DINÁMICA Y CINEMÁTICA RECTILÍNEA

DINÁMICA
ING. JUAN CARLOS MENDOZA

OBJETIVOS
➢ Desarrollar los conocimientos teóricos sobre el movimiento de los cuerpos en movimiento
acelerado que le permitan resolver casos tanto cinemáticos como cinéticos, referenciados
tanto a sistemas de coordenadas fijos como en movimiento.
➢ Aplicar los conceptos de posición, velocidad y aceleración en problemas de ingeniería
aplicada, relacionadas principalmente con el movimiento de partículas a lo largo de una
trayectoria recta o curva, tales como el movimiento de vehículos a lo largo de una vía y el
movimiento vibratorio de edificios y puentes.

CONTENIDO
N° UNIDADES TEMÁTICAS FORMAS DE ORGANIZACIÓN DE LA
ENSEÑANZA (F.O.E.) 1 Total
de
horas
TEORÍA PRÁCTICA
C S C.P LAB G.C T T.C P.C
I CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA 12 8 20
II CINÉTICA DE LA PARTÍCULA 12 8 20
III CINEMÁTICA DEL CUERPO
RÍGIDO
10 10 20
IV VIBRACIONES MECANICAS 12 8 20
Total de horas presenciales 46 34 80
2da evaluación parcial, 1ra y 2da convocatoria 6
TOTAL 86

UNIDAD I: CINEMATICA DE LA PARTICULA

UNIDAD II: CINÉTICA DE LA PARTÍCULA

UNIDAD III: CINEMÁTICA DEL CUERPO RÍGIDO

UNIDAD IV: VIBRACIONES MECÁNICAS

BIBLIOGRAFIA.
 Beer & Johnston. Mecánica Vectorial para Ingenieros. Dinámica. Novena Edición. Editorial
Mcgraw Hill. México.
 Russell C. Hibbeler. Mecánica para Ingenieros. Dinámica. Décimo Segunda Edición. México.
Editorial CECSA.

INTRODUCCION
Dinámica: Mientras que la estática se encarga de estudiar cuerpos en equilibrio que se
encuentran en reposo o que se mueven a una velocidad constante, la dinámica se encarga de
estudiar el movimiento acelerado de un cuerpo provocado por fuerzas. En este sentido, el
tiempo desempeña un papel fundamental en la dinámica. En la dinámica se analizan tanto las
fuerzas que actúan sobre un cuerpo como los movimientos resultantes en el mismo. Las
enseñanzas de la dinámica son necesarias en todo el ámbito de la ingeniería estructural.
La dinámica se compone de la cinética y la cinemática. En la práctica, la diferencia entre la
cinemática y la cinética reside en la forma de analizar una máquina o un componente. En los
ejercicios de cinemática solo se tiene en cuenta la geometría del movimiento. En la cinética se
estudia, además, la causa del movimiento. El objetivo de la dinámica es calcular el esfuerzo y la
carga en los componentes o sistemas para poder diseñarlos.

CINEMÁTICA Y CINÉTICA
➢ Cinemática: es la rama de la física que describe el movimiento de los objetos sólidos sin
considerar las causas que lo originan (las fuerzas) y se limita, principalmente, al estudio de
la trayectoria en función del tiempo. Para ello utiliza velocidades y aceleraciones, que
describen cómo cambia la posición en función del tiempo. En este caso, lo importante es
analizar los aspectos geométricos del movimiento. Las coordenadas describen la posición de
un cuerpo en cada momento. Se analizan la trayectoria, la velocidad y la aceleración..
➢ Cinética: Que es el estudio de la relación que existe entre las fuerzas que actúan sobre un
cuerpo, su masa y el movimiento de este mismo. La cinética se usa para predecir el
movimiento ocasionado por fuerza dadas, o para determinar las fuerzas que se requieren para
producir un movimiento especifico. La base de la cinética son las leyes de Newton

LEYES DE NEWTON
➢ 1ª ley: principio o ley de inercia Sin la aplicación de una fuerza externa, un cuerpo se
mantiene en reposo o en un movimiento rectilíneo uniforme. Inercia: un cuerpo solo
cambia su estado de movimiento debido a la influencia de fuerzas externas.
➢ 2ª ley: principio de acción La fuerza aplicada al cuerpo y la aceleración son
proporcionales entre sí. La relación entre la fuerza aplicada y la aceleración conseguida
es una magnitud constante para todos los cuerpos: su masa.
F = m*a
➢ 3ª ley: principio de acción y reacción Las fuerzas de reacción entre dos puntos de masa
son de igual magnitud, opuestas y colineales.

CONCEPTOS DE MECÁNICA, ESTÁTICA, DÍNAMICA,
CINEMÁTICA Y CINÉTICA

DESCRIPCIÓN DE LA CINEMATICA DE UNA PARTICULA
Vector posición (r) Para el caso de dos dimensiones, un cuerpo tratado bajo el modelo de
partícula, se mueve a lo largo de un camino, también conocido como trayectoria. La posición
de la partícula, en un instante determinado y respecto al sistema de referencia mostrado en la
figura, está dada por el vector posición r trazado desde el origen del sistema de referencia
hasta la posición donde se encuentre la partícula.
Cuando se conoce las coordenadas de una partícula para cualquier valor de tiempo t, se
afirma que se conoce el movimiento de la partícula.

CINEMÁTICA RECTILÍNEA. “MOVIMIENTO CONTINUO”

HAY QUE RECORDAR
➢ Movimiento Rectilíneo uniforme: V = ds/dt es constante.
න
𝑠0
𝑠
𝑑𝑠 = 𝑣 න
0
𝑡
𝑑𝑡 ; 𝑠 − 𝑠0 = 𝑣𝑡
➢ Movimiento rectilíneo Uniforme acelerado: a = dv/dt es constante.
න
𝑣0
𝑣
𝑑𝑣 = 𝑎 න
0
𝑡
𝑑𝑡 ; 𝑣 − 𝑣0 = 𝑎𝑡
Si sustituimos v tenemos:
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑣0 + 𝑎𝑡
න
𝑠0
𝑠
𝑑𝑠 = 𝑎 න
0
𝑡
(𝑣0 + 𝑎𝑡)𝑑𝑡 ; 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2
También tenemos:
𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑠
= 𝑎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑣𝑑𝑣 = 𝑎𝑑𝑠 ; 𝑣2 = 𝑣02 + 2𝑎(𝑠 − 𝑠0)

PUNTOS IMPORTANTES
▪ La dinámica se ocupa de cuerpos que tienen movimiento acelerado.
▪ La cinemática es el estudio de la geometría del movimiento.
▪ La cinética es el estudio de las fuerzas que causan el movimiento.
▪ La cinemática rectilínea se refiere al movimiento en línea recta.
▪ La rapidez se refiere a la magnitud de la velocidad.
▪ La rapidez promedio es la distancia total recorrida dividida entre el tiempo total empleado
para ello. Esto es diferente de la velocidad promedio, la cual es el desplazamiento dividido
entre el tiempo.
▪ La aceleración, a = dv/dt, es negativa cuando la partícula esta desacelerando.
▪ Una partícula puede tener aceleración y aun tener velocidad cero.
▪ La relación ads=vdv se deriva de a = dv/dt y v=ds/dt, al eliminar dt.

PROCEDIMIENTO DE ANALISIS
Las ecuaciones de la cinemática rectilínea deben aplicarse usando el siguiente procedimiento
Sistema coordenado
• Establezca una coordenada s de posición a lo largo de la trayectoria y especifique su origen fijo
y dirección positiva.
• Como el movimiento es a lo largo de una línea recta, la posición, la velocidad y la aceleración
de la partícula puede ser representadas como escalares algebraicos. Para el trabajo analítico, el
sentido de s, v y a es determinado entonces a partir de sus signos algebraicos.
• El sentido positivo de cada escalar puede ser indicado mediante una flecha mostrada al lado de
cada ecuación cinemática que es aplicada.
Ecuaciones cinemática.
• Si se conoce una relación entre dos cualesquiera de las cuatro variables a, v, s y t, entonces
puede obtenerse una tercera variable usando una de las ecuaciones cinemática. A=dv/dt,
v=ds/dt, ads=vdv.
• Siempre que sea efectuada una integración es importante que se conozcan la posición y la
velocidad en un instante dado para evaluar la constante de integración si se usa una integral
definida.

EJEMPLO 1.1
La aceleración de un cohete viajando hacia arriba esta
dada por a=(6+0.02S)m/s^2, donde s esta en m.
Determine la velocidad del cohete cuando s=2 km y el
tiempo necesario para alcanzar esta altura.
Inicialmente , v=0 y s=0, cuando t=0.
EJEMPLO 1.2
Un tren de carga viaja a v= 60(1-e^(-t))pies/s, donde t es el tiempo transcurrido en seg.
Determine la distancia recorrida en tres segundos y la aceleración en este tiempo

EJEMPLO 1.3
Un automóvil parte del reposo y se mueve a lo largo de una línea recta con una aceleración
de a = (3s^(-1/3))m/s^2. Donde s está en metros. Determine la aceleración del automóvil
cuando t = 4s.
EJEMPLO 1.4
Una bola A es liberada del reposo a una altura de
40 pies al mismo tiempo que una segunda bola B
es lanzada hacia arriba desde 5 pies con respecto
al suelo. Si las bolas pasan una frente a la otra a
una altura de 20 pies, determine la rapidez con
que la bola B fue lanzada hacia arriba.

EJEMPLO 1.5
Cuando dos automóviles A y B están uno junto al otro, viajan en la misma dirección con
rapidez VA y VB, respectivamente. Si B mantiene su rapidez constante, mientras que A
empieza a desacelerar a aA, determine la distancia d entre los automóviles en el
instante en que A se detiene,
El movimiento de una partícula esta definida por la relación X=2t^3-15t^2+24t+4 con X
expresada en m y t en seg determine. A) t para que la velocidad sea 0, B) la posición y la
distancia total recorrida cuando la aceleración es 0.
EJEMPLO 1.6

MOVIMIENTO ERRÁTICO
El movimiento errático en física se refiere a que la posición, velocidad y aceleración de una
partícula no pueden describirse mediante una sola función matemática continua a lo largo
de toda la trayectoria. En su lugar, se requerirá una serie de funciones para especificar el
movimiento en diferentes intervalos. Por eso conviene representar el movimiento como
una gráfica. Si se puede trazar una gráfica del movimiento que relaciones dos variables s, v,
a y t, entonces esta gráfica puede utilizarse para construir gráfica subsecuentes que
relacionen otras dos variables, puesto que las variables están relacionadas por las
relaciones diferenciales v=ds/dt, a=dv/dt o a ds=vdv.
Cuando el movimiento de una partícula es errático durante cierto periodo, puede ser difícil
obtener una función matemática continua para describir su posición, velocidad y
aceleración. En el caso, es mejor describirlo gráficamente usando una serie de curvas que
pueden ser generadas experimentalmente a partir de la salida de una computadora

Dada la grafica S-t, construir la grafica v-t
CINEMÁTICA RECTILÍLINEA, MOVIMIENTO ERRÁTICO

Dada la grafica v-t, construir la grafica a-t

EJEMPLO 2.1
Se da la grafica a-s para los
primeros 300 m de recorrido de
un Jeep que viaja a lo largo de un
camino recto. Construya la
grafica v-s. En s=0, v=0.
EJEMPLO 2.2
12-37 Un avión parte del reposo, viaja 5000 pies por una pista y después de acelerar
uniformemente, despega con una rapidez de 162 mi/h. Luego asciende en línea recta con
aceleración uniforme de 3 pies/s2 hasta que alcanza una rapidez constante de 220 mi/h. trace las
graficas S-t, v-t y a-t que describen el movimiento.

EJEMPLO 2.3
Una partícula se mueve en línea recta con velocidad que se muestra en la figura. Si se sabe
que s = -540m en t=0, a) construya la curva a-t y s-t para o<t<50 y determine b) el valor
máximo de la coordenadas de posición de la partícula, c) los valores de t para los cuales la
partícula se encuentra en s = 100
EJEMPLO 2.4
12-64El carro de pruebas parte del
reposo y esta sometido a una
aceleración constante ac = 15 pies/s2
para 0≤t<10s. Se aplican los frenos, lo
que causa una desaceleración a la razón
mostrada hasta que el carro se detiene.
Determine la rapidez máxima del carro
y el tiempo t en que se detiene,

EJEMPLO 2.5
La grafica V-t para una partícula que se
mueve a través de un campo eléctrico
de una placa a otra tiene la forma
mostrada en la figura, donde t = 0.2s y
Vmax= 10m/s. Trace las graficas s-t y a-t
para la partícula, Cuando t=t/2 la
partícula esta en s=0.5m.
EJEMPLO 2.6
Un carro de carreras parte del
reposos, viaja a lo largo de un
camino recto y por 10s tiene la
aceleración mostrada. Construya la
grafica v-t que describe el
movimiento y encuentre la distancia
recorrida en 10s

ANALISIS DEL MOVIMIENTO ABSOLUTO
DEPENDIENTE DE DOS PARTICULAS.
En algunos tipos de problemas el movimiento de una partícula
dependerá del movimiento correspondiente de otra partícula.
Esta dependencia ocurre comúnmente si las partículas están
interconectadas por cuerdas inextensibles que se encuentren
enrolladas alrededor de poleas. Por ejemplo, el movimiento
del bloque A, hacia abajo a lo largo del plano inclinado en la
figura, causara un movimiento correspondiente del bloque B
hacia arriba en el otro plano inclinado. Podemos mostrar esto
matemáticamente especificando primero la ubicación de los
bloques usando las coordenadas de posición SA y SB. Advierta
que cada uno de los ejes coordenados es referenciado desde
un punto fijo (o) o línea fija de referencia, medido a lo largo de
cada plano inclinado en la dirección del movimiento del
bloque A y del bloque B, y tiene sentido positivo de C a A y de
D a B, si la longitud total de la cuerda es Lt las coordenadas de
posición están relacionadas por la ecuación.
SA + LCD + SB = LT

ANALISIS DEL MOVIMIENTO ABSOLUTO
DEPENDIENTE DE DOS PARTICULAS.

Movimiento dependiente de partículas
Algunas veces, la posición de una partícula dependerá de la posición de otra o de varias
partículas. En ese caso se dice que los movimientos son dependientes.

EJEMPLO 3.1
12-179 El cable localizado en B es jalado hacia abajo a 4pies/s
y esta desacelerando a 2 pies/s2. Determine la velocidad y la
aceleración del bloque A en este instante.
EJEMPLO 3.2
12-185 La grúa se usa para izar la carga. Si los
motores colocados en A y B están jalando el
cable con rapidez de 2 y 4 pies/s,
respectivamente. Determine la rapidez de la
carga.

EJEMPLO 3.3
Determine el desplazamiento del
tronco si el camión colocado en C jala
el cable 4 pies hacia la derecha.
EJEMPLO 3.4
La Caja esta siendo levantada por el plano inclinado
usando el motor M y el arreglo de cuerda y polea
mostrado. Determine la rapidez con que la cuerda debe
ser jalada por el motor para mover la caja hacia arriba
por el plano con una rapidez constante de 4 pies/s.

Movimientos de varias partículas
Cuando varias partículas se mueven de manera independiente a lo largo de la misma línea,
es posible escribir ecuaciones de movimiento independientemente para cada partículas.
Siempre que sea factibles, el tiempo debe registrarse a partir del mismo instante inicial
para todas las partículas, y es necesario medir los desplazamientos desde el mismo origen
y en la misma dirección. En otra palabras deben usarse un solo reloj y una sola cinta
métrica.
Movimiento relativo entre dos partículas: Considere dos partículas A y B que se mueven a
lo largo de la misma línea recta. Si las coordenadas de posición XA y XB se miden desde el
mismo origen, la diferencia XB – XA define la coordenada de posición relativa de B con
respecto de A, y se denota por medio de XB/A
𝑋𝐵/𝐴 = 𝑋𝐵 − 𝑋𝐴 o 𝑋𝐴 + 𝑋𝐵/𝐴 = 𝑋𝐵
Velocidad relativa de B con respecto A: 𝒗𝑩/𝑨 = 𝒗𝑩 − 𝒗𝑨 o 𝒗𝑩 = 𝒗𝑨 + 𝒗𝑩/𝑨
Aceleración relativa de B con respecto A: 𝒂𝑩/𝑨 = 𝒂𝑩 − 𝒂𝑨

Movimientos de varias partículas

USO
Esto es cuando los casos
estudiados en donde la
trayectorias del movimiento
para una partícula es
complicada y puede ser
factible analizar el
movimiento en partes usando
dos o mas marcos de
referencias. Por ejemplo el
movimiento de una partícula
localizada en la punta de la
hélice de un avión, en vuelo,
es mas fácil descrita si se
observa primero el
movimiento del avión desde
una referencia fija y luego se
superpone (vectorialmente)
el movimiento circular de la
partícula medido desde una
referencia ubicada en el
avión.

Ejemplo 5.1
E hombre esta a 60 pies de la pared y
arroja una pelota contra ella con
rapidez Vo=50pies/s. Determine el
ángulo con que el debe soltar la
pelota de manera que toque la pared
en el punto mas alto posible. ¿Cuál es
esta altura? El recinto tiene una altura
libre de 20pies.
Ejemplo 5.2
Se observa que el esquiador deja la
rampa en el punto A, a un ángulo de
θA= 25° con la horizontal. Si el toca el
suelo en B. Determine su rapidez inicial
VA y el tiempo de vuelo tAB.
Por sobrepasar el eje –y la
gravedad se considera (-)
Describiendo toda la
trayectoria (Tiempo total)
Cuando se considera el
ascendente +g, y en el
descendente –g
Se puede utilizar ascendente –g y el descendente +g,
pero con los tiempos equivalente, pero se puede
utiliza –g y utilizar el tiempo completo
A’
A

Ejemplo 5.3
12-94. La pelota situada en A es pateada en
forma tal que 𝜃𝐴 = 30. Si toca el suelo en B
con coordenadas x=15pies y y=-9pies.
Determine la rapidez con que es pateada y la
rapidez con que toca el suelo.
Ejemplo 5.4
La motocicleta viaja con rapidez
constante vo a lo largo de una
trayectoria que por una distancia corta
toma la forma de una curva seno.
Determine las componentes x y y de su
velocidad en cualquier instante sobre la
curva.
Por sobrepasar el eje –y la
gravedad se considera (-)
Describiendo toda la
trayectoria (Tiempo total)
Cuando se considera el
ascendente +g, y en el
descendente –g

Objetivo
➢ Desarrollar los conocimientos teóricos sobre el movimiento de los cuerpos en
movimiento acelerado que le permitan resolver casos tanto cinemáticos como
cinéticos, referenciados tanto a sistemas de coordenadas fijos como en
movimiento.
➢ Aplicar los conceptos de posición, velocidad y aceleración en problemas de
ingeniería aplicada, relacionados principalmente con el movimiento de
partículas a lo largo de una trayectoria recta o curva, tales como el movimiento
de vehículos a lo largo de una vía y el movimiento vibratorio de edificios y
puentes.
➢ Realizar estudio de casos cinemáticos de movimiento curvilíneos, en termino de
sus componentes rectangulares, tangenciales y normales..

El movimiento curvilíneo ocurre cuando la partícula se mueve a lo largo
de una trayectoria curva. Como esta trayectoria a menudo es descrita en
tres dimensiones, usaremos análisis vectorial para formular la posición, la
velocidad y la aceleración de la partícula. En esta sección se analizan los
aspectos generales del movimiento curvilíneo.
POSICIÓN
Considere una partícula localizada en el punto p sobre una curva espacial
definida por la función trayectoria 𝑆. La posición de la partícula, medida
desde un punto fijo O, será designada mediante el vector de posición
r = r(t), este vector es una función del tiempo ya que, en general, tanto
su magnitud como su dirección cambian cuando la partícula se mueve
por la curva.
Movimientos Curvilíneo

DESPLAZAMIENTOS
Suponga que durante un pequeño intervalo de tiempo Δt la partícula se mueve una distancia
Δs por la curva hasta una nueva posición p’, definida mediante r’ = r + Δr. El desplazamiento Δr
representa el cambio en la posición de la partícula y es determinado por resta vectorial, es
decir, Δr = r’- r.
VELOCIDAD
Durante el tiempo Δt, la velocidad promedio de la partícula es definida como;
𝑣𝑝𝑟𝑜𝑚 =
Δ𝑟
Δ𝑡
la velocidad instantánea es determinada a partir de esta ecuación haciendo ∆𝑡 → 0, y en
consecuencia la dirección de Δr se acerca a la tangente a la curva en el punto P. por
consiguiente 𝑉 = lim
Δ𝑡→0
Δr
Δt
𝑣 =
𝑑𝑟
𝑑𝑡

ACELERACIÓN
Si la partícula tiene velocidad v en el tiempo t y velocidad
v’ = v + Δv en el tiempo t+ Δt, entonces su aceleración
promedio durante el intervalo de tiempoΔt es;
𝑎𝑝𝑟𝑜𝑚 =
Δv
Δt
Para obtener la aceleración instantánea, hacemos ∆𝑡 → 0 en
la ecuación anterior. En el limite Δv tenderá a la tangente de
la hodógrafa y entonces ; 𝑎 = lim
Δ𝑡→0
Δ𝑣
Δ𝑡
𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡

Hay ocasiones en que el movimiento de una partícula se describe mejor
a lo largo de una trayectoria que esté representada usando un marco
de referencia fijo x, y, z.
POSICIÓN
Si en un instante dado la partícula P está en un punto (x, y, z) sobre la
trayectoria curva 𝑆, su ubicación es definida entonces por el vector
posición.
𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘
Debido al movimiento de la partícula y a la forma de la trayectoria,
todas las coordenadas x, y, z de r son generalmente funciones del
tiempo, esto es, x=x(t), y=y(t), z=z(t), es decir, r=r(t). De acuerdo con el
análisis presentado anteriormente la magnitud r es siempre positivo y
esta definida por la ecuación;
𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
La dirección de r es especificada mediante las
componentes del vector unitario 𝑢𝑡 =
ҧ
𝑟
𝑟
Movimiento curvilíneo
Componentes Rectangulares

VELOCIDAD
La primera derivada con respecto al tiempo de r proporciona la
velocidad 𝑉 de la partícula, por tanto.
𝑉 =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
; 𝑉 =
𝑑
𝑑𝑡
𝑥𝑖 +
𝑑
𝑑𝑡
𝑦𝑗 +
𝑑
𝑑𝑡
𝑧𝑘
Al plantear esta derivada es necesario tomar en cuenta los cambios
tanto en magnitud como en dirección de cada una de las componentes
del vector. Por consiguiente, la derivada de la componente en x;
𝑑
𝑑𝑡
𝑥𝑖 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑖 + 𝑥
𝑑𝑖
𝑑𝑡
El segundo término del lado derecho es cero, puesto que el marco de
referencia x, y, z, esta fijo, y por tanto la dirección (y la magnitud) de i
no cambia con el tiempo. La diferenciación de las componentes j y k
puede efectuarse de manera similar, lo que da el resultado final,
𝑉 =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= 𝑣𝑥𝑖 + 𝑣𝑦𝑗 + 𝑣𝑧𝑘
𝑣𝑥 = ሶ
𝑥 𝑣𝑦 = ሶ
𝑦 𝑣𝑧 = ሶ
𝑧
𝑣 = 𝑣𝑥
2 + 𝑣𝑦
2 + 𝑣𝑧
2

ACELERACIÓN
La aceleración de la partícula se obtiene tomando la primera
derivada de la velocidad con respecto al tiempo, o la segunda
derivada de la posición con respecto al tiempo. Usando puntos para
representar las derivadas de las componentes tenemos.
𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝑎𝑥𝑖 + 𝑎𝑦𝑗 + 𝑎𝑧𝑘
𝑎𝑥 = ሶ
𝑣𝑥 = ሷ
𝑥
𝑎𝑦 = ሶ
𝑣𝑦 = ሷ
𝑦
𝑎𝑧 = ሶ
𝑣𝑧 = ሷ
𝑧
𝑎 = 𝑎𝑥
2 + 𝑎𝑦
2 + 𝑎𝑧
2

PUNTOS IMPORTANTES
• El movimiento curvilíneo puede causar cambios tanto en la magnitud como en la dirección de los
vectores posición, velocidad y aceleración.
• El vector velocidad siempre esta dirigido tangencialmente a la trayectoria.
• En general, el vector aceleración no es tangente a la trayectoria, sino mas bien es tangente a la
hodógrafa.
• Si el movimiento es descrito usando coordenadas rectangulares, entonces las componentes a lo
largo de cada uno de los ejes no cambian en dirección, solo cambiaran su magnitud y sentido.
• Considerando los movimientos componentes, la dirección del movimiento de la partícula es
automáticamente tomada en cuenta.

Componente normal y tangencial
Cuando la trayectoria a lo largo de la cual se mueve una partícula es
conocida, a menudo resulta conveniente describir el movimiento usando
coordenadas 𝑛 y 𝑡 que actúan normal y tangencialmente a la trayectoria,
respectivamente, y que en el instante considerado tienen su origen
ubicado en la partícula.
MOVIMIENTO PLANO. Considere la partícula P, que se mueve en un plano
por una curva fija, de tal manera que en un instante dado la partícula esta
en la posición 𝑆, medida desde el punto 𝑂′. El eje t es tangente a la curva
en P y positivo en la dirección de 𝑆 creciente. Designaremos esta dirección
positiva con el vector unitario 𝑢𝑡. Cada segmento 𝑑𝑠 esta formado a partir
del arco de un circulo asociado con radio de curvatura 𝜌 y centro de
curvatura 𝑂′. El eje normal 𝑛 es perpendicular al eje 𝑡 y esta dirigido desde
P hacia el centro de curvatura 𝑂´, será designado mediante el vector
unitario 𝑢𝑛. El plano que contiene los ejes 𝑛 y 𝑡 es denominado plano
osculador y en este caso esta fijo en el plano de movimiento.

VELOCIDAD
Dado que la partícula se esta moviendo, 𝑆 es una función del tiempo. La velocidad V de la
partícula tiene una dirección que es siempre tangente a la trayectoria, y una magnitud que
es determinada tomando la derivada con respecto al tiempo de la función trayectoria
𝑆 = 𝑆 𝑡 .
𝑉 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
ത
𝑉 = 𝑣𝑢𝑡
ACELERACIÓN.
La aceleración de la partícula es la razón de cabio con respecto al tiempo de la velocidad.
Así.
El Vector Velocidad es tangencial
a la trayectoria.
El Vector aceleración tiene dos
componente una es tangencial y la otra
normal a la trayectoria.
𝑎 = ሶ
𝑉 = ሶ
𝑣𝑢𝑡 + 𝑣 ሶ
𝑢𝑡

Para determinar la derivada con respecto al tiempo ሶ
𝒖𝒕, advierta que al
moverse la partícula a lo largo del arco 𝑑𝑠 en el tiempo 𝑑𝑡, 𝑢𝑡 preserva su
magnitud de la unidad; sin embargo, su dirección cambia, y se vuelve 𝑢′
𝑡.
Como se muestra en la figura, requerimos 𝑢′
𝑡 = 𝑢𝑡 + 𝑑𝑢𝑡, donde 𝑑𝑢𝑡 = ሶ
𝑢𝑡,
aquí 𝑑𝑢𝑡 se extiende entre las cabezas de flechas de 𝑢𝑡 y 𝑢′
𝑡, las cuales se
encuentra sobre un arco infinitesimal de radio 𝑢𝑡 = 1.
Por consiguiente, 𝑑𝑢𝑡 tiene una magnitud 𝑑𝑢𝑡 = 1𝑑𝜃, y su dirección esta
definida por 𝑢𝑛. En consecuencia, por longitud de arco obtenemos;
𝑑𝑢𝑡 = 𝑑𝜃𝑢𝑛 ~ ሶ
𝑢𝑡 = ሶ
𝜃𝑢𝑛 1)
También por longitud de arco obtenemos, tomando en cuenta la
trayectoria de la partícula tenemos:
𝑑𝑠 = 𝜌𝑑𝜃 ~ ሶ
𝑆 = 𝜌 ሶ
𝜃 2)
Sustituyendo la ec. 2 en 1; ሶ
𝑢𝑡 =
ሶሶ
𝑆
𝜌
𝑢𝑛

De unas de las ecuaciones anteriores se observa que:
𝑎𝑛𝑢𝑛 = 𝑣 ሶ
𝑢𝑡
ሶ
𝑆 = 𝑣
donde
ሶ
𝑢𝑡 =
ሶ
𝑣
𝜌
𝑢𝑛
𝑎 = ሶ
𝑉 = ሶ
𝑣𝑢𝑡 + 𝑣 ሶ
𝑢𝑡
El termino de la izquierda ( ሶ
𝑣𝑢𝑡), representa la aceleración tangencial, y el
de la derecha 𝑣 ሶ
𝑢𝑡 , representa la componente normal.
𝑎 = 𝑎𝑡𝑢𝑡 + 𝑎𝑛𝑢𝑛
Por lo que;
Con anterioridad se determino que: ሶ
𝑢𝑡 =
ሶ
𝑆
𝜌
𝑢𝑛
Sustituimos : 𝑎𝑛 =
𝑣2
𝜌
En dirección de la misma
normal
𝑎𝑛𝑢𝑛 = 𝑣
ሶ
𝑣
𝜌
𝑢𝑛

Como resultados e estas interpretaciones, una partícula que se mueva a lo largo de la
trayectoria curva que aparece en la figura tendrá aceleraciones dirigidas como se muestra.

Para resumir estos conceptos, considere los siguientes dos casos especiales de
movimientos.
1. Si la partícula se mueve a lo largo de una línea recta, entonces 𝜌 → ∞. 𝑎𝑛 = 0, asi 𝑎 =
𝑎𝑡 = ሶ
𝑣, y podemos concluir que la componente tangencial de la aceleración representa
la razón de cambio con respecto al tiempo en la magnitud de la velocidad.
2. Si la partícula se mueve con rapidez constante por una curva, entonces 𝑎𝑡 = ሶ
𝑣 = 0 y
𝑎 = 𝑎𝑛 =
𝑣2
𝜌
. Por tanto, la componente normal de al aceleración representa la razón de
cambio con respecto al tiempo en la dirección de la velocidad. Como 𝑎𝑛 siempre actúa
hacia el centro de curvatura, esta componente es denominada a veces aceleración
centrípeta.
Si la trayectoria es expresada como 𝑦 = 𝑓(𝑥), el radio de curvatura 𝜌 en cualquier punto
sobre la trayectoria es determinado a partir de las ecuación.
𝜌 =
1 + Τ
𝑑𝑦 𝑑𝑥 2 Τ
3 2
Τ
𝑑2𝑦 𝑑𝑥2
La derivación de este resultado puede encontrarse en cualquier texto estándar de cálculo
diferencial.

Se denomina hodógrafa al lugar geométrico del plano o el espacio compuesto por los
extremos de los vectores velocidad de un punto que recorre una trayectoria cualquiera,
trasladados a un origen común.
Para dibujar la hodógrafa de un movimiento se
toma en un punto arbitrario A, que puede
coincidir con el origen de coordenadas,
un vector equipolente (vector que tiene el
mismo módulo, dirección y línea de acción
paralela, pero distinto punto de aplicación) a la
velocidad del móvil. Se repite esta misma
operación para el vector velocidad en las
sucesivas posiciones que va ocupando el móvil
en su trayectoria. El lugar geométrico de los
extremos de los vectores equipolentes es la
hodógrafa del movimiento. Mientras el móvil P
recorre su trayectoria, el extremo H del vector
equipolente a su velocidad instantánea recorre
la hodógrafa.
Hodógrafa

Ejemplo 1
En un instante dado, el avión a chorro tiene
una rapidez de 400 pies/s y aceleración de
70 pies/s^2 actuando en la dirección
mostrada. Determine la razón de
incremento en la rapidez del avión y el
radio de curvatura ρ de la trayectoria
Ejemplo 2
En un instante dado, el motor de la
locomotora situado en E tiene una rapidez
de 20 m/s y aceleración de 14 m/s^2
actuando en la dirección mostrada.
Determine la razón de incremento en la
rapidez del tren y el radio de curvatura ρ de
la trayectoria

Ejemplo 3
12.110 El carro viaja por la trayectoria curva de manera
tal que su rapidez aumenta en ሶ
𝑣 = 0.5𝑒𝑡 Τ
𝑚 𝑠2
,
donde t está en segundos. Determine las magnitudes
de su velocidad y su aceleración después que ha
recorrido 𝑆 = 18𝑚 partiendo del reposo. Desprecie el
tamaño del carro.
Ejemplo 4
Un tobogán viaja por una curva que pude
ser aproximada mediante la parábola 𝑦 =
0.01𝑥2
. Determine la magnitud de su
aceleración cuando alcanza el punto A,
donde su rapidez es 𝑣𝐴 = 10 Τ
𝑚 𝑠 y está
incrementándose a razón de ሶ
𝑣𝐴 = 3 Τ
𝑚 𝑠2

MOVIMIENTO CURVÍLINEO: COMPONENTES
CILÍNDRICAS.

Objetivos
movimiento.
puentes.
➢ Realizar estudio de casos cinemáticos de movimiento curvilíneos en sus
componentes cilíndricas.

Movimiento curvilíneo: Componentes
Cilíndricas.
Las coordenadas cilíndricas se pueden definir como un sistema de
coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante
un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección
del eje. Es una extensión de las coordenadas polares para tres
dimensiones.
Uso
Uno de los ejemplos mas sencillos de uso de las coordenadas cilíndricas lo
proporcionan las grúas. Para controlar la posición de la carga, es preciso
indicar el ángulo de giro de la flecha (el brazo de la grúa), dado por la
altura a al que se sube la carga y cuando hay que desplazarla a lo largo de
la flecha.

Cilíndricas.
Componentes Polares: Componentes cilíndricas:

Cilíndricas.
En algunos problemas de ingeniería a menudo es conveniente expresar la trayectoria del
movimiento en términos de coordenadas cilíndricas 𝑟, 𝜃, 𝑧. Si el movimiento está restringido al
plano se usan las coordenadas polares 𝑟 𝑦 𝜃.
COORDENADAS PORLARES.
Podemos especificar la ubicación de la partícula P
mostrada en la figura. Usando la coordenada
radial r, la cual se extiende desde el origen fijo O
hasta la partícula, y una coordenada transversal
𝜃, que es el ángulo con sentido contrario al de las
manecillas del reloj entre una línea de referencia
fija y el eje r. El ángulo es medido en grados o en
radianes. Las direcciones positivas de las
coordenadas 𝑟 𝑦 𝜃 son definidas por los vectores
unitarios 𝑢𝑟 𝑦 𝑢𝜃, respectivamente.
1𝑟𝑎𝑑 =
180
𝜋

Cilíndricas.
Aquí, 𝑢𝑟 o la dirección radial +𝑟 se extiende desde P a lo largo de r creciente, cuando
𝜃 se mantiene fija, y 𝑢𝜃 o +𝜃 se extiende desde P en una dirección que ocurre cuando
r se mantiene fija y 𝜃 es incrementada. Advierta que esas direcciones son
perpendiculares entre si.
POSICION
En cualquier instante la posición de la partícula esta definida por el vector posición.
𝑟 = 𝑟𝑢𝑟
VELOCIDAD
La velocidad instantánea v se obtiene tomando la derivada con respecto al tiempo de
r. Usando un punto para representar la diferenciación con respecto al tiempo,
tenemos:
𝑉 = ሶ
𝑟 = ሶ
𝑟𝑢𝑟 + 𝑟 ሶ
𝑢𝑟

Para evaluar ሶ
𝑢𝑟, advierta que 𝑢𝑟 cambia sólo su dirección con respecto al
tiempo, ya que por definición la magnitud de este vector es siempre igual a
una unidad. Por tanto, durante el tiempo ∆𝑡, un cambio ∆𝑟 no ocasionara un
cambio en la dirección; sin embargo, un camio de ∆𝜃, causara que 𝑢𝑟 se vuelva
𝑢′𝑟, donde 𝑢′𝑟 = 𝑢𝑟 + ∆𝑢𝑟. El cambio en el tiempo en 𝑢𝑟 es entonces ∆𝑢𝑟. Para
ángulos pequeños ∆𝜃, este vector tiene una magnitud ∆𝑢𝑟≈ 1*(∆𝜃) y actúa en
la dirección 𝑢𝜃, por tanto ∆𝑢𝑟= ∆𝜃𝑢𝜃 y entonces.
ሶ
𝑢𝑟 = lim
∆𝑡→0
∆𝑢𝑟
∆𝑡
= lim
∆𝑡→0
∆𝜃
∆𝑡
𝑢𝜃
ሶ
𝑢𝑟 = ሶ
𝜃𝑢𝜃
Sustituyendo en la ecuación anterior por v, la velocidad puede ser escrita en
términos de componentes como:
Cilíndricas.
𝑉 = ሶ
𝑟 = ሶ
𝑢𝑟 𝑉 = ሶ
𝑟 = ሶ
𝜃𝑢𝜃 𝑉 = ሶ
𝑟 = 𝑣𝑟𝑢𝑟 + 𝑣𝜃𝑢𝜃

Cilíndricas.
𝑣𝑟 = ሶ
𝑟 𝑣𝜃 = 𝑟 ሶ
𝜃 𝑣 = ሶ
𝑟 2 + 𝑟 ሶ
𝜃
2
Estas componentes se muestran gráficamente en la figura. la
componente radial 𝑣𝑟 es una medida de la razón de crecimiento o
disminución en la longitud de la coordenada radial, es decir, r, la
componente transversal 𝑣𝜃 puede ser interpretada como la razón de
movimiento por la circunferencia de un circulo con radio r. En particular,
el termino ሶ
𝜃 = Τ
𝑑𝜃 𝑑𝑡 se denomina velocidad angular, ya que indica la
razón de cambio con respecto al tiempo del ángulo 𝜃. Las unidades
comunes usadas para esta medida son Τ
𝑟𝑎𝑑 𝑠.
Como 𝑣𝑟 y 𝑣𝜃 son mutuamente perpendiculares, la magnitud de la
velocidad o rapidez es simplemente el valor positivo de

Cilíndricas.
ACELERACION
Tomando las derivadas con respecto al tiempo, usando las ecuaciones
anteriores, obtenemos la aceleración instantánea de la partícula.
𝑎 = ሶ
𝑣 = ሷ
𝑟𝑢𝑟 + ሶ
𝑟 ሶ
𝑢𝑟 + ሶ
𝑟 ሶ
𝜃𝑢𝜃 + 𝑟 ሷ
𝜃𝑢𝜃 + 𝑟 ሶ
𝜃 ሶ
𝑢𝜃
Para evaluar el termino que implica ሶ
𝑢𝜃, solo es necesario encontrar el
cambio hecho en la dirección de 𝑢𝜃 ya que su magnitud es siempre la
unidad. Durante el tiempo ∆𝑡, un cambio ∆𝑟 no cambiará la dirección de
𝑢𝜃, aunque un cambio de ∆𝜃 cambiará 𝑢𝜃 a 𝑢′𝜃, donde 𝑢′𝜃 = 𝑢𝜃 + ∆𝑢𝜃.
El cambio con respecto al tiempo en 𝑢𝜃 es entonces ∆𝑢𝜃. Para ángulos
pequeños este vector tiene una magnitud de ∆𝑢𝜃 ≈ 1 ∗ (∆𝜃) y actúa en
la dirección −𝑢𝑟 esto es ∆𝑢𝜃 = −∆𝜃𝑢𝑟
ሶ
𝑢𝜃 = lim
∆𝑡→0
∆𝑢𝜃
∆𝑡
= − lim
∆𝑡→𝑜
∆𝜃
∆𝑡
𝑢𝑟 ሶ
𝑢𝜃 = − ሶ
𝜃𝑢𝑟
𝑣 = ሶ
𝑟 = ሶ
𝜃𝑢𝜃

Cilíndricas.
Sustituyendo este resultado, podemos escribir la aceleración en términos de componentes
como:
𝑎 = 𝑎𝑟𝑢𝑟 + 𝑎𝜃𝑢𝜃
𝑎𝑟 = ሷ
𝑟 − 𝑟 ሶ
𝜃2
𝑎 = ሶ
𝑣 = ሷ
𝑟𝑢𝑟 + ሶ
𝑟 ሶ
𝑢𝑟 + ሶ
𝑟 ሶ
𝜃𝑢𝜃 + 𝑟 ሶ
𝜃 ሶ
𝑢𝜃
ሶ
𝑢𝜃 = − ሶ
𝜃𝑢𝑟
𝑎 = ሶ
𝑣 = ሷ
𝑟𝑢𝑟 + ሶ
𝑟 ሶ
𝜃𝑢𝜃 + ሶ
𝑟 ሶ
𝜃𝑢𝜃 − 𝑟 ሶ
𝜃 ሶ
𝜃𝑢𝑟
𝑎𝜃 = 𝑟 ሷ
𝜃 + 2 ሶ
𝑟 ሶ
𝜃
ሶ
𝑢𝑟 = ሶ
𝜃𝑢𝜃 Resuelto anteriormente
El termino 𝜃 = Τ
𝑑2𝜃 𝑑𝑡2 = Τ
𝑑 𝑑𝑡 Τ
𝑑𝜃 𝑑𝑡 se denomina aceleración angular puesto que mide
el cambio efectuado en la velocidad angular durante un instante. Las unidades son rad/s^2.
La dirección es determinada a partir de la suma vectorial de sus dos componentes. En
general, 𝑎 no será tangente a la trayectoria.

Cilíndricas.
Como 𝑎𝑟 y 𝑎𝜃 son siempre perpendiculares entre sí, la magnitud de la aceleración es
simplemente el valor positivo de:
𝑎 = ሷ
𝑟 − 𝑟 ሶ
𝜃2
2
+ 𝑟 ሷ
𝜃 + 2 ሶ
𝑟 ሶ
𝜃
2
La dirección es determinada a partir de la suma vectorial de sus dos componentes. En general 𝑎
no será tangente a la trayectoria.
COORDENADAS CILINDRICAS
Si la partícula P se mueve por una curva parcial como se muestra en la figura, entonces su
ubicación puede ser especificada por las tres coordenadas cilíndricas 𝑟, 𝜃, 𝑧. Las coordenada z es
idéntica a la usada para coordenadas rectangulares. Como el vector unitario que define su
dirección 𝑢𝑧, es constante, las derivadas con respecto al tiempo de este vector son cero, y por
tanto la posición, la velocidad y la aceleración de

Cilíndricas.
La partícula pueden ser escritas en términos de sus coordenadas cilíndricas como sigue:
𝑟𝑃 = 𝑟𝑢𝑟 + 𝑧𝑢𝑧
𝑣 = ሶ
𝜃𝑢𝜃 + ሶ
𝑧𝑢𝑧
𝑎 = ሷ
𝑟 − 𝑟 ሶ
𝜃2 𝑢𝑟 + 𝑟 ሷ
𝜃 + 2 ሶ
𝑟 ሶ
𝜃 𝑢𝜃 + ሷ
𝑧𝑢𝑧
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
Sistema coordenado.
➢ Las coordenadas polares son una buena opción para resolver problemas para los
cuales los datos relativos al movimiento angular de la coordenada r radial son dados
para describir el movimiento de la partícula. Además, algunas trayectorias de
movimiento pueden ser convenientemente descritas en términos de estas
coordenadas.
➢ Para usar coordenadas polares, el origen se establece en un punto fijo y la línea radial
r se dirige hacia la partícula.

PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
➢ La coordenada transversal 𝜃 se mide desde una línea fija de referencia hasta la línea
radial.
Velocidad y aceleración.
➢ Una vez que r y las cuatro derivadas con respecto al tiempo ሶ
𝑟, ሷ
𝑟, ሶ
𝜃 𝑦 ሷ
𝜃 han sido
evaluadas en el instante considerado, sus valores pueden ser sustituidos en las
ecuaciones antes descritas, para obtener las componentes radial y transversal de 𝑣 𝑦 𝑎
➢ Si es necesario tomar las derivadas con respecto al tiempo de 𝑟 = 𝑓 𝜃 , es muy
importante usar la regla de la cadena del cálculo diferencial.
➢ El movimiento en tres dimensiones requiere de una simple ampliación del
procedimiento anterior para incluir ሶ
𝑧 y ሷ
𝑧.

Ejemplo 1
La rotación de la barra OA alrededor de “o” esta definida
por la relación 𝜃 = 0.5𝑒−0.8𝑡𝑠𝑒𝑛 3𝜋𝑡 , donde 𝜃 esta
expresado en radianes y el tiempo t en segundo. El collar B,
se desliza a lo largo de la barra a fin de que su distancia de o
es 𝑟 = 0.2 + 1.92𝑡 − 6.72𝑡2 + 6.4𝑡3 donde r esta expresado
en mts, cuando t=0.5seg determine:
a) La velocidad del collar.
b) La aceleración del collar.
c) La aceleración del collar relativa a la barra OA
Ejemplo 2
La rotación del brazo OA de 0.9m alrededor de o se define
mediante la relación 𝜃 = 0.15t^2, donde 𝜃 se expresa en
radianes y t en segundos. El collarín B desliza a lo largo del
brazo de modo tal que su distancia desde o es r = 0.9 – 0.12t^2,
donde r se expresa en mts y t en segundo. Después de que el
brazo OA ha girado 30° determine a) la velocidad total del
collarín, b) la aceleración total del collarín. C) aceleración de B
con respecto al brazo OA.

Ejemplo 3
Una partícula se mueve por una trayectoria circular con radio de 4pulg, de manera tal
que su posición en función del tiempo esta dada por 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠2𝑡, donde 𝜃 está en radianes
y t en segundos. Determine la magnitud de la aceleración de la partícula cunado 𝜃 = 30°
Ejemplo 4
12-139 Una automóvil esta viajando por la curva circular de radio
r=300 pies. En el instante mostrado, su razón angular de
rotación es ሶ
𝜃 = 0.4𝑟𝑎𝑑/𝑠, la cual está creciendo a razón de ሷ
𝜃 =
0.2𝑟𝑎𝑑/𝑠2 . Determine las magnitudes de la velocidad y
aceleración del automóvil en este instante.
𝑅: 14.3𝑖𝑛/𝑠2
𝑅: 𝑣 = 120 Τ
𝑓𝑡 𝑠 , 𝑎 = 76.8.3𝑓𝑡/𝑠2

Ejemplo 5
En el instante mostrado r = 3𝑚 y 𝜃 = 30°. Las componentes cartesianas de la velocidad
del punto A son 𝑉
𝑥 = 2𝑚/𝑠 y 𝑉
𝑦 = 8𝑚/𝑠. A) Determine la velocidad del punto A en
términos de las coordenadas polares. B) Las coordenadas polares del punto A de la grúa
están dadas como funciones del tiempo en segundo por r = 3 + 0.2𝑡2
𝑚 y
θ = 0.02𝑡2
𝑟𝑎𝑑. Determine la aceleración del punto A en términos de coordenadas
polares cuando t = 3𝑠
𝑉
𝑟 = 𝑉
𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑉
𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑉𝜃 = 𝑉
𝑥𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑉
𝑦𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑉𝐴 = 𝑉
𝑟𝑢𝑟 + 𝑉𝜃𝜇𝜃
Como son
perpendiculares
a)
b) 𝑟 ሶ
𝑟 =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
ሷ
𝑟 =
𝑑2𝑟
𝑑𝑡2
t = 3𝑠
𝜃 ሶ
𝜃 =
𝑑𝜃
𝑑𝑡
ሷ
𝜃 =
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
𝑎𝑟 = ሷ
𝑟 − 𝑟 ሶ
𝜃2 𝑎𝜃 = 𝑟 ሷ
𝜃 + 2 ሶ
𝑟 ሶ
𝜃 𝑎 = ሷ
𝑟 − 𝑟 ሶ
𝜃2
2
+ 𝑟 ሷ
𝜃 + 2 ሶ
𝑟 ሶ
𝜃
2

MOVIMIENTO CIRCULAR: MCU Y MCUV.

Objetivos
movimiento.
puentes.
➢ Realizar estudio de casos cinemáticos de movimiento circular uniforme y
movimiento circular uniformemente variado.

Movimiento Circular.
En cinemática, el movimiento circular (también llamado movimiento circunferencial) es el que se
basa en un eje de giro y radio constante, por lo cual la trayectoria es una circunferencia. Si además,
la velocidad de giro es constante (giro ondulatorio), se produce el movimiento circular uniforme,
que es un caso particular de movimiento circular, con radio, centro fijo y velocidad angular
constante.
En el movimiento circular hay que tener en cuenta algunos conceptos básicos para la descripción
cinemática y dinámica del mismo:
Eje de giro: es la línea recta alrededor de la cual se realiza la rotación, este eje puede permanecer
fijo o variar con el tiempo pero para cada instante concreto es el eje de la rotación (considerando
en este caso una variación infinitesimal o diferencial de tiempo). El eje de giro define un punto
llamado centro de giro de la trayectoria descrita (O).
Arco: partiendo de un centro fijo o eje de giro fijo, es el espacio recorrido en la trayectoria circular
o arco de radio unitario con el que se mide el desplazamiento angular. Su unidad es el radián
(espacio recorrido dividido entre el radio de la trayectoria seguida, división de longitud entre
longitud, adimensional por tanto).

Velocidad angular: es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo. (𝜔)
Aceleración angular: es la variación de la velocidad angular por unidad de tiempo. (𝛼)
En dinámica de los movimientos curvilíneos, circulares y/o giratorios se tienen en cuenta además
las siguientes magnitudes;
Momento angular (L): es la magnitud que en el movimiento rectilíneo equivale al momento lineal o
cantidad de movimiento pero aplicada al movimiento curvilíneo, circular y/o giratorio (producto
vectorial de la cantidad de movimiento por el vector posición, desde el centro de giro al punto
donde se encuentra la masa puntual).
Momento de inercia (I): es una cualidad de los cuerpos que depende de su forma y de la
distribución de su masa y que resulta de multiplicar una porción concreta de la masa por la
distancia que la separa al eje de giro.
Momento de fuerza (M): o par motor es la fuerza aplicada por la distancia al eje de giro (es el
equivalente a la fuerza agente del movimiento que cambia el estado de un movimiento rectilíneo).

𝐹𝐶𝑃 = 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑝𝑒𝑡𝑎
𝐹𝐶𝑓 = 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑓𝑢𝑔𝑎

MCU: FUERZA CENTRÍPETA Y ACELERACIÓN CENTRÍPETA.
➢ La aceleración centrípeta o radial:
también se expresa atreves de la
velocidad angular.
➢ La fuerza centrípeta, al igual que la
expresión general de la segunda ley de
Newton, es igual al producto de la
masa por la aceleración centrípeta.
𝐹
𝑐 = 𝑚𝑎𝑐
𝛼 = 0
𝑣2
𝑟
= 𝑟𝜔2
𝑣2
= 𝑟2
𝜔2
𝑣 = 𝑟𝜔
1.La velocidad angular es constante (ω = cte).
2.El vector velocidad es tangente en cada punto a la trayectoria y su sentido es el
del movimiento. Esto implica que el movimiento cuenta con aceleración normal.
3.Tanto la aceleración angular (α) como la aceleración tangencial (at) son nulas, ya
que la rapidez o celeridad (módulo del vector velocidad) es constante.
4.Existe un periodo (T), que es el tiempo que el cuerpo emplea en dar una vuelta
completa. Esto implica que las características del movimiento son las mismas cada
T segundos. La expresión para el cálculo del periodo es T=2π/ω y es sólo válida
en el caso de los movimientos circulares uniformes (m.c.u.).
5.Existe una frecuencia (f), que es el número de vueltas que da el cuerpo en un
segundo. Su valor es el inverso del periodo
𝜔 = 𝑐𝑡𝑒
Velocidad angular constante
𝑎𝑐 =
𝑣2
𝑟
𝑎𝑐 = 𝑟𝜔2
𝑎𝑡 = 0
𝑎𝑡 = 𝛼 ∗ 𝑟

MCUV: Aceleración angular constante
➢ La aceleración angular es la rapidez de
cambio de la velocidad angular.
𝛼 =
𝑑𝜔
𝑑𝑡
α𝑑𝜃 = 𝜔𝑑𝜔
➢ En el caso de que la aceleración angular
es constante se puede hallar la expresión
de la velocidad angular.
𝜔 𝑡 = 𝜔𝑜 + 𝛼𝑡
➢ La expresión de la posición angular
𝜃 𝑡 = 𝜃𝑜 + 𝜔𝑜𝑡 +
1
2
𝛼𝑡2
𝛼 = 𝑐𝑡𝑒 Aceleración angular constante
𝑎𝑡 = 𝛼 ∗ 𝑟
𝑎𝑐 =
𝑣2
𝑟
𝑎𝑐 = 𝑟𝜔2

USO
➢ Movimiento que describe un objeto que da vueltas sobre un eje siempre en la misma distancia y
con una velocidad constante (MCU).
➢ Movimiento que describe cunado un objeto presenta una trayectoria circular aumentando o
disminuyendo la velocidad de forma constante a medida que transcurre el tiempo (Un vehículo
en una rotonda) .
➢ Movimiento circular en el que la Tierra gira sobre si misma durante un periodo de tiempo de 24
horas. En rotación, la tierra posee una aceleración centrípeta la cual hace que sus partes no
salgan despedidas en todas direcciones.
➢ La hélices de un helicóptero posee un movimiento circular uniforme en el momento en el que las
hélices obtienen una velocidad constante.
➢ Disco compacto, este posee un movimiento circular uniforme en el momento de reproducción en
el equipo de música. Tiene una fuerza centrípeta que hace que el disco gire en un solo punto.
➢ Movimiento circular en el que la tierra se desplaza en orbita alrededor del sol durante un periodo
de tiempo de 365 días. En la traslación la tierra posee una aceleración centrípeta la cual hace que
no salga de su orbita.
➢ Las ruedas de bicicletas, vehículos. Las agujas del reloj.

Ejemplo 1
Cuando se enciende un motor eléctrico este avanza con una velocidad constante de
2400rev/min, en 4 seg. Y cuando se apaga este se detiene en 40 seg. Asumiendo un
movimiento uniforme acelerado. Determine el numero de revoluciones que el motor
ejecuta. A) cuando alcanza su velocidad promedio de 2400 rev/min. B) cuando desciende
su velocidad hasta 0.
Ejemplo 2
El cinturón se mueve encima de dos poleas sin fricción para el instante mostrado las poleas
están rodeado horariamente y la velocidad de B en el cinturón es 4 m/seg incrementando a
razón de 32m/s^2 Determine para este instante. a) la velocidad angular y la aceleración
angular de cada polea. b) La aceleración del pto. p en la polea c.
100mm
160mm
B
P
A
C

Ejemplo 3
El cinturón se mueve encima de dos placas sin fricción, la polea A empieza desde el reposo
con una aceleración angular horaria definida por la relación 𝛼 = 120 − 0.002𝜔2
, donde 𝛼
esta en 𝑟𝑎𝑑/𝑠2 y ω 𝑟𝑎𝑑/𝑠 determine después de ½ revolución de la polea A.
a) La magnitud de la aceleración del pto B y su velocidad tangencial en el cinturón.
b) La aceleración del pto P en la polea c.
A
C
B

Objetivos
➢ Conocer las principales características del movimiento cinético de las partículas,
tales como posición, velocidad y aceleración, para aplicarlas en casos tanto de
movimiento rectilíneo, como curvilíneo y caótico.
➢ Realizar estudio de casos cinéticos de movimiento absoluto y relativo de
vehículos sobre una carretera plana o con pendiente en trayectos rectos y
curvos.
➢ Aplicar los conceptos de trabajo y energía en la resolución de problemas para el
movimiento de partículas.

Cinética de la Partícula
LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEWTON.
Muchas de las tempranas nociones sobre dinámica fueron modificadas después de 1590
cuando Galileo efectuó experimentos para estudiar los movimientos de péndulos y cuerpos en
caída libre. Las conclusiones extraídas de esos experimentos proporcionaron cierta
información acerca de los efectos de las fuerzas que actúan sobre cuerpos en movimiento. Sin
embargo, las leyes generales del movimiento de un cuerpo sometido a fuerzas no fueron
conocidas sino hasta 1687, cuando Isaac Newton presentó tres leyes básicas que rigen el
movimiento de una partícula.
PRIMERA LEY: Una partícula originalmente en reposo, o moviéndose en línea recta con
velocidad constante, permanecerá en este estado siempre que no este sometida a una fuerza
desbalanceada. Se conoce como Principio de Inercia, a partir de aquí desarrollan los marcos de
referencias inerciales
SEGUNDA LEY: Una partícula sobre la que actúa una fuerza F desbalanceada experimenta una
aceleración 𝑎 que tiene la misma dirección que la fuerza y magnitud directamente
proporcional a la fuerza.
TERCERA LEY: Las fuerza mutuas de acción y reacción entre dos partículas son iguales,
opuestas y colineales.

Las leyes primera y tercera fueron usadas ampliamente en el desarrollo de los conceptos
de la estática. Aunque estas leyes también son consideradas en dinámica, la segunda ley
del movimiento de Newton constituye la base para la mayor parte de este estudio, ya que
esta ley relaciona el movimiento acelerado de una partícula con las fuerzas que actúa
sobre ella.
Las mediciones de fuerza y aceleración pueden ser registradas en un laboratorio de
manera que, de acuerdo con la segunda ley, si una fuerza F conocida desbalanceada es
aplicada a una partícula, la aceleración 𝑎 de la partícula puede ser medida. Como la fuerza
y la aceleración son directamente proporcionales, la constante de proporcionalidad m
puede ser determinada a partir de la razón 𝑚 = Τ
𝐹 𝑎. El escalar positivo m se denomina
masa de la partícula. Como es constante durante cualquier aceleración, m proporciona
una medida cuantitativa de la resistencia de la partícula a un cambio en su velocidad.
Si la masa de la partícula es m, la segunda ley del movimiento de Newton puede ser
escrita en forma matemática como 𝐹 = 𝑚 ∗ 𝑎

LEY DE LA ATRACCION GRAVITATORIA DE NEWTON.
Poco después de formular sus tres leyes del movimiento, Newton postuló una ley que rige la
atracción mutua entre dos partículas cualesquiera.
𝐹 = 𝐺
𝑚1𝑚2
𝑟2
F = Fuerza de atracción entre las dos partículas.
G = Constante universal de gravitación; de acuerdo con evidencia experimental. 𝐺 = 66.73𝑥10−12
𝑚1𝑚2= masa de cada una de las dos partículas.
r = distancia entre los centros de las dos partículas.
Dos partículas o cuerpos cualesquiera tienen una fuerza atractiva gravitatoria mutua actuando
entre ellas. Sin embargo, en el caso de una partícula ubicada en o cerca de la superficie de la Tierra,
la única fuerza gravitatoria que tiene magnitud considerable es aquella existente entre la Tierra y la
partícula. Esta fuerza se llama “peso” y para nuestros fines, será la única fuerza gravitatoria que
consideraremos.

MASA Y PESO
La masa es una propiedad de la materia por medio de la cual podemos comparar la respuesta de un
cuerpo con la de otro. Esta propiedad se manifiesta como una atracción gravitatoria entre dos
cuerpos y proporciona una medida cuantitativa de la resistencia de la materia a un cambio de
velocidad. La masa es una cantidad absoluta ya que su medición puede efectuarse en cualquier sitio.
Sin embargo, el peso de un cuerpo no es absoluto ya que es medido en un campo gravitatorio, y por
consiguiente su magnitud depende de donde se efectué la medición.
W= peso de una partícula que tenga masa 𝑚1. Sea 𝑚2 la masa de la Tierra y r la distancia entre el
centro de la Tierra y la partícula. Entonces, si 𝑔 = Τ
𝐺𝑚2 𝑟2, tenemos:
𝑊 = 𝑚𝑔

LA ECUACION DE MOVIMIENTO
Cuando más de una fuerza actúa sobre una partícula, la fuerza resultante es determinada
mediante una suma vectorial de todas las fuerzas, esto es;
𝐹𝑅 = ෍ 𝐹
Para ese caso mas general, la ecuación de movimiento puede escribirse como;
෍ 𝐹 = 𝑚𝑎
Para ilustrar como se aplica esta ecuación, considere la partícula P mostrada en la figura, la cual
tiene masa m y está sometida a la acción de dos fuerzas 𝐹1 𝑦𝐹2. Gráficamente, podemos tomar en
cuenta la magnitud y la dirección de cada fuerza que actúa sobre la partícula dibujando el
diagrama de cuerpo libre de la partícula. Como la resultante de esa fuerza produce el vector 𝑚 ∗
𝑎, su magnitud y su dirección pueden ser representadas gráficamente en el diagrama cinético,
mostrada en la figura. 𝐹𝑅 = σ 𝐹 = 0, entonces la aceleración es también cero, de modo que la
partícula permanecerá en reposo o moviéndose en una trayectoria recta con velocidad constante.
Tales son las condiciones del equilibrio estático, o primera ley del movimiento de Newton.

Recuerde que el diagrama de cuerpo libre considera a la partícula libre de su entorno y
muestra todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. El diagrama cinético corresponde al
movimiento de la partícula causado por las fuerzas.
La ecuación de movimiento también puede ser reescrita en la forma de σ 𝐹 = 𝑚𝑎 = 0. el
vector 𝑚𝑎 se llama vector de fuerza inercial.
Si este es tratado de la misma manera que un vector fuerza, entonces el estado de equilibrio
creado se denomina equilibrio dinámico. Este método de aplicación a menudo es referido
como el principio de D’ Alembert, llamado así en honor del matemático francés Jean Le Rond
D’Alembert.
MARCO INERCIAL DE REFERENCIA
Siempre que la ecuación de movimiento es aplicada, se requiere que las mediciones de la
aceleración se efectúen desde un marco de referencia inercial o newtoniano. Un sistema
coordenado de tal tipo no gira y esta fijo o se traslada en una dirección dada con la velocidad
constante (aceleración cero).

Esta definición garantiza que la aceleración de la partícula medida por
observadores colocados en dos marcos inerciales de referencia
diferentes será siempre la misma.
Por ejemplo, considere la partícula P moviéndose con una aceleración
absoluta 𝑎𝑝 a lo largo de una trayectoria recta como se muestra en la
figura. Si el observador esta fijo en el marco inercial de referencia x, y,
esta aceleración, 𝑎𝑝, será medida por él independientemente de la
dirección y la magnitud de la velocidad 𝑣 del marco de referencia. Por
otra parte, si el observador esta fijo en el marco de referencia no
inercial x’, y’, no medirá para la aceleración de la partícula el valor 𝑎𝑝,
en vez de ello, si el marco esta acelerando en 𝑎𝑜. Además, si el marco
esta girando, como indica la flecha curva, entonces parecerá que la
partícula se mueve por una trayectoria curva, en cuyo caso parecerá
que la partícula tiene otras componentes de aceleración. En cualquier
caso, la aceleración medida desde este observador no puede ser usada
en la ley del movimiento de Newton para determinar las fuerzas que
actúan sobre la partícula.

ECUACION DEL MOVIMIENTO: COORDENADAS
RECTANGULARES
Cuando una partícula se mueve con respecto a un marco de referencia inercial x,y,z las
fuerzas que actúan sobre la partícula, así como su aceleración, pueden ser expresadas
en términos de sus componentes i, j, k, aplicando la ecuación del movimiento, tenemos;
෍ 𝐹 = 𝑚𝑎
෍ 𝐹𝑥𝑖 + ෍ 𝐹𝑦𝑗 + ෍ 𝐹
𝑧𝑘 = 𝑚 𝑎𝑥𝑖 + 𝑎𝑦𝑗 + 𝑎𝑧𝑘
Por lo que;
෍ 𝐹
𝑥 = 𝑚𝑎𝑥
෍ 𝐹𝑦 = 𝑚𝑎𝑦
෍ 𝐹𝑧 = 𝑚𝑎𝑧

Ejemplo 1
13-2 El bloque de 10lb tiene velocidad inicial de 10 pies/s sobre el plano liso. Si una fuerza
F=(2.5t) lb, donde t esta en segundos, actúa sobre el bloque por 3s. Determine la velocidad
final del bloque y la distancia que recorre durante este tiempo

Ejemplo 2
La caja tiene una masa de 80kg y es jalada por una cadena que siempre esta dirigida a
20° de la horizontal como se muestra. Si la magnitud de T es incrementada hasta que la
caja empieza a deslizarse, determine la aceleración inicial de la caja si el coeficiente de
fricción estática es 𝜇𝑠 = 0.5 y el coeficiente de fricción cinética es 𝜇𝑘

13-11 El juego en el parque acuático consta d un carruaje de 800lb que resbala del reposo por
el plano inclinado y llega al estanque. Si la resistencia por fricción sobre el plano inclinado es
𝐹
𝑟 = 30𝑙𝑏 y en el estanque. Por una corta distancia, 𝐹𝑟 = 80𝑙𝑏, determine que tan rápido
viaja al carruaje cuando 𝑠 = 5𝑝𝑖𝑒𝑠.
Ejemplo 3

Ejemplo 4
 Un bloque de 30kg viaja con una velocidad de
15m/seg hacia arriba de un plano inclinado de 28°
con respecto a la horizontal después de recorrer
10m el bloque se detiene. Calcular el coeficiente de
fricción y la velocidad con que el bloque regresa a
la posición original
En un sistema interconectado interactúan dos
bloque inicialmente en reposo, siendo 20 y 60kg
de masa respectivamente. El sistema se suelta y el
equilibrio se interrumpe. Calcule la velocidad final
60seg después de partir del reposo. Considerando
U=0.85. (U entre mas se acerca a 1 es mas rugosa)
Ejemplo 5

Ejemplo 6
Un bloque tiene una masa de 2kg descansa sobre un plano liso (miu=0), inclinado a 20° con
respecto a la horizontal esta unido con una cuerda que pasa por una polea y un peso de
4kg, ? Cual es la velocidad del peso de 4kg, 5seg después de haber partido del reposo?.
Ejemplo 7
Si un automóvil frena a lo largo de 60mts a una velocidad de 100km/h en pavimento
nivelado determine la distancia de frenado a 100kph cuando esta:
a) Con una inclinación de 6°
b) Con una inclinación del 2% hacia abajo.

Ejemplo 8
13-38. El collar C de 2 Lb se ajusta con holgura sobre la flecha lisa. Si el resorte no está
estirado cuando 𝑠 = 0 y al collar se le da una velocidad de 15 pies/s, determine la velocidad
del collar cuando s=1 pies.

Componentes normales y tangenciales
Cuando una partícula se mueve sobre una trayectoria curva conocida, la ecuación del
movimiento de la partícula puede ser escrita en las direcciones tangencial, normal y
binormal, Tenemos;
෍ 𝐹 = 𝑚𝑎
෍ 𝐹𝑡𝑢𝑡 + ෍ 𝐹𝑛𝑢𝑛 + ෍ 𝐹𝑏𝑢𝑏 = −𝑚𝑎𝑡 + 𝑚𝑎𝑛
Aquí los términos de la izquierda de la ecuación representan las sumas de todas las
componentes de fuerzas que actúan sobre la partícula en las direcciones tangencial,
normal y binormal, respectivamente. Advierta que no hay movimiento de la partícula en la
dirección binormal, ya que la partícula esta restringida a moverse a lo largo de la
trayectoria. La ecuación anterior es satisfecha si:
෍ 𝐹𝑡 = 𝑚𝑎𝑡 ; ෍ 𝐹𝑛 = 𝑚𝑎𝑛
෍ 𝐹𝑏 = 0

Componentes normales y tangenciales
Recuerde que 𝑎𝑡 = Τ
𝑑𝑣 𝑑𝑡 , representa la razón de cambio con respecto
al tiempo de la magnitud de la velocidad. En consecuencia, si σ 𝐹𝑡 actúa
en la dirección del movimiento, la rapidez de la partícula aumentará
mientras que si actúa en la dirección opuesta la partícula disminuirá su
rapidez. Igualmente, 𝑎𝑛 = Τ
𝑣2 𝜌, representa la razón de cambio con
respecto al tiempo de la dirección de la velocidad. Como este valor
siempre actúa en la dirección n positiva, es decir, hacia el centro de
curvatura de la trayectoria σ 𝐹𝑛, la cual genera 𝑎𝑛, actúa también en esta
dirección. Por ejemplo, cuando la partícula esta restringida a viajar en
una trayectoria circular con rapidez constante, existe una fuerza normal
ejercida sobre la partícula por la retracción para cambiar la dirección de
la velocidad 𝑎𝑛 , de la partícula. Como esta fuerza siempre esta dirigida
hacia el centro de la trayectoria. Se le llama a menudo fuerza centrípeta

Ejemplo 1
13-53. El carro deportivo, que tiene masa de 1700 kg, eta viajando
horizontalmente por una pista con 20° de inclinación lateral que es
circular y tiene radio de curvatura 𝜌 = 100𝑚. Si el coeficiente de fricción
estática entre los neumáticos y el camino es 𝜇𝑘 = 0.2. determine la
rapidez constante máxima a la que el carro puede viajar sin resbalar hacia
arriba por la pendiente. Desprecie el tamaño del carro.
13-54. Usando los datos del
problema anterior
determine la rapidez mínima
a la que el carro puede viajar
alrededor del camino sin
resbalar hacia abajo por la
pendiente.

Ejemplo 2
13-57. La bola de demolición de 600kg está
suspendida de la grúa por un cable que
tiene masa insignificante. Si la bola tiene
rapidez v=8m/s en el instante en que esta
en su punto mas bajo 𝜃 = 0°, determine la
tensión en el cable en ese instante.
Determine también el ángulo 𝜃 que la bola
oscila antes de detenerse.

Ejemplo 3
13-70 El paquete tiene un peso de 5lb y
se desliza hacia abajo por la canaleta.
Cuando alcanza la porción curva AB,
está viajando a 8 pies/s 𝜃 = 0°. Si la
canaleta es lisa. Determine la rapidez de
paquete cuando alcanza el punto
intermedio C ( 𝜃 = 30° ) y cuando
alcanza el plano horizontal (𝜃 = 45°).
Encuentre también la fuerza normal que
actúa sobre el paquete en el punto C.

Coordenadas polares
13-88. El Niño de 40kg resbala hacia abajo
por la resbaladilla en espiral con rapidez
constante tal que su posición, medida
desde la parte superior de la vía, tiene
componentes r=1.5m, 𝜃 = 0.7𝑡 𝑟𝑎𝑑, y 𝑧 =
−0.5𝑡 𝑚 , donde t esta en segundos.
Determine las componentes de fuerzas
𝐹𝑟, 𝐹𝜃 𝑦 𝐹𝑧, que la resbaladilla ejerce sobre él
en el instante t=2s. Desprecie el tamaño del
niño.
Ejemplo 4

1. Realizar estudio de casos cinéticos de movimiento
absoluto y relativo de vehículos sobre una carretera
plana o con pendiente en trayectos rectos y curvos.
2. Aplicar los conceptos de trabajo y energía en la
resolución de problemas para el movimiento de
partículas.
Objetivos

El trabajo de una fuerza
En mecánica, una fuerza F efectúa trabajo sobre una
partícula solo cuando ésta experimenta un
desplazamiento en la dirección de la fuerza. Por
ejemplo, Considere la fuerza F que actúa sobre la
partícula en la figura. Si la partícula se mueve a lo largo
de la trayectoria S desde la posición r hasta una nueva
posición r’, el desplazamiento es entonces dr= r’ – r. La
magnitud de dr es representada por ds, que es un
segmento diferencial a lo largo de la trayectoria. Si el
ángulo entre las colas de dr y F es 𝜃, entonces el trabajo
dU que es realizado por F es una cantidad escalar,
definida mediante.
d𝑈 = 𝐹 ∗ 𝑑𝑠 ∗ 𝐶𝑜𝑠𝜃
Por definición del producto punto, esta ecuación
también puede ser escrita como:
𝑑𝑈 = 𝐹. 𝑑𝑟

Este resultado puede ser interpretado de dos maneras;
Como el producto de F y la componente del
desplazamiento en la dirección de la fuerza, es decir,
𝑑𝑠𝑐𝑜𝑠𝜃, o como el producto de ds y la componente de la
fuerza en la dirección del desplazamiento, es decir,
𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃 , Observe que si 0° ≤ 𝜃 < 90° , entonces la
componente de fuerza y el desplazamiento tienen el
mismo sentido de manera que el trabajo es positivo,
mientras que 90° ≤ 𝜃 < 180°, esos vectores tienen
sentido opuesto, y por tanto el trabajo es negativo,
Además, 𝑑𝑈 = 0 si la fuerza es perpendicular al
desplazamiento, ya que 𝑐𝑜𝑠90° = 0, o si la fuerza es
aplicada a un punto fijo, en cuyo caso el desplazamiento
es cero.

La unidad básica para el trabajo en el SI se llama Joule (J). Esta unidad
combina las unidades de fuerza y desplazamiento. Específicamente, 1
Joule de trabajo es realizado cuando una fuerza de 1 Newton se mueve
un metro a lo largo de su línea de acción (1J = 1 N*m) . El momento de
una fuera tiene la misma combinación de unidades (N*m); sin
embargo, los conceptos de momento y trabajo no están relacionados
de ninguna manera. Un momento es una cantidad vectorial, mientras
que el trabajo es un escalar. En el sistema FPS, generalmente el trabajo
es definido escribiendo las unidades como pies*lb, lo que se distingue
de las unidades empleadas para un momento, escrito como lb*pie.

El trabajo de una fuerza variable
Si la partícula experimenta un desplazamiento finito a lo largo de su
trayectoria desde 𝑟1 hasta 𝑟2o de 𝑠1 a 𝑠2 el trabajo es determinado por
integración. Si F se expresa como una función de posición, 𝐹 = 𝐹(𝑠),
tenemos.
𝑈1−2 = ‫׬‬
𝑟1
𝑟2
𝐹. 𝑑𝑟 = ‫׬‬
𝑆1
𝑆2
𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝑠
Si la componente de trabajo de la fuerzs, 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃, es graficada contra s,
en esta ecuación la integral puede ser interpretada como el área bajo la
curva desde la posición 𝑠1 hasta la posición 𝑠2.

El trabajo de una fuerza variable

El trabajo de una fuerza constante que se mueve
a lo largo de una línea recta.
Si la fuerza F tiene magnitud constante y
actúa bajo un ángulo constante 𝜃 desde su
trayectoria en línea recta, entonces la
componente de F, en la dirección del
desplazamiento es 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃 . El trabajo
realizado por F cuando la partícula es
desplazada de 𝑆1 a 𝑆2 es determinado con
la ecuación siguiente.
𝑈1−2 = 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃 න
𝑠1
𝑠2
𝑑𝑠
𝑈1−2 = 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑠2 − 𝑠1)

El trabajo de un peso.
Considere una partícula que se mueve hacia arriba a lo largo de la
trayectoria s mostrada en la figura desde la posición 𝑠1 hasta la
posición 𝑠2. En un punto intermedio, el desplazamiento 𝑑𝑟 = 𝑑𝑥𝑖 +
𝑑𝑦𝑗 + 𝑑𝑧𝑘 . Como 𝑊 = −𝑊𝑗 , aplicando la ecuación siguiente
obtenemos;
𝑈1−2 = න 𝐹. 𝑑𝑟 = න
𝑟1
𝑟2
−𝑊𝑗 . (𝑑𝑥𝑖 + 𝑑𝑦𝑗 + 𝑑𝑧𝑘)
𝑈1−2 = න
𝑟1
𝑟2
−𝑊 . (𝑑𝑦𝑗)
𝑈1−2 = −𝑊(𝑦2 − 𝑦1)
𝑈1−2 = −𝑊∆𝑦
El trabajo de este peso es negativo
porque W es hacia abajo y dyj
(desplazamiento en y) es hacia
arriba, están en sentido contrario.

Principio de trabajo y Energía
Aclarar ‫׬‬ 𝐹𝑡 𝑑𝑠 = ‫׬‬ 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝑠

Ejemplo 1
14-12. La fuerza F, que actúa en
dirección constante sobre el bloque
de 20kg, tiene una magnitud que varia
con la posición s del bloque.
Determine la rapidez del bloque
después que se ha deslizado 3m,
cuando s=0 el bloque se esta
moviendo hacia la derecha a 2m/s. El
coeficiente de fricción cinética entre e
bloque y la superficie es 𝜇𝑘 = 0.3.

El carro B remolca al carro A con una velocidad de 10m/s en una pendiente
inclinada, cuando los frenos del carro A son completamente aplicados
causando que las 4 ruedas patinen el conductor del carro B no cambia de
velocidad es decir no aplica los frenos. Las masas de los carros A y B son
respectivamente 1400 y 1200kg, el coeficiente de fricción cinética 0.8.
Desprecie la resistencia del aire y del rodamiento determine a) la distancia
recorrida por los carros hasta detenerse. B) la tensión en el cable.

Potencia y Eficiencia
Potencia: La potencia se define como la cantidad de trabajo realizado por unidad
de tiempo. Así, la potencia generada por una máquina o un motor que realiza una
cantidad de trabajo dU dentro del intervalo de tiempo dt es;
𝑃 =
𝑑𝑈
𝑑𝑡
Si el trabajo dU es expresado por 𝑑𝑈 = 𝐹. 𝑑𝑟,entonces también es posible escribir:
𝑃 =
𝑑𝑈
𝑑𝑡
=
𝐹. 𝑑𝑟
𝑑𝑡
= 𝐹.
𝑑𝑟
𝑑𝑡
𝑃 = 𝐹. 𝑉
Por consiguiente, la potencia es un escalar, en donde la formulación V, representa
la velocidad del punto sobre el que actúa la fuerza F. Las unidades son watt (W) y
el caballo de potencia (Hp) en SI y FPS respectivamente.

1𝑊 = 1
𝐽
𝑠
= 1𝑁. 𝑚/𝑠
1ℎ𝑝 = 550 𝑝𝑖𝑒𝑠. 𝑙𝑏/𝑠
Para la conversión entre los dos sistemas de unidades. 1hp = 746 W.
El termino potencia proporciona una base útil para determinar el tipo de motor o
maquina requeridos para efectuar cierta cantidad de trabajo en un tiempo dado.
Por ejemplo, cada una de dos bombas puede ser capaz de vaciar un deposito si se le
da suficiente tiempo; sin embargo la bomba con mayor potencia terminará el
trabajo mas pronto.
Eficiencia; La eficiencia mecánica de una maquina se define como la razón de la
salida de potencia útil producida por la maquina a la entrada de potencia
suministrada a la maquina. Por consiguiente,
𝜖 =
𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎

Si la energía aplicada a la maquina ocurre durante el mismo intervalo de tiempo en que es
retirada, entonces la eficiencia puede ser expresada también en términos de la razón de salida
de energía a entrada de energía; es decir.
𝜖 =
𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎𝑎
Como las máquinas constan de una serie de partes móviles, las fuerzas de fricción siempre
serán desarrolladas dentro de la maquina, y como resultado, es necesaria energía o potencia
adicional para vencer esas fuerzas. En consecuencia, la eficiencia de una maquina siempre es
menor que 1.

Energía potencial; La energía puede ser definida como la capacidad de efectuar trabajo.
Cuando la energía proviene del movimiento de la partícula se llama energía cinética.
Cuando proviene de la posición de la partícula, medida desde un datum fijo o plano de
referencia, la fuerza se denomina energía potencial. Así, la energía potencial es una
medida de la cantidad de trabajo que una fuerza conservativa realizará cuando se mueva
desde una posición dad hasta el datum.
Energía potencial elástica. Cuando un resorte elástico es alargado o comprimido una
distancia s desde su posición no alargada, la energía potencial elástica 𝑉
𝑒 a la
configuración del resorte puede ser expresada como;
𝑉
𝑒 =
1
2
𝑘𝑠2
𝑉
𝑒 es siempre positivo ya que, en la posición deformada, a fuerza del resorte siempre
tiene la capacidad de efectuar trabajo positivo sobre la partícula cuando el resorte
retorna a su posición alargada.
Energía Potencial

Unidad III Cinemática de cuerpos rígidos
1. Cinemática del cuerpo rígido. Movimiento del
cuerpo rígido. Traslación.
2. Rotación con respecto a un eje fijo
3. Movimiento plano general.
4. Análisis del movimiento relativo: velocidad.
5. Centro Instantáneo de velocidad cero.
6. Análisis del movimiento relativo: aceleración.

• Conocer las principales características del movimiento
cinemático de los cuerpos rígidos, tales como posición,
velocidad y aceleración, para aplicarlas en problemas de
traslación, rotación y movimiento plano general.
Objetivo General

• Interpretar las condiciones necesarias y suficientes para que un cuerpo
rígido tenga movimiento plano respecto a un marco de referencia.
• Manejar las relaciones de velocidades y de aceleraciones entre partículas
de un cuerpo rígido en movimiento plano.
• Interpretar geométricamente el vector velocidad angular y el vector
aceleración angular de un cuerpo rígido en movimiento plano.
• Analizar el movimiento de rodadura sobre una superficie rectilínea y
circulares.
Objetivos específicos

Unidad III Cinemática de cuerpos rígidos
MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO
Analizaremos la cinemática plana de un cuerpo rígido. Este estudio es
importante para el diseño de engranes, levas y mecanismos usados
en muchas operaciones mecánicas. Además una vez que la
cinemática de un cuerpo rígido sea completamente entendida, será
posible aplicar las ecuaciones de movimiento, las cuales relacionan
las fuerzas sobre el cuerpo con el movimiento de esta.
Cuando todas las partículas de un cuerpo rígido se mueven a lo largo
de trayectorias que son equidistantes de un plano fijo, se dice que el
cuerpo experimenta movimiento plano. Hay tres tipos de
movimiento plano de un cuerpo rígido y, en orden de complejidad
creciente, son:

Movimiento de un cuerpo rígido.
1. Traslación. Este tipo de movimiento ocurre si cada segmento de línea sobre el
cuerpo permanece paralelo a su dirección original durante movimiento. Cuando
las trayectorias de movimiento para dos partículas cualesquiera del cuerpo son a
lo largo de líneas rectas equidistantes, el movimiento se llama traslación
rectilínea. Sin embargo, si las trayectorias de movimiento pasan por líneas
curvas que son equidistantes, el movimiento se la traslación curvilínea.
2. Rotación con respecto a un eje fijo. Cuando un cuerpo rígido gira con respecto a
un eje fijo. Todas las partículas del cuerpo, excepto aquellas que se encuentran
sobre el eje de rotación, se mueven por trayectorias circulares.
3. Movimiento plano general. Cuando un cuerpo esta sometido a movimiento
plano general, experimenta una combinación de traslación y rotación. La
traslación ocurre dentro de un plano de referencia, y la rotación se efectúa con
respecto a un eje perpendicular al plano de referencia.

Tipos de movimiento plano de un cuerpo rígido

En las siguientes secciones consideraremos con todo detalle cada uno de estos
movimientos, Ejemplos de cuerpos experimentado estos movimientos se muestran
en la figura.

Considere un cuerpo rígido que esta sometido a traslación rectilínea
o curvilínea en el plano x-y.
TRASLACIÓN

Traslación
Posición. La ubicación de los puntos A y B en el cuerpo se define desde el marco de
referencia fijo x, y usando vectores de posición 𝑟𝐴 𝑦 𝑟𝐵. El sistema coordenado en
traslación x’ y y’ está fijo en el cuerpo y tiene su origen localizado en el punto A. al
que llamaremos punto base. La posición de B con respecto a A es denotada
mediante el vector de posición relativa 𝑟𝐵/𝐴 (r de B con respecto a A). Por adición
vectorial.
𝑟𝐵 = 𝑟𝐴 + 𝑟𝐵/𝐴
Velocidad. Una relación entre las velocidades instantáneas de A y B se obtiene
tomando las derivadas con respecto al tiempo de la ecuación de posición. La cual
da 𝑣𝐵 = 𝑣𝐴 + Τ
𝑑𝑟 Τ
𝐵 𝐴 𝑑𝑡 . Aquí 𝑣𝐴 y 𝑣𝐵, denotan velocidades absolutas ya que estos
vectores son medidos desde los ejes x, y. El termino Τ
𝑑𝑟 Τ
𝐵 𝐴 𝑑𝑡 = 0, ya que la
magnitud de 𝑟𝐵/𝐴 es constante por definición de un cuerpo rígido, y a causa de que
el cuerpo se está trasladando la dirección de 𝑟𝐵/𝐴 es constante. Por tanto.
𝑣𝐵 = 𝑣𝐴

Aceleración. Tomando la derivada con respecto al tiempo de la ecuación de velocidad
se obtiene una relación similar entre las aceleraciones instantáneas de A y B.
𝑎𝐵 = 𝑎𝐴
Las dos ecuaciones anteriores indican que todos los puntos en un cuerpo rígido sometido a
traslación rectilínea o curvilínea se mueven con la misma velocidad y aceleración. Como
resultado, la cinemática del movimiento de una partícula, puede usarse también para especificar
la cinemática de puntos ubicados en un cuerpo rígido en traslación.
Traslación

Cuando un cuerpo esta girando alrededor de un eje fijo, cualquier
punto P ubicado en el cuerpo viaja por una trayectoria circular. Para
estudiar este movimiento es necesario analizar primero el
movimiento angular del cuerpo alrededor del eje.
Movimiento angular: Un punto no tiene dimensión, por lo que carece
de movimiento angular. Solo líneas o cuerpos experimenta
movimiento angular. Por ejemplo, considere el cuerpo mostrado en
la figura y el movimiento angular de una línea radial r localizada del
plano sombreado y dirigida desde el punto O sobre el eje rotación
hasta el punto P.
Posición angular. En el instante mostrado, la posición angular de r
esta definida por el ángulo 𝜃, medido entre una línea de referencia fija y r.
Desplazamiento angular. El cambio en la posición angular, que puede
ser medido como un 𝑑𝜃, 𝑠𝑒 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟.
ROTACIÓN con respecto a un eje fijo.

Este vector tiene una magnitud dθ, medido en grados, radianes o revoluciones, donde
1rev = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑. Como el movimiento es con respecto a un eje fijo, la dirección de 𝑑𝜃 es
siempre a lo largo del eje. Específicamente, la dirección es determinada aplicando la
regla de la mano derecha; esto es, los dedos de la mano derecha se doblan según el
sentido de la rotación, de manera que en este caso el pulgar, o 𝑑𝜃, señala hacia arriba,
(vea figura anterior). En dos dimensiones, como se muestra en la vista superior del
plano sombreado, figura siguiente, 𝜃 y 𝑑𝜃 están dirigido en sentido contrario al de las
manecillas del reloj, por lo que el pulgar señala hacia fuera de la presentación.

Velocidad angular: La razón de cambio con respecto al tiempo de
la posición angular se llaman velocidad angular 𝜔. Como 𝑑𝜃 ocurre
durante un instante dt, entonces,
𝜔 =
𝑑𝜃
𝑑𝑡
Este vector tiene una magnitud que a menudo es medida en rad/s.
está expresado en forma escalar ya que su dirección es siempre a
lo largo del eje de rotación, esto es, en la misma dirección que 𝑑𝜃.
Al indicar el movimiento angular en el plano sombreado, podemos
referirnos al sentido de rotación como igual o contrario al de las
manecillas, se a elegido arbitrariamente positiva el sentido
contrario al de las manecillas del reloj. Sin embargo observe que el
sentido direccional de 𝜔 es en realidad hacia fuera de la
presentación.

Aceleración Angular: La aceleración angula 𝛼 mide la razón de cambio con respecto al
tiempo de la velocidad angular. La magnitud de este vector puede ser escrita como.
𝛼 =
𝑑𝜔
𝑑𝑡
O también,
𝛼 =
𝑑2
𝜃
𝑑𝑡2
La línea de acción de 𝛼 es la misma que la de 𝜔, ver figura, sin embargo, el sentido de
dirección depende de si 𝜔 esta aumentando o disminuyendo. En particular, si 𝜔 esta
disminuyendo, entonces 𝛼 se llama desaceleración angular y tiene, por tanto, un
sentido de dirección opuesto al de 𝜔.
Eliminando dt de las ecuaciones anteriores obtenemos una relación diferencial entre la
aceleración angular, la velocidad angular y desplazamiento angular, esto es.
𝛼𝑑𝜃 = 𝜔𝑑𝜔

Aceleración Angular constante: Si la aceleración angular del cuerpo es constante, 𝛼 =
𝛼𝑐, entonces las ecuaciones anteriores al ser integradas, resultan en un conjunto de
formulas que relacionan la velocidad angular del cuerpo, la posición angular y el
tiempo.
𝜔 = 𝜔𝑜 + 𝛼𝑐𝑡
𝜃 = 𝜃0 + 𝜔0 +
1
2
𝛼𝑐𝑡2
𝜔2
= 𝜔0
2
+ 2𝛼𝑐(𝜃 − 𝜃0)
Aceleración angular constante

Velocidad. La velocidad de P tiene una magnitud que puede encontrarse a partir de sus
componentes coordenada polares:
𝑣𝑟 = ሶ
𝑟 𝑦 𝑣𝜃 = 𝑟 ሶ
𝜃
Como r es constante, la componente radial es 𝑣𝑟 = ሶ
𝑟 = 0, ya que 𝜔 = ሶ
𝜃, la velocidad angular
lineal es
𝑣 = 𝑣𝜃 = 𝑟 ሶ
𝜃 = 𝑟 ∗ 𝜔
𝑣 = 𝜔 ∗ 𝑟
Aceleración. La aceleración de P puede ser expresada en términos de sus componentes normal
y tangencial.
𝑣 = 𝜔 ∗ 𝑟
𝑎 = ሶ
𝜔 ∗ 𝑟 + 𝜔 ∗ ሶ
𝑟
𝑎 = 𝛼 ∗ 𝑟 + 𝜔 ∗ 𝑣
𝑎 = 𝛼 ∗ 𝑟 + 𝜔 ∗ (𝜔 ∗ 𝑟)
𝑎 = 𝛼 ∗ 𝑟 + 𝜔2
∗ 𝑟
𝑎 = 𝑎𝑡 + 𝑎𝑛
𝑎𝑡 = 𝛼 ∗ 𝑟 𝑦 𝑎𝑛 = Τ
𝑣2 𝜌 = 𝜔2 ∗ 𝑟
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜌 = 𝑟, 𝑣 = 𝜔𝑟 𝑦 𝛼 = Τ
𝑑𝜔 𝑑𝑡

PUNTOS IMPORTANTES
• Un cuerpo puede experimentar dos tipos de traslación. Durante una rectilínea todos
los puntos siguen trayectorias paralelas en línea recta, y durante una traslación
curvilínea los puntos, y durante una traslación curvilínea los puntos siguen
trayectorias curvas que tienen la misma forma y son equidistantes una de otra.
• Todos los puntos situados en un cuerpo en traslación se mueven con la misma
velocidad y aceleración.
• Los puntos ubicados sobre un cuerpo que gira con respecto a un eje fijo siguen
trayectorias circulares.
• La relación 𝛼𝑑𝜃 = 𝜔𝑑𝜔 se deriva de 𝛼 = Τ
𝑑𝜔 𝑑𝑡 y 𝜔 = Τ
𝑑𝜃 𝑑𝑡, por eliminación de dt.
• Una vez conocidos los movimientos angulares 𝜔 y 𝛼, la velocidad y la aceleración de
cualquier punto sobre el cuerpo pueden ser determinada.
• La velocidad actúa siempre tangencialmente a la trayectoria del movimiento.
• La aceleración tiene dos componentes. La aceleración tangencial mide la razón de
cambio en la magnitud de la velocidad y puede ser determinada usando 𝑎𝑡 = 𝛼𝑟. La
aceleración normal mide la razón de cambio en la dirección de la velocidad y puede
ser determinada a partir de 𝑎𝑛 = 𝜔2
𝑟.

PROCEDIMIENTOS DE ANALISIS
Movimiento angular:
• Establezca el sentido de dirección positivo de acuerdo con el eje de rotación y
muéstrelo junto a cada ecuación cinemática en que se aplique.
• Si se conoce una relación entre dos cualesquiera de las cuatro variables 𝛼, 𝜔, 𝜃 𝑦 𝑡,
entonces puede obtenerse una tercera variable aplicando una de las siguientes
ecuaciones cinemáticas que relaciona las tres variables.
𝜔 =
𝑑𝜃
𝑑𝑡
, α =
𝑑𝜔
𝑑𝑡
, 𝛼𝑑𝜃 = 𝜔𝑑𝜔
▪ Si la aceleración angular del cuerpo es constante, entonces pueden usarse las
siguientes ecuaciones:
𝜔 = 𝜔0 + 𝛼𝑐𝑡
𝜃 = 𝜃0 + 𝜔0𝑡 +
1
2
𝛼𝑐𝑡2
𝜔2
= 𝜔0
2
+ 2𝛼𝑐 𝜃 − 𝜃0

PROCEDIMIENTOS DE ANALISIS
Movimiento P:
• En muchos casos la velocidad de P y sus dos componentes de aceleración puede ser
determinadas con las ecuaciones escalares.
𝑣 = 𝜔 ∗ 𝑟, 𝑎𝑡 = α ∗ 𝑟, 𝑎𝑛 = 𝜔2
𝑟
▪ Si la geometría del problema es difícil de visualizar, deben ser usadas las siguientes
ecuaciones vectoriales:
𝑣 = 𝜔 𝑥 𝑟𝑝 = 𝜔 𝑥 𝑟
𝑎 = 𝛼 𝑥 𝑟𝑝 = 𝛼 𝑥 𝑟
𝑎𝑛 = 𝜔 𝑥 𝜔 𝑥 𝑟𝑃 = 𝜔2
𝑥 𝑟
Aquí 𝑟𝑃 está dirigido desde cualquier punto sobre el eje de rotación hasta el punto P,
mientras que r se encuentra en el plano del movimiento de P. Cualesquiera de esos
vectores, junto con 𝜔 𝑦 𝛼, deben ser expresados en términos de sus componentes i, j,
k, y si es necesario, resolver los producto cruz usando una ampliación del determinante.

Análisis del movimiento absoluto “Plano general”
Un cuerpo sometido a movimiento plano general experimenta traslación y rotación
simultaneas. Si el cuerpo es representado por una placa delgada, la placa se traslada en
el plano y gira con respecto a un eje perpendicular al plano. El movimiento puede ser
completamente especificado si se conocen tanto la rotación angular de una línea fija en
el cuerpo como el movimiento de un punto sobre el cuerpo. Una manera de definir
estos movimientos es usar una coordenada s de posición rectilínea para localizar el
punto a lo largo de su trayectoria y una coordenada 𝜃 de posición angular para
especificar la orientación de la línea. Las dos coordenadas son relacionadas entonces
usando la geometría del problema. Por aplicación directa de las ecuaciones
diferenciales de tiempo 𝑣 = Τ
𝑑𝑠 𝑑𝑡, a = Τ
𝑑𝑣 𝑑𝑡, ω = Τ
𝑑𝜃 𝑑𝑡 y 𝛼 = Τ
𝑑𝜔 𝑑𝑡, el
movimiento del punto y el movimiento angular de la línea pueden ser relacionados.
En algunos casos, este procedimiento puede ser usado también para relacionar los
movimientos de un cuerpo con los de un cuerpo conectado, o para estudiar el
movimiento de un cuerpo sometido a rotación con respecto a un eje fijo.

Análisis del movimiento absoluto “Plano
general”

Movimiento de un cuerpo Rígido

Ejemplo 1
16-5 Debido a un incremento de potencia, el motor M hace girar la flecha con aceleración
angular de 𝛼 = 0.06𝜃2 Τ
𝑟𝑎𝑑 𝑠2
, donde 𝜃 está en radianes. Sí la flecha está girando
inicialmente a 𝜔𝑜 = 50 Τ
𝑟𝑎𝑑 𝑠. Determine la velocidad angular del engrane B después que
la flecha experimenta un desplazamiento angular ∆𝜃 = 10 revoluciones.

Ejemplo 2
16-5 Partiendo del reposo cuando s=0, la polea A recibe una aceleración angular constante
𝛼𝑐 = 6𝜃 Τ
𝑟𝑎𝑑 𝑠2
. Determine la rapidez del bloque B cuando se ha levantado s=6m. La
polea tiene un cubo interior D que esta fijo a C y gira con él.

Trabajo Glosario
 Dinámica Estructural.
 Sismo.
 Sismología.
 Ingeniería sísmica.
 Sismómetro.
 Acelerograma.
 Estructura simple.
 Ecuación de equilibrio dinámico.
 Grado de libertad.
 Rigidez de una estructura.
 Coeficiente de flexibilidad de una estructura.
 Amortiguamiento.
 Amortiguamiento Viscoso.
 Amortiguamiento histerético.
 Tipo de excitación dinámica.

 Carga Dinámica.
 Espectro.
 Espectro de Fuorier.
 Espectro de respuesta de la estructura.
 Espectro de Diseño.
 Modos de vibración de una estructura.
 Frecuencia de una estructura.
 Periodo de una estructura.
 Centro de masa de una estructura.
 Centro de rigidez de una estructura.

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