"Distribucion Normal o campana de Gauus" Universidad Mariano Galves Antigua Guatemala curso de Estadistica

1. INTRODUCCIÒN
La distribución de probabilidad más importante en todo el campo de la
estadística es la distribución normal. Por la cantidad de fenómenos que
explica. Esta distribución es también llamada como la campana de Gauus, ya
que Karl Friedrich Gauus derivo su ecuación a partir de un estudio de errores
en mediciones repetidas de la misma cantidad y que tiene forma de campana.
A continuación veremos las características principales de una distribución de
probabilidades normal, definiendo posteriormente la distribución normal así
como sus usos, como también el área bajo la curva de una probabilidad y así
como la aplicación de la distribución normal.

2. Distribución de Probabilidad Normal
La Probabilidad Normal es la distribución más importante. Multitud de variables
aleatorias continuas siguen una distribución normal o aproximadamente
normal. Una de sus características más importantes es que casi cualquier
distribución de probabilidad, tanto discreta como continua, se puede aproximar
por una normal bajo ciertas condiciones. La distribución de probabilidad normal
y la curva normal que la representa, tiene principales características las cuales
son las siguientes:
Una de las características muy notorias es la forma de campana de la curvatura
y la de un solo pico en el centro de su distribución.
De esta forma, la media aritmética, la mediana y la moda de la distribución son
iguales y se localizan en el pico. Así, la mitad del área bajo la curva se
encuentra a la derecha de este punto central y la otra mitad está a la izquierda
de dicho punto.
La distribución de probabilidad normal es simétrica alrededor de su media (µ).
La campana de Gauus desciende suavemente en ambas direcciones a partir
del valor central.
Es asintótica, lo que quiere decir que La curva se acerca cada vez más al eje X
sin embargo jamás llega a tocarlo, también pode ser descrito como una
asíntota por su característica. En otras palabras las colas de la curva se
extienden de forma indefinida en ambas direcciones (positiva y negativa).
La ecuación matemática para la distribución de probabilidad de la variable
normal depende de dos parámetros, su media y desviación estándar (µ y δ). Se
denota los valores de la densidad de X con n(x; µ,δ).
La función de densidad de la variable aleatoria X, con
media µ y varianza δ², es:
n(x; µ,δ) =

3. En la fórmula anterior interviene las siguientes constantes:
π = 3.141592
e = 2.718281
σ=Parámetro desviación estándar probabilística de x (variables normales
diferentes pueden tener distintas desviaciones estándar probabilísticas, pero
para cada variable normal, su desviación estándar probabilística es constante).
µ = Parámetro media aritmética de probabilística de x (variables normales
diferentes pueden tener distinta medias aritméticas probabilísticas, pero para
cada variable normal su media aritmética probabilística es constante).
Comparación de la Distribución Normal
En esta grafica dibujamos dos curvas normales que tienen la misma desviación
estándar pero diferentes medias. Las dos curvas son idénticas en formas pero
están centradas en diferentes posiciones a lo largo del eje horizontal.
En esta otra figura trazamos dos curvas normales con la misma media pero con
diferentes desviaciones estándar. En esta vemos que las dos curvas están
centradas exactamente en la misma posición cobre el eje horizontal, pero la
curva con la mayor desviación es más baja y se extiende más lejos.
Señalamos en un principio el papel que juega la distribución normal como una
aproximación razonable de variables científicas en experimentos de la vida
real. Bajo condiciones la distribución normal proporciona una buena
aproximación continua a las distribuciones binomiales e hipergeométricas.

4. Áreas bajo la Curva Normal
Una variable de análisis es estándar o tipificada si la probabilidad de la media
es 0 y la desviación estándar es 1. Si una variable de experimentación x es
normal y tipificada, su función de densidad de probabilidad se denomina normal
estándar o normal tipificada y se ajusta a la fórmula:
Sin embargo sería un trabajo sin fin establecer tablas separadas para
diferentes valores de µ y δ. Afortunadamente somos capaces de transformar
todas las observaciones de cualquier variable aleatoria normal X a un nuevo
conjunto de observaciones de una variable aleatoria normal Z con media cero y
varianza 1 se convierte a la curva normal, en un modelo matemático con
características fijas y definidas y así se hace posible el cálculo de
probabilidades. Este proceso se conoce con el nombre de tipificación de la
curva normal.
Tipificación de la variable
Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que sigue una
distribución N(μ, σ) en otra variable Z que siga una distribución N(0, 1).
Ejemplo:
1) En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio
si una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular
el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre
21° y 27°.
2) Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley
normal con media 100 y desviación típica 15.
Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y
110.

5. Aplicaciones de la Distribución Normal
¿Qué intervalo centrado en 100 contiene al 50% de la población, con una
desviación típica de 15?
En una población de 2500 individuos ¿cuántos individuos se esperan que
tengan un coeficiente superior a 125?
En una ciudad una de cada tres familias posee teléfono. Si se eligen al azar 90
familias, calcular la probabilidad de que entre ellas haya por lo menos 30 tipos
se han teléfono.
En un examen tipo test de 200 preguntas de elección múltiple, cada pregunta
tiene una respuesta correcta y una incorrecta. Se aprueba si se contesta a más
de 110 respuestas correctas. Suponiendo que se contesta al azar, calcular la
probabilidad de aprobar el examen.

6. Un estudio ha mostrado que, en un cierto barrio, el 60% de los hogares tienen
al menos dos televisores Se elige al azar una muestra de 50 hogares en el
citado barrio. Se pide:
¿Cuál es la probabilidad de que al menos 20 de los citados hogares tengan
cuando menos dos televisores?
¿Cuál es la probabilidad de que entre 35 y 40 hogares tenga cuando menos
dos televisores?