentes horizontal y
vertical de la fuerza ejercida sobre el puntal en el pivote A, utilizando.
a) La primera y segunda condiciones de equilibrio ( F =0, F =0, =0), tomando momentos
con respecto a un eje que pase por A perpendicular al plano del diagrama;
b) La segunda condición de equilibrio solamente, tomando momentos en primer lugar respecto
a un eje que pase por A, luego respecto a un eje que pase por B y, por último, respecto a un eje
que pase por D. Puede despreciarse el peso del puntal.
c) Represéntense las fuerzas calculadas mediante vectores en un diagrama a escala, y
demuéstrese que las líneas de acción de las fuerzas ejercidas sobre el puntal en los puntos A, B
y C se cortan en un punto.
R: 125 N, 100 N hacia la derecha, 25 N hacia arriba.
D
3 m
A C B
3 m 1 m
100 N

7.- La viga del problema anterior (figura del ejemplo resuelto # 4) es ahora homogénea y pesa
75 kg-f. Dónde debe situarse, sobre la viga, a partir de 0, una persona de 50 kg-f para que la
viga este horizontal?.
R: 2,55 m.
8.- La viga sin peso como muestra la figura , está articulada en A. Calcular la fuerza que hace el
pivote A.
R: 50 kg-f.
A
37º
30 Kg-f.
9.- La viga del problema anterior (figura ) es ahora homogénea y pesa 30 kg-f. Calcular la
fuerza que hace el pivote A.
R: 60 2 .
10.- Dada la siguiente figura, la regla es ahora homogénea y pesa 12 kg-f. Cuáles son las
tensiones de los cables?.
R: 16 kg-f; 16 kg-f; 18 kg-f.
A
37o
B
6 Kg-f
11.- Para mantener en equilibrio una barra en la posición representada en la siguiente figura ha
de aplicarse una sola fuerza. Puede despreciarse el peso de la barra.
a) Cuáles son los componentes x e y de la fuerza necesaria ?.
b) Cuál es la tangente del ángulo que la fuerza ha de formar con la barra?.
c) Cuál es la magnitud de la fuerza necesaria?.
d) Dónde deberá aplicarse esta fuerza?.
R: a) -30 N , 50 N b) 5/3 c) 58.3 N d) 1 m del extrema de la derecha.
5 m
37º
10 N
50 N.

Fw
F
Fx
Fy
4 m
xo
12.-Una escalera de 5 m. de longitud descansa contra un muro, en un punto a 4,0 m de altura
sobre el piso, como se ve en la figura. La escalera es
uniforme y tiene una masa de 12 Kg., suponga que
el muro no tiene fricción, pero el piso sí. Calcular.
a) La fuerzas que ejercen el piso y muro sobre la
escalera.
b) Si el coeficiente de fricción estática entre
escalera y piso es 0,4. A qué altura puede subir
una persona de 58 Kg. sin que resbale la escalera.
R. a) 44 N, 126 N. b) 2,2 m
2.4. SEGUNDA LEY DE NEWTON O "LEY DE LA FUERZA"
Esta ley conocida también como Ley de la Dinámica o Ley de la Fuerza:
"La aceleración de un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre
él, e inversamente proporcional al valor de su masa".
Los resultados experimentales indican que la aceleración ( a ) tiene la misma dirección y el
mismo sentido que la fuerza resultante aplicada ( F ). Fuerza y aceleración son dos vectores que
difieren únicamente de una constante de proporcionalidad, un escalar positivo llamado "masa
(m)". La expresión matemática de la segunda ley de Newton es:
amF .
La fuerza resultante es igual a ala suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre
el cuerpo:
.......321 FFFF
amF .
z
y
x
amFz
amFy
amFx
amkFzjFyiFx
.
.
.
.

Si resolvemos los vectores F y a en sus componentes rectangulares se obtienen las
ecuaciones equivalentes:
zz amF .
yy amF .
xx amF .

Experimento:
Reglas para resolver problemas de dinámica.
En la resolución de problemas de Dinámica, es necesario tener mucho orden, para lo cual es
conveniente tomar en cuenta algunas reglas útiles que faciliten los análisis:
1. Se aísla el o los cuerpos de interés.
2. Se elige un sistema de referencia ortogonal adecuado para el análisis del movimiento de cada
cuerpo. El sistema debe tener un eje que coincida con la dirección de la aceleración del cuerpo.
3. Se representan vectorialmente todas las fuerzas que actúan sobre cada cuerpo, teniendo en
cuenta primeramente su peso. Cada fuerza se representa por un vector cuyo origen parte del
cuerpo, que es considerado como un punto (partícula). Las fuerzas que no coincidan con las
direcciones de los ejes, se proyectarán sobre éstos para encontrar sus componentes. Como los
movimientos a analizar están contenidos en un plano, será suficiente calcular las componentes
de las fuerzas en los ejes x (Fx) e y (Fy).
4. Se plantea la segunda Ley de Newton en cada eje del sistema de coordenadas, obteniéndose
generalmente un sistema de ecuaciones. Si el sistema analizado lo constituyen cuerpos
(partículas) interconectados entre sí mediante cuerdas, resortes, poleas, etc, se considerará que
estos elementos poseen masas despreciables y que no generan fricción; además, en este caso, a
las ecuaciones obtenidas anteriormente se añadirán las que la geometría del movimiento
determine. Esto último significa que al estar las partículas interconectadas entre sí, el
movimiento de una de ellas determina características en el movimiento de la o las otras,
estableciéndose así una relación entre sus aceleraciones.
6. Resolver el sistema de ecuaciones que permitan calcular las incógnitas y analizar los
resultados.
 Cálculo de la aceleración de una fuerza constante.
Máquina de atwood.
ACTIVIDAD N°- 06

CONTESTE:
1.- ¿Explique qué efecto tiene la aplicación de una fuerza neta a un cuerpo que se encuentra en
movimiento o en reposo?.
2.- ¿Qué relación tiene la fuerza neta aplicada con la aceleración que se produce?. Explique.
3.- ¿Qué relación hay entre la masa de un cuerpo y la aceleración que adquiere cuando se le
aplica una fuerza neta?.
4.- Escriba la Segunda Ley del Movimiento de Newton.
5.- Exprese la ecuación de la Segunda Ley de Newton, lo que representa cada una de sus
magnitudes que intervienen y en qué unidades se miden.
6.- Calcule su peso en Newton y su masa en kilogramos.
COMPLETE:
7.- Si a un cuerpo se le aplica una fuerza neta, recibe una ...............................................
8.- De acuerdo con la Segunda Ley de Newton, la fuerza neta es igual a la aceleración que
recibe el cuerpo al que se le aplica multiplicada por su ...................................
9.- Un kilopondio corresponde al peso de una masa de .......................................................
10.- La velocidad, la aceleración y la posición de un cuerpo dado son cantidades de carácter
.........................................
ANALICE:
11.- ¿Cómo explica que la dirección de la fuerza neta aplicada sobre un cuerpo debe ser
necesariamente la misma que la dirección del cambio de velocidad del cuerpo?.
12.- Un amigo suyo dice que si desde lo alto de un edificio se dejan caer simultáneamente una
pelota de tenis normal y otra que está llena de arena, las pelotas van a llegar al mismo tiempo al
piso, porque, al ser del mismo tamaño, la cantidad de aire desplazada por ambas pelotas es la
misma. ¿Está de acuerdo con su compañero?. Explique su respuesta.
13.- En las figuras, la masa del bloque y el coeficiente de
rozamiento tienen los mismos valores. ¿En cuál de ellos
es mayor la fuerza de rozamiento?.
14.- Muestre que la aceleración de un cuerpo de masa m, sobre un plano inclinado es g.sen .
15.- ¿Bajo qué condiciones un cuerpo liviano que cuelga puede arrastrar a otro cuerpo, más
pesado, que se encuentra sobre un plano horizontal, si los dos están atados por una cuerda, como
muestra la figura?.

1.- A un automóvil de 1 500 kg que va por una carretera recta, se le aplica una fuerza constante
de 3 000 N durante 10 s, en la misma dirección del movimiento luego de lo cual adquiere una
velocidad de 180 km/h. Determinar:
a) La aceleración del móvil.
b) Qué velocidad tenía el móvil antes de ser aplicada la fuerza.
c) El espacio recorrido en los 10 s.
2.- Un cuerpo de 8 kg está en reposo en el punto (4 ; -7)m en t = 0 s. Si se le aplica una fuerza
constante de (-8 i

+ 16 j

) N. Determinar:
a) La posición final del cuerpo en t = 8 s.
c) La velocidad final del cuerpo en t = 12 s.
3.- En la figura, si el cuerpo es de 10 kg y = 0,2. Determinar:
Qué valor debe tener la fuerza para que el cuerpo se mueva
con una aceleración de 2 m/s2
.
4.- En la figura los bloques A y B son 100 kg y 30 kg
respectivamente. Determinar:
a) La aceleración de cada bloque y la tensión, si no hay rozamiento.
b) La aceleración de cada bloque y la tensión, si el coeficiente de
rozamiento entre el cuerpo y el plano es 0,15.
DATOS MODELO PLANTEAMIENTO
SOLUCION ANALISIS
25°
F

5.- En la figura, los bloques A y B son de 5 kg y 8
kg respectivamente, si el plano inclinado y el cuerpo
tiene un coeficiente de rozamiento de 0,2.
Determinar:
a) La aceleración de cada bloque.
b) En qué sentido se mueve cada uno de los bloques.
c) La tensión de la cuerda.
d) La velocidad del bloque B a los 2 s de dejarlo en
libertad.
6.- En el sistema de la figura se tiene que mB = mC = 15 kg.
Si A = 0,1; B = 0,2 y C = 0,3. Determinar:
a) La masa de A para que el cuerpo B se mueva hacia la
derecha con aceleración de 1,3 m/s2
.
b) La masa de A para que el cuerpo B se mueva hacia la
izquierda con una aceleración de 1,3 m/s2
.
1.- ¿Qué fuerza debe aplicarse a una masa de 10 kg, para adquirir la aceleración de 8 m/s2
.
R. 80 N.
2.- El ascensor de una mina, que pesa 80 Kp, arranca hacia arriba con una aceleración de 6 m/s2
.
Calcular la Tensión del cable en el momento del arranque. R. 1 290 kp.
3.- Un cuerpo de 200 Kg adquiere una velocidad de 108 Km/h en 10 s, cuando se le comunica
una fuerza constante de 98 N. Determinar:
a) La aceleración producida.
b) Qué velocidad llevaba al empezar a acelerar.
R. a) 0,49 m/s2
; b) 25,1 m/s.
4.- A un automóvil de 1000 kg que va por una carretera recta se le acciona con una fuerza
constante de 490 N durante 8 s, llegando a tener una velocidad de 36 m/s. Determinar:

a) La velocidad que tenía el automóvil antes de empezar a acelerar.
b) Qué velocidad lleva cuando ha recorrido 150 m.
R. a) 32,08 m/s; b) 34,295 m/s.
5. Una fuerza horizontal de l568 N produce una aceleración de 2,44 m/s2
en un cuerpo de 400
kg que descansa sobre una superficie horizontal. Determinar:
a) La fuerza normal ejercida por la superficie sobre el cuerpo.
b) El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la superficie.
R. a) 3920 N; b) 0,15.
6.- Un automóvil de 1200 kg cambia su velocidad en forma constante de (-12.61 i

- 12,79 j

)
km/h a (-70 i

- 71 j

) km/h en 1 minuto. Determinar:
a) La aceleración producida.
b) La fuerza ejercida por el motor.
R. a) ( -0,266 i

- 0,269 j

)m/s2
; b) ( - 319,2 i

- 322,8 j

)N.
7.- Un cuerpo de 2 kg se encuentra en el punto (5 ; 2)m en t = 2 s con una velocidad de (-7 i

+
3 j

)m/s. Si se aplica sobre él una fuerza constan le de (-1757 i

+ 757 j

)[N] durante 6 s.
Determinar:
a) La posición final del cuerpo.
b) El desplazamiento realizado por el cuerpo.
c) La velocidad final del cuerpo.
R. a) ( - 1612 i

+ 695 j

)m ; b) ( - 1617 i

+ 693 j

)N; c) ( - 532 i

+ 228 j

)m/s.
8.- Un bloque de 15 kg se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal como indica la
figura. Cuando sobre él actúa una fuerza de 60[N] durante 3 s y si = 0,2. Determinar:
a) La aceleración del bloque.
b) La velocidad final del bloque.
R. a) 2,04 m/s2
; b) 6,12 m/s.
9.- En la figura, si el bloque es de 16 kg y = 0,1. Determinar:
a) El valor de F para que el bloque suba con velocidad constante.
b) El valor de F para que el bloque baje con velocidad constante.
c) El valor de F para que el bloque suba con una aceleración de 2 m/s2
.
d) El valor de F para que el bloque baje con aceleración de 2 m/s2
.
R. a) 77,35 N; b) 54,23 N; c) 105,15 N; d); 54,06 N.
10.- Dos cuerpos del mismo peso, inicialmente en reposo, se dejan en libertad sobre un plano
inclinado de 30° hallándose separados 25 cm. Si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo
superior y el plano es de 0,1 y entre el inferior y el plano es 0,25. Determinar:
a) En qué tiempo el cuerpo superior alcanza al inferior.
b) La distancia recorrida por el cuerpo inferior hasta que es alcanzado por el superior.
11.- En la figura e¡ bloque B es de 10 kg. Si el coeficiente
de rozamiento cinético para todas las superficies es 0,3.
Determinar:
La masa del bloque A para que los dos bloques se muevan
con una aceleración de 1,5 m/s2
.
R. 19,86 kg.
12.- En el sistema de la figura a, los dos bloques A y B tienen la misma masa igual a 20 kg, y se
Considera las superficies pulidas y poleas ligeras y sin
rozamientos. Calcular:
a) Aceleración del sistema.
b) Tiempo transcurrido para que el bloque A recorra 2 m
descendiendo por el plano inclinado.
R: a = 2,45 m/s2
; t = 1,28 s.
13.- En la figura los bloques A y B son de 100 y 50 kg
respectivamente. No hay rozamiento para todas las
superficies. Determinar:
F = 60 N

a) La aceleración de cada bloque.
b) En qué sentido se mueven los bloques.
c) La tensión de la cuerda que une los bloques.
d) La velocidad del bloque A, 4 s después de partir del reposo.
R. a) Hacia la izquierda; b) 1,30 m/s2
;c) 360 N.
14.- Las masas A y B que penden de los extremos de la cuerda de una máquina de Atwood son,
respectivamente, 1 000 y 1 010 g. Calcular:
a) La aceleración con que se mueve el sistema.
b) El espacio que recorre en 50 s partiendo del reposo.
c) La tensión de la cuerda.
R: a) 0,049 ms-2
; b) 61,25 m; c) T = 9,849 N.
15.- Una máquina de Atwood, como se muestra en la figura, lleva fijas
dos cubetas llenas de arena, con masas totales, respectivamente de 1,5
y 1,0 Kg. Se fija una piedra de 0,5 Kg a la cuerda que sostiene la
cubeta menos pesada, a una distancia de 10 cm por encima de la arena
en esa cubeta. Determinar.
a) La aceleración del sistema.
b) La tensión en las diversas cuerdas.
R. a) 0; b) 15 N en la izquierda; 9,8 N en la cuerda de la derecha, bajo el punto de fijación
de la piedra.
16.- Un bloque de 35,6 N está en reposo sobre un plano horizontal con el que roza, siendo 0,5 el
coeficiente de fricción dinámico. El bloque se une mediante una cuerda sin peso, que pasa por
una polea sin rozamiento, a otro bloque suspendido cuyo peso es también 35,6 N. Hallar:
a) La tensión de la cuerda.
b) La aceleración de cada bloque.
R. a) 2,45 m/s2
; b) 26,7 N.
17.- En el sistema de la figura, los bloques A y B se deslizan
con velocidad constante sobre la superficie horizontal por
acción de otro bloque C suspendido. El bloque B se separa del
A y se suspende junto con el C. ¿Cuál será la aceleración del
sistema? ¿Y la tensión de la cuerda?
R: a = 1,96 m/s2
; T = 3,136 N.
18.- Dos bloques de masas m1 = 5 kg y m2 = 8 kg,
respectivamente, están dispuestos como se muestra en la figura.
¿Cuál es la aceleración de los bloques si la fuerza de rozamiento
que aplica la superficie es de 30 N?. R. 9,68 m/s2
.
19.- Tres cuerpos A, B y C de 10, 20 y 30 kg respectivamente,
están unidos mediante dos
cuerdas como indica la figura.
Si A = 0,3 y B = 0,15,
determinar:
a) La aceleración del cuerpo B.
b) Las tensiones en las cuerdas.
R: a) 3,92 m/s2
; b) 176,4 N y
68,6 N.
20.- Una máquina de Atwood doble se ilustra en la figura.
Considerando las condiciones ideales y dejando que m3 = 4 Kg y
m1 = m2 = 3 Kg.
a) Cuál es la aceleración de m3.
b) Cuáles son las magnitudes de las tensiones de las cuerdas.
R. a) 2 m/s2
; b) 23N.
21.- Un bloque de masa 2kg reposa sobre una superficie lisa y
horizontal y está conectada por dos cuerdas carentes de masa que están suspendidas sobre dos
clavijas lisas a dos pesos con masas respectivas de 1 kg y 3 kg, como muestra la figura.

a) Trace las fuerzas respectivas y aplique la segunda ley de Newton.
b) Demuestre que la aceleración del sistema es g/3 = 3,3 m/s2
,
en el sentido de las manecillas del reloj.
c) Calcule la tensión en cada cuerda.
R. c) 20 N en la cuerda derecha; 13 en la cuerda izquierda.
22.- Tres cuerpos A, B y C de 40, 20 y 60 kg, respectivamente,
están unidos mediante dos cuerdas como indica la figura. Si
todas las superficies son lisas. Determinar:
a) La aceleración del cuerpo C.
b) En qué sentido se mueve cada cuerpo.
c) Las tensiones en las cuerdas.
R. a) 2,934 m/s2
; b) Se dirige hacia la derecha; c) 353,27
N, 44,96 N.
2.4. FUERZAS QUE ACTUAN EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR
DINAMICA DEL MOVIMEIENTO CIRCULAR.- Al igual que en el capítulo de
TRASLACION, a continuación estudiaremos la dinámica de ROTACION, las causas que
provocan el movimiento o las variaciones de ellos.
Para analizar dinámicamente el movimiento de una partícula, hay que elegir un sistema de
referencia adecuado. En el caso del movimiento circular, dicho sistema sería el formado por los
ejes en dirección tangencial y normal (central), para que las componentes de la aceleración de la
partícula coincidan con éstas direcciones.
De acuerdo a la segunda Ley de Newton, un partícula que gira con movimiento circular, tiene
las fuerzas: Tangencial y Centrípeta, como se observa en la figura.
F = m.a pero como a = a ac,
F = m(a + ac )
F = ma + mac
F = F + Fc
2.4.1. FUERZA TANGENCIAL (F ).- Es la componente
de la fuerza neta en la dirección tangencial que comunica en
la partícula una aceleración tangencial y determina que la
velocidad cambie de módulo.
F = m a = m ( v / t)
Cuyo módulo de la Fuerza tengencial es:
F = m r
La fuerza tangencial es nula, cuando la velocidad angular es constante (MCU).
F = F + Fc, porque a = 0
y
x

F = Fc
2.4.2. FUERZA CENTRIPETA (Fc).- Es la componente de la fuerza neta en la dirección
central que comunica a la partícula una aceleración centrípeta y determina que la velocidad
cambie de dirección.
Fc = m ac
El módulo de la Fuerza centrípeta es:
Fc = m (v 2
/r ) = m w2
r
La fuerza centrípeta es nula cuando el movimiento es rectilíneo.
F = F + Fc
F = F
2.4.3. MOVIMIENTO EN UN CIRCULO HORIZONTAL.- Para analizar este movimiento,
partiremos de la figura que representa un pequeño cuerpo de masa m , sujeto al extremo de una
cuerda de longitud L, que describe un circulo horizontal con velocidad v de magnitud
constante. Cuando el cuerpo describe su trayectoria, la cuerda engendra la superficie de un cono
(péndulo cónico). La cuerda forma un ángulo con la vertical.
De la figura se deduce que las fuerzas que ejercen sobre el
cuerpo son: La tensión ( T ) y el peso (w = mg). La tensión
se descompone en sus componentes rectangulares:
La componente que se dirige hacia el centro de la
circunferencia es igual al producto de la masa por la
aceleración centrípeta o normal y la otra componente
vertical es igual al peso del cuerpo.
T sen = m (v2
/ R) ( 1 )
T cos = mg ( 2 )
Dividiendo la primera ecuación entre la segunda se tiene.
T sen / T cos = (mv2
/R )/ mg
Tan = v2
/ Rg
2.4.4. MOVIMIENTO EN EL CIRCULO VERTICAL.- El movimiento en un círculo
vertical no es uniforme, cuando gira alrededor de un punto fijo O. Esto se debe a que la
velocidad aumenta cuando desciende y disminuye cuando asciende. Sin embargo, la
componente de la aceleración total sigue siendo v2
/
R (aceleración centrípeta), pero ahora hay también la
componente tangencial de la aceleración.
De acuerdo a la figura, si descomponemos al peso en
una componente normal mg cos , y otra
tangencial mg sen , se tiene que:

Y
F = mg sen
ma = mg sen
a = g sen
Fc = T - mg cos
mac = T - mg cos
mv2
/ R = T - mg cos despejando de ésta ecuación se tiene:
T = (m v2
/R) + mg cos
T = m [( v2
/R ) + g cos ]
En la parte más baja = 0; entonces sen = 0 y cos 0° = 1, entonces en este punto F y a son
igual a cero y sólo hay aceleración centrípeta, y luego la ecuación anterior se resume a:
T = m [( v2
/ R) + g ]
En el punto más alto = 180º ; sen 0° = 0 y cos 180° = -1 y la ecuación de la tensión se escribe:
T = m ( v2
/ R - g )
Pero en el punto más alto la velocidad es crítica y la tensión es igual a cero ( T = 0 )
v = Rg
La velocidad crítica se define como la mínima velocidad que debe tener un cuerpo que se mueve
sobre una trayectoria circula vertical, en la posición superior, a fin de que se complete la
trayectoria.
2.4.5. PERALTES.- Se denomina peralte al ángulo de inclinación que tiene una la vía en una
curva, respecto al plano horizontal. Proporciona mayor seguridad a los vehículos, permitiendo
que se mantengan en la trayectoria porque incrementa el valor de la fuerza centrípeta en la
curva.
Un auto puede tomar una curva con seguridad con una serie de valores para su velocidad, todos
estos comprendidos en un cierto rango.
Los límites superior e inferior de este rango determinan las velocidades máxima y mínima con
que el auto puede tomar la curva sin derrapar hacia arriba o
hacia abajo.
Velocidad Mínima.- Para ésta condición el auto tenderá a
deslizarse lentamente hacia abajo de la carretera, por lo que la
fuerza de rozamiento sobre los neumáticos estará en sentido
opuesto a tal tendencia.
Velocidad Máxima.- Para ésta condición el auto tenderá a
deslizarse hacia arriba de la carretera, por lo que la fuerza de
rozamiento sobre los neumáticos actuará en sentido opuesto a tal
tendencia.
X

Velocidad Optima.- Es la velocidad que deberá tener el
auto en la curva, a fin de que no tienda a deslizarse
lateralmente hacia ningún lado, la fuerza de rozamiento es
nula (fr = 0).
2.4.6. LEY DE LA GRAVITACION UNIVERSAL.- Todos los cuerpos del Universo atraen a
todos los demás con una fuerza “directamente proporcional al producto de sus masas e
inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia que los separa”. De acuerdo a la figura , la
ecuación es:
F = G (m1m2/ r2
)
En donde G es coeficiente de proporcionalidad, que
se conoce como Constante Gravitacional.. El valor
numérico de G = 6,67 x 10-11
Nm2
/Kg2
.
2.4.6.1. CONSECUENCIAS DE LA LEY DE LA GRAVITACION UNIVERSAL.
Las fuerzas gravitacionales entre los cuerpos situados sobre la superficie terrestre son
completamente despreciables, debido al valor sumamente pequeño de G. Los efectos son
notables si uno de los cuerpos tiene dimensiones planetarias.
Para calcular la masa de la Tierra, consideraremos el peso de un cuerpo (mg) sobre la
superficie de la Tierra.
La fuerza que experimenta el objeto es la fuerza gravitacional que ejerce la Tierra sobre él, su
relación está dada por:
F = G [( M.m)/r2
], siendo M la masa de la Tierra y r el
radio Terrestre y m masa
del cuerpo, por lo tanto tenemos:
m.g = G[(M.m)/r2
], de donde g = GM /r2
y en
consecuencia M = g.r2
/G = 5,97 x 1024
Kg.
Variación de g, como: g = G.M/ r2
, g es inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia al centro de la Tierra. Por tanto, g varía con la altura, pero a pequeñas distancias: g
es prácticamente constante y así lo consideramos en el estudio de la caída libre de los
cuerpos.
2.4.6.2. LAS LEYES DE KEPLER Y LOS SATELITES DE LA TIERRA
La fuerza de la gravedad determina el movimiento de los planetas y de los satélites de la Tierra
y mantiene junto al sistema solar (y la galaxia). Joannes Kepler, astrónomo y matemático
Alemán estableció una descripción general del movimiento planetario antes del tiempo de
Newton. Kepler fue capaz de formular tres leyes empíricas a partir de datos provenientes de las
observaciones que realizó.
1. Ley de las Orbitas.- Los planetas se mueven en órbitas elípticas, en uno de cuyos focos se
encuentra el Sol.

2. Ley de las Areas.- El radio que une al sol con el planeta barre áreas iguales en tiempos
iguales. Esta ley significa que el movimiento no es circular uniforme.
3. Ley de Los Periodos.- El cuadrado del período de un planeta es directamente proporcional al
cubo de la distancia entre el planeta y el sol: T2
r3
.
T2
/ r3
= K
La constante K se evalúa con facilidad a partir de los datos de la órbita. Para la tierra K = 2,97 x
10-19
s2
/m2
.
¿Por qué no cae la Luna?
Según la historia, Newton, al ver caer a tierra una manzana, concibió
por vez primera la idea de la gravitación terrestre, deduciendo que la
manzana caía debido a la fuerza con que era atraída por la Tierra.
Pero en la noche, al ver en el cielo a la Luna, seguramente se hizo la
pregunta que muchas personas se hacen sin encontrar respuesta: ¿Por
qué no cae la Luna? ¿Por qué la Luna no cae a la Tierra, al igual que
la manzana, si debe estar atraída como ésta por la gravitación
terrestre?
La respuesta a esta pregunta es bastante sencilla, aun cuando muchas
personas no la conozcan. La Luna no cae hacia la Tierra, simplemente porque tiene una
velocidad circular con respecto a la Tierra, cosa que la manzana no tenía. Si la Luna estuviese
en reposo, con respecto a la Tierra, como la manzana, caería sobre ella igual que la manzana....
y con efectos mucho más catastróficos.
La Luna se encuentra en un movimiento circular alrededor de la Tierra, debido a la aceleración
centrípeta dirigida hacia el centro de nuestro planeta. ¿Y qué es lo que produce esta aceleración
centrípeta, si no una fuerza también centrípeta, la fuerza de la gravitación terrestre que, en la
concepción genial de Newton, obraría no sólo sobre la manzana y sobre la Luna, sino también
sobre cualquier otro cuerpo que se encontrara en presencia de la Tierra?
El gran sabio inglés no se contentó con ese razonamiento cualitativo, sino que trató de
expresarlo en números, y con los que entonces se tenían, pudo encontrar la aceleración
centrípeta con que caería hacia la Tierra un cuerpo que se encontrase a la distancia a que está la
Luna. Comparando este valor con el de la aceleración centrípeta que sufre un cuerpo en
superficie de la Tierra, encontró que ambas aceleraciones estaban en proporción inversa a los
cuadrados de las distancias de ambos cuerpos al centro de nuestro planeta, dando así el primer
paso para formular más tarde su famosa Ley de la Gravitación Universal.
Satélites artificiales
Las trayectorias de los
planetas son elípticas.
La velocidad de los planetas
es variable..
El cociente T2
/r3
es constante
para todos los planetas del
sistema solar.
La Tierra le imparte a la
Luna una aceleración mucho
menor que a la manzana.

Experimento:
Si en el tiempo de Newton, la Luna era el único satélite terrestre, en nuestros días son ya
muchos los objetos creados por el hombre, que permanecen en órbita alrededor de la Tierra
como satélites de nuestro planeta, desde el 4 de octubre de 1957, cuando se lanzó el primero de
ellos, el "Sputnik" (en ruso, compañero de viajé) soviético.
La puesta en órbita de un satélite artificial obedece al mismo principio que hace moverse a la
Luna alrededor de la Tierra en una órbita circular; esto es, a la velocidad necesaria para que
pueda adquirir una fuerza centrífuga que iguale la atracción gravitatoria con la que la Tierra lo
atraería a la distancia en que se encuentra dicho satélite.
Para calcular la velocidad v que debería tener un satélite de masa m, situado a una distancia r
del centro de la Tierra, para que, en lugar de caer hacia ésta como la manzana, pudiera girar
como la Luna en órbita circular alrededor de nuestro planeta.
La fuerza centrípeta necesaria para conseguir ese movimiento circular, sería:
F = mv2
/r
Pero esa fuerza tendría que ser proporcionada justamente por la acción gravitatoria de la Tierra,
cuyo valor, si llamamos M a la masa de ésta, está dado por la Ley de la Gravitación de Newton:
F = GMm/r2
.
Igualando ambas expresiones de la misma fuerza:
2
2
r
mMG
r
vm
y simplificando m y r tenemos:
r
MG
v2
;
r
MG
v , velocidad circular del satélite.
En el caso de los satélites debe existir una velocidad de escape, es la velocidad mínima que
debe tener un objeto en la superficie de un planeta para que una vez lanzado hacia arriba no
vuelva a caer. En un planeta de masa M y radio r, la velocidad de escape se expresa mediante la
siguiente ecuación.
r
MG
v
2
 Determinar la tensión, aceleración centrípeta y velocidad
tangencial en el péndulo cónico.
ACTIVIDAD N°- 07

CONTESTE:
1.- ¿Qué se entiende por masa de un cuerpo? Y ¿Con qué fuerza fundamental está relacionada?.
2.- Exprese la Ley de la Gravitación Universal de Newton y su ecuación.
3.- ¿Por qué un satélite artificial en órbita no cae sobre la Tierra?. Razone su respuesta.
4.- Enuncie las Leyes de Kepler.
5.- ¿Cuáles son los valores de la velocidad circular y de la velocidad de escape de un satélite
artificial en la superficie terrestre?.
COMPLETE:
6.- La fuerza de atracción gravitatoria entre dos cuerpos es directamente proporcional al
producto de sus ................................................................................................................................
7.- Aproximadamente, la aceleración de la gravedad en la superficie de la Luna es .....................
veces menor que la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra.
8.- En el Sistema Internacional de Unidades, las unidades de la constante de la gravitación
universal son: ......................................................
9.- La trayectoria de cada planeta es una elipse, y el Sol se encuentra siempre en uno de sus
...........................................................................................
10.- La velocidad óptima para tomar una curva con peralte no de tener ........................................
ANALICE:
11.- Establezca la diferencia y las semejanzas que encuentre entre:
a) Astronomía y astrología.
b) Masa Inercial y masa Gravitacional.
c) Gravedad g y la constante Gravitacional G.
12.- Un auto toma, con rapidez constante, una curva en una carretera
con peralte, con fricción despreciable, como muestra la figura. ¿Qué
fuerza produce la fuerza centrípeta para que el auto no se salga de la
carretera?
13.- Si en nuestro sistema solar se descubriera un pequeño planeta
cuyo período fuera de dos años y medio, ¿cuál debería ser su distancia media al Sol? Si en
nuestro sistema solar se descubriera un pequeño planeta cuyo período fuera de dos años y
medio, ¿cuál debería ser su distancia media al Sol?.
14.- Si llevas un reloj de péndulo desde el ecuador terrestre hasta los polos, ¿se adelantará?
Justifique su respuesta.
15.- Sabiendo que la trayectoria de la Tierra en tomo al
Sol es una elipse, como se muestra en la figura, ¿cuál de
los puntos A, B o C representa la posición correcta del
Sol cuando la Tierra se mueve con su menor velocidad?.
Explique su respuesta.
16.-Un estudiante dice que "la fuerza de atracción entre
la Tierra y un satélite artificial es cero porque el satélite está bastante alejado del centro de la
Tierra". Explica por qué esta afirmación es un error.
1.- Un cuerpo de 8 Kg. atado a una cuerda de 1,3 m de longitud, gira por una trayectoria
circular horizontal a 720 RPM. Determinar.

a) La aceleración centrípeta.
b) La fuerza centrípeta que actúa sobre el cuerpo.
2.- Un cuerpo de un péndulo cónico es de 2 kg. y cuelga de una cuerda de 8 m de longitud,
describiendo una trayectoria circular en un plano horizontal. Si el cuerpo se desvía de la vertical
hasta que la cuerda forme un ángulo de 30º con la vertical, determinar.
b) Cuál es la rapidez del cuerpo.
3.- Un cuerpo de 1 Kg. describe una circunferencia vertical atado al extremo de una cuerda de
1,2 m de longitud, con una rapidez constante de 5 m/s. Determinar la tensión de la cuerda,
cuando:
a) El cuerpo se encuentra en el punto más bajo de la trayectoria.
b) El cuerpo se encuentra en el punto más alto de la trayectoria.
c) El cuerpo se encuentra en el mismo nivel que el centro de la circunferencia.
d) Esta forma un ángulo de 60º sobre la horizontal.
4.- Nuestro satélite es atraído por la Tierra, por lo cual tiende a
caer sobre ella, pero al mismo tiempo se desplaza con una
velocidad de 1,02 Km./s. La gran velocidad con que se
produce este desplazamiento hace que la Luna nunca llegue a
chocar con nuestro planeta y se limite a describir su órbita.
Determinar.
a) La masa de la Tierra, si la distancia que separa la tierra de
la Luna es de 383 000 Km.
b) La aceleración de la gravedad a una altura de 10 000 Km.
Con respecto a la superficie de la Tierra.

5.-Un satélite terrestre gira en órbita circular a una altura de 300 Km. Sobre la superficie de la
Tierra.
a) Cuál es la rapidez del satélite, suponiendo que el radio de la Tierra es 6380 Km y g es 9,80
m/s2
?.
b) Cuál es el periodo?
c) Cuál es la aceleración normal del satélite?.
6.- En 1610, Galileo descubrió cuatro de las dieciséis lunas de Júpiter, La más grande de las
cuales es Ganimedes. Esta luna joviana revoluciona alrededor del planeta en una órbita casi
circular cuyo radio es casi de al rededor de 1,07 x 106
Km., en 7,16 días, Utilizando éstos datos
encontrar la masa de Júpiter. R.1,9 x 1027
Kg.
1.- Una partícula de masa 3 Kg. se mueve en el plano xy bajo la acción de una fuerza dada por:
F = (6N.s-2
)t2
i + (4N.s-1
)tj.
a) Suponiendo que la partícula se encuentra en reposo en el origen en el instante t = 0,
dedúzcase en función del tiempo la expresión de los vectores aceleración, velocidad y
posición.
b) Hágase un esquema de la trayectoria de la partícula.
c) Hállese la magnitud y dirección de la velocidad en el instante t = 3 s.
R. a) (2 m.s-4
)t2
i + (
3
4
m.s-3
)tj; (
3
2
m.s-4
)t3
i + (
3
2
m.s-3
)tj; (
6
1
m.s-4
)t4
i + (
9
2
m.s-3
)t2
j.
c) 19,0 m/s, 18,4º
con el eje x positivo.
2.- Una curva de una autopista de 1600 pies de radio ha de peraltarse de forma que un automóvil
que la recorra a 50 mi/h, no tenga tendencia a deslizarse lentamente. Cuál ha de ser el ángulo de
peralte?. R. 6,0o
.
3.- Una piedra de masa 1 Kg. atada al extremo de una cuerda de 1 m de longitud, cuya tensión
de rotura es 500 N, describe un círculo horizontal sobre una mesa sin rozamiento. El otro
extremo de la cuerda está fijo. Calcúlese la velocidad máxima que puede alcanzar la piedra sin
que se rompa la cuerda.
R. 22,4 m/s.
4.- Una moneda situada sobre un disco de 12 pulgadas girará con el disco hasta una velocidad
máxima de 33
3
1
rev./min, suponiendo la moneda que se encuentra a una distancia a 4 pulgadas
del eje.

a) Cuál es el coeficiente estático de rozamiento entre la moneda y el disco?.
c) A qué distancia del eje puede colocarse la moneda, sin que se deslice, si la plataforma gira a
45 rev./min?.
R. a) 0,127; b) 2,19 pulgadas.
5.- En el extremo de una cuerda se ata una bola de 250 g. de masa y se hace girar con una
velocidad constante en un círculo horizontal de radio 4 m. La cuerda forma un ángulo de 30º
con
la vertical. Calcular.
a) La Tensión de la cuerda.
b) La fuerza que se ejerce sobre la bola.
c) L velocidad.
R. a) 2,83 N; b) 1,42 N; c) 4,76 m/s.
6.- Un bloque de 35,6 N está en reposo sobre un plano horizontal con el que roza, siendo 0,5 el
coeficiente de fricción dinámico. El bloque se une mediante una cuerda sin peso, que pasa por
una polea sin rozamiento, a otro bloque suspendido cuyo peso es también 35,6 N. Hallar.
b) La aceleración de cada bloque.
R. a) 26,7 N. b) 2,45 m/s.
7.- Con una cuerda de 20 cm de largo se hace girar un cuerpo de 100 g. a razón de 3 vueltas por
segundo. Cuál es la tensión de la cuerda. R. 7,1 N.
8.- Un automóvil de masa 2000 Kg. toma una curva de 200 m de radio con velocidad de 108
Km/h. Determinar la fuerza de rozamiento necesaria para que el automóvil no se salga de la
carretera. R. 9000 N.
9.- La masa de la Luna es 1/80 de la masa de la Tierra y su radio es 1/4 de la Tierra. Cuál es la
aceleración de la gravedad en la superficie de la Luna?. R. 1,93 m/s².
10.- Una nave espacial de 100 toneladas, situada en el espacio, lanza un pequeño satélite que
gira alrededor de ella con un radio de 100 m. Cuál es el tiempo que emplea el satélite para dar
una vuelta. R. 2,4 x 104
s.
11.-Calcular la velocidad con que debería girar la tierra alrededor de su eje para que el peso de
una persona en el ecuador fuera las ¾ partes de su peso real. Tómese el radio ecuatorial 6 400
Km. Indicaciones: (1) w (peso real) = (GMm)/r² - (mv² )/r (2) 3/4w(peso pedido) =
(GMm)/r² - (mv² )/r
m = masa de la persona. M = Masa de la Tierra, w = mg = peso real de la persona, v = velocidad
real de la tierra en el ecuador, v1 = velocidad pedida de la tierra en el ecuador. R. 3 980 m/s.
12.- Las masas en un aparato tipo Cavendish son: m1 = 10 kg. y m2 = 10 g. separados sus
centros 5 cm. Cuál es la fuerza de atracción gravitacional entre las masas?. R. 2,66 x 10-9
N.
13.- Cuál sería el peso de una persona de 80 Kg. en la superficie de Marte?, si el radio de Marte
es 3,4 x 106
m y su masa 6,44 x 1023
Kg. R. 299,2 N
14.- A qué altura sobre la superficie de la Tierra el valor de la gravedad terrestre es 4,9 m/s2
?.
R. 2,64 x 106
m.
14.- La masa del sol es 300 000 veces la masa de la Tierra y su radio es 100 veces mayor que el
de la Tierra. Cuál es la masa del Sol?. Cuál es su radio ecuatorial. Cuál es el valor de la
gravedad solar?. R. r = 6,38 x 108
m . g = 270 m/s².
16.- El 4 de Octubre de 1957 la Unión Soviética puso en órbita el primer satélite artificial
alrededor de la Tierra. El Sat-1 tuvo una vida de 92 días y el período de su órbita 96,17 min.
Calcular a qué altura sobre la tierra se colocó el satélite. R.574 773 m.

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