El documento describe los arreglos ortogonales y su aplicación en el análisis de varianza. Explica que los arreglos ortogonales permiten estudiar múltiples factores de forma controlada y detectar qué factores influyen en la variable dependiente. También cubre temas como diseños factoriales completos, interacciones entre factores, y métodos para modificar los arreglos ortogonales como variar un factor a la vez.

1. ANALISIS DE VARIANZA EN LOS ARREGLOS ORTOGONALES
El análisis de la varianza se convierte en la técnica más habitual cuando las
variables explicativas son categóricas y cuantitativas la variable explicada. Las
variables independientes se denominan factores, constan de dos o más niveles
y pueden interactuar entre ellas. Esta técnica contrasta mediante el análisis de
la variabilidad si los valores medios de la variable dependiente difieren según
las diferentes combinaciones de factores e interacciones.
Los experimentos factoriales pueden complicarse tanto como se deseen e
incorporar efectos aleatorios, multinivel, jerárquicos, anidados, fijos, etc. Existe
una amplia gama de situaciones que se presentan de forma habitual al realizar
un experimento o análisis.
Si bien el acercamiento básico al análisis de la varianza proviene de los
contrastes de medias para dos o más niveles, el enfoque más correcto nace
desde el análisis de regresión. El análisis de la varianza particulariza el modelo
de regresión lineal cuando las variables independientes son cualitativas y la
independiente cuantitativa. Considerar esta situación desde los modelos de
regresión permite al investigador un estudio completo, detallado y
sistematizado del experimento factorial.
Cuando en los modelos de regresión intervienen variables independientes
cualitativas, el abordaje se realiza mediante dos tipos de contrastes: los
denominados a priori y los contrastes a posteriori. Si bien a nivel matemático se
establece un isomorfismo entre ambos enfoques por lo que son equivalentes, a
nivel práctico el investigador debe optar por uno de esos contrastes.
Los contrastes ortogonales, o a priori, se utilizan habitualmente en el ámbito
de las Ciencias Experimentales. Los factores intervienen en el modelo de forma
controlada (por ejemplo, a un ratón le inyectamos 100 gramos del compuesto I
y a otro roedor 200 gramos) y se suele denominar Diseño de Experimentos.
Las principales ventajas de los contrastes ortogonales residen en que el orden
de los factores no influye en el modelo, éste adopta una única expresión
(ortogonal) y resulta fácil detectar qué factores o niveles influyen o no. El
principal inconveniente consiste en que los coeficientes del modelo han de
interpretarse con precaución.
En el otro extremo aparecen los contrastes no ortogonales, o a posteriori,
muy usuales en las Ciencias Sociales. Estos estudios no disponen de
condiciones controladas desde donde puedan observar las reacciones de los
sujetos entrevistados. En estos modelos el orden de los factores o variables
nominales que intervienen en el modelo sí importan, lo que conlleva a
diferentes modelos igualmente válidos. La principal ventaja en estos modelos
surge que los coeficientes son muy fáciles de interpretar.

2. RAZONES PARA USAR LOS ARREGLOS ORTOGONALES
La ventaja de los arreglos ortogonales es que pueden ser aplicados al diseño
experimental involucrando un gran número de factores.
DESVENTAJAS
La desventaja del arreglo ortogonal es que puede ser únicamente aplicado en
la etapa inicial del diseño del sistema del producto o proceso. Un arreglo
ortogonal permite asegurar que el efecto de "B" en "A1" es el mismo efecto de
"B" en "A2". Así se podrá estar seguro de que se está haciendo comparaciones
entre efectos de niveles de un factor.
OTROS ARREGLOS PARA FACTORES EN 2 NIVELES
Un arreglo muestra las combinaciones de los niveles de los factores arreglados
ortogonalmente. Convencionalmente se representa como:
La (b)
Donde:
a es el número de corridas experimentales.
b es el número de niveles de cada factor.
c es el número de columnas en el arreglo ortogonal.
El arreglo ortogonal más pequeño de la serie (2) es el L4 (2) a la 3, que indica
que se manejan 3 factores, con dos niveles cada uno con 4 corridas
experimentales.
No 1 2 3
1 1 2 2
2 2 1 2
3 2 2 1
NOTA. Un arreglo ortogonal que es altamente recomendado es el L12 (2).
debido a que permite investigar 11 factores sin preocuparse de efectos por
interacciones. Este arreglo proporciona muy buena reproducibilidad. Si se debe
investigar alguna interacción importante se debe elegir otro arreglo mayor, pues
éste no contempla interacción alguna.

3. ARREGLOS ORTOGONALES PARA FACTORES DE 3 NIVELES
La serie de arreglos de tres niveles permite investigar tres factores.
El L9 (34) proporciona información de cuatro factores a tres niveles, utilizando
nueve condiciones experimentales. Un L9 tiene ocho grados de libertad. Su uso
permite hacer ocho comparaciones ortogonalmente.
Los ocho grados de libertad pueden descomponerse en dos grados de libertad
por columna. Se requiere una columna para cada factor.
El primer paso es para formar categorías acumuladas a partir de las categorías
iniciales, de modo que la categoría acumulada 1 sea igual a la categoría inicial
1, la categoría acumulada 2 sea igual a las categorías iniciales 1 más 2.
EJEMPLO:
(i) = (1)
(ii) = (1) + (2)
(iii) = (1) + (2) + (3) etc.
El segundo paso es conocer la proporción que tiene cada categoría acumulada.
EJEMPLO:
P1 = 25/90
P11 = 49/90
P111 = 65/90
PIV = 90/90
A cada categoría se le asigna un peso, según la fórmula...
Wj = 1/(Pj*(1-Pj))
Para cada categoría se calcula el factor de correlación, con la siguiente
fórmula:
CFj = (i¨2)/n
SUMA DE CUADRADOS DE FACTORES
Se obtiene mediante la suma de cuadrados de cada clase, multiplicada por su
peso según su fórmula.
Ssa = (Ssa clase 1)*W1+(Ssaclase 11)*W11 + (Ssa clase 111)*W111........ +
(Ssa clase n)*Wn
Sstotal = (número total de datos) * (número de categorías - 1).

4. METODOS PARA MODIFICAR LOS ARREGLOS ORTOGONALES
DISEÑO FACTORIAL COMPLETO
En este diseño se investigan todas las combinaciones de todos los niveles de
todos los factores, permitiendo investigar el efecto de varios factores al mismo
tiempo. En un diseño experimental de 7 factores en 2 niveles cada uno, se
requieren 128 experimentos --- (2) 7.
En experimentos de manufactura es común 13 factores con 3 niveles cada uno,
siendo entonces necesario (3) 13 = 1, 594,323 experimentos. ANÁLISIS DE
DATOS MEDIANTE ARREGLOS ORTOGONALES
· Determinación de promedios de respuesta para niveles de factores.
· Selección de niveles óptimos de un factor mediante la comparación de
promedios de respuestas.
· Predecir la respuesta promedio del proceso utilizando los niveles óptimos.
· Comparación de la predicción con los resultados de una corrida de
confirmación.
INTERACCIONES ENTRE FACTORES
Existe una interacción cuando el efecto de un factor depende del nivel en el
que se encuentre otro factor. Se gratifican los cambios de un factor "A" a los
cambios del factor "B" para ver si hay interacción.
· Si las líneas trazadas son paralelas, no existe interacción entre los factores.
· Si las líneas no son paralelas, quiere decir que el efecto de "A" no es el
mismo para "B1" y "B2", existiendo interacción.
· Si las líneas se intersectan en la gráfica, se interpreta que existe una
interacción bastante fuerte.
APROXIMACIÓN DE UN FACTOR A LA VEZ
En este método se varía el nivel de un solo factor, manteniendo constantes los
niveles de los demás factores. Suponga que se investiga sobre efectos de
temperatura y presión. Se seleccionan dos niveles para el factor temperatura
(T1 y T2) y 2 niveles para el factor presión (P1, P2). La temperatura se fija a T1
mientras se varían los niveles de la presión; después se podía fijar la presión a
P1 y varía los niveles de la temperatura. Si se realizara un diseño con 7
factores en 2 niveles cada uno, se necesitaría realizar 8 experimentos.