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UNIDAD
OBJETIVOS.
 Explicar el concepto de fuerza y sus diferentes
clases.
 Elaborar resúmenes, cuadros
sinópticos, estructuras
conceptuales y esquemas
sobre los temas tratados en dinámica.
 Establecer cuando un cuerpo se encuentra en
equilibrio.
 Interpretar el movimiento planetario de acuerdo
con la ley gravitacional.
 Describir el movimiento de cuerpos utilizando las
leyes de Newton.
 Establecer las fuerzas que actúan sobre una
estructura en reposo o en movimiento.
 Utilizar algunas estrategias para resolver
problemas de dinámica.
 Formular problemas a partir de situaciones de la vida diaria.
 Hacer buena distribución del tiempo y obtener el máximo rendimiento en todas las
actividades.
TEMA 1. FUERZA.
1. Definición.
2. Fuerzas de la naturaleza.
3. Otras fuerzas.
4. Leyes de Newton.
TEMA 2. PRIMERA LEY DE
NEWTON.
1. Equilibrio de fuerzas (estática).
2. Reglas para resolver problemas.
3. Actividad 4.
4. Ejercicios.
TEMA 3. EQUILIBRIO DEL
CUERPO SOLIDO.
1. Torques o Momentos.
2. Segunda condición de equilibrio.
3. Actividad 5.
4. Ejercicios.
TEMA 4. SEGUNDA LEY DE
NEWTON.
1. Sistemas de ecuaciones.
2. Reglas para resolver problemas.
3. Actividad 6.
4. Ejercicios.
TEMA 4. FUERZAS EN EL
MOVIMIENTO CIRCULAR.
1. Movimiento Horizontal.
2. Movimiento Vertical
3. Leyes de Kepler.
4. Actividad 7.
5. Ejercicios.
CONTENIDO
S
DINAMICA
DINÁMICA DE PARTÍCULAS
GUSTAVO SALINAS E. 30
INTRODUCCION
Los antiguos griegos que se preocupaban por estudiar el movimiento y sus causas pensaban
que el estado natural de los cuerpos era el reposo. Para sacarlos de ese estado, es decir, para
que un cuerpo se moviera, era necesario ejercer una fuerza sobre dicho cuerpo y si ésta se
dejaba de aplicar, inmediatamente cesaba el movimiento del cuerpo volviendo por lo tanto a su
estado natural: “el reposo”; estas ideas fueron aceptadas sin modificación alguna durante
muchos siglos.
Fue necesario un genio extraordinario como el Italiano Galileo Galilei para extraer las leyes
de la naturaleza de los fenómenos que se habían tenido siempre frente a los ojos, pero cuya
explicación había escapado siempre a la investigación de los filósofos.
Galileo estaba de acuerdo con que para iniciar el movimiento de un cuerpo era necesario una
fuerza, pero una vez que dicho cuerpo estuviera en movimiento éste continuaría moviéndose
indefinidamente, con velocidad constante, hasta que se ejecutara una nueva acción que pusiera
fin a dicho movimiento.
Galileo, al contrario de lo que opinaba la gente de su época, pensaba que el estado natural de
los cuerpos no era el reposo, sino el de un movimiento rectilíneo y uniforme.
Toda fuerza aplicada sobre un cuerpo modifica éste estado y tan pronto como la fuerza cesa, el
cuerpo continuara con movimiento rectilíneo y uniforme del cual el reposo es un caso
particular, ya que un cuerpo en reposo tiene una velocidad constante de magnitud cero.
2.1. DINAMICA.
Es la parte de la mecánica que estudia el
movimiento de los cuerpos y las causas que
lo producen. El movimiento de una partícula
queda determinado por la naturaleza y la
disposición de los otros cuerpos que forman
su medio ambiente.
Por nuestra experiencia diaria sabemos que
el movimiento de un cuerpo es un resultado
directo de sus interacciones con los otros
cuerpos que lo rodean. Las interacciones se
describen convenientemente por un concepto
matemático denominado fuerza. El estudio
de la Dinámica es básicamente el análisis de la relación entre la fuerza y los cambios en el
movimiento de un cuerpo.
2.1.1. FUERZA.- Desde el punto de vista de la Física, fuerza es todo aquello capaz de alterar la
condición de reposo, movimiento o deformación de un cuerpo, la misma que tiene
características vectoriales.
Unidades.- A la interacción de la fuerza se mide, utilizando los llamados
Dinamómetros, los mismos que vienen graduados en Newton (N), para el S.I., mientras que en
el sistema inglés se expresa en Kilopondios o Kilogramo-fuerza.
DINÁMICA DE PARTÍCULAS
GUSTAVO SALINAS E. 31
)(8.91 Nkgf 
En nuestro estudio veremos aquí la dinámica del punto material "partícula".
Entendemos por punto material un cuerpo dotado de masa que para describir
su movimiento podemos prescindir de sus dimensiones. Tal cuerpo no puede
presentar rotaciones ni deformaciones, pues lo único que puede observarse en
él es la posición que ocupa, y sus cambios respecto a un sistema de
referencia.
La Dinámica estudia a los cuerpos en movimiento de traslación y rotación,
convirtiéndose en Dinámica traslacional y Dinámica rotacional.
La Dinámica traslacional de una partícula comprende los temas de: Leyes de
Newton, Trabajo, Potencia, Energía, Conservación y Cantidad de
movimiento.
La Dinámica Rotacional es la que se encarga de estudiar los cuerpos en rotación con respecto a
un eje, y también los movimientos de rotación y traslación a la vez, entre los temas que
comprende son: Torques, Momento angular, Momentos de Inercia, Fuerzas centrales, entre
otras.
2.1.2. NATURALEZA DE LAS FUERZAS.
La fuerza mide el grado de interacción entre dos cuerpos. La interacción puede ser de diversas
formas: A distancia, por contacto, nuclear, etc. Todas estas interacciones naturales originan
únicamente cuatro tipos de fuerzas: Gravitacionales, Electromagnéticas, Nucleares Fuertes y
Nucleares Débiles.
2.1.2.1. Fuerza Gravitacional.- Es la atracción que ejercen entre sí dos cuerpos, a causa de sus
masas. Generalmente la masa de un cuerpo es la cantidad de sustancia que tiene, la misma que
es constante y no presenta variación alguna de un lugar a otro.
2
r
mM
GF 
2.1.2.2. Fuerza Electromagnética.- Es la fuerza producida por un cuerpo cargado
eléctricamente, ya sea que esté en reposo o en movimiento. Si está en reposo sólo se genera una
fuerza eléctrica; si el cuerpo cargado se mueve, además de la fuerza eléctrica, se genera una
fuerza magnética.
2
r
qQ
kF 
2.1.2.3. Fuerza Nuclear Fuerte.- Es la responsable de mantener unidos los protones y
neutrones en el núcleo atómico. Esta fuerza no obedece a ninguna ley conocida, sino que
decrece rápidamente, hasta prácticamente anularse cuando la distancia entre los cuerpos es
mayor a 10-15
m.
2.1.2.4. Fuerza Nuclear Débil.- Es de naturaleza y característica diferente a la anterior, a pesar
de que también se origina a nivel nuclear. Esta fuerza tampoco cumple una ley establecida y se
encuentra en el fenómeno físico de la radiación.
Estas cuatro fuerzas fundamentales son de muy distinta intensidad, siendo la más intensa, para
pequeñas distancias, la correspondiente a la fuerza nuclear fuerte y la más débil la fuerza
Dinamómetro
DINÁMICA DE PARTÍCULAS
GUSTAVO SALINAS E. 32
gravitatoria. Así, si entre dos partículas la fuerza correspondiente a nuclear fuerte es 1, la
electromagnética entre las mismas partículas es del orden de 10-2
, la nuclear débil de orden
5
10
y la gravitatoria de 39
10
2.1..3. OTRAS FUERZAS EN LA DINAMICA.
La mayor parte de las fuerzas que se observan entre los cuerpos del macroscópico son: Peso,
Normal, Fuerzas de rozamiento, Fuerzas elásticas y Tensión.
2.1.3.1. Peso.- Es la fuerza con que la Tierra atrae a todos
los cuerpos. Está dirigida hacia el centro de la Tierra. El
peso es un vector, cuya dirección y sentido será hacia el
centro del Planeta, debido a la aceleración de la gravedad.
La ecuación del peso es:
gmW . .
Masa.- La masa m de un cuerpo es la cantidad de materia que lo forma, la cual es constante y
no presenta variación alguna de un lugar a otro, a la misma se le considera como una cantidad
escalar. Esta se mide en Kilogramos (kg.) para el S.I.
Aceleración de la gravedad (g).- La aceleración de la gravedad, tiene un valor promedio igual
9,80 m/s2
, no es la misma en todos los puntos de la Tierra, existe pequeñas variaciones de un
lugar a otro, por la cual el peso de un cuerpo varía de acuerdo con el lugar.
2.1.3.2. Normal.- La normal N es una fuerza que se genera
cuando dos cuerpos están en contacto, tiene una dirección
perpendicular a las superficies en contacto, como se observa
en las figuras.
2.1.3.3. Fuerza de Rozamiento.- La fuerza de rozamiento ( fr ) se genera cuando dos cuerpos
están en contacto y el uno tiende a moverse o se mueve con
relación al otro, se dice que ésta fuerza es paralela o tangente a
las superficies en contacto y su sentido sobre cada cuerpo
es el opuesto al movimiento relativo.
La fuerza de rozamiento se origina básicamente debido a
las rugosidades de ambas superficies en contacto.
El estudio del rozamiento no está sujeto a leyes físicas
fundamentales; las leyes obtenidas son leyes empíricas,
resultado de una serie de observaciones sencillas. Estas
prueban, entre otras, las siguientes conclusiones:
1. La fuerza de rozamiento es paralela a las superficies
deslizantes.
2. Es proporcional a la fuerza normal que aprieta una
superficie sobre la otra.
3. La fuerza de rozamiento es prácticamente
independiente del área de contacto entre ambas superficies.
4. Es aproximadamente independiente de la velocidad de deslizamiento, siempre que el
calor producido por el roce no altere la condición de las superficies.
5. Las fuerzas de rozamiento siempre se oponen al movimiento.
N
N
N
frs = 0
frs F
Ffrs
F = 0
frs > µs.N
frs = F
NO HAY MOVIMIENTO
DINÁMICA DE PARTÍCULAS
GUSTAVO SALINAS E. 33
F
x
x
F
F
Fe
Fe
La fuerza de rozamiento se denomina estática o cinética, según si los cuerpos entre sí, tiendan a
moverse o se muevan. La relación de la fuerza de rozamiento y la normal, dan lugar a una
constante de proporcionalidad adimensional, que sólo depende de la naturaleza de las
superficies en contacto, llamada coeficiente de fricción o rozamiento ().
En general, para dos cuerpos determinados, hay dos clases de coeficientes de fricción; estático
s y cinético k.
El coeficiente estático de rozamiento es un número que al ser multiplicado por la fuerza normal
N, da el valor de la fuerza mínima (frmin) que
hay que aplicar para poner en movimiento
relativo a los dos cuerpos en contacto e
inicialmente en reposo.
Nfr s . ;
N
fr
s 
El coeficiente cinético de rozamiento es el
número que al ser multiplicado por la normal
N, da el valor de la fuerza necesaria para
mantener a los dos cuerpos en movimiento
relativo uniforme.
Para todos los materiales conocidos se ha
encontrado que s  k.
El coeficiente k, que es el que normalmente se
usa, a veces se representa simplemente por .
Nfr k . ;
N
fr
k 
2.1.3.4. Fuerzas Elásticas.- Cuando estiramos un resorte mediante una fuerza externa, llamada
deformadora (F), el resorte a su vez genera
otra fuerza interna de la misma magnitud que
F pero en dirección contraria, llamada
recuperadora o fuerza elástica (Fe). Esta
fuerza se opone a la acción de las fuerzas
externas sobre el resorte, su valor es
directamente proporcional al desplazamiento o
más claramente al estiramiento o compresión
del resorte, como se observa en la figura.
Entonces la fuerza recuperadora es:
xkFe  .
La fuerza elástica tiene el signo menos (-), por que indica que siempre se dirige al punto de
equilibrio.
La constante k significa el grado de compresibilidad o estiramiento del resorte, y sus unidades
para el S.I. son Newton por metro (Nm-1
).
El desplazamiento del resorte (x), es la distancia comprendida entre la posición final y el punto
de equilibrio.
F
a
N
N
N
frmám = F
MOV.INMINENTE
v = cte
Ffrmáx
Frk
F
Frk
MOV.UNIFORME
MOV. ACELERADO
frmám = µk.N
Frk = µk.N
Frk < F
Frk = F
Frk = µk.N
DINÁMICA DE PARTÍCULAS
GUSTAVO SALINAS E. 34
oxxx 
El alargamiento se mide en unidades de longitud, que es el metro (m).
2.1.3.5. Tensión.- La tensión (T), es la que se presenta en una cuerda, la misma que es un
elemento flexible e inextensible que sirve para
transmitir la acción de una fuerza aplicada. En
condiciones ideales la fuerza transmitida es la
misma en cualquier sección de la cuerda, o sea que,
la fuerza no se pierde.
2.2. LEYES DE NEWTON
La iniciación del conocimiento de la Dinámica se debe a Galileo (1564-1642), quién observó
con toda atención la caída libre de los cuerpos, el movimiento en un plano inclinado y el
movimiento del péndulo. Gracias a los múltiples aportes de Galileo para la ciencia, Newton
pudo formular con precisión las "LEYES DEL MOVIMIENTO", y así fundamentar sólidamente
la dinámica, que en Relatividad dice: "el movimiento de los cuerpos en todos los laboratorios
que se desplazan unos respecto a los otros de manera rectilínea uniforme, transcurre de acuerdo
a unas mismas leyes"
Estos principios constituyen los pilares de la Mecánica, y fueron
enunciados en la famosa obra de Newton titulada "Principios
Matemáticos de la Filosofía Natural", publicada en 1686. Se
conocen también como Primera, Segunda y Tercera Leyes de
Newton, de acuerdo con el orden en que aparecieron en la obra
citada.
Isaac Newton
Newton nació el día de Navidad de 1642, el mismo año que murió
Galilea, en Woolsthorpe, Inglaterra. De pequeño Newton fue un
estudiante poco aventajado, hasta el día (cuenta la leyenda) en que se
cansó de que le ganara el primero de la clase; entonces se aplicó
hasta que consiguió deshancarle. A los dieciocho años empezó a
llamar la atención su interés por las matemáticas. Mal granjero va a ser, dijo su tio, y convenció a la
madre para que le enviara a la Universidad de Cambridge. Nueve años más tarde era profesor de
matemáticas allí.
2.2.1. PRIMERA LEY DE NEWTON O "LEY DE LA INERCIA".
A esta ley también se lo conoce como Ley de la Inercia o Ley de la Estática, cuyo enunciado
dice: "Todo cuerpo continúa en su estado de reposo o de MRU, a menos que se le obligue a
cambiar ese estado por medio de fuerzas que actúan sobre él".
Se denomina Ley de la Inercia porque el cuerpo por sí mismo permanece en reposo en MRU y
si experimenta un cambio en su velocidad (aceleración), en contra de su tendencia a
permanecer en reposo o en MRU, es porque sobre él actúa una fuerza neta exterior que le
obliga a cambiar de estado.
T
F
DINÁMICA DE PARTÍCULAS
GUSTAVO SALINAS E. 35
FB/A = - FA/B
La oposición que presenta todo cuerpo a un cambio en su estado de reposo o movimiento, se
llama inercia, que es cuantificada por la masa del cuerpo. Cuanto mayor es la masa mayor es la
Inercia.
También esta primera ley se lo denomina: Ley del Equilibrio Traslacional o de la Estática,
porque a estos estados corresponde la condición de que la aceleración es nula.
2.2.2. SEGUNDA LEY DE NEWTON O "LEY DE LA FUERZA"
Esta ley conocida también como Ley de la
Dinámica o Ley de la Fuerza:
"La aceleración de un cuerpo es
directamente proporcional a la fuerza
neta que actúa sobre él, e inversamente
proporcional al valor de su masa".
Los resultados experimentales indican que
la aceleración ( a) tiene la misma dirección
y el mismo sentido que la fuerza resultante
aplicada ( F ). Fuerza y aceleración son dos
vectores que difieren únicamente de una
constante de proporcionalidad, un escalar
positivo llamado "masa (m)". La expresión
matemática de la segunda ley de Newton
es:
amF .
La fuerza resultante es igual a ala suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el
cuerpo:
.......321  FFFF
amF .
z
y
x
amFz
amFy
amFx
amkFzjFyiFx
.
.
.
.





Si resolvemos los vectores F y a en sus componentes rectangulares se obtienen las ecuaciones
equivalentes:
xx amF .
yy amF .
zz amF .
2.2.3. TERCERA LEY DE NEWTON O "LEY DE ACCION Y REACCION"
"Cuando dos cuerpos interactúan, la fuerza que el
primero ejerce sobre el segundo (acción), es igual
a la que éste ejerce sobre el primero (reacción), en
módulo y dirección, pero en sentido opuesto".
DINÁMICA DE PARTÍCULAS
GUSTAVO SALINAS E. 36
Es conveniente aclarar que las fuerzas de acción y reacción están aplicadas en cuerpos
diferentes, es decir que en el uno actúa la acción y en el otro la reacción, esto significa que los
efectos sobre cada cuerpo serán diferentes, ya que dependerán de que otras fuerzas actúen sobre
cada uno, o del valor de las masas.
Es común llamar acción y reacción a las dos fuerzas relacionadas con la interacción entre dos
cuerpos, pero esto no significa que una sea precisamente la "causa" y la otra el "efecto", es
decir, cualquiera de las dos puede considerarse como reacción correspondiente a la acción de la
otra.
Para explicar ésta ley, analizaremos los cuerpos A y B de la figura, que interactúan, la fuerza
que el cuerpo A ejerce sobre el cuerpo B  BAF / es igual y opuesta a la que el cuerpo B ejerce
sobre el cuerpo A  ABF / .
De las tres Leyes de Newton concluimos que: La primera Ley proporciona una definición
cualitativa de la fuerza, la Segunda Ley establece una relación cuantitativa entre una fuerza
desequilibrante y la aceleración que produce, y la Tercera Ley presenta la Fuerza como una
forma de interacción entre dos cuerpos.
2.3. APLICACIÓN DE LA PRIMERA LEY DE NEWTON.
2.3.1. Equilibrio de una Partícula o Estática.
Según la primera Ley de Newton, una partícula esta
en equilibrio (reposo o MRU), cuando la fuerza neta
que actúa sobre ella es nula, condición única para
que una partícula esté en equilibrio:
0 F
Pero como la fuerza puede tener componentes en los
diferentes ejes, entonces se tiene:
0
0
0
0




Fz
Fy
Fx
kFzjFyiFx

De la figura, se puede concluir que las componentes de la fuerza con respecto a sus ejes, se
pueden determinar utilizando los ángulos directores, y se tiene:
xFFx cos ; yFFy cos ;
zFFz cos
Reglas para resolver problemas de dinámica.
Para resolver problemas de Dinámica, es conveniente
seguir ordenadamente ciertos pasos que faciliten los
análisis y resolución de problemas de equilibrio.
1.- Realizar el gráfico lo más grande posible.
1y 2
DINÁMICA DE PARTÍCULAS
GUSTAVO SALINAS E. 37
Experimento:
2.- Aislar él o los cuerpos de interés, es importante cuando hay varios cuerpos, los pasos que a
continuación se describen deben repetirse por cada cuerpo que interviene en el sistema en
estudio.
3.- Dibujar o trazar todas las fuerzas externas aplicadas al cuerpo en estudio: Estas fuerzas son
generalmente el peso y las producidas por: las cuerdas, las varillas, el suelo, la pared y los
pivotes o articulaciones.
4.- Elegir un sistema de referencia adecuado con la probable
dirección del movimiento, en el cual se pueden descomponer las
fuerzas y aplicar las leyes de Newton.
5.- Descomponer las fuerzas con respecto a cada uno de sus ejes,
aquellas que no se encuentren en la dirección del eje x – y.
6.- Resolver el sistema de ecuaciones, asegurándose de que
exista igual número de ecuaciones que de incógnitas.
Diagrama del cuerpo libre para el cuerpo 1.
y
0 F
N 0 xF
mgsen T x 0 mgsenT ( 1 )
0 yF
mgcos 0cos  mgN ( 2 )
Diagrama del cuerpo libre para el cuerpo 2.
y
0 xF ;No hay
T 0 yF
0 Tmg ( 3 )
x
mg
  Comprobar la primera ley de Newton.
 Equilibrio de fuerzas concurrentes.
3
4 5
DINÁMICA DE PARTÍCULAS
GUSTAVO SALINAS E. 38
ACTIVIDAD N°- 04
CONTESTE:
1.- ¿Cómo se define a la fuerza y en que? y ¿cómo se puede medir una fuerza?.
2.- ¿Cuáles son las fuerzas de la naturaleza? y ¿cuáles no obedecen a ley alguna?.
3.- Enumere varias fuerzas que conozca, explicando su origen y su forma de actuar.
4.- Describa cómo y por qué se inicia el movimiento de los cuerpos.
5.- Enuncie las tres leyes de Newton.
6.- Explique qué efecto tiene la aplicación de una fuerza neta a un cuerpo que se encuentra en
movimiento uniforme o en reposo.
7.- ¿Qué relación tiene la fuerza neta aplicada con la aceleración que se produce?. Explique.
8.- Indique a qué se llama acción y reacción y de algunos ejemplos.
COMPLETE:
9.- Newton es la unidad de ...............................y es equivalente a ...............................................
10.- La ley que rige la atracción y repulsión de las cargas eléctricas se debe a la
..................................................................
11.- Si manteniendo constante la fuerza neta que se aplica a un cuerpo, disminuye su masa a la
tercera parte, la aceleración que recibe se .......................................................
12.- Para que un avión se mueva hacia el norte, las hélices ejercen sobre el aire una fuerza hacia
el ............................................
13.- El diagrama del cuerpo libre de una partícula, consiste en, ...................................................
el cuerpo de interés y graficar sobre éste todas ....................................................................
externas actuantes sobre él.
ANALICE:
14.- ¿Cuáles son las fuerzas que actúan sobre su cuerpo cuando se encuentra de pie sobre una
mesa?.
15.- El anillo A está en equilibrio bajo la acción de las fuerzas
que ejercen sobre él, dibuje las fuerzas que actúan sobre el
anillo. ¿Por qué la fuerza neta sobre el anillo es igual a cero?.
16.- Escoja 10 términos de la Dinámica y construya un
laberinto de letras (sopa de letras).
 Nunca trate de elaborar las actividades solicitadas sin antes haber estudiado
los temas indicados, pues existen algunas preguntas que no podrá
realizarlas sin un adecuado conocimiento.
 En los ejercicios prácticos y de investigación que se solicitan, sea lo más
ordenado y detallista posible, ya que estas características permitirán
establecer el nivel de conocimientos adquiridos por usted.
DINÁMICA DE PARTÍCULAS
GUSTAVO SALINAS E. 39
1.- Dada la siguiente figura. Determine la Tensión de las
cuerdas, teniendo en cuenta que el peso del objeto es de
100 [N].
DATOS SOLUCION
W = ..........
a) T1 = ??
… = ??
2.- Dada la siguiente figura. Determine la Tensión de las
cuerdas, teniendo en cuenta que el peso del objeto es de
100 [N].
DATOS SOLUCION
W = ..........
a) T1 = ??
… = ??
3.- Sobre un plano horizontal de coeficiente de rozamiento 0,2 un cuerpo de peso de 50 kg-f es
arrastrado por una fuerza horizontal F a velocidad constante. Calcular el valor de F.
DATOS SOLUCION
 = 0,2
.... = 50 kg-f.
a).... = ??
4.- En la figura, los cuerpos A y B pesan cada
uno 50 kg-f y se mueven a velocidad
constante. El coeficiente de rozamiento es 0,2
para los dos cuerpos. Calcular el peso del
cuerpo C.
DATOS SOLUCION
WA = ..........
..... = 50 kg-f.
... = ......
a) WC = ??
EJERCICIOS DE APLICACION
DINÁMICA DE PARTÍCULAS
GUSTAVO SALINAS E. 40
5.- Se aplica una fuerza P a una pequeña rueda que
gira sobre el cable ACB. Sabiendo que la tensión en
ambas partes del cable es de 750 N. Determinar la
magnitud y dirección de P.
DATOS MODELO
PLANTEAMIENTO SOLUCION ANALISIS
6.- Un recipiente está sostenido por un solo cable que pasa a
través de un aro A sin fricción y que está amarrado a los
puntos fijos B y C. Para mantener el recipiente en la posición
mostrada se aplican al aro dos fuerzas P = Pi

y Q = Q k

.
Sabiendo que el peso del recipiente es W = 376 j

N.
Determínese las magnitudes de P y Q.
DATOS MODELO
PLANTEAMIENTO SOLUCION ANALISIS
DINÁMICA DE PARTÍCULAS
GUSTAVO SALINAS E. 41
1.- Un resorte se alarga 5 cm bajo la acción de una fuerza de 4 kg-f. ¿Cuál es la constante del
resorte? Si ahora la fuerza es 7 kg-f, ¿cuál es el nuevo alargamiento? R. 0,8 kg-f/cm; 8,75 cm.
2.- Un objeto de peso 10 kg-f se encuentra sobre un plano horizontal. Un niño empuja
horizontalmente el objeto y cuando hace una fuerza de 3 kg-f, el objeto empieza a moverse.
¿Cuál es el coeficiente estático de rozamiento? R. 0,3
3.- En el problema anterior, para mantener el objeto con velocidad constante, el niño tiene que
hacer una fuerza de 2 kg-f. ¿Cuál es el coeficiente dinámico de rozamiento? R. 0,2.
4.- Un cuerpo de peso 20 kg-f flota sobre un líquido. ¿Qué fuerza produce el líquido sobre el
cuerpo? ¿Cómo se explica esta fuerza?
5.- Mostrar que si un bloque se mueve con velocidad constante sobre un plano inclinado, es que
el coeficiente dinámico de rozamiento es igual a tan 6 siendo 6 el ángulo que forma el plano con
la horizontal.
6.- Un cuerpo de peso w suspendido de un hilo forma un ángulo 9 con la vertical cuando está
sometido a una fuerza horizontal F. ¿Cuál es el valor de F? R. F = wtan.
7.- Para mover un auto, un conductor
ató un cable al auto y a un árbol y
ejerció una fuerza F = 100 kg-f en la
mitad del cable como muestra la figura
1. ¿Cuál será la fuerza de tracción sobre
el auto?. R. 500 kg-f.
8.- Dos cables se amarran en C y se cargan como muestra la figura 2. Sabiendo que P = 400 N y
α = 75°. Determinar las tensiones AC y en BC. R. 326 N; 369 N.
9.- En la figura 3. Calcúlese el peso del cuerpo suspendido si la tensión de la cuerda diagonal es
de 20 [N]. R. 14.1 [N].
10.- El bloque A de la figura 5, pesa 100 N. El
coeficiente estático de rozamiento entre el bloque y
la superficie sobre la que reposa es 0,30. El peso W
es 20 N y el sistema está en equilibrio.
a) Hallar la fuerza de rozamiento ejercida sobre el
bloque A.
b) Hallar el peso máximo W para el cual el sistema
permanecerá en equilibrio. R. a) 20 N; b) 30 N.
11.- Dos bloques, A y B, están dispuestos como
indica la figura 4 y unidos por cuerdas al bloque C. Tanto A como B pesan 20 N y el coeficiente
cinético de rozamiento entre cada bloque y la superficie es 0,5. El boque C desciende a
velocidad constante.
a) Dibújense dos diagramas de fuerzas distintos que indican las fuerzas que actúan sobre A y B.
b) Calcúlese la Tensión de la cuerda que une los bloques A y B.
c) ¿Cuál es el peso del boque C?. R. b) 10 N; c) 30 N.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1
3 4
5
2
DINÁMICA DE PARTÍCULAS
GUSTAVO SALINAS E. 42
12.- El collarín A puede resbalar libremente sobre la barra horizontal sin fricción. El resorte
unido al collarín tiene una constante de 10 lb/in, y no se deforma cunado el collarín pasa
directamente bajo del soporte B. Determinar la magnitud de la fuerza P necesaria para mantener
el equilibrio cuando:
a) c = 9 in.
b) c = 16 in.
R. a) 18 lb; b) 64 lb.
13.- Un estudiante quiere determinar el coeficiente Único de
rozamiento entre un cuerpo y un plano inclinado trasparente a
mediodía, cuando la luz del sol incide verticalmente sobre el suelo.
Después de tirios ensayos, nota que el cuerpo se desliza con
velocidad constante cuando el cuerpo baja 3 m, mientras su sombra
recorre una distancia de 4 m en el meló horizontal. ¿Cuál es el
coeficiente de rozamiento dinámico'' R. 0,75
14.- Un cuerpo de peso w es halado sobre una superficie horizontal
de coeficiente de rozamiento  por una fuerza F que forma con la horizontal un ángulo  por
arriba de la horizontal. ¿Cuál es el valor de F para que el cuerpo se mueva a velocidad
constante?
¿Cual es el valor de la normal? R.


sen
W
cos
;


sencos
cos
.
15.- Un cuerpo de peso w es empujado sobre una superficie horizontal de coeficiente de
rozamiento  por una fuerza F que forma un ángulo  por debajo de la horizontal. ¿Cuál es el
valor de F para que el cuerpo se mueva con velocidad constante? ¿Cuál es e1 valor de la
normal? R.


sen
W
cos
;


sencos
cos
.
16.- El cable AB tiene 65 ft de longitud y su tensión es de 3 900 lb.
Determinar:
a) Las componentes x, y y z de la fuerza ejercida por el cabe sobre el
anclaje C.
b) Los ángulos directores θx, θy, θz que definen la dirección de la
fuerza ejercida en C.
R. a) -1 861 lb, 3 360 lb, 677 lb.; b) 118,5°; 30,5°; 80,0°.
17.- Un recipiente de peso W = 1 165 N está sostenido por tres
cables como se muestra en la figura. Determinar la tensión en cada
cable. R. TAB = 500 N; TAC = 459 N; TAD = 516 N.
18.- Una placa circular de 12 lib de peso y 7 in de radio está
sostenida en la forma indicada, por tres alambres cada uno de
25 in de longitud. Determinar la tensión en cada alambre
sabiendo que α = 30°. R. TAB = TAC = 3,35 lb; TAD = 5,80 lb.
DINÁMICA DE PARTÍCULAS
GUSTAVO SALINAS E. 43
19.- Un recipiente de peso W = 400 N se sostiene por dos cables AB y AC amarrados a un aro
A. Sabiendo que Q = 0. Determinar:
a) La magnitud de la fuerza P que debe aplicarse al aro para mantener al recipiente en la
posición indicada.
b) Los valores correspondientes de la tensión en los cables AB y AC.
R. a) 138 N; b) TAB = 270 N; TAC = 196 N.
20.- Un cilindro de peso W = 650 N está sostenido por dos
cables AC y BC unidos a la parte superior de dos postes
verticales. Una fuerza horizontal P perpendicular al plano
que contiene a los postes, sostiene al cilindro en la
posición mostrada. Determinar:
a) La magnitud de P.
b) La tensión en cada cable.
c) Los ángulos directores para la fuerza ejercida en B por
el cable BC.
R. c) 141,5°; 124,4°; 74,9°.
DINÁMICA DE PARTÍCULAS
GUSTAVO SALINAS E. 44
2.3.2. Equilibrio de un Cuerpo Sólido:
En la Primera ley de Newton, se estudió el equilibrio, considerando que los cuerpos pueden
representarse como puntos. Sin embargo, se mencionó para que un cuerpo extenso esté en
equilibrio tampoco debe tener tendencia a girar. Para poder despejar estas preguntas, ahora
introduciremos un nuevo concepto de momento o torque de una fuerza.
Las fuerzas aplicadas al cuerpo rígido, los efectos con respecto al movimiento son de traslación
o rotación.
2.3.3. Torque o Momento de una Fuerza.
El torque o momento de una fuerza, mide la
tendencia de un sólido o de un sistema a rotar
alrededor de un punto fijo (O) o eje, bajo la
acción de una fuerza F.
El torque o momento de una fuerza es una
magnitud vectorial, perpendicular al plano
formado por los vectores F y r, y se define por:
De acuerdo a la figura, la ecuación del vector
momento de fuerza es:
rFo 
Como el momento de una fuerza es el producto de la fuerza por el brazo, los mismos que deben
ser perpendiculares entre sí, entonces, el momento de fuerza de la figura será igual al producto
de la componente en eje y por el brazo, esto en forma escalar:
rFyo . ; rFo .sen 
El módulo del torque con respecto a un punto O es igual al producto del módulo de la fuerza (F)
por la distancia perpendicular (d), desde el punto O hasta la línea de acción de la fuerza. A esta
distancia se la denomina brazo de momento o brazo de palanca.
Determinando el valor de d en el triángulo rectángulo OPA, se tiene:
r
d
sen ; sen.rd 
dF.0 
 sen.rFo 
rFo .sen 
De esto se puede concluir que el torque de una fuerza depende del punto con respecto al cual se
calcule, puesto que si el punto varía, varía también el brazo de palanca.
Una fuerza no genera torque en los puntos contenidos en la línea de acción de la fuerza, porque
d es igual a cero.
DINÁMICA DE PARTÍCULAS
GUSTAVO SALINAS E. 45
Por convención, diremos que el momento de fuerza es positivo, si el efecto de la fuerza es
producir una rotación alrededor de O en sentido antihorario, y negativo cuando la rotación se
produce en sentido horario.
El torque o momento de fuerza tiene por unidades, la distancia multiplicada por la de una
fuerza.
Para el S.I, el torque es Newton x metro (N.m)
Para el C.G.S, el torque es Dina x centímetro (Dina.cm).
La dimensión del torque es:    22 
 TML
2.3.3. Condiciones de Equilibrio del Sólido Rígido.
Un sólido rígido está en equilibrio cuando no tiene movimiento de traslación ni de rotación.
Para esto son necesarias las siguientes condiciones:
1.- La fuerza neta aplicada al cuerpo debe ser nula:
 F = 0 vectorialmente
 Fx = 0
 Fy = 0 en función de las componentes escalares.
 Fz = 0
2.- El torque neto evaluado en cualquier punto del cuerpo o sistema, debe ser nulo.
 o = 0 vectorialmente.
Es decir, la suma algebraica de los momentos respecto a un punto, es igual a cero y se conoce
como la segunda condición de equilibrio.
2.3.4. Reacciones en los apoyos.
Los apoyos más comunes en los cuales se sustentan los sólidos son: de contacto, de rodillo, de
pasador y de empotramiento.
 CONTACTO.- En el contacto se generan dos tracciones, la normal y la fuerza de
rozamiento (estática), como se observa en la figura (a).
 RODILLO.- El rodillo sólo transmite una sola fuerza en dirección perpendicular a las
superficies de contacto, como se observa en la figura (b).
DINÁMICA DE PARTÍCULAS
GUSTAVO SALINAS E. 46
Experimento:
 PASADOR.- En este apoyo se genera únicamente una fuerza en el mismo plano de las
fuerzas aplicadas. Esta reacción se descompone en las direcciones horizontal y vertical (Rx y
Ry), como se observa en la figura ( c ).
 EMPOTRAMIENTO.- Este apoyo, a más de una fuerza de reacción en el mismo plano de
las fuerzas aplicadas, impide la rotación de un cuerpo, como se observa en la figura ( d ).
Reglas para resolver problemas de equilibrio de sólidos rígidos.
Al igual que en la resolución de problemas de Dinámica, es conveniente seguir ordenadamente
ciertos pasos que faciliten los análisis y resolución de problemas de equilibrio de sólidos
rígidos.
1.- Aislar el o los cuerpos de interés.
2.- Dibujar o trazar todas las fuerzas externas aplicadas al cuerpo rígido en estudio: Estas
fuerzas son generalmente el peso y las producidas por: las cuerdas, las varillas, el suelo, la pared
y los pivotes o articulaciones. Cuando se tiene duda del sentido de una fuerza se escogerá éste,
arbitrariamente. Si en la solución resulta, para esta fuerza un valor negativo, esto quiere decir
que la fuerza realmente tiene el sentido contrario.
3.- Elegir un sistema de referencia adecuado en el cual se pueden descomponer las fuerzas y
aplicar la primera condición de equilibrio.
4.- Escoger un punto con respecto al cual se calculan los momentos de fuerza (fuerzas
coplanares). En general se elige el punto que haga desaparecer el mayor número posible de
fuerzas incógnitas en la segunda ecuación de equilibrio (este punto será sobre el cual el sistema
puede girar).
5.- Resolver el sistema de ecuaciones, asegurándose de que exista igual número de ecuaciones
que de incógnitas.
  Aplicación de la segunda condición de equilibrio.
 Equilibrio de fuerzas paralelas.
DINÁMICA DE PARTÍCULAS
GUSTAVO SALINAS E. 47
ACTIVIDAD N°- 05
CONTESTE:
1.- ¿Qué es un cuerpo rígido?.
2.- ¿Cómo es el movimiento de traslación?.
3.- ¿Cómo es el movimiento de rotación?.
4.- Escriba tres ejemplos de cuerpos con movimiento de traslación, tres ejemplos de cuerpos con
movimientos de rotación y tres ejemplos de cuerpos con ambos tipos de movimiento.
5.- ¿Cuál es la ecuación del torque de una fuerza?, ¿qué signo tiene?. Indique sus unidades y
ecuación dimensional.
6.- ¿Qué dirección y sentido tiene el vector que representa el torque de una fuerza?.
COMPLETE:
7.- Si el torque de una fuerza tiende hacer girar a un cuerpo en el mismo sentido que giran las
manecillas del reloj, su signo es ...............................................
8.- El brazo de palanca y la línea de acción de la fuerza siempre deben ser ...................................
9.- Si una fuerza se aplica en la dirección del eje de rotación, el torque o momento de fuerza es
.......................................................
10.- El torque se puede representar por un vector perpendicular al ...............................................
11.- Las condiciones para que un cuerpo se encuentre en equilibrio son
que........................................ y que .....................................................................
ANALICE:
12.- En cada una de las siguientes herramientas es necesario aplicar momentos de fuerza para
operarlos. Describa los momentos de fuerza que se aplican en un cortaúñas, una carretilla, unas
tijeras de podar el césped y unas pinzas.
13.- ¿Por qué una mujer en las últimas etapas del embarazo debe inclinarse hacia atrás para
caminar?.
14.- ¿Qué fuerza F’ debe aplicar en el punto A para que la barra permanezca en equilibrio
estático?.
15.- ¿En qué sentido aplica fuerza el pivote sobre la barra?.
Además tace las fuerzas que hay en la figura.
 Nunca trate de elaborar las actividades solicitadas sin antes haber estudiado
los temas indicados, pues existen algunas preguntas que no podrá realizarlas
sin un adecuado conocimiento.
 En los ejercicios prácticos y de investigación que se solicitan, sea lo más
ordenado y detallista posible, ya que estas características permitirán establecer
el nivel de conocimientos adquiridos por usted.
DINÁMICA DE PARTÍCULAS
GUSTAVO SALINAS E. 48
16.- ¿En qué posición y en qué sentido se debe aplicar una fuerza para que la barra permanezca
en equilibrio estático?.
1.- Calcular el momento de fuerza de la fuerza de
la figura respecto al punto O, por tres métodos
diferentes:
a) Por la definición de momento de fuerza.
b) Por descomposición de la fuerza.
c) Calculando el brazo de la fuerza.
DATOS MODELO PLANTEAMIENTO SOLUCION ANALISIS
2.- Calcular las fuerzas en la dirección x, la suma de
las fuerzas en la dirección de y, y la suma de los
momentos de fuerza respecto a O de las fuerzas de
la figura.
DATOS MODELO
PLANTEAMIENTO SOLUCION ANALISIS
3.- La viga homogénea de la figura, pesa 50 kg-f y está articulada
en A. Calcular la tensión del cable y la fuerza que hace el pivote
A.
DATOS MODELO PLANTEAMIENTO
SOLUCION ANALISIS
100 kg-f
3 m
4 m
5 m
EJERCICIOS DE APLICACION
37°
5 m
10 N
O
8 kg-f
DINÁMICA DE PARTÍCULAS
GUSTAVO SALINAS E. 49
4.- Una viga sin peso de 3 m de largo está
soportada por dos cables como muestra la figura.
En dónde puede situarse, sobre la viga, a partir
de 0, una persona de 50 kg-f para que la viga
esté horizontal?.
DATOS MODELO
PLANTEAMIENTO SOLUCION
ANALISIS
5.- Una escalera de 10 m de longitud y 400 N de peso, que se considera concentrado en su
centro, está apoyada en una pared vertical sin rozamiento y forma un ángulo de 53,1º con la
horizontal como indica en la fig. Se desean hallar las magnitudes y las direcciones de las fuerzas
F1 y F2.
DATOS MODELO PLANTEAMIENTO F1
10m
SOLUCION F2
ANALISIS
1.- Calcular el momento de fuerza de cada fuerza de la figura , con respecto a 0.
R: 40 kg-f m; - 15 kg-f m; 0.
y 10 Kg-f.
7Kg-f. 5 Kg-f.
3 m
O 4 m x
EJERCICIOS PROPUESTOS
DINÁMICA DE PARTÍCULAS
GUSTAVO SALINAS E. 50
x
BA
2.- El sistema de la figura está en equilibrio. Cuál es el valor de F y a qué distancia de 0 se
encuentra?.
R: 30 kg-f; 2 m.
F
3 m
10 Kg-f 20 Kg-f.
3.- Un tablón uniforme de 15 m de longitud y 400 N de peso está situado simétricamente sobre
dos soportes separados 8 m, según muestra la siguiente figura. Un muchacho que pesa 640 N
comienza a caminar desde el punto A hacia la derecha.
a) Constrúyanse en el mismo diagrama dos gráficas que representen las fuerzas hacia arriba FA
y FB ejercidas sobre el tablón en los puntos A y B, como funciones de la coordenada x del
muchacho. Tómese 1 pulgada = 250 N verticalmente y 1 pulgada = 2,5 m horizontalmente.
b) Hállese, a partir del diagrama, qué distancia pasado el punto B podrá caminar el muchacho
antes de que vuelque la tabla.
c) A qué distancia del extremo derecho de la tabla
debería situarse el soporte B para que el muchacho
pueda caminar justo hasta el extremo de la misma sin
que vuelque?.
R: b) 2,5 m c) 2,89 m.
4.- Una viga homogénea de 100 kg-f está soportada por dos cables como muestra la figura. Una
persona de 80 kg-f se encuentra a la cuarta parte de longitud a partir de 0. Cuáles son las
tensiones de los cables?
R: 70 kg-f; 110 kg-f.
O
5.- Una viga homogénea de 30 kg-f se encuentra vertical bajo la acción de una fuerza de 40 kg-f
en uno de sus extremos y de una fuerza F horizontal en su centro como muestra la figura. (a)
Cuál es el valor de R ? (b) Cuál es el valor de la fuerza R que ejerce el perno A sobre la viga?.
R: 80 kg-f ; 50 kg-f.
40 Kg-f.
F
30 Kg-f R
6.-Hállense la tensión del cable BD de la siguiente figura y las componentes horizontal y
vertical de la fuerza ejercida sobre el puntal en el pivote A, utilizando.
a) La primera y segunda condiciones de equilibrio (F =0, F =0,  =0), tomando momentos
con respecto a un eje que pase por A perpendicular al plano del diagrama;
b) La segunda condición de equilibrio solamente, tomando momentos en primer lugar respecto
a un eje que pase por A, luego respecto a un eje que pase por B y, por último, respecto a un eje
que pase por D. Puede despreciarse el peso del puntal.
c) Represéntense las fuerzas calculadas mediante vectores en un diagrama a escala, y
demuéstrese que las líneas de acción de las fuerzas ejercidas sobre el puntal en los puntos A, B
y C se cortan en un punto.
R: 125 N, 100 N hacia la derecha, 25 N hacia arriba.
DINÁMICA DE PARTÍCULAS
GUSTAVO SALINAS E. 51
D
3 m
A C B
3 m 1 m
100 N
7.- La viga del problema anterior (figura del ejemplo resuelto # 4) es ahora homogénea y pesa
75 kg-f. Dónde debe situarse, sobre la viga, a partir de 0, una persona de 50 kg-f para que la
viga este horizontal?.
R: 2,55 m.
8.- La viga sin peso como muestra la figura , está articulada en A. Calcular la fuerza que hace el
pivote A.
R: 50 kg-f.
A
37º
30 Kg-f.
9.- La viga del problema anterior (figura ) es ahora homogénea y pesa 30 kg-f. Calcular la
fuerza que hace el pivote A.
R: 60 2 .
10.- Dada la siguiente figura, la regla es ahora homogénea y pesa 12 kg-f. Cuáles son las
tensiones de los cables?.
R: 16 kg-f; 16 kg-f; 18 kg-f.
A
37o
B
6 Kg-f
11.- Para mantener en equilibrio una barra en la posición representada en la siguiente figura ha
de aplicarse una sola fuerza. Puede despreciarse el peso de la barra.
a) Cuáles son los componentes x e y de la fuerza necesaria ?.
b) Cuál es la tangente del ángulo que la fuerza ha de formar con la barra?.
c) Cuál es la magnitud de la fuerza necesaria?.
d) Dónde deberá aplicarse esta fuerza?.
R: a) -30 N , 50 N b) 5/3 c) 58.3 N d) 1 m del extrema de la derecha.
DINÁMICA DE PARTÍCULAS
GUSTAVO SALINAS E. 52
Fw
F
Fx
Fy
4 m
xo
5 m
37º
10 N
50 N.
12.-Una escalera de 5 m. de longitud descansa contra un muro, en un punto a 4,0 m de altura
sobre el piso, como se ve en la figura. La escalera es
uniforme y tiene una masa de 12 Kg., suponga que
el muro no tiene fricción, pero el piso sí. Calcular.
a) La fuerzas que ejercen el piso y muro sobre la
escalera.
b) Si el coeficiente de fricción estática entre
escalera y piso es 0,4. A qué altura puede subir
una persona de 58 Kg. sin que resbale la
escalera. R. a) 44 N, 126 N. b) 2,2 m
2.4. SEGUNDA LEY DE NEWTON O "LEY DE LA FUERZA"
Esta ley conocida también como Ley de la Dinámica o Ley de la Fuerza:
"La aceleración de un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre
él, e inversamente proporcional al valor de su masa".
Los resultados experimentales indican que la aceleración ( a ) tiene la misma dirección y el
mismo sentido que la fuerza resultante aplicada ( F ). Fuerza y aceleración son dos vectores que
difieren únicamente de una constante de proporcionalidad, un escalar positivo llamado "masa
(m)". La expresión matemática de la segunda ley de Newton es:
amF .
La fuerza resultante es igual a ala suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre
el cuerpo:
.......321  FFFF
amF .
z
y
x
amFz
amFy
amFx
amkFzjFyiFx
.
.
.
.





Si resolvemos los vectores F y a en sus componentes rectangulares se obtienen las
ecuaciones equivalentes:
DINÁMICA DE PARTÍCULAS
GUSTAVO SALINAS E. 53
Experimento:
zz amF .
Reglas para resolver problemas de dinámica.
En la resolución de problemas de Dinámica, es necesario tener mucho orden, para lo cual es
conveniente tomar en cuenta algunas reglas útiles que faciliten los análisis:
1. Se aísla el o los cuerpos de interés.
2. Se elige un sistema de referencia ortogonal adecuado para el análisis del movimiento de cada
cuerpo. El sistema debe tener un eje que coincida con la dirección de la aceleración del cuerpo.
3. Se representan vectorialmente todas las fuerzas que actúan sobre cada cuerpo, teniendo en
cuenta primeramente su peso. Cada fuerza se representa por un vector cuyo origen parte del
cuerpo, que es considerado como un punto (partícula). Las fuerzas que no coincidan con las
direcciones de los ejes, se proyectarán sobre éstos para encontrar sus componentes. Como los
movimientos a analizar están contenidos en un plano, será suficiente calcular las componentes
de las fuerzas en los ejes x (Fx) e y (Fy).
4. Se plantea la segunda Ley de Newton en cada eje del sistema de coordenadas, obteniéndose
generalmente un sistema de ecuaciones. Si el sistema analizado lo constituyen cuerpos
(partículas) interconectados entre sí mediante cuerdas, resortes, poleas, etc, se considerará que
estos elementos poseen masas despreciables y que no generan fricción; además, en este caso, a
las ecuaciones obtenidas anteriormente se añadirán las que la geometría del movimiento
determine. Esto último significa que al estar las partículas interconectadas entre sí, el
movimiento de una de ellas determina características en el movimiento de la o las otras,
estableciéndose así una relación entre sus aceleraciones.
6. Resolver el sistema de ecuaciones que permitan calcular las incógnitas y analizar los
resultados.
  Cálculo de la aceleración de una fuerza constante.
 Máquina de atwood.
ACTIVIDAD N°- 06
yy amF .
xx amF .
 Nunca trate de elaborar las actividades solicitadas sin antes haber estudiado
los temas indicados, pues existen algunas preguntas que no podrá
realizarlas sin un adecuado conocimiento.
 En los ejercicios prácticos y de investigación que se solicitan, sea lo más
ordenado y detallista posible, ya que estas características permitirán
establecer el nivel de conocimientos adquiridos por usted.
DINÁMICA DE PARTÍCULAS
GUSTAVO SALINAS E. 54
CONTESTE:
1.- ¿Explique qué efecto tiene la aplicación de una fuerza neta a un cuerpo que se encuentra en
movimiento o en reposo?.
2.- ¿Qué relación tiene la fuerza neta aplicada con la aceleración que se produce?. Explique.
3.- ¿Qué relación hay entre la masa de un cuerpo y la aceleración que adquiere cuando se le
aplica una fuerza neta?.
4.- Escriba la Segunda Ley del Movimiento de Newton.
5.- Exprese la ecuación de la Segunda Ley de Newton, lo que representa cada una de sus
magnitudes que intervienen y en qué unidades se miden.
6.- Calcule su peso en Newton y su masa en kilogramos.
COMPLETE:
7.- Si a un cuerpo se le aplica una fuerza neta, recibe una ...............................................
8.- De acuerdo con la Segunda Ley de Newton, la fuerza neta es igual a la aceleración que
recibe el cuerpo al que se le aplica multiplicada por su ...................................
9.- Un kilopondio corresponde al peso de una masa de .......................................................
10.- La velocidad, la aceleración y la posición de un cuerpo dado son cantidades de carácter
.........................................
ANALICE:
11.- ¿Cómo explica que la dirección de la fuerza neta aplicada sobre un cuerpo debe ser
necesariamente la misma que la dirección del cambio de velocidad del cuerpo?.
12.- Un amigo suyo dice que si desde lo alto de un edificio se dejan caer simultáneamente una
pelota de tenis normal y otra que está llena de arena, las pelotas van a llegar al mismo tiempo al
piso, porque, al ser del mismo tamaño, la cantidad de aire desplazada por ambas pelotas es la
misma. ¿Está de acuerdo con su compañero?. Explique su respuesta.
13.- En las figuras, la masa del bloque y el coeficiente de
rozamiento tienen los mismos valores. ¿En cuál de ellos
es mayor la fuerza de rozamiento?.
14.- Muestre que la aceleración de un cuerpo de masa m, sobre un plano inclinado es g.sen .
15.- ¿Bajo qué condiciones un cuerpo liviano que cuelga puede arrastrar a otro cuerpo, más
pesado, que se encuentra sobre un plano horizontal, si los dos están atados por una cuerda, como
muestra la figura?.
DINÁMICA DE PARTÍCULAS
GUSTAVO SALINAS E. 55
1.- A un automóvil de 1 500 kg que va por una carretera recta, se le aplica una fuerza constante
de 3 000 N durante 10 s, en la misma dirección del movimiento luego de lo cual adquiere una
velocidad de 180 km/h. Determinar:
a) La aceleración del móvil.
b) Qué velocidad tenía el móvil antes de ser aplicada la fuerza.
c) El espacio recorrido en los 10 s.
DATOS MODELO PLANTEAMIENTO SOLUCION ANALISIS
2.- Un cuerpo de 8 kg está en reposo en el punto (4 ; -7)m en t = 0 s. Si se le aplica una fuerza
constante de (-8 i

+ 16 j

) N. Determinar:
a) La posición final del cuerpo en t = 8 s.
c) La velocidad final del cuerpo en t = 12 s.
DATOS MODELO PLANTEAMIENTO SOLUCION ANALISIS
3.- En la figura, si el cuerpo es de 10 kg y  = 0,2.
Determinar:
Qué valor debe tener la fuerza para que el cuerpo se mueva
con una aceleración de 2 m/s2
.
DATOS MODELO PLANTEAMIENTO SOLUCION ANALISIS
4.- En la figura los bloques A y B son 100 kg y 30 kg
respectivamente. Determinar:
a) La aceleración de cada bloque y la tensión, si no hay rozamiento.
b) La aceleración de cada bloque y la tensión, si el coeficiente de
rozamiento entre el cuerpo y el plano es 0,15.
DATOS MODELO PLANTEAMIENTO
SOLUCION ANALISIS
EJERCICIOS DE APLICACION
25°
F
DINÁMICA DE PARTÍCULAS
GUSTAVO SALINAS E. 56
5.- En la figura, los bloques A y B son de 5 kg y 8
kg respectivamente, si el plano inclinado y el cuerpo
tiene un coeficiente de rozamiento de 0,2.
Determinar:
a) La aceleración de cada bloque.
b) En qué sentido se mueve cada uno de los bloques.
c) La tensión de la cuerda.
d) La velocidad del bloque B a los 2 s de dejarlo en
libertad.
DATOS MODELO PLANTEAMIENTO SOLUCION ANALISIS
6.- En el sistema de la figura se tiene que mB = mC = 15 kg.
Si A = 0,1; B = 0,2 y C = 0,3. Determinar:
a) La masa de A para que el cuerpo B se mueva hacia la
derecha con aceleración de 1,3 m/s2
.
b) La masa de A para que el cuerpo B se mueva hacia la
izquierda con una aceleración de 1,3 m/s2
.
DATOS MODELO PLANTEAMIENTO SOLUCION ANALISIS
DINÁMICA DE PARTÍCULAS
GUSTAVO SALINAS E. 57
1.- ¿Qué fuerza debe aplicarse a una masa de 10 kg, para adquirir la aceleración de 8 m/s2
.
R. 80 N.
2.- El ascensor de una mina, que pesa 80 Kp, arranca hacia arriba con una aceleración de 6 m/s2
.
Calcular la Tensión del cable en el momento del arranque. R. 1 290 kp.
3.- Un cuerpo de 200 Kg adquiere una velocidad de 108 Km/h en 10 s, cuando se le comunica
una fuerza constante de 98 N. Determinar:
a) La aceleración producida.
b) Qué velocidad llevaba al empezar a acelerar.
R. a) 0,49 m/s2
; b) 25,1 m/s.
4.- A un automóvil de 1000 kg que va por una carretera recta se le acciona con una fuerza
constante de 490 N durante 8 s, llegando a tener una velocidad de 36 m/s. Determinar:
a) La velocidad que tenía el automóvil antes de empezar a acelerar.
b) Qué velocidad lleva cuando ha recorrido 150 m.
R. a) 32,08 m/s; b) 34,295 m/s.
5. Una fuerza horizontal de l568 N produce una aceleración de 2,44 m/s2
en un cuerpo de 400
kg que descansa sobre una superficie horizontal. Determinar:
a) La fuerza normal ejercida por la superficie sobre el cuerpo.
b) El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la superficie.
R. a) 3920 N; b) 0,15.
6.- Un automóvil de 1200 kg cambia su velocidad en forma constante de (-12.61 i

- 12,79 j

)
km/h a (-70 i

- 71 j

) km/h en 1 minuto. Determinar:
a) La aceleración producida.
b) La fuerza ejercida por el motor.
R. a) ( -0,266 i

- 0,269 j

)m/s2
; b) ( - 319,2 i

- 322,8 j

)N.
7.- Un cuerpo de 2 kg se encuentra en el punto (5 ; 2)m en t = 2 s con una velocidad de (-7 i

+
3 j

)m/s. Si se aplica sobre él una fuerza constan le de (-1757 i

+ 757 j

)[N] durante 6 s.
Determinar:
a) La posición final del cuerpo.
b) El desplazamiento realizado por el cuerpo.
c) La velocidad final del cuerpo.
R. a) ( - 1612 i

+ 695 j

)m ; b) ( - 1617 i

+ 693 j

)N; c) ( - 532 i

+ 228 j

)m/s.
8.- Un bloque de 15 kg se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal como indica la
figura. Cuando sobre él actúa una fuerza de 60[N] durante 3 s y si  = 0,2. Determinar:
a) La aceleración del bloque.
b) La velocidad final del bloque.
R. a) 2,04 m/s2
; b) 6,12 m/s.
9.- En la figura, si el bloque es de 16 kg y  = 0,1. Determinar:
a) El valor de F para que el bloque suba con velocidad constante.
b) El valor de F para que el bloque baje con velocidad constante.
c) El valor de F para que el bloque suba con una aceleración de 2 m/s2
.
d) El valor de F para que el bloque baje con aceleración de 2 m/s2
.
R. a) 77,35 N; b) 54,23 N; c) 105,15 N; d); 54,06 N.
10.- Dos cuerpos del mismo peso, inicialmente en reposo, se dejan en libertad sobre un plano
inclinado de 30° hallándose separados 25 cm. Si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo
superior y el plano es de 0,1 y entre el inferior y el plano es 0,25. Determinar:
a) En qué tiempo el cuerpo superior alcanza al inferior.
b) La distancia recorrida por el cuerpo inferior hasta que es alcanzado por el superior.
EJERCICIOS PROPUESTOS
F = 60 N
DINÁMICA DE PARTÍCULAS
GUSTAVO SALINAS E. 58
11.- En la figura el bloque B es de 10 kg. Si el coeficiente
de rozamiento cinético para todas las superficies es 0,3.
Determinar:
La masa del bloque A para que los dos bloques se muevan
con una aceleración de 1,5 m/s2
.
R. 19,86 kg.
12.- En el sistema de la figura a, los dos bloques A y B tienen la misma masa igual a 20 kg, y se
Considera las superficies pulidas y poleas ligeras y sin
rozamientos. Calcular:
a) Aceleración del sistema.
b) Tiempo transcurrido para que el bloque A recorra 2 m
descendiendo por el plano inclinado.
R: a = 2,45 m/s2
; t = 1,28 s.
13.- En la figura los bloques A y B son de 100 y 50 kg
respectivamente. No hay rozamiento para todas las
superficies. Determinar:
a) La aceleración de cada bloque.
b) En qué sentido se mueven los bloques.
c) La tensión de la cuerda que une los bloques.
d) La velocidad del bloque A, 4 s después de partir del reposo.
R. a) Hacia la izquierda; b) 1,30 m/s2
;c) 360 N.
14.- Las masas A y B que penden de los extremos de la cuerda de una máquina de Atwood son,
respectivamente, 1 000 y 1 010 g. Calcular:
a) La aceleración con que se mueve el sistema.
b) El espacio que recorre en 50 s partiendo del reposo.
c) La tensión de la cuerda.
R: a) 0,049 ms-2
; b) 61,25 m; c) T = 9,849 N.
15.- Una máquina de Atwood, como se muestra en la figura, lleva fijas
dos cubetas llenas de arena, con masas totales, respectivamente de 1,5
y 1,0 Kg. Se fija una piedra de 0,5 Kg a la cuerda que sostiene la
cubeta menos pesada, a una distancia de 10 cm por encima de la arena
en esa cubeta. Determinar.
a) La aceleración del sistema.
b) La tensión en las diversas cuerdas.
R. a) 0; b) 15 N en la izquierda; 9,8 N en la cuerda de la derecha, bajo el punto de fijación
de la piedra.
16.- Un bloque de 35,6 N está en reposo sobre un plano horizontal con el que roza, siendo 0,5 el
coeficiente de fricción dinámico. El bloque se une mediante una cuerda sin peso, que pasa por
una polea sin rozamiento, a otro bloque suspendido cuyo peso es también 35,6 N. Hallar:
a) La tensión de la cuerda.
b) La aceleración de cada bloque.
R. a) 2,45 m/s2
; b) 26,7 N.
17.- En el sistema de la figura, los bloques A y B se deslizan
con velocidad constante sobre la superficie horizontal por
acción de otro bloque C suspendido. El bloque B se separa del
A y se suspende junto con el C. ¿Cuál será la aceleración del
sistema? ¿Y la tensión de la cuerda?
R: a = 1,96 m/s2
; T = 3,136 N.
18.- Dos bloques de masas m1 = 5 kg y m2 = 8 kg,
respectivamente, están dispuestos como se muestra en la figura.
¿Cuál es la aceleración de los bloques si la fuerza de rozamiento
que aplica la superficie es de 30 N?. R. 9,68 m/s2
.
DINÁMICA DE PARTÍCULAS
GUSTAVO SALINAS E. 59
19.- Tres cuerpos A, B y C de 10, 20 y 30 kg respectivamente, están unidos mediante dos
cuerdas como indica la figura. Si A = 0,3 y B = 0,15,
determinar:
a) La aceleración del cuerpo B.
b) Las tensiones en las cuerdas.
R: a) 3,92 m/s2
; b) 176,4 N y 68,6 N.
20.- Una máquina de Atwood doble se ilustra en la figura.
Considerando las condiciones ideales y dejando que m3 = 4 Kg y
m1 = m2 = 3 Kg.
a) Cuál es la aceleración de m3.
b) Cuáles son las magnitudes de las tensiones de las cuerdas.
R. a) 2 m/s2
; b) 23N.
21.- Un bloque de masa 2kg reposa sobre una superficie lisa y
horizontal y está conectada por dos cuerdas carentes de masa que
están suspendidas sobre dos clavijas lisas a dos pesos con masas respectivas de 1 kg y 3 kg,
como muestra la figura.
a) Trace las fuerzas respectivas y aplique la segunda ley de Newton.
b) Demuestre que la aceleración del sistema es g/3 = 3,3 m/s2
,
en el sentido de las manecillas del reloj.
c) Calcule la tensión en cada cuerda.
R. c) 20 N en la cuerda derecha; 13 en la cuerda izquierda.
22.- Tres cuerpos A, B y C de 40, 20 y 60 kg, respectivamente,
están unidos mediante dos cuerdas como indica la figura. Si
todas las superficies son lisas. Determinar:
a) La aceleración del cuerpo C.
b) En qué sentido se mueve cada cuerpo.
c) Las tensiones en las cuerdas.
R. a) 2,934 m/s2
; b) Se dirige hacia la derecha; c) 353,27
N, 44,96 N.

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Dinámica de las partículas

  • 1. 1 UNIDAD OBJETIVOS.  Explicar el concepto de fuerza y sus diferentes clases.  Elaborar resúmenes, cuadros sinópticos, estructuras conceptuales y esquemas sobre los temas tratados en dinámica.  Establecer cuando un cuerpo se encuentra en equilibrio.  Interpretar el movimiento planetario de acuerdo con la ley gravitacional.  Describir el movimiento de cuerpos utilizando las leyes de Newton.  Establecer las fuerzas que actúan sobre una estructura en reposo o en movimiento.  Utilizar algunas estrategias para resolver problemas de dinámica.  Formular problemas a partir de situaciones de la vida diaria.  Hacer buena distribución del tiempo y obtener el máximo rendimiento en todas las actividades. TEMA 1. FUERZA. 1. Definición. 2. Fuerzas de la naturaleza. 3. Otras fuerzas. 4. Leyes de Newton. TEMA 2. PRIMERA LEY DE NEWTON. 1. Equilibrio de fuerzas (estática). 2. Reglas para resolver problemas. 3. Actividad 4. 4. Ejercicios. TEMA 3. EQUILIBRIO DEL CUERPO SOLIDO. 1. Torques o Momentos. 2. Segunda condición de equilibrio. 3. Actividad 5. 4. Ejercicios. TEMA 4. SEGUNDA LEY DE NEWTON. 1. Sistemas de ecuaciones. 2. Reglas para resolver problemas. 3. Actividad 6. 4. Ejercicios. TEMA 4. FUERZAS EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR. 1. Movimiento Horizontal. 2. Movimiento Vertical 3. Leyes de Kepler. 4. Actividad 7. 5. Ejercicios. CONTENIDO S DINAMICA
  • 2. DINÁMICA DE PARTÍCULAS GUSTAVO SALINAS E. 30 INTRODUCCION Los antiguos griegos que se preocupaban por estudiar el movimiento y sus causas pensaban que el estado natural de los cuerpos era el reposo. Para sacarlos de ese estado, es decir, para que un cuerpo se moviera, era necesario ejercer una fuerza sobre dicho cuerpo y si ésta se dejaba de aplicar, inmediatamente cesaba el movimiento del cuerpo volviendo por lo tanto a su estado natural: “el reposo”; estas ideas fueron aceptadas sin modificación alguna durante muchos siglos. Fue necesario un genio extraordinario como el Italiano Galileo Galilei para extraer las leyes de la naturaleza de los fenómenos que se habían tenido siempre frente a los ojos, pero cuya explicación había escapado siempre a la investigación de los filósofos. Galileo estaba de acuerdo con que para iniciar el movimiento de un cuerpo era necesario una fuerza, pero una vez que dicho cuerpo estuviera en movimiento éste continuaría moviéndose indefinidamente, con velocidad constante, hasta que se ejecutara una nueva acción que pusiera fin a dicho movimiento. Galileo, al contrario de lo que opinaba la gente de su época, pensaba que el estado natural de los cuerpos no era el reposo, sino el de un movimiento rectilíneo y uniforme. Toda fuerza aplicada sobre un cuerpo modifica éste estado y tan pronto como la fuerza cesa, el cuerpo continuara con movimiento rectilíneo y uniforme del cual el reposo es un caso particular, ya que un cuerpo en reposo tiene una velocidad constante de magnitud cero. 2.1. DINAMICA. Es la parte de la mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos y las causas que lo producen. El movimiento de una partícula queda determinado por la naturaleza y la disposición de los otros cuerpos que forman su medio ambiente. Por nuestra experiencia diaria sabemos que el movimiento de un cuerpo es un resultado directo de sus interacciones con los otros cuerpos que lo rodean. Las interacciones se describen convenientemente por un concepto matemático denominado fuerza. El estudio de la Dinámica es básicamente el análisis de la relación entre la fuerza y los cambios en el movimiento de un cuerpo. 2.1.1. FUERZA.- Desde el punto de vista de la Física, fuerza es todo aquello capaz de alterar la condición de reposo, movimiento o deformación de un cuerpo, la misma que tiene características vectoriales. Unidades.- A la interacción de la fuerza se mide, utilizando los llamados Dinamómetros, los mismos que vienen graduados en Newton (N), para el S.I., mientras que en el sistema inglés se expresa en Kilopondios o Kilogramo-fuerza.
  • 3. DINÁMICA DE PARTÍCULAS GUSTAVO SALINAS E. 31 )(8.91 Nkgf  En nuestro estudio veremos aquí la dinámica del punto material "partícula". Entendemos por punto material un cuerpo dotado de masa que para describir su movimiento podemos prescindir de sus dimensiones. Tal cuerpo no puede presentar rotaciones ni deformaciones, pues lo único que puede observarse en él es la posición que ocupa, y sus cambios respecto a un sistema de referencia. La Dinámica estudia a los cuerpos en movimiento de traslación y rotación, convirtiéndose en Dinámica traslacional y Dinámica rotacional. La Dinámica traslacional de una partícula comprende los temas de: Leyes de Newton, Trabajo, Potencia, Energía, Conservación y Cantidad de movimiento. La Dinámica Rotacional es la que se encarga de estudiar los cuerpos en rotación con respecto a un eje, y también los movimientos de rotación y traslación a la vez, entre los temas que comprende son: Torques, Momento angular, Momentos de Inercia, Fuerzas centrales, entre otras. 2.1.2. NATURALEZA DE LAS FUERZAS. La fuerza mide el grado de interacción entre dos cuerpos. La interacción puede ser de diversas formas: A distancia, por contacto, nuclear, etc. Todas estas interacciones naturales originan únicamente cuatro tipos de fuerzas: Gravitacionales, Electromagnéticas, Nucleares Fuertes y Nucleares Débiles. 2.1.2.1. Fuerza Gravitacional.- Es la atracción que ejercen entre sí dos cuerpos, a causa de sus masas. Generalmente la masa de un cuerpo es la cantidad de sustancia que tiene, la misma que es constante y no presenta variación alguna de un lugar a otro. 2 r mM GF  2.1.2.2. Fuerza Electromagnética.- Es la fuerza producida por un cuerpo cargado eléctricamente, ya sea que esté en reposo o en movimiento. Si está en reposo sólo se genera una fuerza eléctrica; si el cuerpo cargado se mueve, además de la fuerza eléctrica, se genera una fuerza magnética. 2 r qQ kF  2.1.2.3. Fuerza Nuclear Fuerte.- Es la responsable de mantener unidos los protones y neutrones en el núcleo atómico. Esta fuerza no obedece a ninguna ley conocida, sino que decrece rápidamente, hasta prácticamente anularse cuando la distancia entre los cuerpos es mayor a 10-15 m. 2.1.2.4. Fuerza Nuclear Débil.- Es de naturaleza y característica diferente a la anterior, a pesar de que también se origina a nivel nuclear. Esta fuerza tampoco cumple una ley establecida y se encuentra en el fenómeno físico de la radiación. Estas cuatro fuerzas fundamentales son de muy distinta intensidad, siendo la más intensa, para pequeñas distancias, la correspondiente a la fuerza nuclear fuerte y la más débil la fuerza Dinamómetro
  • 4. DINÁMICA DE PARTÍCULAS GUSTAVO SALINAS E. 32 gravitatoria. Así, si entre dos partículas la fuerza correspondiente a nuclear fuerte es 1, la electromagnética entre las mismas partículas es del orden de 10-2 , la nuclear débil de orden 5 10 y la gravitatoria de 39 10 2.1..3. OTRAS FUERZAS EN LA DINAMICA. La mayor parte de las fuerzas que se observan entre los cuerpos del macroscópico son: Peso, Normal, Fuerzas de rozamiento, Fuerzas elásticas y Tensión. 2.1.3.1. Peso.- Es la fuerza con que la Tierra atrae a todos los cuerpos. Está dirigida hacia el centro de la Tierra. El peso es un vector, cuya dirección y sentido será hacia el centro del Planeta, debido a la aceleración de la gravedad. La ecuación del peso es: gmW . . Masa.- La masa m de un cuerpo es la cantidad de materia que lo forma, la cual es constante y no presenta variación alguna de un lugar a otro, a la misma se le considera como una cantidad escalar. Esta se mide en Kilogramos (kg.) para el S.I. Aceleración de la gravedad (g).- La aceleración de la gravedad, tiene un valor promedio igual 9,80 m/s2 , no es la misma en todos los puntos de la Tierra, existe pequeñas variaciones de un lugar a otro, por la cual el peso de un cuerpo varía de acuerdo con el lugar. 2.1.3.2. Normal.- La normal N es una fuerza que se genera cuando dos cuerpos están en contacto, tiene una dirección perpendicular a las superficies en contacto, como se observa en las figuras. 2.1.3.3. Fuerza de Rozamiento.- La fuerza de rozamiento ( fr ) se genera cuando dos cuerpos están en contacto y el uno tiende a moverse o se mueve con relación al otro, se dice que ésta fuerza es paralela o tangente a las superficies en contacto y su sentido sobre cada cuerpo es el opuesto al movimiento relativo. La fuerza de rozamiento se origina básicamente debido a las rugosidades de ambas superficies en contacto. El estudio del rozamiento no está sujeto a leyes físicas fundamentales; las leyes obtenidas son leyes empíricas, resultado de una serie de observaciones sencillas. Estas prueban, entre otras, las siguientes conclusiones: 1. La fuerza de rozamiento es paralela a las superficies deslizantes. 2. Es proporcional a la fuerza normal que aprieta una superficie sobre la otra. 3. La fuerza de rozamiento es prácticamente independiente del área de contacto entre ambas superficies. 4. Es aproximadamente independiente de la velocidad de deslizamiento, siempre que el calor producido por el roce no altere la condición de las superficies. 5. Las fuerzas de rozamiento siempre se oponen al movimiento. N N N frs = 0 frs F Ffrs F = 0 frs > µs.N frs = F NO HAY MOVIMIENTO
  • 5. DINÁMICA DE PARTÍCULAS GUSTAVO SALINAS E. 33 F x x F F Fe Fe La fuerza de rozamiento se denomina estática o cinética, según si los cuerpos entre sí, tiendan a moverse o se muevan. La relación de la fuerza de rozamiento y la normal, dan lugar a una constante de proporcionalidad adimensional, que sólo depende de la naturaleza de las superficies en contacto, llamada coeficiente de fricción o rozamiento (). En general, para dos cuerpos determinados, hay dos clases de coeficientes de fricción; estático s y cinético k. El coeficiente estático de rozamiento es un número que al ser multiplicado por la fuerza normal N, da el valor de la fuerza mínima (frmin) que hay que aplicar para poner en movimiento relativo a los dos cuerpos en contacto e inicialmente en reposo. Nfr s . ; N fr s  El coeficiente cinético de rozamiento es el número que al ser multiplicado por la normal N, da el valor de la fuerza necesaria para mantener a los dos cuerpos en movimiento relativo uniforme. Para todos los materiales conocidos se ha encontrado que s  k. El coeficiente k, que es el que normalmente se usa, a veces se representa simplemente por . Nfr k . ; N fr k  2.1.3.4. Fuerzas Elásticas.- Cuando estiramos un resorte mediante una fuerza externa, llamada deformadora (F), el resorte a su vez genera otra fuerza interna de la misma magnitud que F pero en dirección contraria, llamada recuperadora o fuerza elástica (Fe). Esta fuerza se opone a la acción de las fuerzas externas sobre el resorte, su valor es directamente proporcional al desplazamiento o más claramente al estiramiento o compresión del resorte, como se observa en la figura. Entonces la fuerza recuperadora es: xkFe  . La fuerza elástica tiene el signo menos (-), por que indica que siempre se dirige al punto de equilibrio. La constante k significa el grado de compresibilidad o estiramiento del resorte, y sus unidades para el S.I. son Newton por metro (Nm-1 ). El desplazamiento del resorte (x), es la distancia comprendida entre la posición final y el punto de equilibrio. F a N N N frmám = F MOV.INMINENTE v = cte Ffrmáx Frk F Frk MOV.UNIFORME MOV. ACELERADO frmám = µk.N Frk = µk.N Frk < F Frk = F Frk = µk.N
  • 6. DINÁMICA DE PARTÍCULAS GUSTAVO SALINAS E. 34 oxxx  El alargamiento se mide en unidades de longitud, que es el metro (m). 2.1.3.5. Tensión.- La tensión (T), es la que se presenta en una cuerda, la misma que es un elemento flexible e inextensible que sirve para transmitir la acción de una fuerza aplicada. En condiciones ideales la fuerza transmitida es la misma en cualquier sección de la cuerda, o sea que, la fuerza no se pierde. 2.2. LEYES DE NEWTON La iniciación del conocimiento de la Dinámica se debe a Galileo (1564-1642), quién observó con toda atención la caída libre de los cuerpos, el movimiento en un plano inclinado y el movimiento del péndulo. Gracias a los múltiples aportes de Galileo para la ciencia, Newton pudo formular con precisión las "LEYES DEL MOVIMIENTO", y así fundamentar sólidamente la dinámica, que en Relatividad dice: "el movimiento de los cuerpos en todos los laboratorios que se desplazan unos respecto a los otros de manera rectilínea uniforme, transcurre de acuerdo a unas mismas leyes" Estos principios constituyen los pilares de la Mecánica, y fueron enunciados en la famosa obra de Newton titulada "Principios Matemáticos de la Filosofía Natural", publicada en 1686. Se conocen también como Primera, Segunda y Tercera Leyes de Newton, de acuerdo con el orden en que aparecieron en la obra citada. Isaac Newton Newton nació el día de Navidad de 1642, el mismo año que murió Galilea, en Woolsthorpe, Inglaterra. De pequeño Newton fue un estudiante poco aventajado, hasta el día (cuenta la leyenda) en que se cansó de que le ganara el primero de la clase; entonces se aplicó hasta que consiguió deshancarle. A los dieciocho años empezó a llamar la atención su interés por las matemáticas. Mal granjero va a ser, dijo su tio, y convenció a la madre para que le enviara a la Universidad de Cambridge. Nueve años más tarde era profesor de matemáticas allí. 2.2.1. PRIMERA LEY DE NEWTON O "LEY DE LA INERCIA". A esta ley también se lo conoce como Ley de la Inercia o Ley de la Estática, cuyo enunciado dice: "Todo cuerpo continúa en su estado de reposo o de MRU, a menos que se le obligue a cambiar ese estado por medio de fuerzas que actúan sobre él". Se denomina Ley de la Inercia porque el cuerpo por sí mismo permanece en reposo en MRU y si experimenta un cambio en su velocidad (aceleración), en contra de su tendencia a permanecer en reposo o en MRU, es porque sobre él actúa una fuerza neta exterior que le obliga a cambiar de estado. T F
  • 7. DINÁMICA DE PARTÍCULAS GUSTAVO SALINAS E. 35 FB/A = - FA/B La oposición que presenta todo cuerpo a un cambio en su estado de reposo o movimiento, se llama inercia, que es cuantificada por la masa del cuerpo. Cuanto mayor es la masa mayor es la Inercia. También esta primera ley se lo denomina: Ley del Equilibrio Traslacional o de la Estática, porque a estos estados corresponde la condición de que la aceleración es nula. 2.2.2. SEGUNDA LEY DE NEWTON O "LEY DE LA FUERZA" Esta ley conocida también como Ley de la Dinámica o Ley de la Fuerza: "La aceleración de un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él, e inversamente proporcional al valor de su masa". Los resultados experimentales indican que la aceleración ( a) tiene la misma dirección y el mismo sentido que la fuerza resultante aplicada ( F ). Fuerza y aceleración son dos vectores que difieren únicamente de una constante de proporcionalidad, un escalar positivo llamado "masa (m)". La expresión matemática de la segunda ley de Newton es: amF . La fuerza resultante es igual a ala suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo: .......321  FFFF amF . z y x amFz amFy amFx amkFzjFyiFx . . . .      Si resolvemos los vectores F y a en sus componentes rectangulares se obtienen las ecuaciones equivalentes: xx amF . yy amF . zz amF . 2.2.3. TERCERA LEY DE NEWTON O "LEY DE ACCION Y REACCION" "Cuando dos cuerpos interactúan, la fuerza que el primero ejerce sobre el segundo (acción), es igual a la que éste ejerce sobre el primero (reacción), en módulo y dirección, pero en sentido opuesto".
  • 8. DINÁMICA DE PARTÍCULAS GUSTAVO SALINAS E. 36 Es conveniente aclarar que las fuerzas de acción y reacción están aplicadas en cuerpos diferentes, es decir que en el uno actúa la acción y en el otro la reacción, esto significa que los efectos sobre cada cuerpo serán diferentes, ya que dependerán de que otras fuerzas actúen sobre cada uno, o del valor de las masas. Es común llamar acción y reacción a las dos fuerzas relacionadas con la interacción entre dos cuerpos, pero esto no significa que una sea precisamente la "causa" y la otra el "efecto", es decir, cualquiera de las dos puede considerarse como reacción correspondiente a la acción de la otra. Para explicar ésta ley, analizaremos los cuerpos A y B de la figura, que interactúan, la fuerza que el cuerpo A ejerce sobre el cuerpo B  BAF / es igual y opuesta a la que el cuerpo B ejerce sobre el cuerpo A  ABF / . De las tres Leyes de Newton concluimos que: La primera Ley proporciona una definición cualitativa de la fuerza, la Segunda Ley establece una relación cuantitativa entre una fuerza desequilibrante y la aceleración que produce, y la Tercera Ley presenta la Fuerza como una forma de interacción entre dos cuerpos. 2.3. APLICACIÓN DE LA PRIMERA LEY DE NEWTON. 2.3.1. Equilibrio de una Partícula o Estática. Según la primera Ley de Newton, una partícula esta en equilibrio (reposo o MRU), cuando la fuerza neta que actúa sobre ella es nula, condición única para que una partícula esté en equilibrio: 0 F Pero como la fuerza puede tener componentes en los diferentes ejes, entonces se tiene: 0 0 0 0     Fz Fy Fx kFzjFyiFx  De la figura, se puede concluir que las componentes de la fuerza con respecto a sus ejes, se pueden determinar utilizando los ángulos directores, y se tiene: xFFx cos ; yFFy cos ; zFFz cos Reglas para resolver problemas de dinámica. Para resolver problemas de Dinámica, es conveniente seguir ordenadamente ciertos pasos que faciliten los análisis y resolución de problemas de equilibrio. 1.- Realizar el gráfico lo más grande posible. 1y 2
  • 9. DINÁMICA DE PARTÍCULAS GUSTAVO SALINAS E. 37 Experimento: 2.- Aislar él o los cuerpos de interés, es importante cuando hay varios cuerpos, los pasos que a continuación se describen deben repetirse por cada cuerpo que interviene en el sistema en estudio. 3.- Dibujar o trazar todas las fuerzas externas aplicadas al cuerpo en estudio: Estas fuerzas son generalmente el peso y las producidas por: las cuerdas, las varillas, el suelo, la pared y los pivotes o articulaciones. 4.- Elegir un sistema de referencia adecuado con la probable dirección del movimiento, en el cual se pueden descomponer las fuerzas y aplicar las leyes de Newton. 5.- Descomponer las fuerzas con respecto a cada uno de sus ejes, aquellas que no se encuentren en la dirección del eje x – y. 6.- Resolver el sistema de ecuaciones, asegurándose de que exista igual número de ecuaciones que de incógnitas. Diagrama del cuerpo libre para el cuerpo 1. y 0 F N 0 xF mgsen T x 0 mgsenT ( 1 ) 0 yF mgcos 0cos  mgN ( 2 ) Diagrama del cuerpo libre para el cuerpo 2. y 0 xF ;No hay T 0 yF 0 Tmg ( 3 ) x mg   Comprobar la primera ley de Newton.  Equilibrio de fuerzas concurrentes. 3 4 5
  • 10. DINÁMICA DE PARTÍCULAS GUSTAVO SALINAS E. 38 ACTIVIDAD N°- 04 CONTESTE: 1.- ¿Cómo se define a la fuerza y en que? y ¿cómo se puede medir una fuerza?. 2.- ¿Cuáles son las fuerzas de la naturaleza? y ¿cuáles no obedecen a ley alguna?. 3.- Enumere varias fuerzas que conozca, explicando su origen y su forma de actuar. 4.- Describa cómo y por qué se inicia el movimiento de los cuerpos. 5.- Enuncie las tres leyes de Newton. 6.- Explique qué efecto tiene la aplicación de una fuerza neta a un cuerpo que se encuentra en movimiento uniforme o en reposo. 7.- ¿Qué relación tiene la fuerza neta aplicada con la aceleración que se produce?. Explique. 8.- Indique a qué se llama acción y reacción y de algunos ejemplos. COMPLETE: 9.- Newton es la unidad de ...............................y es equivalente a ............................................... 10.- La ley que rige la atracción y repulsión de las cargas eléctricas se debe a la .................................................................. 11.- Si manteniendo constante la fuerza neta que se aplica a un cuerpo, disminuye su masa a la tercera parte, la aceleración que recibe se ....................................................... 12.- Para que un avión se mueva hacia el norte, las hélices ejercen sobre el aire una fuerza hacia el ............................................ 13.- El diagrama del cuerpo libre de una partícula, consiste en, ................................................... el cuerpo de interés y graficar sobre éste todas .................................................................... externas actuantes sobre él. ANALICE: 14.- ¿Cuáles son las fuerzas que actúan sobre su cuerpo cuando se encuentra de pie sobre una mesa?. 15.- El anillo A está en equilibrio bajo la acción de las fuerzas que ejercen sobre él, dibuje las fuerzas que actúan sobre el anillo. ¿Por qué la fuerza neta sobre el anillo es igual a cero?. 16.- Escoja 10 términos de la Dinámica y construya un laberinto de letras (sopa de letras).  Nunca trate de elaborar las actividades solicitadas sin antes haber estudiado los temas indicados, pues existen algunas preguntas que no podrá realizarlas sin un adecuado conocimiento.  En los ejercicios prácticos y de investigación que se solicitan, sea lo más ordenado y detallista posible, ya que estas características permitirán establecer el nivel de conocimientos adquiridos por usted.
  • 11. DINÁMICA DE PARTÍCULAS GUSTAVO SALINAS E. 39 1.- Dada la siguiente figura. Determine la Tensión de las cuerdas, teniendo en cuenta que el peso del objeto es de 100 [N]. DATOS SOLUCION W = .......... a) T1 = ?? … = ?? 2.- Dada la siguiente figura. Determine la Tensión de las cuerdas, teniendo en cuenta que el peso del objeto es de 100 [N]. DATOS SOLUCION W = .......... a) T1 = ?? … = ?? 3.- Sobre un plano horizontal de coeficiente de rozamiento 0,2 un cuerpo de peso de 50 kg-f es arrastrado por una fuerza horizontal F a velocidad constante. Calcular el valor de F. DATOS SOLUCION  = 0,2 .... = 50 kg-f. a).... = ?? 4.- En la figura, los cuerpos A y B pesan cada uno 50 kg-f y se mueven a velocidad constante. El coeficiente de rozamiento es 0,2 para los dos cuerpos. Calcular el peso del cuerpo C. DATOS SOLUCION WA = .......... ..... = 50 kg-f. ... = ...... a) WC = ?? EJERCICIOS DE APLICACION
  • 12. DINÁMICA DE PARTÍCULAS GUSTAVO SALINAS E. 40 5.- Se aplica una fuerza P a una pequeña rueda que gira sobre el cable ACB. Sabiendo que la tensión en ambas partes del cable es de 750 N. Determinar la magnitud y dirección de P. DATOS MODELO PLANTEAMIENTO SOLUCION ANALISIS 6.- Un recipiente está sostenido por un solo cable que pasa a través de un aro A sin fricción y que está amarrado a los puntos fijos B y C. Para mantener el recipiente en la posición mostrada se aplican al aro dos fuerzas P = Pi  y Q = Q k  . Sabiendo que el peso del recipiente es W = 376 j  N. Determínese las magnitudes de P y Q. DATOS MODELO PLANTEAMIENTO SOLUCION ANALISIS
  • 13. DINÁMICA DE PARTÍCULAS GUSTAVO SALINAS E. 41 1.- Un resorte se alarga 5 cm bajo la acción de una fuerza de 4 kg-f. ¿Cuál es la constante del resorte? Si ahora la fuerza es 7 kg-f, ¿cuál es el nuevo alargamiento? R. 0,8 kg-f/cm; 8,75 cm. 2.- Un objeto de peso 10 kg-f se encuentra sobre un plano horizontal. Un niño empuja horizontalmente el objeto y cuando hace una fuerza de 3 kg-f, el objeto empieza a moverse. ¿Cuál es el coeficiente estático de rozamiento? R. 0,3 3.- En el problema anterior, para mantener el objeto con velocidad constante, el niño tiene que hacer una fuerza de 2 kg-f. ¿Cuál es el coeficiente dinámico de rozamiento? R. 0,2. 4.- Un cuerpo de peso 20 kg-f flota sobre un líquido. ¿Qué fuerza produce el líquido sobre el cuerpo? ¿Cómo se explica esta fuerza? 5.- Mostrar que si un bloque se mueve con velocidad constante sobre un plano inclinado, es que el coeficiente dinámico de rozamiento es igual a tan 6 siendo 6 el ángulo que forma el plano con la horizontal. 6.- Un cuerpo de peso w suspendido de un hilo forma un ángulo 9 con la vertical cuando está sometido a una fuerza horizontal F. ¿Cuál es el valor de F? R. F = wtan. 7.- Para mover un auto, un conductor ató un cable al auto y a un árbol y ejerció una fuerza F = 100 kg-f en la mitad del cable como muestra la figura 1. ¿Cuál será la fuerza de tracción sobre el auto?. R. 500 kg-f. 8.- Dos cables se amarran en C y se cargan como muestra la figura 2. Sabiendo que P = 400 N y α = 75°. Determinar las tensiones AC y en BC. R. 326 N; 369 N. 9.- En la figura 3. Calcúlese el peso del cuerpo suspendido si la tensión de la cuerda diagonal es de 20 [N]. R. 14.1 [N]. 10.- El bloque A de la figura 5, pesa 100 N. El coeficiente estático de rozamiento entre el bloque y la superficie sobre la que reposa es 0,30. El peso W es 20 N y el sistema está en equilibrio. a) Hallar la fuerza de rozamiento ejercida sobre el bloque A. b) Hallar el peso máximo W para el cual el sistema permanecerá en equilibrio. R. a) 20 N; b) 30 N. 11.- Dos bloques, A y B, están dispuestos como indica la figura 4 y unidos por cuerdas al bloque C. Tanto A como B pesan 20 N y el coeficiente cinético de rozamiento entre cada bloque y la superficie es 0,5. El boque C desciende a velocidad constante. a) Dibújense dos diagramas de fuerzas distintos que indican las fuerzas que actúan sobre A y B. b) Calcúlese la Tensión de la cuerda que une los bloques A y B. c) ¿Cuál es el peso del boque C?. R. b) 10 N; c) 30 N. EJERCICIOS PROPUESTOS 1 3 4 5 2
  • 14. DINÁMICA DE PARTÍCULAS GUSTAVO SALINAS E. 42 12.- El collarín A puede resbalar libremente sobre la barra horizontal sin fricción. El resorte unido al collarín tiene una constante de 10 lb/in, y no se deforma cunado el collarín pasa directamente bajo del soporte B. Determinar la magnitud de la fuerza P necesaria para mantener el equilibrio cuando: a) c = 9 in. b) c = 16 in. R. a) 18 lb; b) 64 lb. 13.- Un estudiante quiere determinar el coeficiente Único de rozamiento entre un cuerpo y un plano inclinado trasparente a mediodía, cuando la luz del sol incide verticalmente sobre el suelo. Después de tirios ensayos, nota que el cuerpo se desliza con velocidad constante cuando el cuerpo baja 3 m, mientras su sombra recorre una distancia de 4 m en el meló horizontal. ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento dinámico'' R. 0,75 14.- Un cuerpo de peso w es halado sobre una superficie horizontal de coeficiente de rozamiento  por una fuerza F que forma con la horizontal un ángulo  por arriba de la horizontal. ¿Cuál es el valor de F para que el cuerpo se mueva a velocidad constante? ¿Cual es el valor de la normal? R.   sen W cos ;   sencos cos . 15.- Un cuerpo de peso w es empujado sobre una superficie horizontal de coeficiente de rozamiento  por una fuerza F que forma un ángulo  por debajo de la horizontal. ¿Cuál es el valor de F para que el cuerpo se mueva con velocidad constante? ¿Cuál es e1 valor de la normal? R.   sen W cos ;   sencos cos . 16.- El cable AB tiene 65 ft de longitud y su tensión es de 3 900 lb. Determinar: a) Las componentes x, y y z de la fuerza ejercida por el cabe sobre el anclaje C. b) Los ángulos directores θx, θy, θz que definen la dirección de la fuerza ejercida en C. R. a) -1 861 lb, 3 360 lb, 677 lb.; b) 118,5°; 30,5°; 80,0°. 17.- Un recipiente de peso W = 1 165 N está sostenido por tres cables como se muestra en la figura. Determinar la tensión en cada cable. R. TAB = 500 N; TAC = 459 N; TAD = 516 N. 18.- Una placa circular de 12 lib de peso y 7 in de radio está sostenida en la forma indicada, por tres alambres cada uno de 25 in de longitud. Determinar la tensión en cada alambre sabiendo que α = 30°. R. TAB = TAC = 3,35 lb; TAD = 5,80 lb.
  • 15. DINÁMICA DE PARTÍCULAS GUSTAVO SALINAS E. 43 19.- Un recipiente de peso W = 400 N se sostiene por dos cables AB y AC amarrados a un aro A. Sabiendo que Q = 0. Determinar: a) La magnitud de la fuerza P que debe aplicarse al aro para mantener al recipiente en la posición indicada. b) Los valores correspondientes de la tensión en los cables AB y AC. R. a) 138 N; b) TAB = 270 N; TAC = 196 N. 20.- Un cilindro de peso W = 650 N está sostenido por dos cables AC y BC unidos a la parte superior de dos postes verticales. Una fuerza horizontal P perpendicular al plano que contiene a los postes, sostiene al cilindro en la posición mostrada. Determinar: a) La magnitud de P. b) La tensión en cada cable. c) Los ángulos directores para la fuerza ejercida en B por el cable BC. R. c) 141,5°; 124,4°; 74,9°.
  • 16. DINÁMICA DE PARTÍCULAS GUSTAVO SALINAS E. 44 2.3.2. Equilibrio de un Cuerpo Sólido: En la Primera ley de Newton, se estudió el equilibrio, considerando que los cuerpos pueden representarse como puntos. Sin embargo, se mencionó para que un cuerpo extenso esté en equilibrio tampoco debe tener tendencia a girar. Para poder despejar estas preguntas, ahora introduciremos un nuevo concepto de momento o torque de una fuerza. Las fuerzas aplicadas al cuerpo rígido, los efectos con respecto al movimiento son de traslación o rotación. 2.3.3. Torque o Momento de una Fuerza. El torque o momento de una fuerza, mide la tendencia de un sólido o de un sistema a rotar alrededor de un punto fijo (O) o eje, bajo la acción de una fuerza F. El torque o momento de una fuerza es una magnitud vectorial, perpendicular al plano formado por los vectores F y r, y se define por: De acuerdo a la figura, la ecuación del vector momento de fuerza es: rFo  Como el momento de una fuerza es el producto de la fuerza por el brazo, los mismos que deben ser perpendiculares entre sí, entonces, el momento de fuerza de la figura será igual al producto de la componente en eje y por el brazo, esto en forma escalar: rFyo . ; rFo .sen  El módulo del torque con respecto a un punto O es igual al producto del módulo de la fuerza (F) por la distancia perpendicular (d), desde el punto O hasta la línea de acción de la fuerza. A esta distancia se la denomina brazo de momento o brazo de palanca. Determinando el valor de d en el triángulo rectángulo OPA, se tiene: r d sen ; sen.rd  dF.0   sen.rFo  rFo .sen  De esto se puede concluir que el torque de una fuerza depende del punto con respecto al cual se calcule, puesto que si el punto varía, varía también el brazo de palanca. Una fuerza no genera torque en los puntos contenidos en la línea de acción de la fuerza, porque d es igual a cero.
  • 17. DINÁMICA DE PARTÍCULAS GUSTAVO SALINAS E. 45 Por convención, diremos que el momento de fuerza es positivo, si el efecto de la fuerza es producir una rotación alrededor de O en sentido antihorario, y negativo cuando la rotación se produce en sentido horario. El torque o momento de fuerza tiene por unidades, la distancia multiplicada por la de una fuerza. Para el S.I, el torque es Newton x metro (N.m) Para el C.G.S, el torque es Dina x centímetro (Dina.cm). La dimensión del torque es:    22   TML 2.3.3. Condiciones de Equilibrio del Sólido Rígido. Un sólido rígido está en equilibrio cuando no tiene movimiento de traslación ni de rotación. Para esto son necesarias las siguientes condiciones: 1.- La fuerza neta aplicada al cuerpo debe ser nula:  F = 0 vectorialmente  Fx = 0  Fy = 0 en función de las componentes escalares.  Fz = 0 2.- El torque neto evaluado en cualquier punto del cuerpo o sistema, debe ser nulo.  o = 0 vectorialmente. Es decir, la suma algebraica de los momentos respecto a un punto, es igual a cero y se conoce como la segunda condición de equilibrio. 2.3.4. Reacciones en los apoyos. Los apoyos más comunes en los cuales se sustentan los sólidos son: de contacto, de rodillo, de pasador y de empotramiento.  CONTACTO.- En el contacto se generan dos tracciones, la normal y la fuerza de rozamiento (estática), como se observa en la figura (a).  RODILLO.- El rodillo sólo transmite una sola fuerza en dirección perpendicular a las superficies de contacto, como se observa en la figura (b).
  • 18. DINÁMICA DE PARTÍCULAS GUSTAVO SALINAS E. 46 Experimento:  PASADOR.- En este apoyo se genera únicamente una fuerza en el mismo plano de las fuerzas aplicadas. Esta reacción se descompone en las direcciones horizontal y vertical (Rx y Ry), como se observa en la figura ( c ).  EMPOTRAMIENTO.- Este apoyo, a más de una fuerza de reacción en el mismo plano de las fuerzas aplicadas, impide la rotación de un cuerpo, como se observa en la figura ( d ). Reglas para resolver problemas de equilibrio de sólidos rígidos. Al igual que en la resolución de problemas de Dinámica, es conveniente seguir ordenadamente ciertos pasos que faciliten los análisis y resolución de problemas de equilibrio de sólidos rígidos. 1.- Aislar el o los cuerpos de interés. 2.- Dibujar o trazar todas las fuerzas externas aplicadas al cuerpo rígido en estudio: Estas fuerzas son generalmente el peso y las producidas por: las cuerdas, las varillas, el suelo, la pared y los pivotes o articulaciones. Cuando se tiene duda del sentido de una fuerza se escogerá éste, arbitrariamente. Si en la solución resulta, para esta fuerza un valor negativo, esto quiere decir que la fuerza realmente tiene el sentido contrario. 3.- Elegir un sistema de referencia adecuado en el cual se pueden descomponer las fuerzas y aplicar la primera condición de equilibrio. 4.- Escoger un punto con respecto al cual se calculan los momentos de fuerza (fuerzas coplanares). En general se elige el punto que haga desaparecer el mayor número posible de fuerzas incógnitas en la segunda ecuación de equilibrio (este punto será sobre el cual el sistema puede girar). 5.- Resolver el sistema de ecuaciones, asegurándose de que exista igual número de ecuaciones que de incógnitas.   Aplicación de la segunda condición de equilibrio.  Equilibrio de fuerzas paralelas.
  • 19. DINÁMICA DE PARTÍCULAS GUSTAVO SALINAS E. 47 ACTIVIDAD N°- 05 CONTESTE: 1.- ¿Qué es un cuerpo rígido?. 2.- ¿Cómo es el movimiento de traslación?. 3.- ¿Cómo es el movimiento de rotación?. 4.- Escriba tres ejemplos de cuerpos con movimiento de traslación, tres ejemplos de cuerpos con movimientos de rotación y tres ejemplos de cuerpos con ambos tipos de movimiento. 5.- ¿Cuál es la ecuación del torque de una fuerza?, ¿qué signo tiene?. Indique sus unidades y ecuación dimensional. 6.- ¿Qué dirección y sentido tiene el vector que representa el torque de una fuerza?. COMPLETE: 7.- Si el torque de una fuerza tiende hacer girar a un cuerpo en el mismo sentido que giran las manecillas del reloj, su signo es ............................................... 8.- El brazo de palanca y la línea de acción de la fuerza siempre deben ser ................................... 9.- Si una fuerza se aplica en la dirección del eje de rotación, el torque o momento de fuerza es ....................................................... 10.- El torque se puede representar por un vector perpendicular al ............................................... 11.- Las condiciones para que un cuerpo se encuentre en equilibrio son que........................................ y que ..................................................................... ANALICE: 12.- En cada una de las siguientes herramientas es necesario aplicar momentos de fuerza para operarlos. Describa los momentos de fuerza que se aplican en un cortaúñas, una carretilla, unas tijeras de podar el césped y unas pinzas. 13.- ¿Por qué una mujer en las últimas etapas del embarazo debe inclinarse hacia atrás para caminar?. 14.- ¿Qué fuerza F’ debe aplicar en el punto A para que la barra permanezca en equilibrio estático?. 15.- ¿En qué sentido aplica fuerza el pivote sobre la barra?. Además tace las fuerzas que hay en la figura.  Nunca trate de elaborar las actividades solicitadas sin antes haber estudiado los temas indicados, pues existen algunas preguntas que no podrá realizarlas sin un adecuado conocimiento.  En los ejercicios prácticos y de investigación que se solicitan, sea lo más ordenado y detallista posible, ya que estas características permitirán establecer el nivel de conocimientos adquiridos por usted.
  • 20. DINÁMICA DE PARTÍCULAS GUSTAVO SALINAS E. 48 16.- ¿En qué posición y en qué sentido se debe aplicar una fuerza para que la barra permanezca en equilibrio estático?. 1.- Calcular el momento de fuerza de la fuerza de la figura respecto al punto O, por tres métodos diferentes: a) Por la definición de momento de fuerza. b) Por descomposición de la fuerza. c) Calculando el brazo de la fuerza. DATOS MODELO PLANTEAMIENTO SOLUCION ANALISIS 2.- Calcular las fuerzas en la dirección x, la suma de las fuerzas en la dirección de y, y la suma de los momentos de fuerza respecto a O de las fuerzas de la figura. DATOS MODELO PLANTEAMIENTO SOLUCION ANALISIS 3.- La viga homogénea de la figura, pesa 50 kg-f y está articulada en A. Calcular la tensión del cable y la fuerza que hace el pivote A. DATOS MODELO PLANTEAMIENTO SOLUCION ANALISIS 100 kg-f 3 m 4 m 5 m EJERCICIOS DE APLICACION 37° 5 m 10 N O 8 kg-f
  • 21. DINÁMICA DE PARTÍCULAS GUSTAVO SALINAS E. 49 4.- Una viga sin peso de 3 m de largo está soportada por dos cables como muestra la figura. En dónde puede situarse, sobre la viga, a partir de 0, una persona de 50 kg-f para que la viga esté horizontal?. DATOS MODELO PLANTEAMIENTO SOLUCION ANALISIS 5.- Una escalera de 10 m de longitud y 400 N de peso, que se considera concentrado en su centro, está apoyada en una pared vertical sin rozamiento y forma un ángulo de 53,1º con la horizontal como indica en la fig. Se desean hallar las magnitudes y las direcciones de las fuerzas F1 y F2. DATOS MODELO PLANTEAMIENTO F1 10m SOLUCION F2 ANALISIS 1.- Calcular el momento de fuerza de cada fuerza de la figura , con respecto a 0. R: 40 kg-f m; - 15 kg-f m; 0. y 10 Kg-f. 7Kg-f. 5 Kg-f. 3 m O 4 m x EJERCICIOS PROPUESTOS
  • 22. DINÁMICA DE PARTÍCULAS GUSTAVO SALINAS E. 50 x BA 2.- El sistema de la figura está en equilibrio. Cuál es el valor de F y a qué distancia de 0 se encuentra?. R: 30 kg-f; 2 m. F 3 m 10 Kg-f 20 Kg-f. 3.- Un tablón uniforme de 15 m de longitud y 400 N de peso está situado simétricamente sobre dos soportes separados 8 m, según muestra la siguiente figura. Un muchacho que pesa 640 N comienza a caminar desde el punto A hacia la derecha. a) Constrúyanse en el mismo diagrama dos gráficas que representen las fuerzas hacia arriba FA y FB ejercidas sobre el tablón en los puntos A y B, como funciones de la coordenada x del muchacho. Tómese 1 pulgada = 250 N verticalmente y 1 pulgada = 2,5 m horizontalmente. b) Hállese, a partir del diagrama, qué distancia pasado el punto B podrá caminar el muchacho antes de que vuelque la tabla. c) A qué distancia del extremo derecho de la tabla debería situarse el soporte B para que el muchacho pueda caminar justo hasta el extremo de la misma sin que vuelque?. R: b) 2,5 m c) 2,89 m. 4.- Una viga homogénea de 100 kg-f está soportada por dos cables como muestra la figura. Una persona de 80 kg-f se encuentra a la cuarta parte de longitud a partir de 0. Cuáles son las tensiones de los cables? R: 70 kg-f; 110 kg-f. O 5.- Una viga homogénea de 30 kg-f se encuentra vertical bajo la acción de una fuerza de 40 kg-f en uno de sus extremos y de una fuerza F horizontal en su centro como muestra la figura. (a) Cuál es el valor de R ? (b) Cuál es el valor de la fuerza R que ejerce el perno A sobre la viga?. R: 80 kg-f ; 50 kg-f. 40 Kg-f. F 30 Kg-f R 6.-Hállense la tensión del cable BD de la siguiente figura y las componentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida sobre el puntal en el pivote A, utilizando. a) La primera y segunda condiciones de equilibrio (F =0, F =0,  =0), tomando momentos con respecto a un eje que pase por A perpendicular al plano del diagrama; b) La segunda condición de equilibrio solamente, tomando momentos en primer lugar respecto a un eje que pase por A, luego respecto a un eje que pase por B y, por último, respecto a un eje que pase por D. Puede despreciarse el peso del puntal. c) Represéntense las fuerzas calculadas mediante vectores en un diagrama a escala, y demuéstrese que las líneas de acción de las fuerzas ejercidas sobre el puntal en los puntos A, B y C se cortan en un punto. R: 125 N, 100 N hacia la derecha, 25 N hacia arriba.
  • 23. DINÁMICA DE PARTÍCULAS GUSTAVO SALINAS E. 51 D 3 m A C B 3 m 1 m 100 N 7.- La viga del problema anterior (figura del ejemplo resuelto # 4) es ahora homogénea y pesa 75 kg-f. Dónde debe situarse, sobre la viga, a partir de 0, una persona de 50 kg-f para que la viga este horizontal?. R: 2,55 m. 8.- La viga sin peso como muestra la figura , está articulada en A. Calcular la fuerza que hace el pivote A. R: 50 kg-f. A 37º 30 Kg-f. 9.- La viga del problema anterior (figura ) es ahora homogénea y pesa 30 kg-f. Calcular la fuerza que hace el pivote A. R: 60 2 . 10.- Dada la siguiente figura, la regla es ahora homogénea y pesa 12 kg-f. Cuáles son las tensiones de los cables?. R: 16 kg-f; 16 kg-f; 18 kg-f. A 37o B 6 Kg-f 11.- Para mantener en equilibrio una barra en la posición representada en la siguiente figura ha de aplicarse una sola fuerza. Puede despreciarse el peso de la barra. a) Cuáles son los componentes x e y de la fuerza necesaria ?. b) Cuál es la tangente del ángulo que la fuerza ha de formar con la barra?. c) Cuál es la magnitud de la fuerza necesaria?. d) Dónde deberá aplicarse esta fuerza?. R: a) -30 N , 50 N b) 5/3 c) 58.3 N d) 1 m del extrema de la derecha.
  • 24. DINÁMICA DE PARTÍCULAS GUSTAVO SALINAS E. 52 Fw F Fx Fy 4 m xo 5 m 37º 10 N 50 N. 12.-Una escalera de 5 m. de longitud descansa contra un muro, en un punto a 4,0 m de altura sobre el piso, como se ve en la figura. La escalera es uniforme y tiene una masa de 12 Kg., suponga que el muro no tiene fricción, pero el piso sí. Calcular. a) La fuerzas que ejercen el piso y muro sobre la escalera. b) Si el coeficiente de fricción estática entre escalera y piso es 0,4. A qué altura puede subir una persona de 58 Kg. sin que resbale la escalera. R. a) 44 N, 126 N. b) 2,2 m 2.4. SEGUNDA LEY DE NEWTON O "LEY DE LA FUERZA" Esta ley conocida también como Ley de la Dinámica o Ley de la Fuerza: "La aceleración de un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él, e inversamente proporcional al valor de su masa". Los resultados experimentales indican que la aceleración ( a ) tiene la misma dirección y el mismo sentido que la fuerza resultante aplicada ( F ). Fuerza y aceleración son dos vectores que difieren únicamente de una constante de proporcionalidad, un escalar positivo llamado "masa (m)". La expresión matemática de la segunda ley de Newton es: amF . La fuerza resultante es igual a ala suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo: .......321  FFFF amF . z y x amFz amFy amFx amkFzjFyiFx . . . .      Si resolvemos los vectores F y a en sus componentes rectangulares se obtienen las ecuaciones equivalentes:
  • 25. DINÁMICA DE PARTÍCULAS GUSTAVO SALINAS E. 53 Experimento: zz amF . Reglas para resolver problemas de dinámica. En la resolución de problemas de Dinámica, es necesario tener mucho orden, para lo cual es conveniente tomar en cuenta algunas reglas útiles que faciliten los análisis: 1. Se aísla el o los cuerpos de interés. 2. Se elige un sistema de referencia ortogonal adecuado para el análisis del movimiento de cada cuerpo. El sistema debe tener un eje que coincida con la dirección de la aceleración del cuerpo. 3. Se representan vectorialmente todas las fuerzas que actúan sobre cada cuerpo, teniendo en cuenta primeramente su peso. Cada fuerza se representa por un vector cuyo origen parte del cuerpo, que es considerado como un punto (partícula). Las fuerzas que no coincidan con las direcciones de los ejes, se proyectarán sobre éstos para encontrar sus componentes. Como los movimientos a analizar están contenidos en un plano, será suficiente calcular las componentes de las fuerzas en los ejes x (Fx) e y (Fy). 4. Se plantea la segunda Ley de Newton en cada eje del sistema de coordenadas, obteniéndose generalmente un sistema de ecuaciones. Si el sistema analizado lo constituyen cuerpos (partículas) interconectados entre sí mediante cuerdas, resortes, poleas, etc, se considerará que estos elementos poseen masas despreciables y que no generan fricción; además, en este caso, a las ecuaciones obtenidas anteriormente se añadirán las que la geometría del movimiento determine. Esto último significa que al estar las partículas interconectadas entre sí, el movimiento de una de ellas determina características en el movimiento de la o las otras, estableciéndose así una relación entre sus aceleraciones. 6. Resolver el sistema de ecuaciones que permitan calcular las incógnitas y analizar los resultados.   Cálculo de la aceleración de una fuerza constante.  Máquina de atwood. ACTIVIDAD N°- 06 yy amF . xx amF .  Nunca trate de elaborar las actividades solicitadas sin antes haber estudiado los temas indicados, pues existen algunas preguntas que no podrá realizarlas sin un adecuado conocimiento.  En los ejercicios prácticos y de investigación que se solicitan, sea lo más ordenado y detallista posible, ya que estas características permitirán establecer el nivel de conocimientos adquiridos por usted.
  • 26. DINÁMICA DE PARTÍCULAS GUSTAVO SALINAS E. 54 CONTESTE: 1.- ¿Explique qué efecto tiene la aplicación de una fuerza neta a un cuerpo que se encuentra en movimiento o en reposo?. 2.- ¿Qué relación tiene la fuerza neta aplicada con la aceleración que se produce?. Explique. 3.- ¿Qué relación hay entre la masa de un cuerpo y la aceleración que adquiere cuando se le aplica una fuerza neta?. 4.- Escriba la Segunda Ley del Movimiento de Newton. 5.- Exprese la ecuación de la Segunda Ley de Newton, lo que representa cada una de sus magnitudes que intervienen y en qué unidades se miden. 6.- Calcule su peso en Newton y su masa en kilogramos. COMPLETE: 7.- Si a un cuerpo se le aplica una fuerza neta, recibe una ............................................... 8.- De acuerdo con la Segunda Ley de Newton, la fuerza neta es igual a la aceleración que recibe el cuerpo al que se le aplica multiplicada por su ................................... 9.- Un kilopondio corresponde al peso de una masa de ....................................................... 10.- La velocidad, la aceleración y la posición de un cuerpo dado son cantidades de carácter ......................................... ANALICE: 11.- ¿Cómo explica que la dirección de la fuerza neta aplicada sobre un cuerpo debe ser necesariamente la misma que la dirección del cambio de velocidad del cuerpo?. 12.- Un amigo suyo dice que si desde lo alto de un edificio se dejan caer simultáneamente una pelota de tenis normal y otra que está llena de arena, las pelotas van a llegar al mismo tiempo al piso, porque, al ser del mismo tamaño, la cantidad de aire desplazada por ambas pelotas es la misma. ¿Está de acuerdo con su compañero?. Explique su respuesta. 13.- En las figuras, la masa del bloque y el coeficiente de rozamiento tienen los mismos valores. ¿En cuál de ellos es mayor la fuerza de rozamiento?. 14.- Muestre que la aceleración de un cuerpo de masa m, sobre un plano inclinado es g.sen . 15.- ¿Bajo qué condiciones un cuerpo liviano que cuelga puede arrastrar a otro cuerpo, más pesado, que se encuentra sobre un plano horizontal, si los dos están atados por una cuerda, como muestra la figura?.
  • 27. DINÁMICA DE PARTÍCULAS GUSTAVO SALINAS E. 55 1.- A un automóvil de 1 500 kg que va por una carretera recta, se le aplica una fuerza constante de 3 000 N durante 10 s, en la misma dirección del movimiento luego de lo cual adquiere una velocidad de 180 km/h. Determinar: a) La aceleración del móvil. b) Qué velocidad tenía el móvil antes de ser aplicada la fuerza. c) El espacio recorrido en los 10 s. DATOS MODELO PLANTEAMIENTO SOLUCION ANALISIS 2.- Un cuerpo de 8 kg está en reposo en el punto (4 ; -7)m en t = 0 s. Si se le aplica una fuerza constante de (-8 i  + 16 j  ) N. Determinar: a) La posición final del cuerpo en t = 8 s. c) La velocidad final del cuerpo en t = 12 s. DATOS MODELO PLANTEAMIENTO SOLUCION ANALISIS 3.- En la figura, si el cuerpo es de 10 kg y  = 0,2. Determinar: Qué valor debe tener la fuerza para que el cuerpo se mueva con una aceleración de 2 m/s2 . DATOS MODELO PLANTEAMIENTO SOLUCION ANALISIS 4.- En la figura los bloques A y B son 100 kg y 30 kg respectivamente. Determinar: a) La aceleración de cada bloque y la tensión, si no hay rozamiento. b) La aceleración de cada bloque y la tensión, si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano es 0,15. DATOS MODELO PLANTEAMIENTO SOLUCION ANALISIS EJERCICIOS DE APLICACION 25° F
  • 28. DINÁMICA DE PARTÍCULAS GUSTAVO SALINAS E. 56 5.- En la figura, los bloques A y B son de 5 kg y 8 kg respectivamente, si el plano inclinado y el cuerpo tiene un coeficiente de rozamiento de 0,2. Determinar: a) La aceleración de cada bloque. b) En qué sentido se mueve cada uno de los bloques. c) La tensión de la cuerda. d) La velocidad del bloque B a los 2 s de dejarlo en libertad. DATOS MODELO PLANTEAMIENTO SOLUCION ANALISIS 6.- En el sistema de la figura se tiene que mB = mC = 15 kg. Si A = 0,1; B = 0,2 y C = 0,3. Determinar: a) La masa de A para que el cuerpo B se mueva hacia la derecha con aceleración de 1,3 m/s2 . b) La masa de A para que el cuerpo B se mueva hacia la izquierda con una aceleración de 1,3 m/s2 . DATOS MODELO PLANTEAMIENTO SOLUCION ANALISIS
  • 29. DINÁMICA DE PARTÍCULAS GUSTAVO SALINAS E. 57 1.- ¿Qué fuerza debe aplicarse a una masa de 10 kg, para adquirir la aceleración de 8 m/s2 . R. 80 N. 2.- El ascensor de una mina, que pesa 80 Kp, arranca hacia arriba con una aceleración de 6 m/s2 . Calcular la Tensión del cable en el momento del arranque. R. 1 290 kp. 3.- Un cuerpo de 200 Kg adquiere una velocidad de 108 Km/h en 10 s, cuando se le comunica una fuerza constante de 98 N. Determinar: a) La aceleración producida. b) Qué velocidad llevaba al empezar a acelerar. R. a) 0,49 m/s2 ; b) 25,1 m/s. 4.- A un automóvil de 1000 kg que va por una carretera recta se le acciona con una fuerza constante de 490 N durante 8 s, llegando a tener una velocidad de 36 m/s. Determinar: a) La velocidad que tenía el automóvil antes de empezar a acelerar. b) Qué velocidad lleva cuando ha recorrido 150 m. R. a) 32,08 m/s; b) 34,295 m/s. 5. Una fuerza horizontal de l568 N produce una aceleración de 2,44 m/s2 en un cuerpo de 400 kg que descansa sobre una superficie horizontal. Determinar: a) La fuerza normal ejercida por la superficie sobre el cuerpo. b) El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la superficie. R. a) 3920 N; b) 0,15. 6.- Un automóvil de 1200 kg cambia su velocidad en forma constante de (-12.61 i  - 12,79 j  ) km/h a (-70 i  - 71 j  ) km/h en 1 minuto. Determinar: a) La aceleración producida. b) La fuerza ejercida por el motor. R. a) ( -0,266 i  - 0,269 j  )m/s2 ; b) ( - 319,2 i  - 322,8 j  )N. 7.- Un cuerpo de 2 kg se encuentra en el punto (5 ; 2)m en t = 2 s con una velocidad de (-7 i  + 3 j  )m/s. Si se aplica sobre él una fuerza constan le de (-1757 i  + 757 j  )[N] durante 6 s. Determinar: a) La posición final del cuerpo. b) El desplazamiento realizado por el cuerpo. c) La velocidad final del cuerpo. R. a) ( - 1612 i  + 695 j  )m ; b) ( - 1617 i  + 693 j  )N; c) ( - 532 i  + 228 j  )m/s. 8.- Un bloque de 15 kg se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal como indica la figura. Cuando sobre él actúa una fuerza de 60[N] durante 3 s y si  = 0,2. Determinar: a) La aceleración del bloque. b) La velocidad final del bloque. R. a) 2,04 m/s2 ; b) 6,12 m/s. 9.- En la figura, si el bloque es de 16 kg y  = 0,1. Determinar: a) El valor de F para que el bloque suba con velocidad constante. b) El valor de F para que el bloque baje con velocidad constante. c) El valor de F para que el bloque suba con una aceleración de 2 m/s2 . d) El valor de F para que el bloque baje con aceleración de 2 m/s2 . R. a) 77,35 N; b) 54,23 N; c) 105,15 N; d); 54,06 N. 10.- Dos cuerpos del mismo peso, inicialmente en reposo, se dejan en libertad sobre un plano inclinado de 30° hallándose separados 25 cm. Si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo superior y el plano es de 0,1 y entre el inferior y el plano es 0,25. Determinar: a) En qué tiempo el cuerpo superior alcanza al inferior. b) La distancia recorrida por el cuerpo inferior hasta que es alcanzado por el superior. EJERCICIOS PROPUESTOS F = 60 N
  • 30. DINÁMICA DE PARTÍCULAS GUSTAVO SALINAS E. 58 11.- En la figura el bloque B es de 10 kg. Si el coeficiente de rozamiento cinético para todas las superficies es 0,3. Determinar: La masa del bloque A para que los dos bloques se muevan con una aceleración de 1,5 m/s2 . R. 19,86 kg. 12.- En el sistema de la figura a, los dos bloques A y B tienen la misma masa igual a 20 kg, y se Considera las superficies pulidas y poleas ligeras y sin rozamientos. Calcular: a) Aceleración del sistema. b) Tiempo transcurrido para que el bloque A recorra 2 m descendiendo por el plano inclinado. R: a = 2,45 m/s2 ; t = 1,28 s. 13.- En la figura los bloques A y B son de 100 y 50 kg respectivamente. No hay rozamiento para todas las superficies. Determinar: a) La aceleración de cada bloque. b) En qué sentido se mueven los bloques. c) La tensión de la cuerda que une los bloques. d) La velocidad del bloque A, 4 s después de partir del reposo. R. a) Hacia la izquierda; b) 1,30 m/s2 ;c) 360 N. 14.- Las masas A y B que penden de los extremos de la cuerda de una máquina de Atwood son, respectivamente, 1 000 y 1 010 g. Calcular: a) La aceleración con que se mueve el sistema. b) El espacio que recorre en 50 s partiendo del reposo. c) La tensión de la cuerda. R: a) 0,049 ms-2 ; b) 61,25 m; c) T = 9,849 N. 15.- Una máquina de Atwood, como se muestra en la figura, lleva fijas dos cubetas llenas de arena, con masas totales, respectivamente de 1,5 y 1,0 Kg. Se fija una piedra de 0,5 Kg a la cuerda que sostiene la cubeta menos pesada, a una distancia de 10 cm por encima de la arena en esa cubeta. Determinar. a) La aceleración del sistema. b) La tensión en las diversas cuerdas. R. a) 0; b) 15 N en la izquierda; 9,8 N en la cuerda de la derecha, bajo el punto de fijación de la piedra. 16.- Un bloque de 35,6 N está en reposo sobre un plano horizontal con el que roza, siendo 0,5 el coeficiente de fricción dinámico. El bloque se une mediante una cuerda sin peso, que pasa por una polea sin rozamiento, a otro bloque suspendido cuyo peso es también 35,6 N. Hallar: a) La tensión de la cuerda. b) La aceleración de cada bloque. R. a) 2,45 m/s2 ; b) 26,7 N. 17.- En el sistema de la figura, los bloques A y B se deslizan con velocidad constante sobre la superficie horizontal por acción de otro bloque C suspendido. El bloque B se separa del A y se suspende junto con el C. ¿Cuál será la aceleración del sistema? ¿Y la tensión de la cuerda? R: a = 1,96 m/s2 ; T = 3,136 N. 18.- Dos bloques de masas m1 = 5 kg y m2 = 8 kg, respectivamente, están dispuestos como se muestra en la figura. ¿Cuál es la aceleración de los bloques si la fuerza de rozamiento que aplica la superficie es de 30 N?. R. 9,68 m/s2 .
  • 31. DINÁMICA DE PARTÍCULAS GUSTAVO SALINAS E. 59 19.- Tres cuerpos A, B y C de 10, 20 y 30 kg respectivamente, están unidos mediante dos cuerdas como indica la figura. Si A = 0,3 y B = 0,15, determinar: a) La aceleración del cuerpo B. b) Las tensiones en las cuerdas. R: a) 3,92 m/s2 ; b) 176,4 N y 68,6 N. 20.- Una máquina de Atwood doble se ilustra en la figura. Considerando las condiciones ideales y dejando que m3 = 4 Kg y m1 = m2 = 3 Kg. a) Cuál es la aceleración de m3. b) Cuáles son las magnitudes de las tensiones de las cuerdas. R. a) 2 m/s2 ; b) 23N. 21.- Un bloque de masa 2kg reposa sobre una superficie lisa y horizontal y está conectada por dos cuerdas carentes de masa que están suspendidas sobre dos clavijas lisas a dos pesos con masas respectivas de 1 kg y 3 kg, como muestra la figura. a) Trace las fuerzas respectivas y aplique la segunda ley de Newton. b) Demuestre que la aceleración del sistema es g/3 = 3,3 m/s2 , en el sentido de las manecillas del reloj. c) Calcule la tensión en cada cuerda. R. c) 20 N en la cuerda derecha; 13 en la cuerda izquierda. 22.- Tres cuerpos A, B y C de 40, 20 y 60 kg, respectivamente, están unidos mediante dos cuerdas como indica la figura. Si todas las superficies son lisas. Determinar: a) La aceleración del cuerpo C. b) En qué sentido se mueve cada cuerpo. c) Las tensiones en las cuerdas. R. a) 2,934 m/s2 ; b) Se dirige hacia la derecha; c) 353,27 N, 44,96 N.