Movimiento Unidimensional (Cinemática)

Universidad Autónoma de Zacatecas
Unidad Académica Preparatoria
Material Didáctico
Cinemática
Unidimensional
Y
Bidimensional

Curso de Física I
Bloque II: Identifica las diferencias entre los diferentes tipos de
movimiento que existen en la Naturaleza
Unidad de Trabajo 4: Movimiento en una Dimensión
Objetivo de Unidad:
Identificara los conceptos cinemáticas, como la posición, el desplazamiento, la
velocidad y la aceleración, mediante la observación de las características de los
patrones de movimiento.
4.1.- Introducción (Cinemática, Modelo de Partícula)
4.2.- Conceptos cinemáticos
Sistema de Referencia
Trayectoria
Posición, Distancia y Desplazamiento
Velocidad y Rapidez
Aceleración
4.3- Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U.)
Gráficas x-t, v-t,
4.4.-Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado o Acelerado (M.R.U.V.)
Gráficas v-t, a-t
Ecuaciones del MRUV
Caída Libre
s
m
fx
ix
ix
fx

4.1. Introducción( Cinemática, Movimiento,
Concepto de partícula)
s
m
fx
ix
ix
fx
1) Si lanzamos una mirada a nuestro alrededor, nos percataremos
de que vivimos en un mundo en constante movimiento.
2) http://wwwmisguiasdematematicas.blogspot.mx/p/5-caida-
libre.html

4.1. Introducción( Cinemática, Movimiento, Concepto de partícula)
s
m
fx
ix
ix
fx
La Mecánica es la rama de la física clásica que estudia el
movimiento y el equilibrio (reposo) de los cuerpos sólidos y fluidos.
La mecánica se divide en Cinemática, Dinámica y Estática
Los conceptos de movimiento y reposo tienen un carácter relativo,
es decir, que requieren de un sistema de referencia.
“Un mismo objeto puede estar en movimiento respecto a un
segundo objeto y a la vez en reposo respecto a un tercer objeto”

s
m
En física se dice que un cuerpo esta en movimiento con respecto a
otro cuando su posición respecto a este cuerpo cambia con el
transcurso del tiempo.
Pero si la posición de un cuerpo con respecto a otro no cambia al
transcurrir el tiempo decimos que ese cuerpo se encuentra en
reposo

s
m
La Cinemática es una de las ramas de la mecánica, que estudia las
diferentes clases de movimiento (translacional, rotacional y
vibracional), sin atender las causas que lo producen.
Concepto de Partícula:
En el estudio del movimiento de un cuerpo puede ser variado y complejo,
por las dimensiones o por su manera de moverse, para evitar estas
complicaciones se considera a los cuerpos como partículas. Una partícula
es un cuerpo de dimensiones muy pequeñas, se podría considerar un
punto en el espacio.

Cinemática Unidimensional y Bidimensional
4.2. Conceptos de la Cinemática
1 ) Un Sistema de Referencia: es cualquier cuerpo (objeto) o punto
que se seleccione para describir la posición o el movimiento de otros
cuerpos. Se recomienda el plano de coordenadas cartesianas por su
facilidad.
En un sistema de referencia se recomienda que los ejes positivos se
orienten en la dirección del movimiento del objeto.

2 ) El concepto de Trayectoria.- es la línea que describe un objeto
durante su movimiento.
s
m

3 ) La Posición de un objeto - Para definir la posición de un objeto o
partícula, se elige un sistema de coordenadas cartesianas, de tal modo
que uno de sus ejes coincida con la trayectoria del objeto; así la posición
inicial (Xi ó X0) de éste queda definida por la distancia que existe entre el
objeto y el Origen. La mayoría de las veces la posición inicial del objeto
coincide con el origen del sistema de coordenadas.

4) La distancia (d).- Es una magnitud escalar, y se define como la medida
(en unidades de longitud) de la trayectoria.
s
m
)1(...321  nTotal ddddd

s
m
5) El desplazamiento ( Δx ).- Nos indica el cambio de posición que sufre un
objeto, surge de la unión (mediante una flecha) de la posición inicial ( Xi )a
la posición final (Xf). Es una magnitud vectorial y sus unidades son de
longitud, se representa por medio de un vector. Matemáticamente se
representa:
http://www.educaplus.org/play-292-Distancia-y-desplazamiento.html
)2()(  if xxx

4.3. Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U.)
Es una de los movimientos mas simples, este movimiento se presenta cuando
un objeto que viaja en trayectoria recta, mantiene su velocidad constante.
Características de un móvil con este tipo de movimiento MRU:
1) Su velocidad es constante; Indica que si el valor de la velocidad de un móvil es de
80km/h, durante todo el recorrido tendrá esta valor sin cambiar.
2) El objeto o móvil en movimiento, recorre distancias iguales en tiempos iguales; si
un móvil recorre 90 km en una hora, recorrerá otros 90 km en la siguiente hora.
3) La velocidad y el desplazamiento tienen la misma dirección y sentido. Hacia
donde se dirige el móvil, se dirige su velocidad.
4) La magnitud del desplazamiento, no siempre coincide con la distancia recorrida.
5) La magnitud de la velocidad no siempre coincide con la rapidez.
xi xf
dT

M.R.U. Conceptos de la Cinemática
6) La velocidad ( v ).- Cuando se habla de velocidad se refiere a la
rapidez del cuerpo, su dirección y el sentido en que se mueve. La
velocidad se define como el desplazamiento o el cambio de
posición (Δx) que experimenta un cuerpo en función del tiempo
(Δt), además es una magnitud vectorial. Sus unidades en el S.I.
son: Matemáticamente se expresa:
s
m
)3(








if
if
tt
xx
t
x
v
Donde:
v es la velocidad en (m/s)
Δx (xf – xi) es el desplazamiento
e ó el cambio de posición (m)
Δt (tf – fi) es el cambio en el r
r tiempo (s)










s
m
t
x
v

v
v> 0
v
< 0
= 0
0
x
t
X vs t
6.1) La velocidad ( v ).-
En una grafica posición-tiempo (X - t), mediante el uso de la ecuación de la
pendiente de una línea recta, es posible obtener el modulo y dirección de
este vector de velocidad. Sus unidades en el S.I. son (m/s).α ˃ ˂Φ
1. Cuando la línea tangente forma un ángulo
(Φ) menor a 90°, entonces v > 0 , es decir
positiva
2. Cuando la línea tangente tiene un ángulo
mayor de 90° y menor de 180°, entonces v < 0 ,
es decir negativa.
3. Cuando la línea tangente es horizontal, es
decir, que no tiene inclinación, entonces,
Estas consideraciones establecen la Dirección y Sentido
del vector velocidad
fx ix>
<fx ixfx
v = 0

7) La velocidad media ( vm ).-
Es importante mencionar que la velocidad media se presenta cuando en un
intervalo de tiempo, la velocidad varía. Por tanto, ésta se obtiene dividiendo
el módulo del desplazamiento ( Δx ) entre el tiempo empleado en lograrlo.
s
m
)4(






if
if
m
tt
xx
t
x
v
)5(
2


 fi
p
vv
v

8) La rapidez (v).- Es el modulo o magnitud del vector velocidad, se define
como la distancia total recorrida por el móvil, dividida por el tiempo
empleado en recorrerla. Sus unidades en el (S.I.) son m/s y
matemáticamente se expresa:
s
m
)6(
t
d
v
Donde:
v es la rapidez (m/s)
d es la distancia total recorrida
por el móvil (m)
t es el tiempo empleado para
recorrer la distancia (s)





s
m
t
d
v

Ejemplo: Con los datos del desplazamiento de un móvil en función del tiempo, se obtuvo
la siguiente gráfica de (X vs t)
A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
t(s)
10
20
30
40
50
-10
-20
-30
x(cm)
B
C
D E
F
G
X vs t
4.3.1 M.R.U. Graficas (X vs t) y (V vs t)
http://www.educaplus.org/play-125-MRU-Gr%C3%A1fica-e-t.html

Movimiento con velocidad media y velocidad contante
Para comprender estas situaciones en donde se presentan varias velocidades, resolvemos
el siguiente modelo ilustrativo:
A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
t(s)
10
20
30
40
50
-10
-20
-30
x(cm)
B
C
D E
F
G
X vs t
Análisis del gráfico (X vs t)
1. En x = 0, t = 0 inicia el movimiento
2. Entre t=0 y t=2s la velocidad es variable, por lo
que debemos obtener su velocidad media en ese
intervalo, es decir:
3. En el intervalo de t=2s a t=5s, la velocidad
permanece constante ya que la línea es recta. Por
tanto, obtenemos la pendiente para obtener la
velocidad, es decir:
4. En el intervalo de t=5s a t=6s, la pendiente es
hacia abajo y obtenemos la velocidad para ese
intervalo, es decir, el objeto se regreso:
s
m
ss
mm
ttt
x
v
if
if
m
xx 10
02
020
20










s
m
s
m
ss
mm
tt
xx
v
if
if
10
3
30
25
)20(50
52 









s
m
s
m
ss
mm
tt
xx
v
if
if
20
1
20
56
)50(30
65 











4.3.1 (M.R.U.) Graficas (X vs t)
A-B
B-C
C-D
xi
xf
tf
ti

Continuación del ejemplo…
5. En el intervalo de t=6s a t=8s el móvil permanece en
reposo, es decir, no existe pendiente en la línea recta
y es por esto que es horizontal. Por consiguiente,
aplicamos la ecuación de la pendiente y resulta que:
6. En el intervalo de t=8s a t=10s, el móvil regresa al
origen con cierta velocidad que obtenemos con la
aplicación de la ecuación de la pendiente y resulta:
7. En el intervalo de t=10s a t=12s, el móvil registra la
velocidad que se obtiene con la ecuación de la
pendiente en los siguientes términos:
s
m
s
m
ss
mm
tt
xx
v
if
if
0
2
0
68
)30(30
86 









s
m
s
m
ss
mm
tt
xx
v
if
if
15
2
30
810
)30(0
108 











s
m
s
m
ss
mm
tt
xx
v
if
if
10
2
20
1012
020
1210 











4.3.1. (M.R.U.) Grafica (X vs t)
D-E
E-F
F-G
Movimiento con velocidad media y velocidad contante
xi-xf
tfti

Continuación del ejemplo…
Intervalo de tiempo en (s) Velocidad en (m/s)
A-B 0-2
B-C 2-5
C-D 5-6
D-E 6-8
E-F 8-10
F-G 10-12
10
10
-20
0
-15
-10
4.3.1 (M.R.U.) Grafica (X vs t)
8. El desplazamiento del móvil en todo el
movimiento es de -20 cm a la izquierda.
9. La rapidez del móvil del recorrido total.
10.La velocidad media del móvil del recorrido
total
11.Con la información de las velocidades
obtenida planteamos la siguiente tabla que
nos permitirá construir un gráfico de V vs t
xi
xf
mmmxxx if 0.2000.00.20 

s
m
s
m
ss
mm
tt
xx
t
x
v
if
if
m 67.1
0.12
0.20
00.00.12
00.00.20












s
mv
s
mmmmm
v
t
ddddd
t
d
v T
0.10
0.12
0.200.300.200.300.20
54321






0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
t(s)
V(cm/s)
10
-15
-10
-20
A
A
A A
1
2
3 4
V vs t
A1
A
2
A
3
A
4
Vcte
Vcte
Vcte
Vcte
V=0
-La suma algebraica de las áreas
A1, A2, A3 y A4
representan el desplazamiento, es decir:
mmmmmx
entodesplazamixAxAxAxAAtotal
20)20()30()20(50
)()()()( 44332211


Obtenemos el área (A1) que representa un desplazamiento
positivo. Aplicamos la ecuación del área de un rectángulo,
sólo que adecuamos los datos :
  11 50510 xms
s
m
tvhbA 






Obtenemos el área (A2), (A3) y (A4) que representa un
desplazamientos negativos(el objeto va hacia la izquierda o
se regreso). Aplicamos la ecuación del área de un
rectángulo, sólo que adecuamos los datos :
  22 20120 xms
s
m
tvhbA 






  33 30215 xms
s
m






  44 20210 xms
s
m






Analizamos el gráfico V vs t y resulta:
Intervalo de tiempo en (s) Velocidad en (m/s)
A-B 0-2
B-C 2-5
C-D 5-6
D-E 6-8
E-F 8-10
F-G 10-12
10
10
-20
0
-15
-10
4.3.1. (M.R.U.) Grafica (V vs t)
http://www.educaplus.org/play-126-MRU-Gr%C3%A1fica-v-t.html

4.3.2. Ecuaciones del M. R. U.
Movimientos a velocidad contante
10. Con la información de las aceleraciones obtenida, planteamos la siguiente tabla que nos
permitirá construir un gráfico de a vs t
x
t
x vs t
La pendiente de la línea
recta, representa a la
velocidad del
Movimiento.
t
d
v
tt
xx
t
x
v
tt
xx
t
x
v
xxx
T
if
if
if
if
if














xf
xi
tf tf
V vs t
v
Línea recta
que representa a la
velocidad constante
Área = Desplazamiento
tvxx
xA
if
TT


ftit
v (m/s)
t (s)

4.3.2. Ecuaciones del M. R. U.
Movimientos a velocidad contante
Ejemplo conceptual:
Un atleta nada la distancia de 50.0 m en una piscina en 20.0 s y recorre la misma
distancia de regreso hasta la posición de salida en 22.0 s. Determine: a) su distancia
total recorrida, b) su velocidad media en la primera mitad del recorrido, c) la velocidad
media en la segunda mitad del recorrido, d) la velocidad y la rapidez media en todo el
recorrido e) el desplazamiento total.

Solución
Ejemplo conceptual:
Datos Formula (s) Sustitución (es) Operación (es) Resultado (s)
xi = 0.00 m
ti = 0.00 s
Δx1 = 50.0 m
t1 = 20.0 s
Δx2 = 50.0 m
t2 = 22.0 s
xf = 0.00 m
tf = 42.0 s
a) dT = ?
b) Vm1 = ?
c) Vm2 = ?
d) VmT = ?
e) v = ?
f) Δx = ?
Para el a) la ec. 1
Para el b) ,c) y d) la ec.
4.
Para el e) la ec. 6
Para el f) la ec 2
Para el a)
Para el b), c) y d)
Para e) y f)
a) La distancia total
recorrida por el nadador
fueron 100m…
b) La velocidad media del
nadador en el recorrido de
ida fueron 2.50 metros por
cada segundo transcurrido.
c) La velocidad media del
regreso fueron 2.27 metros
por cada segundo
transcurrido…
d) La velocidad media del
ida y de regreso fueron 0.00
metros por cada segundo
transcurrido.
e) La rapidez del nadador
en todo el recorrido es de
2.38 metros por cada
segundo transcurrido
f) El desplazamiento o
cambio de posición que
tubo el nadador fue 0.00m
ya que termino donde
comenzó
nT dddd  ...21
if
if
m
tt
xx
t
x
v






t
d
v 
)( if xxx 
mmdT 0.500.50 
s
mm
vm
00.00.20
00.00.50
1



s
mm
vm
00.00.22
00.00.50
2



s
mm
vmT
00.00.42
00.000.0



s
m
v
0.42
100

)00.000.0( mmx 
mmmdT 1000.500.50 
s
m
s
m
vm 50.2
0.20
0.50
1 
s
m
s
m
vm 27.2
0.22
0.50
1 
s
m
s
m
vm 00.0
0.42
00.0
1 
s
m
s
m
v 38.2
0.42
100

mmmx 00.0)00.000.0( 

4.4. Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
ó Acelerado. (M.R.U.V.)
En este tipo de movimiento se presenta cuando el objeto se mueve en
trayectoria recta pero la magnitud de la velocidad aumenta o disminuye, (la
velocidad deja de ser constante), los cambios de la magnitud de la velocidad
son los mismos para intervalos de tiempo iguales, a esto se le llama una
aceleración constante Δ.
if
if
tt
vv
a
t
v










M.R.U.V Conceptos Cinemáticos
9) La aceleración ( a ).- Es la razón del cambio de la velocidad con respecto
al tiempo, la aceleración al ser una razón de cambio, es una medida de que
tan aprisa o lento cambia la velocidad de un cuerpo en un determinado
tiempo. Es una magnitud vectorial, que tiene la misma dirección que su
velocidad, y dirigida en el mismo sentido sí acelera, pero dirigida en sentido
contrario si desacelera o frena. Sus unidades en el S.I. son (m/s2). Su
expresión matemática es:
)7(






t
vv
a
if
t
v
Donde:
a es la aceleración en (m/s2)
Δv es el cambio de la velocidad
que sufre el cuerpo (m/s)
Δt es el cambio en el tiempo (s)
















 2
1
1
s
m
ss
m
s
s
m
t
v
a
frenado
acelerado

M.R.U.V. Conceptos Cinemáticos
9.1) La aceleración ( a ).- En una grafica velocidad-tiempo (V - t), mediante el
uso de la ecuación de la pendiente de una línea recta, es posible obtener el
modulo y dirección de este vector de aceleración. Sus unidades en el S.I. son
(m/s2)
fv
iv
a
a> 0
a
< 0
= 0
0
V
t
V vs t
iv
iv fv
fv
- Cuando la línea tangente forma un ángulo ( Φ )
menor a 90°, entonces a > 0 , es decir positiva
-Cuando la línea tangente tiene un ángulo ( Φ )
mayor de 90° y menor de 180°, entonces a < 0 ,
es decir negativa.
-Cuando la línea tangente es horizontal, es decir,
que no tiene inclinación, entonces,
a = 0
Estas consideraciones establecen la Dirección y Sentido
del vector aceleración
>iv fv
>
iv fv

10) La velocidad instantánea es la que registra un objeto en movimiento en un
instante dado, es decir:
El módulo o magnitud de la velocidad instantánea es la que registra el
instrumento conocido como velocímetro, que realmente debiera nominarse
como rapidímetro ya que mide la rapidez del objeto en movimiento en
cada instante.
11)El concepto de aceleración en un instante dado se obtiene con la expresión
siguiente:
dt
dx
t
xx
t
x
v
if
tt
inst 









00
limlim
2
2
00
limlim
dt
xd
dt
vd
t
vv
t
v
a
if
tt
inst 










Ejemplo: Con los datos de los cambios de velocidad de un móvil en función del tiempo,
se obtuvo la siguiente gráfica de V vs t
A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
t(s)
5
10
15
20
25
-5
-10
-15
V(m/s)
B
C D
E
F
V vs t
4.4.1. (M.R.U.V.) Graficas (V vs t) (a vs t)
13
http://www.educaplus.org/play-124-MRUA-Gr%C3%A1fica-v-t.html

Movimiento con velocidad variable, aceleración constante
Para comprender estas situaciones en donde se presenta el cambio de velocidades,
resolvemos el siguiente modelo ilustrativo:
A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
t(s)
5
10
15
20
25
-5
-10
-15
V(m/s)
B
C D
E
F
V vs t
Análisis del gráfico V vs t
1. En v = 5m/s y t = 0s, inicia el movimiento
2. Entre t = 0 y t = 5s la velocidad cambia, por lo
que debemos aplicar la ec. de la aceleración en
ese intervalo de tiempo, es decir:
3. En el intervalo de t = 5s a t = 7s, aplicamos la
ecuación para obtener la aceleración para ese
intervalo, la pendiente es hacia abajo, es decir,
desacelera:
(el signo negativo quiere decir que esta
desacelerando (frenando)
250
50
00.4
00.5
0.20
00.000.5
)00.5(0.25
s
m
s
s
m
a
ss
s
m
s
m
tt
vv
t
v
a
if
if














275
75
00.5
00.2
0.10
00.500.7
)0.25(0.15
s
m
s
s
m
a
ss
s
m
s
m
tt
ivv
a
if
f













4.4.1 (M.R.U.V.) Grafica (V vs t)
13
A-B
B-C
vi
vf
tf
ti

A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
t(s)
5
10
15
20
25
-5
-10
-15
V(m/s)
B
C D
E
F
V vs t
Análisis del gráfico V vs t
4. En el intervalo de t = 7s a t = 9s, la velocidad
permanece constante ya que la línea es recta.
Por lo tanto:
5. En el intervalo de t = 9s a t = 11, la pendiente es
hacia abajo, el objeto va frenando. Por lo tanto:
6. En el intervalo de t = 11s a t = 13s, la pendiente
es hacia abajo pero del nivel de origen, quiere
decir, que el objeto se regreso y va acelerando,
solo que se dirige a la izquierda
297
97
00.0
2
00.0
00.700.9
)0.15(0.15
s
m
s
s
m
a
ss
s
m
s
m
tt
ivv
a
if
f











4.4.1. (M.R.U.V.) Grafica (V vs t)
13
ti
vi- vf
Continuación de ejemplo
C-D
2119
119
50.7
2
0.15
00.700.9
)0.15(00.0
s
m
s
s
m
a
ss
s
m
s
m
tt
ivv
a
if
f













tf
D-E
21311
1311
0.5
0.2
10
1113
0.010
s
m
s
s
m
a
ss
s
m
s
m
tt
ivv
a
if
f













E-F

Movimiento con velocidad variable,
aceleración constante
Continuación de ejemplo:
A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
t(s)
5
10
15
20
25
-5
-10
-15
V(m/s)
B
C D
E
F
V vs t
7. Analizamos las áreas bajo el grafico, que
representan desplazamientos positivos, visualizando
rectángulos y triángulos, para su facilidad.
Obtenemos:
8. El área bajo el grafico esta por debajo de la línea del
origen, quiere decir que se regreso, por lo tanto
representa un desplazamiento negativo.
9.
m
ms
ms
A
m
ms
ms
A
m
ms
msvthb
A
m
s
msvtA
m
s
msvthbA
15
2
30
2
)15)(0.2(
10
2
20
2
)10)(0.2(
50
2
100
2
)20)(0.5(
22
60)15)(0.4(
25)0.5)(0.5(
5
3
2
4
1









m
ms
msvthb
A 10
2
20
2
)10)(0.2(
22
6 








4.4.1. (M.R.U.V.) Gráfica (V vs t)
13
vi
vf
-La suma algebraica de las áreas
A1, A2, A3, A4, A5 y A6
representan el desplazamiento total, es decir:
A1
A2
A
3
A4
A
5
A
6
mmmmmmmx
entodesplazamixAAAAAAAreas
90)10(1560105025
654321



A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
t(s)
5
10
15
20
25
-5
-10
-15
V(m/s)
B
C D
E
F
V vs t
10. Con la información de las aceleraciones obtenida,
planteamos la siguiente tabla que nos permitirá
construir un gráfico de a vs t
4.4.1. (M.R.U.V.) Gráfica (V vs t)
13
Intervalo de tiempo en (s) aceleración en (m/s2)
A-B 0-5
B-C 5-7
C-D 7-9
D-E 9-11
E-F 11-13
4.0
-5.0
-0.0
-7.5
-5.0
vcte, a (0)

11. Analizamos el grafico (a vs t)
4.4.1. (M.R.U.V.) Gráfica (a vs t)
Intervalo de tiempo en (s) aceleración en (m/s2)
A-B 0-5
B-C 5-7
C-D 7-9
D-E 9-11
E-F 11-13
4.0
-5.0
0.0
-7.5
-5.0
acte
acte
acte
acte
a=0
El área bajo la grafica
representa la magnitud del
cambio de la velocidad
A1
A2
A3
A4
s
m
s
msA
hbA
s
m
s
m
s
mvvv
vA
ifBA
BA
20)0.4)(0.5(
200.525
21
1
1






s
m
s
msA
hbA
s
m
s
m
s
mvvv
vA
ifCB
CB
10)0.5)(0.2(
102515
22
2
2







4.4.2. Ecuaciones del (M.R.U.V.)
Movimientos con aceleraciones constantes
7. Analizamos las áreas bajo el grafico, que representan desplazamientos positivos, visualizando
rectángulos y triángulos, para su facilidad. Obtenemos:
t (s)

v
tf = t
0

v
fv

if
if
tt
vv
t
v
a






La pendiente de la
Línea recta es la
Aceleración constante
)8(
)7(
0







tavv
tavv
t
vv
a
if
if
f
Área bajo el
Gráfico es el
desplazamiento
V vs t
ti = 0
 
 
 112
10
2
2
)
2
()(
)
2
()(
9
2
22
2
2
0






























ifif
iif
i
f
if
p
xxavv
ta
tvxx
ta
tvx
ta
tvtx
hb
hbx
tvv
xx
tvx
http://www.educaplus.org/play-238-Graficas-del-movimiento.html
http://www.educaplus.org/play-299-Laboratorio-virtual-de-cinem%C3%A1tica.html

4.4.2. Ecuaciones del (M.R.U.V.)
Movimientos con aceleraciones constantes
Ejemplo Conceptual.
Un avión de propulsión a chorro aterriza con una velocidad de 100 m/s y puede
acelerar a una razón máxima de -5.00 m/s2 hasta que llegue al reposo, a) ¿En
cuánto tiempo alcanza el reposos?, b) ¿Puede aterrizar este avión en el aeropuerto
de una pequeña isla tropical donde la pista tiene 0.800 km de largo?

Solución de
Ejemplo Conceptual.
Datos Formula (s) Sustitución (es) Operación (es) Resultado (s)
vi = 100 m/s
a = -5.00 m/s2
vf = 0.00 m/s
a) t = ?
b) Δx = ? Sí
Δx1 = 0.800 km
Para el a) la ec. 7
Se despeja la variable de
tiempo.
Para el b) la ec. 11
Despejamos la variable
de desplazamiento
Para el a)
Para el b)
Para el a)
Para el b)
a) El tiempo que el avión
requiere para llegar al
reposos después de
aterrizar y frenar
constantemente, es de 20
segundos….
b) La distancia que el
avión necesita para llegar al
reposo después de
aterrizar es de 1000m, por
lo tanto en la pista de la
pequeña isla tropical que es
de 0.800 km, NO, es posible
aterrizar
t
vv
a
if

 







a
vv
t
vvta
if
if










ifif
if
xxavv
xavv
2
2
22
22    
 2
22
00.52
10000.0
s
m
s
m
s
m
x



200.5
10000.0
s
m
s
m
s
m
t











x
a
vv
xavv
xavv
if
if
if
2
2
2
22
22
22
s
s
m
s
m
t
s
m
s
m
s
m
t
0.20
00.5
100
00.5
10000.0
2
2







   
 
m
s
m
s
m
x
s
m
s
m
s
m
x
1000
0.10
10000
00.52
10000.0
2
2
2
2
22








4.4.3. Movimiento en Caída Libre y Tiro Vertical
(movimientos en el eje de las “Y”)
1. Caída Libre y Tiro Vertical
Te has puesto a pensar el ¿Por qué los cuerpos al lanzarlos hacia arriba regresan al
suelo?
¿Por qué los objetos en la Tierra no flotan como en el espacio?
¿Qué objeto cae mas rápido en tocar el suelo, una manzana o una sandia, sí se dejan
caer desde la misma altura y al mismo tiempo?
En la antigüedad, la caída libre de los cuerpo era n tema de interés.
Aristóteles afirmaba que los cuerpo caían debido a que su lugar natural era el suelo
y que hacían todo lo posible por llegar a él y que los objetos caían a la Tierra por
que anhelaban (enamorados) estar unida a ella. También afirmaba que los
cuerpos más pesados caen más rápido que los cuerpos mas ligeros.
http://www.educaplus.org/play-302-Gr%C3%A1ficas-de-la-ca%C3%ADda-libre.html

Durante siglos duraron las ideas de Aristóteles, hasta que en 1590:
Galileo Galilei explico demostrando matemáticamente el movimiento de caída libre
de los cuerpos, afirmando que todos los cuerpos, grandes o pequeños, ligeros o
pesados, en ausencia de fricción (debido a la resistencia del aire), caen a la Tierra
con la misma velocidad y con una aceleración constante cuando se sueltan desde
la misma altura.
Galileo identifico que el movimiento en caída libre de los cuerpos es debido a la
aceleración de la gravedad (g), identificándolo como un movimiento rectilíneo
uniformemente variado, (M.R.U.V.) vertical con aceleración constante, motivo
por el cual la magnitud de la velocidad aumenta en forma constante, mientras la
aceleración de la gravedad (g) permanece fija.

Al hacer la medición de la aceleración de la gravedad (g) en distintos lugares de la
Tierra se ha encontrado que ésta no es igual en todas partes, pues hay pequeñas
diferencias debido a la altitud y la región, para fines practicas la magnitud
aceptada en el S.I. es de 9.81 m/s2, en el S. Ingles es de 32 ft/s2, su dirección es
vertical con sentido hacia abajo (centro de la Tierra), su sentido es hacia los
negativos.

Como es un M.R.U.V., sus ecuaciones son parecidas solo que cambia en algunos
aspectos,
En el eje “x” En el eje de la “y”
)8(
)7(
0







tavv
tavv
t
vv
a
if
if
f
 
 
 112
2
10
2
2
9
2
22
22
2
2
0




























ifif
if
iif
i
f
if
p
xxavv
xavv
ta
tvxx
ta
tvx
tvv
xx
tvx
)14(
)13(
)12(
0
0












tgvv
tgvv
g
vv
t
t
vv
g
if
if
f
f
 
 
 172
2
16
2
2
15
2
22
22
2
2
0




























ifif
if
iif
i
f
if
p
yygvv
ygvv
tg
tvyy
tg
tvy
tvv
yy
tvy
)2.13(2
)1.13(
0






subidadeVuelo
subida
tt
g
v
t
yx
ga




(movimientos en el eje de las “Y”)Caída Libre
Ejemplo: En un acantilado un muchacho deja caer una roca, desde el reposo,
determina la velocidad y la altura en cada segundo, analizaremos el movimiento
1. Datos Iniciales
2. De la formula 14 calculamos la velocidad
que lleva a un segundo.
 
s
mv
s
m
s
mv
s
s
m
s
mv
tgvv
tgvv
sf
sf
sf
ssisf
if
81.9
)81.9()0.0(
)0.1)(81.9()0.0(
)14(
)0.1(
)0.1(
2)0.1(
)0.1()0.0()0.1(





?...?
?...?
?....?
81.9
0.0
0.0
0.0
)0.3()0.3(
)0.2()0.2(
)0.1()0.1(
2







ss
ss
ss
i
i
i
yv
yv
yv
s
mg
my
s
mv
st

Caída Libre
Ejemplo: En un acantilado un muchacho deja caer una roca, desde el reposo,
encuentra la velocidad en cada segundo y su altura, analizaremos el movimiento
3. Con la formula 16, calculamos el
desplazamiento vertical
 
my
mmy
s
s
m
my
s
s
m
s
s
my
tg
tvyy
tg
tvyy
tg
tvy
sf
sf
sf
sf
s
sisisf
iif
i
91.4
)91.4()0.0(
2
)0.1)(81.9(
)0.0(
2
)0.1)(81.9(
)0.1)(0.0(
2
)16(
2
2
)0.1(
)0.1(
2
2
)0.1(
2
2
)0.1(
2
)0.1(
)0.1()0.0()0.1(
2
2

































El signo negativo
significa que el objeto va
de bajada, y se
encuentra por debajo del
nivel de lanzamiento (se
dirige hacia las
negativas)

Caída Libre
Ejemplo: Continuando
4. Con la formulas mencionadas,
calculamos las demás velocidades y
desplazamientos.
 
my
mmy
s
s
m
my
s
s
m
s
s
my
tg
tvyy
sf
sf
sf
sf
s
sisisf
6.19
)6.19()0.0(
2
)0.4)(81.9(
)0.0(
2
)0.2)(81.9(
)0.2)(0.0(
2
)0.1(
)0.1(
2
2
)0.1(
2
2
)0.2(
2
)0.2(
)0.2()0.0()0.2(



























 
s
mv
s
m
s
mv
s
s
m
s
mv
tgvv
sf
sf
sf
ssisf
6.19
)6.19()0.0(
)0.2)(81.9()0.0(
)0.2(
)0.2(
2)0.2(
)0.2()0.0()0.2(





Caída Libre
5. La roca seguirá cayendo hasta que
choque con la superficie y la velocidad
seguirá aumentando constantemente
 
my
mmy
s
s
m
my
s
s
m
s
s
my
tg
tvyy
sf
sf
sf
sf
s
sisisf
2.44
)2.44()0.0(
2
)0.9)(81.9(
)0.0(
2
)0.3)(81.9(
)0.3)(0.0(
2
)0.1(
)0.1(
2
2
)0.1(
2
2
)0.3(
2
)0.3(
)0.3()0.0()0.3(



























 
s
mv
s
m
s
mv
s
s
m
s
mv
tgvv
sf
sf
sf
ssisf
4.29
)4.29()0.0(
)0.3)(81.9()0.0(
)0.3(
)0.3(
2)0.3(
)0.3()0.0()0.3(





Tiro Vertical
Ejemplo: Un muchacho lanza una piedra hacia arriba, con una velocidad de impulso
de 29.4 m/s, determina la velocidad y la altura en cada segundo
1. La piedra sale con una velocidad de
impulso de la mano del muchacho.
Datos iniciales.
?...?
?...?
?...?
0.0
81.9
0.0
0.0
4.29
)0.3()0.3(
)0.2()0.2(
)0.1()0.1(
2








ss
ss
ss
f
i
i
i
yv
yv
yv
s
mv
s
mg
my
st
s
mv
2. Lo primero que debemos saber es el tiempo
que tarda en subir para poder calcular hasta
que velocidad y altura vamos a calcular.

Tiro Vertical
3. De la fórmula 13, deducimos el tiempo
de subida de la piedra
sst
tt
s
s
m
s
m
t
g
iv
t
g
vv
t
devuelo
subidadevuelo
subida
subida
if
0.6)0.3(2
2
0.3
)81.9(
)4.29(
2












3. De la fórmula 14, calculamos la
velocidad en cada instante de tiempo
 
s
mv
s
m
s
mv
s
s
m
s
mv
tgvv
tgvv
sf
sf
sf
ssisf
if
6.19
)81.9()4.29(
)0.1)(81.9()4.29(
)14(
)0.1(
)0.1(
2)0.1(
)0.1()0.0()0.1(






 
my
mmy
s
s
m
my
s
s
m
s
s
my
tg
tvyy
tg
tvyy
sf
sf
sf
sf
s
sisisf
iif
5.24
)91.4()4.29(
2
)0.1)(81.9(
)4.29(
2
)0.1)(81.9(
)0.1)(4.29(
2
2
)0.1(
)0.1(
2
2
)0.1(
2
2
)0.1(
2
)0.1(
)0.1()0.0()0.0()0.1(
2






























Tiro Vertical
4. De la fórmula 16, calculamos el
desplazamiento vertical en cada segundo
del movimiento
5. De la fórmula 14 y 16, calculamos la
velocidad y la altura en cada instante de
tiempo

 
my
mmy
s
s
m
my
s
s
m
s
s
my
tg
tvyy
sf
sf
sf
sf
s
ssisisf
2.39
)6.19()8.58(
2
)0.4)(81.9(
)8.58(
2
)0.2)(81.9(
)0.2)(4.29(
2
)0.2(
)0.2(
2
2
)0.2(
2
2
)0.2(
2
)0.2(
)0.2()0.0()0.0()0.2(



























Tiro Vertical
6. Continuamos con los calículos de la
velocidad y la altura en cada segundo del
movimiento
 
s
mv
s
m
s
mv
s
s
m
s
mv
tgvv
sf
sf
sf
ssisf
8.9
)6.19()4.29(
)0.2)(81.9()4.29(
)0.2(
)0.2(
2)0.2(
)0.2()0.0()0.2(





 
imasf
sf
sf
sf
s
ssisisf
hmy
mmy
s
s
m
my
s
s
m
s
s
my
tg
tvyy
max)0.3(
)0.3(
2
2
)0.3(
2
2
)0.3(
2
)0.3(
)0.3()0.0()0.0()0.3(
1.44
)1.44()2.88(
2
)0.9)(81.9(
)2.88(
2
)0.3)(81.9(
)0.3)(4.29(
2



























Tiro Vertical
6. Continuamos con los calículos de la
velocidad y la altura en cada segundo del
movimiento
 
s
mv
s
m
s
mv
s
s
m
s
mv
tgvv
sf
sf
sf
ssisf
0.0
)4.29()4.29(
)0.3)(81.9()4.29(
)0.3(
)0.3(
2)0.3(
)0.3()0.0()0.3(





 
my
mmy
s
s
m
my
s
s
m
s
s
my
tg
tvyy
sf
sf
sf
sf
s
ssisisf
2.39
)5.78()6.117(
2
)0.16)(81.9(
)6.117(
2
)0.4)(81.9(
)0.4)(4.29(
2
)0.4(
)0.4(
2
2
)0.4(
2
2
)0.4(
2
)0.4(
)0.4()0.0()0.0()0.4(



























Tiro Vertical y Caída libre
Ejemplo: ContinuandoΔ
7. El movimiento de la piedra de ser un Tiro
vertical se convierte en un movimiento
de caída libre
 
s
mv
s
m
s
mv
s
s
m
s
mv
tgvv
sf
sf
sf
ssisf
81.9
)2.39()4.29(
)0.4)(81.9()4.29(
)0.4(
)0.4(
2)0.4(
)0.4()0.0()0.4(





 
my
mmy
s
s
m
my
s
s
m
s
s
my
tg
tvyy
sf
sf
sf
sf
s
ssisisf
4.24
)6.122()147(
2
)0.25)(81.9(
)147(
2
)0.5)(81.9(
)0.5)(4.29(
2
)0.5(
)0.5(
2
2
)0.5(
2
2
)0.5(
2
)0.5(
)0.5()0.0()0.0()0.5(



























de caída libre
 
s
mv
s
m
s
mv
s
s
m
s
mv
tgvv
sf
sf
sf
ssisf
6.19
)1.49()4.29(
)0.5)(81.9()4.29(
)0.5(
)0.5(
2)0.5(
)0.5()0.0()0.5(





 
my
mmy
s
s
m
my
s
s
m
s
s
my
tg
tvyy
sf
sf
sf
sf
s
ssisisf
1.0
)5.176()4.176(
2
)0.36)(81.9(
)4.176(
2
)0.6)(81.9(
)0.6)(4.29(
2
)0.6(
)0.6(
2
2
)0.6(
2
2
)0.6(
2
)0.6(
)0.6()0.0()0.0()0.6(



























de caída libre
 
s
mv
s
m
s
mv
s
s
m
s
mv
tgvv
sf
sf
sf
ssisf
4.29
)9.58()4.29(
)0.6)(81.9()4.29(
)0.6(
)0.6(
2)0.6(
)0.6()0.0()0.6(





 
my
mmy
s
s
m
my
s
s
m
s
s
my
tg
tvyy
sf
sf
sf
sf
s
ssisisf
5.34
)3.240()8.205(
2
)0.49)(81.9(
)8.205(
2
)0.7)(81.9(
)0.7)(4.29(
2
)0.6(
)0.6(
2
2
)0.6(
2
2
)0.7(
2
)0.7(
)0.7()0.0()0.0()0.7(



























de caída libre
 
s
mv
s
m
s
mv
s
s
m
s
mv
tgvv
sf
sf
sf
ssisf
3.39
)7.68()4.29(
)0.7)(81.9()4.29(
)0.7(
)0.7(
2)0.7(
)0.7()0.0()0.7(





Cinemática Unidimensional
Movimiento
Rectilíneo
Uniforme
Variado
Movimiento
En
Caída Libre
Movimiento
Rectilíneo
Uniforme
Trayectoria en línea recta y requiere de un Sistema de referencia
Rapidez Constante
t
x vs t
x
Pendiente
de la línea
recta,
representa
a la rapidez del
movimiento
0
if
if
tt
xx
v




t

v

v
t
t
Línea recta
que representa a la
Rapidez constanteÁrea = Distancia
tvxx if 


v vs t
Aceleración
Constante
if
if
tt
vv
a




t

v
t
0

v
fv

tavv f

 0
La pendiente de la
Línea recta es la
Aceleración constante
t
vv
a
f





0
Área bajo el
Gráfico es el
desplazamiento

v vs t
0
 
 
 
 42
3
2
2
2
1
0
2
0
2
2
00
0
0
0
























xxavv
ta
tvxx
tvv
xx
tavv
ff
f
f
f
f
Ecuaciones
del
M.R.U.V.
Es debida a la fuerza
gravitacional que la Tierra
ejerce a todos los objetos
de masa m cercanos a su
superficie, y que a la vez
ésta genera un campo
uniformemente acelerado
Por tanto, las ecuaciones para la
caída libre son las mismas del
MRUV, sólo con algunos cambios
en las literales.
 
 
 
 82
7
2
6
2
5
0
2
0
2
2
00
0
0
0
























yygvv
tg
tvyy
tvv
yy
tgvv
ff
f
f
f
f
2
8.9
s
m
g 

Dirigida al centro
de la Tierra
it ft
ftit
ix
fx

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